最新--2学年度-《泛函分析》期末试题1资料
泛函分析期末考试题库及答案
泛函分析期末考试题库及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 以下哪个概念不是泛函分析中的基本概念？A. 线性空间B. 拓扑空间C. 度量空间D. 向量空间答案： D2. 一个线性算子是连续的，当且仅当：A. 它是有界的B. 它的逆算子存在C. 它在定义域上处处定义D. 它在值域上处处定义答案： A3. 一个线性泛函在定义域上的连续性意味着：A. 它在定义域上处处定义B. 它在定义域上处处连续C. 它在定义域上处处可微D. 它在定义域上处处可导答案： B4. 希尔伯特空间中的一个向量是：A. 有限维的B. 可数维的C. 可测的D. 完备的答案： D二、填空题（每题5分，共20分）1. 一个线性算子的核是指所有使得算子映射为零向量的向量集合，用符号表示为______。
答案： Ker(T)2. 一个线性算子的值域是指所有可能的像的集合，用符号表示为______。
答案： Im(T)3. 一个线性空间是完备的，如果它是在某种______下的完备度量空间。
答案：范数4. 一个线性泛函在定义域上的连续性等价于它在定义域上的______。
答案：有界性三、简答题（每题10分，共30分）1. 简述什么是紧性以及在泛函分析中的重要性。
答案：紧性是指一个拓扑空间中任意开覆盖都存在有限子覆盖的性质。
在泛函分析中，紧性保证了某些函数类（如连续函数）在紧集上的极值存在性，这对于证明某些存在性定理和优化问题至关重要。
2. 解释什么是线性泛函的弱收敛性，并给出一个例子。
答案：线性泛函的弱收敛性是指对于定义域中的每一个向量，线性泛函在该向量上的值收敛。
例如，考虑在L^2空间上的线性泛函，如果一个函数序列在L^2空间中弱收敛于某个函数，那么对于每一个连续线性泛函，该泛函在函数序列上的值序列收敛于该泛函在极限函数上的值。
3. 描述什么是Riesz表示定理，并说明其在泛函分析中的应用。
答案： Riesz表示定理指出，在希尔伯特空间中，每一个连续线性泛函都可以由一个唯一的向量表示。
泛函分析考试题型及答案
泛函分析考试题型及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 设函数空间E为所有连续函数的集合，定义泛函F(u)=∫₀¹u(x)dx，则F(u)是线性的。
A. 正确B. 错误答案：A2. 每一个线性泛函都可以表示为一个内积。
A. 正确B. 错误答案：B3. 泛函分析中的“泛函”一词指的是函数的函数。
A. 正确B. 错误答案：A4. 弱收敛和强收敛是等价的。
A. 正确B. 错误答案：B5. 紧算子总是有界算子。
A. 正确B. 错误答案：A6. 每一个闭算子都是有界的。
A. 正确B. 错误答案：B7. 每一个有界线性算子都是紧算子。
A. 正确B. 错误答案：B8. 每一个线性泛函都可以用Riesz表示定理表示。
A. 正确B. 错误答案：A9. 每一个线性算子都可以分解为一个紧算子和一个有界算子的和。
A. 正确B. 错误答案：B10. 每一个线性算子都可以分解为一个有界算子和一个紧算子的和。
A. 正确B. 错误答案：A二、填空题（每题3分，共15分）1. 设X是赋范线性空间，如果对于X中的每一个序列{x_n}，都有‖x_n‖→0当且仅当x_n→0，则称X是______空间。
答案：完备2. 设T是线性算子，如果T(X)是X的闭子空间，则称T是______算子。
答案：闭3. 设E是Hilbert空间，如果对于每一个x∈E，都有∥Tx∥≥∥x∥，则称T是______算子。
答案：正4. 设E是Banach空间，如果对于每一个序列{x_n}⊂E，都有∑‖x_n‖<∞当且仅当∑x_n收敛，则称E是______空间。
答案：自反5. 设E是线性空间，如果对于每一个序列{x_n}⊂E，都有∑x_n收敛当且仅当∑‖x_n‖<∞，则称E是______空间。
答案：序列完备三、简答题（每题10分，共30分）1. 简述Hahn-Banach定理的内容。
答案：Hahn-Banach定理指出，如果X是一个赋范线性空间，p是X 的一个线性子空间，f是p上的一个线性泛函，并且存在一个常数M使得对于所有x∈p，有|f(x)|≤M‖x‖，则存在X上的一个线性泛函F，使得F|p=f，并且对于所有x∈X，有|F(x)|≤M‖x‖。
泛函分析考试题集与答案
泛函分析复习题20211．在实数轴R 上，令p y x y x d ||),(-=，当p 为何值时，R 是度量空间，p 为何值时，R 是赋范空间。
解：假设R 是度量空间，所以R z y x ∈∀,,，必须有：),(),(),(z y d y x d z x d +≤成立即p p p z y y x z x ||||||-+-≤-，取1,0,1-===z y x ， 有2112=+≤ppp，所以，1≤p假设R 是赋范空间，p x x x d ||||||)0,(==，所以R k x ∈∀,， 必须有：||||||||||x k kx ⋅=成立，即p p x k kx ||||||=，1=p ， 当1≤p 时，假设R 是度量空间，1=p 时，假设R 是赋范空间。
2．假设),(d X 是度量空间，则)1,min(1d d =，ddd +=12也是使X 成为度量空间。
解：由于),(d X 是度量空间，所以X z y x ∈∀,,有： 1〕0),(≥y x d ，因此0)1),,(min(),(1≥=y x d y x d和0),(1),(),(2≥+=y x d y x d y x d且当y x =时0),(=y x d ，于是0)1),,(min(),(1==y x d y x d 和0),(1),(),(2=+=y x d y x d y x d以及假设0)1),,(min(),(1==y x d y x d 或0),(1),(),(2=+=y x d y x d y x d均有0),(=y x d 成立，于是y x =成立 2〕),(),(y x d x y d =，因此),()1),,(min()1),,(min(),(11y x d y x d x y d x y d === 和),(),(1),(),(1),(),(22y x d y x d y x d x y d x y d x y d =+=+=3〕),(),(),(z y d y x d z x d +≤，因此 以及设x x x f +=1)(，0)1(1)(2>+='x x f ，所以)(x f 单增， 所以),(),(1),(),(),(1),(),(2z y d y x d z y d y x d z x d z x d z x d +++≤+=综上所述)1,min(1d d =和ddd +=12均满足度量空间的三条件， 故),(1y x d 和),(2y x d 均使X 成为度量空间。
泛函分析期末试题及答案
泛函分析期末试题及答案一、选择题1. 下列哪个不是泛函分析的主要研究对象？A. 函数空间B. 向量空间C. 线性映射D. 点集答案：D2. 泛函是指将一个向量空间的元素映射到一个标量的函数。
以下哪个选项是泛函的定义？A. 函数空间B. 向量空间C. 线性映射D. 函数空间的对偶空间答案：C3. 在泛函分析中，范数是一种度量向量空间中向量大小的方法。
以下哪个选项是范数的定义？A. 函数空间B. 向量空间C. 线性映射D. 函数空间的对偶范数答案：B4. 下列哪个不是泛函分析中的基本定理？A. 嵌入定理B. 开铃定理C. Hahn-Banach定理D. Banach-Steinhaus定理答案：B5. 泛函分析中的内积是指满足一定条件的映射。
以下哪个选项是内积的定义？A. 函数空间B. 向量空间C. 线性映射D. 内积空间答案：D二、填空题1. 完成下列范数的定义：范数是一个实值函数，对于一个向量空间中的向量x，满足以下三个性质：(1) 正定性：||x|| ≥ 0，且当且仅当x=0时，||x|| = 0；(2) 齐次性：对于任意实数a，||ax|| = |a| · ||x||；(3) 三角不等式：对于任意两个向量x和y，||x+y|| ≤ ||x|| + ||y||。
2. 填写完整的Hahn-Banach定理的表述：设X是一个实或复数的线性空间，Y是X的一个线性子空间，f是定义在Y上的线性泛函，对于所有的y∈Y，有f(y) ≤ p(y)，其中p是X上的一个次线性泛函，且满足p(y) ≤ p(x)对所有的x∈X成立，则存在一个定义在整个X上的线性泛函F，满足F(x) ≤ p(x)对所有的x∈X成立，并且在Y上，F和f的限制是相等的。
三、计算题1. 对于给定的函数空间C[0,1]，计算函数f(x) = x^2在C[0,1]上的范数。
解答：根据范数的定义，范数是一个实值函数，对于一个向量空间中的向量x，满足以下三个性质：(1) 正定性：||x|| ≥ 0，且当且仅当x=0时，||x|| = 0；(2) 齐次性：对于任意实数a，||ax|| = |a| · ||x||；(3) 三角不等式：对于任意两个向量x和y，||x+y|| ≤ ||x|| + ||y||。
(完整word版)理工大泛函分析复习题
一、（10分）设(,)d x y 为空间X 上的距离。
证明(,)(,)1(,)d x y d x y d x y =+ 也是X 上的距离。
1、 求证 为 空间。
（其中 为 空间, 为 空间）2、 S 是由一切序列 组成的集合, 在S 中定义距离为3、 , 求证S 是一个完备的距离空间。
4、 Hilbert 空间X 中的正交投影算子为线性有界算子。
5、 附加题开映射定理( ) 设 都是 空间, 若 是一个满射, 则 是开映射。
Hahn —Banach 延拓定理( ) 设 是 空间, 是 的线性子空间, 是定义在 上的有界线性泛函, 则在 上必有有界线性泛函 满足：()()()()()()()000012f x f x x X f f =∀∈=延拓条件；保范条件，其中00f 表示0f 在0X 上的范数。
闭图像定理( ) 设 都是 空间, 若 是 的闭线性算子, 并且 是闭的, 则 是连续的。
共鸣定理( ) 设 是 空间, 是 空间, 如果, 那么存在常数 , 使得()A M A W ≤∀∈。
五、（10分）在 上定义内积:（1）如果21(),6f x x x =-+求||||f ； （2）证明任一函数()g x a bx =+都正交于21()6f x x x =-+。
六、（10分）设 为Hilbert 空间 的闭子空间, 证明对每个 必存在唯一的 有0inf y Mx x x y ∈-=- 七、（15分）设 , 求证: 。
八、（15分）简答题1.试说明 与 中函数的差异；一、2.泛函分析也称无穷维分析, 为什么要研究无穷维分析, 试举例说明；3.Hilbert 空间是最接近有限维Euclid 空间的空间，请做简要说明。
二、在 上定义内积 ,若记 为 中奇函数全体, 为 中偶函数全体, 求证： 且。
三、设 为内积空间 中的一个稠密子集, 且 , 证明 。
在 中赋予距离 问 是完备空间吗？ 为什么？设 若 是从 的算子, 计算 若 是从 的算子再求 。
(完整word版)泛函分析试卷
泛函分析期末考试试卷（总分100分） 一、选择题（每个3分，共15分）1、设X 是赋范线性空间，X y x ∈,，T 是X 到X 中的压缩映射，则下列哪个式子成立（ ）.A ．10<<-≤-αα， y x Ty Tx B.1≥-≤-αα， y x Ty Tx C.10<<-≥-αα， y x Ty Tx D.1≥-≥-αα， y x Ty Tx 2、设X 是线性空间，X y x ∈,，实数x 称为x 的范数,下列哪个条件不是应满足的条件：（ ）.A. 0等价于0且,0==≥x x xB.()数复为任意实,αααx x =C. y x y x +≤+D. y x xy +≤ 3、下列关于度量空间中的点列的说法哪个是错误的（ ）. A ．收敛点列的极限是唯一的 B. 基本点列是收敛点列 C ．基本点列是有界点列 D.收敛点列是有界点列 4、巴拿赫空间X 的子集空间Y 为完备的充要条件是（ ）. A ．集X 是开的 B.集Y 是开的 C.集X 是闭的 D.集Y 是闭的5、设(1)p l p <<+∞的共轭空间为q l ，则有11p q+的值为（ ）.A. 1-B.12 C. 1 D. 12- 二、填空题（每个3分，共15分）1、度量空间中的每一个收敛点列都是（ ）。
2、任何赋范线性空间的共轭空间是（ ）。
3、1l 的共轭空间是（ ）。
4、设X按内积空间<x,y>成为内积空间，则对于X中任意向量x,y 成立不等式（）当且仅当x与y线性相关时不等式等号成立。
5、设T为复希尔伯特空间X上有界线性算子，则T为自伴算子的充要条件是（）。
三、判断题（每个3分，共15分）1、设X是线性赋范空间，X中的单位球是列紧集，则X必为有限维。
( )2、距离空间中的列紧集都是可分的。
( )3、若范数满足平行四边形法则，范数可以诱导内积。
( )4、任何一个Hilbert空间都有正交基。
泛函分析试题及答案
泛函分析试题及答案一、选择题1. 在泛函分析中，以下哪个概念描述了一个函数对于输入变量的敏感程度？A. 泛函B. 导数C. 凸函数D. 可测函数答案：B. 导数2. 设X和Y是两个Banach空间，f:X→Y是一个线性算子。
以下哪个条件可以保证f是有界线性算子？A. f是可逆的B. f是连续的C. f是紧致的D. f是自共轭的答案：B. f是连续的3. 在泛函分析中，以下哪个概念描述了一个函数在每个点上的局部模式与全局模式之间的一致性？A. 可微性B. 凸性C. 全纯性D. 一致连续性答案：B. 凸性4. 设X和Y是两个赋范空间，f:X→Y是一个线性算子。
以下哪个条件可以保证f是有界线性算子？A. f是单射且存在常数C>0，使得对于所有x∈X都有||f(x)|| ≤C||x||B. 对于每个有界集A ⊂ X，f(A)是有界集C. f是连续的D. f是满射答案：A. f是单射且存在常数C>0，使得对于所有x∈X都有||f(x)|| ≤ C||x||二、填空题1. 在Hilbert空间中，内积运算满足线性性和_____________性。
答案：共轭对称性2. 设X是一个有界完备度量空间，那么X是一个____________空间。
答案：Banach空间3. 在泛函分析中，将一个函数的导数定义为其_____________。
答案：弱导数4. 设X是一个线性空间，D是X上的一个有界线性算子。
如果对于所有x和y都有⟨Dx, y⟩ = ⟨x, Dy⟩，那么D被称为______________。
答案：自伴算子三、解答题1. 请简要说明什么是范数，并给出一些范数的例子。
范数是定义在一个线性空间上的一种函数，用于衡量该空间中的向量的大小。
它满足以下三个性质：- 非负性：对于任意向量x，其范数必须大于等于0，即||x|| ≥ 0，并且当且仅当x为零向量时，范数等于0。
- 齐次性：对于任意向量x和任意实数α，有||αx|| = |α| ||x||，其中|α|表示α的绝对值。
泛函分析2
泛函分析②第 1 页 共 1 页 泛函分析期末复习卷一、判断题（40）1．同一个线性空间可能赋予不同的范数． （ ）2．Banach 空间中的有界元素列必有收敛子列． （ ）3．距离空间的每一个子空间非稠密即稀疏． （ ）4．X 和Y 是Banach 空间，如果:T X Y →是闭线性算子，则T 是连续算子． （ ）5．Banach 空间中的两个元素x 和y 相等的充分必要条件是范数x y =． （ ）6．每个无限维、可分的Hilbert 空间都是等距同构的． （ ）7．两个Banach 空间的乘积空间可以适当赋范后成为Banach 空间． （ ）8．每个赋范空间的共轭空间（也称对偶空间）一定是Banach 空间． （ ）9．Banach 空间的子空间也是Banach 空间． （ ）10．若Banach 空间的二次对偶空间**X 可分，则X 也是可分空间． （ ）二、选择题（40）11．设X 是如下空间之一：①赋范线性空间；②距离空间；③完备的距离空间；④Banach空间；⑤Hilbert 空间；⑥内积空间．那么 （ ） a ．当X 是①时必是②；b ．当X 是④时必是③；c ．当X 是①时必是⑥；d ．当X 是⑤时必是④．12．设A 是Banach 空间X 的一个子集，则A 准紧的充分条件是： （ ）a ．A 中的每一列元素有收敛子列；b ．A 是紧集；c ．对取定的每一个X 上的连续线性泛函f ，数集(){()}f A f x x A =∈是有界集；d ．A 是有限点集．13．收敛于0的数列全体构成的空间记为0c ，则 （ ）a ．它是自反的Banach 空间；b ．它的对偶（共轭）空间是1l ；c ．它是不可分的Banach 空间；d ．它作为l ∞的一个子集是第二纲集．14．设X 和Y 是Banach 空间，线性算子:T X Y →连续．那么T 满射的充分条件是（ ）a ．T 的值域含有一个Y 的内点；b ．T 的值域包含Y 的单位球面；c ．T 的值域是Y 中第二纲集；d ．T 的值域在Y 中闭而且稠．15．设{}n A x =是无限维Banach 空间X 的一列元，{}n span x spanA =表示{}n A x =的线性张，那么 （ ） a ．spanA 是X 的子空间；b ．spanA X ≠；c ．spanA 不是X 的闭子空间；d ．spanA 是一纲集．三、论证题（20）（3选2作答）16．设1*()f l ∈，证明：存在一个{}n a a l ∞=∈，使得对每个11{},()n n nn x x l f x a x ∞==∈=∑且f a =． 17．给定一个数列1,(1,2,3,)n a n n==，对每个2{}n x x l =∈，按{}n n Tx a x =定义一个从2l 到自身的线性算子．（1）证明：2()T L l ∈，并求出T 的范数；（2）求T 的谱和特值值（点谱）；（3）问T 是否满射？值域是否闭？值域是否稠？（要说明理由）18．设1[,]C a b 表示[0,1]上有连续导函数的空间，它视为是连续函数空间[,]C a b 的一个子空间，又设T 是从1[,]C a b 到[,]C a b 的求导算子．（1）证明T 是闭线性算子；（2）说明T 是否是有界线性算子；（3）说明闭图像定理对本例是否适用；（4）有人说本例从“软分析”说明：存在有连续导数的函数列{}n f ，而{}n f 的致收敛极限f 却没有连续的导函数（甚至处处不可导），对吗？试做解释．。
《 泛函分析》期末试题
存在 xn X , xn 0 使得 Txn . 3 （15 分） 设 X 是 Banach 空间， An , A B( X ), 则 An x Ax, x X 当且仅当{ An }
有界并且存在子集合 G 使得 spanG X ，在 G 上 An x Ax. 4 （15 分） 对于内积空间 H 中的规范正交集{e1, , en}和 H 中的 x ，证明函数
n
f (1, , n ) x iei 当且仅当 i (x, ei ) （ i 1, , n) 时达到 i1
极小值。
5 （15 分） 设 H 是 Hilbet 空间，{en , n 1}是其中的规范正交系。证明级数 nen 按 n1 H 的范数收敛等价于弱收敛。
《 泛函分析》期末试题
1（20 分） 证明非ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ性积分方程
b
x(t) a K (t, s, x(s))ds y(t), t [a,b]
在 足够小时有唯一连续解。这里 y(t) C[a,b], K : [a,b][a,b] R R
连续并且满足
K(t, s,1) K(t, s, 2 ) L1 2 , t, s [a,b]. 2 (15 分) 设 X ,Y 是线性赋范空间，T : X Y 是线性算子, 则T 不是有界的当且仅当
泛函分析试卷与答案
泛函分析试卷与答案【篇一：泛函分析习题参考答案】证明：显然为空间x上的距离，试证：~d(y,x)也是xd(y,x)?1?d(y,x)上的距离。
~~d(x,y)?0,并且d(x,y)?0d(x,y)0xy。
~~d(y,x)d(x,y)d(y,x)d(x,y)；1?d(y,x)1?d(x,y)t1?1?1?t1?t的单调增加性及再者，最后，由d(x,y)?d(x,z)?d(z,y)，可得~d(x,y)d(x,z)?d(z,y)d(x,z)d(z,y)d(x,y)1?d(x,y)1?d(x,z)?d(z,y)1?d(x,z)?d(z,y)1?d(x,z)?d(z,y)~~d(x,z)d(z,y)d(x,z)?d(z,y)。
1?d(x,z)1?d(z,y)、设二p?1，xn?(?1(n),?,?i(n),?)?lp，n?1,2,?，x?(?1,?,?i,?)?lp，则n??时，p??d(xn,x)i(n)??i??0的充要条件为(1)n??时，?i(n)??i，i?1,2,?；(2)0，i1存在n?0，使得i?n?1i(n)p对任何自然数n成立。
(n)(n)必要性证明：由d(x,x)?ni??i??0可知，?i??i，i?1,2,?。
i1p由x?(?1,?,?i,?)?l。
p可知，，存在n1?0，使得i?n1?1p?(n)ii?(p?i?1pi(p2，并且n?n1时，2p由此可得，i?n1?1i(n)ppppi(n)??ii????p对n?n1成立。
i?n1?1i?n1?1p对于n?1,2,?n1，存在n2?0，i?n2?1i(n)pp。
取n?max?n1,n2?，则i?n?1(n)pip对任何自然数n成立。
0，存在k?0，使得充分性证明：由条件可知，i?k?1时，k(n)pi(2ip对任何自然数n成立，并且i?k?1pi(p2。
由(n)i??i可知，存在n?0，使得n?n i?1(n)ipp，并且d(xn,x)pi?1(n)i??ipi?1k(n)i??i?pi?k?1pi(n)ipi(n)??ii?1kp(n)ppp?(i)?(i)p2?p。
泛函分析考试题型及答案
泛函分析考试题型及答案
1. 单项选择题
(1) 泛函分析中，Banach空间的定义是：
A. 完备的赋范线性空间
B. 完备的有界线性空间
C. 完备的线性空间
D. 有界线性空间
答案：A
2. 填空题
(2) 在泛函分析中，如果线性算子T:X→Y是连续的，则称T为
________。
答案：有界线性算子
3. 计算题
(3) 设线性算子T:ℝ^n→ℝ^m，且T是连续的。
证明：如果T是单射的，则T是开映射。
答案：证明略。
4. 简答题
(4) 简述Hahn-Banach定理的内容。
答案：Hahn-Banach定理指出，如果p是实数域上的线性泛函，定义在向量空间X的一个子空间M上，并且存在常数c>0使得对于所有x∈M，有|p(x)|≤c‖x‖，那么存在X上的线性泛函P，使得对于所有x∈M，P(x)=p(x)，并且对于所有x∈X，有|P(x)|≤c‖x‖。
5. 论述题
(5) 论述闭图定理及其在泛函分析中的应用。
答案：闭图定理是泛函分析中的一个重要定理，它指出如果T:X→Y 是一个线性算子，并且T的图是X×Y中的闭集，则T是连续的。
这个
定理在研究线性算子的连续性时非常有用，因为它提供了一个判断线
性算子连续性的几何方法。
在泛函分析中，闭图定理可以用来证明一
些算子的连续性，或者在研究算子的紧性、有界性等性质时作为工具。
6. 证明题
(6) 证明：如果X和Y是Banach空间，T:X→Y是一个有界线性算子，那么T的值域是闭的当且仅当T*:Y*→X*是满射的。
答案：证明略。
泛函分析期末考试题库及答案
泛函分析期末考试题库及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 泛函分析中，下列哪个概念不是线性空间？A. 所有实数构成的集合B. 所有连续函数构成的集合C. 所有有界线性算子构成的集合D. 所有可测函数构成的集合答案：D2. 在Banach空间中，下列哪个性质是定义所必需的？A. 完备性B. 线性C. 有界性D. 连续性答案：A3. 希尔伯特空间中的内积满足哪些性质？A. 线性、对称性和正定性B. 线性、反对称性和正定性C. 线性、对称性和反对称性D. 反对称性、正定性和有界性答案：A4. 下列哪个定理是泛函分析中的闭图定理？A. Hahn-Banach定理B. Tychonoff定理C. Banach-Steinhaus定理D. Riesz表示定理答案：C5. 线性算子的有界性是指什么？A. 算子的值域是有界的B. 算子的核是有界的C. 算子的值域是完备的D. 算子的范数是有限的答案：D6. 在泛函分析中，紧算子的定义是什么？A. 算子的值域是紧集B. 算子的核是紧集C. 算子的值域是有限维的D. 算子是连续的且有界答案：A7. 下列哪个概念是泛函分析中对偶空间？A. 线性空间B. 赋范线性空间C. 线性算子D. 线性泛函构成的空间答案：D8. 在泛函分析中，弱收敛和强收敛的区别是什么？A. 弱收敛涉及内积，强收敛涉及范数B. 弱收敛涉及范数，强收敛涉及内积C. 弱收敛和强收敛是等价的D. 弱收敛和强收敛都是线性的答案：A9. 泛函分析中的单位圆盘是指什么？A. 所有模长小于1的复数构成的集合B. 所有模长等于1的复数构成的集合C. 所有模长大于1的复数构成的集合D. 所有实部大于1的复数构成的集合答案：B10. 泛函分析中，下列哪个定理是关于线性泛函的表示？A. Riesz表示定理B. Riesz-Fischer定理C. Riesz-Thorin插值定理D. Riesz-Szegö不等式答案：A二、填空题（每题2分，共20分）1. 在泛函分析中，如果一个线性算子是单射的，那么它的核是________。
泛涵分析考试题及答案
泛涵分析考试题及答案一、单项选择题（每题5分，共20分）1. 泛函分析中，下列哪个概念不是线性算子？A. 线性变换B. 线性映射C. 线性泛函D. 非线性映射答案：D2. 在希尔伯特空间中，以下哪个是完备的内积空间？A. 有限维欧几里得空间B. 无限维欧几里得空间C. 有界序列空间D. 所有实数序列空间答案：A3. 泛函分析中的紧算子是指什么？A. 有界算子B. 线性算子C. 将有界集映射到相对紧集的算子D. 将有界集映射到紧集的算子答案：D4. 下列哪个定理是泛函分析中的闭图定理？A. 开映射定理B. 闭图定理C. 赫尔德不等式D. 里斯表示定理答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 在泛函分析中，如果一个线性算子的值域是整个空间，则称该算子为________。
答案：满射2. 泛函分析中的________定理是研究线性算子有界性的重要工具。
答案：一致有界性3. 希尔伯特空间中的________定理说明了每一个有界线性泛函都可以由一个唯一的向量表示。
答案：里斯表示4. 如果一个线性算子是连续的，并且它的逆算子也是连续的，则称该算子为________。
答案：有界可逆三、简答题（每题10分，共20分）1. 请简述泛函分析中弱收敛和强收敛的区别。
答案：在泛函分析中，弱收敛是指序列在空间中任意连续线性泛函下收敛，而强收敛则是指序列在空间的范数下收敛。
弱收敛是比强收敛更弱的收敛形式，它不要求序列的范数收敛到极限的范数，只要求序列在每一个连续线性泛函下收敛到极限。
2. 请解释泛函分析中的巴拿赫空间和希尔伯特空间的区别。
答案：巴拿赫空间是完备的赋范线性空间，它要求空间中的每一个柯西序列都收敛于空间内的某一点。
而希尔伯特空间是巴拿赫空间的一种特殊形式，它除了满足巴拿赫空间的性质外，还具有内积结构，使得空间中的向量可以进行内积运算，并且内积诱导了一个范数。
希尔伯特空间中的内积结构使得它在研究线性算子和泛函时具有更多的性质和工具。
(完整word版)泛函分析题目集
泛函分析复习题一．选择题：1. 设 },,,,{21 n e e e 是希尔伯特空间H 上的一组规范正交系，则下列论断未必正确的是 ( )A. },,,,{21 n e e e 线性无关；B. 对任何的H x ∈，都有∑∞==122|),(|n n xe x ；C. 任意两组数N a a a ,,,21 ，N b b b ,,,21 都有 ∑∑∑====⎪⎭⎫ ⎝⎛Nn n n N n N n n n n n b a e b e a 111,；D. ()⎩⎨⎧≠==ji j i e e j i ,0,1,， ,3,2,1,=j i 。
2. 下列关于p L 空间（1≥p 且2≠p ）的论述不正确的是（ ）A. pL 空间是一个赋范线性空间；B. p L 空间是完备的；C. p L 空间是距离空间；D. p L 空间是希尔伯特空间。
3. 下列关于2L 空间的论述不正确的是（ ）A. 2L 空间是一个赋范线性空间；B. 2L 空间不一定完备的；C. 2L 空间是内积空间；D. 2L 空间是可分的。
4. 设X为一个实赋范线性空间，⋅为他上面的范数，则下面不正确的是（ ）A. 对任何X x ∈，都有0≥x ，B. 对任何X x ∈，R a ∈都有x a ax ||=，C. 对任何X x ∈，X y ∈，都有222y x y x +=+， D. 对任何X x ∈，X y ∈，都有y x y x +≤+。
5. 设X 为一个距离空间，下面不正确的是（ ）A. X 和空集φ都是开集；B. 任意多个开集的并还是开集；C. 任意多个开集的交也是开集；D. 有限多个开集的交也是开集。
6. 设X 为一个距离空间，下面不正确的是（ ）A. X 和空集φ都是闭集；B. 任意多个闭集的并还是闭集；C. 任意多个闭集的交也是闭集；D. 有限多个闭集的并也是闭集。
7. 下面论述正确的是（ ）A. 紧集不一定是有界的。
B. 紧集的子集一定是紧集。
应用泛函考试题及答案
应用泛函考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 泛函分析中，以下哪个概念描述了线性空间中元素的线性组合？A. 线性映射B. 线性泛函C. 线性算子D. 线性组合答案：D2. 在Banach空间中，以下哪个性质是完备性的等价条件？A. 每个有界序列都有一个收敛的子序列B. 每个序列都有一个收敛的子序列C. 每个有界线性泛函都有最小上界D. 每个线性泛函都有最小上界答案：A3. 以下哪个定理是泛函分析中研究紧算子的基本工具？A. Hahn-Banach定理B. Banach-Steinhaus定理C. Riesz表示定理D. 紧算子定理答案：D4. 线性算子的谱理论中，以下哪个概念描述了算子的非零特征值？A. 点谱B. 连续谱C. 剩余谱D. 离散谱答案：A5. 在泛函分析中，以下哪个概念用于描述两个线性算子之间的相似性？A. 同构B. 同态C. 同伦D. 同构同态答案：A二、填空题（每题2分，共10分）1. 如果线性算子T在Banach空间X上是紧的，那么对于X中的任何有界序列{$x_n$}，序列{$T(x_n)$}在X中有一个收敛的子序列。
2. 在Hilbert空间中，Riesz表示定理表明每个连续线性泛函都可以表示为与一个固定向量的内积。
3. 线性算子的谱由所有复数$\lambda$组成，使得算子$\lambda I -T$没有有界逆。
4. 紧算子的一个重要性质是它们将有界集合映射到相对紧的集合。
5. 在泛函分析中，Banach空间的对偶空间是指其上所有连续线性泛函的空间。
三、简答题（每题10分，共20分）1. 请简述Hahn-Banach定理在泛函分析中的意义。
答：Hahn-Banach定理是泛函分析中的一个基本定理，它保证了在局部线性空间中定义的线性泛函可以扩展到整个空间，同时保持其范数不变。
这一定理在研究线性算子、线性泛函以及它们的性质时起着至关重要的作用。
2. 描述一下紧算子在泛函分析中的应用。
泛函分析考试题型及答案
泛函分析考试题型及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 泛函分析中，下列哪个概念不是线性空间的基本元素？A. 向量B. 线性组合C. 线性映射D. 拓扑结构答案：D2. 在希尔伯特空间中，以下哪个性质不是内积空间必须具备的？A. 正定性B. 线性C. 对称性D. 交换性答案：D3. 下列哪个定理不是泛函分析中的基本定理？A. 赫尔德不等式B. 闵可夫斯基不等式C. 贝叶斯定理D. 一致有界性原理答案：C4. 巴拿赫空间是指完备的赋范线性空间，以下哪个条件不是巴拿赫空间必须满足的？A. 线性B. 赋范C. 完备性D. 有限维答案：D5. 在泛函分析中，紧算子是指将有界集映射到相对紧集的线性算子，以下哪个性质不是紧算子必须具备的？A. 线性B. 有界性C. 紧性D. 单射性答案：D6. 下列哪个概念不是泛函分析中的拓扑概念？A. 开集B. 闭集C. 连续性D. 线性映射答案：D7. 泛函分析中，下列哪个概念与巴拿赫空间无关？A. 赋范线性空间B. 完备性C. 紧性D. 线性答案：C8. 在泛函分析中，下列哪个性质不是线性泛函必须具备的？A. 线性B. 有界性C. 单射性D. 连续性答案：C9. 下列哪个定理不是泛函分析中解决方程问题的基本定理？A. 赫尔德定理B. 拉克斯-米尔格拉姆定理C. 贝祖定理D. 弗雷德霍姆选择定理答案：C10. 在泛函分析中，下列哪个概念不是线性算子的基本性质？A. 线性B. 有界性C. 紧性D. 可逆性答案：D二、填空题（每题2分，共20分）1. 泛函分析中的线性空间必须满足向量加法和标量乘法的______性。
答案：封闭2. 希尔伯特空间中的内积必须满足正定性、线性、对称性和______性。
答案：共轭对称3. 巴拿赫空间是完备的______线性空间。
答案：赋范4. 紧算子将有界集映射到______集。
答案：相对紧5. 巴拿赫空间中的完备性是指空间中的每个柯西序列都收敛到空间内的某个元素，这种性质也称为______性。
泛函分析试题及答案
泛函分析试题及答案### 泛函分析试题及答案#### 一、选择题（每题5分，共20分）1. 泛函分析中，下列哪个概念不是线性空间的概念？A. 线性组合B. 线性映射C. 线性泛函D. 非线性变换答案：D2. 在Banach空间中，以下哪个条件不是完备性的必要条件？A. 空间中的每个Cauchy序列都收敛于空间内B. 空间是完备的C. 空间中存在一个完备的度量D. 空间中的每个有界序列都有一个收敛的子序列答案：C3. 泛函分析中，Hilbert空间的完备性是相对于哪种范数？A. 欧几里得范数B. 赋范范数C. 内积诱导的范数D. 以上都是答案：C4. 下列哪个定理不是泛函分析中的基本定理？A. Hahn-Banach定理B. Riesz表示定理C. 闭图定理D. 微积分基本定理答案：D#### 二、填空题（每题5分，共20分）1. 线性泛函在定义域上的连续性等价于其在定义域的原点处的连续性，这是基于泛函分析中的________定理。
答案：Hahn-Banach2. 在Hilbert空间中，任意两个向量的内积满足平行四边形法则，即对于任意向量\( u \)和\( v \)，有\( \|u+v\|^2 + \|u-v\|^2 =2(\|u\|^2 + \|v\|^2) \)，这是基于________定理。
答案：平行四边形3. 线性算子的谱半径公式为\( r(T) = \lim_{n \to \infty}\|T^n\|^{1/n} \)，其中\( T \)是Banach空间上的有界线性算子，这是基于________定理。
答案：Gelfand公式4. 在泛函分析中，紧算子的定义是：如果对于空间中的每一个有界序列，其在算子下的像序列都有一个收敛的子序列，则称该算子为紧算子，这是基于________定理。
答案：Arzelà-Ascoli#### 三、简答题（每题15分，共30分）1. 简述Riesz表示定理的内容及其在泛函分析中的意义。
泛函分析试题A评分标准
泛函分析期末考试试卷参考答案及评分标准一、填空题（每小题3分，共15分）1、 如果对于任意给定的正数ε，存在正数0δ>，使对X 中一切满足%23、 若该范数可由内积导出构成内积空间，且按照该范数成为一个Banach 空间，4、span M X =5二、计算题（20分）叙述1l 空间的定义，并求1l 上连续线性泛函全体所成的空间。
答：（1）1121(,,),,(1,2)i i i l x R i ξξξξ∞=⎧⎫==<∞∈=∞⎨⎬⎩⎭∑L L（2）对于任意12(,,,)n x ξξξ=L L ，12(,,)n y ηηη=L L ，定义运算1122(,)n n x y ξηξηξη+=+++L ，12(,)n ax a a a ξξξ=L1l 按上述加法与数乘运算成为线性空间（3）11i i x ξ∞==∑1l 按上述定义的范数构为Banach 空间 ………….6分 令(0,01,0),1,2n ne n ==L L L ，121(,,0,0,),nn n n i i i x x e ξξξξ===∑L L则121(,)n nx l ξξξ∀=∈L L 能被表示为lim n n x x →∞=，对任意给定()'1f l∈，令(),1,2n n f e n η==L 则11()(lim )lim ()lim ()nn n n i i i i n n n i i f x f x f x f e ξξη→∞→∞→∞======∑∑.又因为1i e =对于i ∀有1()i i i f e f e f η=≤=。
由此可得sup i if η≤即12(,)n l ηηη∞∈L L ………….7分反之，对12(,)n b l ηηη∞∀=∈L L ，作1l 上泛函()f x 如下：1121(),(,)ni i ni f x x l ξηξξξ==∀=∈∑L L ，显然f 是1l 上线性泛函，又因为 1111()sup .sup ,i i i i i i i iii i i f x x ξηξηηξη∞∞∞====≤≤=∑∑∑因此，1'(),f l ∈并且有sup .i if b η∞≤=综上1'().l l ∞= …………7分三、证明题（共65分）1、（14分）设[0,1]C 表示闭区间[0,1]上连续函数全体，对任何,[0,1]x y C ∈，令1(,)|()()|,d x y x t y t dt =-⎰证明(,)x d 成为度量空间。
泛函分析期末考试题库及答案
泛函分析期末考试题库及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个选项不是泛函分析中的基本概念？A. 线性空间B. 线性算子C. 微分方程D. 范数答案：C2. 希尔伯特空间中的内积满足的性质不包括以下哪一项？A. 线性B. 对称性C. 正定性D. 可逆性答案：D3. 以下哪个是紧算子的性质？A. 有界B. 可逆C. 连续D. 可微答案：A4. 以下哪个定理是泛函分析中的基本定理？A. 泰勒定理B. 格林定理C. 里斯表示定理D. 牛顿-莱布尼茨定理答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 在泛函分析中，一个线性空间的基是一组线性______的向量。
答案：无关2. 一个线性算子是______的，如果它将一个有界集映射到一个有界集。
答案：有界3. 一个线性算子是______的，如果它将一个紧集映射到一个紧集。
答案：紧4. 一个线性算子是______的，如果它在某个线性空间上是连续的。
答案：连续三、简答题（每题10分，共30分）1. 简述什么是线性空间，并给出其基本性质。
答案：线性空间是一个集合，其中的元素称为向量，满足加法和数乘两种运算，并且满足加法交换律、加法结合律、数乘分配律等性质。
2. 解释什么是紧算子，并给出一个例子。
答案：紧算子是一个线性算子，它将任意有界序列映射到一个收敛序列。
例如，考虑在L^2空间上的算子K，定义为K(f)(x) =∫f(t)sin(x-t)dt，它是一个紧算子。
3. 描述什么是希尔伯特空间，并说明其与欧几里得空间的关系。
答案：希尔伯特空间是一个完备的内积空间，它允许无限维向量的存在。
希尔伯特空间是欧几里得空间的推广，其中欧几里得空间是有限维的希尔伯特空间。
四、计算题（每题15分，共30分）1. 给定线性算子A: L^2(0,1) → L^2(0,1)，定义为A(f)(x) =∫₀^x f(t)dt，证明A是一个紧算子。
答案：略2. 考虑在L^2(-1,1)上的算子B，定义为B(f)(x) = xf(x)，证明B是一个有界算子，并求出其范数。
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大庆师范学院2011级数学与应用数学专业《泛函分析》期末考试试卷
题号一
--------------------------------------------
一、填空题（每空1分，共5分）
1．如果度量空间X有一个可数的稠密子集，则称X是可分空间．
2．离散度量空间X可分的充要条件是X是可数集．
3．'l的共轭空间是．
4．当Y是巴拿赫空间时，）
（Y
X→
B是．
5．完备的度量空间上的有唯一的不动点．
二、单项选择题（每小题1分，共5分）
1．设
111
(,)
P x y，
222
(,)
P x y是平面2R上任意两点，则下列关系d不是2R上距离的为（）
A．
12
,)
(P
d P= B．{}
121212
,)max||,||
(P x x y y
d P=--
C．2
12
,)
(P
d P= D．12
12
12
||
,)
1||
(x x
P
x x
d P-
=
+-
2．下列度量空间不是可分空间的有（）
A．R n B．[,]
C a b C．l∞ D．(0)
p
L p
<<∞
3．（2R）中，按下列定义不能构成赋范线性空间的有（）
A．2
2y
x
P+
=()2R
y
x
P∈
⋅
= B．y
x
P+
=
C．}
{y
x
P⋅
=max D．
x
x
P
+
=
1
三、判断题（每小题1分，共10分）
1．完备度量空间的闭子空间是完备子空间．（）
2．离散度量空间是完备的度量空间．（）
3．有限维赋范线性空间都是巴拿赫空间．（）
4．赋范空间有限维子空间都是完备的．（）
5．(1)
Ln i+
1
ln2(2),0,1,2,
24
i k k
π
π
=++=±±．（）
四、计算题（共70分）
1．设)
(
3
1
1
3
2
R
x
x
T
x
∈
∀
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=为2R上算子，求T．
2．设dt
t
x
T b
a
x⎰=)(
[]）
（b
a
x.
∈
∀，求T.
3．设)
,(τt
k
T b
a
x⎰=，
()[]),
(b
a
c
x
x∈
∀
τ其中)
,(τt
k为[]b a,在[]b a
X,上连续函数，求T.
五、证明题（共10分）
1．证明l∞是不可分空间．（ 10分）
2．度量空间X到Y中的映射T是X上的连续映射充要条件是Y中任意开集M的原
象1
T M
-是X中的开集。
（ 10分）。