数值分析(计算方法)第九章课件.

yn 1.0000 0.9820 0.9650 0.9489
y(xn) 1.0000 0.9825 0.9660 0.9503
n = y(xn) - yn
0 0.0005 0.0005 0.0014
4
5
0.08
0.10
0.9336
0.9192
0.9354
0.923
0.0018
0.0021
2．改进欧拉法 一阶方程的初值问题与积分方程
在区间[0, 1.5]上，取h = 0.1，求解。
则有
1 y1 y0 h[ f ( x0 , y0 ) f ( x1 , y1 )] 2
改进欧拉法
y n 1
h y n f ( x n , y n ) f ( x n 1 , y n 1 ) 2
在实际计算时，可将欧拉法与梯形法则相结合，计算公式为
( 0) yn 1 yn hf ( xn , yn ) ( k 1 ) h (k ) y y f ( x , y ) f ( x , y n 1 n n n n 1 n 1 ) 2
y( x1 ) y( x0 ) hy ( x0 ) y0 h f ( x0 , y0 )
y1
x0
x1
yi 1 yi h f ( xi , yi ) (i 0, ... , n 1)
定义 在假设 yi = y(xi)，即第 i 步计算是精确的前提下，考 虑的截断误差 Ri = y(xi+1) yi+1 称为局部截断误差 定义 若某算法的局部截断误差为 O(hp+1)，则称该算法有 p 阶精度。


k 0, 1, 2,...
( 0) (1) 应用改进欧拉法，如果序列 yn 1 , yn1 , 收敛，它的极限便
满足方程
y n 1 h y n f ( x n , y n ) f ( x n 1 , y n 1 ) 2
3．公式的截断误差
二元泰勒公式： 设 z=f(x,y) 在点 ( x0 , y0 ) 的某一邻域内连续且直到有n+1阶
把这个相应问题的解yn作为y(xn)的近似值。这样求得的yn就是 上述初值问题在节点xn上的数值解。一般说来，不同的离散化 导致不同的方法。
9.1 欧拉Euler 法与改进欧拉法
1.欧拉法： y( x1 ) y( x0 ) y( x0 ) 向前差商近似导数 h 亦称为欧拉折线法 记为
y( x) y0 f (t , y(t ))dt
x0
x
是等价的，当x = x1时，
y( x1 ) y0 f (t , y(t ))dt
x0
x1
借助于数值积分，求y(x1)的值 用矩形公式

x1
x0
f (t , y(t )dt f ( x0 , y( x0 )) ( x1 x0 )
n 1 n 2
f ( x0 h, y 0 k )
欧拉法的截断误差：
h2 y ( x n 1 ) y n 1 y( xn ) 0( h2 ) 2 改进欧拉法的截断误差：
y( xn1 ) yn1 0(h3 )
例 9.2
2x dy y y dx yBaidu Nhomakorabea( 0) 1
yi y( xi ) (i 1, ... , n)
节点间距 hi xi 1 xi (i 0, ... , n 1) 为步长，通常采用等距节点，
即取 hi = h (常数)。
在这些节点上采用离散化方法，（通常用数值积分、微分、
泰勒展开等）将上述初值问题化成关于离散变量的相应问题。
( x0 h, y0 h) 为此邻域内任一点，则有： 连续偏导数，
f ( x 0 h, y 0 k ) f ( x 0 , y 0 ) h x k y f ( x0 , y 0 ) 1 h k f ( x0 , y 0 ) ... 2! x y 1 h k f ( x0 , y 0 ) n! x y 1 h k (n 1)! x y
y( x1 ) y0 f ( x0 , y( x0 ))(x1 x0 )
y0 hf ( x0 , y0 )
用梯形公式

x1
x0
1 f ( t , y( t )) dt { f ( x0 , y( x0 )) f ( x1 , y( x1 ))} ( x1 x0 ) 2
例9.1 用欧拉法求初值问题
0.9 y y' 1 2x y ( x0 ) 1 x0 0
当h = 0.02时在区间[0, 0.10]上的数值解。 方程真解： y( x ) (1 2 x )0.45
n 0 1 2 3
xn 0 0.02 0.04 0.06
Ri 的主项
欧拉法的局部截断误差：
Ri y( xi 1 ) yi 1 [ y( xi ) hy( xi ) h2 y( xi ) O(h3 )] [ yi hf ( xi , yi )]
2

h2 2
y( xi ) O(h3 ) 欧拉法具有 1 阶精度。
第九章 常微分方程数值解
考虑一阶常微分方程的初值问题
dy f ( x, y) dx y ( a ) y0 x [a , b ]
只要 f (x, y) 在[a, b] R1 上连续，且关于 y 满足 Lipschitz 条
件，即存在与 x, y 无关的常数 L 使 | f ( x, y1 ) f ( x, y2 ) | L | y1 y2 | 对任意定义在 [a, b] 上的 y1(x) 和 y2(x) 都成立，则上述问题 存在唯一解。 要计算出解函数 y(x) 在一系列节点 a = x0< x1<…< xn= b 处的近似值