第五章+大数定律与中心极限定理+

和的概率的近似公式：
Pa
n k 1
Xk
b
b
n n
a
n
n
【例1】 据以往经验，某中电子元件的寿命服从均值
为100小时的指数分布，现随机地取16只，设其寿命是相
互独立的，求这16只元件寿命总和大于1920小时的概率。
〖解〗设第k个元件的寿命 X k (k 1,2, ,16),则 X k
设每个分机是否使用外线通话是相互独立的，且每时刻有
5%的概率使用外线.问总机需要多少条外线才能以不低于
90%的概率保证各分机要使用外线时可供使用.
〖解〗设200部电话分机同时使用外线的门数为X，
则X~B(200,0.05),.又设需外线N条.由德莫佛-拉普拉斯中
心极限定理可得:
P{0 X N}
N np np(1 p)
0 np np(1 p)
N 10 3.2 N 10 [1 (3.2)]
lim P n np
x x
1
t2
e 2 dt (x)
n np(1 p) 2
【证】因为ηn 可分解为n个相互独立、服从同一个
(0-1)分布的随机变量X1，Xn 2，…，Xn之和,即
n X k
标准化得
k 1 n
Yn
n
E(n ) D(n )
X k np
k 1
,
np(1 p)
由列维-林德伯格定理即可得证. ■
k 1
k 1
10
n0 n 12
10 n 0 n 12
2
10 n 12
1
0.9
即 查表得：
20
3 n
0.95,
20 3 1.645, n
n 20 3 21.05836847 , 1.645
n 443.4548826
故可取
n 443 ■
德莫佛-拉普拉斯中心极限定理 设随机变量ηn （n=1,2,…)服从二项分布B(n,p)(0<p<1),则对任意 ,有
有
lim
n
P
1 n
n k 1
Xk
1
■
§2、中心极限定理
列维-林德伯格中心极限定理 设随机变量X1，X2，
…，Xn，…相互独立、同分布，且均具有期望与方差：
E(Xk )
,
D(X k
)
2
随机变量 和0(的k 标1准,2,
),
则随机变量
n
n
X k E X k
Yn k1
k1 n
D X k
相互独立、服从同一个指数分布,且
E( X k ) 100 , D( X k ) 100 2
由独立同分布的列维-林德贝格中心极限定理得
“16只元件寿命总和大于1920小时”的概率为:
16
16
P{ k 1
Xk
1920 }
P{ k1
X k 16E( X k ) 16D(X k )
1920 1600} 400
化
n
X k n
k 1
n
的分布函数满足
k1
x
lim
n
Fn (x)
lim
n
P{Yn
x}
1
t2
e 2 dt
2
即
lim
P
n k 1
Xk
n
x
(x)
■
n n
由列维-林德伯格定理可知
1、独立同分布且存在期望与方差的随机变量和近
似服从正态分布：
n
X k ~ N (n, n 2 );
k 1
2、计算独立同分布且存在期望与方差的随机变量
由德莫佛-拉普拉斯定理可知 1、正态分布是二项分布的极限分布; 2、有关二项分布概率的近似计算公式：
Pa n b
b np np(1 p)
a np np(1 p)
特别的，当n较大且np≥5时
P0 n b
b np np(1 p)
【例3】某单位设置一部电话总机,架设200部电话分机.
第五章 大数定律与中心极限定理
大数定律 中心极限定理
概述
大数定律是反映随机变量算术平均值与频率稳定 性的一组定律，它们奠定了以频率稳定值作为事件概 率的理论基础。
中心极限定理是描述大量随机变量和服从或近似 服从正态分布的一类定理，它们奠定了正态分布在概 率论中的重要地位。
§1、大数定律
契比雪夫定理 设随机变量X1，X2，…，Xn， …相互独立，且有相同的期望μ与方差σ2，则对 任意正数ε有
〖解〗设最多有n个数相加,且第k个数取整的误差为
X k (k 1,2, , n), 则 X k 相互独立、服从同一个均匀分布,
且
1 E(X k ) 0, D( X k ) 12 ,
由列维-林德贝格中心极限定理得“n个数相加误差总
和绝对值小于10”的概率为:
n
n
P{| X k | 10} P{10 X k 10}
1
n
n k 1
Xk
nA , E 1 n n
n k 1
Xk
p,
由契比雪夫定理得
lim
n
P
nA n
p
1
■
定理表明：事件发生的频率依概率收敛于事件的
概率。
在契比雪夫定理中，去除“方差存在”的条件， 增
加“随机变量服从相同分布”可得如下定理。
辛钦定理 设随机变量X1，X2，…，Xn，…相互 独立，服从同一分布且均有期望μ，则对任意正数ε
贝努里定理 设nA是事件A在n次独立重复试验中 发生的频数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则
对任意正数ε有
lim
n
P
nA n
p
1
【证】引入随机变量
0, A在第k次试验中不发生, X k 1, A在第k次试验中发生,
则 {X k }1 相互独立，且均服从同一个（0-1）分布：
EX k p, D( X k ) p(1 p).
/
2
n
取极限并由夹挤定理得：
1
lim
n
P
n
n k 1
Xk
1
■
定义1 设有随机变量无穷序列 {Yn}1 和常数 a ，
如果对任意正数ε，有
lim P
n
Yn
1
P
则称序列{Yn}1依概率收敛캎常数 a，记为 Yn a.
定理表明：在一定条件下，n个随机变量的算术 平均依概率收敛于常数，即当n充分大时它几乎为常 数。
lim P n
1 n
n k 1
Xk
1
【证】由期望与方差性质可得
E
1 n
n k 1
Xk
1 n
n k 1
E( X k
)
1 n
n k 1
,
D 1 n
n k 1
X
k
独立
1 n2
n
D( X k )
k 1
1 n2
n
2
k 1
2
n
,
由契比雪夫不等式得：
1
P
1 n
n
Xk
k 1
1
2
1 (0.8) 1 0.7881 0.2119. ■
此例中用的公式具体为
Pa
n k 1
Xk
1
a
n
பைடு நூலகம்
n
【例2】 计算器在进行加法时，每个加数舍入最靠近
它的整数.设所有舍入误差是独立的且服从(-0.5，0.5)上的
均匀分布,问最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值
小于10的概率不小于0.99?