圆锥曲线离心率的结论
高中数学圆锥曲线最常用二级结论总结
圆锥曲线的常用二级结论一、椭圆的常用二级结论1.（1）与椭圆22221x y a b +=共焦点的椭圆的方程可设为()222221,0x y b a b λλλ+=+>++.（2）与椭圆22221x y a b +=有相同的离心率的椭圆可设为2222x y a b λ+=,()2222,0x y b aλλ+=>.2.椭圆的两焦点分别为12,F F ,P 是椭圆上任意一点,则有以下结论成立:(1)122PF PF a +=;(2)1a c PF a c -≤≤+;(3)2212b PF PF a ≤⋅≤;（4）焦半径公式10||PF a ex =+,20||PF a ex =-(1(,0)F c -,2(,0)F c 00(,)M x y ).3.椭圆的方程为22221x y a b +=（a ＞b ＞0）,左、右焦点分别为12,F F ,()00,P x y 是椭圆上任意一点,则有:(1)()()22222222000022,b a y a x x b y a b =-=-;(2)参数方程()00cos sin x a y b θθθ=⎧⎨=⎩为参数;4.设P 点是椭圆上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=+.(2)焦点三角形的面积：122||=tan2PF F P S c y b θ∆=.(3)当P 点位于短轴顶点处时,θ最大,此时12PF F S ∆也最大;(4).21cos 2e -≥θ(5)点M 是21F PF ∆内心，PM 交21F F 于点N ，则caMN PM =||||.5.有关22b a-的经典结论（椭圆中的垂径定理）(1).AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a⋅=-.(2).椭圆的方程为22221x y a b+=（a ＞b ＞0），过原点的直线交椭圆于,A B 两点，P 点是椭圆上异于,A B 两点的任一点，则有22PA PBb K K a=-(3).椭圆的方程为22221x y a b+=（a ＞b ＞0），过原点的直线交椭圆于,A B 两点，F 1,F 2点是椭圆上两焦点，则有四边形AF 1BF 2至少为平行四边6.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=上，则（1）以000(,)P x y 为切点的切线斜率为2020b x k a y =-；（2）过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b+=.7.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外，则过000(,)P x y 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.8.椭圆的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b-=.9.过椭圆上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BC b x k a y =（常数）.10.若P 为椭圆上异于长轴端点的任一点,F 1,F 2是焦点,12PF F α∠=,21PF F β∠=，则()sin sin sin c e a αβαβ+==+.11.P 为椭圆上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立.12.O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b +=+;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为22224a b a b +;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b a b +.13.已知A 、B 、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x ,则22220a b a b x a a ---<<.14.过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为ab 2215.从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线必经过椭圆的另一个焦点.16.若椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，半焦距为c ，焦点()()12,0,,0F c F c -，设(1).过1F 的直线l 的倾斜角为α，交椭圆于A 、B 两点，则有①2211,cos cos b b AF BF a c a c αα==-+；②2cos ab AB a c α=-２２２２(2).若椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，半焦距为c ，焦点()()12,0,,0F c F c -，设过F ２的直线l 的倾斜角为α，交椭圆于A 、B 两点，则有：①22,cos cos b b AF BF a c a c αα==２２＋－；②22cos ab AB a c α=-２２２结论：椭圆过焦点弦长公式：()()222cos 2sin ab x a c AB ab y a c αα⎧⎪⎪-=⎨⎪⎪-⎩２２２２２２焦点在轴上焦点在轴上17.若AB 是过焦点F 的弦,设,AF m BF n ==,则2112amnb+=18、过圆锥曲线的焦点F 作直线交圆锥曲线于A 、B 两点，若λ=BFAF ，则有下列结论：1、椭圆、双曲线（直线与双曲线两个交点在一支上）、抛物线（离心率e=1）（焦比公式）①焦点在x 轴上时：11cos +-=λλθe ，1112+-+=λλk e ；②焦点在y 轴上时：11sin +-=λλθe ，11112+-+=λλk e 。
圆锥曲线二级结论速算公式和结论系统梳理
∙
三. 抛物线
(一) 方程、离心率的公式、结论
19. 切线方程、切点所在直线方程
过抛物线
2
0 上一点 , 的切线方程为
从抛物线
2
0 外一点 , 的切线，切点分别为, ，则直线
的方程为
(二) 焦点相关公式、结论
20. 过抛物线
3
交于, 两点，若⃗
⃗
|
0 ，则有|cos |
1
1
|
，若直线斜率存在，则有
1
(二) 焦点相关公式、结论
13. 焦半径倒数和（三大圆锥曲线均满足，双曲线需要在同一支）
1
过双曲线
0 的焦点 , 0 且不平行于坐标轴的弦，
0,
则两条焦半径的倒数和为
1
⃗
1
条焦半径的倒数和为
1
⃗
1
⃗
4
2
,
2
其中，为通径。
5.
焦点弦垂直平分线结论（三大圆锥曲线均适用）
1
过椭圆
0 的焦点 , 0 且不平行于坐标轴的弦，线段
⃗
的垂直平分线交轴于点，那么
6.
⃗
焦点三角形
1
椭圆
(1) cos
|
||
0 上一点 , ，∠
1，
|
，那么
∠ ；
(2) | || | ∈ , ；
(3) ⃗ ∙ ⃗ ∈ 2
(4) ⊿
, ；
tan
(三) 其它公式、结论
圆锥曲线离心率归类(学生版)
圆锥曲线离心率归类目录题型01 离心率基础题型02 第一定义求离心率题型03 中点型求离心率题型04 点差法型求离心率(第三定义型)题型05 渐近线型离心率题型06 渐近线中点型求离心率题型07 构造a、b、c齐次式型题型08 焦半径型离心率题型09 焦点三角形求离心率题型10 双焦点三角形余弦定理型题型11 焦点三角形双角度型题型12 共焦点型椭圆双曲线离心率题型13 借助均值不等式求共焦点型题型14 焦点三角形内心型求离心率题型15 焦点三角形重心型求离心率题型16 小题大做型求离心率高考练场题型01离心率基础【解题攻略】求解圆锥曲线的离心率的常见方法：1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得a,c得值，根据离心率的定义求解离心率e；2、齐次式法：由已知条件得出关于a,c的二元齐次方程或不等式，然后转化为关于e的一元二次方程或不等式，结合离心率的定义求解；3、特殊值法：根据特殊点与圆锥曲线的位置关系，利用取特殊值或特殊位置，求出离心率问题.1P是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的一点，F为椭圆的右焦点，PF⊥x轴，过点P作斜率为13的直线恰好经过左顶点，则椭圆的离心率为()A.16B.13C.23D.562(2021秋·山西晋城·高三晋城市第一中学校校考阶段练习)双曲线y =kx(k >0)的离心率用e =f (k )来表示，则f (k )()A.在(0,+∞)上是增函数B.在(0,+∞)上是减函数C.在(0,1)上是增函数，在(1,+∞)上是减函数D.是常数3(2023秋·高三课时练习)实轴长和虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线，则等轴双曲线的离心率为()A.2B.2C.3D.34已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 为C 上一点，若PF 2⊥F 1F 2，且∠PF 1F 2=30°，则椭圆C 的离心率为()A.16B.36C.13D.335已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆C 上一点，若△PF 1F 2的周长为18，长半轴长为5，则椭圆C 的离心率为( )．A.34B.45C.23D.225题型02 第一定义求离心率【解题攻略】解题时要把所给的几何特征转化为a ,b ,c 的关系式．求离心率的常用方法有：(1)根据条件求得a ,b ,c ，利用e =ca或e =1+b 2a2求解；(2)根据条件得到关于a ,b ,c 的方程或不等式，利用e =ca将其化为关于e 的方程或不等式，然后解方程或不等式即可得到离心率或其范围．1已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点为F (5，0)，点A ，B 为C 上关于原点对称的两点，且AF ⊥BF ，|AF ||BF |=43，则C 的离心率为.2设椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的一个焦点F (2,0)点A (-2,1)为椭圆E 内一点,若椭圆E 上存在一点P ，使得PA +PF =8，则椭圆E 的离心率的取值范围是()A.49,47B.49，47C.29,27D.29,273椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左右焦点分别为F 1､F 2，直线l :y =kx 与C 交于A ､B 两点，若F 2O =12AB ，∠BAF 2=θ，当θ∈π12,π6时，C 的离心率的最小值为()A.2-1B.22C.63D.3-14已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点为F (5，0)，点A ，B 为C 上关于原点对称的两点，且AF ⊥BF ，|AF ||BF |=43，则C 的离心率为.5设椭圆x 2a 2+y 2b2=1的左右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c ，点Q c ,a2 在椭圆的内部，点P 是椭圆上的动点，且PF 1 +PQ <5F 1F 2 恒成立，则椭圆的离心率的取值范围为()A.14,22B.13,32C.13,22D.14,1题型03 中点型求离心率【解题攻略】直线与曲线相交，涉及到交线中点的题型，多数用点差法。
圆锥曲线离心率小结
高考数学专题复习——求解圆锥曲线离心率及其取值范围椭圆的离心率10<<e ，双曲线的离心率1>e ，抛物线的离心率1=e ． 一、直接求出a 、c ，求解e已知圆锥曲线的标准方程或a 、c 易求时，可利用率心率公式ace =来解决。
例1：已知双曲线1222=-y ax （0>a ）的一条准线与抛物线x y 62-=的准线重合，则该双曲线的离心率为（ ）解：抛物线x y 62-=的准线是23=x ，即双曲线的右准线23122=-==c c c a x ，则02322=--c c ，解得2=c ，3=a ，332==a c e ， 变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为()0,11F 、()0,32F ，则其离心率为（ ）解：由()0,11F 、()0,32F 知 132-=c ，∴1=c ，又∵椭圆过原点，∴1=-c a ，3=+c a ，∴2=a ，1=c ，所以离心率21==a c e .. 变式练习2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（ ） 解：由题设2=a ，62=c ，则3=c ，23==a c e ， 变式练习3：点P （-3，1）在椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的左准线上，过点P 且方向为()5,2-=a 的光线，经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）解：由题意知，入射光线为()3251+-=-x y ，关于2-=y 的反射光线（对称关系）为0525=+-y x ，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=05532c ca 解得3=a ，1=c ，则33==a c e ， 二、构造a 、c 的齐次式，解出e根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。
例2：已知1F 、2F 是双曲线12222=-by a x （0,0>>b a ）的两焦点，以线段21F F 为边作正三角形21F MF ，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ） 解：如图，设1MF 的中点为P ，则P 的横坐标为2c-，由焦半径公式a ex PF p --=1，即a c a c c -⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-=2，得0222=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛a c a c ，解得 31+==ace （31-舍去），变式练习1：设双曲线12222=-by a x （b a <<0）的半焦距为c ，直线L 过()0,a ，()b ,0两点.已知原点到直线的距离为c 43，则双曲线的离心率为( ) 解：由已知，直线L 的方程为0=-+ab ay bx ，由点到直线的距离公式，得c b a ab 4322=+， 又222b a c +=, ∴234c ab =,两边平方，得()4222316c a c a =-，整理得01616324=+-e e ，得42=e 或342=e ，又b a <<0 ，∴2122222222>+=+==ab a b a ac e ，∴42=e ，∴2=e ， 变式练习2：双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为1F 、2F ，021120=∠MF F ，则双曲线的离心率为（ ）解：如图所示，不妨设()b M ,0，()0,1c F -，()0,2c F ，则2221b c MF MF +==，又c F F 221=，在21MF F ∆中， 由余弦定理，得212212221212cos MF MF F F MF MF MF F ⋅-+=∠,即()()()22222222421b c c b c b c +-+++=-，∴212222-=+-c b c b ，∵222a cb -=，∴212222-=--ac a ，∴2223c a =，∴232=e ，∴26=e ， 三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解例3：设椭圆的两个焦点分别为1F 、2F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若21PF F ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________。
圆锥曲线常用的二级结论
圆锥曲线常用的二级结论有：1.离心率定义式：$e = \frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{a}$，其中$a$ 为长半轴，$b$ 为短半轴。
2.曲率公式：$\kappa = \frac{|\text{二阶导数}|}{(1 + y'^2)^{\frac{3}{2}}}$，其中$\kappa$ 为曲率，$y'$ 为导数。
3.两点之间的弦长公式：$L = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$，其中$(x_1,y_1)$ 和$(x_2, y_2)$ 为两点的坐标。
4.圆锥曲线的极坐标方程：$r = \frac{p}{1 + e\cos\theta}$，其中$r$ 为点到焦点的距离，$\theta$ 为点的极角，$p$ 为直线到焦点的距离，$e$ 为离心率。
5.焦点公式：$F = \sqrt{a^2 - b^2}$，其中$a$ 为长半轴，$b$ 为短半轴，$F$ 为焦点到中心的距离。
6.弦的中点公式：$(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2})$，其中$(x_1, y_1)$ 和$(x_2, y_2)$ 为弦两个端点的坐标。
7.椭圆的标准方程：$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，其中$a$ 为长半轴，$b$ 为短半轴。
8.双曲线的标准方程：$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$，其中$a$ 为长半轴，$b$ 为短半轴。
9.抛物线的标准方程：$y = ax^2$，其中$a$ 为常数。
10.焦半径公式：$r_f = \frac{p}{e}$，其中$p$ 为直线到焦点的距离，$e$ 为离心率，$r_f$ 为以焦点为圆心，$p$ 为半径的圆的半径长度。
圆锥曲线常用的二级结论包括但不限于以下内容：1.设直线$l$ 与圆锥曲线$C$ 相交于两点$P,Q$，则$P,Q$ 间的线段垂直于轴线。
高中数学圆锥曲线二级结论大全
高中数学圆锥曲线二级结论大全
本文档总结了高中数学中与圆锥曲线有关的二级结论。
包括椭圆、双曲线和抛物线。
椭圆结论
1. 椭圆的定义：椭圆是到两个定点距离之和等于常数的点的轨迹。
2. 椭圆的离心率：椭圆的离心率介于0和1之间。
3. 椭圆的焦点和准线：椭圆有两个焦点和两条准线。
4. 椭圆的长轴和短轴：椭圆的长轴是两个焦点之间的距离，短轴是两个准线之间的距离。
5. 椭圆的离心率和长轴短轴的关系：离心率等于长轴和短轴的差除以长轴。
双曲线结论
1. 双曲线的定义：双曲线是到两个定点距离之差等于常数的点
的轨迹。
2. 双曲线的离心率：双曲线的离心率大于1。
3. 双曲线的焦点和准线：双曲线有两个焦点和两条准线。
4. 双曲线的长轴和短轴：双曲线的长轴是两个焦点之间的距离，短轴是两个准线之间的距离。
5. 双曲线的离心率和长轴短轴的关系：离心率等于长轴和短轴
的差除以长轴。
抛物线结论
1. 抛物线的定义：抛物线是到一个定点距离等于定直线距离的
点的轨迹。
2. 抛物线的焦点和准线：抛物线有一个焦点和一条准线。
3. 抛物线的顶点：抛物线的顶点是焦点和准线的交点。
4. 抛物线的对称轴：抛物线的对称轴垂直于准线，通过顶点。
5. 抛物线的方程：抛物线的标准方程为 y = ax^2 + bx + c。
以上是高中数学圆锥曲线二级结论的大全。
希望能对你的学习有所帮助！。
圆锥曲线离心率公式
圆锥曲线离心率公式圆锥曲线离心率公式：圆锥曲线是数学中的一种特殊曲线，它可以描述任何给定点到圆锥曲线上的特定点之间的距离。
离心率（e）是一个数字，它表示圆锥曲线两个点之间的距离比圆锥上面的点到中心点的距离多多少倍。
首先，让我们了解“圆锥”这个概念。
圆锥可以被理解为“圆锥形”，这是一个三维的曲面，它是由一个平面和一个凸出的圆形曲面组成的。
例如，圆锥可以用来描述一个棒球的表面，它的一个平面被称为棒球的背部，另一个凸出的圆形曲面被称为棒球的表面。
圆锥曲线离心率公式，也称为“离心率-曲线度公式”或“离心率-圆锥度公式”，是一条用于描述任何给定点到圆锥曲线上的特定点之间的距离的公式。
它可以计算出任意两点的离心率，它的公式如下：e = (d1/d2)^2，其中d1表示曲线上一点与圆锥上另一点之间的距离，d2表示曲线上一点与圆锥中心之间的距离。
离心率的取值范围是0到无穷大之间，对于较小的离心率值，说明圆锥曲线上距离其中心较近；而当离心率较大时，说明圆锥曲线上距离其中心更远。
离心率-圆锥度公式可以用于衡量圆锥曲线的不同位置之间的距离，它可以被用来计算出两点之间的距离，这对于许多工程和设计的应用是非常重要的。
例如，圆锥曲线离心率公式可以用来计算出桥梁的几何曲线，它可以用来测量大型结构体系的形状，以及汽车车身、汽车玻璃等物体的几何形状。
此外，圆锥曲线离心率公式还可以用于从事计算机辅助设计（CAD）和计算机辅助制造（CAM）等计算机技术的分析设计。
例如，它可以用来精确计算出实物模型的三维曲面，从而构建出尺寸精确的模型。
总的来说，圆锥曲线离心率公式在计算几何曲线方面具有重要的意义，它可以用来衡量不同点之间的距离，从而实现精确计算。
它还可以用于计算机辅助设计，以实现尺寸精确的模型制作，为我们带来极大的便利。
高中常用圆锥曲线常用的二级结论汇总
圆锥曲线常用的二级结论椭圆双曲线抛物线标准方程()012222>>=+b a by ax 焦点()()0021，，，c F c F -()0012222>>=-b a by ax ，焦点()()0021，，，c F c F -()022>=p px y 焦点⎪⎪⎭⎫⎝⎛02，p F 图像焦半径的坐标形式0201ex a PF ex a PF -=+=，e 为离心率，x 0为点P 的横坐标0201ex a PF ex a PF -=+=，e 为离心率，x 0为点P 的横坐标20p x PF +=x 0为点P 的横坐标焦半径的角度形式θcos 2c a b PF -=PFO∠=θac b PF ±=θcos 2PFO ∠=θ，同正异负θcos 1+=p PF PFO∠=θ通径ab 22ab 22p 2焦点弦的角度形式θ2222cos 2c aab PQ -=PFO ∠=θθ2222cos 2c aab PQ -=PFO∠=θθ2sin 2p PQ =PFO∠=θ两条焦半径的关系2211ba QF PF =+2211ba QF PF =±同正异负pQF PF 211=+椭圆双曲线抛物线焦三角形2tan221θb S F PF =∆离心率βαθsin sin sin +=e 2tan2cot 2221θθb b S F PF ==∆离心率βαθsin sin sin -=e θsin 22p S POQ =∆θ为直线PQ 倾斜角顶角范围21PF F ∠=θ点P 由长轴端点向短轴端点运动的过程中，θ逐渐增大21PF F ∠=θ点P 由实轴端点向远离实轴运动的过程中，θ逐渐减小点P 与点Q 由原点向远离原点运动的过程中，POQ ∠逐渐减小垂径定理22a b k k OC AB -=⋅C 为线段AB 的中点22a b k k OC AB =⋅C 为线段AB 的中点py k C AB =⋅y c 为点C 的纵坐标椭圆双曲线抛物线周角定理22ab k k PB P A -=⋅P 为椭圆上异于A 与B 的点22a b k k PB P A =⋅P 为双曲线上异于A 与B 的点无周角定理推广形式22ab k k PB P A -=⋅直线AB 过原点O P 为椭圆上异于A 与B 的点且P A k 与PB k 均存在22a b k k PB P A =⋅直线AB 过原点O P 为双曲线上异于A 与B 的点且P A k 与PB k 均存在无准线方程椭圆上任意一点P 到焦点F 和到准线L 的距离之比为e焦点F 与准线L 在y 轴的同侧ca x L 2±=：双曲线上任意一点P 到焦点F 和到准线L 的距离之比为e 焦点F 与准线L 在y 轴的同侧ca x L 2±=：抛物线的焦点F 与准线L 在y 轴的异侧2p x L -=：椭圆双曲线抛物线准线的性质=+PB P A k k 直线AB 过焦点F P 为准线L 与x 轴的交点焦点F 与准线L 在y 轴的同侧=+PB P A k k 直线AB 过焦点F P 为准线L 与x 轴的交点焦点F 与准线L 在y 轴的同侧=+PB P A k k 直线AB 过焦点F P 为抛物线准线L 与x 轴的交点切线方程点()00,y x P 在椭圆上椭圆在点P 处的切线方程为12020=+by y ax x 点()00,y x P 在双曲线上双曲线在点P 处的切线方程为12020=-by y ax x 点()00,y x P 在抛物线上抛物线在点()00,y x P 处的切线方程为()x x p y y +=00切点弦方程点()00,y x P 在椭圆外过点P 作椭圆的两条切线交椭圆于A 、B 两点则切点弦AB 的方程为12020=+by y ax x 点()00,y x P 在双曲线外过点P 作双曲线的两条切线交双曲线于A 、B 两点则切点弦AB 的方程为12020=-by y ax x 点()00,y x P 在抛物线外过点P 作抛物线的两条切线交抛物线于A 、B 两点则切点弦AB 的方程为()x x p y y +=00。
圆锥曲线中离心率的求法
圆锥曲线中离心率的求法韩锋离心率是圆锥曲线的重要性质之一，也是高考中的一个重要考点，本文对圆锥曲线的离心率的求法予以归纳，并通过例题加以说明。
一、由圆锥曲线定义结合图形性质求离心率例 1. 已知21F F 、是双曲线1b y a x 2222=-的左右焦点，双曲线恰好通过正A F F 21∆的两边A F A F 21、的中点，求双曲线的离心率。
解：如图，双曲线恰好通过正A F F 21∆两边A F A F 21、的中点，所以12AF M F ⊥。
在21F MF Rt ∆中，︒=∠=30F MF ,c 2|F F |1221，所以c 3|MF |,c |MF |21==，由双曲线的定义知a 2|MF ||MF |12=-，即13a c e ,a 2c c 3+===-。
二、利用正弦定理求离心率例 2. 已知21F F 、是椭圆)0b a (1b y a x 2222>>=+的两个焦点，点P 在椭圆上，且︒=∠︒=∠15F PF ,105F PF 1221，求椭圆的离心率。
解：在21PF F ∆中，由正弦定理得.60sin |F F |105sin |PF |15sin |PF |2121︒=︒=︒ 由合比定理得.60sin |F F |105sin 15sin |PF ||PF |2121︒=︒+︒+.22105sin 15sin 60sin |PF ||PF ||F F |a 2c 2e 2121=︒+︒︒=+==三、由定比分点坐标公式求离心率例3. 已知等腰梯形ABCD 中，|CD |2|AB |=，AB ∥CD ，点E 分有向线段AC 所成的比为8：11，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点，求双曲线的离心率。
解：建立如图所示平面直角坐标系。
因为C 、D 在双曲线上，且AB ∥CD ，所以C 、D关于y 轴对称。
设双曲线方程为),0b ,0a (1b y a x 2222>>=-)0,c (B ),0,c (A -，因|,CD |2|AB |=可设⎪⎭⎫ ⎝⎛n ,2c C 。
高中数学圆锥曲线离心率知识点归纳总结
⾼中数学圆锥曲线离⼼率知识点归纳总结
基础知识点记忆
离⼼率是描述圆锥曲线“扁平程度”或“张⼝⼤⼩”的⼀个重要数据。
求离⼼率或取值范围题型综合性强，是解析⼏何的⼀个难点！
求离⼼率的常⽤⽅向
【具体⽅法】
1、利⽤椭圆上⼀点 P(x,y)坐标的取值范围，构造关于 a,b,c 的不等式
关于a,b,c 不等式
3、利⽤圆锥曲线的“焦三⻆形”+余弦定理+均值不等式
4、利⽤圆锥曲线的定义，结合完全平⽅数（式）⾮负的属性构造关于a,b,c 的不等式
5、将题中已知不等关系巧妙转化为关于 a,b,c 的不等式
6、利⽤圆锥曲线参数⽅程设点，结合正余弦函数的有界性，构造关于a,b,c 的不等式
与离⼼率有关的⼆级结论。
【高考数学】圆锥曲线的常用结论-突破满分数学之圆锥曲线
焦点的位置 图形
焦点在 x 轴上
y M
cc
F1 O
F2 x
一、椭圆
焦点在 y 轴上
y
F2 c
M
Oc
x
F1
标准方程 范围 顶点 轴长 焦点 焦距 对称性 离心率
+ =1(a>b>0)
+ =1(a>b>0)
−a≤x≤a 且−b≤y≤b A1(−a，0)、A2(a，0)、B1(0，−b)、B2(0，b)
−b≤x≤b 且−a≤y≤a A1(0，−a)、A2(0，a)、B1(−b，0)、B2(b，0)
短轴的长=2b F1(−c，0)、F2(c，0)
|F1F2|=2c(c2=a2−b2)
长轴的长=2a F1(0，−c)、F2(0，c)
关于 x 轴、y 轴、原点对称
e= =
(0<e<1) e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁
.
13. 已知 A、B 是椭圆上的两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点 P(x0，0)，
则
−
a2
− b2 a
<x0<
a2
− b2 a
.
14.
离心率 e= c =
a
1
−
b a
2
、e2=1−
b a
2
15.
2b2
过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为
.
a
16. 从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线必经过椭圆的另一个焦点.
.
1
(2)焦点三角形的面积：S
∆PF1F2
=c|yP|=b2tan
圆锥曲线知识要点及重要结论
圆锥曲线知识要点及重要结论圆锥曲线是数学中的一个重要概念，它包括椭圆、双曲线和抛物线三种特殊的曲线形状。
本文将介绍圆锥曲线的基本定义、性质和重要结论，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。
1. 圆锥曲线的定义圆锥曲线是由一个可移动的点P和两个固定点F1、F2组成的。
对于椭圆和双曲线而言，这两个固定点称为焦点，而抛物线只有一个焦点。
圆锥线还有一个固定的直线L，称为准线，通过焦点F1、F2的垂线交于准线上的点称为顶点。
圆锥曲线的定义可以用以下公式表示：椭圆：PF1 + PF2 = 2a，其中a为椭圆的大半轴长度；双曲线：|PF1 - PF2| = 2a，其中a为双曲线的距离焦点到准线的距离；抛物线：PF = PL，其中P为抛物线上任意一点，F为焦点，L为准线。
2. 圆锥曲线的性质2.1 椭圆椭圆是圆锥曲线中的一种，它的性质如下：- 所有椭圆上的点到焦点的距离之和等于常数2a，其中a为椭圆的大半轴长度；- 椭圆的长轴是焦点的连线，短轴是准线的连线；- 椭圆是一个封闭曲线，对称于长轴和短轴。
2.2 双曲线双曲线是圆锥曲线中的一种，它的性质如下：- 所有双曲线上的点到焦点的距离之差的绝对值等于常数2a，其中a为焦点到准线距离的一半；- 双曲线的两支分别相交于点F1、F2，这两个点称为焦点；- 双曲线是一个非封闭曲线，它与准线之间没有交点。
2.3 抛物线抛物线是圆锥曲线中的一种，它的性质如下：- 抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的垂直距离；- 抛物线是一个非封闭曲线，它与准线相切于顶点。
3. 圆锥曲线的重要结论3.1 椭圆的离心率椭圆的离心率是用来衡量椭圆形状扁度的指标，其定义为离心距与长轴长度的比值。
离心率的取值范围为0到1，当离心率为0时，椭圆变成了一个圆，而当离心率为1时，椭圆变成了一个线段。
3.2 双曲线的离心率双曲线的离心率也是衡量其形状的指标，其定义为离心距与焦点距离之差的比值。
离心率的取值范围大于1，当离心率趋近于无穷大时，双曲线的形状趋近于两个平行线。
圆锥曲线：离心率问题 高考数学
C. 2
√
B. 3
1
2
3
4
5
6
D. 5 − 1
7
8
9
10
)
试卷讲评课件
【详解】令双曲线的焦距为，依题意，
∣ ∣−∣ ∣=
，解得
∣ ∣+∣ ∣= −
∣ ∣= −
，
∣ ∣= −
在△ 中，∠ = ∘ ，由余弦定理得
故 ⋅ =
⋅
= = ①，
+ −
−
−
∵ + = ，即 =
②，
②代入①整理得：
= =
−
=
=
，
.
故选：.
【点评】本题考查椭圆的简单几何性质，是基础题.
1
2
3
4
5
6
(1)表示边：圆锥曲线的定义、正弦定理、余弦定理、勾股定理、成比
例线段.
(2)表示坐标的方法：向量、函数解析式、曲线解析式，点差法.
(3)常见角度关系：公共角、补角、余角.
【例题分析】
考向一 直接求、的值或利用、的关系求离心率
试卷讲评课件
x2
例1.( ⋅湖北·二模)已知椭圆C:
m
2
试卷讲评课件
2.双曲线
(1)
x2
双曲线的标准方程： 2
a
y2
− 2
b
=
y2
1或 2
a
−
x2
数学圆锥曲线二级结论
数学圆锥曲线二级结论
数学圆锥曲线的二级结论主要包括以下几个内容：
1. 曲线相关定理：包括焦点、准线、直角等定理。
例如，椭圆的焦点定理指出，椭圆上任意一点到焦点的距离之和是一个定值。
2. 极坐标方程：用极坐标方程表示圆锥曲线。
例如，椭圆的极坐标方程为$r = \frac{p}{1-e\cdot\cos\theta}$，其中$r$为极径，$p$为半焦距，$e$为离心率。
3. 集中思路：圆锥曲线的性质与方程的意义。
例如，双曲线的方程为$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a$为横轴
半径，$b$为纵轴半径。
根据这个方程可以得到双曲线的离心
率$e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$，并且根据离心率可以确定双
曲线的形状。
4. 曲线的性质：包括切线、法线、渐近线、对称性等。
例如，椭圆的切线与法线切点形成的角度为直角；双曲线的两支曲线的渐近线方程为$y=\frac{\pm b}{a}x$。
5. 常见问题：周长、面积、焦距、离心率等计算问题。
例如，椭圆的面积为$S=\pi a b$，焦距为$f=\sqrt{a^2-b^2}$。
总的来说，数学圆锥曲线二级结论是指对圆锥曲线的进一步研究，包括基本定理的推导、曲线的性质和相关问题的解答等。
这些二级结论可以帮助我们更深入地理解和运用圆锥曲线。
高中数学圆锥曲线求离心率的结论
高中数学圆锥曲线求离心率的结论
在高中数学中，对于椭圆、双曲线和抛物线等圆锥曲线，我们可以使用不同的方法求出它们的离心率。
以下是这些圆锥曲线求离心率的结论：
对于椭圆，离心率为：
e = √(a - b) / a
其中，a 和 b 分别为椭圆的长半轴和短半轴。
对于双曲线，离心率为：
e = √(a + b) / a
其中，a 和 b 分别为双曲线的长半轴和短半轴。
对于抛物线，离心率为：
e = 1
其中，抛物线只有一个焦点，离心率为 1。
以上是高中数学圆锥曲线求离心率的结论，希望能对学习圆锥曲线的同学有所帮助。
- 1 -。
圆锥曲线二级结论大全常用
圆锥曲线二级结论大全常用圆锥曲线是数学中的一个重要分支，包括椭圆、双曲线和抛物线三种类型。
在研究圆锥曲线时，有一些常用的二级结论可以帮助我们更好地理解和应用这些曲线。
下面是一些常用的二级结论：1. 椭圆的焦点定理，对于椭圆，任意一点到两个焦点的距离之和等于常数2a，其中a是椭圆的半长轴。
2. 双曲线的焦点定理，对于双曲线，任意一点到两个焦点的距离之差的绝对值等于常数2a，其中a是双曲线的半长轴。
3. 抛物线的焦点和准线定理，对于抛物线，焦点到准线的距离等于焦距的一半。
4. 椭圆的离心率，椭圆的离心率定义为焦点到准线的距离与长轴长度的比值，通常用字母e表示。
离心率越接近于0，椭圆越接近于圆形；离心率越接近于1，椭圆越扁平。
5. 双曲线的离心率，双曲线的离心率定义为焦点到准线的距离与焦点到顶点的距离之比，通常用字母e表示。
离心率大于1的双曲线是开口向外的，离心率小于1的双曲线是开口向内的。
6. 抛物线的离心率，抛物线的离心率定义为焦点到准线的距离与焦点到焦点之间的距离的比值，通常用字母e表示。
抛物线的离心率恒为1，表示抛物线是所有圆锥曲线中离心率固定的一种。
7. 椭圆的参数方程，椭圆可以用参数方程表示，其中x=acos(t)和y=bsin(t)，其中a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴。
8. 双曲线的参数方程，双曲线可以用参数方程表示，其中x=acosh(t)和y=bsinh(t)，其中a和b分别是双曲线的半长轴和半短轴。
9. 抛物线的参数方程，抛物线可以用参数方程表示，其中x=t和y=t^2。
10. 椭圆的焦点和直径关系，椭圆的焦点和直径之间有一个重要的关系，即直径的中点恰好是焦点连线的中垂线的交点。
这些是圆锥曲线中常用的二级结论，它们可以帮助我们更好地理解和应用椭圆、双曲线和抛物线。
当然，圆锥曲线还有许多其他的性质和结论，这里只列举了一部分常用的二级结论。
圆锥曲线离心率问题
圆锥曲线的离心率问题离心率是圆锥曲线的一个重要几何性质，一方面刻画了椭圆，双曲线的形状，另一方面也表现了参数a, c 之间的联系。
一、基础知识：1、离心率公式：e c（此中c为圆锥曲线的半焦距）a（1）椭圆：e 0,1（2）双曲线：e 1,+2、圆锥曲线中a,b, c的几何性质及联系（1）椭圆：a2b2c2，① 2a ：长轴长，也是同一点的焦半径的和：PF1PF22a②2b ：短轴长③ 2c :椭圆的焦距（2）双曲线：c2b2a2① 2a ：实轴长，也是同一点的焦半径差的绝对值：PF1PF22a②2b ：虚轴长③ 2c :椭圆的焦距3、求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要环绕找寻参数 a, b, c 的比率关系（只要找出此中两个参数的关系即可），方法往常有两个方向：（1）利用几何性质：假如题目中存在焦点三角形（曲线上的点与两焦点连线构成的三角形），那么可考虑追求焦点三角形三边的比率关系，从而两条焦半径与 a 有关，另一条边为焦距。
从而可求解（2）利用坐标运算：假如题目中的条件难以挖掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用 a,b,c 进行表示，再利用条件列出等式求解2、离心率的范围问题：在找寻不等关系时往常可从以下几个方面考虑：（1）题目中某点的横坐标（或纵坐标）能否有范围要求：比如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求。
假如问题环绕在“曲线上存在一点”，则可考虑该点坐标用 a, b, c 表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的打破口（2）若题目中有一个中心变量，则能够考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可（3）经过一些不等关系获得对于a, b, c的不等式，从而解出离心率注：在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初始要求：椭圆： e 0,1 ，双曲线： e 1,+二、典型例题：例 1：设F1, F2 x 2 y 21 a b 0 的左、右焦点，点P分别是椭圆 C : 2b 2a在椭圆 C 上，线段PF1的中点在y 轴上，若PF1F230o，则椭圆的离心率为（）A．3B．3C．1D．1 363 6思路：此题存在焦点三角形VPF1 F2，由线段PF1的中点在y 轴上，O 为F1F2中点可得PF2∥ y 轴，从而 PF2 F1F2，又因为PF1F2 30o，则直角三角形VPF1F2中，PF1 : PF2 : F1F2 2:1:3，且2a PF1 PF2 ,2 cc 2c F1 F2 3 F1F2，因此e2a PF1 PF2 3a答案： A小炼有话说：在圆锥曲线中，要注意O 为F1F2中点是一个隐含条件，如果图中存在其余中点，则有可能与O搭配形成三角形的中位线。
圆锥曲线离心率范围的四个性质
(
围为 （1， 3］ ， 故选 B.
2 + 1 =（ 1 ， 3］ ， 所以椭圆的离心率 e 的取值范 1， 2 -1
]
y2 =1 （ a ﹥ b ﹥ 0 ）的两个焦点为 F1 、 F2 ， M 为其上 b2
x2 例 3 （ 2013 江苏南通二模试题） 已知椭圆 2 + a
櫰櫰櫰櫰櫰櫰櫰櫰櫰櫰櫰櫰櫰櫰櫰櫰櫰櫰櫰櫰櫰櫰櫰櫰櫰櫰櫰櫰櫰櫰櫰櫰櫰櫰櫰櫰櫰櫰櫰櫰櫰櫰櫰櫰櫰櫰
A， B， C， D 构成了一个四边形， 对边 AB ， CD 所在直线
(
]
存在着很多类似的性质， 只要我们在学习中细心观 察和认真总结， 有用的性质一定会被发现 . 参考文献
［1］ 余小芬、 刘成龙. 关于椭圆离心率的几个优美命题 ［ J］ . ［2］ 徐希扬. 关于双曲线离心率的一组优美结论 . 中学教学 . 中学教学参考杂志社 . 2007. 04 ， 32 - 33. 参考 ［ J］ 中学数学研究 （ 江西） . 2007. 07 ， 17 - 18.
性质2
x2 y2 若双曲线 2 - 2 = 1 （ a ﹥ 0， b ﹥ 0） 的 a b
| PF2 | （ λ ﹥ 1） ， 则该双曲线的离心率 e 的取值范围 λ +1 . 为 1， λ -1
两个焦点为 F1 、 F2 ， P 为其上一点， 且 | PF1 | = λ ·
(
]
率 e 的取值范围为 sin θ ， 1 . 2 x2 y2 性 质 4 若双曲线 2 - 2 = 1 （ a ﹥ 0， b ﹥ 0） 的 a b 过点 F 且斜率为 （ k k ﹥ 0 ）的直线与双 右焦点为 F ， 曲线的两个交点分别在左右两支上， 则双曲线离心 率 e 的取值范围为 [ 1 + k2 ，+ ∞ ) . 槡 证明： 因为过点 F 且斜率为 （ k k ﹥ 0 ）的直线与