第13章-股票期权定价：B-S模型
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股票期权定价: BlackScholes 模型
第13章
.
13.1 关于股票价格变化的假设
EMH假说
根据价格对信息的反应程度，市场可分为 weak / semi-strong / strong form(弱式、半 强式、强式)
一般认为，弱式假说成立，故可用马尔可 夫过程(Markov Stochastic Process)来表述
dxa(x,t)dtb(x,t)dz
其中d， z dt
2020/6/11
.
13.7
13.1 关于股票价格变化的假设
设股票价格为 S，以连续复利表示的年期望 收益率(漂移率)为 m，年波动率(标准差)为，
则伊藤过程可用来刻画股票价格变化
dSmSdtSdz
其中， dz为标准布朗运动
S mt t,即： S ~(mt, t)
lnS0(m2/2)T
且其标准差为: T
因为ST 的对数服从正态分布, ST服从 对数正态分布
2020/6/11
.
13.10
对数正态分布
ln ST ~ ln S0 (m 2 2)T , T
or
ln ST ~ (m 2 2)T , T S0
m,s] 是正态分布 均值为 m 标准差 s
S
S
其中， (ms, )为均值 m,标准差s为 的正态分布
2020/6/11
.
13.8
Leabharlann Baidu
13.1 关于股票价格变化的假设
伊藤引理：可以刻画某依赖于基础证券价 格和时间的衍生品的价格变动
定义f
f (S, t),则df
( f S
mS f
t
1 2
2 f S 2
2S 2 )dt f Sdz
S
其中，dz为标准布朗运动
为 t年 2. 定义连续复利收益率为ui:
ui
ln
Si
Si1
3. 对 ui 的标准差的估计值s 4. 历史波动率估计值:
ˆ s t
s
( ) 1 n
n1i1
ui u 2
2020/6/11
.
13.18
波动率的影响因素
波动率在开市时比闭市时高 (i.e.资产可交 易)
13.3 波动率
年波动率是以连续复利计的股票年收益
率的标准差。t 时间内股票收益率的标
准差为
t
如果一种股票价格是$50 且其波动为年 30%，一周内价格变化的标准差是多少?
2020/6/11
.
13.17
13.4 根据历史数据估计波动率
1. 观察值 S0, S1, . . . , Sn 间隔
2020/6/11
.
13.15
13.2 期望收益率
由m 1 ln E(ST )
T S0
若ln
E(ST
)
E
ln(ST
)
m
1 T
E(ln
ST S0
)
则：E(R) m
但：ln E(ST ) E ln(ST ),实际上ln E(ST ) E ln(ST )
故：E(R) m
2020/6/11
.
13.16
U E ( r ) b 02 b 1 M 3 b 2 M 4 b 3 M 5
2020/6/11
.
13.3
13.1 关于股票价格变化的假设
布朗运动(Brownian Motion / Wiener Process )
标准布朗运动： 设t代表一个小的时间间隔长度 z为变量z在t时间内的变化 布朗运动具有两特征：
即，只有变量的当前值才与未来的预测相 关，而其历史变量与未来无关
2020/6/11
.
13.2
13.1 关于股票价格变化的假设
均值-方差分析的辩论: 概率分布的描述
均值：期望、中值(median)、众数(mode) 偏差：平均绝对偏差(mean absolute deviation)、期望平方差(expected squared deviation)、三阶矩差(third central moment)、 四阶矩差…… 偶数矩差表明有极端值的可能；奇数矩差代表不 对称的测度。
令f ln S, f 1 , 2 f 1 , f 0 S S S 2 S 2 t
即：d (ln S ) (m 2 )dt dz
2
ln
ST
ln
S0
~
((m
2
2
)t,
t )
其中， (m,s )为均值m, 标准差为s的正态分布
2020/6/11
.
13.9
对数正态分布
假设表明： ln ST 服从正态分布，则 其均值:
变化值 方差率(variance rate)：单位时间的方差
设漂移率的期望值 a，为方差率期望值b2， 为 则普通布朗运动定： 义为
dxadtbdz 其中，dz dt
故：x ~ N(aT,b2T)
2020/6/11
.
13.6
13.1 关于股票价格变化的假设
伊藤过程(Ito Process) 将普通布朗运动的漂移率和方差率视为x和t的 函数，则得到伊藤过程
2020/6/11
.
13.11
13.1 关于股票价格变化的假设
补充：对数正态分布密度函数
f(X) 0X,12exp1 2lnX m2,
X0 X0
2020/6/11
.
13.12
对数正态分布
2020/6/11
E(ST)S0em T var(ST)S02e2m T(e2T1)
.
13.13
13.2 期望收益率
股票的预期价值为 S0emT
E(ST)S0emT mT 1l
nE(ST) S0
可知m为时间T内收益率的算术平均值
2020/6/11
.
13.14
13.2 期望收益率
由公式(13.4)得知，以连续复利计的股票 预期收益率为 m– 2/2
短期t内收益率的算术平均值为 m 收益率的几何平均值为 m – 2/2
(1)z t，其中 ~ N (0,1)
(2)对于任意不同的t，z相互独立 由性质1，可知z ~ N (0, t) 由性质2，可知布朗运动为马尔可夫过程的特殊形式
2020/6/11
.
13.4
13.1 关于股票价格变化的假设
标准布朗运动(Standard Brownian Motion)
在较长的时间T内，z的变化为z(T) z(0)，
可视为在N个长度为t的小时间间隔内 z的变化总量 其中，N T / t，故：
N
z(T) z(0) i t i1
其中，i (i 1,2, , N)为标准正态分布的随抽机样值
因此：z(T) z(0) ~ N(0,T)，方差可加性
2020/6/11
.
13.5
13.1 关于股票价格变化的假设
普通布朗运动 漂移率(drift rate)：单位时间内变量z均值的
第13章
.
13.1 关于股票价格变化的假设
EMH假说
根据价格对信息的反应程度，市场可分为 weak / semi-strong / strong form(弱式、半 强式、强式)
一般认为，弱式假说成立，故可用马尔可 夫过程(Markov Stochastic Process)来表述
dxa(x,t)dtb(x,t)dz
其中d， z dt
2020/6/11
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13.7
13.1 关于股票价格变化的假设
设股票价格为 S，以连续复利表示的年期望 收益率(漂移率)为 m，年波动率(标准差)为，
则伊藤过程可用来刻画股票价格变化
dSmSdtSdz
其中， dz为标准布朗运动
S mt t,即： S ~(mt, t)
lnS0(m2/2)T
且其标准差为: T
因为ST 的对数服从正态分布, ST服从 对数正态分布
2020/6/11
.
13.10
对数正态分布
ln ST ~ ln S0 (m 2 2)T , T
or
ln ST ~ (m 2 2)T , T S0
m,s] 是正态分布 均值为 m 标准差 s
S
S
其中， (ms, )为均值 m,标准差s为 的正态分布
2020/6/11
.
13.8
Leabharlann Baidu
13.1 关于股票价格变化的假设
伊藤引理：可以刻画某依赖于基础证券价 格和时间的衍生品的价格变动
定义f
f (S, t),则df
( f S
mS f
t
1 2
2 f S 2
2S 2 )dt f Sdz
S
其中，dz为标准布朗运动
为 t年 2. 定义连续复利收益率为ui:
ui
ln
Si
Si1
3. 对 ui 的标准差的估计值s 4. 历史波动率估计值:
ˆ s t
s
( ) 1 n
n1i1
ui u 2
2020/6/11
.
13.18
波动率的影响因素
波动率在开市时比闭市时高 (i.e.资产可交 易)
13.3 波动率
年波动率是以连续复利计的股票年收益
率的标准差。t 时间内股票收益率的标
准差为
t
如果一种股票价格是$50 且其波动为年 30%，一周内价格变化的标准差是多少?
2020/6/11
.
13.17
13.4 根据历史数据估计波动率
1. 观察值 S0, S1, . . . , Sn 间隔
2020/6/11
.
13.15
13.2 期望收益率
由m 1 ln E(ST )
T S0
若ln
E(ST
)
E
ln(ST
)
m
1 T
E(ln
ST S0
)
则：E(R) m
但：ln E(ST ) E ln(ST ),实际上ln E(ST ) E ln(ST )
故：E(R) m
2020/6/11
.
13.16
U E ( r ) b 02 b 1 M 3 b 2 M 4 b 3 M 5
2020/6/11
.
13.3
13.1 关于股票价格变化的假设
布朗运动(Brownian Motion / Wiener Process )
标准布朗运动： 设t代表一个小的时间间隔长度 z为变量z在t时间内的变化 布朗运动具有两特征：
即，只有变量的当前值才与未来的预测相 关，而其历史变量与未来无关
2020/6/11
.
13.2
13.1 关于股票价格变化的假设
均值-方差分析的辩论: 概率分布的描述
均值：期望、中值(median)、众数(mode) 偏差：平均绝对偏差(mean absolute deviation)、期望平方差(expected squared deviation)、三阶矩差(third central moment)、 四阶矩差…… 偶数矩差表明有极端值的可能；奇数矩差代表不 对称的测度。
令f ln S, f 1 , 2 f 1 , f 0 S S S 2 S 2 t
即：d (ln S ) (m 2 )dt dz
2
ln
ST
ln
S0
~
((m
2
2
)t,
t )
其中， (m,s )为均值m, 标准差为s的正态分布
2020/6/11
.
13.9
对数正态分布
假设表明： ln ST 服从正态分布，则 其均值:
变化值 方差率(variance rate)：单位时间的方差
设漂移率的期望值 a，为方差率期望值b2， 为 则普通布朗运动定： 义为
dxadtbdz 其中，dz dt
故：x ~ N(aT,b2T)
2020/6/11
.
13.6
13.1 关于股票价格变化的假设
伊藤过程(Ito Process) 将普通布朗运动的漂移率和方差率视为x和t的 函数，则得到伊藤过程
2020/6/11
.
13.11
13.1 关于股票价格变化的假设
补充：对数正态分布密度函数
f(X) 0X,12exp1 2lnX m2,
X0 X0
2020/6/11
.
13.12
对数正态分布
2020/6/11
E(ST)S0em T var(ST)S02e2m T(e2T1)
.
13.13
13.2 期望收益率
股票的预期价值为 S0emT
E(ST)S0emT mT 1l
nE(ST) S0
可知m为时间T内收益率的算术平均值
2020/6/11
.
13.14
13.2 期望收益率
由公式(13.4)得知，以连续复利计的股票 预期收益率为 m– 2/2
短期t内收益率的算术平均值为 m 收益率的几何平均值为 m – 2/2
(1)z t，其中 ~ N (0,1)
(2)对于任意不同的t，z相互独立 由性质1，可知z ~ N (0, t) 由性质2，可知布朗运动为马尔可夫过程的特殊形式
2020/6/11
.
13.4
13.1 关于股票价格变化的假设
标准布朗运动(Standard Brownian Motion)
在较长的时间T内，z的变化为z(T) z(0)，
可视为在N个长度为t的小时间间隔内 z的变化总量 其中，N T / t，故：
N
z(T) z(0) i t i1
其中，i (i 1,2, , N)为标准正态分布的随抽机样值
因此：z(T) z(0) ~ N(0,T)，方差可加性
2020/6/11
.
13.5
13.1 关于股票价格变化的假设
普通布朗运动 漂移率(drift rate)：单位时间内变量z均值的