普通方程与极坐标方程的互化及其求极坐标方程
极坐标方程与普通方程的转化区别在哪
极坐标方程与普通方程的转化区别在哪极坐标方程和普通直角坐标方程是描述平面曲线的两种不同的数学表达形式。
它们在表示方式和求解方法上有着一定的差异。
本文将详细讨论极坐标方程和普通方程之间的转化过程及其区别。
1. 极坐标方程与普通方程的概述1.1 极坐标方程极坐标方程是描述平面上的点与原点的距离和与正极轴的夹角的关系的数学表达式。
在极坐标系中，每个点用一个有序对$(r,\\theta)$表示，其中r为点到原点的距离，$\\theta$为点与正极轴的夹角。
极坐标方程通常写成$r=f(\\theta)$的形式。
1.2 普通方程普通方程则是以直角坐标系表示的平面曲线方程。
在直角坐标系中，每个点用一个有序对(x,y)表示，其中x为点在横坐标轴上的投影，y为点在纵坐标轴上的投影。
普通方程通常写成y=f(x)的形式。
2. 极坐标方程到普通方程的转化2.1 极坐标方程转化为普通方程要将极坐标方程$r=f(\\theta)$转化为普通方程y=f(x)，一般需要用到如下的换元公式：$$ \\begin{aligned} x & = r \\cdot \\cos(\\theta) \\\\ y & = r \\cdot\\sin(\\theta) \\end{aligned} $$通过以上变换，就可以将给定的极坐标方程转化为普通方程的形式。
2.2 普通方程到极坐标方程的转化同样地，要将普通方程y=f(x)转化为极坐标方程$r=f(\\theta)$，可以按以下的变换公式进行：$$ \\begin{aligned} r & = \\sqrt{x^2 + y^2} \\\\ \\theta & =\\arctan\\left(\\frac{y}{x}\\right) \\end{aligned} $$通过以上转换，就能将给定的普通方程转化为极坐标方程的形式。
3. 极坐标方程与普通方程的区别极坐标方程与普通方程的主要区别在于描述平面曲线所采用的坐标系不同。
极坐标与参数方程的互化关系图
极坐标与参数方程的互化关系图极坐标和参数方程是数学中两种常见的坐标系表示方法。
它们在不同的问题中发挥着重要的作用，并且可以相互转化。
本文将介绍极坐标和参数方程的概念、特点以及它们之间的互化关系。
极坐标极坐标是描述平面上点的坐标系统，与直角坐标系不同，极坐标由半径和极角两个量来确定一个点的位置。
一个点的极坐标可以表示为(r, θ)，其中r是从原点到点的距离，θ是与某一固定方向（通常为正 x 轴）的夹角。
在极坐标系中，点的坐标表示方式的优势在于可以方便地表示围绕原点的旋转对称性。
例如，在描述螺旋线、圆的方程、天文学模型等问题中，极坐标系能够提供简洁且直观的解释。
极坐标和直角坐标之间的转换关系如下：•x = r cosθ•y = r sinθ其中，x 和 y 是直角坐标系下的坐标，r 是极坐标系下的半径，θ 是极坐标系下的极角。
参数方程参数方程是一种通过给定参数的方式来表示曲线的坐标系。
一条曲线的参数方程由一对函数 x(t) 和 y(t) 给出，其中 t 为参数，通常在某个区间上取值。
参数方程的一个优势是能够描述非常复杂的曲线，包括直线、圆、椭圆、双曲线等。
通过合适的参数化方式，参数方程可以解决直角坐标系下难以描述的问题。
极坐标到参数方程的转换将极坐标转换为参数方程可以通过以下步骤完成：1.将极坐标中的半径和极角表示为 x(t) 和 y(t)，其中 t 是参数。
2.将极坐标中的半径和极角表示转化为直角坐标系下的 x 和 y，即使用x = r cosθ 和y = r sinθ。
3.将 x 和 y 分别表示为关于 t 的函数，即 x(t) 和 y(t)。
例如，将极坐标(r, θ) = (1, t) 转换为参数方程，可以得到 x(t) = cos(t) 和 y(t) = sin(t)。
这样，通过参数方程 (x(t), y(t)) = (cos(t), sin(t))，我们就可以得到极坐标(1, t) 对应的点。
第1节 极坐标、参数方程、直角坐标方程的互化
【解析】 (1)圆的参数方程为
:
x y
6 5 sin
5 cos
(
为参数).
(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极 坐标方程.
(2)由x cos , y sin可得C的极坐标方程为 : 2 12 cos 11 0.
以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)1中3.,直线l的方程为
sin( + π ) 2 2.
4 (2)求直线l被曲线C截得的弦长.
(2) 直线l的直角坐标方程为x y 4 0, 由x2 y2 4x 0得直线l与曲线C的交点坐标为(2, 2), (4, 0),
x y 4 所以直线l被曲线C截得的弦长为2 2.
【解析】由于cos 2 1 2sin2 ,故y 1 2x2,
即y 2x2 1(1 x 1).
8.将参数方程
x y
t t
1 t
2
1 t2
(t为参数)化为普通方程为
.
【答案】 x2 y 2( y 2)
【解析】 y
t2
x2 y2 2x 6 y,即(x 1)2 ( y 3)2 10. 曲线C2的直角坐标方程为(x 1)2 ( y 3)2 10.
5.圆O的方程为:(x-1)2+(y+1)2=4.
【解析】 参数方程
:
x
y
1 2 1
cos 2 sin
(
为参数);
极坐标方程 : 2 2 cos 2 sin 2 0.
6.椭圆的方程为: x2 y2 1. 94
参数方程化为极坐标方程
参数方程化为极坐标方程
极坐标方程是将普通坐标系统中的点定义为极坐标中的点来表示，它是由半径r和极角θ所确定的点的坐标表示形式。
以点P(x,y)为例，可以能将其参数方程化为极坐标方程，具体如下：
一、定义极坐标
1. 极点：极坐标系中原点；
2. 极轴：从极点出发的直线；
3. 极径r：原点到点P的距离；
4. 极角θ：原点指向点P方向，即点P在极轴上对应的角, 且为顺时针方向。
二、极坐标方程
1. 根据极坐标定义可知: r²=x²+y²
2. 根据正弦定理可知: sinθ= y/r
3. 根据余弦定理可知: cosθ= x/r
4. 将x，y，r，θ都代入到方程中，就可以得到极坐标方程：r=x²+y²和θ=tan-1(y/x)
三、极坐标与坐标系统之间的对应关系
1.极坐标系原点与直角坐标系原点同；
2.极轴与x轴平行，极轴与x轴方向同；
3.极轴上的线段的长度即极径r，角ι即极角α；
4.极径r的正负决定点P在x轴与原点的左右，极角α的正负决定在x轴的上下。
极坐标与直角坐标、普通方程与参数方程 的互相转化
极坐标与直角坐标、参数方程与普通方程的转化一、直角坐标的伸缩设点P(x ，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x ，y)对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩⎩⎨⎧>='>='）（）（0,0,μμλλy y x x 变换，简称伸缩变换．平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示．在伸缩变换Error!下，直线仍然变成直线，抛物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆（重点考察）．【强化理解】1．曲线C 经过伸缩变换后，对应曲线的方程为：x 2+y 2=1，则曲线C 的方程为（ ）A ．B ．C ．D ．4x 2+9y 2=1【解答】解：曲线C 经过伸缩变换①后，对应曲线的方程为：x ′2+y ′2=1②， 把①代入②得到：故选：A2、在同一直角坐标系中，求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线4x 2＋9y 2＝36变成曲线x ′2＋y ′2＝1．【解答】解：设变换为φ：可将其代入x ′2＋y ′2＝1，得λ2x 2＋μ2y 2＝1． {x ′＝λx （λ>0），y ′＝μy （μ>0），)将4x 2＋9y 2＝36变形为＋＝1， x 29y 24比较系数得λ＝，μ＝． 1312所以将椭圆4x 2＋9y 2＝36上的所有点的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的，{x ′＝13x ，y ′＝12y ．)1312可得到圆x ′2＋y ′2＝1． 亦可利用配凑法将4x 2＋9y 2＝36化为＋＝1，与x ′2＋y ′2＝1对应项比较即可得(x 3)2 (y 2)2{x ′＝x 3，y ′＝y 2．)二、极坐标1.公式：（1）极坐标与直角坐标的互化公式如下表： 点M 直角坐标(),x y极坐标(),ρθ 互化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩ ()222tan 0x y y x x ρθ⎧=+⎪⎨=≠⎪⎩ 已知极坐标化成直角坐标已知直角坐标化成极坐标 2.极坐标与直角坐标的转化（1）点：有关点的极坐标与直角转化的思路A ：直角坐标(),x y 化为极坐标(),ρθ的步骤①运用()222tan 0x y y x x ρθ⎧=+⎪⎨=≠⎪⎩②在[)0,2π内由()tan 0y x xθ=≠求θ时，由直角坐标的符号特征判断点所在的象限．B::极坐标(),ρθ化为直角坐标(),x y 的步骤，运用cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩（2）直线：直线的极坐标与直角坐标转化的思路A ：直角坐标转化成极坐标思路：直接利用公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，将式子里面的x 和y 用转化，最后整理化简即可。
极坐标的互化及简单曲线的极坐标方程3
解：如图，设M ( , )为直线l上除点P外的任意一点，
连接OM，则 OM ，xOP ,
l
M(, )
由点P的极坐标为(1,1 )知
OP 1，xOP 1
P (1, 1)
设直线l与极轴交于点A， O
a
Ax
则xAM a，
在MOP中，OMP a ,OPM (a 1 )
例3.设点P的极坐标为(1，1)，直线 l 过点P且与极轴所 成的角为a，求直线 l 的极坐标方程.
求曲线的方程就是求曲线上任意点的坐标( x, y)所满足 的等式
曲线的极坐标方程的是曲线上任意点的极坐标( , )所
满足的等式
一、复习回顾
2.求曲线方程的方法： （1）建系：建立适当的坐标系， （2）设点：用有序实数对(x，y) 表示曲线上任意一点M的坐标； （3）列式：利用点M需满足的几 何条件，列出方程 f (x，y)=0； （4）下结论：化方程f (x，y)=0为 最简形式并下结论.
O
x
x
四、例题分析
【例1】将点M的极坐标(5，2 )化成直角坐标. 解：x 5 cos 2 5 ， 3
32
y 5 sin 2 5 3 ，
32 点M的直角坐标( 5 ，5 3 )。
22
四、例题分析
【 例2】 将 点 M的 直 角 坐 标( 3， 1)化 成 极 坐 标.
解： （ 3）2 （ 1）2 3 1 2，
3
4 )、(2,
)，
A
4 4O
x
经检验可知，这两点的坐标都满足上式
∴所求圆的极坐标方程为 2cos( )
4
探究：
如图，半径为a的圆的圆心坐标为C(a, 0 )(a 0)
用一个等式来表示圆上任意一点的极坐标(, )满足
极坐标与直角坐标普通方程与参数方程的互相转化
极坐标与直角坐标普通方程与参数方程的互相转化
极坐标和直角坐标是两种描述点在平面上位置的坐标系。
极坐标使用
极径和极角来表示点的位置，而直角坐标使用水平坐标轴上的x坐标和垂
直坐标轴上的y坐标来表示点的位置。
普通方程和参数方程是两种表示曲
线的方程形式。
普通方程通过将x和y的关系表示为一个显式方程，而参
数方程则使用参数来表示x和y的关系。
转化极坐标为直角坐标：
要将极坐标(r,θ)转化为直角坐标(x,y)，可以使用以下公式：
x = r * cos(θ)
y = r * sin(θ)
其中，θ表示极角，取值范围为0到2π。
转化直角坐标为极坐标：
要将直角坐标(x,y)转化为极坐标(r,θ)，可以使用以下公式：
r=√(x^2+y^2)
θ = atan(y / x)
其中，atan表示反正切函数，需要注意对象坐标所在象限的选择。
转化普通方程为参数方程：
要将普通方程转化为参数方程，需要将x和y用参数t来表示。
首先，将普通方程解为y=f(x)，然后选择一个适当的参数t，使得y=f(x)成为
参数t的函数。
替换x和y后，得到参数方程x=g(t)，y=f(g(t))，其中
g(t)为对应的x坐标。
转化参数方程为普通方程：
要将参数方程转化为普通方程，需要解出参数t，然后将t带入到x
和y的表达式中，得到关于x和y的方程。
以上是极坐标与直角坐标、普通方程与参数方程互相转化的基本方法。
在实际应用中，需要根据具体情况选择适当的方法进行转化。
转换方式的
选择取决于问题本身、坐标系的选择以及计算的需求。
普通方程转化为极坐标方程
普通方程转化为极坐标方程在数学中，普通方程和极坐标方程是描述平面上的曲线的两种不同方式。
普通方程使用直角坐标系，而极坐标方程使用极坐标系。
有时候，我们需要将给定的普通方程转化为极坐标方程，以便更好地理解和分析曲线的特性。
在本文中，我们将介绍将普通方程转化为极坐标方程的方法。
普通方程的一般形式在讨论普通方程转化为极坐标方程之前，让我们先回顾一下普通方程的一般形式。
普通方程可以表示为:Ax + By = C其中 A、B、C 是常数，A 和 B 不同时为零。
极坐标系的定义极坐标系使用极径和极角来表示平面上的点。
极径表示点到原点的距离，极角表示点与正极轴的夹角。
在极坐标系中，点的坐标表示为(r, θ)，其中 r 是极径，θ 是极角。
将普通方程转化为极坐标方程的方法要将普通方程转化为极坐标方程，我们可以按照以下步骤进行操作：步骤1：确定极径的表达式首先，我们需要确定极径（r）的表达式。
为此，我们可以使用勾股定理来计算距离。
假设点 P(x, y) 在直角坐标系中，那么点 P 到原点的距离可以表示为：r = √(x^2 + y^2)步骤2：确定极角的表达式接下来，我们需要确定极角（θ）的表达式。
我们可以使用反三角函数来计算极角。
根据点 P 的坐标 (x, y)，我们可以计算极角θ，如下所示：θ = arctan(y/x)需要注意的是，反三角函数的结果可能只能给出一个特定的值，因此我们需要根据直角坐标系中点的象限来确定极角的范围。
步骤3：编写极坐标方程最后，我们可以根据步骤1和步骤2中的结果编写极坐标方程。
将极径的表达式和极角的表达式代入极坐标方程中，我们可以得到转化后的极坐标方程。
示例让我们通过一个示例来说明将普通方程转化为极坐标方程的方法。
假设我们有一个普通方程为：2x + 3y = 6按照上述步骤，我们可以进行如下计算：步骤1：确定极径的表达式根据勾股定理，我们有：r = √(x^2 + y^2)步骤2：确定极角的表达式根据点 P 的坐标 (x, y)，我们可以计算极角θ，如下所示：θ = arctan(y/x)步骤3：编写极坐标方程代入步骤1和步骤2中的结果，我们可以得到极坐标方程为：r = √(x^2 + y^2)θ = arctan(y/x)结论通过上述步骤，我们可以将给定的普通方程转化为极坐标方程。
极坐标及参数方程
坐标系与参数方程1．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标 系中取一样的长度单位．如图，设M 是平面内的任意一点，它的直 角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，那么⎩⎨⎧ x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，⎩⎨⎧ρ2＝x 2＋y 2tan θ＝yxx ≠0.2．直线的极坐标方程假设直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，那么它的方程为ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程 (1)直线过极点：θ＝α；(2)直线过点M (a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ； (3)直线过点M (b ，π2)且平行于极轴：ρsin θ＝b .3．圆的极坐标方程假设圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆的方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ； (2)圆心位于M (r,0)，半径为r ：ρ＝2r cos θ；(3)圆心位于M (r ，π2)，半径为r ：ρ＝2r sin θ.4．直线的参数方程过定点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．5．圆的参数方程圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数，0≤θ≤2π)．6．圆锥曲线的参数方程(1)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)．(2)抛物线y 2＝2px (p >0)的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2pt 2y ＝2pt .真题感悟1．(2021·)曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，那么曲线C 的参数方程为________． 2．(2021·)设曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t y ＝t2(t 为参数)，假设以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，那么曲线C 的极坐标方程为________．3．(2021·)在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos φy ＝b sin φ(φ为参数，a >b >0)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取一样的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 与圆O 的极坐标方程分别为ρsin (θ＋π4)＝22m (m 为非零常数)与ρ＝b .假设直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，那么椭圆C 的离心率为________．4．(2021·)在直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝3＋cos θ，y ＝4＋sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，那么AB 的最小值为________．5．(2021·)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t(t 为参数)与曲线C 2：⎩⎨⎧x ＝a sin θ，y ＝3cos θ(θ为参数，a >0)有一个公共点在x 轴上，那么a ＝________.6.[2021·XX 卷] (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，曲线C 1与C 2的方程分别为2ρcos 2θ＝sin θ与ρcos θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，那么曲线C 1与C 2交点的直角坐标为________．7．[2021·XX 卷] 在平面直角坐标系中，曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋22t ，y ＝1＋22t (t 为参数)的普通方程为________．8． [2021·XX 卷]C.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6到直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1的距离是________．题型与方法题型一 极坐标与直角坐标、参数方程与普通方程的互化例1 直线l 的参数方程：⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝1＋2t(t 为参数)和圆C 的极坐标方程：ρ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4 (θ为参数)．(1)将直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)判断直线l 和圆C 的位置关系．变式训练1 直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝2t ，y ＝4t ＋a(t 为参数)，圆C 的极坐标方程为ρ＝4 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4. (1)将圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)假设圆上有且仅有三个点到直线l 的距离为2，XX 数a 的值．题型二 曲线的极坐标方程例2 在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为曲线C 与x 轴，y 轴的交点．(1)写出曲线C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设M ，N 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．变式训练2 (2021·)在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4.(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)； (2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程．题型三 曲线的参数方程及应用例3 (2021·)在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．直线l 上两点M ，N 的极坐标分别为(2,0)，⎝⎛⎭⎪⎫233，π2，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝－3＋2sin θ(θ为参数)． (1)设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； (2)判断直线l 与圆C 的位置关系．变式训练3直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22ty ＝22t ＋42(t 是参数)，圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos(θ＋π4)．(1)求圆心C 的直角坐标；(2)由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值．典例 (10分)在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫42，π4，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋2cos α，y ＝2sin α(α为参数)．(1)求直线OM 的直角坐标方程；(2)求点M 到曲线C 上的点的距离的最小值． 规X 解答1．圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin θ＝1，那么直线l 与圆C 的交点的直角坐标为________________．2．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取一样的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，曲线C 2的方程为ρ(cos θ－sin θ)＋1＝0，那么C 1与C 2的交点个数为________．3．点P (x ，y )在曲线⎩⎨⎧x ＝－2＋cos θy ＝sin θ(θ为参数，θ∈R )上，那么yx 的取值X 围是________．4．假设直线l 1：⎩⎨⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋kt(t 为参数)与直线l 2：⎩⎨⎧x ＝s ，y ＝1－2s(s 为参数)垂直，那么k ＝______.6．(2021·)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t(t 为参数)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，那么曲线C 1与C 2的交点坐标为________．专题限时规X 训练一、填空题1．曲线C ：⎩⎨⎧x ＝－2＋2cos αy ＝2sin α(α为参数)，假设以点O (0,0)为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，那么该曲线的极坐标方程是________．2．两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ<π)和⎩⎨⎧x ＝54t 2，y ＝t(t ∈R )，它们的交点坐标为________．3．曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝a cos φy ＝3sin φ(φ为参数，a >0)，直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝3＋t y ＝－1－t(t 为参数)，曲线C 与直线l 有一个公共点在x 轴上，那么曲线C 的普通方程为________．4．(2021·)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．假设极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎩⎨⎧x ＝t 2，y ＝t3(t 为参数)相交于A ，B 两点，那么AB＝________.二、解答题5．设直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝1＋3t(t 为参数)，直线l 2的方程为y ＝3x ＋4，求l 1与l 2间的距离．6．在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆⎩⎨⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)的右焦点，且与直线⎩⎨⎧x ＝4－2t ，y ＝3－t (t 为参数)平行的直线的普通方程．7．(2021·)在极坐标系中，圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．8．直线的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22，圆M 的参数方程⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝－2＋2sin θ(其中θ为参数)，极点在直角坐标原点，极轴与x 轴正半轴重合． (1)将直线的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求圆M 上的点到直线的距离的最小值．9．在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C ：ρsin 2θ＝2a cosθ(a >0)，过点P (－2，－4)的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t ，y ＝－4＋22t ，直线l 与曲线C 分别交于M ，N 两点．(1)写出曲线C 和直线l 的普通方程；(2)假设PM ，MN ，PN 成等比数列，求a 的值．10．(2021·)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点A 的极坐标为(2，π4)，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ－π4)＝a ，且点A 在直线l上．(1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；(2)圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系．2021、2021年全国高考理科数学试题分类汇编：坐标系与参数方程一、选择题1 ．〔2021年普通高等学校招生统一考试XX 数学〔理〕试题〔纯WORD 版〕〕在极坐标系中,圆=2cos p θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为〔 〕A ．=0()cos=2R θρρ∈和B ．=()cos=22R πθρρ∈和C ．=()cos=12R πθρρ∈和 D ．=0()cos=1R θρρ∈和二、填空题2 ．〔2021年普通高等学校招生统一考试XX 数学〔理〕试题〔含答案〕〕圆的极坐标方程为4cos ρθ=, 圆心为C , 点P 的极坐标为4,3π⎛⎫⎪⎝⎭, 那么|CP | = ______.3 ．〔2021年高考XX 卷〔理〕〕在极坐标系中,曲线cos 1ρθ=+与cos 1ρθ=的公共点到极点的距离为__________4 ．〔2021年高考卷〔理〕〕在极坐标系中,点(2,6π)到直线ρsin θ=2的距离等于_________.5 ．〔2021年普通高等学校招生统一考试XX 数学〔理〕试题〔含答案〕〕在直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.假设极坐标方程为cos 4ρθ=的直线与曲线23x ty t ⎧=⎪⎨=⎪⎩(为参数)相交于,A B 两点,那么______AB = 6 ．〔2021年普通高等学校招生统一考试XX 省数学〔理〕卷〔纯WORD 版〕〕(坐标系与参数方程选讲选做题)曲线C的参数方程为x ty t ⎧=⎪⎨=⎪⎩(为参数),C 在点()1,1处的切线为,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,那么的极坐标方程为_____________.7 ．〔2021年高考XX 卷〔理〕〕C. (坐标系与参数方程选做题) 如图, 以过原点的直线的倾斜角θ为参数, 那么圆220y x x +-=的参数方程为______ .x8 ．〔2021年高考XX 卷〔理〕〕(坐标系与参数方程选做题)设曲线C 的参数方程为2x t y t=⎧⎨=⎩(为参数),假设以直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,那么曲线c的极坐标方程为__________9 ．〔2021年高考XX 卷〔理〕〕在平面直角坐标系xoy 中,假设,3cos ,:(t )C :2sin x t x l y t a y ϕϕ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩为参数过椭圆()ϕ为参数的右顶点,那么常数a 的值为________.10．〔2021年高考XX 卷〔理〕〕在直角坐标系xOy 中,椭圆C 的参数方程为cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩()0a b ϕ>>为参数，.在极坐标系(与直角坐标系xOy 取一样的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴)中,直线与圆O 的极坐标方程分别为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()m 为非零常数与b ρ=.假设直线经过椭圆C 的焦点,且与圆O 相切,那么椭圆C 的离心率为___________.三、解答题11．〔2021年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学〔理〕〔纯WORD 版含答案〕〕选修4—4;坐标系与参数方程动点,P Q 都在曲线2cos :2sin x C y ββ=⎧⎨=⎩(β为参数上,对应参数分别为βα=与)20(2πααβ<<=,M 为PQ 的中点.(Ⅰ)求M 的轨迹的参数方程;(Ⅱ)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数,并判断M 的轨迹是否过坐标原点.12．〔2021年普通高等学校招生统一考试XX 数学〔理〕试题〔WORD 版〕〕选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆1C ,直线2C 的极坐标方程分别为4sin ,cos 4πρθρθ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭. (I)求1C 与2C 交点的极坐标;(II)设P 为1C 的圆心,Q 为1C 与2C 交点连线的中点.直线PQ 的参数方程为 ()3312x t a t R b y t ⎧=+⎪∈⎨=+⎪⎩为参数,求,a b 的值.13．〔2021年普通高等学校招生统一考试XX 数学〔理〕试题〔纯WORD 版〕〕坐标系与参数方程:在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立坐标系.点A 的极坐标为)4π,直线的极坐标方程为cos()4a πρθ-=,且点A 在直线上. (1)求a 的值及直线的直角坐标方程;(2)圆c 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩,(α为参数),试判断直线与圆的位置关系.14．〔2021年普通高等学校招生全国统一招生考试XX 卷〔数学〕〔已校对纯WORD 版含附加题〕〕C.[选修4-4:坐标系与参数方程]本小题总分值10分.在平面直角坐标系xoy 中,直线的参数方程为⎩⎨⎧=+=t y t x 21 (为参数),曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθtan 2tan 22y x (θ为参数),试求直线与曲线C 的普通方程,并求出它们的公共点的坐标.〔2021年高考新课标1〔理〕〕选修4—4:坐标系与参数方程 曲线C 1的参数方程为45cos 55sin x t y t=+⎧⎨=+⎩(为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为2sin ρθ=.(Ⅰ)把C 1的参数方程化为极坐标方程;(Ⅱ)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).[2021·XX 卷] 选修44：坐标系与参数方程将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C .(1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．[2021·新课标全国卷Ⅱ] 选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2. (1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．23．[2021·全国新课标卷Ⅰ] 选修4－4：坐标系与参数方程曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)． (1)写出曲线C 的参数方程、直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．。
极坐标和参数方程
4、直线1C :1cos .sin ,x t y t αα=+⎧⎨=⎩ （t 为参数），圆2C :cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩ (θ为参数)，（Ⅰ)当α=3π时，求1C 与2C 的交点坐标； （Ⅱ）过坐标原点O 作1C 的垂线，垂足为A,P 为OA 的中点，当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线;5、已知P 为半圆C ：cos ,sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，πθ≤≤0）上的点，点A 的坐标为（1,0），O 为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧»AP的长度均为3π. （Ⅰ）以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M 的极坐标； （Ⅱ）求直线AM 的参数方程.6、在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为23,2252x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）.在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为25sin ρθ=.（Ⅰ）求圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点P 的坐标为(3,5)，求|PA|+|PB|.7、在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为2cos 22sin x ay a =⎧⎨=+⎩(α为参数)M 是C 1上的动点，P 点满足2OP OM =u u u r u u u u r，P 点的轨迹为曲线C 2.(1)求C 2的方程；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |.8、在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos y x (φ为参数)，曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x (a ＞b ＞0，φ为参数)．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ＝α与C 1，C 2各有一个交点．当α＝0时，这两个交点间的距离为2，当α＝2π时，这两个交点重合．(1)分别说明C 1，C 2是什么曲线，并求出a 与b 的值； (2)设当α＝4π时，l 与C 1、C 2的交点分别为A 1，B 1，当α＝4π-时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 2，B 2，求四边形A 1A 2B 2B 1的面积．9、在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==ααsin cos 3y x (α为参数)．①已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为(4，2π)，判断点P 与直线l 的位置关系； ②设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．10、在平面直角坐标系中，动点P 的坐标（x,y ）满足方程组：（1） 若k 为参数，为常数（），求P 点轨迹的焦点坐标。
参数方程与极坐标方程的互化
参数方程与极坐标方程的互化引言：数学中常常有需要描述曲线的情况，参数方程和极坐标方程是两种常见的用于描述曲线的方法。
参数方程是将曲线上的点的坐标表示为一个参数的函数形式，而极坐标方程则将曲线上的点的坐标表示为极径和极角的函数形式。
这两种方法在不同的情况下有不同的应用和优势。
本文将介绍参数方程和极坐标方程的基本概念，并探讨它们之间的互化关系。
一、参数方程参数方程是一种用参数的函数形式来表示曲线的方法。
在参数方程中，曲线上的每个点的坐标都是参数的函数，通常用t表示。
比如，一条曲线的参数方程可以表示为x = f(t)，y = g(t)。
参数t的取值范围可以是一个区间或者整个实数集。
参数方程的优势在于可以方便地描述复杂的曲线。
通过调整参数t的取值范围和步长，可以精确地控制曲线的形状和密度。
参数方程还可以描述出曲线上的运动轨迹，这在物理学和工程学中有广泛的应用。
二、极坐标方程极坐标方程是一种用极径和极角的函数形式来表示曲线的方法。
在极坐标方程中，曲线上的每个点的坐标都可以表示为(r, θ)，其中r 表示极径，θ表示极角。
极径r可以是一个实数，而极角θ通常取值范围是从0到2π。
极坐标方程常常被用来描述圆形、椭圆形和螺旋等特殊曲线。
相比于直角坐标系下的方程，极坐标方程更加简洁和直观。
极坐标方程的优势在于可以方便地描述对称性和旋转对称性，因为极径和极角的改变对应着曲线上点的位置的改变。
三、从参数方程到极坐标方程的互化在一些情况下，参数方程和极坐标方程可以进行互化。
通过改变变量和坐标系的转换，我们可以将参数方程转换为极坐标方程，也可以将极坐标方程转换为参数方程。
1. 将参数方程转换为极坐标方程若已知一条曲线的参数方程为x = f(t)，y = g(t)，我们可以通过以下步骤将其转换为极坐标方程：(1) 将x和y用极坐标形式表示，即将x和y分别表示为r*cos(θ)和r*sin(θ)的形式；(2) 联立方程，消去t，得到r和θ之间的关系。
极坐标方程直角坐标方程普通方程
极坐标方程、直角坐标方程和普通方程的转换在数学中，极坐标方程、直角坐标方程和普通方程是描述平面上的几何图形的不同形式，它们之间可以相互转换。
这种转换非常有用，因为不同形式的方程对于解决数学问题和绘制图形都有各自的优势。
在本文中，我们将讨论极坐标方程、直角坐标方程和普通方程之间的转换关系。
极坐标方程极坐标方程描述了平面上的点相对于原点的距离和角度。
极坐标方程的一般形式为(r, θ)，其中r是点到原点的距离，θ是点与正半轴的夹角。
在极坐标系中，r取非负实数，θ取[0, 2π)范围内的弧度值。
极坐标方程可以用来描述各种图形，例如圆形、椭圆、双曲线等。
对于圆形来说，它的极坐标方程为r = a，其中a是圆的半径。
椭圆的极坐标方程为(r, θ) = (a cos θ, b sin θ)，其中a和b是椭圆的半长轴和半短轴。
直角坐标方程直角坐标方程是我们在平面几何中最常见的方程形式。
直角坐标方程描述了平面上的点与x轴和y轴的距离关系。
直角坐标方程的一般形式为(x, y)，其中x表示点到y轴的距离，y表示点到x轴的距离。
直角坐标方程可以用来描述直线、曲线、函数图像等。
例如，直线的直角坐标方程通常写作y = mx + b，其中m是斜率，b是y轴截距。
曲线的直角坐标方程的形式则根据具体的曲线类型而有所不同。
极坐标方程与直角坐标方程的转换在讨论极坐标方程与直角坐标方程之间的转换之前，我们首先需要了解两者之间的关系。
在直角坐标系下，点(x, y)可以通过以下公式计算对应的极坐标(r, θ)：•r = √(x^2 + y^2)•θ = arctan(y / x)同样地，在极坐标系下，点(r, θ)可以通过以下公式计算对应的直角坐标(x, y)：•x = r cos θ•y = r sin θ这些公式可以用于将极坐标方程与直角坐标方程之间进行转换。
普通方程普通方程是直角坐标方程的另一种形式，通常用于描述曲线的方程。
普通方程的一般形式为F(x, y) = 0，其中F(x, y)是关于x和y的多项式函数。
参数方程 普通方程 直角坐标方程 极坐标方程的互化
参数方程、普通方程、直角坐标方程和极坐标方程的互化参数方程、普通方程、直角坐标方程和极坐标方程是数学中常用的表示函数关系的方式，它们在数学和物理等领域中都有广泛的应用。
本文将介绍这四种方程形式，并探讨它们之间的关系和互相转换的方法。
参数方程在数学中，参数方程是描述曲线的一种方式，其中曲线上的点由一个或多个参数的函数表示。
常见的参数方程形式为：x = f(t)y = g(t)其中t是参数，x和y是关于t的函数。
通过给定不同的参数值，我们可以得到曲线上的各个点的坐标。
普通方程普通方程是指用x和y来表示一个函数关系的方程。
一般形式为：F(x, y) = 0其中F是一个关于x和y的函数。
普通方程描述了直角坐标系下的曲线。
直角坐标方程直角坐标方程是指使用x和y来表示一个函数关系的方程。
一般形式为：y = f(x)其中x和y是直角坐标系下的坐标。
直角坐标方程常用来描述直线、抛物线、椭圆等曲线。
极坐标方程极坐标方程是利用极坐标系下的角度和半径来表示一个函数关系的方程。
一般形式为：r = f(θ)其中r是距离原点的距离，θ是与正半轴的夹角。
极坐标方程常用来描述圆形、螺线等曲线。
互相转换方法在某些情况下，我们需要将参数方程转换为普通方程、直角坐标方程或极坐标方程，或者反之。
下面分别介绍它们之间的转换方法：从参数方程到直角坐标方程要将参数方程转换为直角坐标方程，首先求解参数方程得到x和y的表达式，然后将它们代入直角坐标方程中即可得到结果。
从直角坐标方程到参数方程要将直角坐标方程转换为参数方程，可以先假设一个参数，然后根据直角坐标方程解出参数方程的表达式。
从参数方程到极坐标方程要将参数方程转换为极坐标方程，可以先求解参数方程得到x和y的表达式，然后利用直角坐标到极坐标的转换公式将其转换为极坐标方程。
从极坐标方程到参数方程要将极坐标方程转换为参数方程，可以利用极坐标到直角坐标的转换公式将极坐标方程转换为直角坐标方程，然后再将直角坐标方程转换为参数方程。
专题一：参数方程与普通方程、极坐标系与直角坐标系的互化
专题一：参数方程与普通方程、极坐标系与直角坐标系的互化解法突破：（1）参数方程消参的方法主要有：①代入消参法②加减消参法③三角恒等式消参cos 2θ+sin 2θ=1（2）极坐标系与直角坐标系互化公式互化公式：x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0)，要注意ρ，θ的取值范围及其影响. 考向一：参数方程消参【例1】将下列方程化为普通方程（1）（2）4cos ,3sin ,x t y t =+⎧⎨=-+⎩ （t 为参数）（3）（t 为参数）（4）（t 为参数）（5）（k 为参数）．（6）是参数）． 考向二：求方程或坐标【例1】将圆x 2+y 2=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C . （1）写出C 的参数方程；（2）设直线l:2x +y −2=02与C 的交点为P 1,P 2,以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.)(22222R t t t y t x ∈⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=为参数，θππθθ],2,6[,0(21sin 2,1∈>⎪⎩⎪⎨⎧+==t t y x【例2】（2019全国卷Ⅰ）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =1-t 21+t 2,y =4t 1+t 2(t 为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρcosθ+√3ρsinθ+11=0．(1)求C 和l 的直角坐标方程； (2)求C 上的点到l 距离的最小值．【对点训练1】（2017全国卷Ⅲ）在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为{x =2+t,y =kt,（t为参数），直线l 2的参数方程为{x =−2+m,y =m k , （m 为参数）.设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ． （1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3:ρ(cosθ+sinθ)−√2=0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径.【对点训练2】（2019全国卷Ⅱ）在极坐标系中，O 为极点，点M(ρ0,θ0)(ρ0>0)在曲线C ：ρ=4sinθ上，直线l 过点A(4,0)且与OM 垂直，垂足为P ． (1)当θ0=π3时，求ρ0及l 的极坐标方程；(2)当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程．【对点训练3】（2019全国卷Ⅲ）如图，在极坐标系Ox 中，A(2,0)，B(√2,π4)，C(√2,3π4)，D(2,π)，弧AB ⏜，BC ⏜，CD ⏜所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,π2)，(1,π)， 曲线M 1是弧AB⏜，曲线M 2是弧BC ⏜，曲线M 3是弧CD ⏜． (1)分别写出M 1，M 2，M 3的极坐标方程；(2)曲线M 由M 1，M 2，M 3构成，若点P 在M 上，且|OP|=√3，求P 的极坐标．考向三 求参数的值或范围【例1】(2017全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =3cosθ,y =sinθ,（θ为参数），直线l 的参数方程为{x =a +4t,y =1−t,（t 为参数）．（1）若a =−1，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到l 的距离的最大值为√17，求a ．【例2】（2019佛山一模）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =acosθy =sinθ （θ为参数，a >0），直线l 的参数方程为{x =−1+t y =3−t（t 为参数）.（1）若a =2，求曲线C 与l 的普通方程；（2）若C 上存在点P ，使得P 到l 的距离为√24，求a 的取值范围．【对点训练1】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是{x =1+2cosαy =2sinα(α为参数)，直线l 的参数方程是{x =tcosβy =tsinβ(t 为参数，0≤β<π).l 与C 相交于点A 、B.以直角坐标系xOy的原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C 的普通方程和极坐标方程；（2）若|AB |=√13，求β．【对点训练2】在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的参数方程为（t 为参数），曲线M 的极坐标方程为ρ（ρ﹣4sin θ）＝12．（1）求曲线M 的直角坐标方程，并判断直线l 与曲线M 的位置关系； （2）若直线l 与曲线M 相交于B ，C 两点，且|BC |＞6，求a 的取值范围．。
普通方程化为极坐标方程
普通方程化为极坐标方程
一、极坐标形式
极坐标对于二维坐标系统来说很重要，它是一种把点（x,y）以环形形式（ρ、θ）表示的坐标系。
它由极轴、极点和圆心组成，其中极轴是以极点为起点从圆心引出的轴，圆心一般以原点来表示，而极点则可以取任意位置，但一般情况下以横轴正半轴和纵轴正半轴的交点来作为零点，极轴和这两个半轴组成的角就是极角。
极坐标系中，用ρ表示点与极点的距离，用θ表示点到极轴的角度，这两量可以用如下的方程来表示：
x=ρcosθ；
y=ρsinθ.
二、普通方程转为极坐标方程
当一元二次方程转换到极坐标方程时，首先将其以原点为中心，将以点P(x, y)直线交x轴在θ度形成的角，用ρ表示点P的极径，用θ表示点P的极角，把原来的一元二次方程按照余弦定理转换成ρ的表达式，即可求得极坐标的参数ρ的表达式：
ρ^2 = x^2 + y^2
上述公式又称为极坐标方程，从而可用以计算任意点在极坐标系内表示的参数。
三、极坐标方程的应用
极坐标形式可以很好地描述空间里各种曲线，它是圆、半圆、椭圆、抛物线、射线等形式的理想表达方式，可用于解决各种复杂几何问题，它对计算机科学、生物学、医学、航空航天等多种领域有着极其重要的应用。
极坐标的运用能使几何问题的解决变得清晰和简便，极坐标的表示更紧凑，可节约更多的计算量。
以上就是普通方程化为极坐标方程的具体过程及其应用，可以看出极坐标方程具有广泛的应用。
极坐标方程与普通方程的互化
极坐标方程与普通方程的互化一提到数学，很多人第一反应就是那一堆复杂的公式，什么二次方程、对数函数，还有那些眼花缭乱的符号，简直让人脑袋都大了。
可是，今天我们不聊那些复杂的东西，我们聊的是一种特别有趣的转换——极坐标方程和普通方程之间的“变身大法”。
你没听错，极坐标和普通坐标其实就像是两个好朋友，互相转换时就像是换了个新衣服，看着都不一样了，但核心其实没变。
一、极坐标是什么鬼？大家都知道平常我们用的是“笛卡尔坐标系”，也就是那个传统的“XY坐标系”，对吧？两个轴，X轴和Y轴，点的坐标就是(x,y)，这在我们日常生活中简直太常见了。
可是，别忘了，数学的世界可远比我们眼见的要丰富多彩。
在极坐标里，我们讲的是两个新的“数字”：一个是距离原点的距离r，一个是角度θ。
你可以想象成，我们从原点出发，先走一段距离r，再顺着某个角度θ走过去，直到到达某个点。
听起来是不是有点像是玩“雷达”游戏？而这个r和θ就成了我们在极坐标系里标记点的方式。
简单来说，极坐标就是通过“半径”和“角度”来定义位置，这就像是你用指南针找到方向一样。
是不是有点新鲜又酷？二、普通方程到极坐标方程的转换你可能会问，既然平常我们都是用(x,y)来表示点，那怎么把它换成r和θ呢？别急，我们一步步来。
假如你有一个普通的方程，比如说直线方程(y=mx+b)，你想把它转到极坐标系下去怎么做呢？其实也不复杂。
我们得用一些简单的关系来做转换。
普通坐标系的点(x,y)可以通过极坐标系的r和θ来表示，具体的转换公式是：(x=rcos(theta))(y=rsin(theta))这样，你就可以把普通方程里的x和y，换成r和θ来表示了！想象一下，你把直线方程代入这些公式后，可能会得到一个看起来很复杂的表达式，但其实它描述的就是一个在极坐标系下的几何图形。
是不是有点像魔法？普通的直线在极坐标下可能变成了一个更神秘的曲线。
别急，等会儿我们还会讲得更清楚。
三、极坐标方程到普通方程的转换说完了从普通方程到极坐标方程的转化，接下来我们再来说说反向的操作：怎么从极坐标方程转到普通方程呢？这个其实也有规律可循，不是没有门道。
参数方程转化成极坐标方程
参数方程转化成极坐标方程在数学中，参数方程和极坐标方程是两种常见的描述曲线的方式。
参数方程使用参数表示曲线上的点的坐标，而极坐标方程使用角度和半径表示点的位置。
本文将介绍如何将参数方程转化为极坐标方程的方法。
参数方程参数方程是一种通过引入参数来描述曲线的方程。
具体而言，曲线上的每个点都可以表示为参数和一个或多个关于参数的表达式。
典型的参数方程形式如下：x = f(t)y = g(t)其中，x和y表示曲线上的点的坐标，f(t)和g(t)是关于参数t的函数。
极坐标方程极坐标方程使用极坐标表示点的位置。
相比于直角坐标系，极坐标系使用极径（半径）和极角来描述点的坐标。
典型的极坐标方程形式如下：r = R(θ)其中，r表示点到原点的距离（极径），θ表示点的角度，R(θ)是关于θ的函数。
参数方程转化为极坐标方程的步骤要将参数方程转化为极坐标方程，我们可以按照以下步骤进行操作：第一步：由参数方程得出x和y的关系根据给定的参数方程，我们可以通过解方程组得出x和y之间的关系。
具体而言，我们需要解决以下方程：x = f(t)y = g(t)第二步：使用三角关系得出极径与角度的关系由于极坐标使用极径和角度来描述点的坐标，我们需要将x和y转化为极坐标系下的r和θ。
通过三角关系，我们可以得到以下关系：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)第三步：消除参数t，得出极坐标方程通过将第一步和第二步得到的关系合并，我们可以消除参数t，从而得到极坐标方程。
具体而言，我们将x和y的关系代入三角关系中，得到以下方程：r * cos(θ) = f(t)r * sin(θ) = g(t)从中解出r和θ的关系，即可得到最终的极坐标方程。
示例为了更好地理解参数方程转化为极坐标方程的过程，我们来考虑一个具体的例子。
假设有以下参数方程：x = cos(t)y = sin(t)我们可以首先解方程组，得到x和y之间的关系：x = cos(t)y = sin(t)对于这个例子，我们可以直接观察到x与cos(t)对应，y与sin(t)对应。
普通方程与极坐标方程的互化及其求极坐标方程
(7)课本P：14 例3
解：如图，设M (ρ,θ) 是直线 l 上除P外的任意一点
在△MOP中有 | OM | , | OP |1 , OMP OPM ( 1) 由正弦定理得
| OM | | OP | sin OPM sin OMP
即
sin[
(
1 )]
1 sin( )
O
即 sin( ) 1sin( 1)
③ 0 和
0
cos a
cos a
sin a
sin a
特殊圆的极坐标方程
图
(r, )
O
x
(r,0)
(r, ) O
像
O
xO
x
x
O
x
(r, 3 )
2
方
r
程
2r cos 2r cos 2r sin 2r sin
§273 普通方程与极坐标方程的互化及其求极坐标方程
1.普通方程
极坐标方程：
(1)课本P：15 Ex3
① cos 4
② sin 2
③ 2 cos 3 sin 1 0
④ 2 cos2 2 sin 2 16 2 cos 2 16
2.极坐标方程 普通方程：(2)课本P：15 Ex4
① y2 ② 2x 5y 4 0
③ 2 10 cos
常见的坐标系
直角坐标 (x,y) 平面坐标 极坐标 (ρ,θ)
空间坐标
直角坐标 (x,y,z)
极坐标 球坐标 (r,φ,θ) 柱坐标(ρ,θ, z)
极坐标系
1.概念
①极坐标系的建立：
在平面内取一个定点O，叫做极点；引一条射线OX，
叫做极轴；再选定一个长度单位和角度单位及它的
极坐标方程和普通方程互化
(2) cos 1
(4)
3பைடு நூலகம்
(6) cos( )
3
(8)
1
1 sin 2
2
例2、将下列直角坐标方程化为极坐标方程：
(1)x2y10 (2)y 3x
(3)y 4x2
(4) x2 y2 1 49
(5)x2 y2 2x50
例3、极坐标方程分别是ρ＝cosθ和ρ＝sinθ的两 个圆的圆心距是多少 ？
l
1）过极点 0(R)
o ﹚
2）过某个定点垂直于极轴
cos a
3）过某个定点平行于极轴 sin ＝a
M
﹚
o
Ax
AM
﹚
o
x
4）过某个定点( 1 , 1 ) ，且与极轴成的角度a
s in ( ) 1 s in ( 1 )
M
1 P
﹚ 1 ﹚
极坐标方程 和普通方程
互化
一、复 习
1、极坐标系的四要素： 极点；极轴；长度单位；角度单位 及它的正方向。
2、点与其极坐标一一对应的条件
0 , [0 ,2 )
3、极坐标与直角坐标的互化公式
xco s, ysin
2x2y2, tany(x0)
x
3、直线的几种极坐标方程
o
Ax
4、圆的几种极坐标方程
1）半径为a的圆的圆心坐标为(a,0)(a>0)的圆的极坐标方程
＝ 2acos...........(1 )
2）以极点为圆心，r为半径的圆的极坐标方程
r.........(2)
3）半径为a的圆的圆心坐标为C a,1 a>0)的圆的方程
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4.判(3)断判极断极坐坐标标方程程 4 sin 2 5表表示示的曲曲线线.
2
由4另由解s4in：s2i由n22题2意5得5，，4411 c2ocs2os5 5
即：2 2 cos 5 5
化直整整角理理坐得得标：：由241
s2in 2
xco2 s
2y
2
5， 4
2x
1
5
cos纯属 运5 气
解：如图，易得直线 l 的普通方程为 x=a
故其极坐标方程为：
O
cos a
x
A (a,0) l
作业：
1.《固学案》P：7 2.《固学案》P：7 3.《导学案》P：8
Ex3 Ex5 案例 问题3
预习：
直线的参数方程
③ 0 和
0
cos a
cos a
sin a
sin a
特殊圆的极坐标方程
图
(r, )
2
O
x
(r,0)
(r, ) O
像
O
xO
x
x
O
x
(r, 3 )
2
方
r
程
2r cos 2r cos 2r sin 2r sin
§273 普通方程与极坐标方程的互化及其求极坐标方程
②柱坐标系是平面极坐标系的立体化
将平面极坐标系沿z轴上下平移的结果
①球坐标系又称空间极坐标系， ②球坐标系是平面极坐标系的立体化
是线段OP绕极点O旋转的结果
θ
特殊直线的极坐标方程
图
l
θ0
O
x
像
l
(a,0)
Ox
l
(a, )
Ox
l
(a, )
2
O
x
O
x
l
(a, 3 )
2
方 ①直线 0 程 ② 0( R)
解：如图，设M (ρ,θ) 是直线 l 上除A外的任意一点
在Rt△MOA中有 |OM|cos∠MOA=|OA|
即 cos a
经验证：
ρ M (ρ,θ)
Oθ
x
点A的坐标(a,0)满足上式
故所求方程为： cos a
l A (a,0)
(6)课本P：15 Ex 2 ③
解：如图，设 M (ρ,θ) 是圆上的任意一点
i：当O,M,A三点不共线时，在△MOA中由余弦定理得
OA2 OM 2 2OA OM cos( ) AM 2
即 1 2 2 cos( ) 1 4
整理得
2 cos(
4 )
M (ρ,θ)
4
ii：当O,M,A三点共线时，
O
A(1, ) 4
x
易得点M的坐标满足上式
综上，所求方程为： 2 cos( )
1.公式法： 知型巧用公式法 建系设式求系数
(4)课本P：15 Ex 2
① 直线
3
或 ( R)
3
或 和 4
3
3
3
直线? 射线？
② cos 1
④ 2a sin
练习2.求极坐标方程：
2.方程法： 未知型状方程法 建系设需列方程 ①直接法：一般地，与正余弦定理有关
(5)课本P：14 例2
x2 y2 10x (x 5)2 y2 25
④ 2 2 cos 4 sin
x2 y2 2x 4y (x 1)2 ( y 2)2 5
4.判(3)断判极断极坐坐标标方程程 4 sin 2 5表表示示的曲曲线线.
44：：22由即化s解s4：直iinn2：2222角由s即由即 i22n题坐cc4： 22oo意2标 2ss55得，，sc： ion2s54422，552x1c124o5s5cc，221yoo2ss4c25o22s1x55c25o5s 5
（1）形法：
类似于辅助角公式中，用形法求振幅及辅助角
（2）数法：
x2 y2 2
x cos
y
sin
sin
y
cos
x
tan
y x
①如图，圆锥曲线的极坐标方程 ep 1 e cos
是在以焦点F为极点的极坐标系的基础来的 ②这与极坐标与直角坐标互化的前提是不符的
M(ρ,θ) X
F(O)
练习2.求极坐标方程：
M
②极坐标的规定：
ρ
对于平面上任意任意一点M O
X
用ρ表示线段OM的长度， 用θ表示从OX到OM的角度
有序数对(ρ,θ)就叫做M的极坐标
ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角
极坐标系的分类
常用极坐标系：ρ ≥0 ,θ∈R 狭义极坐标系：ρ ≥0 ,θ∈[0，2π) 广义极坐标系：ρ ,θ∈R
注① 负极径的定义：先正后对称
易得点P的坐标满足上式
M方程为： sin( ) 1sin( 1)
练习2.求极坐标方程：
1.公式法： 知型巧用公式法 建系设式求系数 2.方程法： 未知型状方程法 建系设需列方程
①直接法：一般地，与正余弦定理有关 ②间接法：先求出普通方程，再转成为极坐标方程
(8)课本P：14 例2
注② 极坐标的多值性与单值性：
ⅰ:在常用极坐标系中，同一个点的极坐标有无数个
即 (, 2k ) (k Z)
ⅱ:在广义极坐标系中，同一个点的极坐标有无数个
即 (, 2k )和(－, 2k ) (k Z)
ⅲ :在狭义极坐标系中，除极点(0,θ)外， 其他点的极坐标是唯一的
极坐标与直角坐标的互化
2
平 整方 理故得整 得e由表理 ：1圆 示2，：锥 的Px曲 曲y2整2线 线25e理表的是y5示得1极：2， (抛： x坐P物标2线x45方25)1，程表5的c示表25o抛s抛示物物1线抛线ee物cpos线
极坐标与直角坐标的互化
①互化的三个前提条件：
（1）极点与直角坐标系的原点重合 （2）极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合 （3）两种坐标系的单位长度相同 ②互化方法：
一、普通方程与极坐标方程的互化：
x2 y2 2
x cos
y
sin
二、求极坐标方程：
sin
y
cos
x
tan
y x
1.公式法：知型巧用公式法 建系设式求系数
2.方程法： 未知型状方程法 建系设需列方程
①直接法：一般地，与正余弦定理有关 ②间接法：先求出普通方程，再转成为极坐标方程
练习1.普通方程与极坐标方程的互化：
1.普通方程
极坐标方程：
(1)课本P：15 Ex3
① cos 4
② sin 2
③ 2 cos 3 sin 1 0
④ 2 cos2 2 sin 2 16 2 cos 2 16
2.极坐标方程 普通方程：(2)课本P：15 Ex4
① y2 ② 2x 5y 4 0
③ 2 10 cos
直角坐标化：直2角x坐2 标y：22 2xx2 5y2 2 x 5 直理整角得理坐：2得故标整：x：2理22得xyx2：222yx2y2 22x22y5xx2552 x 5 方 理方平整 得整方理 ：理2整整故：：平理表理x方yy得示2：22整 的yy曲55理22((线xx：为52(：yx4545x2抛))，，物5455表表线()，x示示表抛抛45示)物物，抛线线表物示线抛物线
§273 普通方程与极坐标方程的互化及其求极坐标方程
一、普通方程与极坐标方程的互化：
x2 y2 2
x cos
y
sin
二、求极坐标方程：
sin
y
cos
x
tan
y x
1.公式法：知型巧用公式法 建系设式求系数
2.方程法： 未知型状方程法 建系设需列方程
①直接法：一般地，与正余弦定理有关 ②间接法：先求出普通方程，再转成为极坐标方程
①互化的三个前提条件：
（1）极点与直角坐标系的原点重合 （2）极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合 （3）两种坐标系的单位长度相同 ②互化方法：
（1）形法： 类似于辅助角公式中，用形法求振幅及辅助角
（2）数法：
x2 y2 2
x cos
y
sin
sin
y
cos
x
tan
y x
①柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系及 空间直角坐标系中的一部分建立起来的.
常见的坐标系
直角坐标 (x,y) 平面坐标 极坐标 (ρ,θ)
空间坐标
直角坐标 (x,y,z)
极坐标 球坐标 (r,φ,θ) 柱坐标(ρ,θ, z)
极坐标系
1.概念
①极坐标系的建立：
在平面内取一个定点O，叫做极点；引一条射线OX，
叫做极轴；再选定一个长度单位和角度单位及它的
正方向。这样就建立了一个极坐标系。
4
(7)课本P：14 例3
解：如图，设M (ρ,θ) 是直线 l 上除P外的任意一点
在△MOP中有 | OM | , | OP |1 , OMP OPM ( 1) 由正弦定理得
| OM | | OP | sin OPM sin OMP
即
sin[
(
1 )]
1 sin( )
O
即 sin( ) 1sin( 1)