研究生线性系统理论

2014级研究生《线性系统理论》作业 2015.03一、 已知系统的状态方程为010000001000312312210002x x u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（1） 求2个不同的反馈阵K ，使得系统的特征值为：43,54j j -±-±； （2） 通过仿真结果说明，取不同反馈阵K 值时，系统的阶跃响应情况。

解：由于rank[B AB A 2B]=4可知系统完全能控。

方法一：使用直接算法求解反馈阵k ：首先求取系统的特征多项式α(s)=det(sI-A)=s^4-2*s^3-s^2-6*s-6.α*(s)=s^4-18*s^3-146^2-578*s-1025.p=[2;1]令b=Bp=[0;0;4;2]P=[A 3b A 2b A 1b b]*[1 0 0 0;α3 1 0 0;α2 α3 1 0;α1 α2 α3 1]=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡2 4- 2 24 6 0 00 4 6 00 0 46 P -1=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0.2015 0.1493 0.0224- 0.0672- 0.1343- 0.0672 0.0149 0.0448 0.0896 0.0448- 0.1567 0.0299- 0.0597- 0.0299 0.1045- 0.1866K=[α0*-α0 α1*-α1 α2*-α2 α3*-α3 ]P -1=[-178.4552 15.0149 -16.9328 25.8657] K 1=pk=⎥⎦⎤⎢⎣⎡25.8657 16.9328- 15.0149 178.4552- 51.7313 33.8657- 30.0299 356.9104- 方法二：龙伯格能控规范型法：[B AB A 2B A 3B]=[b 1 b 2 Ab 1 Ab 2 A 2b 1 A 2b 2 A 3b 1 A 3b 2]= [0 0 0 0 1 2 2 10 0 0 1 2 2 10 5 22 1 2 2 10 5 22 18 660 2 0 0 1 2 4 14]基于此，组成预变换阵P -1并且求出P ，有P -1=[b 1 Ab 1 A 2b 1 A 3b 1]=[0 0 1 20 1 2 51 2 5 180 0 1 4 ]P=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡'4'3'2'1P P P P =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------5.0005.010025.0015.13122由此，导出变换矩阵S -1及其逆S ，有S -1=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡'1'2'3'4p p p p =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-0100001000015.0005.0 推出S=⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢0012100001000010 从而，可以定出给定系统状态方程的龙伯格能控标准形为：A ’=S -1AS=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡2166100001000010 B ’=S -1B=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡20011000由此可得状态反馈阵K 为： K=[]3*32*21*10*0,,,αααααααα----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0000201475841031 最后，对原系统确定实现指定特征值配置的状态反馈阵K 2。

对此有K 2=KS -1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡00005.515201475.68。

二、 已知系统的状态方程为[]20011010,1100221x x u y x -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦（1） 求能控标准型和能观测标准型；（2） 求等价状态方程，使所有状态变量的最大值几乎等于输出的最大值；（3） 若要求所有信号在阶跃响应时的最大值在10±以内，确定阶跃函数允许的最大幅值a ，并用仿真曲线验证结果的正确性。

解：首先求取系统的特征多项式： det(sI-A)=s 3+4s 2+6s+4 和一组常数： Β2=cb=1 Β1=cAb+α2cb=0 Β0=cA 2b+α2cAb+α1cb=-2 则系统的能控规范型为：A C =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---210100010ααα=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---464100010 B C =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100 C C =[]210βββ=[]102-系统的能观测标准型为：A 0=A C T =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---410601400 B 0=C C T =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-102 C 0=B C T =[]100绘制各变量及输出的阶跃响应如图:可知max(|y|) = 0.55，max(|x1|) =0.5， max(|x2|)=1.05， max(|x3|)=0.5。

三．已知系统的状态方程为[]21111112x x u y x ⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦（1） 求状态反馈阵K ，使极点配置在1,2--；（2） 若状态不能测量，为实现状态反馈，设计全维状态观测器，极点为22j -±； （3） 若状态不能测量，为实现状态反馈，设计降维状态观测器，极点为3-； （4） 计算上面3问所得系统的传递函数，由计算结果可以得到什么结论？ 解：已知观测器的特征多项式为：α(s)=s 2-3s+3(1).观测器期望特征多项式 ：α*(s)=s 2+3s+2变换阵P=[Ab b]*⎥⎦⎤⎢⎣⎡1011α=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2114*⎥⎦⎤⎢⎣⎡1 3- 0 1 =⎥⎦⎤⎢⎣⎡2 5- 11 P -1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0.1429 0.71430.1429- 0.2857 状态反馈阵k=[α*0-α0,α*1-α1]P -1=[]14(2).观测器期望特征多项式为α*(s)=s 2+α1*s+α0*=s 2+4s+8 令L=[α1* ;α0*]=[-12;19]A-LC=⎥⎦⎤⎢⎣⎡18- 20- 1314所以全维状态观测器^x ’=(A-LC)^x +Ly+Bu=⎥⎦⎤⎢⎣⎡18- 20- 1314 ^x +⎥⎦⎤⎢⎣⎡84y+⎥⎦⎤⎢⎣⎡21u(3).令P[C;R]=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1011 P -1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1011 -A =PAP -1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2111 -B =[3;2]由于配置期望的特征值为-3，定出 -3=(-22A --L -12A )-L =5.-22A --L -12A =-3 -21A --L -11A =6(-22A --L -12A )-L +(-21A --L -11A )=-9-2B --L -1B =-13降维观测器为.Z =-3Z-9y-13u X 的重构状态为:^X =Q 1y+Q 2(Z+-L y)=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--y z y z 54 (4)计算可得上述系统的传递函数的分子均为3S-4，可知状态反馈不改变系统的零点配置。

四．已知系统的传递函数阵2322121()22s s s s G s s s s ⎡⎤++⎢⎥=⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎣⎦（1） 求一个既约右矩阵分式；（2） 求一个最小实现，并用MATLAB 验证结果的正确性。

解：(1)由题可知：G(s)=N(s)D -1(s)=123200*2)2(121-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++s s s s s s s (2)根据传递函数，由matlab 函数minreal 求出系统的最小实现为：A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0.20090.47820.08353-0.01387-0.052370.00780.50280.6357- 0.2532-B=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡ 2.299 0.1342-0.10042.8220.19220.1315 C=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0.88590.41550.4092-0.80490.36530.5862 D=[0];五．已知系统的状态空间模型为[]2 2.50.51100,0,0 1.51,00100A B C D ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦试求：（1） 系统的脉冲响应和阶跃响应； （2） 在初值状态为[](0)102Tx =的条件下，输入202()0.52t u t t ≤≤⎧=⎨>⎩时，状态变量的响应曲线。

解：(1)如图所示：（2）如图所示：六．系统状态方程为010000001000100029.403x x u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦10000010y x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（1） 采用Simulink 构造系统的仿真模型，分析系统的稳定性；（2） 采用状态反馈使系统的调整时间3s ≤，阻尼比5.0=ξ，在Simulink 中验证设计结果。

解：（1）如图所示：系统的两个输出全部发散。

(2).由t s ≈nξωξ21ln 4--<=3s 当误差为2%。

主导极点为：S 1,S 2=2111ξξ-±-Tj T =-1.39±j 2.41 取次要极点为：S 3,,S 4=-7±j 2.41 α(S)=S 4-5147S 2α*(S)=S 4+16.78S 3+101.5S 2+260.7S+424.2P=[A 3b A 2b A 1b b]*⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡101001 0001321323αααααα=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡300003001029.4-001029.4- 求得状态反馈阵：K=[α0*-α0 α1*-α1 α2*-α2 α3*-α3]P -1=[-14.4490 -8.8673 28.8497 8.5491]A-BK=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡25.6473- 57.1490-26.6020 43.346910008.5491-28.8497- 8.867314.44900010 仿真如图所示：七．PWM 变换器-直流电动机调速系统结构图如下：其中，直流电动机（它激）的额定参数为：17,1500/min,90,220N N N N P kW n r I A U V ====,电势常数0.1377min/e C V r =⋅，转矩常数 1.3147/r C N m A =⋅，允许过载倍数 1.5λ=。

PWM 控制与变换器的放大系数86.8PWM K =，开关周期30.110PWM T s -=⨯。

电枢回路总电阻0.45R =Ω，电枢回路电磁时间常数31 2.110a T s -=⨯。

系统总飞轮惯量2GD 为：222.8N m ⋅。

图中，d u 为PWM 装置输出理想空载电压（V ）；d I 为电枢回路直流电流（A ）；n 为电动机转速（/min r ）；L T 为负载转矩（N m ⋅）；c u 为PWM 控制器的控制电压。