研究生数理统计习题部分解答

12研究生数理统计习题部分解答

第六章 抽样分布

1． （1994年、数学三、选择）

设),,,(21n X X X 是来自总体),(2

σμN 的简单随机样本，X 是样本均值，记

2212

1

)(11∑=--=i i X X n S ，22122)(1∑=-=i i X X n S ，22123

)(11∑=--=i i X n S μ，22

1

2

4

)(1∑=-=i i X n S μ则服从自由度1-n 的t 分布的随机变量是=T （ ）。

A .

1

1

--n S X μ

B .

1

2

--n S X μ

C .

n

S X 3

μ-

D .

n

S X 4

μ-

[答案：选B ]

当22

1

2

)(11∑=--=i i X X n S 时，服从自由度1-n 的t 分布的随机变量应为 =

T n

S

X μ-

A 、由22212

1

)(11S X X n S i i =--=∑=，1

11--=--=n S X n S X T μμ 而不是n

S

X T μ-=

B 、由2122212

2

1)(111)(1S n

n X X n n n X X n S n i i

i i -=--⋅-=-=∑∑== n

S

X n S X n S X T n

n μμ

μ-=

--=

--=

∴-1

1

1

2

。

2． （1997年、数学三、填空）

设随机变量Y X ,相互独立，均服从)3,0(2

N 分布且91,,X X 与91,,Y Y 分别是来自总体Y X ,的简单随机样本，则统计量2

9

2

191Y Y X X U ++++= 服从参数为（ ）的（

）分布。

[答案：参数为（9）的（t ）分布]

解：由Y X ,相互独立，均服从)3,0(2

N 分布，又91,,X X 与91,,Y Y 分别来自总体

Y X ,，可知91,,X X 与91,,Y Y 之间均相互独立，均服从分布)3,0(2N

因而)39,0(~2

9

1⨯∑=N X i i ，)1,0(~9191N X X i i ∑==，)1,0(~3N Y i ，)9(~329

12

χ∑=⎪⎭

⎫

⎝⎛i i Y ，且∑==9191i i X X 与∑=⎪⎭

⎫

⎝⎛9

12

3i i Y 相互独立，

因而

()

2

9

2

1919

1

29

1

91

23

9

19

19

1Y Y X X Y

X

X

i i

i i

i Y i i

i ++++=

=

∑∑∑∑==== 服从参数为9的t 分布。

3． （1998年、数学三、填空）

设),,,(4321X X X X 是取自正态总体)2,0(~2

N X 的简单随机样本且=Y

243221)43()2(X X b X X a -+-，则=a （ ），=b （

）时，统计量Y 服从2

χ分

布，其自由度为（ ）。 同学习指导文件综例6.9.1 [答案：=a （

201），=b （100

1）时，统计量Y 服从2

χ分布，其自由度为（2）] 由统计量=Y 2

43221)43()2(X X b X X a -+-243221)]43([)]2([X X b X X a -+-=

设)43(),2(432211X X b Y X X a Y -=-=

即∑==2

1

2

i i Y Y

由)2,0(~2

N X 可知)2,0(~2N X i ，4,3,2,1=i ，且

0)020()2()]2([21211=⨯-=-=-=a EX EX a X X a E EY

0)0403()43()]43([43432=⨯-⨯=-=-=b EX EX b X X b E EY

a a DX DX a X X a D DY 20)242()4()]2([2

221211=⨯+=+=-=

b b DX DX b X X b D DY 100)21629()169()]43([2243432=⨯+⨯=+=-= 若统计量Y 服从2

χ分布，则由∑==2

1

2

i i Y Y ，可知自由度为2且i Y )2,1(=i 服从标准正态分

布，即

021==EY EY ，2011201=

⇒==a a DY ，100

111002=⇒==b b DY 。

4． （1999年、数学三、证明）

设921,,,X X X 是取自正态总体X 的简单随机样本，∑==61161i i X Y ，∑==9

7

231i i X Y ，

S

Y Y Z Y X S i i )(2,)(21219

6222

-=

-=∑=，证明统计量Z 服从自由度为2的t 分布。 证明：记2

σ=DX （未知），易见EX EY EY ==21，,2

1σ

=DY 22σ=DY 由于

1Y 和2Y 相互独立，可见0)(21=-Y Y E ，2

3

6

)(2

2

2

21σσσ=

+

=

-Y Y D

从而

)1,0(~2

2

1N Y Y U σ-=

由正态总体样本方差的性质，知 )2(~222

2

2

χσχS =

由于1Y 与2Y 独立、1Y 与2

S 以及2Y 与2

S 独立，可见21Y Y -与2

S 独立。 于是，由服从t 分布的随机变量的结构，知 )2(~2

)

(22

21t U

S

Y Y Z χ=-=。

5． （2001年、数学三、填空）

设总体X 服从正态分布)2,0(2

N ,而1521,,,X X X 是来自总体的简单随机样本，则随机变量

)

(22

152112

10

21X X X X Y ++++= 服从（ ）分布，参数为（ ）。 同学习指导文件综例6.9.3 [答案 填：F (10,5)] 解：)5(~)(4

1),10(~)(41),1,0(~222

1521122

1021χχX X X X N X i

++∴ 且显然此二者相互独立，则：