第6章 统计决策分析
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1
θ
2
„
θ
n
P2
案
„ Pn L12 „ L1n L 22 „ L 2n „ „ „ L m2 „ L mn
【例1】一家酿酒厂就是否推出一种新型啤酒的问题进 行决策分析。拟采取的方案有三种：一是进行较大 规模的投资，年生产能力为2500万瓶，其每年的固 定成本费用为300万元；二是进行较小规模的投资， 年生产能力1000万瓶，其每年的固定成本费用为100 万元 ；三不推出该种啤酒。假定在未考虑固定费用 的前提下，每售出一瓶酒，均可获纯利0.3元。据预 测，这种啤酒可能的年销售量为：50万瓶、1000万 瓶和2500万瓶，这三种状况发生的概率分别为：0.2 、0.3、0.5。 试编制该问题的收益矩阵表。
•
（3）决策行动的收益函数或损失函数
• 决策行动的结果完全可以统一用损失函数表示 。在统计决策理论中，常用的损失函数主要有 以下几种：
• ①线性损失函数：决策行动的结果是决策者所 采取的行动和客观环境的线性函数。形式为：
k1 ( ), L( , ) k2 ( ),
行动方案α可取得的收益大于决策者的渴望收益百度文库
, ) Q* ] ，则按照渴望水平原 值的概率为 P[Q (
则，决策者的最佳行动方案α*就是满足下式的行 动方案：
P[Q( , ) Q ] Max P[Q( , ) Q ]
* * *
A
6.3.3 决策树技术
1.决策树是求解风险型决策问题的重要工具,它是一 种将决策问题模型化的树形图。决策树由决策点、方 案枝、机会点、概率枝和结果点组成。 2.利用决策树对方案进行比较和选择，一般采用逆向 分析法，即先计算出树形结构的末端的条件结果，然 后由此开始，从后向前逐步分析。
H ( ) Max Q( , ) (1 ) Min Q( , )
以期望收益值最大的方案作为所要选择的方案。该 准则的数学表达式为：
H (a ) Max H ( )
*
A
【例3】 假设例1中,有关市场状态的概率不知,根 据经验判断的乐观系数为0.6,试根据折衷准则进行 决策。 解： 将有关数据代入公式，可得： H(Q(a1)) = 0.6×450 +(1－0.6)(-285)= 156 H(Q(a2)) = 0.6×200 +(1－0.6)(－85)= 86 H(Q(a3)) = 0.6×0 +(1－0.6)×0 = 0 因为在可选择的方案中，方案一的期望收益值 较大，所以根据折衷原则，应选择方案一 .
策者选取的行动方案α*必须满足：
R( ) Min R( )
*
A
（2）最大可能准则 该准则主张以最可能状态作为选择方案时考
虑的前提条件。所谓最可能状态，是指在状态空
间中具有最大概率的那一状态。按照最大可能准 则，在最可能状态下，可实现最大收益值的方案 为最佳方案。 最大可能准则是将风险条件下的决策问题，
• ②平方误差损失函数 • 是用决策行动值α与客观环境状态参数值θ的偏
差平方来度量决策行动的损失。
• 函数形式为：
L( , ) ( )
2
• 如果对于客观环境状态参数的不同值，决策行动 值偏差的损失不同，那应该给不同状态的偏差赋 予不同的权重，就有加权平方误差损失函数,形式 为：
L( , ) w( )
2
• 当客观环境的状态集为 (θ1 , θ2 ,,θn ) ，且决策者 A (a1 , a2 ,, am ) 时，决策行动的收益函数 的行动集为 或损失函数将只有有限的nm个数值，可以将它们 排列成一个矩阵表，如下：
表 1 收益矩阵表 状态 概率 方 a1 a2 „ am θ P1 L11 L21 „ L m1
简化为确定条件下的决策问题。只有当最可能状
态的发生概率明显大于其他状态时，应用该准则
才能取得较好的效果。
【例5】 试利用例1中给出的收益矩阵表的资料， 根据最大可能准则选择最佳的投资方案。
解： 该例的各种自然状态中，“市场需求大”
的概率最大，因此，该状态为最可能状态。在市场 需求大的状态下，方案一可以获得最大的收益。所 以，根据最大可能准则，应选择方案一。
素之外，还掌握有客观环境的各种可能状态出
现的先验概率分布，就可以使用先验概率型决
策分析方法进行分析。
• 6.3.2 先验概率型决策的准则
• （1）期望损益准则
•
期望损益准则是以每个行动方案的期望收益或 期望损失为标准，选出期望收益最大或者期望损失 最小的行动方案作为最终确定的行动方案。
记决策者选中的行动方案为α*，按照期望损 益准则进行决策就有：
6.1 统计决策的要素和程序
6.1.1 统计决策的概念 所谓决策就是在占有一定信息的基础上，利用各 种方法，对影响特定目标的各种因素进行计算和分 析，从而选择关于未来行动的“最佳方案”和“满
意方案”的过程。
统计决策是指主要依靠统计分析推断方法进行的
决策。
统计决策的分类
• 根据决策者对客观环境的了解程度不同，可以将
决策问题分为确定性决策和非确定性决策。
• 非确定性决策可细分为概率型决策和非概率型决
策。
• 非概率型决策和概率型决策都属于风险型决策。
6.1.2 统计决策的要素
• 一般来说，进行统计决策，必须具有以下三个基
本要素：
• （1）客观环境的可能状态集
• （2）决策者的可行行动集
• （3）决策行动的收益函数或损失函数
Q( , ) Max MinQ ,
*
A
式中，a* 是所要选择的方案。
例2：假设例1中,有关市场状态的概率完全不知道， 试根据大中取大准则和小中取大准则进行决策。 解：（1）例1中，方案一在各种状态下的最大收益 为450万元，方案二在各种状态下的最大收益为200 万元，方案三在各种状态下的最大收益为0，根据大 中取大准则，应选择方案一。
某项投资的损失矩阵表 需求大 0 250 450 需求中 200 0 200
单位：万元
方 案
状态 方案一 方案二 方案三
需求小 285 85 0
6.3 先验概率型决策
• 6.3.1 先验概率型决策的条件 如果决策者除了掌握有客观环境的可能状 态集、决策者的可行行动集和决策行动的收益 函数或损失函数这三个进行决策分析的基本要
• （1）客观环境的可能状态集
•
如果记客观环境的第i个可能状态为θi，并记客 观环境的全部可能状态的集合为Θ，则就有Θ={θi} 。对于统计决策来说，客观环境的可能状态集必须是 确知的。
• （2）决策者的可行行动集 • 对于任何一个决策问题，决策者都会有多个可供 选择的行动方案，这些方案就构成了决策者的选择空 间，称为行动空间。 如果记决策者可采取的第j种行动为aj，并记决 策者的全都行动集合为A，则有A={aj}。
（4）大中取小准则
后悔值又称机会损失值，即由于决策失误而造成 的真实际收益值与最大可能的收益值的差距。方案ai 在状态θj下的后悔值，可按下式计算： rij Max Q(ai , j ) qij
式中，Q (ai ,θj )是在第j种状态下，正确决 策有可能得到的最大收益，qij是收益矩阵的元素。 如果实际选择的方案正好是这种状态下的最优 方案,则后悔值为0；如果实际选择的方案不如最优 方案，决策者就会感到后悔。后悔值越大表明所选 的方案与最优方案差距越大。显而易见，rij≥0 。 最小的最大后悔值准则的数学表达式为：
方案。 • （4）决策的执行 • 找到最佳的行动方案以后，决策者就需要按照这 一行动方案去行动，只有通过行动方案的具体实
施，才能最终达到决策者期望的决策目标。
6.2 非概率型决策
• 6.2.1 非概率型决策的条件 • 非概率型决策就是在仅仅具备决策的三个基本要 素的条件下的决策。
• 首先，必须对客观环境的可能状态有所了解；
达到的结果。它由所研究的问题决定，决策目标需
要准确、简明、可测。
（2）拟定备选方案 备选方案是实现目标的各种可能途径，一般两个 以上，所有被选方案称为行动空间，拟定备选方案 需要充分调研。
• （3）通过比较分析选出最佳的行动方案
• 对于已拟定的各种行动方案，还需要进一步对其
进行比较分析，以选出对决策者来说最佳的行动
第6章 统计决策分析
重点与难点
重点： 非概率型决策和概率型决策的应用条件及准则 先验概率型决策模型、方法以及应用 后验概率型决策模型、方法以及应用 难点： 先验概率型决策方法 后验概率型决策方法
学习内容：
• 一、统计决策的要素和程序
• 二、非概率型决策
• 三、概率型决策：先验概率型决策和后验
概率型决策
• 其次，拟订出多种可行的行动方案；
• 最后，给出决策行动的收益函数或损失函数，最
后作出决策。
6.2.1 非概率型决策的准则
（1）大中取大准则
该准则又称乐观准则或“好中求好”准则。其
特点是决策者对未来形势比较乐观。在决策时，先
选出各种状态下每个方案的最大收益值，然后再从 中选择最大者，并以其相对应的方案作为所要选择 的方案。该准则的数学表达式为：
i
在市场需求小的情况下，采用方案三可获得最大收益，故有: Max Q(ai , 3 ) 0
i
将其代入公式，可求得以下损失矩阵（参见表3）。 (2)由表3可知：方案一的最大损失值为285万元，方案二的 最大损失值为250万元，方案三的最大损失值为450万元。根据大 中取小准则，应选择方案二。
表3
（2）例1中，方案一在各种状态下的最小收益为-285 万元，方案二在各种状态下的最小收益为-85万元， 方案三在各种状态下的最小收益为0，根据小中取大 准则，应选择方案三。
（3）折衷准则
该准则认为，对未来的形势既不应盲目乐观，也不 应过分悲观。主张根据经验和判断确定一个乐观系数 α （0≤α≤1），以α和1-α分别作为最大收益值和最小 收益值的权数，计算各方案的期望收益H（α）。
•
E[Q( , )] MaxE[Q( , )]
*
A
或E[ L( , )] MinE [ L( , )]
*
A
•
决策者各个行动的期望损失通常称为该行动 的风险，即为R(a)，即有：
•
•
R(a)=E[L(θ,α)]
根据期望损益原则，应选中期望损失最小的
决策准则，也可以称为风险最小的决策准则，决
（3）渴望水平准则 在有些决策准则中，决策者必须取得某个数
额的收益以应付某种用途，收益少于这个数额，
不足以应付这种用途之需，收益多于这个数额， 也没有用。 渴望水平准则是以决策者的渴望收益值为标 准，选取最大可能取得此渴望收益值的行动方案
作为所选择的行动方案。
若记决策者的渴望收益值为Q*，决策者采取
表 2 啤酒投资的收益矩阵表 状态 概率 方案一 方案二 方案三 需求大 0.5 450 200 0
单位：万元
方 案
需求中 0.3 0 200 0
需求小 0.2 －285 －85 0
6.1.3 统计决策的程序
一个完整的统计决策过程，包括以下几个基本步骤： （1）确定决策目标
决策目标就是在一定条件制约下，决策者下期望
i
a Min Maxrij
* i j
【例4】 假设例9-1中,有关市场状态的概率完全不知道，试求出后 悔矩阵并根据大中取小准则进行决策。 解：(1)在市场需求大的情况下,采用方案一可获得最大收益,有: Max Q(ai ,1 ) 450
i
在市场需求中的情况下，采用方案二可获得最大收益，故有: Max Q(ai , 2 ) 200
解：首先分别计算不同状态下采用不同方案可能带来的收益 例如，当需求量大（年销售2500万瓶）时， 方案一的收益为： 0.3*2500-300=450万元； 方案二的收益为： 0.3*1000-100=200万元； 方案三的收益为： 0 其他状态的收益计算方法相同，过程不一一列出。 在以上计算的基础上，可编制如下收益矩阵表。
Q( , * ) Max MaxQ ,
A
式中，a* 是所要选择的方案。
（2）小中取大准则
该准则又称悲观准则或“坏中求好”准则。它正
好与乐观准则相反，决策者对未来形势比较悲观。
在决策时，先选出各种状态下每个方案的最小收益 值，然后再从中选择最大者，并以其相对应的方案 作为所要选择的方案。该准则的数学表达式为：
θ
2
„
θ
n
P2
案
„ Pn L12 „ L1n L 22 „ L 2n „ „ „ L m2 „ L mn
【例1】一家酿酒厂就是否推出一种新型啤酒的问题进 行决策分析。拟采取的方案有三种：一是进行较大 规模的投资，年生产能力为2500万瓶，其每年的固 定成本费用为300万元；二是进行较小规模的投资， 年生产能力1000万瓶，其每年的固定成本费用为100 万元 ；三不推出该种啤酒。假定在未考虑固定费用 的前提下，每售出一瓶酒，均可获纯利0.3元。据预 测，这种啤酒可能的年销售量为：50万瓶、1000万 瓶和2500万瓶，这三种状况发生的概率分别为：0.2 、0.3、0.5。 试编制该问题的收益矩阵表。
•
（3）决策行动的收益函数或损失函数
• 决策行动的结果完全可以统一用损失函数表示 。在统计决策理论中，常用的损失函数主要有 以下几种：
• ①线性损失函数：决策行动的结果是决策者所 采取的行动和客观环境的线性函数。形式为：
k1 ( ), L( , ) k2 ( ),
行动方案α可取得的收益大于决策者的渴望收益百度文库
, ) Q* ] ，则按照渴望水平原 值的概率为 P[Q (
则，决策者的最佳行动方案α*就是满足下式的行 动方案：
P[Q( , ) Q ] Max P[Q( , ) Q ]
* * *
A
6.3.3 决策树技术
1.决策树是求解风险型决策问题的重要工具,它是一 种将决策问题模型化的树形图。决策树由决策点、方 案枝、机会点、概率枝和结果点组成。 2.利用决策树对方案进行比较和选择，一般采用逆向 分析法，即先计算出树形结构的末端的条件结果，然 后由此开始，从后向前逐步分析。
H ( ) Max Q( , ) (1 ) Min Q( , )
以期望收益值最大的方案作为所要选择的方案。该 准则的数学表达式为：
H (a ) Max H ( )
*
A
【例3】 假设例1中,有关市场状态的概率不知,根 据经验判断的乐观系数为0.6,试根据折衷准则进行 决策。 解： 将有关数据代入公式，可得： H(Q(a1)) = 0.6×450 +(1－0.6)(-285)= 156 H(Q(a2)) = 0.6×200 +(1－0.6)(－85)= 86 H(Q(a3)) = 0.6×0 +(1－0.6)×0 = 0 因为在可选择的方案中，方案一的期望收益值 较大，所以根据折衷原则，应选择方案一 .
策者选取的行动方案α*必须满足：
R( ) Min R( )
*
A
（2）最大可能准则 该准则主张以最可能状态作为选择方案时考
虑的前提条件。所谓最可能状态，是指在状态空
间中具有最大概率的那一状态。按照最大可能准 则，在最可能状态下，可实现最大收益值的方案 为最佳方案。 最大可能准则是将风险条件下的决策问题，
• ②平方误差损失函数 • 是用决策行动值α与客观环境状态参数值θ的偏
差平方来度量决策行动的损失。
• 函数形式为：
L( , ) ( )
2
• 如果对于客观环境状态参数的不同值，决策行动 值偏差的损失不同，那应该给不同状态的偏差赋 予不同的权重，就有加权平方误差损失函数,形式 为：
L( , ) w( )
2
• 当客观环境的状态集为 (θ1 , θ2 ,,θn ) ，且决策者 A (a1 , a2 ,, am ) 时，决策行动的收益函数 的行动集为 或损失函数将只有有限的nm个数值，可以将它们 排列成一个矩阵表，如下：
表 1 收益矩阵表 状态 概率 方 a1 a2 „ am θ P1 L11 L21 „ L m1
简化为确定条件下的决策问题。只有当最可能状
态的发生概率明显大于其他状态时，应用该准则
才能取得较好的效果。
【例5】 试利用例1中给出的收益矩阵表的资料， 根据最大可能准则选择最佳的投资方案。
解： 该例的各种自然状态中，“市场需求大”
的概率最大，因此，该状态为最可能状态。在市场 需求大的状态下，方案一可以获得最大的收益。所 以，根据最大可能准则，应选择方案一。
素之外，还掌握有客观环境的各种可能状态出
现的先验概率分布，就可以使用先验概率型决
策分析方法进行分析。
• 6.3.2 先验概率型决策的准则
• （1）期望损益准则
•
期望损益准则是以每个行动方案的期望收益或 期望损失为标准，选出期望收益最大或者期望损失 最小的行动方案作为最终确定的行动方案。
记决策者选中的行动方案为α*，按照期望损 益准则进行决策就有：
6.1 统计决策的要素和程序
6.1.1 统计决策的概念 所谓决策就是在占有一定信息的基础上，利用各 种方法，对影响特定目标的各种因素进行计算和分 析，从而选择关于未来行动的“最佳方案”和“满
意方案”的过程。
统计决策是指主要依靠统计分析推断方法进行的
决策。
统计决策的分类
• 根据决策者对客观环境的了解程度不同，可以将
决策问题分为确定性决策和非确定性决策。
• 非确定性决策可细分为概率型决策和非概率型决
策。
• 非概率型决策和概率型决策都属于风险型决策。
6.1.2 统计决策的要素
• 一般来说，进行统计决策，必须具有以下三个基
本要素：
• （1）客观环境的可能状态集
• （2）决策者的可行行动集
• （3）决策行动的收益函数或损失函数
Q( , ) Max MinQ ,
*
A
式中，a* 是所要选择的方案。
例2：假设例1中,有关市场状态的概率完全不知道， 试根据大中取大准则和小中取大准则进行决策。 解：（1）例1中，方案一在各种状态下的最大收益 为450万元，方案二在各种状态下的最大收益为200 万元，方案三在各种状态下的最大收益为0，根据大 中取大准则，应选择方案一。
某项投资的损失矩阵表 需求大 0 250 450 需求中 200 0 200
单位：万元
方 案
状态 方案一 方案二 方案三
需求小 285 85 0
6.3 先验概率型决策
• 6.3.1 先验概率型决策的条件 如果决策者除了掌握有客观环境的可能状 态集、决策者的可行行动集和决策行动的收益 函数或损失函数这三个进行决策分析的基本要
• （1）客观环境的可能状态集
•
如果记客观环境的第i个可能状态为θi，并记客 观环境的全部可能状态的集合为Θ，则就有Θ={θi} 。对于统计决策来说，客观环境的可能状态集必须是 确知的。
• （2）决策者的可行行动集 • 对于任何一个决策问题，决策者都会有多个可供 选择的行动方案，这些方案就构成了决策者的选择空 间，称为行动空间。 如果记决策者可采取的第j种行动为aj，并记决 策者的全都行动集合为A，则有A={aj}。
（4）大中取小准则
后悔值又称机会损失值，即由于决策失误而造成 的真实际收益值与最大可能的收益值的差距。方案ai 在状态θj下的后悔值，可按下式计算： rij Max Q(ai , j ) qij
式中，Q (ai ,θj )是在第j种状态下，正确决 策有可能得到的最大收益，qij是收益矩阵的元素。 如果实际选择的方案正好是这种状态下的最优 方案,则后悔值为0；如果实际选择的方案不如最优 方案，决策者就会感到后悔。后悔值越大表明所选 的方案与最优方案差距越大。显而易见，rij≥0 。 最小的最大后悔值准则的数学表达式为：
方案。 • （4）决策的执行 • 找到最佳的行动方案以后，决策者就需要按照这 一行动方案去行动，只有通过行动方案的具体实
施，才能最终达到决策者期望的决策目标。
6.2 非概率型决策
• 6.2.1 非概率型决策的条件 • 非概率型决策就是在仅仅具备决策的三个基本要 素的条件下的决策。
• 首先，必须对客观环境的可能状态有所了解；
达到的结果。它由所研究的问题决定，决策目标需
要准确、简明、可测。
（2）拟定备选方案 备选方案是实现目标的各种可能途径，一般两个 以上，所有被选方案称为行动空间，拟定备选方案 需要充分调研。
• （3）通过比较分析选出最佳的行动方案
• 对于已拟定的各种行动方案，还需要进一步对其
进行比较分析，以选出对决策者来说最佳的行动
第6章 统计决策分析
重点与难点
重点： 非概率型决策和概率型决策的应用条件及准则 先验概率型决策模型、方法以及应用 后验概率型决策模型、方法以及应用 难点： 先验概率型决策方法 后验概率型决策方法
学习内容：
• 一、统计决策的要素和程序
• 二、非概率型决策
• 三、概率型决策：先验概率型决策和后验
概率型决策
• 其次，拟订出多种可行的行动方案；
• 最后，给出决策行动的收益函数或损失函数，最
后作出决策。
6.2.1 非概率型决策的准则
（1）大中取大准则
该准则又称乐观准则或“好中求好”准则。其
特点是决策者对未来形势比较乐观。在决策时，先
选出各种状态下每个方案的最大收益值，然后再从 中选择最大者，并以其相对应的方案作为所要选择 的方案。该准则的数学表达式为：
i
在市场需求小的情况下，采用方案三可获得最大收益，故有: Max Q(ai , 3 ) 0
i
将其代入公式，可求得以下损失矩阵（参见表3）。 (2)由表3可知：方案一的最大损失值为285万元，方案二的 最大损失值为250万元，方案三的最大损失值为450万元。根据大 中取小准则，应选择方案二。
表3
（2）例1中，方案一在各种状态下的最小收益为-285 万元，方案二在各种状态下的最小收益为-85万元， 方案三在各种状态下的最小收益为0，根据小中取大 准则，应选择方案三。
（3）折衷准则
该准则认为，对未来的形势既不应盲目乐观，也不 应过分悲观。主张根据经验和判断确定一个乐观系数 α （0≤α≤1），以α和1-α分别作为最大收益值和最小 收益值的权数，计算各方案的期望收益H（α）。
•
E[Q( , )] MaxE[Q( , )]
*
A
或E[ L( , )] MinE [ L( , )]
*
A
•
决策者各个行动的期望损失通常称为该行动 的风险，即为R(a)，即有：
•
•
R(a)=E[L(θ,α)]
根据期望损益原则，应选中期望损失最小的
决策准则，也可以称为风险最小的决策准则，决
（3）渴望水平准则 在有些决策准则中，决策者必须取得某个数
额的收益以应付某种用途，收益少于这个数额，
不足以应付这种用途之需，收益多于这个数额， 也没有用。 渴望水平准则是以决策者的渴望收益值为标 准，选取最大可能取得此渴望收益值的行动方案
作为所选择的行动方案。
若记决策者的渴望收益值为Q*，决策者采取
表 2 啤酒投资的收益矩阵表 状态 概率 方案一 方案二 方案三 需求大 0.5 450 200 0
单位：万元
方 案
需求中 0.3 0 200 0
需求小 0.2 －285 －85 0
6.1.3 统计决策的程序
一个完整的统计决策过程，包括以下几个基本步骤： （1）确定决策目标
决策目标就是在一定条件制约下，决策者下期望
i
a Min Maxrij
* i j
【例4】 假设例9-1中,有关市场状态的概率完全不知道，试求出后 悔矩阵并根据大中取小准则进行决策。 解：(1)在市场需求大的情况下,采用方案一可获得最大收益,有: Max Q(ai ,1 ) 450
i
在市场需求中的情况下，采用方案二可获得最大收益，故有: Max Q(ai , 2 ) 200
解：首先分别计算不同状态下采用不同方案可能带来的收益 例如，当需求量大（年销售2500万瓶）时， 方案一的收益为： 0.3*2500-300=450万元； 方案二的收益为： 0.3*1000-100=200万元； 方案三的收益为： 0 其他状态的收益计算方法相同，过程不一一列出。 在以上计算的基础上，可编制如下收益矩阵表。
Q( , * ) Max MaxQ ,
A
式中，a* 是所要选择的方案。
（2）小中取大准则
该准则又称悲观准则或“坏中求好”准则。它正
好与乐观准则相反，决策者对未来形势比较悲观。
在决策时，先选出各种状态下每个方案的最小收益 值，然后再从中选择最大者，并以其相对应的方案 作为所要选择的方案。该准则的数学表达式为：