1.9几种可降阶的高阶方程.

F ( y, y , y ,..., y ( n ) ) 0
四、作业与习题布置 2，3，4，5，12 五、归纳总结
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讲 授 内
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1、 了解基本概念，掌握方程类型 2、 熟练掌握分离变量法，常数变易法，全微分方程及积分因子解法，掌握 参数法和降阶法 3、 学业会把实际问题抽象为常微分方程的基本方法 参考书： [1] 常微分方程,东北师大数学系编，高教出版社 [2] 常微分方程，伍卓群，李勇，高等教育出版社，2004。 [3] 常微分方程，王高雄，高等教育出版社，1984
一、复习旧课 二、引入新课
教 学 过 程
三、重难点讲授
1.9 几种可降阶的高阶方程 （一） 、三种可降阶的高阶方程 （二） 、初等积分法小结 四、作业和习题布置 五、归纳总结
板 书 设 计 讲授新 拓展内容 课后总结
1.9 几种可降阶的高阶方程 （一） 、三种可降阶的高阶方程 （二） 、初等积分法小结
y, y ,..., y ( k 1) .这时只要令 y ( k ) z 依次为 y ( k 1) z ,....., y ( n ) z ( n k ) 代入(1)中
就化成 F ( x, z , z ,..., z ( n k ) ) 0 （2） 如果(2)能求出通解 z z ( x, C1 ,...C n k ) 则由对 y ( k ) z 积分 ，就可以求出 y 来了. 例 1 求微分方程 x 3 y x 2 y 1 的通解. 解
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一、复习旧课 1、分离变量法 2、常数变易法 3、积分因子法 4、参数法 二、引入新课
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以上复习的方法只针对一阶微分方程，但还有一些高阶方程是不能直接应用 上述方法，若把高阶方程通过适当的变量代换成低阶的方程，就可以应用上 述方法去求解，因此解高阶方程的关键是降阶，但并不是所有高阶方程都可 以降阶，下面学习可降阶的三种高阶方程。 三、重难点讲授 1.9 几种可降阶的高阶方程 1、第一种可降阶的高阶方程 方程 F ( x, y ( k ) , y ( k 1) ,..., y ( n ) ) 0 （1） 这种方程的特点是方程中出现的最低阶的导数为 k 且不显含
2、常数变易法
dy P ( x) y Q ( x) （一阶线性微分方程） dx dy ② P( x) y Q( x) y n （伯努利方程） dx
①
3、积分因子法（全微分方程法）
1 M ( x, y ) dx N ( x, y ) dy 0
4、 参数法 类型 类型 5、 降阶法
则(4)称为恰当导数方程. 这类方程的解法与全微分方程的解法相类似，显然可降低一阶，成为
( x, y, y , y ,..., y ( n 1) ) C
之后再设法求解这个方程. 例 4 求解方程 解：因为 ( yy ) y 2 yy 所以原方程可写成 积分后得到通解为 y 2 C1 x C 2 二、初等积分法小结 1、分离变量法 ① ②
1 2 3
Ⅰ Ⅱ
y f ( x, y ), x f ( y, y ) F ( x, y ) 0, F ( y, y ) 0
不显含 y, y ,..., y ( k 1) ， F ( x, y ( k ) , y ( k 1) ,..., y ( n ) ) 0 不显含 x 恰当导数方程
1 C1 1 )dx = C1 ln x C 2 ， 2 x x x
y= 1 C1 ln x C 2 x
因此，原方程的通解为
（ C1 , C 2 为任意常数）.
2、 第二种可降阶的高阶方程 方程 F ( y, y , y ,..., y ( n ) ) 0 （3） 这类方程的特点是不显含自变量 x， 这时， 总可以利用代换 y p ， 使方程降低一阶. 以 二 阶 方 程 F ( y, y , y ) 0 为 例 . 令 y p ， 于 是 有
1 ，知 y
y 2
1
代入上式，得 C1 1 ，从而得到
x 1
dy 积分得 dx ， ( y 1) 2
1 再由 y x C2 ， y 1
求得 C 2 0 ， 于是当 P 0 2，
时，原方程满足所给初始条件的特解为
1 x， y 1
当 P 0 时，得 y C (常数)，显然这个解也满足方程，这个解可包含在解
dp p2 0 dy dp dy p y dp dy
代入方程 yp
在 y0、p0 时 约去 p 并分离变量 得 两边积 ln|p|ln|y|lnc
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讲 授ຫໍສະໝຸດ Baidu内
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pCy 或 yCy(Cc) 即 再分离变量并两边积分 便得原方程的通解为 ln|y|Cxlnc1 yC1eCx (C1c1) 或 例 3 求微分方程 2( y ) 2 y ( y 1) 满足初始条件 y 解 方程不显含 x ，令
dy f ( x) g ( y ) （一般类型） ； M 1 ( x) N 1 ( x)dx M 2 ( y ) N 2 ( y )dy （微分形式） dx a1 x b1 y c1 dy y dy ( )（齐次方程） ； f a xb yc dx x dx 2 2 2 （可化为齐次方程的方程） d ( yy ) 0 ，故有 ydy C1 dx ， dx
x3
方程中不显含未知函数 y ，令 y P ， y
dP x2 P 1， dx dP 1 1 P 3 ，这是关于未知函数 P ( x) 的一阶线性微分方程，代入常数变 dx x x 易法的通解公式，所以
dP ，代入原方程，得 dx
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P( x)
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e

y dp dp dy dp p dx dy dx dy dp ) 0 这是一个关于未知函数 p 的一阶方程 . dy
代入原方程，就有 F ( y, p, p
如果由它可求得 p p ( y, C ) 则有 y p ( y, C ) 若此一阶方程有解， 则可求出原 方程的通解。 例 2 求微分 yyy20 的通解 解 设 yp 则 y p
教案
教研室：
课程名称 授课内容 教学目的 教学重点 教学难点 教具和媒体使用 教学方法
教师姓名：
常微分方程
授课时间:
授课专业和班级 授课学时 2 学时
1.9 几种可降阶的高阶方程
掌握三种可降阶的高阶方程的解法 三种可降阶的高阶方程解法 高阶方程的应用 板 书
讲授法 包括复习旧课、 引入新课、 重点难点讲授、 作业和习题布置、 时 间 分 配 问题讨论、归纳总结及课后辅导等内容 (90 分钟)
x dx
1
1 dx ( 3 e x dx C1 ） x 1 ln x 1 1 1 1 1 C e dx C1 ）= ( 3 xdx C1 ）= ( C1 ）= 2 1 ， 3 x x x x x x x
1
= e ln x ( 由此
dy 1 C = 2 1 ， x x dx y (
dP ( y 1) ， dy dP 2 dy ，于是 P C1 ( y 1) 2 . P y 1
2 ， y
x 1 x 1
2 ， y
x 1
1 的特解.
y P
， y P
dP ，则方程可化为 dy
2P 2 P
当 P 0时 根据 y
x 1
1 x 中. y 1
故原方程满足所给初始条件的特解为 3、 恰当导数方程 假如方程
1 1 x ，即 y 1 . x y 1
F ( x, y, y , y ,..., y ( n ) ) 0 （4）
的左端恰为某一函数
( x, y, y , y ,..., y ( n 1) ) 0 对 x 的导数，即(4)可化为 d ( x, y, y , y ,..., y ( n 1) ) 0 dx