第13章-股票期权定价：B-S模型
b-s定价模型操作策略
b-s定价模型操作策略BS定价模型操作策略1. 引言BS定价模型（Black-Scholes Model）是一种用来评估期权价格的数学模型，该模型最初由费舍尔·布莱克和默顿·米勒·斯科尔斯于20世纪70年代提出。
这个模型被广泛应用于金融市场，特别是期权交易，因为它提供了一种确定期权合理价格的方法。
在本文中，我们将讨论如何使用BS定价模型来制定操作策略。
2. BS定价模型简介BS定价模型的核心思想是，一个期权的价格取决于多个因素，包括标的资产价格、行权价格、剩余期限、无风险利率、预期波动率等。
根据这些因素，BS定价模型可以计算出一个期权的合理价格。
3. 确定标的资产价格在使用BS定价模型之前，我们首先需要确定标的资产的价格。
这可以通过市场报价、历史价格数据或技术分析等方法进行估计。
标的资产价格的准确性对于后续操作策略的制定至关重要。
4. 选择行权价格和剩余期限除了标的资产价格，行权价格和剩余期限也是操作策略制定过程中需要考虑的重要因素。
行权价格应该根据市场情况、预期收益、风险承受能力等因素进行选择。
剩余期限则需要根据投资目标、资金需求等因素来确定。
5. 确定无风险利率和预期波动率BS定价模型中的另外两个重要参数是无风险利率和预期波动率。
无风险利率可以通过国债收益率等无风险投资工具的收益率来确定。
预期波动率可以通过历史数据、隐含波动率等方法进行估计。
这两个参数的准确性对于期权定价的准确性至关重要。
6. 计算期权的合理价格一旦确定了标的资产价格、行权价格、剩余期限、无风险利率和预期波动率，就可以使用BS定价模型来计算出期权的合理价格。
这个价格将作为操作策略的参考依据。
7. 制定操作策略根据期权价格、投资目标和风险偏好，可以制定相应的操作策略。
例如，如果期权价格高于合理价格，可以考虑买入期权；如果期权价格低于合理价格，可以考虑卖出期权。
操作策略的选择应该综合考虑多个因素，包括市场预期、个人风险承受能力、资金需求等。
[经济学]第13章 股票期权定价：B-S模型
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金融工程学
13.21
13.5 Black-Scholes模型的分析
f 1 f 2 2 由L ( S )t 2 t 2 S L L 又： rf t rf L L t 令t 0并展开L和L，
2
则得到著名的B - S随机微分方程： f f 1 2 2 f rf S S rf f 2 t S 2 S
且其标准差为:
T
因为ST 的对数服从正态分布, ST服从 对数正态分布
金融工程学
2019/2/18
13.10
Байду номын сангаас
对数正态分布
ln ST ~ ln S 0 ( m 2 2)T , T or ST ln ~ ( m 2 2)T , T S0
m,s] 是正态分布 均值为 m 标准差 s
s t
13.18
金融工程学
波动率的影响因素
波动率在开市时比闭市时高 (i.e.资产可交 易) 正因如此期权估值时的天数以“交易日” 计算而非日历日
2019/2/18
金融工程学
13.19
13.5 Black-Scholes模型的分析
期权价格及股票价格都受同样的未来不确定性 的影响 不确定风险可通过持有包含股票及期权的资产 组合来回避 资产组合是瞬间无风险的，且因此即刻获得无 风险收益率
1. 观察值 S0, S1, . . . , Sn 间隔
为t年 2. 定义连续复利收益率为ui:
Si ui ln S i 1
3. 对 ui 的标准差的估计值s 4. 历史波动率估计值:
BS期权定价模型
风险中性世界中可交易资产的随机过程
如果某种可交易资产的价格在现实世界中的随机过程为：
则在风险中性世界中其遵循：
根据伊藤引理，其远期合约的价值在风险中性世界中遵 循
理解风险中性定价
假设一种不支付红利股票目前的市价为10元， 我们知道在3个月后，该股票价格要么是11元， 要么是9元。现在我们要找出一份3个月期协议 价格为10.5元的该股票欧式看涨期权的价值。
三、风险中性定价原理
在所有投资者都是风险中性的条件下（有时我 们称之为进入了一个“风险中性世界”）：
– 所有可交易资产的百分比预期收益率都等于无风 险利率r，因为风险中性的投资者并不需要额外 的收益来吸引他们承担风险。
– 同样，在风险中性条件下，所有现金流在求现值 都应该使用无风险利率进行贴现。
第四讲 BS期权定价模型
统计与管理学院
第四讲 BS期权定价模型
第一节 BS期权定价模型的基本思路 第二节 BS期权定价公式 第三节 BS期权定价公式的精确度评价与拓展
第一节 BS期权定价模型的基本思路
股票价格服从的随机过程
dS = mSdt + sSdW
由 Itô 引理可得期权价格相应服从的随机过 程
这就是著名的BS微分分程，它适用于其价格取 决于标的证券价格S的所有衍生证券的定价。
三、风险中性定价原理
观察BS微分方程可以发现，受制于主观的风险收 益偏好的标的证券预期收益率并未包括在衍生证 券的价值决定公式中。这意味着，无论风险收益 偏好状态如何，都不会对f的值产生影响。
因此我们可以作出一个可以大大简化我们工作的 假设：在对衍生证券定价时，所有投资者都是风 险中性的。
二、BS微分方程的推导
B-S期权定价模型
由于dlnS是股票的连续复利收益率，得出的公式说明股票的连续 复利收益率服从期望值 ( µ −
σ2
2 ) dt ，方差为
σ 2 dt 的正态分布。
9
一般来说，金融研究者认为证券价格的变化过程可以用 漂移率为μS、方差率为 σ 2 S2的伊藤过程（即几何布朗运动） 来表示： = µ Sdt + σ Sdz dS 之所以采用几何布朗运动其主要原因有两个： 一是可以避免股票价格为负从而与有限责任相矛盾 的问题，二是几何布朗运动意味着股票连续复利收益率 服从正态分布，这与实际较为吻合。
ln S T − ln S ~ φ[(µ − σ2 )(T − t ), σ T − t ]
2
11
由上一页的推导可知证券价格对数服从正态分布。如果 一个变量的自然对数服从正态分布，则称这个变量服从对数 正态分布。这表明ST服从对数正态分布。根据对数正态分布 的特性，以及符号的定义，我们可以得到 E ( S T ) = Se µ (T −t ) 和 var(S T ) = S e
4
将标准布郎运动扩展我们将得到普通布郎运动，令 漂移率为a，方差率为b2，我们就可得到变量x 的普通布 朗运动： dx = adt + bdz 标准布朗运动是普通布朗运动的一个特例，即漂移 率为0，方差为1的普通布郎运动。
5
普通布朗运动的离差形式为 ∆x = a∆t + bε ∆t ，显然，∆x也 具有正态分布特征，其均值为 a∆t ，标准差为 b ∆t ，方差为 b 2 ∆t
= (
∂G 1 ∂ 2 G 1 ∂G = , 2 =− 2 , =0 ∂S S ∂S S ∂t
∂G ∂G 1 ∂ 2 G 2 ∂G a+ + b ) dt + bdz 我们就可得到 2 ∂x ∂t 2 ∂x ∂x
b-s定价模型操作策略 -回复
b-s定价模型操作策略-回复“bs定价模型操作策略”BS定价模型（Black-Scholes model）是金融领域最为著名和广泛使用的期权定价模型之一。
本文将通过一步一步的回答，探讨在实际操作中如何利用BS定价模型来制定策略，以获得更好的投资回报。
第一步：了解BS定价模型的基本原理与假设BS定价模型是基于对期权市场的理性假设和随机过程的建模，以确定期权的理论价格。
关键假设包括：股票价格满足几何布朗运动、市场无摩擦、利率恒定等。
在实践中，我们需要先对市场进行基本面分析和技术分析，以了解所选股票的基本情况和价格走势。
第二步：确定期权的参数BS定价模型需要输入一些关键参数来计算期权的价格。
其中包括标的资产价格（S）、执行价格（K）、到期时间（T）、无风险利率（r）和标的资产的波动率（σ）。
在实际操作中，我们需要根据市场和业务需求来选择适当的参数。
第三步：计算期权的理论价格通过以上确定的参数，利用BS定价模型公式可以计算出期权的理论价格。
该公式包括两个部分：期权对应的欧式看涨期权或看跌期权价值，以及在到期日支付的无风险利息。
根据模型计算出的期权价格，可以与市场实际价格进行对比，进一步判断期权的价值。
第四步：确定买入或卖出期权的决策通过计算得到的期权价格，我们可以对市场上的期权进行评估。
如果计算出的期权价格高于市场价格，意味着该期权被低估，可以考虑买入；反之，如果计算出的期权价格低于市场价格，意味着该期权被高估，可以考虑卖出空头合约。
这种基于BS定价模型的买卖决策可根据投资者的风险偏好和投资策略来确定。
第五步：控制风险与仓位管理在进行期权交易时，风险控制和仓位管理非常重要。
BS定价模型只是提供了一个评估期权价格的理论框架，而无法全部涵盖市场的复杂性。
因此，投资者需要根据自身的风险承受能力和投资目标来制定合理的风险控制和仓位管理策略。
这包括设置止损位、控制仓位占比、分散投资等方法。
第六步：定期回顾和调整策略市场是不断变化的，期权价格也会随着市场波动而变化。
B-S期权定价模型、公式与数值方法
B-S期权定价公式：假设条件
1.证券价格遵循几何布朗运动,,为常数 2.允许卖空标的证券 3.没有交易费用或税收 4.所有证券都是无限可分的 5.标的证券在有效期内没有红利支付 6.不存在无风险套利机会 7.交易是连续的 8.无风险利率为常数
B-S期权定价公式
经典的B-S期权定价公式是对于欧式股票期权给出的。
期权的价值正是来源于签订合约时，未来标的资产价格与合约执 行价格之间的预期差异变化，在现实中，资产价格总是随机变化 的。需要了解其所遵循的随机过程。
研究变量运动的随机过程，可以帮助我们了解在特定时刻，变量 取值的概率分布情况。在下面几节中我们会用数学的语言来描述 这种定价的思想。
6.1 证券价格的变化过程
**随机微积分与非随机微积分的差别 d ln S dS
S
变量x和t的函数G也遵循Ito 过程：
dG ( G xa G t1 2 2 x G 2b2)d t G xbdz
dSSdtSdz
根据Ito引理，衍生证券的价格G应遵循如下过程：
d G ( G SS G t1 2 S 2 G 22 S2)d t G SSdz
但是当人们开始采用分形理论研究金融市场时，发现它的运行并 不遵循布朗运动，而是服从更为一般的分数布朗运动。
对于标准布朗运动来说：设t 代表一个小的时间
间隔长度，z代表变量z在 t 时间内的变化，遵循标
准布朗运动的 z 具有两种特征：
特征1：z和 t 的关系满足：
z ＝ t
其中， 代表从标准正态分布中取的一个随机值。
的普通布朗运动：
Ito过程
dxadb t dz d xa (x,t)d tb (x,t)dz
or：x( t)x0a t bz(t)x(t)x00 tad s0 tbd
b-s期权公式课件
连续复利收益率的问题: 尽管时间序列的收益率加总可以很容易的实现；但是
横截面的收益率加总则不是单个资产收益率的加权平均值，因为对数之和不是
2和024/的9/1对5 数。但是在很短时间内几乎可以认为是近似。JP摩根银行的
11
RiskMetrics方法就假定组合的收益率是单个资产连续复利收益率的加权平均。
ST
Se（T-t），＝
1 T-t
ln
ST S
,
由ln
ST
ln
S
~
[(
2 2
)(T
t),
T t ]可得
~
[(
2 2
),
]
T t
2024/9/15
16
结论
几何布朗运动较好地描绘了股票价格的运动过 程。
2024/9/15
17
参数的理解
μ:
几何布朗运动中的期望收益率，短时期内的期望值。
根据资本资产定价原理， μ取决于该证券的系统性风险、无风险 利率水平、以及市场的风险收益偏好。由于后者涉及主观因素， 因此的决定本身就较复杂。然而幸运的是，我们将在下文证明，
益率单位时间的标准差，简称证券价格的波动率 （Volatility），z遵循标准布朗运动。 一般μ和σ的 单位都是年。
很显然，这是一个漂移率为μS、方差率为σ2S2的
伊藤过程。也被称为几何布朗运动
2024/9/15
9
为什么证券价格可以用几何布朗运动 表示？
一般认同的“弱式效率市场假说”:
证券价格的变动历史不包含任何对预测证券价格未来变动有用的 信息。
这个随机过程dG的 (特 征 2:)dt dz 普通布朗运动: 恒定的2 漂移率和恒定的方差率。
BS期权定价模型课件详解精讲
Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
B-S公式小结
证券变化量满足伊藤随机过程——基于该 证券的衍生品价格满足伊藤引理，建立 起衍生品价格的随机微分方程——构建该 证券与其衍生品的适当组合消除随机过 程，且该组合要满足瞬时无套利，得到 满足任何衍生品价格f关于其证券价格s和 时间t的偏微分方程。
N (d )
f f 1 2 2 2 f rS S rf 2 t S 2 S
(6.18)
这就是著名的布莱克——舒尔斯微分分 程，它适用于其价格取决于标的证券价 格S的所有衍生证券的定价。
方程的衍生品价格的解为f（s，t）,表示满足此方程的任何解都是满足某种衍生品的不会导致套利机会 的价格；若不满足此方程的衍生品价格f（s，t）也是一种价格，但这样的价格会导致无风险套利机会。
表示这样的对冲组合取得的价值不应该 比无风险利率下的时间价值大或者小。 应该与存放银行取得的收益是一致的， 必须至少获得无风险利率。既然已经不 包含随机过程， 则结果是无风 险确定的， 2 应该不存在 瞬时无风险套利。
（6.16） 将式（6.12）和（6.14）代入式 （6.16），可得： f 1 2 f 2 2 ( S )（ t 6.17） 2 t 2 S 在没有套利机会的条件下： r t
Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
二、布朗运动
（一）标准布朗运动 z代表变 设t代表一个小的时间间隔长度， 量z在时间 t 内的变化，遵循标准布朗运 动的 z 具有两种特征： z和 t 的关系满足（6.1）： 特征1： z t （6.1） 其中，代表从标准正态分布（即均值为0、 标准差为1.0的正态分布）中取的一个随 机值。
期权定价公式完全指南对bs模型的介绍
期权定价公式完全指南对bs模型的介绍下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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B―S期权定价模型为公司股票和债权定价
d1=ln+tσf=d1-σt
σ是股票价格的年化波动率。
另外，我们简单介绍下看涨-看跌平价理论。设计以下交易：1）卖出看涨期权，到期日t，交割价格X。2）买入看跌期权，到期日t，交割价格X。3）买入对应的标的资产。4）借入Xe-rt的资金。令C表示看涨期权价格，P表示看跌期权价格。则期初现金流为：C-P-S+Xe-rt。则到到期日，不论股票价格大于或者小于交割价格X，净现金流均为0，由无套利可知，初始的现金流也该为0。即：P= C-S+Xe-rt=SN-Xe-rtN-S+Xe-rt=Xe-rtN-SN
现在，我们考虑到一个有负债的公司，其资本结构由权益资本和债务资本组成，设V为此公司在t时刻的总价值，E表示t时刻的权益资本，D为t时刻的债务资本价值，根据MM定理有：
V= E+ D
设T时刻公司的债务价值为B= B*T-t即为发行债券时的票面价值），其中rb为借款利率，大于无风险利率r。V为T时刻的公司总价值，它是不确定的，E为T时刻权益的价值。我们假设债务在T时刻进行清算，则到期日T时，若VB，根据上述分析的，股东将执行看涨期权，支付B给债权人，可视为股东以B，即低于公司资产价值的价格向债权人买入公司。股东获得差额E= V- B，即公司股票价格在T时为V- B。相反，若VB，即资不抵债，股东不执行权利，宣布破产，将公司交予债权人，债权人获得公司价值V，而股东一无所获，此时股票的价值将等于0。综上所述，T时债券的价值等于Min[V，B]，而T时股票的价值等于E=Max[V- B，0]。可见，公司股票确实可视为基于公司资产的看涨期权，因此，其价值可以用B-S看涨期权定价公式估计为：子可知，期权的价格只和S，X，r，t，σ这五个变量有关，而前四个变量都可以通过数据观察得到，σ则可以通过历史的价格数据进行估计。投资者的风险偏好和股票的预期收益率没有出现在定价公式中，这正是期权定价方法不同于开篇所述的现金流绝对定价法的地方。
B-S定价模型
（1）无风险利率r是已知的，为一个常数，不随时间的变化而改变
（2）标的证券为股票，正股价格S的变化符合随机漫步，但这种随机漫步能够使股票的回报率成对数正态分布。
（3）标的股票不分红
（4）期权为欧式期权，即到期日才能行权
B-S模型
期权定价模型。
B-S是两位经济学家BLACK、SCHOLES名字的缩写，为了纪念他们发现该模型而用他们的名字命名.
在二叉树的期权定价模型中，如果标的证券期末价格的可能性无限增多时，其价格的树状结构将无限延伸，从每个结点变化到下一个结点（上涨或下跌）的时间将不断缩短，如果价格随着时间周期的缩短，其调整的幅度也逐渐缩小的话，在极限的情况下，二叉树模型对欧式权证的定价就演变为关于权证定价理论的经典模型：B-S模型.
第一个角度根据定价原理，该模型可以看作两部分， 和 ，正好理解为一个投资组合的两个组成部分，即N(d1)份正股和XeN(d2)元的无息贷款的组合。也就是说，在权证未到期前的任何时刻，一份认购权证的价值与N(d1)份正股和XeN(d2)元的无息贷款的组合价值相同。
第二个角度是从权证的到期收益来理解模型，权证的价值由其到期日能够给持有者带来的收益决定。但是到期时正股价格不确定，因此权证的收益也难以确定。假设到期时正股价格为S，则到期时认购权证的价格为S-X。那么在到期前的任一时刻t,要想知道认购权证的价格，我们就需要推算认购权证到期时正股价为S的概率，同时将行权价格按一定的贴现率折算为时刻t的现值。因此，认购权证的定价模型可以理解为在任一时刻t,认购权证到期时正股价格为S的概率为N(d1)， 为行权价格在时刻t的现值，N(d2)为概率。因此，在任一时刻t,认购权证给投资者带来的收益即为 。
B-S期权定价模型
看涨期权和看跌期权
• call option （看涨期权)：A call option gives the owner the right to buy an asset at a fixed price during a particular period. • put option（看跌期权）：A put option gives the holder the right to sell an asset for a fixed exercised price.
1、股票价格的运动过程
dS dt dz , dz dt S
dS ：股票的瞬间收益率 S
：股票的期望瞬间收益率 ：股价收益率的瞬间标准差
4
波动率估计
1 观测证券价格的历史数据S0 、 S1 、…… 、 Sn ， 观测时间间隔为t（以年为单位） 2 计算每期以复利计算的回报率 ui＝Ln(Si / Si-1 ), i=1,……,n 3 计算回报率的标准差s
★
ln(S / K ) (r / 2)(T t ) d2 es 期权定价公式。
17
上式中N(d)表示累计正态分布： S-------表示股票当前的价格 K-------表示期权的执行价格 r-----代表无风险年利率 T-t-----表示行权价格距离现在到期日
将该期望收益以无风险利率折现，得到欧式 期权价格：
ˆ[max (S K ,0)] C(S , t ) er (T t ) E T
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得： C(S , t ) SN (d1 ) Ker (T t ) N (d2 )
2 ln( S / K ) ( r / 2)( T t ) 其中： d1 (T t )
Black-Scholes期权定价模型
Black-Scholes期权定价模型Black-Scholes期权定价模型是一种能用来计算股票期权价格的数学模型。
它是由费希尔·布莱克和默顿·斯科尔斯于20世纪70年代初提出的，因此得名。
该模型的基本假设是市场条件持续稳定，且不存在利率和股票价格变动的趋势。
此外，它还假设股票价格服从几何布朗运动，即价格的波动是随机的。
根据这些假设，Black-Scholes模型将股票价格与利率、期权行权价、到期时间以及波动率等因素联系起来，以计算期权的合理价格。
Black-Scholes模型的公式为：C = S_0 * N(d1) - X * e^(-r * T) * N(d2)其中，C为期权的价格，S_0为股票的当前价格，N(d1)和N(d2)分别为标准正态分布函数的值，X为期权的行权价，r为无风险利率，T为期权的到期时间。
d1和d2是通过一系列数学计算得出的。
利用Black-Scholes模型，投资者可以根据个人的风险偏好和市场条件来评估一个期权的合理价格。
它对市场参与者来说是一种有用的工具，因为它能够帮助他们理解和衡量期权的价值。
然而，Black-Scholes模型也存在一些局限性。
首先，它假设市场条件持续稳定，而实际上市场是非常复杂和动态的。
其次，它假设股票价格服从几何布朗运动，这在现实中并不总是成立。
另外，模型中的波动率是一个固定的参数，而实际上波动率是随着时间和市场条件的变化而变化的。
因此，在使用Black-Scholes模型时，投资者需要慎重考虑其局限性，并结合其他因素和分析来作出投资决策。
此外，人们也一直在尝试改进这个模型，以更好地适应实际市场的复杂性和动态性。
Black-Scholes期权定价模型是金融领域中最著名的定价模型之一。
它提供了一个基于几何布朗运动的股票价格模型，可以计算欧式期权的合理价格。
该模型的公式给出了欧式期权的理论价格，而不考虑市场上的任何其他因素。
Black-Scholes模型的創始人费希尔·布莱克和默顿·斯科尔斯在1973年发布了这一模型，并以此获得了1997年诺贝尔经济学奖。
bs模型资料
BS模型
Black-Scholes模型是一个用于定价金融期权的数学模型。
它由Fisher Black和Myron Scholes于1973年提出，后来Robert Merton也为其做出了贡献，并因此获得了1997年的诺贝尔经济学奖。
BS模型被广泛应用于金融市场，尤其是股票期权市场，它提供了一种计算期权的公平价格的方法。
模型原理
BS模型基于一些基本假设：市场不存在交易成本、无风险收益率是恒定的、资产价格的波动率是已知且恒定的等。
它通过假设资产价格的变化服从几何布朗运动来描述资产价格的演变。
BS模型的主要方程式是一个偏微分方程，称为Black-Scholes方程，它描述了期权价格随时间和资产价格的变化而变化的过程。
BS模型的优点和局限
BS模型是一个非常有用的工具，能够提供期权价格的合理估计。
它的优点在于计算简单、结果清晰，并且广泛适用于欧式期权。
然而，BS模型也存在一些局限，例如对市场变动的敏感度较高、无法直接适用于美式期权等。
实际应用
虽然BS模型存在局限，但在实际金融市场中仍然被广泛使用。
许多金融从业者使用BS模型来评估期权的价格，进行风险管理和对冲等操作。
除了股票期权，BS模型也可以应用于其他金融产品的定价，如利率期权、商品期权等。
总结
Black-Scholes模型作为金融领域的一个重要工具，为理解和定价期权提供了一个坚实的基础。
虽然其基本假设可能与实际市场情况不完全符合，但BS模型的简单性和有效性使其在金融实践中得到广泛应用。
对于金融从业者来说，了解BS模型的原理和应用是至关重要的。
BS期权定价模型
2020/1/13
9
思考题
1、造成Black-Scholes期权定价公式估计 的期权价格与市场价格存在差异的原因 有哪些？
① 计算错误；
② 期权市场价格偏离均衡；
③ 使用的错误的参数；
④ 布莱克——舒尔斯期权定价公式建立 在众多假定的基础上
思考题
B-S模型只解决了不分红股票的期权定价 问题,那么对于分红股票的期权定价问题 应该如何解决呢？
布莱克-斯克尔斯期权定价模型
1
主讲内容
背景知识 基本概念介绍 模型介绍 案例与实验操作 思考题
背景知识
1997年10月10日，第二十九届诺贝尔经济学 奖授予了两位美国学者，哈佛商学院教授罗伯 特·默顿(RoBert Merton)和斯坦福大学教授迈 伦·斯克尔斯(Myron Scholes)。他们创立和发 展的布莱克——斯克尔斯期权定价模型(Black Scholes Option Pricing Model)为包括股票、 债券、货币、商品在内的新兴衍生金融市场的 各种以市价价格变动定价的衍生金融工具的合 理定价奠定了基础。
(1)存在已知的不连续红利假设某股票在期权有效期内某时间 T(即除息日)支付已知红利DT，只需将该红利现值从股票现 价S中除去，将调整后的股票价值S′代入B-S模型中即 可:S′=S-DT E-rT。如果在有效期内存在其它所得，依该法一 一减去。从而将B-S模型变型得新公式:
C=(S- E-γT N(D1)-L E-γT N(D2)
基本概念
期权 看涨期权与看跌期权 美式期权与欧式期权
模型介绍
基本假设：
1．股价遵循几何布朗运动： 2．允许使用全部所得卖空衍生证券； 3．没有交易费用或税金，且所有证券高度可分； 4．在衍生证券的有效期内没有支付红利； 5．不存在无风险的套利机会； 6．证券交易是连续的，股票价格连续平滑变动； 7．无风险利率r为常数，能够用同一利率借入或贷出资金 8．只能在交割日执行期权。
B-S期权定价公式
Black-Scholes 期权定价模型一、Black-Scholes 期权定价模型的假设条件Black-Scholes 期权定价模型的七个假设条件如下：1. 风险资产（Black-Scholes 期权定价模型中为股票），当前时刻市场价格为S 。
S 遵循几何布朗运动，即dz dt SdS σμ+=。
其中，dz 为均值为零，方差为dt 的无穷小的随机变化值（dt dz ε=，称为标准布朗运动，ε代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为1的正态分布）中取的一个随机值），μ为股票价格在单位时间内的期望收益率，σ则是股票价格的波动率，即证券收益率在单位时间内的标准差。
μ和σ都是已知的。
简单地分析几何布朗运动，意味着股票价格在短时期内的变动（即收益）来源于两个方面：一是单位时间内已知的一个收益率变化μ，被称为漂移项，可以被看成一个总体的变化趋势；二是随机波动项，即dz σ，可以看作随机波动使得股票价格变动偏离总体趋势的部分。
2．没有交易费用和税收，不考虑保证金问题，即不存在影响收益的任何外部因素。
3. 资产价格的变动是连续而均匀的，不存在突然的跳跃。
4. 该标的资产可以被自由地买卖，即允许卖空，且所有证券都是完全可分的。
5. 在期权有效期内，无风险利率r 保持不变，投资者可以此利率无限制地进行借贷。
6．在衍生品有效期间，股票不支付股利。
7．所有无风险套利机会均被消除。
二、Black-Scholes 期权定价模型（一）B-S 期权定价公式在上述假设条件的基础上，Black 和Scholes 得到了如下适用于无收益资产欧式看涨期权的Black-Schole 微分方程：rf S f S S f rS t f =∂∂+∂∂+∂∂222221σ 其中f 为期权价格，其他参数符号的意义同前。
通过这个微分方程，Black 和Scholes 得到了如下适用于无收益资产欧式看涨期权的定价公式：)()(2)(1d N Xe d SN c t T r ---=其中，t T d tT t T r X S d t T t T r X S d --=---+=--++=σσσσσ12221))(2/()/ln())(2/()/ln(c 为无收益资产欧式看涨期权价格；N （x ）为标准正态分布变量的累计概率分布函数（即这个变量小于x 的概率），根据标准正态分布函数特性，我们有)(1)(x N x N -=-。
金融工程10-BSM模型
• 由此我们可以利用BS公式得到的结论，作出一个可以 大大简化我们的工作的风险中性假设：在对衍生证券 定价时，所有投资者都是风险中性的。
r
0.36% 2.0% 9
年 日 252 2% 252 31.75%
隐含波动率
• 即根据B/S期权定价公式，将公式中除了波动率以 外的参数和市场上的期权报价代入，计算得到的波 动率可以看作是市场对未来波动率的预期。
• 隐含波动率的计算一般需要通过计算机完成。
13.4 BSM模型与风险中性定价原理
0.0000
16.37
0.0501
0.0019
16.46
0.0055
0.0000
16.96
0.0299
0.0005
16.71
-0.0149
0.0005
0.0687
0.0036
0.0069
收益率均值
r
1 n
n
ln rt
t 1
6.87% 0.69% 10
收益率标准差
1n n 1 t 1
ln rt
f
f S
f t
1 2
2 S
f
2
2S
2
t
f S
bz
f
f S
S
f t
1 2
2 f S 2
2S 2 t
– 也就是说组合的价值变动只跟时间有关，为无风险组合
期权定价的Black-Scholes-Merton模型
dƒ
ƒ S
mS
ƒ t
½
2ƒ S 2
s2S
2
dt
ƒ S
sS
dz
W e set up a portfolio consisting of
1: derivative
+ ƒ : shares S
22
Black-Scholes 微分方程的推导
The value of the portfolio is given by ƒ ƒ S S
函数的过d程x 。a数x,学td表t 达b式x为,t：dz
其中，参数a和b是标的变量 x 和 t 的函数。
股票价格的 Itoˆ 过程
dS mSdt sSdz
其中，m是期望收益率，s是波动率。 等价地，离散时间过程表示为
DS mSDt sS Dt蒙特卡罗模拟 蒙特卡罗模拟是一种工具，可用来评估在 未来某个时期可能实现的各种不同损益的 可能性。它是通过模拟市场价格和波动率 的变动，得到在某个指定时期该证券组合 盈亏的整个概率分布。对于包含许多不同 标的资产的证券组合，在已知这些标的资 产之间相关性的条件下，蒙特卡罗模拟可 用于评估该组合的风险。
N(d 1)e– qT 支付股息率为q 的欧式看跌期权的delta值为
e– qT [N (d 1) – 1]
39
Delta对冲
对冲策略要不断的调整，这种调整过程被 称为再平衡
Delta对冲一个书面的期权涉及到“买高, 卖低” 交易规则
40
运用期货的Delta对冲
期货合约的delta值是现货交易合约的e(r-q)T倍 因此用于delta对冲期货合约的头寸是对应现
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且其标准差为: T
因为ST 的对数服从正态分布, ST服从 对数正态分布
2020/6/11
.
13.10
对数正态分布
ln ST ~ ln S0 (m 2 2)T , T
or
ln ST ~ (m 2 2)T , T S0
m,s] 是正态分布 均值为 m 标准差 s
13.3 波动率
年波动率是以连续复利计的股票年收益
率的标准差。t 时间内股票收益率的标
准差为
t
如果一种股票价格是$50 且其波动为年 30%，一周内价格变化的标准差是多少?
2020/6/11
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13.17
13.4 根据历史数据估计波动率
1. 观察值 S0, S1, . . . , Sn 间隔
dxa(x,t)dtb(x,t)dz
其中d， z dt
2020/6/11
.
13.7
13.1 关于股票价格变化的假设
设股票价格为 S，以连续复利表示的年期望 收益率(漂移率)为 m，年波动率(标准差)为，
则伊藤过程可用来刻画股票价格变化
dSmSdtSdz
其中， dz为标准布朗运动
S mt t,即： S ~(mt, t)
股票期权定价: BlackScholes 模型
第13章
.
13.1 关于股票价格变化的假设
EMH假说
根据价格对信息的反应程度，市场可分为 weak / semi-strong / strong form(弱式、半 强式、强式)
一般认为，弱式假说成立，故可用马尔可 夫过程(Markov Stochastic Process)来表述
令f ln S, f 1 , 2 f 1 , f 0 S S S 2 S 2 t
即：d (ln S ) (m 2 )dt dz
2
ln
ST
ln
S0
~
((m
2
2
)t,
t )
其中， (m,s )为均值m, 标准差为s的正态分布
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13.9
对数正态分布
假设表明： ln ST 服从正态分布，则 其均值:
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13.15
13.2 期望收益率
由m 1 ln E(ST )
T S0
若ln
E(ST
)
E
ln(ST
)
m
1 T
E(ln
ST S0
)
则：E(R) m
但：ln E(ST ) E ln(ST ),实际上ln E(ST ) E ln(ST )
故：E(R) m
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13.16
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13.11
13.1 关于股票价格变化的假设
补充：对数正态分布密度函数
f(X) 0X,12exp1 2lnX m2,
X0 X0
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13.12
对数正态分布
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E(ST)S0em T var(ST)S02e2m T(e2T1)
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13.13
13.2 期望收益率
变化值 方差率(variance rate)：单位时间的方差
设漂移率的期望值 a，为方差率期望值b2， 为 则普通布朗运动定： 义为
dxadtbdz 其中，dz dt
故：x ~ N(aT,b2T)
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13.6
13.1 关于股票价格变化的假设
伊藤过程(Ito Process) 将普通布朗运动的漂移率和方差率视为x和t的 函数，则得到伊藤过程
股票的预期价值为 S0emT
E(ST)S0emT mT 1l
nE(ST) S0
可知m为时间T内收益率的算术平均值
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13.14
13.2 期望收益率
由公式(13.4)得知，以连续复利计的股票 预期收益率为 m– 2/2
短期t内收益率的算术平均值为 m 收益率的几何平均值为 m – 2/2
(1)z t，其中 ~ N (0,1)
(2)对于任意不同的t，z相互独立 由性质1，可知z ~ N (0, t) 由性质2，可知布朗运动为马尔可夫过程的特殊形式
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13.4
13.1 关于股票价格变化的假设
标准布朗运动(Standard Brownian Motion)
在较长的时间T内，z的变化为z(T) z(0)，
即，只有变量的当前值才与未来的预测相 关，而其历史变量与未来无关
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13.2
13.1 关于股票价格变化的假设
均值-方差分析的辩论: 概率分布的描述
均值：期望、中值(median)、众数(mode) 偏差：平均绝对偏差(mean absolute deviation)、期望平方差(expected squared deviation)、三阶矩差(third central moment)、 四阶矩差…… 偶数矩差表明有极端值的可能；奇数矩差代表不 对称的测度。
为 t年 2. 定义连续复利收益率为ui:
ui
ln
Si
Si1
3. 对 ui 的标准差的估计值s 4. 历史波动率估计值:
ˆ s t
s
( ) 1 n
n1i1
ui u 2
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13.18
波动率的影响因素
波动率在开市时比闭市时高 (i.e.资产可交 易)
U E ( r ) b 02 b 1 M 3 b 2 M 4 b 3 M 5
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13.3
13.1 关于股票价格变化的假设
布朗运动(Brownian Motion / Wiener Process )
标准布朗运动： 设t代表一个小的时间间隔长度 z为变量z在t时间内的变化 布朗运动具有两特征：
S
S
其中， (ms, )为均值 m,标准差s为 的正态分布
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13.8
13.1 关于股票价格变化的假设
伊藤引理：可以刻画某依赖于基础证券价 格和时间的衍生品的价格变动
定义f
f (S, t),则df
( f S
mS f
t
1 2
2 f S 2
2S 2 )dt f Sdz
S
ห้องสมุดไป่ตู้
其中，dz为标准布朗运动
可视为在N个长度为t的小时间间隔内 z的变化总量 其中，N T / t，故：
N
z(T) z(0) i t i1
其中，i (i 1,2, , N)为标准正态分布的随抽机样值
因此：z(T) z(0) ~ N(0,T)，方差可加性
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13.5
13.1 关于股票价格变化的假设
普通布朗运动 漂移率(drift rate)：单位时间内变量z均值的