多元正态分布

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例（二元正态分布） 设 X ~ N 2 ( , )
2 x 1 1 1 , X , x 2 2 1 2
，这里
1 2 2 2
由于 这时
故有 f ( x1 , x2 ) f1 ( x1 ) f 2 ( x2 ) 即 x1 和 x2相互 独立，因此，对于二元正态分布来说，两个分 量的不相关和独立性是等价的。当 1 1 时， 0，即 不存在，此时， X 的概率密 度不存在， X 是一个退化的二元正态分布，并 且 x1和 x2 之间以概率 1 存在着线性关系。
，其中 u ~ N 2 (0, I ) ，
1 0 ，则 X 的分布就是退化的三元正 A 0 1 1 1
态分布，即 x ~ N3 (0, ) ，其中
1 0 1 0 1 1 0 1 T AA 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 2 1 1
1
2 1
0， (1 )故当 1 时，
2 2 2
1 2 1 2 2 2 2 1 2 (1 ) 2 2 1
2 2
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由多元正态分布密度函数公式可得此时 概率密度为
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假设 x Au 为 u 的一个非退化线 性变换，其中 A 是一个 （即 A 0 ），则称 其中 AA 。
T
p 维非退化矩阵
p 维随机向量 X 的分布
为非退化的多元正态分布，记作 X ~ N P ( , ) ，
X
的均值和协方差矩阵分别为
E (x) AE(u)
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第二节 多元正态分布的性质
一、多元正态分布的特征函数
多元正态分布的特征函数
1 T T x (t ) exp it t t 2
，其中 AA
T
例
上一节二元正态分布的特征函数为
1 2 2 2 2 x (t1 , t2 ) exp i(t11 t2 2 ) (t1 1 2t1t2 1 2 t2 2 2
第三章
第一节
多元正态分布
多元正态分布的定义
设随机向量 u (u1,, u p )T ，u1 ,, u p
独立同分布于 N (0,1) ，则
p
u
的概率密度为
p 1 1 1 2 2 p 2 2 (2 ) exp( ui ) (2 ) exp( ui ) 2 2 i 1 i 1 1 T p 2 (2 ) exp( u u), ui , i 1,, p 2
1 p q 若 rank( A) p （自然 ），则
存在， X 的分布是一个非退化的 布，其概率密度见上式。
p 元正态分
1 rank ( A ) p 若 ，则 不存在，X 的 分布称为退化的 p 元正态分布，不存在概 率密度。
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例如，设 x Au
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u 的均值和协方差矩阵分别为
E (u) E (u1 ),, E (u p )
V (u) E (uuT )


T
0
u12 u1u2 u1u p 1 0 0 2 u2u1 u2 u2u p 0 1 0 E I u u u u u2 0 0 1 p 2 p p 1 u 的分布称为均值为 0 ，协方差矩阵为 I 的多元正态分布，记作 u ~ N P (0, I )
f ( x1 , x2 ) 1 21 2 1 2
X
的
1 x1 1 2 x1 1 x2 2 x2 2 2 exp [( ) 2 ( )( )( ) ] 2 1 1 2 2 2(1 )
当 0 时， 1 x1 1 2 x2 2 2 1 f ( x1 , x2 ) exp [( ) ( ) ] 21 2 1 2 2
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另，x1 和
1 x1 1 2 f1 ( x1 ) exp[ ( ) ] 21 2 1 2 1 1 x2 2 f 2 ( x2 ) exp 2 2 2 2 1
x2 的边际密度函数分别是
V (x) AV (u) AT AAT
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因为雅可比行列式
J (u x) A
所以
X
1
AA
T 1 2

1 2
的概率密度函数为 1 T p 2 f (x) (2 ) exp u u J (u x) 2 1 2 1 1 p 2 T 1 (2 ) exp [ A (x )] [ A (x )] 2
(2 )
p 2

1 2
1 T 1 exp (x ) (x ) 2
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ຫໍສະໝຸດ Baidu
设随机向量 u ~ N P (0, I ) ， 为 p 维常 数向量， A 是一个 p q 常数矩阵，则称 x Au 的分布为多元正态分布，仍记 T X ~ N ( , ) 作 ，其中 AA 。 P