导数和圆锥曲线

1.（2017北京理18）已知抛物线C:y2=2px（p>0）过点P(1,1),过点（0，1

2

）作直线l 与抛物线C相交于不同的两点M,N,过点M作X轴的垂线分别与直线OP,ON相交于点A,B,其中O为原点。

①求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；

②求证：A为线段BM的中点。

2.（2016北京理19）已知椭圆C：x2

a2+y2

b2

=1(a>b>0)的离心率为√3

2

，A(a,0),B(0,b)

O(0，0),∆OAB的面积为1，

①求椭圆C的方程；

②设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M,直线PB与X轴交于点N，求证：|AN||BM|为定值。

3.（2015北京理19）已知椭圆C：x2

a2+y2

b2

=1(a>b>0)的离心率为√2

2

，点P（0,1）和

点A（m,n）(m≠0)都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M

①求椭圆C的方程,并求点M的坐标（用m,n表示）；

②设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N.问：y轴上是否存在点Q，使得↑∠OQM=∠ONQ?若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由。

4.（2017东城理19）已知椭圆C：x2

a2+y2

b2

=1(a>b>0)经过点（0，√2），且离心率为

√2

2

。

①求椭圆C的方程；

②设A,B是椭圆C的左，右顶点，P为椭圆上异于A,B的一点，以原点O为端点分别作与直线AP和BP平行的射线，交椭圆C于M,N两点，求证：∆OMN的面积为定值。

5.（2017西城理19）已知椭圆C：x2

a2+y2

b2

=1(a>b>0)的离心率为1

2

，F是椭圆C的右焦

点，A(−A,0),|AF|=3.

①求椭圆C的方程；

②设O为原点，P为椭圆上一点，AP的中点为M.直线OM与直线x=4交于点D，过O且平行于AP的直线与直线x=4交于点E。求证：

6.（2017海淀理19）已知椭圆G:X2

2

+y2=1,与x轴不重合的直线L经过左焦点F1，且与椭圆G相交于A,B两点，弦AB的中点为M，直线OM与椭圆G相交于C,D两点

①若直线L的斜率为1，求直线OM的斜率；

②是否存在直线L，使得|AM|2=|CM||DM|成立？若存在，求出直线L的方程；若不存在，请说明理由

7. 已知椭圆C ：x 2

a 2+y 2

b 2=1(a >b >0)的离心率为√22

，经过其左焦点F(−1,0)且与x 轴不重合的直线l 与椭圆C 相交于M,N 两点。

①求椭圆C 的方程；

②O 为坐标原点，在x 轴上是否存在定点Q ，使得点F 到直线QM,QN 的距离总相等？若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由。

8.已知椭圆C ：x 2

a 2+y 2=1(a >1),离心率e =√63,直线l:x =my +1与x 轴相交于点A,与椭

圆C 相交于E,F 两点，自点E,F 分别向直线x=3作垂线，垂足分别为E 1,F 1.

①求椭圆C 的方程及焦点坐标；

②记∆AEE 1,∆AE 1F 1,∆AFF 1的面积分别为S 1,S 2,S 3,试证明

S 1S 3S 22为定值。 9. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√22，右焦点为F ，点P(0,1)在椭圆C 上。

①求椭圆C 的方程；

②过点F 的直线交椭圆于M,N 两点，交直线x=2于点P ，设PM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =λMF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ,PN

⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =μNF ⃑⃑⃑⃑⃑ , 求证：λ+μ为定值。

10. 已知椭圆C ：x 2

a 2+y 2

b 2=1(a >b >0)的短轴长为2√3，右焦点F(1,0),点M 是椭圆C 上

异于左、右顶点A,B 的一点

①求椭圆C 的方程；

②若直线AM 与直线x=2交于点N,线段BN 的中点为E ，证明：点B 关于直线EF 的对称点在直线MF 上。

11.已知椭圆C:mx 2+3my 2=1(m >0)的长轴长为2√6，O 为坐标原点。

①求椭圆C 的方程和离心率；

②设A(3,0),动点B 在y 轴上，动点P 在椭圆C 上，且P 在y 轴的右侧，若|BA |=|BP |,求 四边形OPAB 的面积的最小值。

12. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√32，椭圆C 与y 轴交于A,B 两点，且|AB |=2.

①求椭圆C 的方程；

②设点P 是椭圆C 上的一个动点，且点P 在y 轴的右侧，直线PA,PB 与直线x=4分别交于M,N 两点，若以MN 为直径的圆与x 轴交于E,F 两点，求点P 的横坐标的取值范围及|EF | 的最大值。

1.（2017北京理19）已知函数f(x)=e x cosx−x

①求曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；

②求函数f(x)在区间[0，π

2

]上的最大值和最小值。

2.（2017东城理18）已知函数f(x)=2lnx+1

x

−mx(m∈R)

①当m=−1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

②若f(x)在(0,+∞)上单调递减，求m的取值范围；

③设0

b−a <

√ab

.

3.(2017海淀理18）已知函数f(x)=x2−2ax+4(a−1)ln⁡(x+1),其中实数a<3.

①判断x=1是否为函数f(x)的极值点，并说明理由；

②若f(x)≤0在区间[0,1]上恒成立，求a的取值范围。

4.已知函数f(x)=asinx−xcosx,x∈[0,π

2

].

①当a=1时，求证：f(x)≥0;

②如果(x)≥0恒成立，求实数a的最小值。

5.已知函数f(x)=(x+a)lnx.

①当a=0时，求f(x)在x=1处的切线方程；

②当a>0时，若f(x)有极小值，求实数a的取值范围。

6.已知函数f(x)=xcosx−ax+a,x∈[0,π

2

](a≠0).

⑴当a≥1时，求f(x)的单调区间；

⑵求证：f(x)有且仅有一个零点。

7. 已知函数f(x)=lnx−x+a,其中a∈R.

⑴如果曲线y=f(x)与x轴相切，求a的值；

⑵如果函数g(x)=f(x)

x2

在区间(1,e)上不是单调函数，求a的取值范围。

8.已知函数f(x)=mx2−x−lnx

m

.

⑴求函数f(x)的极值；

⑵求证：存在x0,使得f(x0)<1