《量子力学导论》习题答案(曾谨言版-北京大学)1
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第一章 量子力学的诞生
1.1设质量为m 的粒子在一维无限深势阱中运动， ⎩⎨⎧<<><∞=a
x a
x x x V 0,0,0,)(
试用de Broglie 的驻波条件，求粒子能量的可能取值。
解：据驻波条件，有 ),3,2,1(2
=⋅
=n n a λ
n a /2=∴λ （1）
又据de Broglie 关系 λ/h p = （2） 而能量
()
,3,2,12422/2/2
2222
222
22==⋅===n ma n a m n h m m p E πλ （3）
1.2设粒子限制在长、宽、高分别为c b a ,,的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。
解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。动量大小不改变，仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为z y x ,,轴方向，把粒子沿z y x ,,轴三个方向的运动分开处理。利用量子化条件，对于x 方向，有
()⎰==⋅ ,3,2,1,
x x x
n h n dx p
即 h n a p x x =⋅2 （a 2：一来一回为一个周期）
a h n p x x 2/=∴,
同理可得， b h n p y y 2/=, c h n p z z 2/=,
,3,2,1,,=z y x n n n
粒子能量 ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++=++=222222222
222)(21c n b n a n m
p p p m E z y x z y x n n n z
y x π ,3,2,1,,=z y x n n n
1.3设质量为m 的粒子在谐振子势222
1
)(x m x V ω=中运动，用量子化条件求粒子能量E 的可能取值。 提示：利用 )]([2,,2,1,
x V E m p n nh x d p -===⋅⎰
)(x V
解：能量为E 的粒子在谐振子势中的活动范围为 a x ≤ （1） 其中a 由下式决定：221
()2
x a E V x m a ω===
。 a - 0 a x
由此得 2/2ωm E a =
， （2）
a x ±=即为粒子运动的转折点。有量子化条件
2222222
a
a
a
p dx dx m m a m a nh
ωπ
ωωπ++--⋅===⋅
==⎰⎰
⎰
得ω
ωπm n
m nh a 22
=
=
（3） 代入（2），解出 ,3,2,1,
==n n E n ω （4）
积分公式：
c a
u a u a u du u a ++-=-⎰
arcsin 2222
22
2
1.4设一个平面转子的转动惯量为I ，求能量的可能取值。 提示：利用
,,2,1,20
==⎰
n nh d p π
ϕϕ ϕp 是平面转子的角动量。转子的能量I p E 2/2
ϕ=。
解：平面转子的转角（角位移）记为ϕ。
它的角动量.
ϕϕI p =（广义动量），ϕp 是运动惯量。按量子化条件
,3,2,1,220
===⎰
m mh p dx p ϕ
π
ϕπ
mh p =∴
ϕ，
因而平面转子的能量
I m I p E m 2/2/222
==ϕ，
,3,2,1=m
第二章 波函数与Schrödinger 方程
2.1设质量为m 的粒子在势场)(r V
中运动。 （a ）证明粒子的能量平均值为 ω⋅=⎰
r d E 3，
ψψψψωV m
**2
2+∇= （能量密度）
（b ）证明能量守恒公式 0=⋅∇+∂∂s t w ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∇∂∂+∇∂∂-=**22ψψψψt t m s （能流密度） 证：（a ）粒子的能量平均值为（设ψ已归一化）
V T r d V m E +=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∇-=⎰3
22*
2ψψ （1）
⎰=ψψV r d V *3 （势能平均值） （2）
()()()[]
⎰⎰∇⋅∇-∇⋅∇-=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛∇-=ψψψψψ
ψ**3222*
3
2)(2动能平均值r d m
m r d T 其中T 的第一项可化为面积分，而在无穷远处归一化的波函数必然为0。因此
ψψ∇⋅∇=⎰
*322r d m T （3）
结合式（1）、（2）和（3），可知能量密度,2**2
ψψψψωV m
+∇⋅∇= （4） 且能量平均值 ⎰
⋅=ωr d E 3 。
（b ）由（4）式，得
...
2
**.....
2*22**.
.
2
222
*2222V V t m t t t t
V V m t t t t t t s V V t m t m s E ωψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψ
⎡⎤
∂∂*∂∂*∂⎢⎥=
∇⋅∇+∇⋅∇++∂⎢∂∂⎥∂∂⎣⎦
⎡
⎤⎛⎫⎛⎫∂*∂∂*∂∂*∂⎢⎥ ⎪ ⎪=
∇⋅∇+∇-∇+∇++⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫⎛⎫∂*∂=-∇⋅+-∇++-∇+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭=-∇⋅+..*
t t ψψψψ⎛⎫∂*∂ ⎪
+ ⎪∂∂⎝⎭