(完整版)指数方程与对数方程教师版

指数方程与对数方程
知识要点】 1．指数方程与对数方程的定义：在指数上含有未知数的方程，叫做指数方程；在对数符号 后面含有未知数的方程，叫做对数方程。

2．解指数方程、对数方程的基本思想：化同底或换元。

1) x a c(a 0,a 1,c 2) a f(x) a g(x)(a
0,a 3)
f (x) a b g(x)
(a
0,a 4) F (a x ) 0(a 0,a 3. 指数方程的基本类型： 1) ，用换元法先求方程 4. 对数方程的基本类型： 0),其解为 x log a c ；
1) ，转化为代数方程 f(x) g(x) 求解； 1,b 0,b 1) ，转化为代数方程 f(x)lg a g ( x)lg b 求解；
F(y) 0 的解，再解指数方程 1)log a x b(a 0,a 1), 其解为 x a b ； f(x) g(x) 2)log a f (x) log a g(x)(a 0,a 1)，转化为 f(x) 0 求解； g(x) 0 3) F(log a x) 0(a 0,a 1) ，用换元法先 求方程 F(y) 0的解，再解对数方程 log a x y 。

典型例题
【例1】 解下列方程： (1) 9x +6x =22x+1 ；
(2) log 4(3-x)+log 1 (3+x)=log 4(1-x)+log 1 (2x+1);
4
4
(3) log 2(9x-1-5)-log 2(3^ -2)=2.
2
【解前点津】
(1)可化为关于(
)x 的一元二次方程；(2)直接化为一元二次方程求解；
3
(3)转化为关于3x-1的一元二次方程•
3
3
【规范解答】 (1)由原方程得：32x +3x - 2x =2 •22x ，两边同除以22x 得: ( - )2x + ( 3 ) x -2=0.
2 2
因式分解得：
3、x 3 x
[()x -1] - [( )x +2]=0.
2 2 -(—)x +2>0,「.( —)x -仁0, x=0.
2 2
(2)由原方程得： log 4(3-x)-log 4(3+x)=log 4(1-x)-log 4(2x+1) (3-x) - (2x+1)=(1-x) - (3+x)解
之:x=0或7,经检验知：x=0为原方程解.
⑶log 2(9x-1-5)=log 24 - (3^-2)
9x-1-5=4 - (3x-1)-8 因式分解得：(3x-1-1)(3x-1-3)=0
3x-1=1
或3x-1=3
x=1或2.经检验x=2是原方程解.
【解后归纳】 指数方程与对数方程的求解思路是转化
.将超越方程转化为代数方程，因
转化过程中有时“不等价”，故须验根，“增根须舍去，失根要找回”是解方程的基本原则
.
【例2】 解关于x 的方程：lg(x 2-2ax)-lg(6 a-3)=0.
± ・a 2
6a 3
1 (a>J.
【解后归纳】
含参方程的求解，常依具体条件，确定参数的取值范围
【解前点
津】
化原方程为:
2
x 2ax 0
a 1 6a 3 0
2
2
x 2ax 6a 3
(x
a)2 a 2 6a 3
••• a 2+6a-3>1+6 x 丄-3>0,
4 2
x-a= ± , a 6a 3 即 x=a
利用对数函数的单调性，去掉对数符号，并保留“等价故由(x-a 2)=a 2+6a-3 得:
【例3】 解关于x 的方程：a 2 • 4x +(2a-1) • 2x +1=0. 【解前点津】 令t=2x ,则关于t 的一元方程至少有一个正根， a 是否为0，决定了方程
的“次数” •【规范解答】
①当a=0时，2x =i ，x=0 ；
1
②当 a 丰 0 时，△ =(2a-1)2-4a 2=1-4a ;若4》0 则 a <
(a 工 0).
4
一 1
且关于t 的一元二次方程 a 2 • t 2+(2a-1)t+1=0至少有一个正根，
而两根之积为 —>0，故两
a
a<!，故 a < 1 (a 工 0)时，2%= (1
2a)
2 厂力，故 a
2
4
2a
【解后归纳】 方程经“换元”之后，如何保持“等价性”是关键所在，应确定“新元” 和“旧元”的对应关系以及“新元”的取值范围
【例4】 当a 为何值时，关于x 的方程4x -(2a+1) • 2x +a 2+2=0的根一个比另一个大1. 【解前点津】 令y=2x ，则问题转化为：关于y 的方程y 2-(2a+1)y+(a 2+2)=0中的根一个是 另一个的两倍•
2) x 0。

注意：在对数方程求解过程中， 1 2a
根之和为正数，即丄手>0
a
w 寸(a
- 0)
时,
1
x=log 2
-
2
1
―4a 为原方程之根
2a
【规范解答】
令 y=2x ，: X 1=x 2+1，故 2 x2 1 =2 • 2x2
，即y 2=2y 1，故关于 y 的方程 y 2-(2a+1)y+(a 2+2)=0 中的根一个是另一个的两倍，不妨设为
m , 2 m.
由 m 2m
m?2m
2a 2
a
(2a 3m 2m 2
1)2 2a a 2
4(a 2
2)
1
2a 3
【解后归纳】 不等式检验便知真伪.
在不等式与方程式的混合不等式组中, 常从解方程入手, 将方程之根代入
【例5】(1)方程2log x 25 3log 25 x
1的解集为
(2)方程 log 4 (3 x)
log 1 (3 4
x) log 4(1
解：(1)设 t log 25 x ，则 3t 2
x) log 1 (2x
4
t 1,t
3
1)的解集为
有些变形会改变未知数的范围，方程可能产生增
根或失根，故对数方程求解后必须检验。

【例6】关于x 的方程k 9x k 3x 1 6(k 5) 0在区间0,2上有解，求k 的取值
2,8，所以I k
【例7】解关于x 的方程4x (a 1) 6x 2(a 2 a) 9x 。

2x
x
x
解：原方程可化为 2 (a 1) 2
2 a 2 a 0，设t 2
3 3
3
则 t 2a t a 1 0
(1)当 a 0 时，x log 2(1 a);
3
(2)当 0 a 1 时，
X 1 Iog 2(1 a),X 2 log 2 (2a)；
3
3
(3)当 a 1 时，x
log 2(2a)。

3
作业：
1. 方程 log 2 [ log 3(log 5X )] =0 的根是 (D ) A.1
B.9
C.25
D.125
2. 方程 2log2(2x2 7x 3) =x 2- x-2 的解集是
(C )
A.{1，5}
B.{-1 ，5}
C.{5}
D.{1} 3. 方程：log (4- x)(x 2-2 x)=log (i )(5x-6)的根的个数是 (A ) A.0 B.1 C.2 D.
无穷多个
4. 若关于x 的方程2x-1+2x 2+a=0有实根，则a 的取值范围是 (B )
1
1
A.(- %，-1)
B.(- %，-丄)
C.(
丄，+x )
D.(1
，+x )
2
2
5. 方程2x +3x =5 • 6x-1的解集是 (B ) A.{0}
B.{1}
C.{-1}
D. 范围。

解法指导：有关方程的有解与无解的问题以及方程的解的个数问题， 可转化为函
数类的问题。

本题可利用分离参数，
解：由 k 9x k 3x1 6(k 5) 0 , 数形结合求解。

30
得30 9x 3x1 6，因为方程在0,2上有解,
k
所以30在函数u k
9x 3 1 6,x 0,2的值内取值即可，不难求得其值域为
以上都不是
14.设另一根为m , •••△ >0 ,故由根与系数关系得:
log a 2 log a m
log a 2 ? log a m 7
2
3
2
log a2
八、c、 3 (2-loga2)= 2 a=4 或3 2 .
6. 若关于x的方程：lg( ax) • lg( ax)=4的根都大于1,则实数a的取值范围
是(C )
1 1
A.(0,1)
B.( 丄,1)
C. (°，去)
D. (1 , +^)
100 100
8. 若关于x的方程a x-a x=b(a x+a x)( a>0, a^ 1)有解，则b的取值范围是
( B )
A. [-1 , 1]
B.(-1 , 1) C (- X, -1) u [1 , +x) D. (- %, -1) U (1 , +^)
9. 关于x的方程| x-2|=log a x(a>1)的解的个数是
(C )
A.0
B.1
C.2
D.3
二、思维激活
10. __________________________ 若关于x 的方程：2x2+(3log 2m1) x-3=0 和6x2+(2log 2m3) x-2=0 有公共根, 则使log 2m为整数的m值为.
10.从方程组中消去x2得公共根为：x=log m2 ,令u=log2m代入第一个原方程得
11. _________________________________ 方程5log34x=12log35的解集是. 11•两边取对数：log3(4x) • log35=log35 • log312 4x=12，二x=3 即解集为{3}. 12. 关于x的方程5x=lg( a+3)有负根，a €乙则a的值所成之集为
12. v x<0, ••• 5x€ (0 , 1)即0<lg(a+3)<1 lg1<lg(a+3)<lg10 1<a+3<10 -3<a<7 ,••• a€ {-2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6}.
三、能力提高
13. 解方程：9x-4 • 3x+3=0.
13. 由(3x)2-4(3x)+3=0 (3x-1)(3x-3)=0 3x=1 或3 x=0 或 1.
14. 已知关于x的方程：2log ：x-7 • log a X+3=0有一个根是2,求a值及另一个
15. 解关于x 的方程：|g( ax-1)-|g( x-1)=1.
15.
由
+(3u-1) •丄-3=0 u=2 log2m=2 , ■/ m=4.
x 1 0
x 1
x 1 x 1
ax 1 0 9
ax 1 10x 10 (10 a)x 9 x ax 1 10(x 1) 10 a
9
x (1<a<10).
10 a
16. 当a为何值时，关于x的方程：2lgx-|g( x-i)=|g a有一解？有两解？无解？
16.化方程为x=a(x-1)(x>1, a>0)作函数y=x2(x>1)及y=a(x-1)(x>1, a>0)的草图, 由A =0 得a=4.
①当0<a<4时，原方程无解；
②当a=4时，原方程有一解：x=2;
③当a>4时，原方程有不同的两解：x=「^ 4a
2。