二次函数图形的变化
人教版九年级数学上册《二次函数y=ax2的图象与性质》二次函数PPT精品课件
课堂检测
巩固练习
对应训练
第二十二章 二次函数
《超越训练》 P34：例2+达标训练
课堂检测
基础巩固题
第二十二章 二次函数
1.函数y=2x2的图象的开口向上 , 对称轴y轴
是 (0,0) ; 在对称轴的左侧，y随x的增大而 减小 ,
,顶点 y
在对称轴的右侧, y随x的增大而 增大 .
O
x
2.函数y=-3x2的图象的开口 向下 ,对称 y轴
2
口大小与a的大小有什么关系？
的图象开
当a<0时，a越小（即a的绝对 值越大），开口越小.
－4 －2 －2
24
－4
－6
y 1 x2 2
－8
y x2
y 2x2
对于抛物线 y = ax 2 ，｜a｜越大，抛物线的开口越小．
知识探究 归纳
y＝ax2 图象
位置开 口方向
对称性 顶点最值
增减性
第二十二章 二次函数
1.y＝x2的图象是一条抛物线; 2.图象开口向上; 3.图象关于y轴对称; 4.顶点（ 0 ，0 ）; 5.图象有最低点．
y y=x2
o
x
知识探究
第二十二章 二次函数
说说二次函数y=-x2的图象有哪些性质，并与同伴交
流.
1.y＝-x2的图象是一条 抛物线;
y
o
x
2.图象开口向下;
3.图象关于y轴对称;
画出函数y=-x2的图象.
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
y -4 -2 0 2 4 x
-3
-6 -9
二次函数概念和图像
二次函数概念与性质【知识概要】1.二次函数的概念一般地，解析式形如（其中a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数．二次函数的定义域为一切实数．2.二次函数图像特征二次函数的图像是一条曲线，类似于抛出物体在空中所经过的路线，所以称为抛物线．二次函数的图像，叫做抛物线．开口方向：抛物线的开口向上或者向下．对称轴：二次函数的图像是轴对称图形．抛物线左侧部分沿着对称轴翻转能得到右侧部分的图像．顶点：抛物线与对称轴的交点，为抛物线的最低点或最高点．3.特殊二次函数的性质与图像◆一般地，二次函数（其中是常数，且）的图像是抛物线，称为抛物线．这时，是这条抛物线的表达式．抛物线（其中a是常数，且）的图像性质如下：（1）开口方向：由a所取值的符号决定，当时，它的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，它的开口向下，顶点是抛物线的最高点．（2）对称轴：轴，即直线．（3）顶点：原点．◆一般地，二次函数的图像是抛物线，称为抛物线，它可以通过将抛物线向上（时）或向下（时）平移个单位得到．由此可知抛物线（其中是常数，且）的图像性质如下：（1）开口方向：当时，它的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，它的开口向下，顶点是抛物线的最高点．（2）对称轴：轴，即直线．（3）顶点：．一般地，抛物线（其中a、m是常数，且）可以通过将抛物线向左（时）或向右（时）平移个单位得到．由此可知：抛物线（其中a、m是常数，且）的图像性质如下：（1）开口方向：当时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点．（2）对称轴：过点且平行（或重合）于轴的直线，即直线．（3）顶点：．4.一般二次函数的性质与图像抛物线（其中a、m、k是常数，且）的图像性质如下：（1）开口方向：当时，它的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，它的开口向下，顶点是抛物线的最高点．（2）对称轴：是过点且平行（或重合）于轴的直线，即直线．（3）顶点：．对二次整式配方，得所以．将上式与作比较，得由此可知，抛物线（其中是常数，且）的图像性质如下：（1）开口方向：当时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点．（2）对称轴：直线．（3）顶点：．一般地，对于抛物线，沿着轴正方向看，可见它的变化情况如下：当时，抛物线在对称轴（即直线）左侧的部分是下降的，在对称轴右侧的部分是上升的；当时，抛物线在对称轴（即直线）左侧的部分是上升的，在对称轴右侧的部分是下降的．5.二次函数解析式二次函数的解析式有三种常见形式：（1）一般式：（a、b、c是常数，）；（2）顶点式：（a、m、k是常数，），其中为顶点坐标；（3）交点式：（a、、是常数，），其中、为抛物线与x轴的两个交点的横坐标．6.求解析式的题型（1）根据实际问题列函数关系式根据实际问题列函数关系式要弄清各个变量、常量之间的内在联系，将实际问题抽象成数学问题，弄清楚哪些是自变量，哪些是函数，它们之间的关系可采用列表、画图等方式来寻找．（2）根据几何图形中的数量关系列函数关系式在几何图形中，要认真分析图形，先找出哪些是函数，哪些是自变量，其关键是正确找出图形之间的关系或等量关系（3）用待定系数法求二次函数的解析式．确定二次函数解析式常用的方法是待定系数法．【典例精讲】1. 已知A、B两点在二次函数的图像上．（1）如果两点的坐标分别是，，求的值；（2）如果不重合的两点的坐标分别是、，求的值．【分析】根据函数图像的性质，用代入法将A、B两点的纵、横坐标分别代替函数中的y、x，再计算求值．【解】（1）由题意，得，．∴，．当时，；当时，．所以，的值为或．（2）因为A、B两点的纵坐标相等且不重合，所以由图像的对称性，可知A、B关于y轴对称．∴．2.一个函数的图像是一条以y轴为对称轴、以原点为顶点的抛物线，且经过．（1）求这个函数的解析式；（2）写出抛物线上点A关于y轴对称的点B的坐标，并计算△OAB的面积．（3）【解】（1）设所求函数的解析式为．因为抛物线过点，所以，解得．所以，这个函数的解析式为．（2）由抛物线的对称性，可知关于y轴的对称点B的坐标为．∴．设△OAB中AB边上的高为OC，易知．∴．3.已知：两个二次函数的图像经过点、、．（1）求这个函数的解析式；（2）求这个函数图像的对称轴和顶点坐标，并指出其开口方向；（3）这个函数的值能否为负数？为什么？【解】（1）设所求二次函数的解析式为．因为函数图像过、、三点，所以，解这个方程组，得．因此，所求二次函数的解析式．（2）．所以，这个二次函数图像的对称轴为直线，顶点坐标为．（3）由，知这个函数图像的开口方向向上，顶点是最低点，所以，这个函数的图像在x轴的上方．因此，，由此得出这个函数的值不可能为负数．【课堂练习】二次函数概念1. 下列函数是二次函数的是_____________．A 、B 、C 、D 、解：A 、分母中含自变量，不是二次函数，错误；B 、表达式中含有两个自变量，不是二次函数，错误；C 、式子变形为，是二次函数，正确；D 、式子变形为，不是二次函数，错误．故选C ．【说明】判断函数是否是二次函数，首先要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后根据二次函数的定义作出判断．2. 若265(1)mm y m x --=+是二次函数，则_____________由题意得：；且；解得或；，∴．3. （1）形如的函数只有在______________的条件下才是二次函数．（2）取哪些值时，函数是以为自变量的二次函数？（3）若函数是以为自变量的一次函数，则取哪些值？解：（1）,,a b c 都是常数，且．（2）由，得且．当m 取不等于0，也不等于1的任意实数时，函数是以为自变量的二次函数．（3）若函数是以为自变量的一次函数，则，得．4.下列各式中，一定是二次函数的有①；②；③；④；⑤（a，b，c为常数）；⑥（m为常数）；⑦（m为常数）．解：①，含有两个自变量，不是二次函数；②，是二次函数；③，是一次函数；④，分母中含有自变量，不是二次函数；⑤（a，b，c为常数），不一定是二次函数；⑥（m为常数），一定是二次函数；⑦（m为常数）不一定是二次函数．∴只有②⑥一定是二次函数．5.已知函数，当_____________时，图象是一条直线；当m_____________时，图象是抛物线；当m_____________时，抛物线过坐标原点．解：根据一次函数的定义可知：，；根据二次函数的定义可知：，时，图象是抛物线；当，且时，抛物线过坐标原点．故答案为：1，，．二次函数图像6. 分别通过怎样的平移可由抛物线的图像得到抛物线和的图像？解：抛物线由抛物线向左平移1个单位得到；抛物线由抛物线向右平移1个单位得到．7. 在同一直角坐标系中与（）的图像的大致位置是（ ）答案：D ．8. 函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，则a 、b 、c ，∆，c b a ++，c b a +-的符号为 ，第8题图 第9题图9.已知：函数c bx ax y ++=2的图象如上图：那么函数解析式为（ ） （A ）322++-=x x y （B ）322--=x x y （C ）322+--=x x y （D ）322---=x x y10. 已知一次函数y ax c =+二次函数2(0)y ax bx c a =++≠,它们在同一坐标系中的大-1 O X=1Y X3o-13 y x致图象是( ).11. 通过配方，确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并作出该抛物线的大致图像．解：，所以该抛物线开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为． 在对称轴两侧找出四点、、、以及顶点，描点，连线，如图所示．【说明】描点画图时，要根据抛物线的特点，一般先找到顶点，并用虚线画对称轴，然后再对称描点，最后用平滑曲线顺次联结各点，注意顶点处不要画成“尖角”．【说明】（1）对的顶点坐标可直角用顶点坐标公式，这里是直接配方得．（2）作二次函数的图像主要抓住抛物线开口方向，顶点坐标，对称轴及两轴的交点等主要环节．12.二次函数2y ax bx c =++的图象过点（1，0）（0，3），对称轴1x =-。
《二次函数的图像和性质》PPT课件 人教版九年级数学
y=20x2+40x+20③
d=
学生以小组形式讨论，并由每组代表总结.
探究新知
【分析】认真观察以上出现的三个函数解析式，
分别说出哪些是常数、自变量和函数．
函数解析式
y=6x2
自变量
函数
x
y
n
d
x
y
这些函数自变量的最高次项都是二次的！
这些函数有什
么共同点？
探究新知
二次函数的定义
一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的
总结二次
函数概念
二次函数y=ax²+bx+c
（a，b，c为常数，a≠0）
确定二次函数解
析式及自变量的
取值范围
二次函数的判别:
①含未知数的代数式为整式；
②未知数最高次数为2；
③二次项系数不为0.
人教版 数学 九年级 上册
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.2
二次函数y=ax2的
图象和性质
导入新知
探究新知
方法点拨
运用定义法判断一个函数是否为二次函数的
步骤：
（1）将函数解析式右边整理为含自变量的代
数式，左边是函数（因变量）的形式；
（2）判断右边含自变量的代数式是否是整式；
（3）判断自变量的最高次数是否是2；
（4）判断二次项系数是否不等于0.
巩固练习
下列函数中,哪些是二次函数？
(1) y=3(x-1)²+1（是）
（1） 你们喜欢打篮球吗？
（2）你们知道投篮时，篮球运动的路线是什么
曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？
素养目标
初中数学解密二次函数的变化规律
初中数学解密二次函数的变化规律二次函数是数学中非常重要的一类函数，它的图像形状是一个抛物线。
在初中数学中，我们通过学习二次函数的变化规律，可以更好地理解和应用这一概念。
本文将通过解密二次函数的变化规律，帮助我们更好地掌握这一知识点。
首先，我们来了解一下二次函数的一般式和顶点式。
二次函数的一般式为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是常数，且a ≠ 0；二次函数的顶点式为：y = a(x - h)^2 + k，其中a、h、k是常数，且a ≠ 0。
通过这两种表示方式，我们可以在具体问题中进行选择，便于计算和分析。
接下来，我们解密二次函数的变化规律。
二次函数在坐标系中的图像是一个抛物线，其变化规律可以描述为：当a>0时，抛物线开口向上，顶点在最低点；当a<0时，抛物线开口向下，顶点在最高点。
这是因为a决定了抛物线的开口方向和形状，而顶点则决定了抛物线的最高点或最低点。
其次，我们来研究二次函数的平移。
平移是指将二次函数的图像在坐标系中沿x轴或y轴方向移动。
对于顶点式y = a(x - h)^2 + k，横向平移h个单位可以表示为：y = a(x - (h - t))^2 + k，其中t是平移的单位数；纵向平移k个单位可以表示为：y = a(x - h)^2 + (k - t)，其中t是平移的单位数。
通过平移，我们可以将二次函数的图像在坐标系中灵活地进行调整，便于我们观察和研究其性质。
此外，我们需要了解二次函数的对称性。
二次函数关于其自身的顶点对称。
换句话说，如果顶点坐标为(h, k)，那么(-h, k)也是图像上的一点。
这一性质可以通过二次函数的一般式和顶点式来进行证明。
对于一般式y = ax^2 + bx + c，通过平方完全平方公式可以转化为顶点式y= a(x - h)^2 + k，其中h = -b / (2a)，k = c - b^2 / (4a)。
因此，(-h, k)也是图像上的一点。
二次函数的图像和轨迹
二次函数的图像和轨迹二次函数是高中数学中的重要概念，它在代数、几何以及实际问题中都有广泛的应用。
本文将探讨二次函数的图像和轨迹，通过图形和数学方程来帮助读者更好地理解这个概念。
1. 二次函数的定义和一般形式二次函数是指形如f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c是实数且a≠0。
这个函数的图像通常是一个开口朝上或朝下的抛物线。
当a>0时，抛物线开口朝上；当a<0时，抛物线开口朝下。
2. 抛物线的顶点和对称轴对于二次函数f(x) = ax² + bx + c，抛物线的顶点坐标可以通过求解方程-f(x) = ax² + bx + c的最值来得到。
顶点的横坐标是x = -b/(2a)，纵坐标是f(-b/(2a))。
这个顶点处于抛物线的最低点或最高点，也是抛物线的中心。
抛物线的对称轴是通过顶点且垂直于x轴的直线。
它的方程为x = -b/(2a)。
对称轴将抛物线分成两个对称的部分。
3. 抛物线的开口方向和轨迹根据二次函数的系数a可以确定抛物线的开口方向。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
开口方向对应了二次函数的正负性质。
根据抛物线的开口方向，可以推测二次函数的图像在坐标系中的轨迹。
当a>0时，抛物线的轨迹在y轴的正半轴上方；当a<0时，抛物线的轨迹在y轴的负半轴上方。
4. 抛物线的焦点和直线的切线对于二次函数f(x) = ax² + bx + c，如果a≠0，那么抛物线将与y轴交于点(0, c)。
这个点称为抛物线的焦点。
抛物线上的每个点都有一条切线。
切线与抛物线在该点处相切，并且切线斜率等于抛物线在那点的导数。
对于二次函数，可以根据导数的定义来求解切线的斜率，并再结合该点的坐标得到切线的方程。
5. 抛物线在坐标系中的平移通过修改二次函数的系数b和c，可以使得抛物线在坐标系中进行平移。
当b≠0时，抛物线将在x轴方向上平移；当c≠0时，抛物线将在y轴方向上平移。
二次函数图表总结
二次函数图表总结二次函数图表总结y＝ax图象2a>0ay＝ax+k图象2a>0a0开口对称性顶点k0ky＝a(x-ｈ)2图象a>0a0开口对称性顶点增减性h0hy＝a(x-ｈ)+k2a>0a0,k>0h>0,k0,kh0顶点是最低点左右平移y=ax2+k上下平移y=a(xh)2+k上下平移y=a(xh)2左右平移y=ax2一般地,抛物线y=a(x-h)+k与y=ax2的形状相同,位置不同。
2y=ax2向上(k>0)【或向下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h0)【或下(k扩展阅读：二次函数单元总结二次函数单元总结【知识归纳和总结】一、知识网络二次函数的定义yax2bxc(a0)yax2(a0)二次函数的图像ya(xm)2k(a0)yax2bxc(a0)二次函数二次函数的性质开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性，二次函数与一元二次方程的关系二次函数的应用最大面积、利润等二、知识要点分布1.二次函数的定义：形如yax2bxc(a、b、c为常数，a0）的函数叫二次函数。
任何一个二次函数的表达式都可以化为yax2bxc的形式，这就是二次函数的一般形式。
2.二次函数表达式的几种形式：（1）y=ax2；（2）y=ax2+k；（3）y=a(x+h)2；（4）（5）y=ax2+bx+c(a0)。
y=a(x+h)2+k；3.二次函数表达式的形式及对称轴、顶点坐标。
（1）一般式：yaxbxc(a、b、c为常数，a0），其对称轴为直线x=-2b，顶点2ab4ac-b2坐标为-,。
2a4a（2）顶点式：y=a(x+h)+k(a、h、k为常数，a0），其对称轴为直线x=-h，顶点坐标为-h,k。
（3）交点式：y=ax-x1x-x2，其中a0，x1、x2是抛物线与x轴两个交点的横坐标，即一元二次方程ax-x1x-x2=0的两个根。
4.二次函数图像之间的平移关系1向上（k>0）或向下（k0）或向下（k0）或向下（k0a对称轴顶点坐标直线x=-b2a直线x=-b2ab4ac-b2-,2a4a当x-小；当x-大；b4ac-b2-,2a4a 当x-大；性质增减性b时，y随x的增大而减2ab时，y随x的增大而增2ab时，y随x的增大而增2ab时，y随x的增大而减2a当x-小；最值当x=-b时，y有最小值，2a当x=-b时，y有最大值，2a4ac-b2y最小值=4a","p":{"h":19.298,"w":9.111,"x":407.786,"y":455.644,"z":象而具体了。
二次函数图像的变换及解析式的确定(必考)
2，解得a=2,∴抛物线的解析式为 = ሺ − ሻ − = − + .
>
/m
<
解法2：∵抛物线 = + + 的对称轴为x=2，且与x轴交于点(1,0)，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），∴抛物线的解析式为 = ሺ −
+ ሻሺ − ሻ，把(0,3)代入，得a·3×(-1)=3，解得a=-1，
∴该二次函数的表达式为 = −ሺ + ሻሺ − ሻ，
即 = − − + .
>
m
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>
/m
<
类型8 利用平移变换求抛物线解析式
（人教九上P35例3改编）将二次函数 = 22 + 4 + 1 的图象向右平移2个
<
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/m
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m
<
>
/m
<
续表
变换形式
图象关系
点坐标变化
横坐标 互
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<
关于 轴
>
m
<
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m
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/m
<
为相反数，
>
/m
<
系数关系
不变
______
本质
相同
开口方向______
相 − 值______，
变号
互为____
2
反数
二次函数的图像及其性质
单调性
二次函数的开口 方向由系数a决 定，a>0时开口 向上，a<0时开 口向下
二次函数的对称 轴为x=-b/a
二次函数的最值 在对称轴上取得， 即x=-b/2a时的 函数值y=cb^2/4a
二次函数在区间 (-∞,-b/2a)和(b/2a,+∞)上单 调性相反
最值点
二次函数的最值点为顶点 顶点的坐标为(-b/2a, f(-b/2a)) 当a>0时，函数在顶点处取得最小值 当a<0时，函数在顶点处取得最大值
开口大小与一次项 系数和常数项无关
开口变化趋势
二次函数的开口方向由二次项系数a决定，a>0时向上开口，a<0时向下开口。 二次函数的开口大小由二次项系数a和一次项系数b共同决定，a的绝对值越大，开口越小。 二次函数的对称轴为x=-b/2a，当a>0时，对称轴为x=-b/2a；当a<0时，对称轴为x=-b/2a。 二次函数的最值点为顶点，顶点的坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
在物理领域的应用
二次函数在抛物线运动中的应用 二次函数在弹簧振荡中的应用 二次函数在单摆运动中的应用 二次函数在简谐振动中的应用
在其他领域的应用
二次函数在经济学中的应用， 例如计算成本、收益、利润等。
二次函数在生物学中的应用， 例如种群增长、药物疗效等。
二次函数在物理学中的应用， 例如弹簧振动、单摆运动等。
二次函数的应用
解决实际问题
二次函数在物理学中的应用，例如计算抛物线的运动轨迹 二次函数在经济学中的应用，例如计算商品价格与销售量的关系
二次函数在日常生活中的应用，例如计算最优化问题，如最小费用、最大效率等
二次函数在科学实验中的应用，例如模拟实验数据，预测实验结果
二次函数的图象、方程与图形的位置关系
二次函数图象与x轴的交点个数与判别式的关系
二次函数图象与y轴数的零点
二次函数图象与y轴的交点位置可以确定抛物线的对称轴
二次函数图象与y轴的交点位置可以确定抛物线的开口方向
二次函数图象与y轴的交点坐标为(0,c)，其中c是常数项
XX,a click to unlimited possibilities
二次函数的图象、方程与图形的位置关系
目录
01
单击添加目录标题
02
二次函数的图象
03
二次函数的方程
04
二次函数的图象与图形位置关系
01
添加章节标题
02
二次函数的图象
二次函数的标准形式
二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c
开口方向与顶点位置的关系：顶点位于x轴下方时，开口向上；顶点位于x轴上方时，开口向下。
开口方向与函数值的变化趋势：开口向上的函数值随着x的增大而增大；开口向下的函数值随着x的增大而减小。
二次函数的顶点
顶点的坐标公式为(-b/2a, f(-b/2a))
顶点的位置与开口方向有关，开口向上时顶点为最低点，开口向下时顶点为最高点
当二次函数的图象与x轴平行时，一次函数图象与y轴平行
当二次函数的图象与y轴垂直时，一次函数图象与x轴垂直
当二次函数的图象与x轴垂直时，一次函数图象与y轴垂直
当二次函数的图象与y轴平行时，一次函数图象与x轴平行
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定义：二次方程的判别式是用于判断二次方程实数根的数量的公式，记作Δ。
单击添加标题
判别情况：当Δ>0时，二次方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，二次方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，二次方程没有实数根。
二次函数图像的变换
二次函数是初中数学中最精彩的内容之一，也是历年中考的热点和难点。
其中，关于函数解析式的确定是非常重要的题型。
而今年的中考正是面临新课程改革，教材的内容和学习要求变化较大，其中一个突出的变化就是强化了对图形变换的要求，那么二次函数和图形变化的结合，将是同学们在学习中不可忽视的内容。
图形变换包含平移、轴对称、旋转、位似四种变换，那么二次函数的图像在其图形变化(平移、轴对称、旋转)的过程中，如何完成解析式的确定呢？解决此类问题的方法很多，关键在于解决问题的着眼点。
笔者认为最好的方法是用顶点式的方法。
因此解题时，先将二次函数解析式化为顶点式，确定其顶点坐标，再根据具体图形变换的特点，确定变化后新的顶点坐标及a值。
1、平移：二次函数图像经过平移变换不会改变图形的形状和开口方向，因此a值不变。
顶点位置将会随着整个图像的平移而变化，因此只要按照点的移动规律，求出新的顶点坐标即可确定其解析式。
例1.将二次函数y=x2-2x-3的图像向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到的新的图像解析式为_____分析：将y=x2-2x-3化为顶点式y=(x-1)2-4，a值为1，顶点坐标为(1，-4)，将其图像向上平移2个单位，再向右平移1个单位，那么顶点也会相应移动，其坐标为(2，-2),由于平移不改变二次函数的图像的形状和开口方向，因此a值不变，故平移后的解析式为y=(x-2)2-2。
2、轴对称：此图形变换包括x轴对称和关于y轴对称两种方式。
二次函数图像关于x轴对称的图像，其形状不变，但开口方向相反，因此a值为原来的相反数。
顶点位置改变，只要根据关于x轴对称的点的坐标特征求出新的顶点坐标，即可确定其解析式。
二次函数图像关于y轴对称的图像，其形状和开口方向都不变，因此a值不变。
但是顶点位置会改变，只要根据关于y轴对称的点的坐标特征求出新的顶点坐标，即可确定其解析式。
例2.求抛物线y=x2-2x-3关于x轴以及y轴对称的抛物线的解析式。
二次函数旋转规律总结
二次函数旋转规律总结二次函数是高中数学学科中一种重要函数，它可以用来描述各种几何图形，如抛物线、椭圆以及双曲线，也可以用来描述物理量，如力学模型中的势能曲线等。
函数的旋转是指使函数围绕原点旋转某一角度，二次函数旋转也是一个重要的概念，它是对函数图像形状的变化，理解这方面的结论也有助于我们更加深入地研究函数变换。
一、旋转前的函数旋转前的函数将其表示为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为实数。
此函数即可以描述抛物线，也可以描述势能曲线。
二、旋转后的函数在旋转后，函数表达式可以表示为y=a(cosθx-sinθy)^2+b(cos θx-sinθy)+c，其中θ为旋转的角度，a、b、c为实数。
利用这个公式，我们可以推导出二次函数旋转规律：1、原点不变，即旋转后函数的原点仍为原点；2、斜率不变，即旋转后函数的斜率仍为原函数的斜率；3、椭圆变成椭圆，双曲线变成双曲线；4、椭圆的长轴不变，短轴变成原长轴的正余弦值的乘积，双曲线的曲率半径不变；5、在椭圆或双曲线的顶点附近，曲线几乎没有变化。
三、旋转过程的解释为了正确理解上述规律，我们需要从函数的极坐标表示法出发，即函数表达式y=a(cosθx-sinθy)^2+b(cosθx-sinθy)+c，极坐标系中的点可以表示为(r,θ)，它们分别表示该点到极点 (0,0)距离，和该点与正 x之间的角度。
首先，为了表示旋转前的函数，可以使用极坐标系中的表示法：y=(ar^2+br+c)cosθ。
也就是说，在极坐标系中，一个点的实际坐标是由该点的极坐标和角度θ的乘积决定的。
因此，在旋转过程中，某点的旋转前的实际坐标(x,y)可以用旋转后的实际坐标(xy表示：x=xcosθ-ysinθ，y=xsinθ+ycosθ，可以看出，旋转后的函数和旋转前的函数的关系就是来源于旋转过程中点的实际坐标的关系。
四、旋转规律的应用二次函数旋转规律的应用也很广泛，例如它可以用来求解几何形状的变换，如圆、椭圆和抛物线等，也可以用来解决力学问题，例如弹力学中的静力学模型，如相位问题、轨道问题等。
22.1.1 二次函数的图像及性质1 课件 人教版数学九年级上册
（2）a,b,c为常数，且 a≠0.
（3 ）等式的右边最高次数为 2 ，可以没有
一次项和常数项，但不能没有二次项。
（4）x的取值范围是 任意实数 。
二次函数的一般形式: y＝ax2＋bx＋c , (其中a、b、c是常数 a≠0)
二次函数的特殊形式：
(5)y= _x1_²－x
(否) (6)v= 3 r ²
(7) y=x²+x³+25 (否) (8)y=2²+2x
(是) (否)
(9)y=mx²+nx+p (m,n,p为常数）
例1、下列函数中，哪些是二次函数？若是,分别
指出二次项系数,一次项系数,常数项.
(1) y=3(x-1)²+1
(2)
y=x+
的关系,对于x的每一个值, y都有一个对应值,即y是x的
函数.
观察
函数①②③有什么共同点?
y=6x2①
d
1 2
n2
3 2
n②
y 20 x2 40x 20③
y是x的函数吗？y是x的一次函数？反比例函数？
在上面的问题中,函数都是用自变量的二次式 表示的,
定义：一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是 常数,a≠ 0)的函数叫做x的二次函数。
观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算 相应的y值,完成下表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
描点,连线 y 10 8 6 4 2
y=x2
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -2
二次函数 y=x2的图象 形如物体抛 射时所经过 的路线,我们 把它叫做抛 物线
二次函数的图象与性质
举 例
解 对称轴是直线x=-1，顶点坐标为(-1，-3).
x
-1
0
1
2
3
…
-3
-2.5
-1
1.5
5
…
列表：自变量x从顶点的横坐标-1开始取值.
例4 画二次函数 的图象.
描点和连线：画出图象在对称轴右边的部分. 利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分. 这样我们得到了函数 的图象.
二次函数的图象与性质
1.2
本节内容
我们已经学习过用描点法画一次函数、反比例函数的图象，如何画一个二次函数
的图象呢？
探究
列表：由于自变量x可以取任意实数，因此让x取 和一些互为相反数的数，并且算出相应 的函数值，列成下表：
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
…
9
4
1
0
1
4
9
…
描点：在平面直角坐标系内，以x取的值为横坐标， 相应的函数值为纵坐标，描出相应的点. 如 下图所示.
解
由于点（-2，1）是该抛物线的顶点，可设这个 抛物线所表示的二次函数的表达式为 y=a(x+2)2+1.
因此，所求的二次函数的表达式为
解得
练习
1. 说出下列二次函数的图象的对称轴、顶点坐标和开口方向：
答：对称轴为直线x=9，顶点(9，7)，开口向上.
答：对称轴为直线x=-18，顶点(-18，-13)，开口向下.
壹
一般地，当a＞0时，y=ax2的图象都具有上述性质.
贰
于是我们在画y=ax2(a＞0)的图象时，可以 先画出图象在y轴右边的部分，然后利用对称性，画出图象在y轴左边的部分.
二次函数的图像与性质
学情分析：本节内容是学生学习了正比例函数、一次函数和反比例函数以后，进一步学习的函数知识，是函数知识螺旋发展的一个重要环节.二次函数曲线——抛物线，也是人们最为熟悉的曲线之一.喷泉的水流、标枪的投掷等都形成抛物线路径.同时抛物线形状在建筑上也有着广泛的应用，如抛物线型拱桥、抛物线型隧道等.本节课研究最简单的二次函数y=±x2的图象,是学生学习函数知识的过程中的一个重要环节，既是前面所学知识的延续，又是探究其它二此函数的图象及其性质的基础，起到承上启下的作用.教学目标：1. 知识与技能目标(1）能够利用描点法作出函数y=x2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y= ax2的性质．（2）猜想并能作出y=- x2的图象，能比较它与y= x2的图象的异同．2.过程与方法目标（1）经历探索二次函数y= x2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验．（2）由函数y= x2的图象及性质，对比地学习y=- x2的图象及性质，并能比较出它们的异同点，培养学生的类比学习能力和发展学生的求同求异思维．3.情感、态度与价值观目标（1）经历探索的过程发现抛物线的性质，体会探索发现的乐趣，增强学习数学的自信心．（2）通过小组交流、讨论、比较，研究二次函数y= x2和y=- x2的图象，培养学生合作意识和交流能力．教学重点：经历探索二次函数y=±x2的图象的作法和性质的过程，理解二次函数y=a x2的性质．教学难点：描点法画y= x2的图象，体会数与形的相互联系。
教学过程：一、创设情境，提出问题学生观察：喷泉的水流、篮球的投掷形成的路径，抛物线型拱桥、抛物线型隧道，都与抛掷一个物体形成的路径的曲线类似，由此导入课题.紧接着提出两个问题：1．我们已经学过哪些函数？研究函数问题的一般步骤是怎样的？2．一次函数、反比例函数的图象各是怎样的图形？（设计意图：让学生回顾已学的函数类型、图象及研究函数问题的一般思路，以便学生运用类比的方法研究二次函数的相关问题．）二、合作交流，探究新知1．认识抛物线问题：一次函数的图象是一条直线，二次函数的图象是什么形状呢？让我们先来研究最简单的二次函数y＝x2的图象．大家还记得画函数图象的一般步骤吗？（设计意图：通过这个问题让学生回忆起用描点法画图的一般步骤，以便于学生下一步的画图．）画一画:你能试着用描点法画二次函数y= x2的图象吗?（两名学生上台板演，其他学生在下面尝试画图．在学生画图时，教师溶入到学生中，了解并搜集学生可能出现的各种问题．比如：学生可能会画成折线、半个抛物线、没画出延伸的趋势等情形，这时正好针对问题鼓励小组间互相讨论、相互比较，交流各自的观点．）问题：通过刚才的分析你认为在画y= x2的图象时：（1）列表取值应注意什么问题？(取对称的7或5个点)（2）点和点之间用什么样的线连接? （用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接）（学生尝试描述y= x2的图象,建立和实际问题的联系.再通过投篮的动态演示,形象的描述并体会y= x2的图象的形状是抛物线，并且与开始的引例相呼应.）（设计意图:长期以来，我们的学生为什么对数学不感兴趣，甚至害怕数学，其中的一个重要因素就是数学离学生的生活实际太远了.事实上，数学学习应该与学生的生活经验融合起来，让他们在生活中去发现数学、发现生活中的数学、探究数学、认识并掌握数学.）2.探究抛物线y= x2的性质议一议:请你观察y=x2的图象,你能得到哪些方面的性质，然后分组讨论．（在学生讨论交流之后,请每组的学生代表一一发表自己的观察结果．在此过程中，教师不能作裁判，而要把评判权交给学生，注意培养学生语言的规范化、条理化 .待学生发表自己的观点之后系统地总结一下y= x2的图象的性质）抛物线y=x2的性质（1）开口：抛物线的开口向上．（2）对称性:它是轴对称图形，对称轴是y轴（或x=0）．（3）增减性：在对称轴的左侧（x<0时），y随x的增大而减小；在对称轴的右侧（x>0），y随着x的增大而增大.（4）顶点：图象与x轴有交点，这个交点也是对称轴与抛物线的交点，称为抛物线的顶点，同时也是图象的最低点，坐标为（0，0）．（5）最值：因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=0时，y最小=0．1x2的图像，后总结图像的性质类似地：让学生再分组画出函数y= 2x2 y=2（设计意图：在此问题上，不再按课本上的问题一一叠列给学生，而是给学生一个开放的空间，给学生一个交流的平台，一个展现自我的空间．仁者见仁，智者见智，不同的学生肯定会有不同的认识，通过小组讨论与交流，学生可以相互学习，共同提高．）3.探究抛物线y=-x2的性质想一想:（1）二次函数y=- x2的图象是什么形状？先想一想，然后作出它的图象．(2) 类似的你能说出它的性质吗?（让学生先猜想再画图验证，在学生画图时可让每一小组部分同学将y= x2与y=-x2的图象画在一个坐标系内,而后学生通过讨论交流得出结论，教师只给以必要的引导．）1x2的图像，后总结图像的性质类似地：让学生再分组画出函数y=- 2x2 y= -2（设计意图：这一问题设计为学生提供思考的空间，培养学生在观察、分析、对比、交流中发展分析能力和从图象中获取信息的能力．）议一议:函数y＝x2与y＝－x2的图象及其性质有何异同？（学生观察图形，通过小组讨论，归纳y＝x2与y＝－x2的图象及其性质的异同,然后回答，学生想不到的，及时给予引导.）不同点：开口方向不同：函数值随自变量的增大的变化趋势而不同：函数的最值不同：相同点：关系：它们的图像关于x轴对称（设计意图：通过比较y＝x2与y＝－x2的性质的异同，让学生更充分地理解y ＝±x2的性质．）三、变式训练，巩固提高（课堂检测）1．在二次函数y= x2的图象上，与点A(-5，25)对称的点的坐标是．顶点为：_____2．点(x1，y1)、 (x2，y2)在抛物线y=-3x2上，且x1＞ x2＞0，则y1_____y2. 3．设边长为x cm的正方形的面积为y cm2，y是x的函数，该函数的图象是下列各图形中（）（设计意图：通过一组简单的练习题，及时巩固所学知识，使学生品尝到成功的喜悦．）四、总结反思,纳入系统通过今天的学习，你是否对二次函数y=a x2有了一些新的认识？能谈谈你的想法吗？（由学生总结本节课所学习的主要内容.在学生归纳的基础上总结它们的区别与生的素质，并且逐渐培养学生的良好的个性品质.）五、课后延伸,提升能力你能类比地画出函数：12+y的图象吗？动手画一下吧！=x教学反思：针对本节课的特点，采用“创设情境—作图探索—总结归纳—知识运用”为主线的教学方法.把教学的重心放在如何促进学生的“学”上，引导学生采用观察、实验、自主探索、小组活动、集体交流等多样化的学习方式.教学过程中始终坚持学生为主体,教师为主导的方针，使探究知识和培养能力融为一体,让学生不仅学到科学探究的方法,而且体验到探究的甘苦,领会到成功的喜悦.。
二次函数的旋转
二次函数的旋转二次函数可是数学里很有趣的一部分呢，今天咱们就来聊聊二次函数的旋转。
二次函数的图像通常是一条抛物线，那要是把这个抛物线旋转一下，可就有很多好玩的事情发生啦。
咱们先从简单的说起吧。
当二次函数y = ax2+bx + c（a≠0）的图像绕着原点旋转的时候，就像是给这个抛物线来了个大翻身。
比如说，如果是绕原点旋转180度，那原来在x轴上方的部分就会跑到x轴下方，原来在x轴下方的部分就会跑到x轴上方。
这时候，函数的表达式也会发生变化哦。
对于绕原点旋转180度的情况，新的函数表达式就会变成 - y = a(-x)2+b(-x)+c，化简一下就是y = -ax2 - bx - c。
你看，就这么一旋转，函数的样子就变了不少呢。
再说说绕其他点旋转的情况吧。
假设我们要把二次函数的图像绕着点（m，n）旋转。
这可就有点复杂啦，我们得先把坐标进行平移，把（m，n）这个点移到原点，然后按照绕原点旋转的方法来操作，最后再把坐标平移回去。
这个过程就像是给抛物线做了一场旅行，先把它送到一个方便操作的地方，旋转好了再送回来。
在实际解决二次函数旋转的问题时，我们可以借助图形来理解。
你可以在纸上画出二次函数的图像，然后用圆规或者其他工具来模拟旋转的过程。
这样就能更直观地看到旋转前后的变化啦。
比如说，对于一些特殊的二次函数，像y = x2，它的图像是一个很标准的抛物线，当我们旋转它的时候，通过画图就能清楚地看到新的抛物线的形状和位置。
而且呀，二次函数旋转在很多实际问题中也有应用呢。
比如说在一些建筑设计或者艺术创作中，可能就会用到二次函数旋转的知识。
想象一下，一个漂亮的建筑造型，可能就是由一个二次函数的图像旋转之后得到的。
这时候，数学就不仅仅是书本上的知识，而是变成了实实在在的美啦。
另外，我们还可以从向量的角度来理解二次函数的旋转。
把二次函数图像上的每个点看作一个向量，旋转的过程就相当于对这些向量进行旋转操作。
这样从不同的角度去理解，能让我们对二次函数的旋转有更深入的认识。
二次函数图像与性质
x=0时,y最大值=c
抛物线y=ax2 +c (a≠0)的图象的对称轴都是y轴，顶 点都在y轴上。
x y=x2 y=x2-2
….. …… ……
-2 4
-1 1
0 0
1 1
2 4
…… ……
2
-1
8
y
0
-1
2
……
函数y=x2-2的图象 可由y=x2的图象 沿y轴向下平移2 个单位长度得到. 相同
-10 -5
y 轴右侧，y随x增大而增大
8 6
4
不同点：a 值越大，抛物线的开 口越小． 2 －4 －2 2 4
探究
2 画出函数 y x , y
线有什么共同点和不同点．
1 2 x , y 2 x 2 的图象，并考虑这些抛物 2
x
· · · －4
· · · －8
－3 －4.5
－1.5 －4.5
3. 对称轴，都是y轴， 可以怎么表示
4. 增减性和谁有关系，以谁为分界线， 可以怎么表示， 两种表示。 5. 还可以发现，｜a｜越大，则开口越小； ｜a｜越小，则开口越大
探究２:观察y=x2,y=-x2的图象,它们整体上给你一种什么感觉?
8
y
6
4
2
-2
o
5
X
-4
-6
-8
探究２:观察y=x2,y=-x2的图象,它们整体上给你一种什么感觉?
y ax2 过（2,2）
－4
－2
2
4
函数
有什么共同点和不同点？ 相同点：开口； 顶点； 最值； 对称轴；
的图象与函数 y=x2
的图象相比，
8 6
-二次函数图像与性质(左右及上下平移)
精选2021版课件
1
1、说出下列抛物线的开口方向、 顶点坐标和对称轴：
（1）y=(x+1) 2 （2）y=-(x-5) 2
（3）y=2(x-3) 2（4）y=- 2(x-1)2
倍 速
1
课时学（5）y=-
学练
2(x+
3)2
练
精选2021版课件
2
(4)抛物线y=4（x-3）2的开口方向 向上 ，
即:y=2x2 +4x+5 或y=-2x2 -4x+1
精选2021版课件
16
1. 抛物线的顶点为(3,5) 此抛物 线的解析式可设为( )
Ay=a(x+3)2+5 By=a(x-3)2+5
Cy=a(x-3)2-5 Dy=a(x+3)2-5
你答对了 吗?
1.B
2.y=-2(x-1)2-3
2.抛物线c1的解析式为y=2(x-
3) 将抛 物线y=2(x -1)2+3经过怎样的平 移得到抛物线y=2(x+2)2-1
4). 若抛物线y=2(x-1)2+3沿x轴方向平移后,经过(3,5),
求平移后的抛物线的解析式_______
精选2021版课件
19
小结:
本节课主要运用了数形结合的思想方法,通过对
函数图象的讨论,分析归纳出 ya(xh)2k
精选2021版课件
15
练习3：一条抛物线的形状与抛物线 y2(x2)2 相同,其顶点坐标是(-1,3),写出这个抛物线的解析式.
解:设函数解析式为 ya(xh)2k
∵所求抛物线的形状与 y2(x2)2 相同, ∴a=-2或a=2.
二次函数图像与性质(共44张PPT)
相同,可以看作是抛
物线y=3x2整体沿x轴 向右平移了1 个单位
图象是轴对称图形
对称轴是平行于
y轴的直线:x=1.
二次项系数相同
a>0,开口都向上.
顶点坐标
是点(1,0).
想一想,在同一坐标系中作二次函数
y=3(x+1)2的图象,会在什么位置?
(4)x取哪些值时,函数y=3(x1)2的值随x值的增大而增大 ?x取哪些值时,函数y=3(x-1)2 的值随x的增大而减少？
2 (4)当x<0时,随着x的值增大,y 的1 值如何变化？当x>0呢？
(5)当x取-4什么-值3时,-y2的值最-1小?最0 小值1是什么2？你是3如何4知道的x ？ -2
y x2
二次函数y=x2的 图象形如物体抛射 时所经过的路线,我
们把它叫做抛物线.
这条抛物线关于
y轴对称,y轴就
是它的对称轴.
二次函数的图象有什么关系?
你能用配方的方法把y=3x2-6x+5变形成y=3(x-1)2+2的形 式吗?
由于y=3x2-6x+5=3(x-1)2+2,因此我们先作二次函数 y=3(x-1)2的图象．
在同一坐标系中作出二次函数y=3x2和y=3(x-1)2的图象．
想一想
比较函数y 3x2与y 3x1的2 图象
右侧, y随着x的增大而减小.
当x=0时,最小值为0.
当x=0时,最大值为0.
做一做
函数y=ax2(a≠0)的图象和性质:
y
在同一坐标系中作出函数 y=x2和y=-x2的图象
y=x2
y=x2和y=-x2是y=ax2当a=±1
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二次函数教学设计
一、知识点复习
1、二次函数的一般形式是什么？顶点坐标呢？
2、二次函数图像平移的规律是什么？
设计意图：通过简单的知识点复习，引导学生将知识进行拓展。
二、知识提升
例1：若函数y ＝(m －3) 是二次函数，则m ＝______. 设计意图：本题其实是针对二次函数定义的练习，若此函数为二次函数，只要满足两点即可：一是最高项次数是2，二是最高项的系数不能为0。
但此时，不妨借机引导学生升华知识，若函数为一次函数、反比例函数呢？
跟踪训练
1、若函数 是一次函数，
则m ＝_____. 2、若函数 是反比例函数，则m ＝_____ 拓展提高 若函数 与x 轴只有一个交点，那么m 的值为多少？
例2：将抛物线y ＝3x 2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为( )
A ．y ＝3(x －2)2－1
B ．y ＝3(x －2)2＋1
C ．y ＝3(x ＋2)2－1
D ．y ＝3(x ＋2)2＋1
设计意图：此题为二次函数图像平移的基础题，只要学生对二次函数图像平移的规律理解就能做，因此，可以借此复习二次函数图像的简单平移，同时引导学生，二次函数并不一定是顶点式，那么一般的二次函数怎么平移呢，进行知识上的升华。
同时，也与点的平移进行区别。
跟踪训练
2213m m x
＋－4)1(222+-=-+m m x m y 122-+=m m mx y 121)2(2++++=m x m mx y
将抛物线y＝3x2向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线为( )
A．y＝3(x－2)2－1 B．y＝3(x－2)2＋1
C．y＝3(x＋2)2－1 D．y＝3(x＋2)2＋1
拓展提高
1、将抛物线y=x2-2x向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到的抛物线是什么？
2、已知点A（－1， 2），将它先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到点B，则点B的坐标是________
三、课堂小结
四、当堂检测。