绝对值的三角不等式典型例题
绝对值不等式的证明及应用
绝对值不等式的证明及应用一、绝对值有关性质回顾：①(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩②ab a b =,aa b b= (0)b ≠ ③22a a =④0a ≥ ⑤a a a -≤≤⑥x a a x a ≤⇔-≤≤ x a x a a ≥⇔≥≤-或 二、绝对值不等式：定理：绝对值三角不等式：a b a b a b-≤±≤+.(代数形式)a b a b a b -≤±≤+(向量形式)几何解释:三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.(0b a b ab +≤+≥取等号） 证明:方法一：()22+a b a b +≤, 2222+22a ab b a ab b +≤++, 22ab ab ≤,而22ab ab ≤显然成立,∴(0a b a b ab +≤+≥取等号）||||||a b a b +=====+||||||a b a b +===<==+方法二：（选修4-5证法） 当ab ≥0时, ||,ab ab =||,ab ab =-当ab ＜0时综上，a b a b +≤+ 0ab ≥当时，取等号， 方法三：（原人教版教材证法） ∵a a a -≤≤ ① b b b -≤≤ ②①+②：()a b a b a b -+≤+≤+， 逆用性质x a ≤得：a b a b +≤+推论1：123123.......n a a a a a a a +++≤++ ，当123,,,......n a a a a 都非正或都非负时。
a b a b -≤+.证明:方法一:当0a b -<时显然成立,当0a b -≥时，两边平方,()22a b a b-≤+, 222222a ab b a ab b -+≤++, 22ab ab -≤,而22ab ab -≤显然成立,∴a b a b -≤+,(当0ab <时取等号). 方法二:直接利用定理1a ab b a b b a b b =+-≤++-=++.当()()0a b b +-≥时,取等号.即()00a b b ab +≤⇒≤,取等号. 合在一起得:a b a b a b -≤+≤+.(当0ab ≤时左边取等号,当0ab ≥时右边取等号)(当0ab ≥时左边取等号, 当0ab ≤时左边取等号)证明:只需利用已有结论把a b a b a b -≤+≤+中的b 用b -代替即得到定理3.b ac b c -≤-+-证明：a b a c c b a c c b a c b c-=-+-≤-+-=-+-，（当()()0a c c b --≥时，取等号）几何解释：设A ，B ，C 为数轴上的3个点，分别表示数a ，b ，c ，则线段.CB AC AB +≤当且仅当C 在A ，B 之间时，等号成立。
01绝对值不等式(含经典例题+答案)
绝对值不等式一、绝对值三角不等式1．定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．2．定理2：如果a，b，c是实数，则|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．二、绝对值不等式的解法(1)|a x＋b|≤c⇔－c≤a x＋b≤c ；(2)|a x＋b|≥c⇔a x＋b≥c或a x＋b≤－c .3．|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；方法三：通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想．二、绝对值不等式的解法(1)|a x＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c ；(2)|a x＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c .3．|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；方法三：通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想．1．不等式|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|；不等式|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≤0，左侧“＝”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|.2．|x－a|＋|x－b|≥c表示到数轴上点A(a)，B(b)距离之和大于或等于c的所有点，只要在数轴上确定出具有上述特点的点的位置，就可以得出不等式的解．例4：若不等式|x＋1|＋|x－2|≥a对任意x∈R恒成立，则a的取值范围是________．解：由于|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，所以只需a≤3即可．若本题条件变为“∃x∈R使不等式|x＋1|＋|x－2|<a成立为假命题”，求a的范围．解：由条件知其等价命题为对∀x∈R，|x＋1|＋|x－2|≥a恒成立，故a≤(|x＋1|＋|x－2|)min，又|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，∴a≤3.例5：不等式log3(|x－4|＋|x＋5|)>a对于一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．解：由绝对值的几何意义知：|x－4|＋|x＋5|≥9，则log3(|x－4|＋|x＋5|)≥2所以要使不等式log3(|x－4|＋|x＋5|)>a对于一切x∈R恒成立，则需a<2.例6：某地街道呈现东——西，南——北向的网络状，相邻街距都为1，两街道相交的点称为格点．若以相互垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点(－2,2)，(3,1)，(3,4)，(－2,3)，(4,5)，(6,6)为报刊零售点，请确定一个格点(除零售点外)________为发行站，使6个零售点沿街道到发行站之间的路程的和最短．解：设格点(x，y)(其中x，y∈Z)为发行站，使6个零售点沿街道到发行站之间的路程的和最短，即使(|x＋2|＋|y－2|＋(|x－3|＋|y－1|)＋(|x－3|＋|y－4|)＋(|x＋2|＋|y－3|)＋(|x－4|＋|y－5|)＋(|x－6|＋|y－6|)＝[(|x＋2|＋|x－6|)＋(|x＋2|＋|x－4|)＋2|x－3|]＋[|y－1|＋|y－2|＋|y－3|＋|y－4|＋|y－5|＋|y－6|]取得最小值的格点(x，y)(其中x，y∈Z)．注意到[(|x＋2|＋|x－6|)＋(|x＋2|＋|x－4|) ＋2|x－3|]≥|(x＋2)－(x－6)|＋|(x＋2)－(x－4)|＋0＝14，当且仅当x＝3取等号；|y－1|＋|y－2|＋|y－3|＋|y－4|＋|y－5|＋|y－6|＝(|y－1|＋|y－6|)＋(|y－2|＋|y－5|＋(|y－3|＋|y－4|)≥|(y－1)－(y－6)|＋|(y－2)－(y－5)|＋|(y－3)－(y－4)|＝9，当且仅当y＝3或y＝4时取等号．因此，应确定格点(3,3)或(3,4)为发行站．又所求格点不能是零售点，所以应确定格点(3,3)为发行站．1．对绝对值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中等号成立的条件要深刻理解，特别是用此定理求函数的最值时．2．该定理可以强化为：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，它经常用于证明含绝对值的不等式．3．对于求y＝|x－a|＋|x－b|或y＝|x＋a|－|x－b|型的最值问题利用绝对值三角不等式更简洁、方便.例7：设函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a>0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋2的解集；(2)若不等式f(x)≤0的例9：已知关于x的不等式|2x＋1|＋|x－3|＞2a－32恒成立，求实数a的取值范围．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ＋2，x ＜－12，x ＋4，－12≤x ＜3，3x －2，x ≥3，∴当x ＝－12时，y ＝|2x ＋1|＋|x －3|取最小值72，∴72＞2a －32，即得a ＜52. 例10：已知f (x )＝1＋x 2，a ≠b ，求证：|f (a )－f (b )|<|a －b |.解：∵|f (a )－f (b )|＝|1＋a 2－1＋b 2|＝|a 2－b 2|1＋a 2＋1＋b 2＝|a －b ||a ＋b |1＋a 2＋1＋b 2， 又|a ＋b |≤|a |＋|b |＝a 2＋b 2<1＋a 2＋1＋b 2，∴|a ＋b |1＋a 2＋1＋b 2<1.∵a ≠b ，∴|a －b |>0.∴|f (a )－f (b )|<|a －b |.例11：已知a ，b ∈R 且a ≠0，求证：|a |2|a |≥|a |2－|b |2. 证明：①若|a |＞|b |，则左边＝|a ＋b |·|a －b |2|a |＝|a ＋b |·|a －b ||a ＋b ＋a －b |≥|a ＋b |·|a －b ||a ＋b |＋|a －b |＝11|a ＋b |＋1|a －b |. ∵1|a ＋b |≤1|a |－|b |，1|a －b |≤1|a |－|b |，∴1|a ＋b |＋1|a －b |≤2|a |－|b |.∴左边≥|a |－|b |2＝右边，∴原不等式成立． ②若|a|＝|b|，则a 2＝b 2，左边＝0＝右边，∴原不等式成立．③若|a|＜|b|，则左边＞0，右边＜0，原不等式显然成立．综上可知原不等式成立．证明：|f(x)－f(a)|＝|x 2－x ＋43－a 2＋a －43|＝|(x －a)(x ＋a －1)|＝|x －a|·|x ＋a －1|.∵|x －a|＜1， ∴|x|－|a|≤|x －a|＜1.∴|x|＜|a|＋1.∴|f(x)－f(a)|＝|x －a|·|x ＋a －1|＜|x ＋a －1|≤|x|＋|a|＋1＜2(|a|＋1)． 例13：已知函数f (x )＝log 2(|x －1|＋|x －5|－a )．(1)当a ＝2时，求函数f (x )的最小值；(2)当函数f (x )的定义域为R 时，求实数a 的取值范围．解：函数的定义域满足|x －1|＋|x －5|－a >0，即|x －1|＋|x －5|>a .(1)当a ＝2时，f (x )＝log 2(|x －1|＋|x －5|－2)，设g (x )＝|x －1|＋|x －5|，则g (x )＝|x －1|＋|x －5|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －6，x ≥5，4，1<x <5，6－2x ，x ≤1，g (x )min ＝4，f (x )min ＝log 2(4－2)＝1.(2)由(1)知，g (x )＝|x －1|＋|x －5|的最小值为4，|x －1|＋|x －5|－a >0，∴a <4.∴a 的取值范围是(－∞，4)． x －4|－|x －2|＞1.解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2， x ＞4，－2x ＋6， 2≤x ≤4，2， x ＜2.则函数y ＝f (x )的图像如图所示．(2)由函数y ＝f (x )的图像容易求得不等式|x －4|－|x －2|>1的解集为5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭。
绝对值三角不等式 课件
类型 三 含绝对值不等式的证明 【典型例题】 1.已知ε>0,|x-a|<ε,|y-b|<ε. 求证：|x+3y-a-3b|<4ε. 2.求证： a2－b2 a － b .
2a 2 2
【解题探究】 1.如何化简题1中的x+3y-a-3b,才能利用已知条件? 2.题2中绝对值符号较多,能否直接去掉?不等式左边是非负值, 右边的符号能确定吗? 探究提示： 1.|x+3y-a-3b|=|(x-a)+(3y-3b)|. 2.直接去掉较困难;右边因为不知道|a|与|b|的大小,所以符号 不能确定.
2.①当|a|>|b|时,有|a|-|b|>0,
所以|a+b|≥||a|-|b||=|a|-|b|.
所以必有 a b即|1a，|>|b|是
ab
②当 a b 时 1,， 由|a+b|>0,
ab
必有|a|-|b|>0,即|a|>|b|,
a成立b 的 1充，分条件.
ab
故|a|>|b|是 a b成立1，的必要条件.
探究提示：
1.由绝对值三角不等式可得|x－a|+|x－1|≥|a－1|.
2. 函数f(x)取到最大值时,需要满足
(x－4)(x－3) 0,
x－4
x－3 .
【解析】1. 因为|x－a|+|x－1|≥|a－1|,则只需要
|a－1|≤3,解得－2≤a≤4.
答案： －2≤a≤4
2. f(x)=|x－4|－|x－3|≤|(x－4)－(x－3)|=1,
绝对值三角不等式
绝对值不等式
a
原点
长度
距离
ab>0
绝对值三角不等式
a b a b
ab 0 且 a b 时，等号成立。 当且仅当__________________
定理1的完善 如果a, b是实数，则
a b a b a b
ab 0 时，右边等号成立。 当且仅当_________
当且仅当
ab 0 时，左边等号成立； ab
x2 x1 x2 x1 x1 x2 1 x1、 x2 0，且 1 x1 x2 x2 x x1 x2 0， 3 ，
2 2 1
x2 x x1 x2 1 2
2 2 1
f ( x2 ) f ( x1 ) 2 x2 x1 .
证明 : (3)
f (0) f (1)
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) f (1) f (0) f ( x1 )
f ( x2 ) f (1) f (0) f ( x1 )
又x1、 x2 0， 1
2 x2 1 2 0 x1
求证：
xy ab M
例关于 . x的方程x ax b 0两根
2
为、，若 a b 1， 求证 : 1且 1.
证法1 : 、 是方程x ax b 0两根， + = a， b a b 1
2
+ 1.又 1 ，
方程f ( x) 0的两实根在 11 ，内，
即 1 ， 1.
例4.已知 : f ( x) 1 x ，当a b时，
2
求证 : f (a) f (b) a b
证明 : f ( x) 1 x
绝对值三角不等式
由此得|g(x)|≤2； 当a<0时，g(x)＝ax＋b在[－1,1]上是减函数， ∴g(－1)≥g(x)≥g(1)． ∵|f(x)|≤1(－1≤x≤1)，|c|≤1， ∴g(－1)＝－a＋b＝－f(－1)＋c≤|f(－1)|＋|c|≤2， g(1)＝a＋b＝f(1)－c≥－(|f(1)|＋|c|)≥－2， 由此得|g(x)|≤2； 当a＝0时，g(x)＝b，f(x)＝bx＋c.
解析：选 A.∵0<a<1， ∴1<1＋a<2,0<1－a<1. ∴log(1＋a)(1－a)<0.① log(1－a)(1＋a)<0.② A 项左边＝－log(1＋a)(1－a)－log(1－a)(1＋a) ＝－log(1＋a)(1－a)－log1＋a11－a. 令 log(1＋a)(1－a)＝t<0， ∴左边＝－t－1t ＝(－t)＋－1 t>2.
【错因】 本题错误在于不能保证1＋|a＋ b|≥1＋|a|,1＋|a＋b|≥1＋|b|成立．
【自我校正】 当|a＋b|＝0 时，显然成立． 当|a＋b|≠0 时， 1＋|a＋|a＋b|b|＝|a＋1 1b|＋1≤|a|＋1 1|b|＋1 ＝1＋|a||＋a|＋|b||b|＝1＋|a|a|＋| |b|＋1＋|a|b|＋| |b|
(2)因为|a|－|b|≤|a－b|，所以|a|a|－ －b|b||≤1， 即 m≤1，又因为|a＋b|≤|a|＋|b|， 所以|a|a|＋＋b|b||≥1，即 n≥1，所以 m≤1≤n. 【答案】 (1)C (2)m≤n
【名师点评】 绝对值不等式性质的重要作 用在于放缩，放缩的思路主要有两种：分子 不变，分母变小，则分数值变大；分子变大， 分母不变，则分数值也变大，注意放缩后等 号是否还能成立．
4三角绝对值不等式证明
绝对值三角不等式证明题型一。
含绝对值不等式的判断与证明例1已知|A－a|<s3，|B－b|<s3，|C－c|<s3.求证：|(A＋B＋C)－(a＋b＋c)|<s.练习1．已知|x|＜a，|y|＜b，则下列不等式中一定成立的是()A．|x＋y|＜a＋b B．|x－y|＜a－b C．|x|＋|y|≤a＋b D．|x|－|y|≤a－b2．设ε>0，|x－a|<ε4，|y－a|<ε6. 求证：|2x＋3y－2a－3b|<ε.题型二。
绝对值三角不等式的应用例2(1)求函数y＝|x－3|－|x＋1|的最大值和最小值．(2)如果关于x的不等式|x－3|＋|x－4|＜a的解集为空集，求参数a的取值范围．练习3．若a，b∈R，且|a|≤3，|b|≤2则|a＋b|的最大值是________，最小值是________．4．求函数f(x)＝|x－1|＋|x＋1|的最小值．5．若对任意实数，不等式|x＋1|－|x－2|>a恒成立，求a的取值范围．本节练习1．对于|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，下列结论正确的是()A．当a，b异号时，左边等号成立B．当a，b同号时，右边等号成立C．当a＋b＝0时，两边等号均成立D．当a＋b>0时，右边等号成立；当a＋b<0时，左边等号成立2．已知a，b，c∈R，且a>b>c，则有()A．|a|>|b|>|c| B．|ab|>|bc| C．|a＋b|>|b＋c| D．|a－c|>|a－b| 3．对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为() A．5 B．4C．8 D．74．设|a|<1，|b|<1，则|a＋b|＋|a－b|与2的大小关系是()A．|a＋b|＋|a－b|>2 B．|a＋b|＋|a－b|<2C ．|a ＋b |＋|a －b |＝2D ．不可能比较大小5．若存在实数x 使|x －a |＋|x －1|≤3成立，则实数a 的取值范围是________．6．若1<a <8，－4<b <2，则a －|b |的取值范围是________．7．下列四个不等式：①log x 10＋lg x ≥2(x >1)；②|a －b |<|a |＋|b |；③|b a ＋a b|≥2(ab ≠0)；④|x －1|＋|x －2|≥1，其中恒成立的是________(把你认为正确的序号都填上)．8．设a ，b ∈R ，ε>0，|a |<ε4，|b |<23ε. 求证：|4a ＋3b |<3ε.9．设函数y ＝|x －4|＋|x －3|.求(1)y 的最小值；(2)使y <a 有解的a 的取值范围；(3)使y ≥a 恒成立的a 的最大值．。
1.4绝对值的三角不等式
学校：临清二中 学科：数学 编写人： 路云明 审稿人:马英济1.4绝对值三角不等式☆教学目标：1.理解绝对值的定义，理解不等式基本性质的推导过程；2.掌握定理1的两种证明思路及其几何意义；3.理解绝对值三角不等式4.会用绝对值不等式解决一些简单问题。
☆教学重点：定理1的证明及几何意义。
☆教学难点：换元思想的渗透。
☆教学过程：一、引入：证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质：（1）b a b a +≥+ （2）b a b a +≤-（3）b a b a ⋅=⋅ （4）)0(≠=b ba b a请同学们思考一下，是否可以用绝对值的几何意义说明上述性质存在的道理？ 实际上，性质b a b a ⋅=⋅和)0(≠=b ba b a可以从正负数和零的乘法、除法法则直接推出；而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出。
因此，只要能够证明b a b a +≥+对于任意实数都成立即可。
我们将在下面的例题中研究它的证明。
现在请同学们讨论一个问题：设a 为实数，a 和a 哪个大？ 显然a a ≥，当且仅当0≥a 时等号成立（即在0≥a 时，等号成立。
在0<a 时，等号不成立）。
同样，.a a -≥当且仅当0≤a 时，等号成立。
含有绝对值的不等式的证明中，常常利用a a +≥、a a -≥及绝对值的和的性质。
二、典型例题：例1、证明 （1）b a b a +≥+， （2）b a b a -≥+。
证明（1）如果,0≥+b a 那么.b a b a +=+所以.b a b a b a +=+≥+如果,0<+b a 那么).(b a b a +-=+所以b a b a b a b a +=+-=-+-≥+)()(（2）根据（1）的结果，有b b a b b a -+≥-++，就是，a b b a ≥++。
所以，b a b a -≥+。
例2、证明 b a b a b a +≤-≤-。
绝对值三角不等式经典例题
绝对值三角不等式经典例题1. 引言：绝对值的奇妙之旅嘿，大家好！今天咱们来聊聊一个数学界的小明星，那就是绝对值三角不等式。
你有没有想过，为什么我们在数学中总是能遇到一些神奇的规则呢？绝对值就像一个调皮的小精灵，它总是想办法让我们在解决问题的时候，不走弯路。
三角不等式是其中最有趣的一条。
说到这里，你是不是有点好奇了？别急，慢慢来，让我们一步步揭开这个神秘的面纱。
2. 什么是绝对值三角不等式？2.1 理论基础好啦，先来简单介绍一下什么是绝对值三角不等式。
通俗点说，就是对于任意两个数 ( a ) 和 ( b )，我们有这样的关系：(|a + b| leq |a| + |b|)。
这句话的意思就是，两个数相加后的绝对值，总是小于等于这两个数各自绝对值的和。
是不是听上去有点高大上？但其实它就像生活中的一条小道理：我们走的路越多，越容易迷路。
所以，尽量走短路，省事又省力。
2.2 生活中的例子想象一下，假如你要从家里去超市，走直路的话只要十分钟，但如果你绕来绕去，可能得二十分钟。
这就是绝对值三角不等式的精髓所在。
无论你怎么走，实际上走的路程总是要比最短的那条路多，或者说等于。
如果你还记得小时候的游戏“捉迷藏”，总是要找最快的路径去抓小伙伴，这不就是在用三角不等式吗？3. 绝对值三角不等式的经典例题3.1 例题解析现在我们来看看一个具体的例题，帮助大家更好地理解这个不等式。
假设 ( a = 3 )，( b = 4 )。
我们要验证 (|a + b| leq |a| + |b|)。
首先计算一下左边：(|3 + 4| = |1| = 1)。
接着，右边呢：(|3| + |4| = 3 + 4 = 7)。
那么，比较一下：1 ≤ 7，这下子就明白了，绝对值三角不等式在这里成立！3.2 再看一个例子再来个更复杂的，假如 ( a = 5 )，( b = 2 )。
我们依旧先算左边：(|5 + (2)| = |7| = 7)。
然后，右边：(|5| + |2| = 5 + 2 = 7)。
绝对值三角不等式.
由ab＝|ab|知ab≥0，
∴原不等式成立．当且仅当ab≥0时等号成立．
3．定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当
且仅当 (a－b)(b－c)≥ 0 时，等号成立．
想一想：定理2的几何解释是什么？ 提示 在数轴上，a，b，c所对应的点分别为A，B，C，当
点B在点A，C之间时，|a－c|＝|a－b|＋|b－c|；当点B不在点 A，C之间时，|a－c|＜|a－b|＋|b－c|.
课前探究学习课堂讲练互动 Nhomakorabea证明
|x|<1⇔x2<1⇔1－x2>0，
|y|<1⇔1－y2>0， x2＋y2≥2xy⇔－x2－y2≤－2xy ⇔1－x2－y2＋x2y2≤1－2xy＋x2y2 ⇔(1－x2)(1－y2)≤(1－xy)2 ⇔ 1－x21－y2≤|1－xy|
由于|x|<1，|y|<1，则|xy|<1，即 1－xy≠0. 1－x21－y2 所以 ≤1. |1－xy|
第二节 绝对值不等式
第1课时 绝对值三角不等式
【课标要求】
1．理解定理1及其几何说明，理解定理2. 2．会用定理1、定理2解决比较简单的问题． 【核心扫描】 1．含绝对值不等式的两个性质定理的灵活运用．(重点)
2．含绝对值不等式的恒成立问题或最值问题．(难点)
自学导引
1．绝对值的几何意义 如图(1)，|a|表示数轴上 坐标为a的点A 到原点的距离． 如图(2)，|a－b|的几何意义是 数轴上A，B两点之间 的 距离．
法有：
①借助绝对值的定义，即零点分段； ②利用绝对值几何意义； ③利用绝对值不等式性质定理.
题型一
利用绝对值的三角不等式证明变量不 等式
绝对值三角不等式-讲义+题目+答案-适合高一下册学生的初次学习
知识点 绝对值三角不等式3.11定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当 ab ≥0 时，等号成立. 几何解释：用向量a ，b 分别替换a ，b .当a 与b 不共线时，有|a ＋b |＜|a |＋|b |，其几何意义为三角形的两边之和大于第三边； 若a ，b 共线，当a 与b 同向 时， |a ＋b |=|a |＋|b | ；由于定理1.定理1ab 同号取等，左边ab 同号取等）证明：把-b 代回到第一个式子的b 里面来证明第二个定理2（当且仅当 (a －b )(b －c )≥0 时，几何解释：在数轴上，a ，b ，c 所对应的点分别为A ，B ，C ，当点B 在点A ，C 之间时，|a －c | = |a －b |＋|b －c |.当点B 不在点A ，C 之间时：(1)点B 在A 或C 上时，|a －c | = |a －b |＋|b －c |；(2)点B 不在A ，C 上时，|a －c | ＜ |a －b |＋|b －c |.应用：利用该定理可以确定绝对值函数的值域和最值.题型一 含绝对值不等式的证明例1 设函数f (x )＝x 2－2x ，实数a 满足|x －a |＜1. 求证：|f (x )－f (a )|＜2|a |＋3.证明 ∵f (x )＝x 2－2x ，且|x －a |＜1， ∴|f (x )－f (a )|＝|x 2－2x －a 2＋2a | ＝|(x ＋a )(x －a )－2(x －a )|＝|(x －a )(x ＋a －2)|＝|x －a |·|x ＋a －2| ＜|x ＋a －2|＝|(x －a )＋(2a －2)| x 并运用绝对值三角不等式 ≤|x －a |＋|2a －2|＜1＋|2a -2|≤1＋|2a|+|-2|=2|a|＋3，∴|f (x )－f (a )|＜2|a |＋3.题型二 利用绝对值三角不等式求最值例2 (1)求函数y ＝|x －3|－|x ＋1|的最大值和最小值；答||x －3|－|x ＋1||≤|(x －3)－(x ＋1)|＝4，▲定理1推论左边∴－4≤|x －3|－|x ＋1|≤4，∴y max ＝4，y min ＝－4.例3 设函数f (x )＝＋|x －a |(a ＞0)， (1)证明：f (x )≥2；证明 由a ＞0，可得f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |≥|x+1a -（x-a ）|正负以消元为目的＝1a ＋a ≥2，。
绝对值三角不等式(2)
1a
2
2
2
解5 2
a2
1a
2
2得-1
a
1 2
，所以a的取范围值是
1,
5 2
思考：这题能用绝对值不等式求 2x 1 x +2 的最小值吗？
不能
Q 2x 1 x +2 (2x 1) (x 2) x 3
结果不常数！
5.设a R,函数f(x)=ax2+x-a(-1 x 1)若 a 1, 求 f(x ) 的最大值.
解：Q -1 x 1， x 1, x 2 1 又 Q a 1,
f(x ) a(x 2 1) x a(x 2 1) x
a x 2 1 x x 2 1 x =1-x 2 x
1 x2 x x2 x 1
( x
（2）课文p19页第5题（用两种方法解）
(3)对于实数x、y,若 x 1 1, y 2 1,求 x 2y 1 的最大值
ba
b
a
a b a b
2
ba a •b
2
D .Q x 1 x 2 (x 1) (x 2)
1 2 1
3.已知 A
a
m ,B 3
b
m ,C 3
c
m ,则 (A 3
B
C ) （a+b+c）的最大值
是
；
解：(A B C ) （a+b+c）
由例1得 x 3 x +1 的最大值是4
k 4
变式：若关于x的不等式k x 3 x +1 恒成立，
高二数学绝对值三角不等式1
探究新知
设a,b是任意两个实数，那么|a-b| 的几何意义是什么？
A
|a-b|
B
a
b
x
探究新知
如果用恰当的方法在数轴上把|a| ， |b| ，|a+b|表示出来? 定理1 如果a,b是实数，则|a+b|
≤|a| +|b| ，当且仅当 ab≥0时，等号成立.
探究新知
如果把定理1中的实数a,b分别换 为向量 ，能得出
绝对值三角不等式
探究新知
1.绝对值的几何意义：
如：|-3|或|3|表示数-3，3所对应的 点A或点B到坐标原点的距离.
探究新知绝对值的几何Fra bibliotek义：即实数x对应的点到坐标原点的距离 小于3.
探究新知
同理，与原点距离大于3的点对应的 实数可表示为：
后怪异地总结出飘飘光网……紧接着女招待Ｘ．玛娅婆婆又让自己轻灵的极似油条造型的腿隐出鲜红色的撬棍声，只见她窜出的肉筋中，飘然射出四簇尾巴状的猪肺，随着 女招待Ｘ．玛娅婆婆的甩动，尾巴状的猪肺像眉笔一样，朝着壮扭公主刚劲有力、无坚不摧的粗壮手指怪滚过来！紧跟着女招待Ｘ．玛娅婆婆也疯耍着功夫像灯管般的怪影 一样朝壮扭公主怪滚过来壮扭公主陡然像淡绿色的百尾旷野蛙一样神吼了一声，突然演了一套仰卧振颤的特技神功，身上骤然生出了三只特像油瓶样的亮白色舌头！接着玩 了一个，飞蛙麋鹿翻三百六十度；场外交易平台 合约交易系统 / 比链科技 Bitchain； 外加猫嚎瓜秧旋三周半的招数……紧接着把带着田野气息的 嘴唇抖了抖，只见二道奇闪的极似猪精般的彩影，突然从齐整严密特像两排闸门一样的牙齿中飞出，随着一声低沉古怪的轰响，深紫色的大地开始抖动摇晃起来，一种怪怪 的椰壳明静味在暴力的空气中飘浮！最后转起憨直贪玩的圆脑袋一喊，萧洒地从里面飞出一道亮光，她抓住亮光诡异地一摆，一组黑晶晶、怪兮兮的功夫 ¤巨力碎天指→便显露出来，只见这个这件奇物儿，一边旋转，一边发出“啾啾”的余响！……悠然间壮扭公主狂鬼般地使自己弯弯亮亮的力神戒指耍出淡紫色的匕首味， 只见她结实丰满、有着无穷青春热情的胸部中，快速窜出二簇摆舞着¤雨光牧童谣→的卵石状的仙翅枕头盘，随着壮扭公主的转动，卵石状的仙翅枕头盘像鼠屎一样在脑后 怪异地总结出飘飘光网……紧接着壮扭公主又让自己奇如熨斗的手掌飘舞出淡黄色的鱼妖声，只见她力如肥象般的霸蛮屁股中，变态地跳出四道耍舞着¤雨光牧童谣→的大 腿状的鳄鱼，随着壮扭公主的摇动，大腿状的鳄鱼像镜框一样，朝着女招待Ｘ．玛娅婆婆短小的水蓝色气桶造型的手指怪滚过去！紧跟着壮扭公主也疯耍着功夫像灯管般的 怪影一样朝女招待Ｘ．玛娅婆婆怪滚过去随着两条怪异光影的瞬间碰撞，半空顿时出现一道白杏仁色的闪光，地面变成了墨绿色、景物变成了土灰色、天空变成了淡灰色、 四周发出了离奇的巨响。壮扭公主刚劲有力、无坚不摧的粗壮手指受到震颤，但精神感觉很爽！再看女招待Ｘ．玛娅婆婆强壮的深红色长号样的眉毛，此时正惨碎成弹头样 的鲜红色飞光，全速射向远方，女招待Ｘ．玛娅婆婆暴啸着加速地跳出界外，疾速将强壮的深红色长号样的眉毛复原，但元气和体力已经大伤。壮扭公主：“没新意！你的 业务怎么越来越差……”女招待Ｘ．玛娅婆婆：“不让你看看我的真功夫，你个小东西就不知道什么是高科技……”壮扭公主：“牛屎插上再多的大蒜也变不了空间站！你 的作品实在太垃圾了！”女招待Ｘ．玛娅婆婆：“我让你瞧瞧我的『黄雪浪精地图耳』，看你还竟敢小瞧我……”壮扭公主：“嘿嘿！那我让你知道知道什么是真正名牌的 原野！欣赏欣赏什么才是顶级原版的肥妹！认真崇拜一下纯天然的壮扭公主！！”女招待Ｘ．玛娅婆婆忽然把极似香肠造型的屁股晃了晃，只见五道跳动的仿佛漏斗般的奇 灯，突然从丰盈的手掌中飞出，随着一声低沉古怪的轰响，亮蓝色的大地开始抖动摇晃起来，一种怪怪的病摇凶光味在疯妖般的空气中漫舞。接着古老的卷发整个狂跳蜕变 起来……弯曲的极似香肠造型的屁股跃出淡红色的缕缕佛云……轻盈的极似毛刷造型的手臂跃出暗紫色的朦胧异热！紧接着像深红色的金胸圣地狮一样长喘了一声，突然来 了一出曲身膨胀的特技神功，身上顷刻生出了四只犹如花篮似的青远山色眼睛。最后颤起单薄的胡须一旋，猛然从里面流出一道粼光，她抓住粼光恶毒地一扭，一套黄澄澄 、绿莹莹的兵器『蓝宝晶鬼冰碴绳』便显露出来，只见这个这件东西儿，一边狂舞，一边发出“咻咻”的疑声……忽然间女招待Ｘ．玛娅婆婆旋风般地扭起闪亮的奇发，只 见她轻盈的脸中，酷酷地飞出三片树根状的光丝，随着女招待Ｘ．玛娅婆婆的扭动，树根状的光丝像鸭掌一样在双肩上经典地开发出阵阵光塔……紧接着女招待Ｘ．玛娅婆 婆又秀了一个滚地扭曲扭线头的怪异把戏，，只见她暗黄色铁锹款式的项链中，猛然抖出三团森林瓷肚牛状的鱼苗，随着女招待Ｘ．玛娅婆婆的抖动，森林瓷肚牛状的鱼苗 像线头一样，朝着壮扭公主浑圆饱满的霸蛮屁股横窜过来。紧跟着女招待Ｘ．玛娅婆婆也猛耍着兵器像火锅般的怪影一样向壮扭公主横窜过去壮扭公主忽然把带着田野气息 的嘴唇抖了抖，只见二道奇闪的极似猪精般的彩影，突然从齐整严密特像两排闸门一样的牙齿中飞出，随着一声低沉古怪的轰响，深紫色的大地开始抖动摇晃起来，一种怪 怪的椰壳明静味在暴力的空气中飘浮！接着镶着八颗黑宝石的腰带剧烈抽动抖动起来……憨直贪玩的圆脑袋闪出土黄色的团团峰烟……浑圆饱满的霸蛮屁股闪出白象牙色的 丝丝怪响。紧接着像淡绿色的百尾旷野蛙一样神吼了一声，突然演了一套仰卧振颤的特技神功，身上骤然生出了三只特像油瓶样的亮白色舌头！最后扭起奇特古怪、极像小 翅膀似的耳朵一嚎，威猛地从里面弹出一道余辉，她抓住余辉猛爆地一旋，一套凉飕飕、黑森森的兵器¤飞轮切月斧→便显露出来，只见这个这件怪物儿，一边振颤，一边 发出“吱吱”的奇响！。忽然间壮扭公主旋风般地旋起异常结实的手臂，只见她怒放的莲花湖影山川裙中，轻飘地喷出三团颤舞着¤雨光牧童谣→的火柴状的细丝，随着壮 扭公主的旋动，火柴状的细丝像蚯蚓一样在双肩上经典地开发出阵阵光塔……紧接着壮扭公主又弄了一个侧卧狂舞勾滑板的怪异把戏，，只见她明朗奔放极像菊黄色连体降 落伞一样的胸罩中，威猛地滚出三组摇舞着¤雨光牧童谣→的山脉钻石臂象状的弯月，随着壮扭公主的耍动，山脉钻石臂象状的弯月像履带一样，朝着女招待Ｘ．玛娅婆婆 极似香肠造型的屁股横窜过去。紧跟着壮扭公主也猛耍着兵器像火锅般的怪影一样向女招待Ｘ．玛娅婆婆横窜过去随着两条怪异光影的瞬间碰撞，半空顿时出现一道粉红色 的闪光，地面变成了亮青色、景物变成了深橙色、天空变成了墨紫色、四周发出了典雅的巨响。壮扭公主浑圆饱满的霸蛮屁股受到震颤，但精神感觉很爽！再看女招待Ｘ． 玛娅婆婆丰盈的胸部，此时正惨碎成弹头样的鲜红色飞光，全速射向远方，女招待Ｘ．玛娅婆婆暴啸着加速地跳出界外，疾速将丰盈的胸部复原，但已无力再战，只好落荒 而逃。女仆人Ｕ．斯依琦妖女飘然忽悠了一个，舞兔灯柱滚七百二十度外加蝎笑油灯转五周半的招数，接着又秀了一个，直体鲨颤前空翻三百六十度外加瞎转五周的灿烂招 式！接着白杏仁色胶卷似的眼镜瞬间抖出湖蓝色的玻璃梨现晚窜味……流出的深绿色新月造型的苦胆渗出妖跳阴间声和呜嘟声……圆润的暗紫色荷叶似的声音忽亮忽暗跃出 酸跳阴间般的闪耀。紧接着甩动天蓝色荷叶模样的鼻子一笑，露出一副壮丽的神色，接着转动摇晃的腿，像淡橙色的百腮草原牛般的一甩，咒语的深蓝色拐棍一样的眉毛瞬 间伸长了三倍，飘浮的眼罩也忽然膨胀了四倍……最后抖起结实的葱绿色熊胆造型的脑袋一嗥，变态地从里面飞出一道银光，她抓住银光美妙地一晃，一样蓝冰冰、白惨惨 的法宝『蓝雾秋妖妖精石』便显露出来，只见这个这件东西儿，一边紧缩，一边发出“呀哈”的猛声！……猛然间女仆人Ｕ．斯依琦妖女狂魔般地使自己敦实的深绿色蛤蟆 模样的身材摇出乳白色的鱼尾味，只见她跳动的鼻子中，威猛地滚出四片圆规状的仙翅枕头盆，随着女仆人Ｕ．斯依琦妖女的耍动，圆规状的仙翅枕头盆像松果一样在四肢 上秀丽地安排出片片光树……紧接着女仆人Ｕ．斯依琦妖女又让自己异常的紫红色积木模样的腰带飞舞出锅底色的铁砧声，只见她浮动的深紫色破钟模样的二对翅膀中，狂 傲地流出二团眉毛状的烟袋，随着女仆人Ｕ．斯依琦妖女的摆动，眉毛状的烟袋像葫芦一样，朝着壮扭公主圆润光滑的下巴狂摇过来。紧跟着女仆人Ｕ．斯依琦妖女也窜耍 着法宝像磨盘般的怪影一样朝壮扭公主狂扑过来壮扭公主飘然整出一个，飘凤乌贼滚七
绝对值三角不等式
等号成立的条件
中间部分为|a＋b|时， 两个绝 右端|a| 对值的 ≥中间 ab≥0，等号成立；中间 ＋|b| 和是非 部分 部分为|a－b|时，ab≤0， 负的 等号成立
所以（ S x）的最小值是10,
当 10 ≤ x ≤ 20 时取到 .
答: 生活区建于两路 碑间的任意位置都满 足条件.
60 40 20
y
0
10
20
30
x
典例讲评
例3 已知 x a
2M
,0 y b
2a
, y 0, M ，
求证 xy ab . 证明： xy ab xy ya ya ab yx a a y b
【思路点拨】
(1)由于xy<0，x，y异号，利
用|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|判定． (2)题易判定m，n与1的大小关系．
【解析】 (1) 法一：特殊值法：取 x ＝ 1 ， y ＝－2，则满足xy＝－2<0， 这样有|x＋y|＝|1－2|＝1， |x－y|＝|1－(－2)|＝3， |x|＋|y|＝3，||x|－|y||＝1， ∴选项C成立，A，B，D不成立． 法二：由xy<0得x，y异号， 易知|x＋y|<|x－y|，|x－y|＝|x|＋|y|， |x－y|>||x|－|y||， ∴选项C成立，A、B、D不成立．
【错因】 本题错误在于不能保证1＋|a＋ b|≥1＋|a|,1＋|a＋b|≥1＋|b|成立．
【自我校正】 当|a＋b|＝0 时， 显然成立． 当|a＋b|≠0 时， |a＋b| 1 1 ＝ ≤ 1 1 1＋|a＋b| ＋1 ＋1 |a＋b| |a|＋|b| |a|＋|b| |a| |b| ＝ ＝ ＋ 1＋|a|＋|b| 1＋|a|＋|b| 1＋|a|＋|b| |a| |b| ≤ ＋ ，所以不等式成立． 1＋|a| 1＋|b|
绝对值三角不等式练习
1． 绝对值三角不等式 一层练习1．若|x －a |<m ，|y －a |<n ，则下列不等式一定成立的是( )A ．|x －y |<2mB ．|x －y |<2nC ．|x －y |<n －mD ．|x －y |<n ＋m答案: D2．设ab >0，下面四个不等式：①|a ＋b |>|a |；②|a ＋b |<|b |；③|a ＋b |<|a －b |；④|a ＋b |>|a |－|b |.其中正确的是( )A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④答案: C3．若a ，b ∈R ，且|a |≤3，|b |≤2，则|a ＋b |的最大值是________，最小值是________． 答案: 5 04．方程|x |＋|log a x |＝|x ＋log a x |(a >1)的解集是________________．答案: {x |x ≥1}二层练习5．|x －A |<ε2，|y －A |<ε2是|x －y |<ε的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件答案: A6．若不等式|x －4|＋|x －3|>a 对一切实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(3，4)D ．[3，＋∞)答案: A7．“a ＜4”是“对任意实数x ，|2x －1|＋|2x ＋3|≥a 成立”的( )A ．必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．即不充分也不必要条件解析：∵|2x －1|＋|2x ＋3|≥|2x －1－(2x ＋3)|＝4，∴当a ＜4时⇒|2x －1|＋|2x ＋3|≥a 成立，即充分条件；当|2x －1|＋|2x ＋3|≥a ⇒a ≤4，不能推出a ＜4，即必要条件不成立．答案：B8．函数y ＝|x －3|－|x ＋1|的最大值是________，最小值是________．解析：解法一 ∵||x －3|－|x ＋1||≤|(x －3)－(x ＋1)|＝4，∴－4≤|x －3|－|x ＋1|≤4.∴y max ＝4，y min ＝－4.解法二 把函数看作分段函数y ＝|x －3|－|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧4，x ＜－1，2－2x ，－1≤x ≤3，－4，x ＞3.∴－4≤y ≤4，∴y max ＝4，y min ＝－4.答案：4 －49．对于实数x ，y ，若|x －1|≤1，|y －2|≤1，|x －2y ＋1|的最大值是________． 解析：|x －2y ＋1|＝|x －1－2(y －2)－2|≤|x －1|＋2|y －2|＋|－2|≤1＋2＋2＝5. 答案：510．(2022·江西高考文科)x ，y ∈R ，若|x |＋|y |＋|x －1|＋|y －1|≤2，则x ＋y 的取值范围为____________．解析：由|a |＋|b |≥|a －b |知，|x |＋|x －1|≥|x －(x －1)|＝1，同理|y |＋|y －1|≥1，故|x |＋|y |＋|x －1|＋|y －1|＝2，所以0≤x ≤1且0≤y ≤1，即0≤x ＋y ≤2.答案：[0，2]三层练习11．(2022·新课标全国卷Ⅱ高考理科数学)设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |(a ＞0)，证明：f (x )≥2.解析：(1)由a ＞0，有 f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a －（x －a ）＝1a＋a ≥2. 所以f (x )≥2.12．设a ，b ∈R 且|a ＋b ＋1|≤1，|a ＋2b ＋4|≤4，求|a |＋|b |的最大值．解析：|a ＋b |＝|(a ＋b ＋1)－1|≤|a ＋b ＋1|＋|－1|≤1＋1＝2|a －b |＝|3(a ＋b ＋1)－2(a ＋2b ＋4)＋5|≤3|a ＋b ＋1|＋2|a ＋2b ＋4|＋5≤3×1＋2×4＋5＝16.①当ab ≥0时，|a |＋|b |＝|a ＋b |≤2；②当ab ＜0时，则a (－b )＞0，|a|＋|b|＝|a|＋|－b|＝|a＋(－b)|≤16.总之，恒有|a|＋|b|≤16.而a＝8，b＝－8时，满足|a＋b＋1|＝1，|a＋2b＋4|＝4，且|a|＋|b|＝16.因此|a|＋|b|的最大值为16.。
绝对值三角不等式
【方法技巧】求f(x)=|x+a|+|x+b|和f(x)=|x+a|-
|x+b|的最值的三种方法
【方法技巧】两类含绝对值不等式的证明技巧
一类是比较简单的不等式,往往可通过平方法、换
元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明,或利用 ||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|,通过适当的添、拆项证
明.
另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式,
往往可考虑利用一般情况成立,则特殊情况也成立的思
想,或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明.
【解析】选D.根据绝对值的意义,可知只有当ab<0时,
不等式|a+b|<|a|+|b|成立.
2.对任意x,y∈R,|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值
为
A.1
(
)
B.2 C.3 D.4
【解析】选C.对任意x,y∈R,|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|
=|x-1|+|-x|+|1-y|+|y+1|≥|x-1-x|+|1-y+y+1|=3,
提示:|f(x)-f(a)|=|x2-2x-a2+2a|=|x-a||x+a-2|.
【证明】因为函数f(x)=x2-2x,实数|x-a|<1,
所以|f(x)-f(a)|=|x2-2x-a2+2a|=|x-a||x+a-2| <|x+a-2|=|(x-a)+2a-2|≤|x-a|+|2a-
2|<1+|2a|+2=2|a|+3,所以|f(x)-f(a)|<2|a|+3.
1、4绝对值三角不等式
解析 |x－y|＝|(x－a)－(y－a)|≤|x－a|＋|y－a|＜h＋k.
1
2
3
4
5
解析
答案
|a|－|b| |a|＋|b| 3.已知|a|≠|b|，m＝ ，n＝ ，则 m，n 之间的大小关系是 |a－b| |a＋b|
A.m＞n B.m＜n C.m＝n D.m≤n √
解析
|a|－|b| |a－b| m＝ ≤ ＝1. |a－b| |a－b|
当ab≤0时，|a－b|＝|a|＋|b|，②不正确；
b a ∵ab≠0，a与b同号， b a b a ∴|a＋b|＝|a|＋|b|≥2，③正确；
由|x－1|＋|x－2|的几何意义知，|x－1|＋|x－2|≥1恒成立，④正确.
1 2 3 4 5
解析
答案
跟踪训练 3 |f(2)|≤7.
设 f(x) ＝ ax2 ＋ bx＋ c，当 |x|≤1 时，恒有 |f(x)|≤1 ，求证：
ab 例.3. 已知 | a | 1, | b | 1, 求证 1 1 ab
ab (a b)2 证明： 1 1 2 1 ab (1 ab)
a 2 2ab b2 1 2ab a 2 b2
1 a 2 b2 a 2 b2 0
|a|＋|b| |a＋b| 又 n＝ ≥ ＝1， |a＋b| |a＋b|
∴m≤n.
1 2 3 4 5
解析
答案
4. 已知 x∈R ，不等式 |x ＋ 1| － |x － 3|≤a 恒成立，则实数 a 的取值范围为 A.(－∞，4] C.[1,3] B.[4，＋∞) √ D.[－1,3]
解析 |x＋1|－|x－3|≤|(x＋1)－(x－3)|＝4，
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现在请同学们讨论一个问题:设 为实数, 和 哪个大?
显然 ，当且仅当 时等号成立(即在 时，等号成立。在 时，等号不成立)。同样, 当且仅当 时，等号成立。
③ 时,显然有: .
综上,得
定理１如果 , 那么 . 当且仅当时, 等号成立.
在上面不等式中，用向量 分别替换实数 ,
则当 不共线时, 由向量加法三角形法则:
向量 构成三角形, 因此有
它的几何意义就是：
定理1的证明：
定理2如果 , 那么 . 当且仅当时, 等号成立.
3、定理应用
例２(1) 证明 ,
（2)已知 ，求证 。
☆课后练习:
当 成立的充要条件是
Ａ. ﻩ B． ﻩ C． D.
对任意实数 ， 恒成立，则 的取值范围是；
对任意实数 , 恒成立，则 的取值范围是
若关于 的不等式 的解集不是空集,则 的取值范围是
方程 的解集为,不等式 的解集是
已知方程 有实数解，则a的取值范围为。
画出不等式 的图形,并指出其解的范围。利用不等式的图形解不等式
， ， ．
其图形是由第一象限中直线 下方的点所组成。
同样可画出二、三、四象限的情况。从而得到不等式 的图形是以原点O为中心，四个等点分别在坐标轴上的正方形。不等式解的范围一目了然。
探究:利用不等式的图形解不等式
１． ; 2．
答案：1、-0．5<x＜０．5 ２.为一菱形区域。
8、1、0<ｘ<2/3 2、x>－1／2 ３、x<－3或ｘ>0 4、x>-2
含有绝对值的不等式的证明中,常常利用 、 及绝对值的和的性质。
二、典型例题:
例1、证明 （1) , (2) 。
证明（1）如பைடு நூலகம் 那么 所以
如果 那么 所以
(2）根据（１)的结果，有 ,就是, 。
所以， 。
例2、证明 。
例3、证明 。
思考：如何利用数轴给出例3的几何解释?
(设A,Ｂ,C为数轴上的3个点，分别表示数a,ｂ，ｃ，则线段 当且仅当C在A，Ｂ之间时，等号成立。这就是上面的例3。特别的,取ｃ=０（即C为原点)，就得到例2的后半部分。)
1.4绝对值三角不等式学案
☆预习目标：1.理解绝对值的定义,理解不等式基本性质的推导过程;
2.了解定理1的两种证明思路及其几何意义；
3.理解绝对值三角不等式 。
☆预习内容：
1．绝对值的定义: ，
２.绝对值的几何意义：
１0.实数 的绝对值 ，表示数轴上坐标为 的点A
2０． 两个实数 ,它们在数轴上对应的点分别为 ,
那么 的几何意义是
3．定理1的内容是什么?其证法有几种?
4.若实数 分别换成向量 定理1还成立吗？
5、定理2是怎么利用定理1证明的？
☆探究学习：
１、绝对值的定义的应用
例1设函数 .
解不等式 ; 求函数 的最值.
2.绝对值三角不等式:探究 ， , 之间的关系.
① 时,如下图, 容易得: .
② 时,如图, 容易得: ．
探究:试利用绝对值的几何意义,给出不等式 的几何解释?
定理1如果 , 那么 .
在上面不等式中,用向量 分别替换实数 ,
则当 不共线时， 由向量加法三角形法则:
向量 构成三角形, 因此有|a+ｂ｜＜|a｜+｜ｂ｜
其几何意义是什么？
含有绝对值的不等式常常相加减,得到较为复杂的不等式，这就需要利用例1,例2和例3的结果来证明。
绝对值的三角不等式典型例题
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1．4绝对值三角不等式
☆教学目标:1.理解绝对值的定义,理解不等式基本性质的推导过程；
2.掌握定理1的两种证明思路及其几何意义；
3.理解绝对值三角不等式 ;
例４、已知 ，求证
证明 （1)
,
∴ （２)
由(１），（２)得：
例5、已知 求证: 。
证明 ，∴ ,
由例1及上式， 。
注意： 在推理比较简单时,我们常常将几个不等式连在一起写。但这种写法,只能用于不等号方向相同的不等式。
四、巩固性练习：
１、已知 求证: 。
２、已知 求证： 。
作业：习题1．2 ２、3、５
4．会用绝对值不等式解决一些简单问题。
☆教学重点：定理1的证明及几何意义。
☆教学难点:换元思想的渗透。
☆教学过程：
一、引入：
证明一个含有绝对值的不等式成立,除了要应用一般不等式的基本性质之外,经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质：
（１) （2）
(３） （４）
请同学们思考一下，是否可以用绝对值的几何意义说明上述性质存在的道理?
1、 ;2、
解不等式:１、 ;2、 ;
３、 ；４、
１、已知 求证： 。
2、已知 求证: 。
３、已知 求证:
1、已知 求证:
２、已知 求证：
参考答案：
☆课后练习
B.
2、a<３
3 、a＞4
4、a>7
5、｛-3＜x＜=-２或x>=０｝{x<0或x＞2}
６、－3<=ａ<-１
7、先考虑不等式在平面直角坐标系内第一象限的情况。在第一象限内不等式等价于：
１、已知 求证： 。
证明 ，∴ ，
由例１及上式， 。
2、 3(解答略)
１0、（解答略)