结构力学静定平面桁架

N13 N14
X
N12 Y
（I）设14杆为拉力，N14 >0 ， 取结点1为研究对象，作受力分 析，取如图示坐标系。
由∑X=0，可知，12杆 必为压力，N12<0
静定平面桁架
X
N24
N25
34 1
P
5 2
再取结点2为研究对象，作受 力分析，取如图示坐标系。
由∑X=0，可知，24杆必为拉力，
N12
N24>0
取截面Ⅰ－Ⅰ左：
A
∑MC=0 NDE×2+10×4×2–40×4=0
YA
NDE= 40 kN
∑Y=0 YC+10×4–40=0 YC=0
∑X=0 XC+NDE=0 XC= –40 kN
10KN/m
XC
G
C YC
D
NDE
10KN/m
A
B
GC
F
YA D
2m YB E
2m 2m 2m
2m
结点Ｄ：
NAD
∑X=0 NADx=40kN
P
∑MB=0 ，
PB
N3 d Pd 0
得：N3= - P（压力）
N2 N3
静定平面桁架
例题2 求Nb
b 3d
A
B
A
PP
3d
Nb P
解：直接结点法不能求解。必须用截面法，这就需要找 截面单杆。
为此，作截面I—I，取内部为研究对象。如图，Nb为截 面单杆。
静定平面桁架
∑MA=0 ，Nb的力臂不易求出。
4m
1
2
3m 3m
N87
8
40 kN
解：1）先找零离力杆。 N67=0，N63=0， N85=0
2）取结点8为研究对象，画出 受力图
未知轴力N87以受拉方向画出。
∑X=0，N87+40=0， 得： N87= -40 kN（得负值表示受压）
N85=0
静定平面桁架
3）再取结点7为研究对象，画出受力图。
P
d
A
a
3
B
P
d P 求支反力
bd 2 1dI
P
∑Y=0，易得：N1=0 ， 从而，N2=0，
Na=0， N3=0
解：直接结点法不能求 解。必须用截面法，这 就需要找截面单杆
为此，作截面I—I，取 右半部为研究对象。如 图，N1为截面单杆。
Y X
450
N1
P
静定平面桁架
A
B
X B
Nb PY
为求Nb，取结点B为研究对象，
为此，把Nb沿其作用线延长 至B点，然后分解，先求Nb y
∑MA=0，
Nby 3d P 2d 0
A
得：N by
2P 3
Nb B Nbx P Nby Nb
由相似定理， Nb Nby ，得： L Ly
Nb
L Ly
Nby
5d 2 P 5 P 2d 3 3
（压力）
静定平面桁架
例题3 I
5kN/m
10 kN
用相似定理得： EF FH
N1 N1y
E
得 N1=
2d d
P
P（拉力）， N1
x=P
N1
N1y
H N1x
静定平面桁架
IF
1
2
3
B
H
C
D
3）作I—I截面，取右半I 为研究对象
N1 N3
P
NCD ∑ME=0，得：NCD=7P（拉力）
∑X=0，N1 x+N3+NCD=0 ，得：N3= - 8P（压力）
2．技巧 （1）结点法和截面法的联合应用，不分先后，简单、快捷 求出内力为前提。 （2）巧取隔离体，即巧作截面，避免求解联立方程。 （3）尽力避免求未知力臂，可把所求力沿其作用线延长至 恰当位置后分解，先求分力，再用相似定理求该力。 （4）结点法求解时，选恰当的坐标系，尽力避免求联立方 程。 （5）有零杆的结构，先去掉零杆。
1．截面法的应用条件：
截面所截断的各杆中，未知力的个数不超过3个
2．截面单杆的概念
（1）截面截得的各杆中，除某一根杆外，其余各杆都交于 同一点。则此杆为截面单杆。如图中的a、b、c杆
杆系
a A 杆系
a
b
B
c
取∑MA=0，求Na
取∑MB=0，求Nc
静定平面桁架
（2）截面截得的各杆中，除某一根杆外，其余各杆都彼此 平行（或认为交于无穷远）。则此杆为截面单杆。如图中的 a
静定平面桁架
3、复杂桁架------不属于以上两类桁架之外的其它桁架。 其几何 不变性往往无法用两刚片及三刚片组成法则加以 分析，需用零荷载法等予以判别。
静定平面桁架
二、桁架内力的数解法
（一）结点法
1．应用条件
（1）一般应用于简单桁架，且按与简单桁架增加二元体的 反向截取结点，可保证每个结点仅有两个未知力。
梁式杆
链杆
静定平面桁架
静定平面桁架
2．计算例题
例题1 求链杆的轴力和受弯杆件的弯矩图
10KN/m
A
B
GC
F
YA D
2m YB E
2m 2m 2m
2m
解: (1) 求支座反力 YA=YB=40KN
10KN/m
YA=YB=40KN
A
B
GC
F
YA D
2m YB E
2m 2m 2m
2m
(2) 求桁架杆内力
Y a
X
取∑Y=0，先求Na y ，再由相似定理求Na
3．计算例题
静定平面桁架
例题1 求指定杆1，2，3的轴力
P
I1
2
d
3
I 4d
解：作I—I截面，取右半为研究对象 P
N1
A
∑MA=0 ，
N1 d P d
得：N1=P（拉力）
静定平面桁架
II
1
2
3
A
II
作II—II截面，取右半为研究对象，
∑Y=0 ，N2= - P（压力）
∑X=0，
Nb P cos 45 0
2P 2
（拉力）
静定平面桁架
（三）结点法和截面法的联合应用
在例题3中，先用截面法求出部分杆的轴力后，再用结 点法求出b杆的轴力。在一道题中，结点法和截面法都 得到了应用。求解桁架，不必拘泥与那种方法，只要 能快速求出杆件的轴力，就是行之有效的。
1．基本理论 隔离体（研究对象），平衡力系
NAD=(40/2)×2×√2=40√2kN NADy=(40/2)×2 =40 kN
NDG 40
∑Y=0 NDG+NADy=0
NDG= –40kN
10KN/m
A G
VA
D
2m 2m
C 2m
B NAD=40√2kN
F
2m NDG= –40kN
VB E
2m
NDE= 40kN
求梁式杆弯矩:
A 40KN
由于sinφ=0.6 ，cosφ=0.8，由（1），（2）两式得： N73= -25 kN（受压） ，N75= 25 kN（受拉）
静定平面桁架
4）再取结点3为研究对象，画出受力图。 未知轴力N73，N75以受拉方向画出， 6 7
8 40 kN
已知轴力N37以实际方向画出。
4m
40 kN
φ
X
N34 Y N31
P/2
P/2
P
5 4
P
5N1
N1
N5 N2
∴ Y6=NP4=/4P ∴ N6=－N5=5P/12 4、竖杆
6
1
N6 N3 N4
取结点7为分离体。由于对称：N3=N5
由∑Y=0 得：
P
1 2P
2 2P
2N4
Y5+Y3+ P+N2=0 ∴N2=－P/2
N1
N
N5
N3
N2
（四）对称性的利用
对称结构在反对称荷载作用下，对称的杆件的轴力必等值反号 对称结构在正对称荷载作用下，对称的杆件的轴力必等值同号
这样的桁架称为理想桁架。桁架中每根杆仅在两端铰接， 这样的杆称为链杆或二力杆。
2．桁架的组成及分类 节间
上弦杆
腹(竖)杆
端柱 桁高
斜腹杆
跨度 L
下弦杆
静定平面桁架
桁架分类
1.简单桁架。 由铰结三角形出发，依此增加二元体，最后与基础连接。
2、联合桁架——由简单桁架按几何 不变体系组成法则所组成的桁架。
静定平面桁架
一、桁架及其组成
桁架全部由仅在两端与铰结点相连的直杆件连接而成 的结构，广泛应用于建筑工程和机械工程。
建筑
通讯
桥梁
输电
静定平面桁架
静定平面桁架
§1 桁架
木桁架
钢桁架
钢筋混凝土桁架
162m 九江长江大桥主桁梁
静定平面桁架
56m 北京体育馆主体桁架的一片
25.5m
静定平面桁架
1．桁架的计算简图
G
40√2kN 40KN
C 40KN
静定平面桁架
10KN/m
A来自百度文库
B
GC
F
2m
D 2m 2m
E
2m
2m
20KNm
20KNm
A
G -40KNC
F
B
40√2kN
40KN
静定平面桁架
例题2
5kN/m
10 kN
G
2m
D
E
A
B 2m
C
YA
YB
2m 2m 2m 2m 2m 2m
解：1）支座反力
∑MB=0， YA 8 10 2 58 6
桁架模型简化的基本假设
假设1：各杆件都用光滑铰链相连接
静定平面桁架
假设2：各杆件轴线都是直线，并通过铰链中心
静定平面桁架
假设3：所有外力（荷载及支座约束力）都作用在节点上
静定平面桁架
1．桁架的计算简图
桁架各杆之间的连接一般由螺栓或焊接（具体在《钢结构》 中学习），为简化计算，通常作如下假设：
①各结点是光滑无摩擦的铰结点 ②各杆轴均为直线，且通过铰的几何中心 ③荷载作用在结点上
得：YA=27.5 kN （向上） ∑Y=0，得：YB=22.5 kN （向上）
VA
NAD
G
D
E
A
NAC
A
B
C
N AD 27.5 2 kN（压力），
N AC 27.5 kN （拉力）
2）取结点A、B、C为研究对象，
NBE
VB
NCD
NCE
NBC
B
27.5
C
22.5
N BC 22.5 kN（拉力）， NCD 2.5 2 kN（压力）， N BE 22.5 2 kN （压力） NCE 2.5 2 kN （拉力）
以后截取结点的顺序依次为： 5，4，1 。可保证每个结点 不多于两个未 知力，顺利求出每根杆的轴力。
静定平面桁架
例题2 找出所有零杆
P
P
例题3 找出图示结构的零杆。
34 1
P
5 2
静定平面桁架
34 1
解：图中没有明显的零杆。
P
5 2
考虑到14杆和24杆在结点4处构成‘K’形连接，且无荷载作 用，则 N14= - N24 ，即一杆受拉，另一杆受压。
（结点有两个自由度，仅能建立两个平衡方程）
（2）原则上，只要截取的结点有不多于两个未知力，均可 用结点法。
2．特殊杆件
（1）连接两根不共线杆的结点，若该结
点上无荷载作用，则此两杆的轴力为零。
（二元体上无结点荷载，该两杆不受力） S1=0
S2=0
静定平面桁架
（2）连接三根杆的结点上无荷载，且其中两根杆共线， 则另一杆必为零轴力杆
S2 S1=0
S3=S2
（3）‘X’形连接杆件的受力特点。
（4）‘K’形连接杆件的受力特点。 S1
S3 =S4
S4
S2 =S1
S1
S2= - S1
静定平面桁架
3．相似定理
B L
Ly
A
Lx
S Sy Sx L Ly Lx
4．计算例题
S Sy
Sx
静定平面桁架
例题1 67
8 40 kN
4m 3 4 5 40 kN
3 4 5 40 kN
4m
1
2
3m 3m
∑X=0， N34 40 cos 0 ----------------（1）
∑Y=0， N31 40 sin 0 ---------------（2）
由于sinφ=0.6 ，cosφ=0.8，由（1），（2）两式得： N34= 32 kN（受拉） ，N31= -24 kN（受压）
这与‘K’形杆的受力矛盾。
（II）设1Y4杆为压力，N14 <0 ，同理得：N24<0，为受压 杆，这也与‘K’形杆的受力矛盾。
综上（I）、（II）所述，14杆只能是零杆。
静定平面桁架
原结构去掉零杆后变为下图：
通过此题的过程，我们要学会巧取坐标系， 掌握受力图的画法。
静定平面桁架
（二）截面法（截取两个以上结点作为研究对象）
静定平面桁架
II 2
II
N2
N2y
B
NCD F N2x 2P
4）作II—II截面，取右半为研究对象，把N2在B点分解
∑MF=0，得：N2 y·2d+2P·2d=NCD·d ，得：N2 y=3P/2
由相似定理，N2=
3 5 P （拉力）
2
静定平面桁架
三、组合结构的计算
1．组合结构的特点及计算过程
①由链杆及梁式杆构成 ②先计算链杆的轴力，后计算梁式杆的内力 ③截面法时，避免截断梁式杆（受弯杆）
求指定杆的轴力。
P/2
5 PⅠ 1
P Ⅱ7
P
P/2
4
解: 1、先求出反力。
6
5
23
2、弦杆
6
1
4
N1= －P N4= P
3、斜杆
4m 2 Ⅰ 4mⅡ 3 4m 2P
4m 2P
∵结点6为K型结点。 再∴∑∑由MMN2∑56=N==Y001－==NN－0N14×P×5得66+：－（2Y（P5－2－PP－Y/2P6）+/2×2）P4×－=04P=0－P/2=0
未知轴力N73，N75以受拉方向画出，已6 7 知轴力N87以实际方向画出。
8 40 kN 4m
0 N73
40 kN
φ N75 Y
X 3 4 5 40 kN 4m
1
2
3m 3m
∑X=0， N73 cos 40 N75 cos --------------（1）
∑Y=0， N73 sin N75 sin 0 ------------（2）
E 点无荷红载色,的红杆色不杆受不力受力
FFAyAy
FFByBy
静定平面桁架
例题 求指定杆的轴力
1F
A
3
H
P 2P P
2d
4d
2d B
d 2d
Y
N1 X
2P
解：1）支反力 VA=VB=2P，HA=0
2）由对称性，结点E的两根斜杆轴力相同。
取结点E为研究对象
F
∑Y=0，2N1 y=2P ，得：N1 y=P ，