1.1.1 认识勾股定理

观（如图），数学家曾建议用这个图形作为与“外
星人”联系的信号.
让我们一起探索这个古老的定理吧！
知1－导
知识点
做一做
1 勾股定理
（1）在纸上画若干个直角三角形，分别测量它们的三条边，
看看三边长的平方之间有怎样的关系？与同伴进行交流.
（2）如图1-2，直角三角形三边的平方分别是多少，它们满足 上面所猜想的数量关系吗？你是如何计算的？
知1－讲
【例1】 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10 cm， BC＝8 cm，求AC的长． 解：由题意易知，AC2＋BC2＝AB2， 所以AC2＝AB2－BC2＝102－82＝36.
所以AC＝6 cm.
（来自《点拨》）
知1－讲
总 结
利用勾股定理求直角三角形边长的方法：
一般都要经过“一分二代三化简”这“三步曲”：
角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜
边称为弦.因此，我国称上面的结论为勾股定理.
知1－讲
定义：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边 和斜边，那么a2＋b2＝c2.
数学表达式：
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b， BC＝a，则a2＋b2＝c2.
变形关系式：c2＝a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2
＋2ab；a2＝c2－b2＝(c＋b)(c－b)等．
1.完成教材P4 ，习题T1-T4
2.补充: 请完成《典中点》剩余部分习题
即一分：分清哪条边是斜边、哪些边是直角边；二 代：代入a2＋b2＝c2；三化简．
（来自《点拨》）
知1－练
1
若一个直角三角形的两直角边的长分别为a，b， 斜边长为c，则下列关于a，b，c的关系式中不正 确的是( ) B．a2＝c2－b2 D．c2＝a2＋b2
A．b2＝c2－a2 C．b2＝a2－c2
2
（来自《点拨》）
知2－讲
总 结
与直角三角形三边相连的正方形、半圆及正多
边形、圆都具有相同的结论：两直角边上图形面积的
和等于斜边上图形的面积．本例考查了勾股定理及半 圆面积的求法，解答此类题目的关键是仔细观察所给 图形，面积与边长、直径有平方关系，就很容易联想 到勾股定理．
（来自《点拨》）
知2－练
（来自《典中点》）
知1－练
2 (2014· 淮安)如图，在边长为1个单位长度的小正方 形组成的网格中，点A，B都是格点，则线段AB的 长度为( )
A．5
C．7
B．6
D．25
（来自《典中点》）
知2－讲
知识点
2 勾股定理和面积的关系
25 π， S2 ＝ 8
【例2】 〈新疆〉如图，分别以直角三角形的三边为直径 作半圆，其中两个半圆的面积S1＝
第一章 勾股定理
1.1
探索勾股定理
第 1 课时
认识勾股定理
1
课堂讲解 勾股定理 课时流程
逐点 导讲练 课堂 小结
勾股定理和面积的关系
2
作业 提升
一个直角三角形的两条直角边长分别是3和4，
你知道它的斜边长是多少吗?已知直角三角形的两条
边长，你能求出它的第三条边长吗？实际上，利用勾 股定理我们可以很容易地解决这些问题. 勾股定理是一个古老的定理，人类很早就发现 了这个定理，加之反映勾股定理内容的图形形象直
知1－导
与同伴交流.对于图1-3中的直角三角形，是否还满足 这样的关系？你又是如何计算的呢？
知1－导
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(3)如果直角三角形的两直角边分别为1.6个单位长度和
2 .4个单位长度，上面所猜想的数量关系还成立吗？ 说明你的理由. 通过上面的活动，同学们一定已经发现：直角三角 形两直角边的平方和等于斜边的平方.我国古代把直角三
9 π 2π，则S3＝________ ． 8
知2－讲
1 c 25 S π π, 导引：如图，由圆的面积公式得 1 2 2 8 2 1 a S2 π 2π, 所以c2＝25，a2＝16. 2 2
2
根据勾股定理，得 b2＝c2－a2＝9.
1 b 1 2 9 所以 S3 π πb = π. 2 2 8 8
知1－讲
要点精析： (1)勾股定理适用于任何一个直角三角形； (2)勾股定理的内容描述的是直角三角形三边之间的 数量关系，已知其中任意两边可以求出第三边； (3)勾股定理的变形公式：a2＝c2－b2，b2＝c2－a2；
(4)运用勾股定理时，要分清斜边、直角边；
(5)勾股定理：把直角三角形这个“形”与三边关系这个 “数”结合起来，它是数形结合思想应用的典范．
1
如图，字母B所代表的正方形的面积是( A．12 C．144 B．13 D．194
)
（来自《典中点》）
知2－练
2 如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的 面积分别为3和4，则b的面积为( A．16 B．12 C．9 ) D．7
（来自《典中点》）
1. 勾股定理的适用条件：直角三角形；它反映了直角 三角形三边关系． 2．由勾股定理的基本关系式：a2＋b2＝c2可得到一些