椭圆中点弦问题

已知椭圆C: 122

22=+b y a

x (a>b>0)○

1,它的左右焦点分别是F 1(-c ,0),F 2(c ,0),过点F 2直线l 交椭圆于A,B 两点,试求线段AB 的中点的轨迹方程.

分析:此题是一个求点的轨迹方程的常规性问题,问题求解的本身没有特殊性可言,依据轨迹方程的求解步骤即可解决.在此我们略去解答过程,得到:

2222

2a

cx

b y a x =+ ○2 我们对比方程○

1与方程○2看到,两个方程的左边完全相同,而方程○2的右式只含有x 的一次项,且系数为

2c

a

.这里我们称AB 为椭圆的焦半径,将上述问题称为焦半径中点轨迹问题.于是我们自然地会有如下的猜想,即只要知道椭圆的标准方程,则可以对应地写出焦半径中点的轨迹

方程.比如,现在我们要求过F 1的焦半径中点的轨迹方程,根据猜想有22222a cx

b y a x -=+

○

3,那么这样的结果是否正确呢,我们只要重复上述问题的求解过程,即可以验证结果的正确性.

类似地,对于双曲线: 122

2

2=-b y a x (a,b >0),对应地我们有两个焦半径中点的轨迹方程: 22222a

cx

b y a x ±=- (过右焦点时为正,过左焦点时为负);对于抛物线:y2=2px(p>0),相应地焦半径中点轨迹方程为y 2=p(x-p

2).

更一般的结论,我们仍以椭圆为例, 已知椭圆C: 122

22=+b y a x (a>b>0),过定点P(m,n )的直线

l 交椭圆于A,B 两点，则线段AB 中点的轨迹方程为222222b

ny

a mx

b y a x +=+

接下来我们看这样一个结论在几个高考题中的应用:

例1: (08福建卷)21. 椭圆122

22=+b

y a x (a>b >0) 的一个焦点是F （1，0），O 为坐标原点.

（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；

（Ⅱ）设过点F 的直线l 交椭圆于A 、B 两点.若直线l 绕点F 任意转动，恒有|OA |2+|OB |2<|AB |2,求a 的取值范围.

分析:这里我们略去第一问的解答.

要使|OA |2+|OB |2<|AB |2成立,只需满足原点O 在以AB 为直径的圆内部,也即是满足原点O 至圆心M 的距离|OM |小于半径r(2r=|AB |),而我们看到圆心M 是线段AB 的中点

解:设M(x 0,y 0),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)由于它是过右焦点F 的弦中点,则点M 的轨迹方程为

2

2222a

x

b y a x =+(0≤x ≤1). ○1

又|OM |2= x 02+ y 02,2r=|AB |=a-ex 1+a-ex 2=2(a-e x 0),于是有

x 02+ y 02<(a-e x 0)2 ○

2 将点M 的坐标代入方程○

1,得到 2

22

0220a

x b y a x =+ ○3 联立○

2○3式,消去y 0得 x 02+(a 2+a-1)x 0-a 3<0 ○

4 令f (x )=x 2+(a 2+a −1)x −a 3,x ∈[0,1] 不等式○

4对于任意x ∈[0,1]都成立,又由于f (x )的对称轴−

a 2+a−1

2

<0,则只需满足

f (1)<0,即a 2-a -1>0

解之得a ∈(

1+√52

,+∞).

评析:相较于给出的参考答案,这个解法具有明显的优势.首先它没有将直线方程与椭圆

方程进行联立,避开了繁琐的计算.其次,它不再需要利用韦达定理作代换.解答思路清晰,运算简洁流畅.

例2: (09四川卷)20.已知椭圆12222=+b

y a x (a>b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2，离心率e =√2

2，

右准线方程为x =2。 （I ）求椭圆的标准方程；

（II ）过点F 1的直线l 与该椭圆交于,M N 两点，且|F 2M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=

2√26

3

，求直线l 的方程。 解: （I ）略

（II ）设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),MN 的中点P(x 0,y 0),则

F 2M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+x 2−2,y 1+y 2)=2(x 0−1,y 0)

|F 2M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√(x 0−1)2+y 02=

2√26

3

① 又点P 满足方程

22

22x

y x -=+ ,即有 22

02

02

0x y x -=+ ②

联立方程①②消去y 0,得

{

x 0=−

23y 0=±

1

3

已知点P 和点F 1的坐标,可求直线l 的方程

y =x +1或y =−x −1

变式: 已知椭圆的标准方程为12

22

=+y x ,过右焦点F 1的直线l 与该椭圆交于M,N 两点，且|F 2M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,求直线l 方程。

例3: (09全国Ⅱ)21.已知椭圆C: 12222=+b y a

x (a>b>0)的离心率为√3

3

,过右焦点F 的直线l 与

C 相交于A,B 两点，当l 的斜率为1时，坐标原点O 到直线的距离为√2

2

。

（Ⅰ）求a ,b 的值.

（Ⅱ）C 上是否存在一点P,使得当l 绕F 转到某一位置时,有OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB

⃗⃗⃗⃗⃗ 成立?若存在,求出所有的P 和l 的方程;若不存在,说明理由. 解: （Ⅰ）略.

（Ⅱ）若存在满足条件的点P,设AB 的中点为M(x 0,y 0),点P 的坐标为(x,y ),则

(x,y)=2(x 0,y 0),即有{

x 0=x 2y 0=

y 2

○

1 由于点M 的轨迹方程为:

3x

2322=+y x ○2 将○1代入○2式得点P 的轨迹方程: 32x

2

322=+y x ○

3 又点P 在椭圆上,即有

12

32

2=+y x ○4 联立○

3○4,解得点P 的坐标(32,±√2

2

),代入○

1式,得M 的坐标(3

4

,±

√24

). 于是,y =±√2(x −1)为所求直线l 的方程.

评析:本题的突破口在于利用点P 与AB 中点M 的关系,再利用椭圆焦半径中点的轨迹方程得到关于点P 的方程,而由于点P 是椭圆上的一点,又得到一个关于点P 的方程,从而求出点P 的坐标.

运用椭圆焦半径中点的轨迹方程的目标就是要求出中点的坐标,其优势在于无需联立直线与椭圆的方程,进行繁重的化简工作,更不必再讨论直线有无斜率的情况.并且椭圆焦半径中点的轨迹方程完全由椭圆的方程中的两个常量(即a 与b )决定,形式上极为相似,容易记忆,使用起来也极为方便.

变式: 已知椭圆C: 123

2

2=+y x ,过右焦点F 的直线l 与C 相交于A,B 两点，若C 上存在一点P,使得当l 绕F 转到某一位置时,有OP

⃗⃗⃗⃗⃗ =m(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )成立,求m 的取值范围.