第六章多自由度体系地微振动

第六章多自由度体系的微振动

教学目的和基本要求：正确理解线性振动的概念和力学体系平衡的分类；能运用拉格朗日方程初步分析两个自由度保守体系的自由振动问题；理解简正坐标的概念并了解利用简正坐标将复杂振动转化为简正振动的方法和意义。

教学重点：掌握运用拉格朗日方程分析两个自由度保守体系的自由振动问题的方法和简正坐标的物理意义。

教学难点：简正坐标的物理意义。

§6.1 振动的分类和线形振动的概念

振动不仅在宏观领域大量存在（如单摆、弹性振子和地震等），在微观领域也是一种普遍现象（如晶体中晶格的振动、光学中分子的振动等）。振动的种类根据所依据的标准不同可有几种分类方法，下面将简单介绍。

一：振动的分类

1.按能量的转换来划分.

自由振动——系统的能量E为常数，即能量守恒。

阻尼振动——系统的能量E逐渐转化为热能Q。

强迫振动——系统不断从外界吸收能量并将其转化为热能Q。

2.按体系的自由度划分.

单自由度振动——体系的自由度S=1。

有限多自由度振动和无限多自由度振动——体系的自由度为大于1的有限值或无限大值。

3.按体系的动力学微分方程的种类划分.

线性振动——体系的运动微分方程为线性方程。

非线性振动——体系的运动微分方程为非线性方程。

4.本章研究的主要问题.

以上我们按不同的标准将振动进行了归类，实际上这几种标准是相互交叉的，也就是说振动还可以按照以上两个或三个标准进行进一步的归类。如线性振动还可以进一步分为单自由度线性振动、有限多自由度线性振动和无限多自由度线性振动。

表6.1给出了同时按自由度和微分方程的种类对振动进行的分类。我们在本章研究的主

要问题是有限多自由度的线性振动，所以有必要对线性和非线性振动做进一步讨论。

表6.1

二：有限多自由度线性振动

1.定义：体系的自由度为有限多个且体系的运动微分方程为线性方程。

例如：单摆的运动微分方程为0=+θθsin l

g ，方程为非线性的。但当θ很小时有θθ≈sin ，

方程变为线性方程0=+θθl

g 。如果同时还存在有阻尼θβ -及强迫力)t (f ，则方程可写成

)t (f l

g =++θθβθ

，仍为线性方程。 2.应用：一般情况下当力学体系在其平衡位置做微振动时，只要考虑它的最低级近似即可。这样的振动无论是自由振动、阻尼振动还是强迫振动，也无论自由度的个数是多少，其振动的运动微分方程均可看成是线性的，也就是属于线性振动。

三：平衡位置及其分类. 1.平衡位置的定义及判定方法。

（1）定义：如果力学体系在t=0时静止地处于某一确定位置，当∞−→−

t 时该体系仍能保持在此位置，那么该位置即为体系的平衡位置，我们说体系处于平衡态。

（2）判定方法：在§2.4节中我们已指出保守力学体系处于平衡位置时，其势能应取极值（见第二章4.2式），即

s ...,i ,q V i

i

210==∂∂，这可以做为保守体系平衡位置的判据。 2.平衡位置的分类及其判定方法.

（1）平衡位置的分类：平衡位置按其性质不同可分为三类：

○1稳定平衡：力学体系受到扰动偏离平衡位置后将回到平衡位置或者在平衡位置的附近做微振动。

○

2不稳定平衡：力学体系受到扰动后将逐渐远离平衡位置。 ○

3随遇平衡：力学体系受到扰动后将在新的平衡位置下保持平衡。 这三种平衡位置可用图6.1形象地表示出来，只不过图6.1是针对单自由度而言，针对多自由度也有类似的例子。 （2）平衡位置种类的判据. 上述三种平衡位置均能满足

0=∂∂q

V ，但只有稳定平衡才能引起体系的振动，因而我们

有必要找到各种平衡位置的区别或判据。参考图6.1可知，势能取极小值时才是稳定平衡。拉格朗日将托里拆利的这一思想推广到任意保守体系，得到了关于体系平衡位置稳定性的拉格朗日定理如下：

如果在某一位置保守体系的势能有严格的极小值，那么该位置为体系的稳定平衡位置。

当S=1时，判据为：0=dq dV 且022>dq

V

d ； 当S=2时，判据为：021=∂∂=∂∂q V q V 且0)(22212221<∂∂∂-∂∂∂q q V

q q V ，0,022

2212>∂∂>∂∂q V q V 。

另外已证明的定理还有：如果力学体系的V 取极大值，则体系处于不稳定平衡（逆定理还未证实）；如果V=C ，则体系处于随遇平衡。

四 本节重点：掌握振动的分类特别是线性振动的概念，熟练掌握平衡位置的分类和平衡位置种类的判据。

§6.2 两个自由度保守体系的自由振动

对于微振动的力学问题，用分析力学来讨论比较方便。设体系的自由度S=2，体系做自

由微振动，广义坐标为21x ,x 。由拉格朗日方程可得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂-∂∂=∂∂+∂∂-∂∂0

02221

11x V x T )x

T (dt d x V x T )x T

(dt d ，接下来关

键就是设法将动能T 、势能V 表示成关于21x ,x 的函数，再将其代入上述方程中即可得到体

系的线形运动微分方程。 一：动能T 、势能V 的表达式. 1. 动能T 、势能V 的一般表达式.

由§2.7的结论可知当体系受稳定约束时，∑==

=2

1221

j ,i j i j ,i x x A T T ，其中j

i j i x x r

m A ∂∂∂= ,。由于体系在平衡位置附近的微振动均可看成是受稳定约束，所以有：

)x A x x A x A (T 2

2222112211122

1 ++= （2.2） 因势能V 仅与21x ,x 有关，与21x ,x

无关，因而可得)x ,x (V V 21=。下面就是设法将动能T 、势能V 的一般表达式化简为所需的形式即可。 2. 动能T 、势能V 表达式的化简.

取平衡位置为广义坐标21x ,x 的零点，将V 、T 在平衡位置展开成泰勒级数可得：

)(x x )x x V

(x )x V (),(V )x ,x (V j ,i j i j

i i i i **+∂∂∂+∂∂+=∑∑==2

1022

10212100 （2.3）

...x )x A (

),(A )x ,x (A i i i

ij j ,i j ,i +∂∂+=∑=2

1

02100 （2.4）

（1）势能V ：对于（2.3）式，令000=),(V 且因体系在平衡位置时有00=∂∂)x V

(

i

，

略去)(**等i x 的高次项后可得：2

2

0222

2102122102122

10221212121x )x V (x x )x x V (x )x V (x x )x x V ()x ,x (V j ,i j i j

i ∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂∂=∑= )x b x x b x b ()x ,x (V 2

2222112211121221++=⇒ （2.5）

其中C b )x x V

(b i ,j j

i j ,i ==∂∂∂=02，

（2.5）式即为所求的势能V 化简后的表达式。 （2）动能T ：对于（2.4）式，考虑到x

,x 应为同阶小量，而（2.2）式中T 已为二次式，所以)x ,x (A j ,i 21只要取零次式即可，即有ij j ,i j ,i a ),(A )x ,x (A ==0021，这样动能可表示为：

)x a x x a x a (x x a )x ,x (T j j ,i i ij 2

22221122111212122

121 ++==∑= （2.6）