函数方程的几种解法

元后有1)1(2)(2

--=x t f ]2,0[∈x 。

2.待定系数法

待定系数法适用于所求函数是多项式的情形。当我们知道了函数解析式的类型及函数的某些特征，用待定系数法来解函数方程较为简单。一般首先确定多项式的次数，写出它的一般表达式，然后由已知条件，根据多项式相等的条件确定待定系数。

例4 已知)(x f 为多项式函数，且422)1()1(2+-=-++x x x f x f ，求)(x f 。

解：由于)1(+x f 与)1(-x f 不改变)(x f 的次数，而它们的和是2次的，所以)(x f 为二次函数，故可设c bx x a x f ++=2)(，从而有

)

(222)1()1()1()1()1()1(2

22c a bx x a c x b x a c x b x a x f x f +++=+-+-+++++=-++

由已知条件得 422)(22222+-=+++x x c a bx x a 根据两个多项式相等的条件得

22=a ，22-=b ，4)(2=+c a ，由此得1=a ，1-=b ，1=c ，故有1)(2+-=x x x f 。

例5 已知)(x f 是x 的二次函数，且x x x f f 242)]([-=，求)(x f 。

解：因为c 是x 的二次函数，故可设c bx x a x f ++=2)(，由此，

c c bx x a b c bx x a a c x bf x f a x f f ++++++=++=)()()()()]([222

2

将

上

式

化

简

并

代

入

x x x f f 2

42)]([-=，得

x x c bc c a x b abc x ab c a b a x b a x a 2)()2()2(24

222223243-=+++++++++

比较对应项的系数有

参数法是通过设参数、消参数得出函数的对应关系，从而求出)(x f 的表达式。

例9 已知2(1cos )sin f x x +=，求()f x 。

解：设所求函数()y f x =的参数表达式为

2

1cos sin x t

y t =+=，所以

2

cos 1

sin t x t y =-=。 联立方程组消去参数t ，得2

(1)1x y -+=，所以[]21(1),0,2y x x =--∈。 即[]2()1(1),0,2f x x x =--∈。

例10 已知2(2cos )5sin f x x -=-，求()f x 。

解：设所求函数()y f x =的参数表达式为：

22cos 5sin x t y t

=-=-，所以

2cos 2sin 5t x t y

=-=-。

联立方程组消去参数t ，得2

48y x x =-+，即[]2

()48,1,3f x x x x =-+∈。

参考文献：

【1】高夯，现代数学与中学数学（第二版）[M]，北京：北京师范大学出版社，2010. 【2】姚开成，函数方程的几种解法[J]，新疆石油教育学院学报，2000. 【3】聂锡军，函数方程的解法及应用[J]，丹东师专学报，1997.

【4】胡皓，函数方程的一些解法[J]，西昌师范高等专科学校学报，2002. 【5】刘维江，函数方程的解法及应用[J]，安顺师专学报，2001. 【6】徐凤林，几类函数方程的解法[J]，山东轻工业学院学报，2007.