第二章_椭圆型方程的有限差分法(1)
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lim Rh (u ) 0
h 0
(2.1.6)
则说差分算子 Lh L , 且称 (2.1.6) 为相容 条件。
Rh (u) c O(h2 ), Rh (u) 0 O(h2 ), Rh (u) 1 O(h).
u ( xi1 ) 2 u ( xi ) u ( xi 1 ) h2 u ( x) h2 d u ( x ) h 4 d 6u d dx [ ] ( ), 2 i 12 dx i 360 dx6 xi 1 xi 1
xi a ih, i 0,1,, N , h (b a) / N
x0 a
x1
xi
xi 1
xN 1
xN b
h 称为步长， xi 称为节点 （2） 差分逼近（微分方程离散化）
u [ d ] q( xi )u( xi ) f ( xi ), i 1,, N 1 dx2 x xi
Ri (u) Lhu( xi ) Lu( xi ) ( Lh L)u( xi )
u ( xi1 )2uh(2xi )u ( xi1 ) q( xi )u( xi ) f ( xi )
i=1,…,N-1 (2.1.5)
Remark1.1 ：截断误差可以看作是用差 分算子 Lh 代替微分算子 L 所引起的截断误 差。 问题 1.1： Lh L ？当 h 0 时。 网函数：定义在 I h {x1,, xN 1}(I h {x0 ,, xN }) 上的函数 uh ( xi ) ui 称为 I h (或I h ) 上的网函数。 网函数的范数：
qi q( xi ), fi f ( xi ) (2.1.3)
i 1,, N 1
边界条件的处理：
u0 , uN
(2.1.4)
（4） 求解差分方程 A、差分方程的矩阵表示
ui 1 (2 h2 qi )ui ui 1 h2 fi , i 1,, N 1
3、差分法的基本问题有：
求解区域的网格剖分； 构造逼近微分方程定解问题的差分格 式； 差分解的存在唯一性、稳定性及收敛 性研究； 差分方程的解法。 思考题：给出求解如下两点边值问题的差分 方程
d u Lu dx2 qu f , a x b, u(b) u (b) 1 , u (a) 0 ,
课件编写者：冯仁忠
第二章 椭圆型方程的有限差分法 1、 有限差分法的求解过程
二阶常微分方程边值问题：
d u Lu dx2 qu f , a x b, u (b) u (a) ,
2
(2.1.1) (2.1.2)
其 中 q, f 为 [a,b] 上 的 连 续 函 数 ， q 0 ; , 为给定常数。 （1） 剖分 将区间[a,b]分成 N 等分
其中 f h R 是右端 f h 的某一范数， 它可以和 相同，也可以不同， vh ( xi ) vi , i 1, 2,, N 1. Remark1.2: 不 等 式 (2.1.7) 表 明 当 右 端数据 fi 有变化时，差分方程解 vi 的变化量 不会超过 fi 变化量的 M 倍。 记误差 ei u( xi ) ui ，则误差满足下列差分 方程：
B、差分方程的性态分析 系数矩阵对角占优，方程组存在唯一 解。 C、差分方程组的求解方法 消元法和追赶法
N { u } （5）编程计算获得数值解 i i 0 。
2、差分逼近的性态研究
收 敛 性 问 题 ： 设 当 h0 时 , 那 么 ui u( xi ) ？可借助两个概念相容条件和关
于右端稳定来回答。 截断误差(truncation error)：将差分 算子的值 Lhu xi 与微分算子的值 Lu xi 的差称 作差分方程的截断误差
Lh ei Ri (u ), e0 eN 0. i 1, 2,, N 1
（2.1.8）
问题 1.2：如何估计 eh 的大小？
定理 1 若边值问题的解 u 充分光滑， 差 分方程按 R 满足相容条件，且关于右端稳 定，则差分解 uh 按 收敛到边值问题的解， 且有和 Rh (u) R 相同的收敛阶。 Remark 1.3: (1) 定理 1 是一充分条件; (2)根据定理 1, 要判定解的收敛性， 需要检 验差分方程的相容条件和稳定性。 先验估计：建立(2.1.7)的估计式过程称 作先验估计。
2 4
定义 1.2 称差分方程 Lhvi fi (i 1,2,, N 1), v0 vN 0 关于右端稳定，如果存在与网格 I 及右端 fh ( fh ( xi ) fi ) 无关的正常数 M 和 h ,使
h
0
vh M f h
R
,当 0 h h0 ,
（2.1.7）
2
u ( xi1 ) 2u ( xi ) u ( xi 1 ) h2
q( xi )u ( xi ) f ( xi ) Ri (u ),
i 1,, N 1.
ui u ( xi )
（3） 差分方程
Lhui
ui1 2ui ui1 h2
qi ui fi ,
uh uh
c 2 1
max | ui |,
1i N 1 2
uh
2
2 0
hui2
i 1 2 N
N 1
uh
uh 1 , 0
uh 1 h( ui hui1 ) 2
i 1
Baidu Nhomakorabea
定义 1.1 设 是某一充分光滑的函数 类， Rh (u ) 是由截断误差(2.1.5)定义的网函 数。若对任何 u ，恒有
比如,N 5
2 h 2 q1 1
1 2 h 2 q2 1
0 1 2 h 2 q3 1
u1 h 2 f1 2 u h f 2 2 2 1 u3 h f 3 u h2 f 2 h 2 q4 4 4 0
2
其 中 q, f C 0[a, b], q 0, 0 , 1, 为 给 定 的 常 数 0 。
h 0
(2.1.6)
则说差分算子 Lh L , 且称 (2.1.6) 为相容 条件。
Rh (u) c O(h2 ), Rh (u) 0 O(h2 ), Rh (u) 1 O(h).
u ( xi1 ) 2 u ( xi ) u ( xi 1 ) h2 u ( x) h2 d u ( x ) h 4 d 6u d dx [ ] ( ), 2 i 12 dx i 360 dx6 xi 1 xi 1
xi a ih, i 0,1,, N , h (b a) / N
x0 a
x1
xi
xi 1
xN 1
xN b
h 称为步长， xi 称为节点 （2） 差分逼近（微分方程离散化）
u [ d ] q( xi )u( xi ) f ( xi ), i 1,, N 1 dx2 x xi
Ri (u) Lhu( xi ) Lu( xi ) ( Lh L)u( xi )
u ( xi1 )2uh(2xi )u ( xi1 ) q( xi )u( xi ) f ( xi )
i=1,…,N-1 (2.1.5)
Remark1.1 ：截断误差可以看作是用差 分算子 Lh 代替微分算子 L 所引起的截断误 差。 问题 1.1： Lh L ？当 h 0 时。 网函数：定义在 I h {x1,, xN 1}(I h {x0 ,, xN }) 上的函数 uh ( xi ) ui 称为 I h (或I h ) 上的网函数。 网函数的范数：
qi q( xi ), fi f ( xi ) (2.1.3)
i 1,, N 1
边界条件的处理：
u0 , uN
(2.1.4)
（4） 求解差分方程 A、差分方程的矩阵表示
ui 1 (2 h2 qi )ui ui 1 h2 fi , i 1,, N 1
3、差分法的基本问题有：
求解区域的网格剖分； 构造逼近微分方程定解问题的差分格 式； 差分解的存在唯一性、稳定性及收敛 性研究； 差分方程的解法。 思考题：给出求解如下两点边值问题的差分 方程
d u Lu dx2 qu f , a x b, u(b) u (b) 1 , u (a) 0 ,
课件编写者：冯仁忠
第二章 椭圆型方程的有限差分法 1、 有限差分法的求解过程
二阶常微分方程边值问题：
d u Lu dx2 qu f , a x b, u (b) u (a) ,
2
(2.1.1) (2.1.2)
其 中 q, f 为 [a,b] 上 的 连 续 函 数 ， q 0 ; , 为给定常数。 （1） 剖分 将区间[a,b]分成 N 等分
其中 f h R 是右端 f h 的某一范数， 它可以和 相同，也可以不同， vh ( xi ) vi , i 1, 2,, N 1. Remark1.2: 不 等 式 (2.1.7) 表 明 当 右 端数据 fi 有变化时，差分方程解 vi 的变化量 不会超过 fi 变化量的 M 倍。 记误差 ei u( xi ) ui ，则误差满足下列差分 方程：
B、差分方程的性态分析 系数矩阵对角占优，方程组存在唯一 解。 C、差分方程组的求解方法 消元法和追赶法
N { u } （5）编程计算获得数值解 i i 0 。
2、差分逼近的性态研究
收 敛 性 问 题 ： 设 当 h0 时 , 那 么 ui u( xi ) ？可借助两个概念相容条件和关
于右端稳定来回答。 截断误差(truncation error)：将差分 算子的值 Lhu xi 与微分算子的值 Lu xi 的差称 作差分方程的截断误差
Lh ei Ri (u ), e0 eN 0. i 1, 2,, N 1
（2.1.8）
问题 1.2：如何估计 eh 的大小？
定理 1 若边值问题的解 u 充分光滑， 差 分方程按 R 满足相容条件，且关于右端稳 定，则差分解 uh 按 收敛到边值问题的解， 且有和 Rh (u) R 相同的收敛阶。 Remark 1.3: (1) 定理 1 是一充分条件; (2)根据定理 1, 要判定解的收敛性， 需要检 验差分方程的相容条件和稳定性。 先验估计：建立(2.1.7)的估计式过程称 作先验估计。
2 4
定义 1.2 称差分方程 Lhvi fi (i 1,2,, N 1), v0 vN 0 关于右端稳定，如果存在与网格 I 及右端 fh ( fh ( xi ) fi ) 无关的正常数 M 和 h ,使
h
0
vh M f h
R
,当 0 h h0 ,
（2.1.7）
2
u ( xi1 ) 2u ( xi ) u ( xi 1 ) h2
q( xi )u ( xi ) f ( xi ) Ri (u ),
i 1,, N 1.
ui u ( xi )
（3） 差分方程
Lhui
ui1 2ui ui1 h2
qi ui fi ,
uh uh
c 2 1
max | ui |,
1i N 1 2
uh
2
2 0
hui2
i 1 2 N
N 1
uh
uh 1 , 0
uh 1 h( ui hui1 ) 2
i 1
Baidu Nhomakorabea
定义 1.1 设 是某一充分光滑的函数 类， Rh (u ) 是由截断误差(2.1.5)定义的网函 数。若对任何 u ，恒有
比如,N 5
2 h 2 q1 1
1 2 h 2 q2 1
0 1 2 h 2 q3 1
u1 h 2 f1 2 u h f 2 2 2 1 u3 h f 3 u h2 f 2 h 2 q4 4 4 0
2
其 中 q, f C 0[a, b], q 0, 0 , 1, 为 给 定 的 常 数 0 。