《微积分发展简史》PPT课件

主要内容
微积分的基本概念还包括函数、无穷 序列、无穷级数和连续等，运算方法主要 有符号运算技巧，该技巧与初等代数和数 学归纳法紧密相连。
微积分被延伸到微分方程、向量分析、 变分法、复分析、时域微分和微分拓扑等 领域。微积分的现代版本是实分析。
主要内容
极限
微积分中最重要的概念是“极限”。微商 （即导数）是一种极限。定积分也是一种极限。
主要内容
导数
也就是说，一个函数的自变量趋近某一极限 时，其因变量的增量与自变量的增量之商的极限即 为导数。在速度问题上，距离是时间的因变量，随 时间变化而变化，当时间趋于某一极限时，距离增 量除以时间增量的极限即为距离对时间的导数。
导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切 线斜率。
主要内容
微分学
积分学的主要内容包括：定积分、不定积 分等。
主要内容
微积分主要有三大类分支：极限、微分学、积分学。
微积分的基本理论表明了微分和积分是互逆运 算。牛顿和莱布尼茨发现了这个定理以后才引起了 其他学者对于微积分学的狂热的研究。这个发现使 我们在微分和积分之间互相转换。这个基本理论也 提供了一个用代数计算许多积分问题的方法，该方 法并不真正进行极限运算而是通过发现不定积分。 该理论也可以解决一些微分方程的问题，解决未知 数的积分。微分问题在科学领域无处不在。
微积分的创立是人类精神的最高胜利。
——恩格斯《自然辩证法》
目录
微积分的主要内容
微积分发展史
牛顿和莱布尼茨
主要内容
微积分学是微分学(Differential Calculs)和积 分学(Integral Calculs)统称,英文简称 Calculs,意为计算。
微分学的主要内容包括：极限理论、导数、 微分等。
主要内容
微积分的符号
微分学中的符号“dx”、“dy”等，系 由莱布尼茨首先使用。其中的d 源自拉丁语 中“差”（Differentia ）的第一个字母。积 分符号“∫”亦由莱布尼茨所创，它是拉丁语 “总和”（Summa）的第一个字母s 的伸长 (和Σ有相同的意义)。
微积分发展史
微积分的萌芽
微积分的发展 微积分的建立 微积分的严格化
公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研 究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线 下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含 着近代积分学的思想。
微积分的发展
近代微积分的酝酿，主要是在17世纪上半 叶这半个世纪。
为了理解这一酝酿的背景，我们首先来赂 微回顾一下这一时期自然科学的一般形势和天 文、力学等领域发生的重大事件。
从牛顿实际使用它到制定出周密的定义，数 学家们奋斗了200 多年。现在使用的定义是维斯特 拉斯于 19 世纪中叶给出的。
数列极限就是当一个有顺序的数列往前延伸 时，如果存在一个有限数（非无限大的数），使这 个数列可以无限地接近这个数，这个数就是这个数 列的极限。
主要内容
数列极限的表示方法
其中L就是极限的值。例如当
首先是1608年，荷兰眼镜制造商里帕席发 明了望远镜，不久伽利略将他制成的第一架天 文望远镜对准星空而作出了令世人惊奇不已的 天文发现。望远镜的发明不仅引起了天文学的 新高涨，而且推动了光学的研究。
微积分的发展
1619年，开普勒公布了他的最后一条行星 运动定律。开普勒行星运动三大定律要意是：
1、行星运动的轨道是椭圆，太阳位于该椭 圆的一个焦点；
凡此一切，标志着自文艺复兴以来在资本 主义生产力刺激下蓬勃发展的自然科学开始迈 入综合与突破的阶段，而这种综合与突破所面 临的数学困难，使微分学的基本问题空前地成 为人们关注的焦点。
微积分的发展
当时，人们主要集中的焦点有：非匀速运 动物体的速度与加速度使瞬时变化率问题的研 究成为当务之急；望远镜的光程设计需要确定 透镜曲面上任一点的法线，这又使求任意曲线 的切线问题变得不可回避；确定炮弹的最大射 程及寻求行星轨道的近日点与远日点等涉及的 函数极大值、极小值问题也亟待解决。
微分学主要研究的是在函数自变量变化 时如何确定函数值的瞬时变化率(或微分) 。 换言之，计算导数的方法就叫微分学。微分 学的另一个计算方法是牛顿法，该算法又叫 应用几何法，主要通过函数曲线的切线来寻 找点斜率。费马常被称作“微分学的鼻祖”。
积分学
主要内容
积分学是微分学的逆运算，即从导数推算出
原函数。又分为定积分与不定积分。一个一元函 数的定积分可以定义为无穷多小矩形的面积和， 约等于函数曲线下包含的实际面积。根据以上认 识，我们可以用积分来计算平面上一条曲线所包 含的面积、球体或圆锥体的表面积或体积等。 而 不定积分，用途较少，主要用于微分方程的解。
时，
它的极限为L= 0。就是说 n 越大(越往前延伸)，这
个值越趋近于0。
主要内容
导数
我们知道在运动学中，平均速度等于通过的 距离除以所花费的时间，同样在一小段间隔的时间 内，除上其走过的一小段距离，等于这一小段时间 内的速度，但当这一小段间隔的时间趋于零时，这 时的速度为瞬时速度，无法按照通常的除法计算， 这时的速度为时间的导数。得用求导的方法计算。
2、由太阳到行星的矢径在相等的时间内扫 过的面积相等；
3、行星绕太阳公转周期的平方，与其椭圆 轨道的半长轴的立方成正比。
开普勒主要是通过观测归纳出这三条定律 从数学上推证开普勒的经验定律，成为当时自然 科学的中心课题之一。
微积分的发展
1638年，伽利略的《关于两门新科学的对 话》出版。伽利略建立了自由落体定律、动量 定律等，为动力学奠定了基础；他认识到弹道 的抛物线性质，并断言炮弹的最大射程应在发 射角为45度时达到，等等。伽利略本人竭力倡 导自然科学的数学化，他的著作激起了人们对 他所确立的动力学概念与定律作精确的数学表 述的巨大热情。
微积分的萌芽
中国数学家的极限、积分思想
“割圆术”（魏晋刘徽） 一尺之棰，日取其半，万世不竭（战国庄周）
圆周率、球体积、球表面积的研究（祖冲之、祖暅）
刘徽 “割圆术”
庄子.天下篇
微积分的萌芽
外国数学家的极限、积分思想
欧几里得(公元前330年～前2பைடு நூலகம்5年)是 古希腊数学家，以其所著的《几何原本》闻名 于世，其中对不可约量及面积与体积的研究， 包含了穷竭法的萌芽。