不等式知识点大全一

不等式知识点大全一
考试内容：
不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式．考试要求：
（1）理解不等式的性质及其证明．
（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用．
（3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式．
（4）掌握简单不等式的解法．
（5）理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│
§06. 不等式知识要点
1.不等式的基本概念
（1）不等（等）号的定义：.
<
=
⇔
a<
b
⇔
=
>
-
⇔
>
-
a
-
;
a
;
b
b
0b
a
b
a
b
a
（2）不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式.
（3）同向不等式与异向不等式.
（4）同解不等式与不等式的同解变形.
2.不等式的基本性质
（1）a
>（对称性）
⇔
b
b
a<
（2）c
⇒
>
>,（传递性）
a>
a
c
b
b
（3）c
+
>
⇒
>（加法单调性）
a
b
c
b
a+
（4）d
>
+
a+
>
>,（同向不等式相加）
⇒
c
b
a
d
c
b
（5）d
-
>
⇒
a-
<
>,（异向不等式相减）
a
b
c
d
c
b
（6）bc
ac
,
.
>
>0
⇒
b
c
a>
（7）bc
<
,（乘法单调性）
>0
⇒
ac
c
b
a<
（8）bd
>
>
>
>0
,0（同向不等式相乘）
c
ac
d
b
a>
⇒
(9)0,0a b a b c d c d >><<⇒>（异向不等式相除）
11(10),0a b ab a b
>>⇒<（倒数关系） （11）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且（平方法则）
（12）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且（开方法则）
3.几个重要不等式
（1）0,0||,2≥≥∈a a R a 则若
（2）)2||2(2,2222ab ab b a ab b a R b a ≥≥+≥+∈+或则、若（当仅当a=b 时取等号）
（3）如果a ,b 都是正数，那么
.2
a b +（当仅当a=b 时取等号）
极值定理：若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则：
○
1如果P 是定值, 那么当x=y 时，S 的值最小； ○
2如果S 是定值, 那么当x =y 时，P 的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等.
,3a b c a b c R +++∈(4)若、、则a=b=c 时取等号）
0,2b a ab a b
>+≥(5)若则（当仅当a=b 时取等号）
2222(6)0||;||a x a x a x a x a x a x a a x a >>⇔>⇔<-><⇔<⇔-<<时，或
（7）||||||||||||,b a b a b a R b a +≤±≤-∈则、若
4.几个著名不等式
（1）平均不等式： 如果a ,b 都是正数，那么
2
112a b a b +≤+（当仅当a=b 时取等号）即：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a 、b 为正数）： 特别地，222()22a b a b ab ++≤≤（当a = b 时，222()22
a b a b ab ++==） ),,,(332222时取等c b a R c b a c b a c b a ==∈⎪⎭
⎫ ⎝⎛+++≥++ ⇒幂平均不等式：22122221)...(1...n n a a a n
a a a +++≥+++ 注：例如：22222()()()ac bd a
b
c
d +≤++. 常用不等式的放缩法：①21111
111(2)1(1)(1)1n n n n n n n n n n
-==-≥++--p p
②1)n =
=≥p p
（2）柯西不等式： 时取等号当且仅当（则
若n n n n n n n n b a b a b a b a b b b b a a a a b a b a b a b a R b b b b R a a a a ====+++++++≤++++∈∈ΛΛΛΛΛΛ332211223222122322212332211321321))(();,,,,,,,,
（3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数
若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点1212,(),x x x x ≠有
12121212()()()()()().2222
x x f x f x x x f x f x f f ++++≤≥或 则称f(x)为凸（或凹）函数.
5.不等式证明的几种常用方法
比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.
6.不等式的解法
（1）整式不等式的解法（根轴法）.
步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解. 特例① 一元一次不等式ax >b 解的讨论；
②一元二次不等式ax 2
+bx +c >0(a ≠0)解的讨论.
（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则
()()0()()0()()0;0()0()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩ （3）无理不等式：转化为有理不等式求解
1()0()0()()f x g x f x g x ⎧≥⎫⇒⎪⎬≥⎨⎭⎪>⎩
定义域 ○2⎩⎨⎧<≥⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥⇔>0)(0)()]([)(0)(0)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或 ○3⎪⎩⎪⎨⎧<≥≥⇔<2)]
([)(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f （4）.指数不等式：转化为代数不等式
()()()()()(1)()();(01)()()(0,0)()lg lg f x g x f x g x f x a a a f x g x a a a f x g x a b a b f x a b
>>⇔>><<⇔<>>>⇔⋅> （5）对数不等式：转化为代数不等式
()0()0log ()log ()(1)()0;
log ()log ()(01)()0()()()()a a a a f x f x f x g x a g x f x g x a g x f x g x f x g x >>⎧⎧⎪⎪>>⇔>><<⇔>⎨⎨⎪⎪><⎩⎩
（6）含绝对值不等式
○
1应用分类讨论思想去绝对值； ○2应用数形思想； ○
3应用化归思想等价转化
⎩
⎨⎧>-<>≤⇔>⎩⎨⎧<<->⇔<)()()()(0)()0)(),((0)()(|)(|)()()(0)()(|)(|x g x f x g x f x g x g x f x g x g x f x g x f x g x g x g x f 或或不同时为
注：常用不等式的解法举例（x 为正数）： ①231124(1)2(1)(1)()22327
x x x x x -=⋅--≤=
②2222
232(1)(1)124(1)()22327x x x y x x y y --=-⇒=≤=⇒≤类似于22sin cos sin (1sin )y x x x x ==-，③111||||||()2x x x x x x +=+≥与同号，故取等。