人教版初一数学下册平行线中的折线问题

平行线中的“折线”问题的教与练

一、准确把握教材内容，明确教学目的

平行线是最简单、最基本的几何图形之一，它是研究其他图形的基础，且在实际中也有着广泛的应用。

依据新课标标准，可将教学目标分为三部分：1.让学生掌握平行线的性质，并能运用平行线的判定与性质进行角的计算与证明；2.在平行线中的“折线”问题的探究过程中，让学生仔细观察、比较、联想、分析、归纳、大胆猜想和概括；3最后，通过平行线中的“折线”在变化过程中的探究，使学生学会识别基本图形、构建基本图形、理清解题思路，体会图形之间变化及联系，激发学生兴趣，从而增强学生的识图和逻辑推理能力。

二、全面分析课程标准，直指教学的重点和难点

学生在前面的课程中已经学习了平行线的性质与判定，对相应的知识有了一定的了解，但初一的学生刚接触几何，识图能力比较差，缺乏严谨的逻辑推理能力，空间想象能力及规范的几何表述能力，所以在讲授平行线中“折线”问题时，重在引导学生先从已知条件出发，带着问题，去认识和分析图形，然后再鼓励学生运用自己的语言说明理由，最后教师用规范的格式写出完整的解题过程，从而在与学生教与学的双方互动过程中培养学生良好的几何表达习惯。

三、精心设计例题类型，激发学生求知欲

教师通过对已学知识的复习和梳理，把学生引到本节课的思路上来，为新课学习做好知识铺垫。并在教学过程中，通过设计

不同的题目类型，层层设疑，引起学生的好奇心，激发学生的求知欲和学习兴趣。

（一）复习旧知，导入新课

1．运用多媒体展示问题：

（1）平行线判定的方法有哪几种？

（2）平行线有哪些特殊的性质呢？

（3）它们之间有什么区别与联系？

2．引入例题：如图1，AB∥CD∥EF，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF=（）

（A）180°（B）270°（C）360°（D）540°

分析：由AB∥CD，可得∠BAC+∠ACD=180°（两直线平行，同旁内角互补）

又由CD∥EF，可得∠ECD+∠CEF=180°（两直线平行，同旁内角互补）

所以∠BAC+∠ACD+∠ECD+∠CEF=360°

即∠BAC+∠ACE+∠CEF=360°。

这道题目直接给出了平行线，学生很容易发现所求的角恰好是已知平行线被第三条直线所截产生的同旁内角，从而联想到利用平行线的性质3：“两直线平行，同旁内角互补”来解决问题。

在该例题的讲解过程中，教师应教师要先引导，后鼓励学生自己发挥，最后教师再进行纠错，让学生在“犯错”中学习，从而快而准确地掌握本节课的内容。

（二）引申思考，探索新知

教师要善于利用初一学生的学习积极性，激发学生探究几何图形的兴趣，培养学生勤于动脑、乐于探索的良好学习习惯。教师在例题的设计上，应力争环环相扣，逐层深入，使学生易于接受。

探究一：如图2，已知，AB∥CD，

请说明：（1）∠B+∠BED+∠D=360°

（2）如图3，当点E 在直线BD 的左侧时，AB∥CD，则∠BED 与∠B、∠D 的数量关系又如何？请说明理由。

分析：直接观察，问题中的三个角与已知条件中的平行线没有直接联系，但我们可以通过作辅助线构造平行线解决问题。解：（1）证明：过点E 作EF∥AB。

∴∠B+∠BEF=180°（两直线平行，同旁内角互补）

又∵AB∥CD（已知）

∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）

∴∠FED+∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补）

∴∠B+∠BED+∠D=360°。

（2）它们的关系为：∠BED=∠B+∠D。

证明：过点E 作EF∥AB。

∴∠B=∠BEF（两直线平行，内错角相等）

∵AB∥CD（已知）

∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）

∴∠D=∠DEF（两直线平行，内错角相等）

∴∠B+∠D=∠BEF+∠DEF（等量代换）

∴∠B+∠D=∠BED。

分析：本题第（1）问与引例其实是同一道题，意在引导学生仿照引例作辅助线，再解决问题，进而挖掘其深层次的知识，将思路迁移至第（2）问，让学生体会到在图形变化过程中不变的处理方法。

教师应及时引导，遇到类似这类问题有平行线却无法直接利用平行线来求角的关系时，要考虑到添加辅助线，即过“折点”做平行线，这样就产生了同位角、内错角及同旁内角，从而达到利用平行线的相关性质解决问题的目的。

探究二：当点E 在直线AB 的上方或直线CD 的下方时（如图4、5、6、7），已知AB∥CD，那么∠BED 与∠B、∠D的数量关系又当如何?请说明理由。

分析：这是一道开放性的题目，需要根据位置的不断改变探究角之间的关系，题中所涉及的三个角与已知条件没有直接联系，但根据上题的解题经验，我们可以尝试用同样的办法处理，即过“折点”作平行线，使问题中的角与平行线建立联系，从解决问题。教师引导抓住问题实质，以不变应万变。

（三）拓展思维

1．如图8，∠AB∥DE，∠ABC =80°，∠CDE =140°，求∠BCD 的度数。

分析：本题可直接利用本节课的基本方法来解决，即过“折点”作平行线，再用平行的性质逐步求出∠BCD 的度数。

2．如图9，AB∥CD，∠A=105°，∠C=140°，求∠FEC 的度数。分析：同前面题目一样，过“折点”作平行线，再用平行的性质逐步求出∠FEC的度数。但完成之后还可利用本节课第一个基本图形的结论来检验结果，即由AB∥CD 知∠A+∠AEC+∠C=360°，而∠A=105°，∠C=140°，故∠AEC=360°－∠A－∠C=360°－105°－140°=115°，又由邻补角定义知∠FEC=180°－∠AEC=180°－115°=65°。

教师通过精心设计各种类型的例题，引导学生逐层深入探索，使学生的思维方法和思维能力逐步得以提升。学生就能利用本节课的基本方法即过“折点”作辅助线构造平行线来顺利解决问题。总之，数学课教学要注重知识教学与思维教学的统一，既要重视课堂的效率，又要注意对学生思维的培养，力求使学生主动学习，教师只在引导，且注重对学生思维的逻辑性与知识性的统一，让学生会举一反三。