马尔可夫排队模型
马尔可夫过程与排队论
马尔可夫过程与排队论马尔可夫过程与排队论是数学中重要的两个概念，它们在统计学、概率论、运筹学等领域中有着广泛的应用。
本文将分别介绍马尔可夫过程和排队论的基本概念和应用。
马尔可夫过程是一个随机过程，其特点是未来的状态只与当前状态有关，与过去的状态无关。
这种性质被称为马尔可夫性。
马尔可夫过程是由状态空间和转移概率矩阵组成的。
状态空间是一组离散或连续的状态，转移概率矩阵描述了不同状态之间的转移概率。
马尔可夫过程的一个重要应用是在排队系统中的模拟和分析。
排队论是研究排队系统的数学方法和技术的学科。
排队系统是指由顾客和服务员组成的系统，顾客需要接受服务，而服务员有一定的处理能力。
排队论主要关注以下几个方面的问题：平均等待时间、系统繁忙率、系统的稳定性等。
排队论通过数学建模，提供了一种分析和优化排队系统的方法。
在排队系统中，马尔可夫过程可以用来描述系统的状态变化。
例如，一个银行的柜台服务系统可以看作是一个排队系统。
顾客到达银行后，根据柜台服务员的繁忙情况，决定是否需要排队等待。
排队等待时，顾客处于等待状态；当柜台服务员空闲时，顾客进入服务状态。
这个过程可以用马尔可夫过程来描述，其中状态空间包括顾客的等待状态和服务状态，转移概率矩阵描述了顾客在不同状态之间的转移概率。
马尔可夫的应用广泛，不仅在排队系统中有着重要作用，还在许多其他领域中有着广泛应用。
例如，马尔可夫链被用于自然语言处理中的语言模型，通过学习上下文的转移概率来预测下一个词的概率。
马尔可夫过程还被用于金融领域的风险管理，通过建立市场模型来预测金融资产的价格变动。
排队论也有许多重要的应用。
在制造业中，排队论可以用于优化生产线的运作效率，减少等待时间，提高资源利用率。
在交通领域，排队论可以用于交通信号控制系统的优化，减少拥堵现象。
在电信业中，排队论可以用于优化无线网络的资源分配，提高用户的通信质量。
总结来说，马尔可夫过程与排队论是数学中重要的两个概念。
马尔可夫过程描述了一个随机过程的状态变化，而排队论则应用了马尔可夫过程来分析和优化排队系统。
几种常见的概率模型及应用
几种常见的概率模型及应用Common Probability Models and Their Applications.Probability models are mathematical representations of random phenomena that allow us to make predictions and inferences about future events. They are widely used in various fields, including statistics, machine learning, finance, and biology. Here are some of the most commonly used probability models and their applications:1. Binomial Model.The binomial model describes the probability of success in a sequence of independent trials, each of which has a constant probability of success. It is commonly used in situations where we are interested in the number of successes in a fixed number of trials, such as:Counting the number of defective items in a batch of production.Predicting the number of customers visiting a store in a particular day.Estimating the probability of winning a lottery.2. Poisson Model.The Poisson model describes the probability of observing a random number of events occurring over a fixed period of time or distance. It is often used in situations where the occurrence of events is rare and independent of each other, such as:Modeling the number of phone calls received by a call center in an hour.Estimating the number of accidents on a particular highway per week.Predicting the number of mutations in a DNA sequence.3. Normal Distribution.The normal distribution, also known as the Gaussian distribution, is a continuous probability distribution that describes the distribution of continuous variables that are normally distributed, such as:Heights of individuals.Weights of products.Test scores of students.It is widely used in statistical inference, hypothesis testing, and estimation of population parameters.4. Exponential Distribution.The exponential distribution is a continuousprobability distribution that describes the waiting time between events that occur randomly and independently at a constant rate. It is commonly used in situations where thetime between events is of interest, such as:Modeling the time between arrivals of customers in a queue.Estimating the time to failure of a machine.Predicting the lifespan of a light bulb.5. Markov Models.Markov models are a class of stochastic processes that describe the evolution of a system over time. They are defined by the current state of the system and the probability of transitioning to each possible next state. Markov models are widely used in various applications, such as:Modeling speech and language recognition.Simulating financial markets.Predicting customer behavior.中文回答：常见的概率模型及其应用。
排队论大学课件11-马尔科夫排队网络
马尔可夫排队网络 一个二节点的级联网络
举例，假定1号节点是一个M/M/1排队系统
1 λ 2
？
2号节点的顾客输入流就是1号节点的顾客输出流 考虑1号节点顾客离开的间隔时间，假定其服从分布d(t)， d(t)的拉普拉斯变换为D*(x)。1号节点的服务时间分布的 拉普拉斯变换为B*(x)，顾客到达间隔时间分布的的拉普 拉斯变换为A*(x)。有：
设A(t)、D(t)为从任何状态开始上跳一步的总次数和下跳 一步的总次数，在统计平衡条件下，有：
A (t ) D (t ) lim D (t ) A (t ) 1
t
到达与离开时的队长分布的关系
An (t ) A (t ) lim pn
D n (t ) D (t ) An (t ) A (t ) An (t ) D (t ) An (t ) D (t )
两顾客离开的间隔时间是后面顾客到达的间隔时间＋后面顾客 服务的时间
D2 * ( x ) A * ( x ) B * ( x )
前一个顾客
后一个顾客
马尔可夫排队网络 一个二节点的级联网络
情况一出现的概率＝顾客离开时发现系统中有顾客的概率 ＝顾客到达时发现系统中有顾客的概率＝统计平衡时系统 队长不为0的概率＝ 同理，情况二出现的概率＝1- 所以
到达与离开时的队长分布的关系
G/G/1系统pn- =pn+
N(t)
n+1 n
t 跟踪N(t)实际走过的一条路线
到达与离开时的队长分布的关系
假定从状态n上跳到状态n+1的次数为An(t) 从状态n+1下跳到状态n的次数为Dn(t) 由于到达与离去是一个一个发生的，并且n->n+1与n+1>n是交错发生的。所以到t时刻为止，An(t)与Dn(t)至多相 差1
markov模型
P X k i | } 条件概率 分布 P{ X 0k iX k 1 和ik 1 P{ X n j | X n 1 i} 确定. P X 0 i0，X 1 i1， ，X k 2 ik 2 马氏性
P X k 1 ik 1 | X 0 i0， ，X k 2 ik 2 P X k ik |X k 1 ik 1
P X 0 i0 P X 1 i1 | X 0 i0 P X k ik |X k 1 ik 1
定义1 设 { X n，n 0} 是马尔可夫链，记
pij (n) P{X n 1 j | X n i}
称 pij 为马尔可夫链 {X n，n 0} 在时刻 n 时的一步转 移概率。 当 i，n 固定时，一步转移概率 pij (n) 实质上就是
4. Markov数学模型可行性
世界上的一切事物都在随时间而变化，譬如某一地区 气候指标气温和湿度的变化；体血液循环，心脏搏动每 次的血压与排血量；神经细胞兴奋或抑制的传递；生物 世代交替过程中遗传性状的表现……所有变化着的事物表 现状态可能是数值的、非数值的、连续的、离散的。在 这种情况下，我们需建立一种研究的是一类重要的随机 过程，研究对象的状 态s(t)是不确定的，它可能 取K种 状态si(i=1,…,k)之一，有时甚至可取无穷多种状态的模 型，而这种模型就是Markov数学模型。在建模时，时间 变量也被离散化，我们希望通过建立两个相邻时刻研究 对象取各种状态的概率之间的联系来研究其变化规律， 故马氏链研究的也是一类状态转移问题。
P X 0 ii0，X 1 X， ，|XX1 iik 1 P X 马氏性 i P X 0 0 P i1 1 i1 k 0 0 k ik |X k 1 k 1 P X k ik |X 0 i0，X 1 i1， ，X k 1 ik 1 P X 0 i0，X 1 {， ，X k1 0}ik 1 即马尔可夫链 i1 X ， n 的有限维分布完全由初始
随机过程中的马尔可夫过程理论
随机过程中的马尔可夫过程理论马尔可夫过程理论是随机过程中的一种重要理论，它描述了一类具有马尔可夫性质的随机过程。
在随机过程中，马尔可夫过程是指一个系统在给定当前状态下，其未来状态的概率分布只依赖于当前状态，而与过去的状态无关。
马尔可夫过程在实际应用中具有广泛的应用，尤其在可靠性分析、排队论和金融领域等方面发挥重要作用。
一、马尔可夫过程的基本概念马尔可夫过程由状态空间、转移概率矩阵和初始概率分布三要素构成。
1. 状态空间状态空间是指一个马尔可夫过程中可能出现的所有状态的集合。
通常用S表示，状态空间可以是有限的，也可以是无限的。
2. 转移概率矩阵转移概率矩阵描述了一个当前状态到下一个状态的转移概率。
假设状态空间S有n个状态，转移概率矩阵P的元素P(i, j)表示从状态i转移到状态j的概率。
转移概率矩阵满足非负性和归一性条件，即每个元素都大于等于零，每行元素之和等于1。
3. 初始概率分布初始概率分布是指系统在初始状态下各个状态出现的概率分布。
假设初始状态概率分布为π，其中π(i)表示系统初始状态为i的概率。
二、马尔可夫链马尔可夫过程中的马尔可夫链是指一个没有时间限制的马尔可夫过程，也就是说，它在任意时刻都遵循马尔可夫性质。
马尔可夫链可以是有限的，也可以是无限的。
1. 不可约性不可约性是指一个马尔可夫链中的所有状态都可以通过一系列转移概率到达任何其他状态。
具有不可约性的马尔可夫链被称为不可约马尔可夫链。
2. 遍历性遍历性是指一个不可约马尔可夫链中的任意状态都能在有限步内返回到自身。
具有遍历性的马尔可夫链被称为遍历马尔可夫链。
3. 非周期性非周期性是指一个马尔可夫链中不存在周期性循环。
如果一个状态经过若干步后又返回到自身的最小步数是1，则称该状态为非周期状态。
具有非周期性的马尔可夫链被称为非周期马尔可夫链。
三、马尔可夫过程的稳定性马尔可夫过程的稳定性是指在经过一段时间后，随机过程的状态分布不再发生显著变化。
10排队论1、简答排队规则与系统数量指标；（2）马尔科夫排队模型...
10 排队论1、简答（1） 排队规则与系统数量指标；（2）马尔科夫排队模型；（3）稳定状态流平衡原则。
答：（1）排队规则,当顾客到达时，如所有服务台都被占用且又允许排队，则该顾客进入队列等待。
服务台对顾客进行的服务所遵循的规则通常有：先到先服务（FIFO ）、后到先服务（LIFO ）、有优先权的服务（SWP y ）和随机服务（SIRO ） 系统数量指标包括：1．系统中顾客数量的概率分布（P n ） 2．系统中顾客数量期望值（系统状态，L ） 3．队列中顾客数量期望值（队长，L q ） 4．顾客在系统中的平均逗留时间（W ）5．顾客的平均等待时间（W q ）（2）马尔科夫排队模型即为具有唯一性、独立性、平稳性的最简单流。
就是指在t 这一时间段里有k 个顾客到达服务系统的概率()k v t 服从泊松分布，而系统的概率分布处于负指数分布。
（3）所谓稳定状态流平衡原则就是在稳定状态下，流入任意一个结点的流量等于流出该结点的流量。
2、绘制各排队系统的状态转移图（1）//2/4M M ；（2）//3/3M M ；（3）//1/3/3M M 。
解：（1）此系统模型有2个服务台，系统容量为4，其状态转移图为（2）此系统模型有3个服务台，系统容量为3，其状态转移图为（3）此系统模型有1个服务台，系统容量为3，顾客总体为3，其状态转移图为3、服务亭只有一名服务员，顾客按泊松分布到达，平均每小时4人；服务时间服从负指数分布，平均每人6分钟。
求：（1）系统空闲的概率；（2）有3名顾客的概率；（3）至少有1名顾客的概率； （4）平均的顾客数； （5）平均逗留的时间； （6）平均等待的顾客数； （7）平均的等待时间；（8）顾客逗留15分钟以上的概率。
解：将此系统抽象为M/M/1模型 ：λ=4 μ=60/6=10(1) 繁忙率4/100.4λρμ=== 故系统空闲的概率10.6ρ-=（2） 0110.6P λρμ=-=-= 100.24P P ρ== 22P P ρ==0.096 3300.0384P P ρ==有3名顾客的概率为0.0384（3）至少有1名顾客的概率010.4P ρ-== （4）平均的顾客数40.67104L λλμ===--（人）（5）平均逗留的时间111/6104W λμ===--（小时）=10分钟 （6）平均等待的顾客数q L L ρ==0.4⨯0.67=0.268(人)（7）平均的等待时间q W W ρ==0.4⨯1/6=0.067(小时) （8）顾客逗留15分钟以上的概率{}11315615215P T ee ⎛⎫---⎪⎝⎭>==4、一个美发厅有两把椅子和两名美发师，没有顾客等待的位置。
07：排队网络模型的性能分析
一个典型的通信网络8泊松分布过程的一个例子。
10111522 237、局部平衡与时间可逆性30312、Jackson网络－独立性假设几点独立性假设9相互独立的外部到达、泊松过程9相互独立的服务时间、负指数分布•同一个顾客在不同的排队节点遵循相互独立、且有可能不同参数的负指数分布。
9相互独立的路由策略•在某一节点接受完服务后独立地决定下一节点的路由、或者退出该排队网络。
322、Jackson网络－稳态概率()()()111212,,,,mi i j jij m m i r P I Q r r r λλλγλλλγ−=+Λ−Λ∑L L ＝对于节点，顾客到达率如下：用矩阵形式可以表示为：＝其中：＝＝33111212122212m m m mm m P P P P P P QPP P ⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠L L M M M M L Q矩阵的性质9对于开环网络来说，至少存在一个节点i有ri>0或者mij 1P 0>∑j=0－343、Jackson定理Jackson 定理9对于一个平稳状态的Jackson网络，在任一节点内的顾客数与其它节点的存在的顾客数无关。
9队长的概率分布Pn=P(n1,n2,…n m )等于每个单个节点队列长度概率分布的积。
353、Jackson定理()()()()()()()121122001100,,,!!!!iii i i i i i mm mn ii i i i i sn s i i i i n s s i i in i i i i ii i iP n n n p n p n p n ap n s n p n a p n s s a a s p n s s a s i a ρλµ−−−==⋅⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩⎛⎞=+⋅⎜⎟−⎝⎠=∑L L ，，为第个排队节点的服务者数,363、杰克逊网络通信量方程解）非奇异性，存在唯一（）＝－（则＝令稳态总体流量：通信量方程：Q -I Q I }{},{11γλλλλγλγλij i Mi i j Mi jij i i q Q q q ==+=∑∑==iiλiγiq 11λMiM q λ38399虽然外部顾客以泊松过程到达节点i，但实际到达于第i个节点的顾客为非泊松分布过程。
第四章 马尔可夫型排队系统的性能分析
aA? B ? 50erl
E62 (50) ? 0.01388 ? 0.01
E63 (50) ? 0.00844 ? 0.01
S ? 64 2001-3-14 A? B
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26
马尔可夫型排队系统的应用（2）
? 例题：有限等待空间排队系统与无限等待空间排队系统 的性能比较
? ? ? @? 华? ?
12
M/M/1排队系统的性能分析
? 等待/滞留时间的概率分布
2001-3-14
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13
M/M/1排队系统的扩展（1）
? 顾客到达率和服务率可变的M/M/1排队系统
? 分组交换网中 window-based flow control ? ATM网中用于ABR业务的 rate-based flow control ? 电路/分组交换网中的 dynamic bandwidth assignment
9
2001-3-14
? ? ? @? 华? ?
10
M/M/1排队系统的性能分析
? 全局平衡方程式(Global Balance Equation)
其中：
? 平稳状态概率的求解
?局域平衡方程式(local balance equation)：
pi
?平稳状态概率：
i
2001-3-14
? ? ? @? 华? ?
s?
s?
s?
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15
M/M/s/K排队系统的性能分析
? 被截断的M/M/s排队系统
?
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0
1
马尔科夫模型(转载)
隐马尔可夫模型（一）——马尔可夫模型马尔可夫模型（Markov Model)描述了一类随机变量随时间而变化的随机函数。
考察一个状态序列（此时随机变量为状态值），这些状态并不是相互独立的，每个状态的值依赖于序列中此状态之前的状态。
数学描述：一个系统由N个状态S= {s1,s2,...s n},随着时间的推移，该系统从一个状态转换成另一个状态。
Q= {q1,q2,...q n}为一个状态序列，q i∈S,在t时刻的状态为q t,对该系统的描述要给出当前时刻t所处的状态s t，和之前的状态s1,s2,...s t, 则t时刻位于状态q t的概率为：P(q t=s t|q1=s1,q2=s2,...q t-1=s t-1)。
这样的模型叫马尔可夫模型。
特殊状态下，当前时刻的状态只决定于前一时刻的状态叫一阶马尔可夫模型，即P(q t=s i|q1=s1,q2=s2,...q t-1=s j) =P(q t=s i|q t-1=s j)。
状态之间的转化表示为a ij,a ij=P(q t=s j|q t-1=s i),其表示由状态i转移到状态j的概率。
其必须满足两个条件： 1.a ij≥ 0 2.=1对于有N个状态的一阶马尔科夫模型，每个状态可以转移到另一个状态（包括自己），则共有N2次状态转移，可以用状态转移矩阵表示。
例如：一段文字中名词、动词、形容词出现的情况可以用有3个状态的y一阶马尔科夫模型M 表示：状态s1:名词状态s2:动词状态s3:形容词状态转移矩阵： s1 s2 s3A=则状态序列O=“名动形名”（假定第一个词为名词）的概率为：P(O|M) = P(s1,s2,s3,s4} = P(s1)*p(s2|s1)p(s3|s2)p(s1|s3)=p(s1)*a12*a23*a31=1*0.5*0.2*0.4=0.04在马尔可夫模型中，每一个状态都是可观察的序列，是状态关于时间的随机过程，也成为可视马尔可夫模型（Visible Markov Model,VMM）。
数学中的随机过程建模
数学中的随机过程建模数学中的随机过程建模是一门研究各种系统随时间变化的数学工具。
它是数学、统计学、概率论以及相关领域的交叉学科，广泛应用于金融、通信、物理、生物、工程等多个领域。
本文将介绍随机过程建模的基本概念和应用，以及一些常见的随机过程模型。
第一部分：随机过程建模的基本概念随机过程是一组随机变量的集合，它们与时间相关。
在随机过程中，每个随机变量都代表了一个可能发生的结果。
常见的随机过程模型包括马尔可夫过程、泊松过程、布朗运动等。
1. 马尔可夫过程马尔可夫过程是一种基于状态转移的随机过程模型。
它具有无后效性，即未来状态只依赖于当前状态，与过去状态无关。
马尔可夫过程可用转移矩阵表示，其中每个元素表示状态转移的概率。
2. 泊松过程泊松过程是一种描述独立事件发生的随机过程模型。
它满足无记忆性，即事件发生的时间间隔独立同分布。
泊松过程可用强度函数表示，该函数描述了单位时间内事件发生的平均次数。
3. 布朗运动布朗运动是一种连续时间和空间的随机过程模型。
它具有平稳增量和独立增量的特性，在金融学中有着广泛的应用。
布朗运动可用随机微分方程表示，描述了随机变量的不确定性和演化规律。
第二部分：随机过程建模的应用随机过程建模在各个领域中都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 金融领域随机过程建模在金融领域中被广泛应用于期权定价、风险管理和投资组合优化等方面。
通过建立合适的随机过程模型，可以对金融市场的价格变动进行建模和预测。
2. 通信领域随机过程建模在通信领域中用于描述信号的传输和接收过程。
通过建立合理的随机过程模型，可以对信号的功率、信噪比等性能指标进行建模和分析。
3. 物理领域随机过程建模在物理领域中用于描述粒子的运动和衰变过程。
通过建立适当的随机过程模型，可以揭示物质微观粒子的行为规律和统计特性。
4. 生物领域随机过程建模在生物领域中被广泛应用于遗传、进化和神经网络等方面。
通过建立适当的随机过程模型，可以研究基因突变、物种演化以及神经元的电信号传导等生物过程。
马尔可夫排队模型
• 0≤pi(t) ≤1, ∑pi(t)=1,
– 随机变量角度（极限平稳解）：pi= limt→∞pi(t)
• 如果0≤pi(t) ≤1, ∑pi(t)=1存在，等价于系统稳定，此 时，pi的含义是经过充分长的时间的运行后，系统 处于第i个状态的可能性（概率）
• 状态转移图：用来描述系统状态和变迁情况的有 向图 • 实例：一个机械系统由A、B两部分构成，各自有 修理工。若运行时间和修理时间均为服从独立的 指数分布的随机变量，求状态转移图。
例题的求解
• 定义状态：
– S0＝AB，S1＝AB，S2＝AB，S3＝AB
• 变迁和强度：
– S0→S1：A系统发生故障强度λ1＝1/t1 – S1→S0：A的平均修复强度μ1＝1/t1’
M|M|1|0的极限平稳解
• 从普通解获得:
– p0= limt→∞p0(t)= μ/(μ+λ) – p1= limt→∞p1(t)=λ /(μ+λ)＝1－ p0
• 从状态转移图获得 • 有关的效率指标
– 相对通过能力Q＝ p0＝μ/(μ+λ) – 绝对通过能力A＝ λQ＝ λμ/(μ+λ) – 系统损失率Pl＝p1＝1－Q＝ λ/(μ+λ)
M|M|1|0的应用举例
• 一条电话热线，平均每分钟有一次呼叫， 平均每次呼叫的通话时间为0.4分钟，求稳 定状态下一次呼叫的占线概率 • 解：
– 采用M|M|1|0模型， – 此时，λ＝1， μ＝1/0.4＝2.5 – 则所求概率为Pl= p1= λ/(μ+λ)=0.28
M|M|1|0的应用举例
• 试证
M|M|1|0的普通解
马尔可夫模型的名词解释
马尔可夫模型的名词解释
马尔可夫模型（Markov model）是一种统计模型，用于描述随机过程中的状态转移。
它由俄罗斯数学家安德烈·马尔可夫（Andrey Markov）于20世纪初提出。
在马尔可夫模型中，一个随机过程可以被描述为一个状态集合和一个状态转移矩阵。
状态集合表示随机过程中可能存在的状态，状态转移矩阵则描述了从一个状态转移到另一个状态的概率分布。
状态转移矩阵的每一行对应一个状态，每一列表示从一个状态到另一个状态的转移，权重表示从当前状态转移到目标状态的概率。
马尔可夫模型可以用于语音识别、自然语言处理、计算机视觉等领域。
在自然语言处理中，马尔可夫模型可以用于分析文本序列中的语言结构和语法规则，从而实现语言模型的构建和预测。
在语音识别中，马尔可夫模型可以用于分析语音信号序列中的语音特征，从而实现语音识别和语音合成等任务。
通信网络的排队问题
5
little定理
已知量
顾客到达率（指单位时间内进入 系统的平均顾客数，也称为单位时间 内进入系统的”典型”顾客数，“典型” 是时间平均）
服务速率（指系统处于忙时单位时 间内服务的典型（平均）顾客数）
求解量
6
little定理
系统中的平均顾客数（他是在等 待队列中和正在接受服务的顾客数之 和的平均数）
令Ti=第i个到达的顾客在系统内话费的时间 （时延），则在[0,t]内顾客的平均时延为
9
little定理
稳态的平均时延为 N，λ，T的相互关系是: 这就是little定理（公式）。该 公式表明：系统中的用户数=用 户的平均到达率X用户的平均时 延。
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马尔可夫型排队系统
定义：排队系统的状态变量或变量组 具有马尔可夫型的排队系统，即排队 系统本身构成了一个马尔可夫过程。 由于排队系统的随机特性主要来源与 顾客的到达和所需要的服务时间，不 难想象，如果顾客的到达和服务时间 均没有记忆性，则该排队系统的状态 变量也必然没有记忆性，或称马尔可 夫性。
11
通信网络的排队问题
1
通信网络的排队问题
目录
1.排队模型 2.little定理 3.马尔科夫型排队系统
2
排队模型
排队规则 等待制：系统忙时，顾客在系统中待。 损失制：是指顾客发现系统忙时，立
即离开系统。典型的的损失制系统就是 我们日常使用的电话通信系统。当用户 打电话时，发现系统忙时，立刻会放下 电话离开系统。
每个顾客的平均时间（即每个顾客等 待所花的时间加上服务时间之和的平 均值）
7
little定理
N(t)=系统在t时刻的顾顾客数，即
N
t
系统稳态时的平均顾客数为
基于马尔可夫排队模型的行程时间预测方法
基于马尔可夫排队模型的行程时间预测方法随着智能手机的普及，行程时间预测不仅成为了一项重要的服务，也受到了更多的关注。
然而，传统的行程时间预测方法存在着一定的局限性，并且不能准确预测用户行驶时间。
在此背景下，马尔可夫排队模型作为一种改进的行程时间预测方法已经得到了广泛应用。
本文将从历史和理论的角度对马尔可夫排队模型以及它的实现进行概述，介绍它的主要优势以及在行程时间预测中的应用情况。
一、马尔科夫排队模型的历史马尔科夫排队模型是由美国经济学家希尔伯特马尔科夫在1937年提出的。
此模型的基本思想是，当一个客户到达某一系统时，它需要等待一定的时间，而这段时间受到前面客户的到达状况和系统中内部处理活动影响。
经过一段时间，后续的客户们到达系统时，会发现当前处理的客户及其队列状况，从而决定他们的等待时间。
二、马尔科夫排队模型的理论马尔科夫排队模型基于几个假设，即每个用户都是独立且相同的，每个用户只有一次机会进入系统，用户数量是有限的，而服务器容量是无限的，服务器可以根据用户的要求来进行实时处理，服务器计算能力具有良好的稳定性，而且服务器空闲时间能够被有效利用等。
以上这些假设十分简单，但是它们能够很好的描述实际环境中的复杂处理过程。
三、马尔可夫排队模型的优势马尔可夫排队模型具有极高的准确性，可以精确预测用户行驶时间；它可以实时处理用户到达某一系统时所需要等待的时间；此外，它比传统的行程时间预测方法更加灵活，可以根据环境条件和用户到达的情况来做出相应的调整，从而更好的满足用户的行程时间预测需求。
四、马尔可夫排队模型在行程时间预测中的应用由于马尔可夫排队模型具有准确预测用户行驶时间的能力，因此它已经被大量的出行服务提供商用作行程时间预测的核心技术。
在出行预订服务中，系统会根据用户输入的地址、出行类型等信息，计算出用户到达目的地的准确行程时间。
除此之外，马尔可夫排队模型也可以在出行规划服务、航班出行服务等方面得到广泛应用，从而改善用户出行体验。
马尔可夫链模型课件
若以X(t)记在t时刻系统中的顾客数，{X(t),t≥0}则不 具马尔可夫性。因为，若我们知道在t时刻系统中的顾客 数，那么为了预测将来的状态，我们不用关心从最近的一 位顾客来到后已过去了多长时间（因为来到过程是无记忆 的），但和服务中的顾客服务了多长时间有关（因为服务 时间分布不具无记忆性）。
销，2代表滞销。以X n 表示第n个季度的味精销售状态，
则 X n 可取1或2的值。若未来的味精市场状态只与现在的 市场状态有关，与以前的市场状态无关，则味精的市场销
售状态 {X n , n 1} 构成一个马尔可夫链。
设
P( X n1 j X n i) pij
p11 0.5 p12 0.5
马氏链模型
描述一类重要的随机动态系统（过程）的模型
• 系统在每个时期所处的状态是随机的 • 从一时期到下时期的状态按一定概率转移 • 下时期状态只取决于本时期状态和转移概率
已知现在，将来与过去无关（无后效性）
马氏链 (Markov Chain) ——时间、状态均为离散的随机转移过程
例如：在某数字通信系统中传递0，1两种信
解：一步转移概率为：
Pi,i1 Pi,i1
p q
1
p
Pi,
j
0
(j i-1,i+1)
........................
...q
0
p
0
0...
P ...0 q 0 p 0...
...0
0
q
0
p...
........................
06：简单排队模型的性能分析
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6、Erlang Loss Performance
16
二、排队论的初步应用
1、电路交换网的设计 2、M/M/s与M/M/s(k) 3、三种排队模型的性能比较
17
1、电路交换网的设计
18
93
1、电路交换网的设计
单方向中继线
aA→B = 0.05*1000 *(1000 /1999) ≅ 25erl aB→A = 0.05*1000 *(1000 /1999) ≅ 25erl E35 (25) = 0.01165 > 0.01 E36 (25) = 0.00802 < 0.01 SA→B ≥ 36 SB→A ≥ 36
PL
=
ps+k
=
as s!
ρk
p0
∑s+k
M (0) =
j=s
pj
= as ⋅1− ρk s! 1− ρ
p0
平均队长
∑ ∑ Lq
=
s+k
( j − s) pj
j=s
k
=[
rρr ] as
r =0
s!
p0
平均等待时间
Wq
=
Lq λ(1− PL )
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6、M/M/s(0) 与Erlang-B公式
M/M/s(k)中若k=0, 则
请问：1、假设IP包的到达间隔和包长均服从负指数 分布，请问IP包通过该路由器的平均延迟时间为多少？
2、假设IP包的到达间隔和包长均服从负指数分布， 但中继线传输速率由128Kbps扩容到384Kbps，请问IP 包通过该路由器的平均延迟时间为多少？
3、假设IP包的到达过程仍然是泊松过程，但包长 为1280比特的固定长度，请问IP包通过该路由器的平 均延迟时间为多少?
第五章 马尔可夫型排队网络的性能分析
p? (1? p)
顾客以非常高的概率ｐ返回 （同一顾客连续被服务的时间相互独立）
排队节点的顾客到达呈现突发性（一个外部到达会触发一个反馈顾客）
? 尽管如此，Ｊａｃｋｓｏｎ定理告诉我们：在求解Ｊａｃｋｓｏｎ网络各节点 间联合概率分布时可以等效地认为各节点之间是相互独立的并
遵循 Ｍ／Ｍ／ｓ 规律
2001-3-28
? 开环网络(Open Network; Jackson Network) ? 闭环网络(Closed Network; Gorden-Norwell Network) ? 混合网络(Mixed Network)
pij
2001-3-28
? ? ? @? 华? ?
Ｅｘｔｅｒｎａｌri
Ｄｅｐａｒｔｕｒｅｓ
《通信网理论基础》
第5 章 马尔可夫型排队网络的性能分析
2001-3-28
? ? ? @? 华? ?
1
一个典型的通信网络
2.3.1 通信网络的排队网络模型
2001-3-28
? ? ? @? 华? ?
2
通信网络的排队模型化
Route 1
Route 2
Route 3
2001-3-28
? ? ? @? 华? ?
ｑｕｅｕｅ ｅｍｐｔｙ
ｑｕｅｕｅ ｂｕ1ｓ2ｙ
ｔ
Burke定理及其物理意义
2001-3-28
? ? ? @? 华? ?
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马尔可夫排队系统的可逆性
[Theorem]: A Markov chain is reversible if and only if there exists probability distribution {pj} over the state space such that pi aij = pj aji for all pairs i not equal to j
银行排队模型期末总结
银行排队模型期末总结1.引言银行是我们日常生活中经常接触到的金融机构之一，而排队是我们进入银行时经常遇到的问题。
银行排队模型是数学中一个重要的应用领域，对于银行的管理和服务质量有着重要的影响。
本期末总结将围绕银行排队模型展开，从排队理论的基本原理、模型假设、模型构建方法、模型的应用等方面进行详细阐述，并结合实际案例进行分析和讨论。
2.排队理论的基本原理排队理论是研究排队系统的数学理论，起源于20世纪初的概率论和统计学。
排队系统的基本组成包括顾客、服务器和队列等。
排队理论的基本原理包括到达过程、服务过程、排队规则和性能度量等。
到达过程描述顾客到达银行的时间间隔模型，服从不同的概率分布。
服务过程则描述了服务员为顾客提供服务的时间间隔模型，也服从不同的概率分布。
排队规则决定了顾客的排队顺序和服务的顺序，如先来先服务、先来后服务等。
性能度量是评价排队系统绩效的指标，包括顾客等待的平均时间、服务器的利用率等等。
3.模型的假设银行排队模型通常基于一些假设条件，这些假设条件用于简化模型，使其易于分析和计算。
常见的假设条件包括：顾客到达服从泊松分布、服务时间服从指数分布、排队规则为先来先服务、顾客在排队和服务过程中是独立的等。
这些假设条件在一定程度上接近于实际情况，并为模型的分析提供了便利。
4.模型的构建方法构建银行排队模型需要考虑到排队规则、到达过程和服务过程等因素，并利用排队理论和概率统计方法进行建模和求解。
常用的模型构建方法包括马尔可夫模型、离散事件模型和连续时间模型等。
马尔可夫模型是一种基于概率过程的模型，常用于描述排队系统的状态转移和稳定分析。
离散事件模型则将顾客到达和服务过程建模为离散事件的发生和处理过程。
连续时间模型则将时间视为连续的变量，适用于模拟和分析排队系统的动态变化过程。
5.模型的应用银行排队模型在实际中有着广泛的应用。
通过对排队模型的分析和优化，可以帮助银行管理者合理安排窗口开放数量和服务员数量，提高服务效率和客户满意度。
状态转移图
• • • • •
从状态转移图获得 有关的效率指标 相对通过能力Q＝ p0＝μ/(μ+λ) 绝对通过能力A＝ λQ＝ λμ/(μ+λ) 系统损失率Pl＝p1＝1－Q＝ λ/(μ+λ)
• 对应的哥氏方程组：
– p0‘(t) ＝ －λp0(t) ＋μp1(t) – p1‘(t) ＝ － μp1(t) ＋ λp0(t)
M|M|1|0的极限平稳解
• 从普通解获得:
– p0= limt→∞p0(t)= μ/(μ+λ) – p1= limt→∞p1(t)=λ /(μ+λ)＝1－ p0
• 解得：
直接求极限平稳解
• 对状态转移图中的任一状态Pi,设有：
– 由该状态发出的流A1…Am,强度分别为a1…am – 进入该状态的流B1…Bl，强度分别为b1…bl, 对应的发出点为C1…Cl – 则对应的哥氏方程组为
– 即：发出（均值）＝进入（均值） – 实例
1
第三节 little公式
• 定理6.1：设ELs为排队系统内顾客平均 值，EWs为顾客在系统内的平均排队时 间，则有ELs＝λEWs
2
第一节 状态转移图
• 状态：系统的某种可以稳定存在的形态。
– 从随机过程Байду номын сангаас度去看，则为随机过程的取值
马尔可夫模型讲解
马尔可夫模型讲解《马尔可夫模型讲解篇一》嘿，今天咱们来唠唠马尔可夫模型这个听起来有点高大上的玩意儿。
马尔可夫模型啊，就像是一个特别会预测的小机灵鬼。
我给你打个比方哈，就好比你在玩一个游戏，这个游戏里有好几个不同的状态，比如说游戏角色的健康值高、中、低三种状态。
马尔可夫模型呢，它就可以根据你当前处于的这个状态，来推测你下一个状态可能是什么样的。
比如说你现在健康值是中等，那它就会根据之前的一些数据或者规律，告诉你下一刻你健康值变高、变低或者继续保持中等的概率。
我记得我有一次做一个小项目，就像是预测一个城市里人们出行方式的转变。
就有汽车、公交、地铁这几种出行方式，这就相当于不同的状态。
我当时就想啊，这可咋整呢？突然就想到了马尔可夫模型。
我就开始收集数据，比如说今天坐汽车的人，明天有多少会转去坐公交，有多少会去坐地铁，还有多少继续坐汽车。
这个过程就像是在拼图，一块一块地把这个模型建立起来。
但是呢，马尔可夫模型也不是万能的，它有它自己的小脾气。
它有个假设叫马尔可夫假设，这个假设呢，就有点像在理想世界里的规则。
它假设系统的下一个状态只取决于当前状态，这可能吗？也许在某些简单的情况下是行得通的，但是在现实世界里，往往会有很多其他的因素干扰。
就像刚才说的出行方式，可能今天下大雨了，那原本打算坐公交的人可能就都跑去坐地铁了，这时候马尔可夫模型可能就有点懵圈了。
那有人就会问了，既然有这么多问题，为啥还要用它呢？这就是它的妙处了。
虽然它有不完美的地方，但是在很多情况下，它还是能给我们提供一个大致的方向。
就像在雾里看花，虽然看不太真切，但是好歹能知道花大概在哪个方向。
而且啊，马尔可夫模型的应用可广泛了。
在语音识别里也能看到它的身影。
你想啊，语音识别就是把你说的话变成文字，这中间就有好多不同的状态转换。
比如说一个音可能是好几个字的开头音，那根据之前的音和语境，马尔可夫模型就能帮忙推测出这个音最可能对应的字。
总的来说，马尔可夫模型就像是一把有点钝但还挺有用的刀，在很多领域里都能帮我们砍出一条路来，虽然这条路可能不是那么笔直完美。
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– 证明过程见黑板演示
• 同样： ELq＝λEWq • 该公式可用于任何稳定的排队模型 • 定理的意义
第4节 单通道损失制M|M|1|0
• 状态定义：系统内顾客数-Ls • 状态转移图： • λ • S0 S1 • μ • 设：
– p0(t):系统在t时刻处于S0状态的概率 – p1(t):系统在t时刻处于S1状态的概率 – p0(t)＋p1(t)＝1
– 随机过程角度pi(t)：t时刻系统处于第i个状态的 可能性
• 0≤pi(t) ≤1, ∑pi(t)=1,
– 随机变量角度（极限平稳解）：pi= limt→∞pi(t)
• 如果0≤pi(t) ≤1, ∑pi(t)=1存在，等价于系统稳定，此 时，pi的含义是经过充分长的时间的运行后，系统 处于第i个状态的可能性（概率）
• 状态转移图：用来描述系统状态和变迁情况的有 向图 • 实例：一个机械系统由A、B两部分构成，各自有 修理工。若运行时间和修理时间均为服从独立的 指数分布的随机变量，求状态转移图。
例题的求解
• 定义状态：
– S0＝AB，S1＝AB，S2＝AB，S3＝AB
• 变迁和强度：
– S0→S1：A系统发生故障强度λ1＝1/t1 – S1→S0：A的平均修复强度μ1＝1/t1’
M|M|1|0的应用举例
• 一条电话热线，平均每分钟有一次呼叫， 平均每次呼叫的通话时间为0.4分钟，求稳 定状态下一次呼叫的占线概率 • 解：
– 采用M|M|1|0模型， – 此时，λ＝1， μ＝1/0.4＝2.5 – 则所求概率为Pl= p1= λ/(μ+λ)=0.28
M|M|1|0的应用举例
• t1’:A的平均修复时间
• t1:A的平均无故障时间。（ λ1指数分布参数）
– 同样可能的变迁S1→S3，S3→S1，S0→S2，S2→S0， S2→S3，S3→S2，强度分别为：λ2、μ2、λ2、μ2、λ1、 μ1
• 状态转移图 • 这是一个双通道闭合型的马尔可夫排队系统
• 指数分布的无后效性对状态转移图的意义 • 系统状态和随机过程：将系统的每个可能 的状态对应于不同的整数，则状态转移图 对应于一个随机过程 • 状态概率：
• 试证
M|M|1|0的普通解
• 对应的哥氏方程组：
– p0‘(t) ＝ －λp0(t) ＋μp1(t) – p1‘(t) ＝ － μp1(t) ＋ λp0(t)
• 解得：
– p0(t) ＝μ/(μ+λ)+Ce -(μ+λ)t – 若 t=0 p0(t) =1，则 C＝ λ/(μ+λ) – ∴ p0(t) ＝μ/(μ+λ)+ λ/(μ+λ) e -(μ+λ)t – p1(t)=1-p0(t) = λ/(μ+λ)-λ/(μ+λ) e -(μ+λ)t
第六章 马尔可夫排队模型
如果一个排队系统的到达过程为 泊松过程，服务时间为指数分布，则 该排队系统称为马尔可夫型排队系统
第一节 状态转移图
• 状态：系统的某种可以稳定存在的形态。
– 从随机过程角度去看，则为随机过程的取值
• 变迁：状态间的有向弧，描述状态间可能的变化。
– 变迁没有延迟，发生的时间为0
• 状态概率对系统求解的意义
第二节 哥氏方程
• 功能：基于状态转移图，获得Markov模型 排队系统的解（包括pi(t)和极限平稳解pi ） • 普通解 • 极限平稳解
– 由普通解获得 – 在上例中，如果 λ1＝1 ,μ1=2,λ2=2,μ2=3,则有 p0=0.4, p1=0.2, p2=0.27, p3=0.13。如果系统 A的创收能力为5，系统B的创收能力为3，则整 个系统的平均创收能力为5.15。工人A的忙率？
M|M|1|0的极限平稳解
• 从普通解获得:
– p0= limt→∞p0(t)= μ/(μ+λ) – p1= limt→∞p1(t)=λ /(μ+λ)＝1－ p0
＝ p0＝μ/(μ+λ) – 绝对通过能力A＝ λQ＝ λμ/(μ+λ) – 系统损失率Pl＝p1＝1－Q＝ λ/(μ+λ)
直接求极限平稳解
• 对状态转移图中的任一状态Pi,设有：
– 由该状态发出的弧A1…Am,强度分别为a1…am – 进入该状态的弧B1…Bl，强度分别为b1…bl, 对应的发出点为C1…Cl – 则对应的哥氏方程组为
– 即：发出（均值）＝进入（均值） – 实例
第三节 little公式
• 定理6.1：设ELs为排队系统内顾客平均值， EWs为顾客在系统内的平均排队时间，则 有ELs＝λEWs