普通方程与极坐标方程的互化及其求极坐标方程

②柱坐标系是平面极坐标系的立体化
将平面极坐标系沿z轴上下平移的结果
①球坐标系又称空间极坐标系， ②球坐标系是平面极坐标系的立体化
是线段OP绕极点O旋转的结果
θ
特殊直线的极坐标方程
图
l
θ0
O
x
像
l
(a,0)
Ox
l
(a, )
Ox
l
(a, )
2
O
x
O
x
l
(a, 3 )
2
方 ①直线 0 程 ② 0( R)
一、普通方程与极坐标方程的互化：
x2 y2 2
x cos
y
sin
二、求极坐标方程：
sin
y
cos
x
tan
y x
1.公式法：知型巧用公式法 建系设式求系数
2.方程法： 未知型状方程法 建系设需列方程
①直接法：一般地，与正余弦定理有关 ②间接法：先求出普通方程，再转成为极坐标方程
练习1.普通方程与极坐标方程的互化：
1.公式法： 知型巧用公式法 建系设式求系数
(4)课本P：15 Ex 2
① 直线
3
或 ( R)
3
或 和 4
3
3
3
直线? 射线？
② cos 1
④ 2a sin
练习2.求极坐标方程：
2.方程法： 未知型状方程法 建系设需列方程 ①直接法：一般地，与正余弦定理有关
(5)课本P：14 例2
①互化的三个前提条件：
（1）极点与直角坐标系的原点重合 （2）极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合 （3）两种坐标系的单位长度相同 ②互化方法：
（1）形法： 类似于辅助角公式中，用形法求振幅及辅助角
（2）数法：
x2 y2 2
x cos
y
sin
sin
y
cos
x
tan
y x
①柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系及 空间直角坐标系中的一部分建立起来的.
③ 0 和
0
cos a
cos a
sin a
sin a
特殊圆的极坐标方程
图
(r, )
2
O
x
(r,0)
(r, ) O
像
O
xO
x
x
O
x
(r, 3 )
2
方
r
程
2r cos 2r cos 2r sin 2r sin
§273 普通方程与极坐标方程的互化及其求极坐标方程
常见的坐标系
直角坐标 (x,y) 平面坐标 极坐标 (ρ,θ)
空间坐标
直角坐标 (x,y,z)
极坐标 球坐标 (r,φ,θ) 柱坐标(ρ,θ, z)
极坐标系
1.概念
①极坐标系的建立：
在平面内取一个定点O，叫做极点；引一条射线OX，
叫做极轴；再选定一个长度单位和角度单位及它的
正方向。这样就建立了一个极坐标系。
1.普通方程
极坐标方程：
(1)课本P：15 Ex3
① cos 4
② sin 2
③ 2 cos 3 sin 1 0
④ 2 cos2 2 sin 2 16 2 cos 2 16
2.极坐标方程 普通方程：(2)课本P：15 Ex4
① y2 ② 2x 5y 4 0
③ 2 10 cos
（1）形法：
类似于辅助角公式中，用形法求振幅及辅助角
（2）数法：
x2 y2 2
x cos
y
sin
sin
y
cos
x
tan
y x
①如图，圆锥曲线的极坐标方程 ep 1 e cos
是在以焦点F为极点的极坐标系的基础来的 ②这与极坐标与直角坐标互化的前提是不符的
M(ρ,θ) X
F(O)
练习2.求极坐标方程：
4
(7)课本P：14 例3
解：如图，设M (ρ,θ) 是直线 l 上除P外的任意一点
在△MOP中有 | OM | , | OP |1 , OMP OPM ( 1) 由正弦定理得
| OM | | OP | sin OPM sin OMP
即
sin[
(
1 )]
1 sin( )
O
即 sin( ) 1sin( 1)
i：当O,M,A三点不共线时，在△MOA中由余弦定理得
OA2 OM 2 2OA OM cos( ) AM 2
即 1 2 2 cos( ) 1 4
整理得
2 cos(
4 )
M (ρ,θ)
4
ii：当O,M,A三点共线时，
O
A(1, ) 4
x
易得点M的坐标满足上式
综上，所求方程为： 2 cos( )
注② 极坐标的多值性与单值性：
ⅰ:在常用极坐标系中，同一个点的极坐标有无数个
即 (, 2k ) (k Z)
ⅱ:在广义极坐标系中，同一个点的极坐标有无数个
即 (, 2k )和(－, 2k ) (k Z)
ⅲ :在狭义极坐标系中，除极点(0,θ)外， 其他点的极坐标是唯一的
极坐标与直角坐标的互化
解：如图，易得直线 l 的普通方程为 x=a
故其极坐标方程为：
O
cos a
x
A (a,0) l
作业：
1.《固学案》P：7 2.《固学案》P：7 3.《导学案》P：8
Ex3 Ex5 案例 问题3
预习：
直线的参数方程
解：如图，设M (ρ,θ) 是直线 l 上除A外的任意一点
在Rt△MOA中有 |OM|cos∠MOA=|OA|
即 cos a
经验证：
ρ M (ρ,θ)
Oθ
x
点A的坐标(a,0)满足上式
故所求方程为： cos a
l A (a,0)
(6)课本P：15 Ex 2 ③
解：如图，设 M (ρ,θ) 是圆上的任意一点
x2 y2 10x (x 5)2 y2 25
④ 2 2 cos 4 sin
x2 y2 2x 4y (x 1)2 ( y 2)2 5
4.判(3)断判极断极坐坐标标方程程 4 sin 2 5表表示示的曲曲线线.
44：：22由即化s解s4：直iinn2：2222角由s即由即 i22n题坐cc4： 22oo意2标 2ss55得，，sc： ion2s54422，552x1c124o5s5cc，221yoo2ss4c25o22s1x55c25o5s 5
§273 普通方程与极坐标方程的互化及其求极坐标方程
一、普通方程与极坐标方程的互化：
x2 y2 2
x cos
y
sin
二、求极坐标方程：
sin
y
cos
x
tan
y x
1.公式法：知型巧用公式法 建系设式求系数
2.方程法： 未知型状方程法 建系设需列方程
①直接法：一般地，与正余弦定理有关 ②间接法：先求出普通方程，再转成为极坐标方程
直角坐标化：直2角x坐2 标y：22 2xx2 5y2 2 x 5 直理整角得理坐：2得故标整：x：2理22得xyx2：222yx2y2 22x22y5xx2552 x 5 方 理方平整 得整方理 ：理2整整故：：平理表理x方yy得示2：22整 的yy曲55理22((线xx：为52(：yx4545x2抛))，，物5455表表线()，x示示表抛抛45示)物物，抛线线表物示线抛物线
2
平 整方 理故得整 得e由表理 ：1圆 示2，：锥 的Px曲 曲y2整2线 线25e理表的是y5示得1极：2， (抛： x坐P物标2线x45方25)1，程表5的c示表25o抛s抛示物物1线抛线ee物cpos线
极坐标与直角坐标的互化
①互化的三个前提条件：
（1）极点与直角坐标系的原点重合 （2）极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合 （3）两种坐标系的单位长度相同 ②互化方法：
4.判(3)断判极断极坐坐标标方程程 4 sin 2 5表表示示的曲曲线线.
2
由4另由解s4in：s2i由n22题2意5得5，，4411 c2ocs2os5 5
即：2 2 cos 5 5
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化直整整角理理坐得得标：：由241
s2in 2
xco2 s
2y
2
5， 4
2x
1
5
cos纯属 运5 气
易得点P的坐标满足上式
M
ρ
P
θ1 ρ1 α
x
lA
故所求方程为： sin( ) 1sin( 1)
练习2.求极坐标方程：
1.公式法： 知型巧用公式法 建系设式求系数 2.方程法： 未知型状方程法 建系设需列方程
①直接法：一般地，与正余弦定理有关 ②间接法：先求出普通方程，再转成为极坐标方程
(8)课本P：14 例2
M
②极坐标的规定：
ρ
对于平面上任意任意一点M O
X
用ρ表示线段OM的长度， 用θ表示从OX到OM的角度
有序数对(ρ,θ)就叫做M的极坐标
ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角
极坐标系的分类
常用极坐标系：ρ ≥0 ,θ∈R 狭义极坐标系：ρ ≥0 ,θ∈[0，2π) 广义极坐标系：ρ ,θ∈R
注① 负极径的定义：先正后对称