大一高数笔记

大一高数笔记

导数与极限

(一)极限

1. 概念

,,,(1)自变量趋向于有限值的函数极限定义(定义)

limf(x),A0,|x,a|,,|f(x),A|,,,,,0，,,0,x,a ，，当时，有。 (2)单侧极限limf(x),A,f(a,0),|f(x),A|,,,,,0，,,00,a,x,,,x,a 左极限: ，，当时，有。

limf(x),A，f(a，0),|f(x),A|,,,,,0，,,00,x,a,,,x,a 右极限: ，，当时，有。 (3)自变量趋向于无穷大的函数极限

，，x,Xfx,A,,，，fx,,,0,，X,0xA定义1:，当，成立，则称常数为函数在趋于无穷时的

，，limfx,Ax,,极限，记为。

，，y,fxy,A为曲线的水平渐近线。

limf，，x,Af，，x,A,,,,,0，，X,0x,Xx,，,定义2:，当时，成立，则有。

limf，，x,Af，，x,A,,,,,0，，X,0x,,Xx,,,定义3:，当时，成立，则有。

运算法则:

，，，，,,，，，，limfx,Alimgx,,limfx，gx,,1) 1) 若，，则。

，，，，，，，，，，limfx,A,0,但可为,limgx,,limfx,gx,,2) 2) 若，，则。

1lim,0，，limfx,,，，fx3) 3) 若，则。

lim注:上述记号是指同一变化过程。

(4)无穷小的定义

0,|x,a|,,|f(x)|,,f(x),,,0，,,0x,a ，，当时，有，则称函数在时的无穷小(量)，

limf(x),0x,a即。

(5)无穷大的定义

0,|x,a|,,|f(x)|,Mf(x),M,0，,,0x,a ，，当时，有，则称函数在时的无穷大(量)，

limf(x),,x,a记为。

，，y,fxx,a直线为曲线的垂直渐近线。

2(无穷小的性质

定理1 有限多个无穷小的和仍是无穷小。

定理2 有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。

推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小。

推论2 有限个无穷小的乘积是无穷小。

无穷小与无穷大的关系

1

limf(x),,f(x)f(x)x,ax,a若，且不取零值，则是时的无穷小。 3(极限存在的判别法

limf(x),Af(a,0),f(a，0),A,x,a(1)。

limf(x),Alimf(x),limf(x),A,x,,x,，,x,,, 。

limf(x),Af(x),A，,,,x,ax,a(2)，其中是时的无穷小。

limg(x),AˆN(a,,)g(x),f(x),h(x)ax,a(3)夹逼准则:设在点的某个去心邻域内有，且已知和limh(x),Alimf(x),Ax,ax,a，则必有。

4(极限的性质

limf(x),Alimf(x),Bx,ax,aA,B(1)极限的唯一性若且，则。

limf(x),AˆN(a,,)，M,0|f(x)|,Max,a(2)局部有界性若，则，在点的某个去心邻域内有。 (3)局部保号性

limf(x),AˆˆN(a,,)x,N(a,,)A,0A,0ax,a(I)若，且(或)，则必存在的某个去心邻域，当时，f(x),0f(x),0有(或)。

limf(x),AˆN(a,,)f(x),0f(x),0A,0ax,a(II)若在点的某个去心邻域内有(或)，且，则(或A,0)。

5(极限的四则运算与复合运算

limf(x),A，limg(x),B，cx,ax,a设是常数，则

lim[f(x),g(x)],A,B;x,a(1)

lim[f(x),g(x)],A,B;x,a(2)

lim[c,f(x)],c,A;x,a(3)

f(x)Alim,，B,0;x,ag(x)B(4)

,

若limg(x),u，limf(u),A，且,x,U(a,,)(,,0)，有g(x),u，00xauu,,0(5) limf[g(x)],limf(u),Ax,au,u0则.

6(两个重要极限

1xsin1xxlim,1lim(1，),elim(1，x),ex,0,,xxx,0x(1); (2) 或。

7(无穷小的阶的比较

,,,,若和都是在同一自变量变化中的无穷小量，且0，则

,lim,0,,,o(,),,(1)若，则称关于是高阶无穷小量，记作;

,lim,1,,~,,,(2)若，则称和是等价无穷小量，记作;

,lim,c(c,0),,,O(,),,(3)若，则称和是同阶无穷小量，记作;

,A,||,B,,A,0B,0,一般情况下，若存在常数，，使成立，就称和是同阶无穷小量。

k,,O(x)x,0kkx,(4)若以作为时的基本无穷小量，则当(为某一正数)时，称是阶无穷小量。

,~,,,,,，o(,)定理1 。

,,,,,limlim,lim,,,,~,,,,,,,~定理2 设，，且存在，则。

常用的等价无穷小

xx~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln(1，x)~e,1x,0时，，

121,cosx~x2 。

(二)函数的连续性

1(定义

y,f(x)f(x)aa,若函数在点的某个邻域内有定义，则在点处连续

limf(x),f(a),lim,y,0x,a,x,0。

2(连续函数的运算

连续函数的和、差、积、商(分母不为零)均为连续函数; 连续函数的反函数、复合函数仍是连续函数;

一切初等函数在定义区间内都是连续函数。

3(间断点

(1)间断点的概念

不连续的点即为间断点。

(2)间断点的条件

xx00 若点满足下述三个条件之一，则为间断点:

xf(x)0 (a)在没有定义;

limf(x)x,x0 (b)不存在;

limf(x)limf(x),f(x)0xf(x)x,xx,x000 (c)在有定义，也存在，但。 (3)间断点的分类: