第一章(简谐振动频谱分析)(5-6)

傅里叶级数
a0 x(t ) (an cos n1t bn sin n1t ) 2 n 1
• 式中：
• 基频：
2 T a0 x (t ) dt T 2 T an x (t ) cos n1tdt T 2 T bn x (t ) sin n1tdt T 2 1 T
虽然周期振动的谐波分析以无穷级数出现，但一般可 以用有限近似表示周期振动
P(t) P0 t
-P0 T
P0 0 t T 2 P(t ) P0 T t T 2
对称函数与反对称Hale Waihona Puke Baidu数相乘在 区间积分应为零
• 因为一周内总面积为 零，故a0=0 T/2
2 T a0 x (t ) dt T 2 T an x (t ) cos n1tdt T 2 T bn x (t ) sin n1tdt T
T T cos nw1 ( t ) cos nw1 ( t ) 2 2
T T sin 2 w1 ( t ) sin 2mw1 ( t ) 4 4
下图
2
几种常见的波谱
方波及其频谱
锯齿波及其频谱
几种常见的波谱
三角波及其频谱
阻尼振动及其频谱
作业 • 一个机器内某零件的振动规律为 x=0.5sinwt+0.3coswt, x 的单位是cm，w=10π 1/s. 这个振动是否简谐振动，求出它的振幅，最大 速度，最大加速度，并用旋转矢量表示三者之 间的关系
• 记ω =nω 1,如果以频率ω作为自变量，幅值及相位角 都是ω函数，他们的关系分别为振幅频谱图与相位频 谱图
• 两张频谱图中的图形都是离散的直线，称为谱线， 各种分量的幅值及相位角如何一目了然，这种分析 振动的方法称为频谱分析 • 考虑的自变量由时间改变为频率，所以频谱分析实 际由时间域转入频率域
cn a b
2 n 2 n
an arctan( ) bn
a0 x(t ) cn sin(n1t ) 2 n 1
上式中，a0/2表示周期振动的平均值，级数的每一项都是简谐振 动。 可见，通过傅里叶展开，周期振动被表示成一系列频率为基频整 倍数的简谐振动（或称为谐波）的叠加，cn及φn即频率为nω1的简 谐振动的振幅和相位角。 在振动力学中，将傅里叶展开称为谐波分析。
简谐振动频谱分析
1.2 周期振动的谐波分析
任何一周期函数都可表示为简谐函数的合成。也就 是说，任何一个复杂的周期振动x(t)都可以分解为 一系列简谐振动之和。 设T是如图所示的周期振动函数，则有 x(t)=x(t±nT) n=1, 2, 3…
狄里克利充分条件
如果x(t)满足狄里赫利条件， (1) 函数在任意有限区间内连续，或只有有限个第一类 间断点（当t从左或右趋于这个间断点时，函数有有 限的左极限和右极限） (2) 在一个周期内，函数有有限个极大值或极小值。则 可以通过傅里叶级数展开。