复变函数绪论

在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合， 都是建立在拉普拉斯变换的基础上的.引入拉普拉斯变 换的一个主要优点是可采用传递函数（输出函数与输 入函数的拉普拉斯变换函数的商）代替微分方程来描 述系统的特性.这就为采用直观和简便的图解方法来确 定控制系统的整个特性（信号流程图、动态结构图）、 分析控制系统的运动过程（见奈奎斯特稳定判据、根 轨迹法），以及综合控制系统的校正装置（控制系统 校正方法）提供了可能性.
十九世纪，复变函数的理论经过法国数学家柯西、 德国数学家黎曼和维尔斯特拉斯的巨大努力，已经形 成了非常系统的理论，并且深刻地渗入到数学学科的 许多分支.例如，著名的代数学基本定理： 一元n次方程
a0 z n a1 z n1 an1 z an 0 (a0 0)
（其中系数都是复数），在复数域内恒有n个解.
复变函数的产生和发展简史： 1545 年， 意大利数学怪杰卡丹诺 在《大术》（Ars Magna）中，介绍 了解三次方程的方法，首先研究了虚 数，并进行了一些计算. 解方程 x3 mx n. 卡丹诺公式：
x
3
n 2
n m 2 3
2
3
3
n 2
积分变换无论在数学理论或其应用中都是一种非常有用的工 具.我们只研究最重要的两种积分变换傅里叶变换和拉普拉斯变 换.其实由于不同应用的需要，还有其他一些积分变换，其中应 用较为广泛的有梅林变换和汉克尔变换，它们都可通过傅里叶 变换或拉普拉斯变换转化而来.
由高数傅里叶级数知，一个周期函数可以展开成为傅里叶级 数（正弦函数和余弦函数的无穷项线性组合），而一个非周期函 数可以看成某个周期函数其周期趋向于无穷大转化而来，利用这 一思想得到了傅里叶变换和逆变换.而拉普拉斯变换可理解为特 殊的傅里叶变换，这两种变换最基本应用就是求解线性微分方程， 将复杂卷积运算转化为简单乘积运算. 此外，傅里叶变换在物理学、电子类学科、信号处理、概率 论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域 都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途 是将信号分解成幅值谱——显示与频率对应的幅值大小，开创了 信号频谱分析的先河）.
积分变换简介
何为积分变换？
所谓积分变换，实际上就是通过积分，把一个函数变成另 一个函数的一种变换.
这类积分一般要含有参变量，具体形式可写为：

b
a
k ( t , ) f ( t )dt F ( ).
记为
这里f ( t )是要变换的函数， 原像函数；
F ( )是变换后的函数， 像函数；
The end
请各位老师批评指正！
Thank you!
柯西，黎曼，维尔斯特拉斯是复变函数论的奠基者.
复变函数的应用
现在，复变函数理论及方法在数学及工程技术中有 着广泛的应用.比如，在复变函数理论最先得到成功应 用的流体力学、电磁学、平面弹性力学这三个领域中， 复变函数方法已经发展成为解决有关问题的几种经典 方法之一. 在数学领域里，许多分支也都应用它的理论，他已 经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科 ，对他们的发展有很大的影响.
复变函数与积分变换绪论
主讲： xxx
课程简介
课程名称：复变函数与积分变换
Functions of Complex Variable and Integral Transforms
教 材：《复变函数》(四版）
西安交通大学高等数学教研室 编
《积分变换》(五版)
东南大学数学系 张元林 编
复变函数简介
函数论是数学研究中的一个十分重要的领域.其中 包括两大分支：一是实变函数论（研究以实数作为自 变量的函数，高等数学研究的就是这一类函数）；另 一是复变函数论（研究以复数为自变量的函数）,我 们这门课就是介绍一下复变函数论.
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f ( z )dz ,其中f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y )
满足方程
u v u v , x y y x
其实比欧拉更早，法国数学家达朗 贝尔在1752年关于流体力学论文中 已经得到这两个方程，故有的教科 书称这两个方程为达朗贝尔-欧拉方 程.到了十九世纪，上述两个方程在 柯西和黎曼研究流体力学时，作了 更详细的研究，所以这两个方程也 被叫做“柯西-黎曼方程”。 欧拉和达朗贝尔是复变函数论的先驱.
拉普拉斯--法国数学家、天文学家.1749年3月23日生于法国 博蒙昂诺日，1827年3月5日卒于巴黎.他是天体力学的主要奠 基人、天体演化学的创立者之一，还是分析概率论的创始人， 因此可以说他是应用数学的先驱.其主要贡献是在研究天体问题 的过程中，创造和发展了许多数学的方法，以他的名字命名的 拉普拉斯变换、拉普拉斯定理(概率里的大数定律)和拉普拉斯 方程（电磁学，天体力学，流体力学），在科学技术的各个领 域有着广泛的应用.他发表的天文学、数学和物理学的论文有 270多篇，专著合计有4006多页.其中最有代表性的专著有《天 体力学》、《宇宙体系论》和《概率分析理论》（1812年发 表）.
n m 2 3
2
3
1572 年， 意大利数学家邦贝利在 《代数》（L’Algebra）一书中探究 了这类新数的运算法则，并进行了实 际意义上的运算. 1637年，法国数学家笛卡尔正式 开始使用“实数”、“虚数”这两 个名词.
同一时期，德国数学家莱布尼 茨和法国数学家棣莫弗等研究了虚 数与对数函数、三角函数之间的关 系，除了解方程外，还把它用于微 积分等方面进行应用研究，得到很 多有价值的结果.
复变函数的引入：
1748 年，欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系， 并得到如下公式：
e ix cos x i sin x
1777 年，在他的著作《微分公式》中，首次使用 i
来表示虚数 . 他创立了复变函数论，并把它们应用
到水力学、地图制图学上.
1777年3月，欧拉向彼得堡科学院提交了一篇 论文，论文中考虑了复变函数的积分：
1777年，瑞士数学家欧拉系统地建立 了复数理论.
在几何方面： 1797 年，挪威数学家维塞尔最先提出
复数的几何解释.
虚轴 r O a + bi = r (cos + i sin ) 实轴
1831年,德国数学家高斯在《哥庭 根学报》上详细说明了复数 a+bi表示 成平面上的一个点 (a，b)，从而明确 了复平面 的概念,他又将表示平面点的 直角坐标与极坐标加以综合,统一于表 示同一复数的二种表示形式—复数的代 虚轴 a + bi 数形式及三角形式之中.此外，高斯还 给出了“复数”这个名称,由于高斯的 r = r (cos + i sin ) 卓越贡献,后人常称复数平面为高斯平 面. O 实轴
怎样学好复变函数与积分变换这门课
要想学好这门课，首先复习高数二元函数 极限，连续，导数，积分，第二型曲线积分，幂 级数，傅里叶级数等内容. 其次在学习过程中，希望大家做到以下几点： 1.发挥主观能动性，克服意志无力； 2.有的放矢; 3.练！！
傅立叶--法国数学家、物理学家，1768年3月21日生于欧塞尔， 1830年5月16日卒于巴黎.主要贡献是在研究热的传播时创立了一 套数学理论.1807年向巴黎科学院呈交《热的传播》论文，推导出 著名的热传导方程（偏微分方程） ，并在求解该方程时发现解函 数可以由三角函数构成的级数形式表示，从而提出任一函数都可 以展成三角函数的无穷级数.傅立叶级数（即三角级数）、傅立叶 分析等理论均由此创始. 另外，傅立叶积分变换的基本思想首先由 傅立叶提出，所以以其名字来命名以示纪念.
k (t , )是一个二元函数， 积分变换核.
积分变换的产生
数学中经常利用某种运算先把复杂问题变为 比较简单的 问题，求解后，再求其逆运算就可得 到原问题的解.
原 问 题 直 困接 难求 解
变换
较简单问题
求 解
逆变换 变换后问题的解
原问题的解
如，初等数学中，曾经利用取对数将数的积、商运算 化为较简单的和、差运算； 再如，高等数学中的代数变 换，解析几何中的坐标变换，复变函数中的保角变换，其 解决问题的思路都属于这种情况. 基于这种思想，便产生了积分变换. 其主要体现在： 数学上：求解方程的重要工具（微积分向代数运算 转化）； 能实现卷积与普通乘积之间的互相转化. 工程上：是频谱分析、信号分析、线性系统分析的重 要工具.