描述逻辑系统UEVN中概念的包含关系

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Computer Engineering and Applications 计算机工程与应用 （3） （ l υ） ={P1， P2， …， Pn}\ { ^ }， 当υ =υ0； （ l υ） =l （ ） ， 当 υ Î V i， i υ
1 £ i £ m； 例 1 家庭成员的描述逻辑知识库中的概念描述：
描述逻辑是一种基于对象的形式化工具， 是一阶谓词逻 辑的可判定性子集， 它可以用来表示知识。关于描述逻辑推 理机制的研究一直是研究的热点问题， 在过去的几十年里人 们主要研究的是概念之间的包含关系和实例检测， 这两种推 理并称为描述逻辑的标准推理。研究者们也得到了一系列的 标准推理的推理算法并且得到了广泛的应用。但是所有标准 推理算法都是在假定知识库已经建好的基础之上得到的， 而 对于知识库如何构建， 所建立的知识库中是否存在矛盾、 知识 库本身是否一致是无法回避的问题， 如果知识库存在矛盾和 不一致， 所有的标准推理算法就变成空中楼阁。为了解决这 一矛盾， 研究者们提出了另外一种新的推理问题——非标准 推理。非标准推理主要包括： 最具体概念、 最小公共包含、 匹 配问题、 概念的重写等等。 近年来以 Franz Baader 为代表的研究者们在这方面得到 了一些重要的结果， 如： F.Baader， R.Küsters 和 R.Molitor 在 [1-2] 通过描述树的笛卡尔积给出了给出了描述逻辑系统 EL、 FLE
和 ALE 中的概念的最小公共包含算法； F.Baader 和 R.Küsters 在文献 [3] 给出了 EL 和 ALE 中的匹配算法等。蒋运承、 王驹 等给出了含混合 Tbox 的 EL 的 LCS 算法 [4]。但是这些描述逻 辑系统的语言中都不同时含并、 存在约束量词、 全称量词和数 量限制。在 F.Baader 的基础上研究了 UEVN 中概念的包含的 充要条件， 它同时含有并、 存在约束量词、 全称量词和数量限 制。这是对前人工作的推广， 具有理论上和现实上的意义。
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描述逻辑系统 UEVN 中概念的包含关系
曹发生 1， 张 维2 CAO Fa-sheng1， ZHANG Wei2
1.毕节学院 数学系 逻辑、 语言与认知研究中心， 贵州 毕节 551700 2.黔南民族师范学院 数学系， 贵州 都匀 558000 1.Center of Logic， Language and Cognition， Department of Mathematics， Bijie University， Bijie， Guizhou 551700， China 2.Department of Mathematics， Qiannan Normal University for Nationalities， Duyun， Guizhou 558000， China E-mail： caofasheng@163.com CAO Fa-sheng， ZHANG Wei.Research on concept subsumption in description logic UEVN.Computer Engineering and Applications， 2010， 46 （30） ： 43-45. Abstract： Nonstandard inference in description logic is a main issue that researchers are focusing on， it mainly includes the most specific concept， the least common subsumer， matching， rewriting and so on.Previous work mainly concerntrates on kinds of description logic systems which don’ t contain number restriction.This paper analyzes the least common subsumer in description logic UEVN which contains union， existential restriction， value restriction and number restriction at the same time. tionship is characterized between concepts by computing the homomorphisms between their description trees. Key words：description logic； nonstandard inference； concept description tree 摘 要： 描述逻辑中的非标准推理是目前研究者们所关注的焦点问题， 它主要包括： 最具体概念、 最小公共包含、 匹配问题及概念 Firstly， the UEVN-concept description tree and the homomorphisms on description trees are defined， then the subsumption rela-
基金项目： 贵州省教育厅自然科学基金资助项目 （黔教科 20090068， 20090047） ； 贵州省科学技术基金资助项目 （黔科合 J 字[2009]2068 号） 。 作者简介： 曹发生 （1977-） ， 男， 讲师， 研究方向： 描述逻辑。 收稿日期： 2010-04-14 修回日期： 2010-08-23
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预备知识
UEVN 语言包含构造子： 并、 存在约束量词、 全称量词、 至
®^ | ⊺ |P|C ⊔ D|$R.C|"R.C| ³ nR| £ nR， 其中 P 表示初始概念，
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少限制和至多限制。UEVN 的概念可以定义成如下形式： C， D C、 D 表示概念描述， R 表示角色[5]。 在这里定义后面将要用到的概念： 概念 A 的角色深度 depth （A） 。 递归的定义 depth （A） 如下：
I
[5-6]
ElderGeneration º Father ⊔ Mother ⊔ $ hasChild.Cousin ⊔ Uncle ⊔ Aunt 所对应的描述树， 如图 1：
Mother， Uncle， Aunt} υ 0: {Father， 0 $ hasChild M
：
（1） ^ I = ϕ； （2）⊺ I = D I； （3）A Í D ； （4）R I Í D I ´ D I； （5）(C ⊔ D) I = C I È D I； （6）($R.C ) = { x Î D |$y Î D ( x y) Î R Ù y Î C }； （7）("R.C ) I = { x Î D I |"y Î D I( x y) Î R I ® y Î C I}； （8）( ³ nR) I = { x Î D I ||{ y Î D I |( x y) Î R I}| ³ n}； （9）( £ nR) ={ x Î D ||{ y Î D |( x y) Î R }| £ n}； 解释 I = (D I · I ) 满足 A º D， 如果 AI = D I ， 如果解释 I 满足 Tbox 中的每一条公理， 则它是该 Tbox 的一个模型。 在 UEVN 中有以下几条规则： （1）C ⊔^® C； （2）C ⊔⊺®⊺ ； （3）"R. ⊺®⊺ ； （4）$R. ^®^ ； （5）$R.C ⊔ $R.D ® $R.(C ⊔ D)； （6）³ nR ⊔³ mR ®³ nR如果m ³ n； （7）£ nR ⊔£ mR ®£ nR如果m £ n； （8）³ nR ⊔£ mR ®^ 如果m > n； 运用以上的规则可以将每个概念写成如下的标准形式： A º P1 ⊔ ⊔ P n ⊔ $R1.C1 ⊔ ⊔ $R m.C m ⊔ "R1.D1 ⊔ ⊔ "R k .D k ⊔
£ n1 R1 ⊔ ⊔£ n s R s ⊔³ m1 R1 ⊔ ⊔³ m j R j； 其中 P i (1 £ i £ n) 或是
4"RM { P 2}:υ1
I I I I I I I I I I I
υ 2: {Cousin}
图1
描述树 G ElderGeneration
再给个抽象的概念描述的例子： 例 2 概 念 描 述 A º P1 ⊔ "R.( P 2 ⊔ $R.( P1 ⊔ P 2)) ⊔ $R.("R.
( P 3 ⊔ P 4)) ⊔ ³ 4R 所对应的描述树， 如图 2：
υ 0:{ P1} 0$RM υ 2:ϕ
0 $ RM
0 " RM
{ P1 P 2}:υ 3
υ 4:{ P 3 P 4}
图2
描述树 G A
其实也可以通过概念的描述树写出它对应的概念描述。 当 depth （G） =0 时则 V={υ0}， E= Æ ， 如果 （ l υ0） =Æ ， 此时 CG º^ ; 否则有 （ l υ0） ={P1， P2 ， …， Pn } ， 此时 CG º⊔ （ l υ0） 。当 depth （G） >0 时， 可以递归地得到 CG。以集合{υ1， υ2 ， …， υm}为υ0 的所有后继 节点， 则有 υ0m1QRiniυiÎ E， 1 £ i £ m， Q Î{" $}。 以 C1， C2， …， Cm 表示以 υi 为树根的子树所对应的概念， 从而有 CG º P1 ⊔ ⊔ P n ⊔ QR1.C1 ⊔ ⊔ QR m.C m ⊔£ n1 R1 ⊔ ⊔£ n s R s ⊔³ m1 R1 ⊔ ⊔³ m j R j Q Î{" $}。 定义 2 （描述树的同态） 概念 A 的描述树 GA = （VA， EA ， υ0 ， φ： lA） ， 概念 B 的描述树 GB= （VB， EB ， ω0， lB） ， VA ® VB 是 GA 到 GB 的一个同态映射当且仅当 φ 满足以下几个条件： （1）φ（υ0） =ω0； （2） l（ ）Í l（ （υ） ） ； 对任意的υ Î VA； A υ B φ （3） 边 φ（υ） υ） i mB ∀ R φ（ j nB Î EB 如果边 υi mA ∀ Rυj nA Î EA， 定义 3 A、 B 是两个概念描述， 说 A ⊑ B 当且仅当 AI Í B I 对 任 意 的 解 释 I 都 成 立 ，A º B 当 且 仅 当 对 任 意 的 解 释 I 都 有
的重写等。过去人们主要研究那些不含数量限制的描述逻辑系统， 该文研究的是描述逻辑系统 UEVN 中的一种重要的非标准推 理， 它同时含有了并、 存在约束量词、 全称约束量词和数字限制。利用定义 UEVN 中概念的描述树及描述树之间的同态关系， 给 出了概念之间包含关系的充要条件。 关键词： 描述逻辑； 非标准推理； 概念描述树 DOI： 10.3778/j.issn.1002-8331.2010.30.013 文章编号： 1002-8331 （2010） 30-0043-03 文献标识码： Ａ 中图分类号： TP301
（1）depth( ^ ): = depth( ⊺ ): = depth( P): = 0； （2）depth(C ⊔ D): = Max(depth(C ) depth( D))； （3）depth( £ nR): = depth( ³ nR): = 1； （4）depth($R.C ): = depth("R.C ): = 1 + depth(C )； ALEN 的语义将概念解释为论域的一个子集， 将角色解 释为论域上的二元关系。一个解释 I = (D I ，· I ) 由论域 D I 和 解释函数 · 所构成， 具体如下