相似,合同,正交
合同与相似概念区别
代数中“合同”与“相似”概念的区别辨析在《高等代数》中队与多个矩阵有“合同”与“相似”的概念，关于这两组概念在定义上有很多相似的地方（合同——'B C AC =，相似——-1B C AC =），并且在《高等代数》在讲到“（欧式空间下）实对称矩阵的标准形”时有如下的定理：因此在这里给我们一种印象，即矩阵间的合同与相似在某种条件下画了=“”，这究竟是怎么回事，为此我们应该去深入的探求矩阵“合同”与“相似”之间的联系。
这个过称是循序渐进的，在学习“双线性函数”后，又对这个问题有了更深刻的理解，并且大胆的估计，“合同”与“相似”在概念上的区别会是代数问题上的一类大问题，现在对这个问题的思考结果归纳如下让我们先从线性变换这一概念出发，我们知道在对线性空间上的线性变换的有关性质直接的进行研究是不好做的，为此我们引进了“线性变换的矩阵”这一概念，即在一个线性变换，n 维空间的一组基，一个n 阶矩阵之间建立起了一对一的关系，关系如图而我们知道同一个线性变换在不同的一组基下，它所对应的矩阵是不同的，而这些矩阵之间的关系我们把它定义为“相似”，并且我们可以知道这些相似矩阵之间有这样的关系1B X AX -=,X 为这两组基之间的过渡矩阵，回顾“相似”概念，我们可以看出，“相似”的提出时基于“线性变换”。
“相似”是同一个线性变换在不同基下的矩阵之间的关系，我们在提炼一下，“相似”的出现是同一个线性变换在不同背景之下的不同的表现形式之间的关系，这对后面区别“合同”与“相似”有很重要的意义下面我们再来看看“合同”概念。
《高等代数》在二次型的章节中对二次型化标准形的过程中首次提出了“合同“的概念。
对一个二次型进行非退化的线性替换，这样的二次型的不同矩阵之间的关系定义为“合同”，即'B C AC =。
而回顾“合同”的概念，我们可以发现，“合同”的概念是基于二次型的化简中产生的概念，而当我们学习了双线性函数的内容后就会发现“合同”的概念是基于双线性函数提出的,因此在这里我们有必要提出双线性函数的有关内容：双线性函数类比欧式空间中的线性变换是线性空间上的一种映射，所谓的“双线性”是指在固定一个自变量的情况下，另一个自变量满足“线性”的关系。
矩阵的合同-等价与相似的联系与区别
矩阵的合同-等价与相似的联系与区别矩阵的合同，等价与相似的联系与区别一、基本概念与性质（一）等价：1、概念。
若矩阵A 可以经过有限次初等变换化为B ，则称矩阵A 与B 等价，记为A B ?。
2、矩阵等价的充要条件：3、向量组等价，两向量组等价是指两向量组可相互表出，有此可知：两向量组的秩相同，但两向量组各自的线性相关性却不相同。
（二）合同：1、概念，两个n 阶方阵A,B ，若存在可逆矩阵P ，使得A B ?P T AP B =成立，则称A,B 合同，记作A B ?该过程成为合同变换。
2、矩阵合同的充要条件：矩阵A,B 均为实对称矩阵，则A B ??二次型x T Ax 与x T Bx 有相等的E 负惯性指数，即有相同的标准型。
（三）相似1、概念：n 阶方阵A,B ，若存在一个可逆矩阵P 使得1B P AP -=成立，则称矩阵A,B 相似，记为~A B 。
2、矩阵相似的性质：3、矩阵相似的充分条件及充要条件：①充分条件：矩阵A,B 有相同的不变因子或行列式因子。
②充要条件：~()()A B E A E B λλ?-?-二、矩阵相等、合同、相似的关系（一）、矩阵相等与向量组等价的关系：设矩阵12(,,,)n A λλλ=，12(,,,)m B βββ=1、若向量组（12,,,m βββ）是向量组（12,,,n λλλ）的极大线性无关组,则有m n ≤，即有两向量等价，而两向量组线性相关性却不同，钱者一定线性无关，而后者未必线性无关。
而矩阵B 与A 亦不同型，虽然()()r A r B =但不能得出A B ?。
2、若m=n ，两向量组（12,,,n λλλ）?（12,,,m βββ）则有矩阵A,B同型且()()~,,r A r B A B A B A B =??r()()A r B A B =??。
3、若r()()A B A r B ??=?两向量组秩相同，?两向量组等价，即有1212(,,,)(,,,)n n A B λλλβββ?≠>?综上所述：矩阵等价与向量等价不可互推。
矩阵的等价,合同,相似的联系与区别
目录摘要I引言11矩阵间的三种关系11.1 矩阵的等价关系11.2 矩阵的合同关系11.3. 矩阵的类似关系22 矩阵的等价.合同和类似之间的接洽3 3矩阵的等价.合同和类似之间的差别5停止语6参考文献6摘要:等价.合同和类似是矩阵中的三种等价关系,在矩阵这一常识块中占领举足轻重的地位.矩阵可逆性.矩阵的对角化问题.求矩阵特点根与特点向量.化二次型的尺度形等诸多问题的解决都要依附于这三种等价关系. 依据等价.合同和类似的接洽的研讨的结论是其一可应用等价矩阵的性质来肯定类似矩阵或合同矩阵的性质．其二可应用正交类似与正交合同的一致性,得到二者间彼此的转化．症结词:矩阵的等价;矩阵的类似;矩阵的合同;等价前提引言：在高级代数中,评论辩论了矩阵的三种不合关系,它们分离为矩阵的等价.矩阵的类似和矩阵的合一致关系．本文起首介绍了这三种关系以及每种关系的界说,性质,相干定理及各自消失的前提,然后给出了这三种矩阵关系间的接洽,即类似矩阵.合同矩阵必为等价矩阵,类似为正交类似,合同为正交合同时,类似与合统一致．还有矩阵的类似与合同之等价前提．并对这些结论作了响应的理论证实,最后给出了他们的差别和不变量. 1矩阵间的三种关系1.1 矩阵的等价关系界说1 两个s n ⨯矩阵,A B 等价的充要前提为：消失可逆的s 阶矩阵p 与可逆的 n 阶矩阵Q ,使B PAQ =由矩阵的等价关系,可以得到矩阵A 与B 等价必须具备的两个前提：（1）矩阵A 与B 必为同型矩阵（不请求是方阵）.（2）消失s 阶可逆矩阵p 和n 阶可逆矩阵Q , 使得B PAQ =.性质1（1）反身性：即A A ≅.（2）对称性：若A B ≅,则B A ≅（3）传递性：即若A B ≅,B C ≅,则A C ≅定理1若A 为m n ⨯矩阵,且()r A r =,则必定消失可逆矩阵P （m 阶）和Q （n 阶）,使得000rm nI PAQ B ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭.个中r I 为r 阶单位矩阵. 推论1设A B 、是两m n ⨯矩阵,则A B ≅当且仅当()()r A r B =.1.2 矩阵的合同关系界说2 设,A B 均为数域p 上的n 阶方阵,若消失数域p 上的n 阶可逆矩阵p ,使得T P AP B =,则称矩阵为合同矩阵（若数域p 上n 阶可逆矩阵p 为正交矩阵）,由矩阵的合同关系,不可贵出矩阵A 与B 合同必须同时具备的两个前提：(1) 矩阵A 与B 不但为同型矩阵,并且是方阵.(2) 消失数域p 上的n 阶矩阵p ,T P AP B =性质2（1）反身性：随意率性矩阵A 都与自身合同.（2）对称性：假如B 与A 合同,那么A 也与B 合同.（3）传递性：假如B 与A 合同,C 又与B 合同,那么C 与A 合同.是以矩阵的合同关系也是等价关系,并且由界说可以直接推得：合同矩阵的秩等.定理2数域F 上两个二次型等价的充要前提是它们的矩阵合同.定理3复数域上秩为r 的二次型,可以用恰当的满秩线性变换化为尺度形：22212r f y y y =++1.3. 矩阵的类似关系界说3 设,A B 均为数域p 上n 阶方阵,若消失数域p 上n 阶可逆矩阵p 使得B AP P =-1,则称矩阵A 与B 为类似矩阵（若n 级可逆矩阵p 为正交阵,则称A 与B 为正交类似矩阵）由矩阵的类似关系,不可贵到矩阵A 与B 类似,必须同时具备两个前提(1) 矩阵A 与B 不但为同型矩阵,并且是方阵(2) 在数域p 上n 阶可逆矩阵P ,使得B AP P =-1性质3(1)反身性 T A E AE =;(2)对称性 由T B C AC =即得()11TA C BC --=; （3）传递性111T A C AC =和2212T A C AC =即得()()21212TA C C A C C总之,合同是一种矩阵之间的等价关系,并且经由非退化的线性调换,新二次型的矩阵与原二次型矩阵是合同的. (4)11111221122()P k A k A P k P A P k P A P ---+=+（个中12,k k 是随意率性常数）;(5）1111212()()()P A A P P A P P A P ---=;(6）若A 与B 类似,则m A 与m B 类似（m 为正整数）;(7)类似矩阵有雷同的秩,并且,假如1B P AP -=为满秩矩阵,那么11111()B P AP P A P -----==.即满秩矩阵假如类似,那么它们的逆矩阵也类似.(8）类似的矩阵有雷同的行列式;因为假如1B P AP -=,则有：11B P AP P A P A --===(9）类似的矩阵或者都可逆,或者都不成逆;并且当它们可逆时,它们的逆矩阵类似;设1B P AP -=,若B 可逆,则11111()BP AP PA P -----==从而A 1B -与1A -类似.若B 不成逆,则1()P AP -不成逆,即A 也不成逆.下面这共性质是一个主要的结论,是以我们把它写成以下定理定理4类似矩阵的特点值雷同.推论3类似矩阵有雷同的迹. 2 矩阵的等价.合同和类似之间的接洽（1） 由以上三种矩阵间的关系的界说,可以知道每一种矩阵关系消失所必须具备的前提,但是这三种关系彼此间消失着亲密的接洽定理5类似矩阵必为等价矩阵,等价矩阵未必为类似矩阵．证实： 设n 阶方阵,A B 类似,由界说3知消失n 阶可逆矩阵1P ,使得111P AP B -=,此时若记11P P -=,1Q P =,则有PAQ B =,是以由界说1得到n 阶方阵,A B 等价反过来,对于矩阵100010A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,121010B ⎛⎫= ⎪⎝⎭等价,但是A 与B 其实不类似,即等价矩阵未必类似．定理 6 对于n 阶方阵,A B ,若消失n 阶可逆矩阵,P Q 使PAQ B =,(即A 与B 等价),且PQ E =(E 为n 阶单位矩阵),则A 与B 类似．证实：设对于n 阶方阵A 与B ,若消失n 阶可逆矩阵,P Q ,使PAQ B =,即A 与B 等价．又知PQ E =,若记11P P -=,那么1Q P =,也即111P AP B -=,则矩阵,A B 也类似． 定理7合同矩阵必为等价矩阵,等价矩阵未必为合同矩阵．证实： 设n 阶方阵,A B 合同,由界说2有,消失n 阶可逆矩阵1P ,使得11T P AP B =,若记1T P P =,1Q P =,则有PAQ B =是以由界说1得到n 阶方阵,A B 等价反过来对于矩阵1001A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,1201B ⎛⎫= ⎪⎝⎭等价,但是A 与B 其实不合同,即等价矩阵未必合同．定理8正交类似矩阵必为合同矩阵,正交合同矩阵必为类似矩阵．证实：若消失一个正交矩阵P ,即T P P E =使得1P AP B -=即~A B ,则有1T B P AP P AP -==,即A 与B 合同.同理,若消失一个正交矩阵P ,即T P P E =使得T P AP B =即A 与B 合同,则有1~T B P AP P AP A B -==⇒由此可得1.类似阵.合同阵必为等价阵,但过来必成立2.类似阵为正交类似,合同阵为正交合同时,类似与合统一致.（2）但类似矩阵与合同矩阵有着必定的内涵接洽,假如两者都具有反身性.对称性和传递性,即两者都是等价关系．别的,在必定前提下,两者是等价的．若矩阵A 与B 正交类似,则它们既是类似也是合同的．对于类似与合同矩阵之等价前提有以下定理,定理9假如A 与B 都是n 阶实对称矩阵,且有雷同的特点根．则A 与B 既类似又合同．证实：设A 与B 的特点根均为n λλλ ,,21因为A 与n 阶实对称矩阵,则必定消失一个n 阶正交矩阵 Q 使得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-n AQ Q λλλ..211同理,必定能找到一个正交矩阵P 使得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-n BP P λλλ..211从而有BP P AQ Q 11--= 将上式双方左乘P 和右乘1-P ,得()()()1111111-------===QP A QP QP AQP PQ B 因为T Q Q E =,T P P E =,1P P E -= 有()()()()1111111T T TT QP QP P Q QP P EP PP E -------====,所以,1-P Q 是正交矩阵,由定理8知A 与B 类似．定理10若n 阶矩阵A 与B 中只要有一个正交矩阵,则AB 与BA 类似且合同． 证实：无妨设A 是正交矩阵,则A 可逆,取U A =,有()()111U ABU A ABA A A BA BA ---===,则AB 与BA 类似,又知A 是正交阵,所以AB 与BA 既类似又合同．定理11若A 与B 类似且又合同,C 与D 类似也合同,则有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛C A 00与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛D B 00既类似又合同． 证实:因为A 与B ,C 与D 类似,故消失可逆矩阵1P ,2P ,使111122,P AP B P CP D --==,令1200P P P ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则1111200P P P ---⎛⎫= ⎪⎝⎭且10000A B P P C D -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛C A 00与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛D B 00类似． 又因为A 与B 合同,C 与D 合同,故消失可逆矩阵12,Q Q ,122,T T Q AQ B Q CQ D ==令1200Q Q Q ⎛⎫= ⎪⎝⎭而1200T T T Q Q Q ⎛⎫= ⎪⎝⎭11112222000000000000T T T T T Q Q A A Q Q A Q Q Q Q C C Q Q C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11220000T T B Q AQ D Q CQ ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛C A 00与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛D B 00合同． 3矩阵的等价.合同和类似之间的差别1.矩阵等价：a.同型矩阵而言b.一般与初等变换有关c.秩是矩阵等价的不变量,其次,两同型矩阵类似的本质是秩相等2.矩阵类似：a.针对方阵而言b.秩相等是须要前提c.本质是二者有相等的不变因子3.矩阵合同：a.针对方阵而言,一般是对称矩阵b.秩相等是必须前提c.本质是秩相等且正惯性指数相等,即尺度型雷同由以上知,秩是矩阵等价的不变量;不变因子是矩阵类似的不变量;特点值是可对角化矩阵类似的不变量,正负惯性指数是对称矩阵合同的不变量,等价关系最弱.合同与类似是特别的等价关系.由类似和合统必定可以推出等价,而反之不成立.类似与合同不成互推,须要必定的前提.并且等价是经由有限次初等变换变得;类似不必定会都与对角阵类似,类似矩阵可看作是统一线性变换在不合基下的矩阵;合同可以经由过程二次型的非退化的线性调换来懂得.停止语：矩阵中的这三种关系,在高级代数中是至关主要的,他们既包含着接洽,又蕴涵着不同.类似矩阵.合同矩阵必为等价矩阵,等价矩阵不必定是类似矩阵也不必定是合同矩阵;类似为正交类似,合同为正交合同时,类似与合统一致;秩是矩阵等价的不变量;不变因子是矩阵类似的不变量,特点值是可对角化矩阵类似的不变量,正负惯性指数是对称矩阵合同的不变量.参考文献：[1]张禾瑞.高级代数[M].北京：高级教导出版社,1983.[2]姚慕生.高级代数学[M].复旦：复旦大学出版社,1999.[3][M].北京：高级教导出版社,1988 .[4][M].北京：科学出版社,2006.[5]同济大学教研室. 线性代数[M].北京：高级教导出版社.,2001.[6][M].重庆：重庆大学出版社.,1994.。
两个矩阵合同
两个矩阵合同矩阵是线性代数中非常重要的概念，它是由一组数排列成的矩形数组。
在实际应用中，经常会遇到矩阵之间的运算和关系。
在本文中，我们将探讨两个矩阵之间的一个重要关系，即合同。
合同是指两个矩阵之间的一个特殊的关系。
具体来说，如果存在一个可逆矩阵P，使得两个矩阵A和B满足以下条件：A =P^TBP，其中P^T表示P的转置矩阵，那么我们称矩阵A与矩阵B合同。
接下来，我们将详细介绍合同关系的性质和应用。
首先，合同关系是一种等价关系。
也就是说，合同关系满足自反性、对称性和传递性。
自反性指的是任何矩阵与自身都是合同的，即对于任意矩阵A，都有A = I^TAI，其中I表示单位矩阵。
对称性表示如果矩阵A与矩阵B合同，那么矩阵B与矩阵A也合同。
传递性表示如果矩阵A与矩阵B合同，矩阵B与矩阵C合同，那么矩阵A与矩阵C也合同。
其次，合同关系保持了矩阵的某些重要特性。
例如，合同关系保持了矩阵的秩、行列式、特征值等。
具体来说，如果矩阵A 与矩阵B合同，那么它们的秩相同，行列式相同，特征值相同。
这一性质在矩阵相似和正交相似的研究中经常被使用。
此外，合同关系还可以通过对角化来简化矩阵的计算。
如果矩阵A与矩阵B合同，并且B是对角矩阵，那么A也可以对角化。
具体来说，如果B = diag(lambda_1, lambda_2, ...,lambda_n)，其中lambda_i表示B的对角线上的元素，那么存在一个可逆矩阵P，使得A = P^TBP = diag(lambda_1,lambda_2, ..., lambda_n)。
这样一来，我们只需要对B进行对角化得到lambda_i，然后通过P计算得到A的对角化形式。
最后，合同关系在实际应用中也具有很大的意义。
例如，在矩阵的相似变换中，合同关系是一个重要的概念。
两个矩阵相似意味着它们有相同的特征值，而合同关系则可以进一步展示它们有相同的行列式、秩等特性。
此外，在线性方程组的求解中，合同关系也可以用来简化计算。
等价矩阵 (自动保存的)
矩阵的三种等价关系及其一些应用姓名：郭长琦学号200740510208 指导教师：刘敏摘要：高等代数范围内,有关矩阵等价关系的计算是一个具有普遍重要的基本问题，在有限维线性空间中，矩阵的等价关系运算往往用到线性变换，由于线性变换在高等代数中的重要性，使得矩阵等价关系在高等代数中占有重要的地位。
本文主要简单地讨论了矩阵等价、矩阵合同、矩阵相似的条件及其应用，给出了这三种矩阵关系间的联系，即合同阵、相似阵必是等价阵;反之，不一定成立；正交相似与正交合同是一致的，并给出说明．关键词：等价矩阵相似矩阵合同矩阵Ｔhree kinds equivalence relation of the matrix and some applicationsAbstract: matrix equivalence relation in higher algebra occupies an important position. This paper briefly discusses matrix equivalent, matrix contract, matrix similar conditions and its application, give the relation between these three matrix of contact, namely contract array, similar array is equivalent array; Conversely, not necessarily to be formed; Orthogonal similarity and orthogonal contract is consistent, and give instructions.Keywords: rotation matrix similar matrix contract matrix矩阵是高等代数中最重要的知识点，贯穿于高等代数中，矩阵等价、矩阵合同、矩阵相似则是矩阵的三种基本关系，故首先给出其基本定义。
矩阵的三种等价关系
矩阵的三种等价关系摘要本文主要介绍矩阵的三种等价关系的定义及性质、各关系之间的不变量即等价不变量、合同不变量、相似不变量以及它们之间的联系。
同时，也将λ-矩阵的等价关系与矩阵的相似关系加以联系，这样增加了矩阵相似方法的判断也加强了知识的衔接。
关键字矩阵；矩阵的等价关系；矩阵的合同关系；矩阵的相似关系A matrix of three equivalence relationsAbstractThis paper mainly introduces three kinds of equivalent relation matrix and the three equivalence relations with the nature of the property, the connection between them and the three kinds of relations that equivalent invariants, contract invariant, similar invariants. At the same time, will also be equivalent relation of matrix and matrix similarity relation to contact, which increases the matrix similarity method judgment also strengthened the convergence of knowledge.Key wordsmatrix; the equivalence relation of matrix ;the contract relation of matrix ;the similar relation of matrix.0 引言在线性方程组的讨论中我们知道，线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程.除线性方程组外，还有大量的各种各样的问题也都提出矩阵的概念，并且这些问题的研究常常反映为有关矩阵的某些方面的研究，甚至于有些性质完全不同的、表面上完全没有联系的问题，归结成矩阵问题以后却是相同的.这就使矩阵成为数学中一个极其重要的应用广泛的概念,因而也就使矩阵成为代数特别是线性代数的一个主要的研究对象.我们的目的是讨论矩阵的一些基本性质.另外，新课程标准把矩阵作为高中的一个选修内容，进入教学，是希望通过中学的选修课，使得一部分对于数学有兴趣的学生，能够尽早的了解高等数学中非常重要的一些知识.这也凸显出矩阵在中学数学中的重要性.为了满足中学生对矩阵知识的渴望和矩阵初学者对矩阵基本性质的需求，我们研究了矩阵的三种基本关系即等价关系、合同关系、相似关系.首先，我们给出矩阵三种等价关系的定义及相关知识；其次，我们探究了矩阵三种等价关系所具有的性质、它们之间的联系以及满足这些关系所保持的量的不变性.同时，我们也提出了矩阵相似的几种等价定义，这可以使初学者更好的判断矩阵的相似性.1 矩阵的三种等价关系的定义1.1 矩阵的三种等价关系定义1.1.1 设矩阵A 、B 是数域P 上的矩阵，矩阵A 与B 称为等价的，如果B 可以由A 经过一系列的初等变换得到。
矩阵等价相似合同的关系
矩阵等价相似合同的关系等价指的是两个矩阵的秩一样。
合同指的是两个矩阵的正定性一样，也就是说，两个矩阵对应的特征值符号一样。
相似是指两个矩阵特征值一样。
相似必等价，合同必等价。
1.等价矩阵：同型矩阵A，B的秩相等，那么A，B等价，即是随意两个秩相等的同型矩阵通过初等变换都可以相互转化相等与另一个。
2.相似矩阵的定义是:存在可逆矩阵P，使得P--1AP=B，则称B是A的相似矩阵。
原因：A与B相似有一个必要条件就是A与B的特征值相同，即|B-aE|=|A-aE|所以|B-aE|=|P--1||A-aE||P|，所以|B-aE|=|P--1AP-aP--1EP|，即|B-aE|=|P--1AP-aE|所以B=P--1AP3.合同矩阵定义：若存在可逆矩阵C,使得C T AC=B，即A与B合同。
对于合同矩阵要从二次型说起，二次型为：f=X T AX。
可通过X=CY变换，即把X=CY带入，于是f=（CY)T A(CY)=Y T[C T AC]Y，其中令C T AC=B，即A与B合同。
首先相似不一定合同，合同也不一定相似，但是如果相似或者合同则必然等价，而等价却不能反推出相似或者合同，原因是前者只能是对方阵，而后者则只需要同型。
相似合同和等价都具有反身性。
对称性和传递性，合同和相似能推出等价是因为他们的秩相等。
而对于矩阵A只有当他是实对称矩阵时，存在C T AC=C--1AC，即这个时候矩阵合同和相似可以等价，这个时候C是正交矩阵，然而当C 不是正交矩阵时，则只能满足其中一个条件，或者说如果P--1AP=B,即A与B相似，但如果P不是正交矩阵，则不能称A与B合同，如果P T AP=B，即A与B合同，但是PP T≠I,则一样不能推出相似。
相似必合同，合同必等价。
等价就是矩阵拥有相同的r。
矩阵合同，C T AC=B，矩阵乘以可逆矩阵他的r不变，r(B)=r(C T AC)=r(AC)=r（A），等价。
同理两矩阵相似一定等价。
矩阵的等价,规定合同,相似的联系与区别
证明：设 与 的特征根均为 因为 与 阶实对称矩阵，则一定存在一个 阶正交矩阵Q使得 同理，一定能找到一个正交矩阵 使得 从而有
将上式两边左乘 和右乘 ,得
由于 , ,
有 ,所以， 是正交矩阵，由定理8知 与 相似．
定理10若 阶矩阵 与 中只要有一个正交矩阵，则 与 相似且合同．
反过来，对于矩阵 , 等价，但是 与 并不相似，即等价矩阵未必相似．
定理6对于 阶方阵 ，若存在 阶可逆矩阵 使 ,(即 与 等价)，且 ( 为 阶单位矩阵)，则 与 相似．
证明：设对于 阶方阵 与 ,若存在 阶可逆矩阵 ,使 ,即 与 等价．又知 ,若记 ,那么 ,也即 ,则矩阵 也相似．
定理7合同矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为合同矩阵．
(1) 矩阵 与 不仅为同型矩阵，而且是方阵.
(2) 存在数域 上的 阶矩阵 ,
性质2
（1）反身性：任意矩阵 都与自身合同.
（2）对称性：如果 与 合同，那么 也与 合同.
（3）传递性：如果 与 合同， 又与 合同，那么 与 合同.
因此矩阵的合同关系也是等价关系，而且由定义可以直接推得：合同矩阵的秩等.
(7) 相似矩阵有相同的秩，而且，如果 为满秩矩阵，那么 .
即满秩矩阵如果相似，那么它们的逆矩阵也相似.
(8）相似的矩阵有相同的行列式；
因为如果 ，则有：
(9）相似的矩阵或者都可逆，或者都不可逆；并且当它们可逆时，它们的逆矩阵相似；
设 ，若 可逆，则 从而 可逆.且 与 相似.
若 不可逆，则 不可逆，即 也不可逆.
证明：不妨设 是正交矩阵，则 可逆，取 ,有 ，则 与 相似，又知 是正交阵，所以 与 既相似又合同．
矩阵合同和相似的判断
矩阵合同和相似的判断篇一：矩阵间合同、等价、相似的联系与区别学号：矩阵间合同、等价、相似的联系与区别20XX年05月矩阵间等价、合同、相似的联系与区别xxxX摘要本文将要分三个步骤来逐步深入的探究矩阵间的三种关系及区别：首先，简要介绍矩阵作为高等师范院校数学与应用数学专业的基础学科的重要性,以及这一学科知识的理论性及应用性的特点；其次，简要介绍矩阵的概念及基本运算，给出矩阵的秩和逆的解法；最后，给出矩阵等价、合同、相似的定义，根据定义分析三者之间的联系与区别，并进一步给出具体例子使同学们有更加深刻的印象，组织学习小组联系实际自主学习将书面知识向实际能力转化，以自主创新的态度来对待生活中的难题,形成新思维使我们在未来学习工作中越走越顺.关键词矩阵、矩阵的等价、矩阵的相似、矩阵的合同The connection and distinction among three relationships of matricesthose are equivalent, contract, similarZhu Yan(College of Mathematics and Information Science, Henan Normal University, Xinxiang Henan 453007,China) Abstract The paper is divided into three steps to gradually in-depth exploration of three kinds of relationships among matrices and these differences: First, we have briefly introduced the importance of the matrix as a professional basis discipline in Normal Colleges and Applied Mathematics in the paper, meanwhile, we have introduced the knowledge of this discipline included it’s theory and application characteristics; Second, we have briefly introduced the concepts and basic operations of the matrix in the paper then the solution of the question about the rank of the matrix and the inverse are given in the paper; Finally, we have introduced definitions of the matrix’s equivalent, contract and similar in this paper, then, according to the definition we analyse the contact and distinction among those relationships , and further offers specific examples to analyse, so that students will have a more profound impression. Organized study groups practice self-learning and transforming thewritten knowledge to the actual ability of independent innovation attitude to deal with the problems in life, the formation of new thinking to make our future study and work farther and Shun.Keywordsmatrix; matrix contract ; matrix equivalent; matrix similarity目录前言 1 1矩阵的简介 1矩阵的简介1矩阵的运算矩阵乘积的行列式与秩矩阵的逆2 矩阵间的三种关系矩阵的等价矩阵的合同矩阵的相似 3 矩阵的等价、合同、相似之间的联系与区别矩阵间等价、相似、合同之间的联系矩阵的等价、相似、合同之间的区别 4 总结参考文献致谢2 6 7 8 8 9 9 11 11 13 14 16 17前言随着科技的高速发展，数学在生产生活中的应用愈加宽广和深入，其中在经济方面尤为突出，马克思曾说过:“一门学科只有成功地应用了数学时,才真正达到了完善的地步”.矩阵的作为高等师范院校数学与应用数学专业的基础内容,是高等代数的中心内容, 同时也是数学科学联系实际的主要桥梁之一.矩阵既是高等代数这一门数学专业课的重要内容,也是理、工科高等数学的基础,随着我国科技进步和现代化建设的飞速发展,医、农、工以至经济等社会科学各专业学生和工作人员,也越来越需要掌握它的基本理论与方法了. 矩阵概念在生产实践中也有许多应用，比如矩阵图法以及保护个人帐号的矩阵卡系统（由深圳域提出）等等.“矩阵”的本意也常被应用，比如监控系统中负责对前端视频源与控制线切换控制的模拟设备也叫矩阵.矩阵就是可以将多个变量放在矩阵中，然后通过具体数据和关系构建矩阵方程，这在数学建模中很重要，可以解决许多实际问题.本文将对矩阵的合同、矩阵的相似及矩阵的等价，这三类矩阵之间的关系就能行了解和探讨，并总结这三者的联系与区别. 1矩阵的简介矩阵的简介矩阵(Matrix)本意是子宫、控制中心的母体、孕育生命的地方.在数学上，矩阵是指纵横排列的二维数据表格，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵.这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出.1812年柯西引入矩阵概念以来 ,矩阵理论已成为数学发展中的一个重要分支 ,既是学习经典数学的基础 ,又是一门最有实用价值的数学理论 ,并且已成为现代科技领域处理大量有限维空间形式与数量关系的强有力的工具 .《线性代数》作为高等院校理工科学生必修的一门科目而矩阵在线性代数中处于核心地位.由参考文献[1]、[2] 我们看到，在线性方程组的讨论中，线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解线性方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程.除了线性方程组之外，还有大量的各种各样的问题也都提出矩阵的概念，并且这些问题的研究常常反映为有关矩阵的某些方面的研究，甚至于有些性质完全不同的、表面上完全没有联系的问题，归结成矩阵问题以后却是相同的.这使矩阵成为数学中一个极其重要的应用广泛的概念，因而也就使矩阵成为代数特别是线性代数的一个主要研究对象.用大写的拉丁字母A,B,，或者aij,bij,来表示矩阵.有时候，为了指明所讨论的矩阵的级数，可以把sn矩阵写成Asn,Bsn,，或者aijsn,bijsn, (注意矩阵符号与行列式的符号的区别).设Aaijmn,bijlk，如果ml,nk，且aijbij，对i1,2,,m;j1,2,,n都成立，我们就说AB.即只有完全一样的矩阵才叫做相等.矩阵的运算现在来定义矩阵的运算，以下定义在参考文献[3]—[6]中均有出现,这些运算是矩阵之间一些最基本的关系.下面要定义矩阵的加法、乘法、矩阵与数的乘法以及矩阵的转置.为了确定起见，我们取定一个数域，以下所讨论的矩阵全是由数域中的数组成的.1. 加法定义1 设a11a12a1na22a2naAaijsn21as1as2asn是两个sn矩阵，则矩阵Ccijsnaijbijsnb11b12b1nb21b22b2n,Bbijsnbs1bs2bsna11b11a12b12a1nb1na22b22a2nb2nab2121abas2bs2asnbsns 1s1称为A和B的和，记为CAB.相加的矩阵必须要有相同的行数和列数.矩阵的加法就是矩阵对应的元素相加，也就是数的加法，所以它有篇二：矩阵的等价,合同,相似的联系与区别目录摘要 ................................................ ................................................... ............ I 引言 ................................................ ................................................... ............. 1 1矩阵间的三种关系 ................................................ ....................................... 矩阵的等价关系 ................................................ ........................................ 矩阵的合同关系 ................................................ ...................................... 矩阵的相似关系 ................................................ ....................................... 2 2 矩阵的等价、合同和相似之间的联系 ................................................ ........ 3 3矩阵的等价、合同和相似之间的区别 ................................................ ......... 5 结束语 ................................................ ................................................... ......... 6 参考文献................................................. ................................................... .. (6)摘要:等价、合同和相似是矩阵中的三种等价关系，在矩阵这一知识块中占有举足轻重的地位.矩阵可逆性、矩阵的对角化问题、求矩阵特征根与特征向量、化二次型的标准形等诸多问题的解决都要依赖于这三种等价关系. 根据等价、合同和相似的联系的研究的结论是其一可利用等价矩阵的性质来确定相似矩阵或合同矩阵的性质．其二可利用正交相似与正交合同的一致性，得到二者间彼此的转化．关键词:矩阵的等价;矩阵的相似;矩阵的合同;等价条件引言：在高等代数中，讨论了矩阵的三种不同关系，它们分别为矩阵的等价、矩阵的相似和矩阵的合同等关系．本文首先介绍了这三种关系以及每种关系的定义，性质，相关定理及各自存在的条件，然后给出了这三种矩阵关系间的联系，即相似矩阵、合同矩阵必为等价矩阵，相似为正交相似，合同为正交合同时，相似与合同一致．还有矩阵的相似与合同之等价条件．并对这些结论作了相应的理论证明，最后给出了他们的区别和不变量.1矩阵间的三种关系矩阵的等价关系定义1两个sn矩阵A,B等价的充要条件为：存在可逆的s阶矩阵p与可逆的n阶矩阵Q，使BPAQ由矩阵的等价关系，可以得到矩阵A与B等价必须具备的两个条件：（1）矩阵A与B必为同型矩阵（不要求是方阵）.（2）存在s 阶可逆矩阵p和n阶可逆矩阵Q, 使得BPAQ.性质1（1）反身性：即AA.（2）对称性：若AB，则BA（3）传递性：即若AB，BC，则AC定理1 若A为mn矩阵，且r(A)r，则一定存在可逆矩阵P（m阶）和IrQ（n 阶），使得PAQB.其中Ir为r阶单位矩阵. 0mn推论1 设A、B是两mn矩阵，则AB当且仅当r(A)r(B). 矩阵的合同关系定义2设A,B均为数域p上的n阶方阵，若存在数域p上的n阶可逆矩阵p使得PTAPB,则称矩阵为合同矩阵（若数域p上n阶可逆矩阵p为正交矩阵），由矩阵的合同关系，不难得出矩阵A与B合同必须同时具备的两个条件： (1) 矩阵A与B不仅为同型矩阵，而且是方阵. (2) 存在数域p上的n阶矩阵p,PTAPB 性质2（1）反身性：任意矩阵A都与自身合同.（2）对称性：如果B与A合同，那么A也与B合同.（3）传递性：如果B与A合同，C又与B合同，那么C与A合同.因此矩阵的合同关系也是等价关系，而且由定义可以直接推得：合同矩阵的秩等.定理2 数域F上两个二次型等价的充要条件是它们的矩阵合同.定理3 复数域上秩为r的二次型，可以用适当的满秩线性变换化为标准形：22fy12y2yr矩阵的相似关系定义3设A,B均为数域p上n阶方阵，若存在数域p上n阶可逆矩阵p使得P1APB,则称矩阵A与B为相似矩阵（若n级可逆矩阵p为正交阵，则称A与B为正交相似矩阵）由矩阵的相似关系，不难得到矩阵A与B相似，必须同时具备两个条件(1) 矩阵A与B不仅为同型矩阵，而且是方阵 (2) 在数域p上n阶可逆矩阵P，使得P1APB性质3(1)反身性 AETAE ;(2)对称性由BCTAC即得AC1BC1;（3）传递性 A1C1TAC1和A2C2TA1C2即得 A2C1C2AC1C2 总之，合同是一种矩阵之间的等价关系，而且经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原二次型矩阵是合同的.(4) P(k1A1k2A2)Pk1PA1Pk2PA2P（其中k1,k2是任意常数）； (5）P(A1A2)P(PA1P)(PA2P)；(6）若A与B相似，则Am与Bm相似（m为正整数）；(7) 相似矩阵有相同的秩，而且，如果BPAP为满秩矩阵，那么B11TT111111(PAP)11PAP.11即满秩矩阵如果相似，那么它们的逆矩阵也相似.(8）相似的矩阵有相同的行列式；因为如果BP1AP，则有：BP1APP1APA(9）相似的矩阵或者都可逆，或者都不可逆；并且当它们可逆时，它们的逆矩阵相似；设BP1AP，若B可逆，则B1(P1AP)1PA1P1从而A可逆.且B1与A1相似.若B不可逆，则(P1AP)不可逆，即A也不可逆.下面这个性质是一个重要的结论，因此我们把它写成以下定理定理4 相似矩阵的特征值相同.推论3 相似矩阵有相同的迹.2 矩阵的等价、合同和相似之间的联系（1）由以上三种矩阵间的关系的定义，可以知道每一种矩阵关系存在所必须具备的条件，但是这三种关系彼此间存在着密切的联系定理5 相似矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为相似矩阵．证明：设n阶方阵A,B相似，由定义3知存在n阶可逆矩阵P1，使得P11AP1B此时若记PP11,QP1 ,则有PAQB,因此由定义1得到n阶方阵A,B等价反过来，对于矩阵A1001210,B等价，但是A与B并不相似。
判断两矩阵合同的方法(一)
判断两矩阵合同的方法(一)判断两矩阵合同介绍在矩阵运算中，判断两个矩阵是否合同（congruent）是一种常见的问题。
合同矩阵是指两个矩阵在尺寸和形状上完全相同，并且存在一种线性变换使得它们完全相等。
本文将介绍几种常见的方法来判断两个矩阵是否合同。
方法一：矩阵的秩通过计算两个矩阵的秩来判断它们是否合同。
如果两个矩阵的秩相等，则它们可能是合同的。
然而，这种方法并不一定准确，因为很多合同矩阵的秩并不相等。
方法二：特征值和特征向量特征值和特征向量也可以用来判断两个矩阵是否合同。
对于两个合同矩阵，它们具有相同的特征值和对应的特征向量。
因此，我们可以通过计算两个矩阵的特征值和特征向量来判断它们是否合同。
方法三：奇异值分解奇异值分解（singular value decomposition）是一种常用的矩阵分解方法，也可以用来判断两个矩阵是否合同。
对于两个合同矩阵，它们具有相同的奇异值。
因此，我们可以通过计算两个矩阵的奇异值来判断它们是否合同。
方法四：正交相似变换正交相似变换是一种保持向量长度和角度不变的线性变换。
对于两个合同矩阵，它们之间存在一种正交相似变换，使得它们完全相等。
因此，我们可以通过计算两个矩阵的正交相似变换来判断它们是否合同。
方法五：矩阵的迹和行列式对于两个合同矩阵，它们具有相同的迹（trace）和行列式（determinant）。
因此，我们可以通过计算两个矩阵的迹和行列式来判断它们是否合同。
方法六：相似矩阵相似矩阵是指通过相似变换（similarity transformation）相互转化的矩阵。
对于两个合同矩阵，它们是相似矩阵。
因此，我们可以通过判断两个矩阵是否相似来判断它们是否合同。
结论判断两个矩阵是否合同是一个重要的问题，在数学和工程领域中有广泛的应用。
本文介绍了几种常见的方法来判断两个矩阵是否合同，包括矩阵的秩、特征值和特征向量、奇异值分解、正交相似变换、矩阵的迹和行列式，以及相似矩阵。
等价、相似、合同的关系
矩阵等价、相似与合同的区别与联系等价、相似与合同是矩阵的三大变换.应了解其定义，关系及有关性険.1）定义及相互之间的关系设川，舟是曲X并矩璋.若花 S阶可逆矩阵卩和用阶可逆矩阵0,使得PAQ=B t则称£与j?等价，记为A=B■设〃是科谕方阵，若存在用阶可龙矩阵尸，使^P-i AP = Bf则称Z 与苏祸似，记为A -肌若存在闯阶可湮矩阵P使猱戸AP= E贝U称』与舟合同-记为4R ;若存总艸阶正交矩阵0 使得Q l AQ= Q^AQ= B则称M与E正交相f以.由定文可知其关系*如下图所示*2）性质（1）等价、相似与合同都具有反身性、对称性及传递性，即A - At At A a A （反身性）；若A", A~ R,则丹=』，E- A A｛对称性）；若』卷R,若A", K〜C则貝〜C；若, B^C则/ = C（传递性）•（2） A = E O A 与耳司型＞且rank A = rank S・若rank 4 = F *则（£A= r，称旨者为矩阵』的等价标准形O O⑶rank A= rank B ? det A - det B J A与E的释3E 澄7冃司“注听给閔都是必要条件，即由rank A= rank B?或det A = dctB ,或J4与必的特征值相同不能筆知』〜J!.但若/与J?都可对兔址，旦特花值相同，则4- J?.（3）用正交相似变换可将/化简成Q J AQ=Q-l AQ^对实对称矩阵/的这三种变换，一个比一个特殊，一个比一个限毛:更多，各有其优诀点•总的来说则为：限制越少则化简后的形式越简单，但变换后丢掉原矩阵的性质就越多.如（1）的形式量简单.但变换后只保留了秩不变：（2）的形式虽然比（1）稍复杂.叵变换后保留秩不变，对称性不变，正、负惯性指数不变；（3）的形式又更复杂一点，但变换后保留秩不变，对称性不变，正、负惯性指数不变，特征值不变.。
矩阵相似和合同
矩阵相似和合同
合同标题，矩阵相似和合同。
合同编号，[编号]
甲方，[甲方名称]
乙方，[乙方名称]
鉴于甲方与乙方希望就矩阵相似和合同达成协议，经双方友好协商，达成如下条款：
第一条合同目的。
甲方与乙方同意就矩阵相似和相关事宜订立本合同，明确双方权利义务，维护双方合法权益。
第二条矩阵相似定义。
矩阵相似是指对于矩阵A和B，存在非奇异矩阵P，使得P^-1 A P = B成立。
第三条合同范本提供。
甲方作为合同范本专家，将根据乙方的需求，提供关于矩阵相似的合同范本，确保合同的合法性和有效性。
第四条合同定制。
甲方将根据乙方的具体情况，定制符合法律法规的矩阵相似合同范本，并确保合同的准确性和全面性。
第五条法律咨询。
甲方将为乙方提供有关矩阵相似合同的法律咨询服务，解答乙方在合同起草过
程中的疑问，并确保乙方对合同条款的理解和满意。
第六条合同变更。
在合同履行过程中，如需变更合同内容，甲方将根据乙方的要求进行合同修改，并确保变更合同的合法性和有效性。
第七条合同解释。
本合同涉及的未尽事宜，甲乙双方可友好协商解决，如协商不成，依法解释。
第八条合同争议。
本合同如发生争议，甲乙双方应友好协商解决，协商不成的，提交有管辖权的
人民法院诉讼解决。
甲方（盖章），__________ 日期，__________。
乙方（盖章），__________ 日期，__________。
以上为矩阵相似和合同范本，甲乙双方确认无误后签署生效。
矩阵的等价,合同,相似的联系与区别
目录摘要 (I)引言 (1)1矩阵间的三种关系 (1)1.1 矩阵的等价关系 (1)1.2 矩阵的合同关系 (1)1.3. 矩阵的相似关系 (2)2 矩阵的等价、合同和相似之间的联系 (3)3矩阵的等价、合同和相似之间的区别 (5)结束语 (6)参考文献 (6)摘要:等价、合同和相似是矩阵中的三种等价关系，在矩阵这一知识块中占有举足轻重的地位.矩阵可逆性、矩阵的对角化问题、求矩阵特征根与特征向量、化二次型的标准形等诸多问题的解决都要依赖于这三种等价关系. 根据等价、合同和相似的联系的研究的结论是其一可利用等价矩阵的性质来确定相似矩阵或合同矩阵的性质．其二可利用正交相似与正交合同的一致性，得到二者间彼此的转化．关键词:矩阵的等价;矩阵的相似;矩阵的合同;等价条件引言：在高等代数中，讨论了矩阵的三种不同关系，它们分别为矩阵的等价、矩阵的相似和矩阵的合同等关系．本文首先介绍了这三种关系以及每种关系的定义，性质，相关定理及各自存在的条件，然后给出了这三种矩阵关系间的联系，即相似矩阵、合同矩阵必为等价矩阵，相似为正交相似，合同为正交合同时，相似与合同一致．还有矩阵的相似与合同之等价条件．并对这些结论作了相应的理论证明，最后给出了他们的区别和不变量.1矩阵间的三种关系1.1 矩阵的等价关系定义1 两个s n ⨯矩阵,A B 等价的充要条件为：存在可逆的s 阶矩阵p 与可逆的 n 阶矩阵Q ，使B PAQ =由矩阵的等价关系，可以得到矩阵A 与B 等价必须具备的两个条件：（1）矩阵A 与B 必为同型矩阵（不要求是方阵）.（2）存在s 阶可逆矩阵p 和n 阶可逆矩阵Q , 使得B PAQ =.性质1（1）反身性：即A A ≅.（2）对称性：若A B ≅，则B A ≅（3）传递性：即若A B ≅，B C ≅，则A C ≅定理1 若A 为m n ⨯矩阵，且()r A r =，则一定存在可逆矩阵P （m 阶）和Q （n 阶），使得000r m nI PAQ B ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭.其中r I 为r 阶单位矩阵. 推论1 设A B 、是两m n ⨯矩阵，则A B ≅当且仅当()()r A r B =.1.2 矩阵的合同关系定义2 设,A B 均为数域p 上的n 阶方阵，若存在数域p 上的n 阶可逆矩阵p ，使得T P AP B =,则称矩阵为合同矩阵（若数域p 上n 阶可逆矩阵p 为正交矩阵），由矩阵的合同关系，不难得出矩阵A 与B 合同必须同时具备的两个条件：(1) 矩阵A 与B 不仅为同型矩阵，而且是方阵.(2) 存在数域p 上的n 阶矩阵p ,T P AP B =性质2（1）反身性：任意矩阵A 都与自身合同.（2）对称性：如果B 与A 合同，那么A 也与B 合同.（3）传递性：如果B 与A 合同，C 又与B 合同，那么C 与A 合同.因此矩阵的合同关系也是等价关系，而且由定义可以直接推得：合同矩阵的秩等.定理2 数域F 上两个二次型等价的充要条件是它们的矩阵合同.定理3 复数域上秩为r 的二次型，可以用适当的满秩线性变换化为标准形：22212r f y y y =++ 1.3. 矩阵的相似关系定义3 设,A B 均为数域p 上n 阶方阵，若存在数域p 上n 阶可逆矩阵p 使得B AP P =-1,则称矩阵A 与B 为相似矩阵（若n 级可逆矩阵p 为正交阵，则称A 与B 为正交相似矩阵）由矩阵的相似关系，不难得到矩阵A 与B 相似，必须同时具备两个条件(1) 矩阵A 与B 不仅为同型矩阵，而且是方阵(2) 在数域p 上n 阶可逆矩阵P ，使得B AP P =-1性质3(1)反身性 T A E AE = ;(2)对称性 由T B C AC =即得()11T A C BC --=;（3）传递性 111T A C AC =和2212T A C AC =即得 ()()21212T A C C A C C总之，合同是一种矩阵之间的等价关系，而且经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原二次型矩阵是合同的.(4) 11111221122()P k A k A P k P A P k P A P ---+=+（其中12,k k 是任意常数）； (5）1111212()()()P A A P P A P P A P ---=；(6）若A 与B 相似，则m A 与m B 相似（m 为正整数）；(7) 相似矩阵有相同的秩，而且，如果1B P AP -=为满秩矩阵，那么11111()B P AP P A P -----==.即满秩矩阵如果相似，那么它们的逆矩阵也相似.(8）相似的矩阵有相同的行列式；因为如果1B P AP -=，则有：11B P AP P A P A --===(9）相似的矩阵或者都可逆，或者都不可逆；并且当它们可逆时，它们的逆矩阵相似；设1B P AP -=，若B 可逆，则11111()B P AP PA P -----==从而A 可逆.且1B -与1A -相似.若B 不可逆，则1()P AP -不可逆，即A 也不可逆.下面这个性质是一个重要的结论，因此我们把它写成以下定理定理4 相似矩阵的特征值相同.推论3 相似矩阵有相同的迹.2 矩阵的等价、合同和相似之间的联系（1） 由以上三种矩阵间的关系的定义，可以知道每一种矩阵关系存在所必须具备的条件，但是这三种关系彼此间存在着密切的联系定理5 相似矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为相似矩阵．证明： 设n 阶方阵,A B 相似，由定义3知存在n 阶可逆矩阵1P ，使得111P AP B -=，此时若记11P P -=,1Q P = ,则有PAQ B =,因此由定义1得到n 阶方阵,A B 等价反过来，对于矩阵100010A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,121010B ⎛⎫= ⎪⎝⎭等价，但是A 与B 并不相似，即等价矩阵未必相似．定理 6 对于n 阶方阵,A B ，若存在n 阶可逆矩阵,P Q 使PAQ B =,(即A 与B等价)，且PQ E = (E 为n 阶单位矩阵)，则A 与B 相似．证明： 设对于n 阶方阵A 与B ,若存在n 阶可逆矩阵,P Q ,使PAQ B =,即A 与B 等价．又知PQ E =,若记11P P -= ,那么1Q P =,也即111P AP B -=,则矩阵,A B 也相似．定理7 合同矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为合同矩阵．证明： 设n 阶方阵,A B 合同，由定义2有，存在n 阶可逆矩阵1P ，使得11TP AP B =，若记1TP P =,1Q P =,则有PAQ B =因此由定义1得到n 阶方阵,A B 等价反过来对于矩阵1001A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,1201B ⎛⎫= ⎪⎝⎭等价，但是A 与B 并不合同，即等价矩阵未必合同．定理8 正交相似矩阵必为合同矩阵，正交合同矩阵必为相似矩阵．证明：若存在一个正交矩阵P ,即T P P E =使得1P AP B -=即~A B ，则有1T B P AP P AP -==，即A 与B 合同.同理，若存在一个正交矩阵P ，即T P P E =使得T P AP B =即A 与B 合同，则有1~T B P AP P AP A B -==⇒由此可得1.相似阵、合同阵必为等价阵，但过来必成立2.相似阵为正交相似，合同阵为正交合同时，相似与合同一致.（2）但相似矩阵与合同矩阵有着一定的内在联系，如果两者都具有反身性、对称性和传递性，即两者都是等价关系．另外，在一定条件下，两者是等价的．若矩阵A 与B 正交相似，则它们既是相似也是合同的．对于相似与合同矩阵之等价条件有以下定理，定理9 如果A 与B 都是n 阶实对称矩阵，且有相同的特征根．则A 与B 既相似又合同．证明：设A 与B 的特征根均为n λλλ ,,21因为A 与n 阶实对称矩阵，则一定存在一个n 阶正交矩阵 Q 使得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-n AQ Q λλλ..211同理，一定能找到一个正交矩阵P 使得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-n BP P λλλ..211从而有BP P AQ Q 11--= 将上式两边左乘P 和右乘1-P ,得()()()1111111-------===QP A QP QP AQP PQ B 由于T Q Q E =,T P P E =,1P P E -=有()()()()1111111T T T T QP QP P Q QP P EP PP E -------====,所以，1-P Q 是正交矩阵，由定理8知A 与B 相似．定理10 若n 阶矩阵A 与B 中只要有一个正交矩阵，则AB 与BA 相似且合同． 证明：不妨设A 是正交矩阵，则A 可逆，取U A =,有()()111U ABU A ABA A A BA BA ---===，则AB 与BA 相似，又知A 是正交阵，所以AB 与BA 既相似又合同．定理11 若A 与B 相似且又合同，C 与D 相似也合同，则有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛C A 00与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛D B 00 既相似又合同． 证明: 因为A 与B ,C 与D 相似，故存在可逆矩阵1P ,2P ，使111122,P AP B P CP D --==,令1200P P P ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则1111200P P P ---⎛⎫= ⎪⎝⎭且10000A B P P C D -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛C A 00与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛D B 00相似． 又因为A 与B 合同，C 与D 合同,故存在可逆矩阵12,Q Q , 122,T T Q AQ B Q CQ D ==令1200Q Q Q ⎛⎫= ⎪⎝⎭而1200T T T Q Q Q ⎛⎫= ⎪⎝⎭11112222000000000000T T T T T Q Q A A Q Q A Q Q Q Q C C Q Q C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11220000T T B Q AQ D Q CQ ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛C A 00与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛D B 00合同． 3矩阵的等价、合同和相似之间的区别1、矩阵等价：a.同型矩阵而言b.一般与初等变换有关c.秩是矩阵等价的不变量，其次，两同型矩阵相似的本质是秩相等2、矩阵相似：a.针对方阵而言b.秩相等是必要条件c.本质是二者有相等的不变因子3、矩阵合同：a.针对方阵而言，一般是对称矩阵b.秩相等是必需条件c.本质是秩相等且正惯性指数相等，即标准型相同由以上知，秩是矩阵等价的不变量；不变因子是矩阵相似的不变量；特征值是可对角化矩阵相似的不变量，正负惯性指数是对称矩阵合同的不变量，等价关系最弱、合同与相似是特殊的等价关系.由相似和合同一定可以推出等价，而反之不成立.相似与合同不可互推，需要一定的条件.而且等价是经过有限次初等变换变得；相似不一定会都与对角阵相似，相似矩阵可看作是同一线性变换在不同基下的矩阵；合同可以通过二次型的非退化的线性替换来理解.结束语：矩阵中的这三种关系，在高等代数中是至关重要的，他们既包含着联系，又蕴涵着差别.相似矩阵、合同矩阵必为等价矩阵，等价矩阵不一定是相似矩阵也不一定是合同矩阵；相似为正交相似，合同为正交合同时，相似与合同一致；秩是矩阵等价的不变量；不变因子是矩阵相似的不变量，特征值是可对角化矩阵相似的不变量，正负惯性指数是对称矩阵合同的不变量.参考文献：[1]张禾瑞.高等代数[M].北京：高等教育出版社,1983.[2]姚慕生.高等代数学[M].复旦：复旦大学出版社,1999.[3]北大数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数[M].北京：高等教育出版社，1988 .[4]李志惠，李永明.高等代数中的典型问题与方法[M].北京：科学出版社，2006.[5]同济大学教研室. 线性代数[M].北京：高等教育出版社.，2001.[6]阎家灏.线性代数[M].重庆：重庆大学出版社.，1994.。
矩阵的合同与相似及其等价条件讲解
矩阵的相似与合同及其等价条件研究（数学与统计学院 09级数学与应用数学一班） 指导老师：王晶晶引言矩阵的相似与合同及其等价三者在线性代数中是很重要的概念，在线性代数的学习中，矩阵的相似与合同作为研究工具，得到广泛的应用[1-10]，起着非常重要的作用，能够把要处理的问题简单化[9]，本文对矩阵的等价，合同，相似进行了简单的介绍并对其判别方法给了具体的例子进行解释说明，对矩阵的应用学习有一定的帮助.1 矩阵的等价与相似及其合同的基本概念1.1矩阵等价的定义[1]定义 1.1 如果矩阵A 可以有矩阵B 经过有限次初等变换得到，称A 与B 是等价的.由于要与矩阵的相似，合同进行比较，上述概念可以约束条件得到：定义1.2 如果n 阶矩阵A 可以由n 阶矩阵B 进过有限次初等变换得到，则称A 与B 是等价的.根据初等变换和初等矩阵的关系以及可逆矩阵的充分必要条件，可以用数学语言描述：定义1.3 设矩阵A ,B 为n 阶矩阵，如果存在n 阶可逆矩阵P 和Q ,使得B PAQ =,则称矩阵A 与B 等价，记作A ∽B . 1.2 矩阵相似的定义[2]定义 1.4 设矩阵A ，B 为n 阶矩阵，如果存在一个是n 阶可逆矩阵P ，使得B AP P =-1,则称矩阵A 与矩阵B 相似，记作A ～B .1.2.1 n 阶矩阵的相似关系，具有下列性质[3]:性质1.1 反身性，即任一n 阶矩阵A 与自身相似. 性质1.2 对称性，即如果A ～B ，则B ～A . 性质1.3 传递性，如果A ～B ，B ～C ，则A ～C .性质1.4 P A k AP P k P A k A k P 221122111)(+=+--. （21,k k 是任意常数）性质1.5 ))(()(2111211P A P P A P P A A P ---=.性质1.6 若矩阵A 与矩阵B 相似，则m A 与m B 相似. （m 为正整数） 证明 存在一个可逆矩阵P ，使得B AP P =-1，那么()P A P B AP P m m m11--==，故可以得到m A 与相m B 相似.性质1.7 如果矩阵A 、B 都是满秩，则A ～B ，那么1-B ～1-A . 证明 存在一个可逆矩阵P ，使得B AP P =-1，那么()P A P B AP P 11111-----==，故可以得到1-B ～1-A .性质1.8 如果矩阵A ～B ，那么B A =.证明 存在一个可逆矩阵P ，使得B AP P =-1，又因为B AP P =-1，11=-P P ，故可以得到B A =.性质1.9 相似矩阵或者都可逆，或者都不可逆.并且当它们都可逆时候，它们的逆矩阵也相似.证明 设AP P B 1-=，若矩阵B 可逆，()P A P AP P B 11111-----==，从而1-B 和1-A 也相似.若B 不可逆，则AP P 1-不可逆，即A 也不可逆.性质1.10 相似矩阵有相同的特征值.证明 设AP P B 1-=，AP P EP P B E 11---=-λλ ()PA E P -=-λ1A E -=λ故矩阵A 的特征值与矩阵B 有相同的特征值.性质1.11 相似矩阵有相同的迹.证明 可以设矩阵A 与矩阵B 相似，那么存在一个可逆矩阵P ,使得B AP P =-1，()()AP P t B t r r 1-=()PA P t r 1-= ()A t r =例1 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3002A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2003B ，求分别求矩阵A 、B 的特征多项式，特征值秩,迹，行列式，矩阵A 与B 是否相似，它们之间有什么关系？解 从已知可知63002==A ，,2)(=A Rank 5)(=A t r 对于A 的特征多项式3002--=-λλλA E )3)(2(--=λλ 故A 的特征值为2和3.对于矩阵B ,62003==B ，,2)(=B Rank 5)(=B t r 矩阵B 的特征多项式)3)(2(23--=--=λλλλB .故矩阵B 的特征值是2和3.存在一个可逆矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0110P 使得B AP P =-1，从定义矩阵B 与矩阵A 相似. 从结果看到相似矩阵有相同的特征多项式、相同的特征值、相等的行列式的值、相等的迹[2-4].例2 设实数域上的3级实对称矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=124242421A ，对角矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=400050005B .求矩阵A 、B 的特征值，特征多项式并且矩阵A 与矩阵B 相似吗？如果相似求出可逆矩阵P .解 由矩阵A 的特征多项式为11020242421124242421-+---=---λλλλλλλ1242421---=λλλ )4()5(2+-=λλ 故矩阵A 的特征值为5和—4.容易知道矩阵B 的特征多项式和矩阵A 的相同，故矩阵B 的特征值为5和-4.那么存在一个可逆矩阵P ,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=325310315152552325154551P 验证得到B AP P =-1，那么矩阵A 与矩阵B 相似，它们有相同的特征值和特征多项式. 1.3 矩阵合同的定义[2]定义1.5 设A ，B 为n 阶矩阵，如果存在一个n 阶可逆矩阵C ，使得B AC C T =，则称A 与B 合同，记作B A ≅.n 阶矩阵的合同关系具有下列性质：⑴ 反身性: 即任一n 级矩阵与自身合同. ⑵ 对称性: 即如A 与B 合同，则B 与A 合同. ⑶ 传递性: A 与B 合同，B 与C 合同，则A 与C 合同. ⑷ 合同的两矩阵有相同的二次型标准型. ⑸ 任何一个实对称矩阵合同于一个对角矩阵.⑹ 两个实对称矩阵合同，它们的秩相等，而且正惯性指数相等.2. 合同矩阵与相似矩阵的关系2.1 矩阵的相似与合同的相同点[5].⑴ 从上面可以看到，相似关系满足反身性、对称性、传递性；合同关系也具有反身性、对称性、传递性.⑵ 相似 、合同矩阵均有相同的秩.若矩阵A 相似与矩阵B ，则)()(B Rank A Rank =，若矩阵A 合同于矩阵B ，则)()(B Rank A Rank =.可见，如果两个矩阵相似或合同，那么它们的秩相同.⑶ 相似与合同的矩阵要求是同型的方阵.若矩阵A 于矩阵B 相似，则要求A 、B 都是方阵；若A 合同与B ，则要求A 、B 都方阵.就是说相似与合同的矩阵要求是同型矩阵，而且都是方阵. 2.2 矩阵的相似与合同的不同点[5].矩阵的相似与合同有一些不同之处，如A ～B ，则B A =，A 与B 有相同的特征值.但若A ≅B ，那么A 与B 的行列式的值不一定相等；A 与B 也不一定有相同的特征值.例1 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=542452222A ,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=32455032454513145252T ,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1000010001B , 不难验证：B AT T T =，有B A ≅.我们可以知道上面的矩阵等式满足矩阵的合同同时满足矩阵的相似，能够知道矩阵T 为正交矩阵，故A ～B ，矩阵A 的行列式可以等于B 的行列式，下面举出合同但是行列式不等的情况.例2 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3221A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=12441B ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2001C . 经过验证可以知道1-=A ，4-=B ，然而B AC C T =，B A ≠，可以得到矩阵A 合同于B ，但是行列式可以不等.我们知道矩阵相似具有相同的特征值，这是因为相似矩阵有相同的特征多项式. 我们设A ～B ，则有可逆矩阵P ，使得AP P B 1-=，于是111()E B E P AP P E P P AP λλλ----=-=-=1()P E A P λ--=E A λ-故特征值相同.然而对于矩阵A 合同与矩阵B ，但是它们的特征值不一定相同:例3 设⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=121211A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=43001B ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=10211C 不难验证B AC C T =,即B A ≅，但是A 的特征值为21和23，B 的特征值为1和43显然，矩阵的相似与矩阵的合同是不同的概念. 2.3 矩阵等价、合同与相似的联系[7].结论2.1 相似矩阵一定是等价矩阵，等价矩阵未必为相似矩阵.证明 设n 级矩阵A 、B 相似，从定义知道存在n 阶矩阵P ，使得B AP P =-1，从等价的定义B A ≅.反过来，对于矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010001A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=010121B ，A 与B 等价，但是A 与B 并不相似.结论2.2 合同矩阵一定是等价矩阵，等价矩阵未必是合同矩阵.证明 设n 阶方阵B A ,合同，由定义1.5有，存在n 阶可逆矩阵1P ，使得B AP P T =1，若记11,P Q P P T== ,则有B PAQ =因此由定义1.3得到n 阶方阵B A ,等价.反过来对于矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1001A ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1021B 等价，但是A 与B 并不合同，即等价矩阵未必合同．2.4矩阵合同与相似的关系[7]结论2.3 如果M 与N 都是n 级对称矩阵，且有相同的特征值，则M 与N 既合同又相似.证明 设M 、N 的特征值均为1λ 、2λ、 n λ，因为M 与N 都是n 级实对称矩阵，则一定存在n 阶正交矩阵P ，使得：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n MP P λλ 11同理，可以找到一个正交矩阵Q ，使得：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n NQ Q λλ 11从上面两式有：NQ Q MP P 11--=将上式两边分别左乘Q 和又乘1-Q ，得：MPQ QP N 1`-= ()()11`1---=PQ M PQ由于 E QQ E PP T T ==, 故 T PQ 可逆，又由于：（1111)()()T TPQ PQ PQ Q P ----=T T QP PQ =E =所以1-PQ 是正交矩阵故M ～N N M ≅,结论2.4 若n 阶矩阵A 与B 中只要有一个正交矩阵，则AB 与BA 相似且合同． 证明 不妨A 是正交矩阵,则A 可逆取,A P =, 有()()BA BA A A ABA A ABP P ===---111，则AB 与BA 相似， 又A 是正交阵，所以AB 与BA 既相似又合同.结论2.5 若A ～B ,且B A ≅，C ～D 且D C ≅，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛C A 00～⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛D B 00，⎪⎪⎭⎫⎝⎛≅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛D B C A 0000证明 从已知，C ～B , C ～D ，故存在可逆矩阵1P ，2P 使得BAP P =-111D CP P =-212令 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=210P P P 则 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---1211100P P P且 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---21211110000CP P AP P P C A P⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=D B 00故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛C A 00～⎪⎪⎭⎫⎝⎛D B 00又因为D C B A ≅≅，，，故存在可逆矩阵1T ，2T ，使得 1122,T TT AT B T CT D ==令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2100T T T则 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=T TTT T T 2100 然而 112200000000T TT T A A T T T T C C T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11220000TT T T T T ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 11220000T TBT AT D T CT ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛C A 00≅⎪⎪⎭⎫⎝⎛D B 003 相似矩阵的应用3.1 相似矩阵的简单应用[8]在矩阵m A 的求解过程中，很难得到它的值，然而可以找到与矩阵A 相似的简单的矩阵，可把矩阵化简为对角矩阵，使得BP P A 1-=，其中P 为可逆矩阵,B 对角矩阵，可知矩阵A 与矩阵B 相似，那么()P B P BPP A m mm 11--==，从而可以使得不宜求的矩阵简单化。
矩阵的合同-等价与相似的联系与区别
矩阵的合同，等价与相似的联系与区别一、基本概念与性质（一）等价：1、概念。
若矩阵A 可以经过有限次初等变换化为B ，则称矩阵A 与B 等价，记为A B ≅。
2、矩阵等价的充要条件：3、向量组等价，两向量组等价是指两向量组可相互表出，有此可知：两向量组的秩相同，但两向量组各自的线性相关性却不相同。
（二）合同：1、概念，两个n 阶方阵A,B ，若存在可逆矩阵P ，使得A B ≅P T AP B =成立，则称A,B 合同，记作A B ≅该过程成为合同变换。
2、矩阵合同的充要条件：矩阵A,B 均为实对称矩阵，则A B ≅⇔二次型x T Ax 与x T Bx 有相等的E 负惯性指数，即有相同的标准型。
（三）相似1、概念：n 阶方阵A,B ，若存在一个可逆矩阵P 使得1B P AP -=成立，则称矩阵A,B 相似，记为~A B 。
2、矩阵相似的性质：3、矩阵相似的充分条件及充要条件：①充分条件：矩阵A,B 有相同的不变因子或行列式因子。
②充要条件：~()()A B E A E B λλ⇔-≅-二、矩阵相等、合同、相似的关系（一）、矩阵相等与向量组等价的关系：设矩阵 12(,,,)n A λλλ=，12(,,,)m B βββ=1、若向量组（12,,,m βββ）是向量组（12,,,n λλλ）的极大线性无关组,则有m n ≤，即有两向量等价，而两向量组线性相关性却不同，钱者一定线性无关，而后者未必线性无关。
而矩阵B 与A 亦不同型，虽然()()r A r B =但不能得出A B ≅。
2、若m=n ，两向量组（12,,,n λλλ）≅（12,,,m βββ）则有矩阵A,B同型且()()~,,r A r B A B A B A B =⇒≅r()()A r B A B =⇒≅。
3、若r()()A B A r B ≅⇒=⇒两向量组秩相同，⇐两向量组等价，即有1212(,,,)(,,,)n n A B λλλβββ≅≠>≅综上所述：矩阵等价与向量等价不可互推。
矩阵的合同,等价与相似的联系与区别
矩阵的合同，等价与相似的联系与区别一、基本概念与性质（一）等价：1、概念。
若矩阵A可以经过有限次初等变换化为B,则称矩阵A与B 等价，记为A三B。
2、矩阵等价的充要条件：A.B同型，且人r（A）=r（B）—存在可逆矩阵P和Q,使得PAQ=成立3、向量组等价，两向量组等价是指两向量组可相互表出，有此可知：两向量组的秩相同，但两向量组各自的线性相关性却不相同。
（二）合同：1、概念，两个n阶方阵A,B，若存在可逆矩阵P,使得A三BP T AP = B 成立，则称A,B合同，记作A三B该过程成为合同变换。
2、矩阵合同的充要条件：矩阵A,B均为实对称矩阵，则A二B=二次型X T A X 与X T B X有相等的E负惯性指数，即有相同的标准型。
（三）相似1、概念：n阶方阵A,B，若存在一个可逆矩阵P使得B = P'AP成立，则称矩阵A,B相似，记为A~B。
2、矩阵相似的性质：A T ~B T,A k~B k,A J~ B J(前提，A,B均可逆)| E-A |=| ■ E - B|即A,B有相同的特征值(反之不成立)A〜B n r(A)=r(B)tr(A) =tr(B)即A,B的逆相等 |A|=|B|3、矩阵相似的充分条件及充要条件：①充分条件：矩阵A,B有相同的不变因子或行列式因子。
②充要条件：A〜Bu (.E—A)m(.E — B)二、矩阵相等、合同、相似的关系(一)、矩阵相等与向量组等价的关系：设矩阵 A =(，1,2 丨1( J n)， B = ( ：i, F)1、若向量组()是向量组(’1, '2,川，’n)的极大线性无关组,则有m^n，即有两向量等价，而两向量组线性相关性却不同，钱者一定线性无关，而后者未必线性无关。
而矩阵B与A亦不同型，虽然r(A)=r(B)但不能得出A三B。
2、若m=n两向量组(人,毎,川,打)兰(f 川严m)则有矩阵A,B同型且r(A)二r(B)二 A 〜B, A LI B, A 二 B r( A)二r(B)二 A 二B。
【精编范文】矩阵的合同与相似-范文word版 (18页)
本文部分内容来自网络整理，本司不为其真实性负责，如有异议或侵权请及时联系，本司将立即删除！== 本文为word格式，下载后可方便编辑和修改！ ==矩阵的合同与相似篇一：矩阵的合同,等价与相似的联系与区别矩阵的合同，等价与相似的联系与区别201X09113 李娟娟一、基本概念与性质（一）等价：1、概念。
若矩阵A可以经过有限次初等变换化为B，则称矩阵A与B等价，记为A?B。
2、矩阵等价的充要条件：A?B?{A.B同型，且人r(A)=r(B) 存在可逆矩阵P和Q，使得PAQ=B成立3、向量组等价，两向量组等价是指两向量组可相互表出，有此可知：两向量组的秩相同，但两向量组各自的线性相关性却不相同。
（二）合同：1、概念，两个n阶方阵A,B，若存在可逆矩阵P，使得A?BPTAP=B成立，则称A,B合同，记作A?B该过程成为合同变换。
2、矩阵合同的充要条件：矩阵A,B均为实对称矩阵，则A?B?二次型xTAx与xTBx有相等的E负惯性指数，即有相同的标准型。
（三）相似1、概念：n阶方阵A,B，若存在一个可逆矩阵P使得B=P-1AP成立，则称矩阵A,B相似，记为A~B。
2、矩阵相似的性质：AT~BT,Ak~Bk,A-1~B-1(前提，A,B均可逆)|λE-A|=|λE-B|即A,B有相同的特征值（反之不成立）A~B?r(A)=r(B)tr(A)=tr(B)即A,B的逆相等|A|=|B|3、矩阵相似的充分条件及充要条件：①充分条件：矩阵A,B有相同的不变因子或行列式因子。
②充要条件：A~B?(λE-A)?(λE-B)二、矩阵相等、合同、相似的关系（一）、矩阵相等与向量组等价的关系：设矩阵A=(λ1,λ2, ,λn)，B=(β1,β2, ,βm)1、若向量组（β1,β2, ,βm）是向量组（λ1,λ2, ,λn）的极大线性无关组,则有m≤n，即有两向量等价，而两向量组线性相关性却不同，钱者一定线性无关，而后者未必线性无关。
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相似，合同与等价
1 等价的意思就是秩相等 PA=B 说明行向量组秩相等 AP=B 是列。
当A为方阵时候 PAQ=B
秩相等
2正交就是说里面的行（列）全部正交
3相似说明AB 等秩，行列式一样，特征值一样但是特征向量不同，相似能推出合同
实数对称矩阵一定能有N个正定的特征向量（其他矩阵只能推出线性无关）一定有对角矩阵与其对应。
A行列式=0 说明有秩为0
4A合同B （等秩）就是说正负惯性指数一样，其他的都可能不同就是说A秩是正数个数和B一样负的个数也一样， 0 非负非正。
也可以数二次型的平方的系数正负的数量是一样的，用这2种方法解题目。
求秩，求二次型系数
5正定（等秩）说明实对称矩阵的特征值全部大于0 ，主子式也大于0 ，相互间的行列式符号一样，对角线上的数全为正
6对于实对称矩阵，相似一定合同，但是合同不一定相似。
考察合同关键看正负惯性指数。
所以只要判断出两个秩相等的实对称矩阵的特征值符号就行了。
7矩阵的三种关系：
1等价：s*n矩阵A,B等价<=>存在可逆的s阶P和n阶Q使得B=PAQ.
2合同：A,B，均为数域P上的n阶方阵，若存在数域P上的n阶可逆矩阵P使得PAP=B。
3相似：A,B，均为数域P上的n阶方阵,若存在数域P上的n阶可逆矩阵P使得P-1AP=B。
(若P正交，则为正交相似矩阵)
4三种关系的联系：a，相似矩阵一定是等价矩阵，反之不然。
b，A,B，均为数域P上的n阶方阵，若存在数域P上的n阶可逆矩阵P,Q,使得PAQ=B,且PQ=E,则A与B相似。
c，正交矩阵必为合同矩阵，正交合同矩阵比为相似矩阵;相似阵，合同阵必为等价阵，反之不然；相似阵为正交相似，合同阵为正交合同，此时相思和合同一致。
d，相似与合同矩阵之等价TH:
1、A与B都是n阶实对称矩阵，且有相同的特征根，则A与B既
相似又合同。
（实对称矩阵可以正交对角化）
2、n阶矩阵A与B中只有一个正交矩阵，则AB与BA相似且合同。
3、A与B相似且合同，C与D相似且合同,则（A O/OC）与(BO/OD)
既相似又合同。