《量子力学导论》习题答案(曾谨言版-北京大学)1

第一章 量子力学的诞生
1.1设质量为m 的粒子在一维无限深势阱中运动， ⎩⎨⎧<<><∞=a
x a
x x x V 0,0,0,)(
试用de Broglie 的驻波条件，求粒子能量的可能取值。

解：据驻波条件，有 ),3,2,1(2
=⋅
=n n a λ
n a /2=∴λ （1）
又据de Broglie 关系 λ/h p = （2） 而能量
()
,3,2,12422/2/2
2222
222
22==⋅===n ma n a m n h m m p E πλ （3）
1.2设粒子限制在长、宽、高分别为c b a ,,的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。

解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。

假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。

动量大小不改变，仅方向反向。

选箱的长、宽、高三个方向为z y x ,,轴方向，把粒子沿z y x ,,轴三个方向的运动分开处理。

利用量子化条件，对于x 方向，有
()⎰==⋅ ,3,2,1,
x x x
n h n dx p
即 h n a p x x =⋅2 （a 2：一来一回为一个周期）
a h n p x x 2/=∴,
同理可得， b h n p y y 2/=, c h n p z z 2/=,
,3,2,1,,=z y x n n n
粒子能量 ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++=++=222222222
222)(21c n b n a n m
p p p m E z y x z y x n n n z
y x π ,3,2,1,,=z y x n n n
1.3设质量为m 的粒子在谐振子势222
1
)(x m x V ω=中运动，用量子化条件求粒子能量E 的可能取值。

提示：利用 )]([2,,2,1,
x V E m p n nh x d p -===⋅⎰
)(x V
解：能量为E 的粒子在谐振子势中的活动范围为 a x ≤ （1） 其中a 由下式决定：221
()2
x a E V x m a ω===。

a - 0 a x
由此得 2/2ωm E a =
， （2）
a x ±=即为粒子运动的转折点。

有量子化条件
2222222
a
a
a
p dx dx m m a m a nh
ωπ
ωωπ++--⋅===⋅
==⎰⎰
⎰
得ω
ωπm n
m nh a 22
=
=
（3） 代入（2），解出 ,3,2,1,
==n n E n ω （4）
积分公式：
c a
u a u a u du u a ++-=-⎰
arcsin 2222
22
2
1.4设一个平面转子的转动惯量为I ，求能量的可能取值。

提示：利用
,,2,1,20
==⎰
n nh d p π
ϕϕ ϕp 是平面转子的角动量。

转子的能量I p E 2/2
ϕ=。

解：平面转子的转角（角位移）记为ϕ。

它的角动量.
ϕϕI p =（广义动量），ϕp 是运动惯量。

按量子化条件
,3,2,1,220
===⎰
m mh p dx p ϕ
π
ϕπ
mh p =∴
ϕ，
因而平面转子的能量
I m I p E m 2/2/222
==ϕ，
,3,2,1=m
第二章 波函数与Schrödinger 方程
2.1设质量为m 的粒子在势场)(r V
中运动。

（a ）证明粒子的能量平均值为 ω⋅=⎰
r d E 3，
ψψψψωV m
**2
2+∇= （能量密度）
（b ）证明能量守恒公式 0=⋅∇+∂∂s t w ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∇∂∂+∇∂∂-=**22ψψψψt t m s （能流密度） 证：（a ）粒子的能量平均值为（设ψ已归一化）
V T r d V m E +=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∇-=⎰3
22*
2ψψ （1）
⎰=ψψV r d V *3 （势能平均值） （2）
()()()[]
⎰⎰∇⋅∇-∇⋅∇-=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛∇-=ψψψψψ
ψ**3222*
3
2)(2动能平均值r d m
m r d T 其中T 的第一项可化为面积分，而在无穷远处归一化的波函数必然为0。

因此
ψψ∇⋅∇=⎰
*322r d m T （3）
结合式（1）、（2）和（3），可知能量密度,2**2
ψψψψωV m
+∇⋅∇= （4） 且能量平均值 ⎰
⋅=ωr d E 3 。

（b ）由（4）式，得
...
2
**.....
2*22**.
.
2
222
*2222V V t m t t t t
V V m t t t t t t s V V t m t m s E ωψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψ
⎡⎤
∂∂*∂∂*∂⎢⎥=
∇⋅∇+∇⋅∇++∂⎢∂∂⎥∂∂⎣⎦
⎡
⎤⎛⎫⎛⎫∂*∂∂*∂∂*∂⎢⎥ ⎪ ⎪=
∇⋅∇+∇-∇+∇++⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫⎛⎫∂*∂=-∇⋅+-∇++-∇+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭=-∇⋅+..*
t t ψψψψ⎛⎫∂*∂ ⎪
+ ⎪∂∂⎝⎭
ρt E s ∂∂+⋅-∇=
（ρ ：几率密度）
s
⋅-∇= （定态波函数，几率密度ρ不随时间改变）
所以
0=⋅∇+∂∂s t
w。

2.2考虑单粒子的Schrödinger 方程
()()()()[]()t r r iV r V t r m
t r t i ,,2,2122
ψψψ++∇-=∂∂ （1） 1V 与2V 为实函数。

（a ）证明粒子的几率（粒子数）不守恒。

（b ）证明粒子在空间体积τ内的几率随时间的变化为
()
⎰⎰⎰
⎰⎰⎰⎰⎰+⋅∇-∇-=τ
τψψψψψψψψ*
32*
**322r d V S d im r d dt d S
证：（a ）式（1）取复共轭， 得
()*21*
22*2ψψψiV V m
t i -+∇-
=∂∂- （2） ⨯*
ψ（1）-⨯ψ（2）,得
()()
()
ψ
ψψψψψψψψψψψψψ*2**2
2**22
*2*2222iV m
V i m
t i +∇-∇⋅∇-=+∇-∇-=∂∂ ()()()
ψψψψψψψψ*2***22
V im t +∇-∇⋅∇-=∂∂∴
（3） 即 022≠=⋅∇+∂∂ρρ
V j t ， 此即几率不守恒的微分表达式。

（b ）式（3）对空间体积τ积分，得
()()()
()
ψψψψψψψψψψψψψψτ
τ
ττ*
23***233***32222rV d S d im rV d r d im r d t S ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+⋅∇-∇-=+∇-∇⋅∇-=∂∂
上式右边第一项代表单位时间内粒子经过表面进入体积τ的几率（S d j
⋅-=⎰⎰ ） ，而第二项代表体积τ中“产
生”的几率，这一项表征几率（或粒子数）不守恒。

2.3 设1ψ和2ψ是Schrödinger 方程的两个解，证明
()()0,,2
*13
=⎰
t r t r r d dt d ψψ。

证： 12
212ψψ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∇-=∂∂V m t i （1） 22
222ψψ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∇-=∂∂V m t i （2） 取（1）之复共轭： *12
2*12ψψ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∇-=∂∂-V m t i （3） ⨯2ψ（3）⨯-*1ψ（2）,得
()()
22*1*1222
2*12ψψψψψψ∇-∇-=∂∂-m
t i 对全空间积分：
()()[]
⎰
⎰∇-∇-=-22
*1*122322*132,,ψψψψψψr d m t r t r r d dt d i
()()()()()[]
⎰∇⋅∇+∇⋅∇-∇-∇⋅∇-=2*
1*122*1*12322ψψψψψψψψr d m
()[]
⎰∇-∇⋅∇-=2*1*1232
2ψψψψr d m
()
022*1*122=⋅∇-∇-=⎰S d m
ψψψψ，（无穷远边界面上，0,21→ψψ） 即 ()()
0,,.2*
13=⎰t r t r r d dt
d ψψ。

2.4）设一维自由粒子的初态()
/00,x ip e
x =ψ， 求()t x ,ψ。

解： () /2200,⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=t m p x p i e t x ψ
2.5 设一维自由粒子的初态()()x x δψ=0,，求()2
,t x ψ。

提示：利用积分公式
()()2sin cos 2
2
πξξξξ=
=⎰⎰+∞
∞
-+∞
∞
-d d
或 []
[]4exp exp 2ππξξi d i =
⎰
+∞
∞
-。

解：作Fourier 变换： ()()⎰+∞
∞
-=
dp e p x ipx
ϕπψ210,， ()()
πδπϕπϕ21)(210,21==
=
⎰
⎰+∞
∞
--+∞
∞
--dx e x dx e
x p ipx ipx ，
()()()⎰
+∞
∞
--=
∴
dp e p t x Et px i
/21,ϕπψ （m p E 22=） ⎰∞+∞
-⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--=
dp e px t m
p i 22
21
π （指数配方）
⎰+∞
∞-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=
dp t mx p m it e t
imx
2
22ex p 21
2
π 令 2
2
2⎪⎭
⎫
⎝⎛-=t mx p m t ξ，则
()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=
⋅⋅
=⋅=
-+∞
∞
--⎰42exp 2221
221,24/2222
2ππππξπψπξt mx i t m
e e t
m d e t m e
t x i t imx i t
imx
()t
m
t x πψ2,2
=。

2.6 设一维自由粒子的初态为()0,x ψ，证明在足够长时间后，
()[]⎪⎭
⎫
⎝⎛⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-=t mx t imx i t m t x ϕπψ2exp 4exp ,2
式中 ()()⎰+∞
∞
--=
dx e
x k ikx
0,21ψπ
ϕ是()0,x ψ的Fourier 变换。

提示：利用 ()x e e x
i i δπ
ααπα=-∞
→2
4/lim。

证：根据平面波的时间变化规律
()t kx i ikx e e ω-→ ， m k E 22 ==ω，
任意时刻的波函数为
()()()dk e k t x m
tk
kx i 2/2
21, -+∞
∞
-⎰
=
ϕπψ
()⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅=
⎰
∞
+∞
-2
2/2ex p 212t mx k m t i k dk e
t
imx ϕπ
（1）
当时间足够长后（所谓∞→t ） ，上式被积函数中的指数函数具有δ函数的性质，取
m t 2 =α ， ⎪⎭
⎫
⎝⎛
-
=t mx k u ， （2） 参照本题的解题提示，即得
()()⎰+∞
∞
--⎪⎭⎫ ⎝⎛
-⋅≈
k d t mx k k e t m e
t x i t
imx δϕππ
ψπ4/2221,2 ⎪⎭
⎫
⎝⎛=
-t mx e e t m t imx i ϕπ2/4/2 （3） ()
2
2
,⎪⎭
⎫ ⎝⎛≈t mx t m t x ϕψ （4） 物理意义：在足够长时间后，各不同k 值的分波已经互相分离，波群在x 处的主要成分为t mx k =，即
m kt x =，强度()2
k ϕ∝，因子t m 描述整个波包的扩散，波包强度t 12
∝ψ。

设整个波包中最强的动量成分为0k ，即0k k =时()2
k ϕ最大，由（4）式可见，当t 足够大以后，2
ϕ的最大值出现在0k t mx = 处，即m t k x 0 =处，这表明波包中心处波群的主要成分为0k 。

2.7 写出动量表象中的不含时Schrödinger 方程。

解：经典能量方程 ()r V m
p E
+=22 。

在动量表象中，只要作变换p p →，dp
d
i r
→ 所以在动量表象中，Schrödinger 为：
()()p E p dp d i V m
p ψψ=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 22。

第三章一维定态问题
3.1）设粒子处在二维无限深势阱中，
⎩
⎨⎧∞<<<<=其余区域 ,0,0 ,0),(b y a x y x V 求粒子的能量本征值和本征波函数。

如b a = ，能级的简并度如何？
解：能量的本征值和本征函数为
m
E y
x n n 222π =
)(2
22
2b n a n y
x +
,2,1, ,sin
sin
2==
y x y x n n n n b
y
n a
x
n ab
y
x
ππψ
若b a =，则 )(2222
22y x n n n n ma
E y
x +=π a
y n a x n a y x n n y
x
ππψsin sin 2
=
这时，若y x n n =，则能级不简并;若y x n n ≠，则能级一般是二度简并的（有偶然简并情况，如5,10==y x n n 与2,11'
'
==y x n n ）
3.2）设粒子限制在矩形匣子中运动，即
⎩⎨
⎧∞<<<<<<=其余区域
,0,0,0 ,0),,(c z b y a x z y x V 求粒子的能量本征值和本征波函数。

如c b a ==，讨论能级的简并度。

解：能量本征值和本征波函数为
)(2222
222
22c
n b n a
n m n n n E z
y
x
z
y x +
+=π ,
,3,2,1,, ,sin sin sin 8
==z y x z y x n n n c z n b y n a x n abc n n n z
y x πππψ
当c b a ==时，
)(2222222z y x
n n n ma n n n E z y x ++=π a y n a y n a x n a n n n z y x z y x πππψsin
sin sin 22
3
⎪⎭
⎫ ⎝⎛= z y x n n n ==时，能级不简并；
z y x n n n ,,三者中有二者相等，而第三者不等时，能级一般为三重简并的。

z y x n n n ,,三者皆不相等时，能级一般为6度简并的。

如 ⎩⎨⎧→++=++→++=++)
9,6,3()10,5,1(20
86161210)
11,3,1()9,7,1(10438652
22222
2
22222
3.3）设粒子处在一维无限深方势阱中，
⎩⎨
⎧><∞<<=a
x 0, ,0 ,0),(x a x y x V 证明处于定态)(x n ψ的粒子
)61(12)x -(x ,22222π
n a a x -==
讨论∞→ n 的情况，并于经典力学计算结果相比较。

证：设粒子处于第n 个本征态，其本征函数
x a
n a x n πψsin 2)(=
. 2
sin 2022
0a xdx a n x a dx x x a a
n 分部⎰⎰=
=πψ （1） 4
)(2
2
2
2
2
2
a dx x x x x x n
a
-=-=-⎰ψ
4
)2cos 1(212202a dx a x n x a a --⋅=⎰π )61(12222π
n a -= （2） 在经典情况下，在()a ,0区间粒子除与阱壁碰撞（设碰撞时间不计，且为弹性碰撞，即粒子碰撞后仅运动方向改变，但动能、速度不变）外，来回作匀速运动，因此粒子处于x x dx →+范围的几率为a
dx ，故
2
a
a dx x x a
=⋅
=⎰ ， （3） 3
20
2
2
a a dx x x a
=⋅=⎰
，
4
3)(2
22
2
2
a a x x x x -=-=- （4）
当∞→n 时，量子力学的结果与经典力学结果一致。

3.4）设粒子处在一维无限深方势阱中，
⎩
⎨
⎧<∞<=2 ,2
,0),(a x a x y x V 处于基态)1(=n ，求粒子的动量分布。

解：基态波函数为 a
x
a πψcos 21=
, （参P57，（12））
2cos
22cos 12cos
112121121
)(2
11
cos 221)(2
2223
222222
)()(2
2
22pa
p a q pa p a pa p a a e e p a i e e p a i a dx e e
a
dx e e e
a dx a
x a e p a p a i a p a i a p a i a p a i a
a p a i p a i a x
i a x i a
a ipx
a
a ipx
-=
⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+
+-=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎣⎡-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+=
+⋅=⋅
=
∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-------⎰
⎰
⎰ππππππππππππφππππππππ
动量的几率分布()
2cos 4)()(2
2
2222
3
2
pa p a a p p -=
=π
πϕρ 3.5）设粒子处于半壁高的势场中
⎪⎩
⎪
⎨⎧><<-<∞=a
x a x V x V ,00,
x ,)(0 （1） 求粒子的能量本征值。

求至少存在一条束缚能级的体积。

解：分区域写出eq s .:
a
x ,0)()(a x 0 ,0)()(22
"2
12'"1>=-<<=+x k x x k x ψψψψ （2）
其中 ()'2
202
2
22, k E
k V E μ
μ=
+=
（3）
方程的解为
kx
kx
x ik x ik De
Ce x Be Ae x --+=+=)()(21'
'
ψψ （4）
根据对波函数的有限性要求，当∞→x 时，)(2x ψ有限，则
0=C
当0=x 时，0)(1=x ψ，则0=+B A 于是
a
x , )(x 0 ,sin )(2'1>=<<=-kx
De x a x k F x ψψ （5）
在a x =处，波函数及其一级导数连续，得
ka ka kDe a k F k De a k F ---=='''cos ,sin （6）
上两方程相比，得 k
k a k tg '
'
-= （7）
即 ()E E V E V a
tg +--=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+002
2 μ
（7’） 若令 ηξ==a a k k ,'
（8） 则由（7）和（3），我们将得到两个方程：
22
202( 9)(10)
2 ctg V a ηξξμξη=-⎧⎪
⎨+=⎪⎩
（10）式是以a V r 202 μ=为半径的圆。

对于束缚态来说，00<<-E V ，
结合（3）、（8）式可知，ξ和η都大于零。

（10）式表达的圆与曲线ξξηctg -=在第一象限的交点可决定束缚
态能级。

当2π≥r ，即
222
πμ≥a V ，亦即 82220 πμ≥a V （11）
时，至少存在一个束缚态能级。

这是对粒子质量，位阱深度和宽度的一个限制。

3—6）求不对称势阱中粒子的能量本征值。

解：仅讨论分立能级的情况，即20V E <<，
()ψψ E V m dx
d -=∴22
2 当±∞→x 时，0→ψ，故有
()()()()⎪⎩⎪
⎨⎧-=<<=<<+-=<=-
E V m k x a e A mE k a x kx A E V m k x e A x
k x k 222
1112,,2,0,
sin 2,0,
21πδδψ 由
dx d ψ
ln 在0=x 、
a x =处的连续条件，得
()δδ+-==ka kctg kctg k 21k , （1）
由（1a ）可得 1
2sin mV k =
δ （2）
由于k k k ,,21皆为正值，故由（1b ），知δ+ka 为二，四象限的角。

因而 ()2
2sin mV k ka ±
=+δ （3）
又由（1），余切函数()ctg 的周期为π，故由(2)式，
1
1
12sin mV k n -+=πδ (4)
由(3)，得 21
2sin mV k n ka --=+πδ (5)
结合(4),(5)，得 1
112122sin 2sin mV k n mV k n ka -----=ππ
或 2
1
1
1
2sin 2sin mV k mV k n ka ----=π （6）
,3,2,1=n
一般而言，给定一个n 值，有一个解n k ，相当于有一个能级：
m
k E n
n 22
2 = （7）
当12V V ≠时，仅当
1
2
1
2
sin 2
2V V mV a --≥
π
才有束缚态 ，故21,V V 给定时，仅当 ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-≥
-1212sin 22V V mV a π
（8） 时才有束缚态（若V V V ==21，则无论V 和a 的值如何，至少总有一个能级） 当a V V ,,21给定时，由(7)式可求出n 个能级（若有n 个能级的话）。

相应的波函数为:
()()()()()⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧-=>-<<+-=<=---
E V m k a x e mV k A a x x k A E V m k x e mV k A n a x k n n n
n n n n x
k n
n n n 22221
111
2,
, 21,0
, sin 2, 0, 22δψ
其中 ()n n n k k a A 21112++=
3—7）设粒子（能量0>E ）从左入射，碰到下列势阱（图），求阱壁处的反射系数。

解：势阱为 ⎩⎨
⎧><-=.
0,0,
0,)(0x x V x V
在区域Ⅰ上有入射波与反射波，在区域Ⅱ上仅有透射波。

故
()
mE k Ce E V m k Be Ae x
ik x ik x ik 2,2,220112
1
1
==+=+=-ψψ 由)0()0(21ψψ=，得 C B A =+。

由)0()0('
2'
1ψψ=，得 ()C k B A k 21=-。

从上二式消去c, 得 ()()B k k A k k 2121+=-。

反射系数 ()()
2
212
21222
k k k k A B r R +-=== 将21,k k 代入运算，可得
()
⎩
⎨
⎧<<->>=++=
000
2204
20,41,16V E V E V E E V E
E V
V R
3—8）利用Hermite 多项式的递推关系（附录A3。

式（11）），证明 谐振子波函数满足下列关系
()()()()[]
)(21)(12)(121
)()(21
)(21)(222
21
1x n n x n x n n x x x n x n x x n n n n n n n +-+-+++++-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=
ψψψαψψψαψ
并由此证明，在n ψ态下， 2 ,0n E V x == 证：谐振子波函数 )()(2
2
2x H e A x n x n n αψα-= （1）
其中，归一化常数 ωαπαm ,!
2=⋅⋅=
n A n
n （2）
)(x H n α的递推关系为 .0)(2)(2)(11=+--+x nH x xH x H n n n αααα （3）
[]
()()⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++=
⋅⋅+⋅
+⋅⋅⋅
+⋅⋅⋅
-⋅⋅⋅
=
⋅⋅⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅⋅⋅=+=⋅=
⋅=∴+-+-+---+----+---)(21
)(21)(2
1!
121
)(2
!
121
)
(!
221)(!
21
)(2)(21)(221
)()(1
112
112112
12
112
22
22222
22
22
2222
2x n x n x H e n n x H e n n x H e n x nH e n x nH x H e A x x xH e A x xH e A x x n n n x n n x n n x n
n x n
n n x n n x n n x n n ψψααπαα
απα
α
απαα
απαα
αααααα
αψααα
α
α
αα
()()()()[]
)(21)(12)(121)(22)(2121)(2)(2121)(21
)(21)(222
2
221
12x n n x n x n n x n x n n x n x n n x x n x x n x x n n n n n n n n n n +-+-+-+++++-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++=
∴ψψψα
ψψψψαψψαψ
0)(21
)(21)(11**
=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++⋅==+-+∞
∞-+∞∞-⎰⎰dx x n x n x dx x x n n n
n n
ψψαψψψ
()()22121122121)(122121)()(21)(2222*
22*
n n n n n E n n m dx
x n m x dx
x x m x V =⎪⎭⎫
⎝⎛+=+⋅⋅=+⋅⋅⋅=⋅⋅=⎰⎰+∞
∞
-ωα
ωψα
ωψψωψ
3—9）利用Hermite 多项式的求导公式。

证明（参A3.式（12））
()()()()[
]
222
2
211211212)(21
2)(+-+-+++
+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=n n n n
n n n n n n n n x dx d n n x dx d ψψψαψψψαψ
证：A3.式（12）：)(2dx
)
(dH
),(2)(1n 1'
x H n x nH H n n n αααξξ--==
(
)
[]
⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡+-=⋅+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++-=+-=⋅+-⋅=+--+-----)(21)(2)
(2)(21)(2)
(2)()(2)()(1111112122222222x n x n x n x n x n x n x x x H n e x H e x A x dx
d
n n n n n n n n x n x n n ψψαψαψψααψψαααααψαα
()()()()[]
222
2
222211212
2221212212)(+-+-+++
+--=
⎪⎭⎪
⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+⋅+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⋅=n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x dx d ψψψαψψαψψααψ
()021211*
*=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-
⋅-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰⎰+-dx n n i dx dx d i p n n n n n ψψαψψψ ()()()()[]
()()2
2121124124211212
2222*
22222
*2222*2
n
n n n n n n n n E n n m m dx n m dx n n n n n m dx dx d m m p T =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⋅⋅=+⋅=++++--⋅-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅==⎰⎰⎰+-ωωψψαψψψαψψψ
3—10）谐振子处于n ψ态下，计算
()
2
1
2
⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∆x x x ，()
21
2
⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡-=∆p p p ，?=∆⋅∆p x 解：由题3—6），ωω
ωm n m E m V x x n ⎪⎭⎫ ⎝⎛
+====212 ,02
22
由题3—7），ω m n mE T m p p n ⎪⎭
⎫
⎝⎛+
====212 ,02
()
(
)
()
(
)
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=∆⋅∆⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫
⎝⎛+=-=⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡
-=∆⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎪
⎭⎫ ⎝⎛+=-=⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡-=∆2121212
1
2
1
2
2
2
1
22
12
1
2
2
2
1
2
n p x m n p
p p p p m n x
x x x x ωω
对于基态，2,0 =∆⋅∆=p x n ，刚好是测不准关系所规定的下限。

3—11）荷电q 的谐振子，受到外电场ε的作用，
x q x m x V εω-=
222
1
)( （1） 求能量本征值和本征函数。

解： x q H x q x m m p H εεω-=-+=
022221
2 （2） 0H 的本征函数为 )(2
2
2x H e A n x n n αψα
-=，
本征值 ()
ω ⎪⎭
⎫ ⎝⎛+
=210n E n 现将H 的本征值记为n E ，本症函数记为)(x n ϕ。

式（1）的势能项可以写成 ()[]
2
2022
1)(x x x m x V --=
ω 其中 2
0ωεm q x = （3） 如作坐标平移，令 0'
x x x -= （4）
由于 ''p dx
d
i dx d i p =-=-=
（5） H 可表成 2022,22'2
1212x m x m m p H ωω-+=
（6） （6）式中的H 与（2）式中的0H 相比较，易见H 和0H 的差别在于变量由x 换成'
x ，并添加了常数项
⎪⎭
⎫
⎝⎛-20221x m ω，由此可知 ()2
202
1x m E E n n ω--= （7） )()()(0'x x x x n n n -==ψψϕ （8）
即
,2,1,0 ,22121212
2
22
22=-⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+=⎪⎭⎫
⎝⎛⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n m q n m q m n E n ωεωωεωω （9）
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-
=⎪
⎭
⎫ ⎝⎛--22
2
22)(ωεαϕωεαm q x H e
A x n m q x n n (10) 其中 ωαπαm ,!
2=⋅⋅=
n A n n (11)
3—12）设粒子在下列势阱中运动，
⎪⎩⎪
⎨⎧><∞=.0,2
1,0,)(2
2x x m x x V ω 求粒子能级。

解：既然粒子不能穿入0<x 的区域，则对应的S.eq 的本征函数必须在0=x 处为零。

另一方面，在0>x 的区域，这些本征函数和谐振子的本征函数相同（因在这个区域，粒子的H 和谐振子的H 完全一样，粒子的波函数和谐振子的波函数满足同样的S.eq ）。

振子的具有12+=k n 的奇宇称波函数在0=x 处为零，因而这些波函数是这一问题的解（k n 2=的偶宇称波函数不满足边条件0)0(=ψ）所以
() ,2,1,0 ,232=+=k k E k ω
3—13）设粒子在下列势阱中运动，
()⎩⎨
⎧>--<∞=.
0,,0,
)(x a x r x x V δ ()0,>a r (1) 是否存在束缚定态？求存在束缚定态的条件。

解：S.eq: ()ψψδψE a x r dx d m =---
2
2
22 (2) 对于束缚态（0<E ），令 mE 2-=
β (3)
则 ()0222
22=-+-ψδψβψa x mr dx d
(4) 积分
⎰
+-ε
ε
a a dx ,+→0ε,得'ψ跃变的条件
)(2)()(2''a mr
a a ψψψ
-
=--+ (5) 在a x ≠处，方程(4)化为
02
22=-ψβψdx
d (6) 边条件为 ()束缚态0)( ,0)0(=∞=ψψ
因此 ⎩
⎨⎧><≤=-.,,
0,)(a x Ae a x x sh x x ββψ (7)
再根据a x =点)(x ψ连续条件及)('
x ψ跃变条件(5)，分别得
)(a Ae a sh a ψββ==- (8)
)(22a mr
a ch Ae a ψββββ
-
=--- (9) 由（8）（9）可得（以)(a a ψ-乘以（9）式，利用（8）式）
2
2coth
mra
a a a =
+βββ (10) 此即确定能级的公式。

下列分析至少存在一条束缚态能级的条件。

当势阱出现第一条能级时，-
→0E ，所以+
→0a β,
利用 1lim
coth lim 00
==→→a
th a
a a a a ββββββ,
（10）式化为
+
+=+=01coth 22
a a a mra βββ
, 因此至少存在一条束缚态能级的条件为 122
≥ mra
（11）
纯δ势阱中存在唯一的束缚能级。

当一侧存在无限高势垒时，由于排斥作用（表现为0)(≡x ψ，对0≤x ）。

束缚态存在与否是要受到影响的。

纯δ势阱的特征长度mr L 2
= 。

条件（11）可改写为 2L a ≥ （12）
即要求无限高势垒离开δ势阱较远（2L a ≥）。

才能保证δ势阱中的束缚态能存在下去。

显然，当∞→a （即
2L a >>），∞→a β时，左侧无限高势垒的影响可以完全忽略，此时1coth →a β，式（10）给出
22 mr =β
即 2
2
2222
mr m E =-=β （13） 与势阱)()(x r x V δ-=的结论完全相同。

令ηβ=a ， 则式（10）化为
()22coth 1 mra
=
+ηη （14） 由于()1coth 1≥+ηη，所以只当122
≥
mra
时，式（10）或（14）才有解。

解出根η之后，利用 mE a a 2-==βη，即可求出能级
2
2
22ma
E η -= （15）
第四章 力学量用算符表达与表象变换
4.1）设A 与B 为厄米算符，则
()BA AB +21
和()BA AB i
-21也是厄米算符。

由此证明，任何一个算符F 均可分解为-++=iF F F ，+F 与-F 均为厄米算符，且
()()+++-=+=
F F i
F F F F 21 ,21 证：ⅰ）()()()()BA AB AB BA B A A B BA AB +=+=+=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡++++++
21212121
()BA AB +∴2
1
为厄米算符。

ⅱ）()()()()BA AB i AB BA i B A A B i BA AB i -=--=--=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-+++++
21212121
()BA AB i
-∴21
也为厄米算符。

ⅲ）令AB F =，则()BA A B AB F ===+
+
+
+
，
且定义 ()()+++-=+=
F F i
F F F F 21 ,21 （1） 由ⅰ），ⅱ）得-+
-++
+==F F F F ,，即+F 和-F 皆为厄米算符。

则由（1）式，不难解得 -++=iF F F
4.2）设),(p x F 是p x ,的整函数，证明
[][]F , F,,p
i F x x i F p ∂∂
=∂∂-=
整函数是指),(p x F 可以展开成∑∞
==
,),(n m n m mn
p x C
p x F 。

证： （1）先证[
][]
11
, ,,--=-=n n m m
p ni p x x
mi x
p 。

[][][][][
]
[][
]
[]()()
[]()1
111
11
3
3
1
3
32312
2211
1
1,1,3,,2,,,,,------------------=---=+--==+-=++-=++-=+=m m m m m m m m m m m m m m m m m m
x mi x i x i m x
x
p x i m x x p x i x x p x x p x x i x x p x x p x x i x
x p x p x x p
同理，
[][][][][]
[
]1
2
2
1
22211
1
,2,,,,,--------==+=++=+=n n n n n n n n n
p ni p
p
x p
i p p x p p x p p i p
p x p x p p x
现在，
[][]
()∑∑∑∞
=-∞
=∞=-=
=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0
,1
,0,,,,n m n
m mn
n m n m mn n m n m mn p
x mi C p x p C p x C p F p
而 ()
∑∞
=--=∂∂-0
,1n m n m mn p x mi C x F
i。

[]F ,
x
i F p ∂∂
-=∴ 又 [][]
()
∑∑∑∞
=-∞
=∞==
=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0
,1
,0,,,,n m n m mn
n m n m mn n m n m mn p ni x C
p x x C p x C x F x
而 (
)
∑∞
=-=∂∂0
,1n m n m mn p ni x C p F
i
[]F , p
i F x ∂∂=∴
4.3）定义反对易式[]BA AB B A +=+,，证明
[][][][][][]
+
+
+
+
-=-=C A B C B A BC A B
C A C B A C AB ,,,,,,
证：
[][][]()()[][]B
C A C B A B CA AC CB BC A CAB ACB ACB ABC B
C A C B A C AB ++-=+-+=-+-=-=,,,,, [][][]()()[][]
+
+
-=+-+=-+-=+=C A B C B A CA AC B C BA AB BCA
BAC BAC ABC C A B C B A BC A ,,,,,
4.4）设，，为矢量算符，和的标积和矢积定义为
()
∑∑=⨯=⋅αβγ
βααβγα
ααεB A B A ,
z y x ,,,,=γβα，αβγε为Levi-civita 符号，试验证
()()
γαβγ
βααβγεC B A ∑=⋅⨯=⨯⋅ （1）
()[]()()α
α
C B ⋅-⋅=⨯⨯ （2） ()[]()()C B A C B A C B A ⋅-⋅=⨯⨯α
α
α
（3）
证：
（1）式左端()
()()()
x y y x z z x x z y z y z y x C B C B A C B C B A C B C B A -+-+-=⨯⋅=
γαβγ
βααβγεC B A ∑=
（1）式右端也可以化成 (
)
γαβγ
βααβγεC B A C B A ∑=
⋅⨯。

（1）式得证。

（2）式左端()[]
()()
βγγβα
A A ⨯-⨯=⨯⨯= （3,2,1===γβα）
()()()αγγββγαγβαβγααγγαββαβC B A B A C B A C B A C B C B A C B C B A +-+=---=（2）式右
端()()
ααC B ⋅-⋅=
()α
γγββγαγβαβαγγαββαααγαγβαβαααC B A B A C B A C B A C B A C B A C B A C B A C B A C B A +-+=---++=
故（2）式成立。

（3）式验证可仿（2）式。

4.5）设与为矢量算符，F 为标量算符，证明
[][][]B F A B A F B A F ,,,⋅+⋅=⋅ （1） [][][]F F F ,,,⨯+⨯=⨯ （2）
证：（1）式右端()()
F B B F A B F A A F -⋅+⋅-=
F F F F ⋅-⋅+⋅-⋅=
[]
=⋅=⋅-⋅=F F F ,（1）式左端
（2）式右端 ()()
F F F F -⨯+⨯-= F B A B F A B F A B A F ⨯-⨯+⨯-⨯=
[]
=⨯=⨯-⨯=B A F F B A B A F ,（2）式左端
4.6）设F 是由，构成的标量算符，证明
[]r i p p F i F L ⨯-⨯∂∂= , （1）
证：[]
[][]
[]F L F L F L F z y x ,,,,++= （2）
[][][][][][])
2.4( ,,,,,,题⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=∂∂-∂∂+∂∂+∂∂-=--+=-=y F z z F y i p p F p p F i p p F
i y F z i p y F i z F y
i p F z F p z p F y F p y F zpy ypz F Lx y z z y y z
z y
y z z
x x
r i p i ⎝⎛∂-⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯∂= （3） 同理可证，[]
y y
y r i p i F L ⎝⎛∂-⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯∂= , （4） []z z
z r i p i F L ⎝⎛∂⨯-⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂= , （5） 将式（3）、（4）、（5）代入式（2），于是（1）式得证。

4.7）证明 i 2=⨯+⨯
()[]
L i ,2=⨯-⨯ 。

证：()
[][]
z y z y y z z y y z z y x
p L L p p L p L L p L p ,,+=-+-=⨯+⨯
利用基本对易式 [][
]
γαβγβαβαεp i L p p L ==,, 即得 ()
x x
p i 2=⨯+⨯ 。

因此 i 2=⨯+⨯ 其次，由于x p 和x L 对易，所以
[][][][
][]
[][]
()()()[
]
()
x
y z z y y z z y y z z y z y y z x z z z x z x y y y x y x Z x y
x
i p L p L L p L p i p L L p p L L p i p L L L p L p L L L p L p L p L
p L ⨯-⨯=---=++--=+++=+= ,,,,,,,2
22
因此，()[]
L i ,2=⨯-⨯
4.8）证明
()
i p r L ⋅+⋅-= 222 （1）
()()()()2
2
2
2
p L =⨯⋅⨯-=⨯=⨯ （2） ()()2
2224p p L p L L p +=⨯⋅⨯- （3） ()()2
p i -=⨯⨯⨯ （4）
证: （1）利用公式 ，()()⋅⨯=⨯⋅，有
()()()[]()()[]()()()
r p L ⋅⋅-⋅=⋅-⋅=⋅⨯⨯-=⨯⋅⨯-=2
2
其中 ()
i r r i r r p 22222-=∇-=
()
i i 3-⋅=⋅∇-⋅=⨯
因此 ()i r L ⋅+⋅-⋅= 2
2
2
2
（2）利用公式， ()()0=⨯⋅=⋅⨯p p L p p L （Δ） 可得 ()()()[]⋅⨯⨯-=⨯⋅⨯-
()()[]()[]()0
2
,L
02
22==⋅-=⋅⋅-⋅=P
p L p ① ()()()()[]p L p L p L p L p L ⨯⨯⋅=⨯⋅⨯=⨯2
()[][]()0
2
,L
2
22==⋅-⋅=P
p L p ② ()()()()[]⋅⨯⨯=⨯⋅⨯=⨯2
()[]2
22p L p =⋅⋅-= ③
由①②③，则（2）得证。

（3）()()()()
i 2)1( ) 7.4-⨯⋅⨯⨯⋅⨯-
()()()2
2222
2
2
4222)
()
1( ) 7.4p
p L p
p L p i i p L i +⋅⨯--⋅⨯-⨯=∆
（4）就此式的一个分量加以证明，由4.4）（2），
()[]()()α
α
α
C B ⋅-⋅=⨯⨯
()()[]()()()[]x
x
x
p L ⋅⨯-⋅⨯=⨯⨯⨯ ，
其中()y
y
z
z
x
x
e p e p i L L -+=
（即[]p i p i p p p L y
z
z
y
x
x
-+=++0,）
()()[]()()()()[]()[]()()[]()2
2
p
L i p i p p L p p L i p p L i p
e p e p i L x
x
x
x
z
y
y
z
z
x
x
-=-=⋅-⋅=⨯⨯=⋅⨯--⋅⨯+⋅⨯=⨯⨯⨯ 类似地。

可以得到y 分量和z 分量的公式，故（4）题得证。

4.9）定义径向动量算符 ⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅+⋅=
r r p r 1121 证明：()r r p p a =+
， ()⎪⎭⎫
⎝
⎛+∂∂-=r r i p b r 1 ， ()[] i p r c r =, ，
()r r r r r r r p d r
∂∂∂∂-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-=222222
2
12 ， ()2
22
21 r p L r p e +=
证：()()+
+
+
+
=A B C a ABC ，
r
1121112111 21 p p r r r r p r r r r p r
=⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅+⋅=⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎣⎡⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅=∴+++
+++++
即r p 为厄米算符。

()⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+∂∂-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--∂∂-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅--∂∂-=⎥
⎦⎤⎢⎣⎡∇⋅+⋅∇-∇⋅-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅∇-⋅=⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅∇-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅=r r i r r i r i r r r i r i r r i r i r i r r i p r p r r r p p r r p b 1132321122211121 3r
()[]
i r r r
r i r r r r i r r i r r r i p r c r =⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂--∂∂
-=⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂
-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-=⎥⎦⎤⎢
⎣⎡+∂∂
-=1,1,,
())
(2
221 b r r p d r
⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂-= ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∂∂+∂∂+∂∂-=222
2111r r r r r r
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∂∂+∂∂+∂∂-=r r r r r r r r r r 2111122
222222
r r r r
∂∂
∂∂-=22
2
1 ()e 据4.8）（1），()
p r i p r p r L
⋅+⋅-⋅= 2
2
22。

其中 r
r i i ∂∂
-=∇⋅-=⋅ ， 因而 r r r r r r
p r L ∂∂+⎪⎭
⎫
⎝⎛∂∂∂∂+=22
2
2
2
⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛∂∂+∂∂+=r r r r p r 22222
2
2
以2-r 左乘上式各项，即得
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-=r r r L r p 2122
2222
()d )9.4=2221r p L r +
4.10)利用测不准关系估算谐振子的基态能量。

解：一维谐振子能量 2
22
2
12x m m p E x x ω+=。

又02
2==
⎰+∞
∞
--dx xe
x x απ
α奇， ωαm =，0=x p ，
（由(3.8)、(3.9)题可知0,0==x p x ）
x x x x =-=∆∴ ，x x x x p p p p =-=∆，
由测不准关系，,2 =∆∆x p x 得 x
p x 2
=。

222
2
1221 x m x m E x ω+⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴
028232=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x m x m dx dE x ω ，得 ωm x 22 = ωωωω 2
122128220=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=m m m m E x
同理有ω 210=
y E ，ω 2
1
0=z E 。

∴谐振子（三维）基态能量ω 2
3
0000=
++=z y x E E E E 。

4.11) 利用测不准关系估算类氢原子中电子的基态能量。

解：类氢原子中有关电子的讨论与氢原子的讨论十分相似，只是把氢原子中有关公式中的核电荷数e +换成ze +（z 为氢原子系数）而u 理解为相应的约化质量。

故玻尔轨迹半径 2
2
0ue
a
=，在类氢原子中变为z
a a 0
=。

类氢原子基态波函数a
r e a
-=
31001πψ，仅是r 的函数。

而r
ze u p H 2
22-=，如果只考虑基态，它可写为 r ze u p H r 22
2-=，⎪⎭
⎫
⎝⎛+-=r dr d i p r 1 r p 与r 共轭，于是 ~r p r ∆∆，r r ~∆，
r ze r
m r ze u p E r 2
2
222
2~2--= （1） 求极值 r
ze r m r E 2
3
20+-=∂∂= 由此得a z
a mze r ==
=0
22
（0a ：玻尔半径；a ：类氢原子中的电子基态“轨迹”半径）。

代入（1）式，
得
基态能量，a ze e
mz E 22~224
2
-=-
运算中做了一些不严格的代换，如
r r
1~1
，作为估算是允许的。

4.12)证明在分立的能量本征态下动量平均值为0。

证：设定态波函数的空间部分为ψ，则有ψψE H = 为求的平均值，我们注意到坐标算符i x 与H 的对易关系：
[]()
p i V u p p x H x i j
j
j i i =⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
+=∑2,,。

这里已用到最基本的对易关系[]
ij j i i p x δ =,，由此
[]()
(
)
0,=ψψ-ψψ=ψ
ψ-ψψ=
ψψ=ψψ=∧
i i i i i i i Ex E x i u Hx H x i u
H x i u
p p
这里用到了H 的厄米性。

这一结果可作一般结果推广。

如果厄米算符∧
C 可以表示为两个厄米算符∧A 和∧B 的对易子⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=∧∧∧
B A i
C ,，则在∧
A
或∧B 的本征态中，∧
C 的平均值必为0。

4.13）证明在的本征态下，0==y x L L 。

（提示：利用x y z z y L i L L L L =-，求平均。

） 证：设ψ是z L 的本征态，本征值为 m ，即ψψ m L z
=
[]
x L i =-=y z z y z y L L L L L ,L ， []y L i =-=z x x z x z L L L L L ,L ，
()()()
0111
=ψψ-ψψ=ψψ-ψψ=ψψ-ψψ=
∴y y y z z y y z z y x L m L m i L L L L i L L L L i L
同理有：0=y L 。

4.14) 设粒子处于()ϕθ,lm Y 状态下，求()2
x L ∆和()
2
y
L ∆
解：记本征态lm Y 为lm ，满足本征方程
()lm l l lm L 221 +=，lm m lm L z =，lm m L lm z =，
利用基本对易式 L i L L =⨯，
可得算符关系 ()
()x y z x z y x y z z y x x x L L L L L L L L L L L L L i L i -=-== 2
()
x y z z x y y x y z y z x y L L L L L L L i L L L L i L L L -+=-+=2
将上式在lm 态下求平均，因z L 作用于lm 或后均变成本征值 m ，使得后两项对平均值的贡献互相抵消，
因此
2
2
y
x
L L =
又()[]
222
2
2
1 m l l L L L z
y x -+=-=+
()[]
222
2
12
1
m l l L L y
x
-+=
=∴ 上题已证
0==y x L L 。

()()
()[]
222
2
2
2
2
12
1
m l l L L L L L L x x x x
x x -+=
=-=-=∆∴ 同理 ()
()[]
222
12
1
m l l L y -+=
∆。

4.15)设体系处于202111Y C Y C +=ψ状态（已归一化，即12
2
2
1=+C C ）
，求 （a ）z L 的可能测值及平均值; （b ）2L 的可能测值及相应的几率； （c ）x L 的可能测值及相应的几率。

解：112
1122 Y Y L =，2022026 Y Y L =；
1111 Y Y L z =，20200 Y Y L z =。

（a ）由于ψ已归一化，故z L 的可能测值为 ，0，相应的几率为21C ，22C 。

平均值 2
1C L z =。

（b ）2
L 的可能测值为2
2 ，2
6 ，相应的几率为21C ，2
2C 。

（c ）若1C ，2C 不为0，则x L （及y L ）的可能测值为： 2， ，0， -， 2-。

1）x L 在1=l 的空间，()z L L ,2
对角化的表象中的矩阵是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010******* 求本征矢并令1= ，则⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c b a c b a λ010********
，
得，a b λ2=
，b c a λ2=+，c b λ2=。

1,0±=λ。

ⅰ）取0=λ，得a c b -== ,0，本征矢为⎪
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a 0，归一化后可得本征矢为⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛-10121。

ⅱ）取1=λ，得c a b 22==，本征矢为⎪
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a a a 2，归一化后可得本征矢为⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛12121。

ⅲ）取1-=λ，得c a b 22-=-=，归一化后可得本征矢为⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-12121。

在⎪
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011111C Y C 态下， x L 取0的振幅为()21012100111C C =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-，x L 取0的几率为221
C ；x L 取 的振幅为()21212100111C C =⎪
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛，相应的几率为42
1
C ；
x L 取 -的振幅为()21212100111C C =⎪
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-，相应的几率为42
1C。

总几率为21C 。

2）x L 在2=l 的空间，(
)
z L L ,2
对角化表象中的矩阵 利用
()()1211++-=
+m j m j m j j m
j x ()()12
1
1+-+=
-m j m j m j j m j x
11222 =∴x j ，2
3
0212=
x j ，2
3
1202=-x j ，12212=--x j 。

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01000
102
30002
302
30
002
30100010
x L ，本征方程⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪
⎪
⎪⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛e d c b a e d c b a λ01
00
102
30002
302
30002
3010001
a b λ=，b c a λ=+
23，
()c d b λ=+23
，d e c λ=+2
3，e d λ=，2,1,0±±=λ。

ⅰ）0=λ，0=b ，c a 23-=，0=d ，c e 23-=本征矢为⎪⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-10320183。

在⎪⎪
⎪⎪⎪
⎪
⎭⎫ ⎝⎛=001002202C Y C 态下，测得0=x L
的振幅为()
21032018300100
22C C -=⎪⎪⎪
⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-。

几率为42
2
C ； ⅱ）1=λ，a b =，0=c ，b d -=，e d =，本征矢为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--1101121。

在202Y C 态下，测得 =x L 的振幅为
()01101121
001002=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--C ，几率为0。

ⅲ）1-=λ，a b -=，0=c ，b d -=，d e -=，本征矢为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--110112
1
，在202Y C 态下，测得 -=x L 几率为0。

ⅳ）2=λ，a b 2=，a c 6=，a e d 22==，a c e ==
6
，本征矢为⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛1262141，在202Y C 态下，测得 2=x L 的振幅为()
2246126214100100C C =⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛。

几率为2
283C ； ⅴ）2-=λ，a b 2-=，a c 6=，a d 2-=，a e =，本征矢为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--1262141
，在202Y C 态下，测得 2-=x L 的
几率为
2
28
3C 。

2
22
2
418383 C C =⎪⎭
⎫
⎝⎛++∴。