不等式知识点大全一

不等式知识点大全一

考试内容：

不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式．考试要求：

（1）理解不等式的性质及其证明．

（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用．

（3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式．

（4）掌握简单不等式的解法．

（5）理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│

§06. 不等式知识要点

1.不等式的基本概念

（1）不等（等）号的定义：.

<

=

⇔

a<

b

⇔

=

>

-

⇔

>

-

a

-

;

a

;

b

b

0b

a

b

a

b

a

（2）不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式.

（3）同向不等式与异向不等式.

（4）同解不等式与不等式的同解变形.

2.不等式的基本性质

（1）a

>（对称性）

⇔

b

b

a<

（2）c

⇒

>

>,（传递性）

a>

a

c

b

b

（3）c

+

>

⇒

>（加法单调性）

a

b

c

b

a+

（4）d

>

+

a+

>

>,（同向不等式相加）

⇒

c

b

a

d

c

b

（5）d

-

>

⇒

a-

<

>,（异向不等式相减）

a

b

c

d

c

b

（6）bc

ac

,

.

>

>0

⇒

b

c

a>

（7）bc

<

,（乘法单调性）

>0

⇒

ac

c

b

a<

（8）bd

>

>

>

>0

,0（同向不等式相乘）

c

ac

d

b

a>

⇒

(9)0,0a b a b c d c d >><<⇒>（异向不等式相除）

11(10),0a b ab a b

>>⇒<（倒数关系） （11）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且（平方法则）

（12）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且（开方法则）

3.几个重要不等式

（1）0,0||,2≥≥∈a a R a 则若

（2）)2||2(2,2222ab ab b a ab b a R b a ≥≥+≥+∈+或则、若（当仅当a=b 时取等号）

（3）如果a ,b 都是正数，那么

.2

a b +（当仅当a=b 时取等号）

极值定理：若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则：

○

1如果P 是定值, 那么当x=y 时，S 的值最小； ○

2如果S 是定值, 那么当x =y 时，P 的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等.

,3a b c a b c R +++∈(4)若、、则a=b=c 时取等号）

0,2b a ab a b

>+≥(5)若则（当仅当a=b 时取等号）

2222(6)0||;||a x a x a x a x a x a x a a x a >>⇔>⇔<-><⇔<⇔-<<时，或

（7）||||||||||||,b a b a b a R b a +≤±≤-∈则、若

4.几个著名不等式

（1）平均不等式： 如果a ,b 都是正数，那么

2

112a b a b +≤+（当仅当a=b 时取等号）即：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a 、b 为正数）： 特别地，222()22a b a b ab ++≤≤（当a = b 时，222()22

a b a b ab ++==） ),,,(332222时取等c b a R c b a c b a c b a ==∈⎪⎭

⎫ ⎝⎛+++≥++ ⇒幂平均不等式：22122221)...(1...n n a a a n

a a a +++≥+++ 注：例如：22222()()()ac bd a

b

c

d +≤++. 常用不等式的放缩法：①21111

111(2)1(1)(1)1n n n n n n n n n n

-==-≥++--p p

②1)n =

=≥p p

（2）柯西不等式： 时取等号当且仅当（则

若n n n n n n n n b a b a b a b a b b b b a a a a b a b a b a b a R b b b b R a a a a ====+++++++≤++++∈∈ΛΛΛΛΛΛ332211223222122322212332211321321))(();,,,,,,,,

（3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数

若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点1212,(),x x x x ≠有

12121212()()()()()().2222

x x f x f x x x f x f x f f ++++≤≥或 则称f(x)为凸（或凹）函数.

5.不等式证明的几种常用方法

比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.