相似,合同,正交

相似，合同与等价

1 等价的意思就是秩相等 PA=B 说明行向量组秩相等 AP=B 是列。当A为方阵时候 PAQ=B

秩相等

2正交就是说里面的行（列）全部正交

3相似说明AB 等秩，行列式一样，特征值一样但是特征向量不同，相似能推出合同

实数对称矩阵一定能有N个正定的特征向量（其他矩阵只能推出线性无关）一定有对角矩阵与其对应。 A行列式=0 说明有秩为0

4A合同B （等秩）就是说正负惯性指数一样，其他的都可能不同就是说A秩是正数个数和B一样负的个数也一样， 0 非负非正。

也可以数二次型的平方的系数正负的数量是一样的，用这2种方法解题目。求秩，求二次型系数

5正定（等秩）说明实对称矩阵的特征值全部大于0 ，主子式也大于0 ，相互间的行列式符号一样，对角线上的数全为正

6对于实对称矩阵，相似一定合同，但是合同不一定相似。

考察合同关键看正负惯性指数。所以只要判断出两个秩相等的实对称矩阵的特征值符号就行了。

7矩阵的三种关系：

1等价：s*n矩阵A,B等价<=>存在可逆的s阶P和n阶Q使得B=PAQ.

2合同：A,B，均为数域P上的n阶方阵，若存在数域P上的n阶可逆矩阵P使得PAP=B。3相似：A,B，均为数域P上的n阶方阵,若存在数域P上的n阶可逆矩阵P使得P-1AP=B。(若P正交，则为正交相似矩阵)

4三种关系的联系：a，相似矩阵一定是等价矩阵，反之不然。

b，A,B，均为数域P上的n阶方阵，若存在数域P上的n阶可逆矩阵P,Q,使得PAQ=B,且PQ=E,则A与B相似。

c，正交矩阵必为合同矩阵，正交合同矩阵比为相似矩阵;相似阵，合同阵必为等价阵，反之不然；相似阵为正交相似，合同阵为正交合同，此时相思和合同一致。

d，相似与合同矩阵之等价TH:

1、A与B都是n阶实对称矩阵，且有相同的特征根，则A与B既

相似又合同。（实对称矩阵可以正交对角化）

2、n阶矩阵A与B中只有一个正交矩阵，则AB与BA相似且合同。

3、A与B相似且合同，C与D相似且合同,则（A O/OC）与(BO/OD)

既相似又合同。