§1.4 矢量的线性关系与矢量的分解

§1.4 矢量的线性关系与矢量的分解

一、矢量的分解

1. 线性运算: 矢量的加法和数与矢量的乘法统称为矢量的线性运算.

2. 线性组合: 由矢量,,…,与数量λ1，λ2，…，λn所组成的矢量＝λ1+λ2

+…+λn叫做矢量,,…,的线性组合.我们也说矢量可以用矢量,,…,线性表示，或者说，矢量可以分解成矢量,,…,的线性组合.

3. 矢量在直线上的分解：

定理1 如果矢量≠，那么矢量与矢量共线的充要条件是可以用矢量线性表示，或者说是的线性组合，即＝x，且系数x被，唯一确定. 称为用线性组合来表示共线矢量的基底.

证明如果＝x成立，那么由数乘矢量的定义立刻知与共线. 反过来，如果与

非零矢量共线，那么一定存在实数x，使得＝x. 显然，如果＝，那么＝0，即x=0. x的唯一

性：如果＝x＝，那么（x－＝，而≠，所以x＝ .

4. 矢量在平面上的分解：

定理 2 如果矢量, 不共线，那么矢量与, 共面的充要条件是可以用矢量

x+y，且系, 线性表示，或者说矢量可以分解成矢量, 的线性组合，即＝

数x, y被, , 唯一确定. , 称为平面上矢量的基底.

证明因为矢量, 不共线，所以≠, ≠.设与, 共面，如果与(或)共线，那么根据定理1有＝x+y，其中y=0(或x=0)；如果与，都不共线，则把它们归结到共同的始点O，并设=，＝（i=1，2），那么过的终点分别作OE2，OE1的平行线依次与OE1，OE2交于A，B. 因为∥,∥,那么根据定理1可设

= x，＝y，根据平行四边形法则得=+，即

＝x+y.

反过来，设＝x+y，如果x, y有一个是零，那么与(或)共线，则与,

共面.如果xy≠0，那么x∥,y∥,根据平行四边形法则得与 x，y共面，因此与, 共面.

最后证明x, y被, , 唯一确定. 假设

＝x+y=+,

那么 ( x－)＝（y－）＝,

如果x≠，那么

=－,

x=. 同理y =,因此x, y被唯一确定.

即∥, 这与定理条件矛盾，所以

5. 矢量在空间的分解：

定理3 如果矢量, , 不共面，那么空间任意矢量可以由矢量, , 线性表示，或者说矢量可以分解成矢量, , 的线性组合，即＝x+y+z，且系数x, y, z被, , , 唯一确定. , , 称为空间矢量的基底.

证明因为矢量, , 不共面，所以≠（i=1，2，3），且被此不共线.

如果与, ，之中的两个矢量, (，或，)共面，那么根据定理2有

＝x+y+0(＝x+0+z或＝0+y+z).

如果与, ，之中的任意两个矢量都不共面，则把它们归结到共同的始点O，并

设=，＝（i=1，2，3），那么过的终点分别作三个平面分别与平面OE2E3，OE3E1，OE1E2平行，且分别与直线OE1，OE2，OE3相交于A，B，C三点，从而作成了以、、

为三棱，=为对角线的平行六面体，于是得到：

=++，

由定理1可设= x，= y，= z，所以

＝x+y+z.

下面证明x, y, z被, , , 唯一确定. 假设

＝x+y+z＝++，

那么 ( x－)＝（y－）＝( z－)＝,

如果x≠，

那么＝－＝－,

有定理2可知, , 共面，这与定理条件矛盾，所以x=. 同理，y=，z=.

因此x, y, z被, , , 唯一确定.

二、矢量的线性关系

1.定义

对于n (n≥1)个矢量, , …, ，如果存在不全为零的n个数λ1, λ2，…, λn, 使得

λ1+λ2+…+λn=,

那么n个矢量, , …, 叫做线性相关. 矢量, , …, 线性无关是指，只有当λ1＝λ2＝…＝λn＝0时，上式才成立.

2.判断方法

推论1 一个矢量线性相关的充要条件是=.

证明：由矢量线性相关的定义即得.

定理 4 矢量, , …,

(n≥2)线性相关的充要条件是其

中有一个矢量是其余矢量的线性

组合.

证明：设, , …, 线性相关，则λ1+λ2+…+λn=,

且λ1, λ2，…, λn不全为零，不妨设λn≠0，那么=－－－…－，即

是其余矢量的线性组合.

反过来，设n个矢量, , …, 中有一个矢量，不妨设是其余矢量的线性组

合，即=λ1+λ2+…+λn-1，即λ1+λ2+…+(－1)=,且λ1, λ2，…, (－1)不

全为零,因此, , …, 线性相关.

定理5 如果一组矢量中的一部分矢量线性相关，那么这一组矢量就线性相关.

证明：设一组矢量, , …, ，…, (s≤r)中，有一部分矢量, , …,

线性相关，那么存在不全为零的n个数λ1, λ2，…, λs, 使得

λ1+λ2+…+λs=,

即λ1+λ2+…+λs+0+…+λr=,且λ1, λ2，…, λs不全为零.

所以这一组矢量, , …, ，…, 线性相关.

推论2 一组矢量中如果含有零矢量，那么这组矢量必线性相关.

证明：由推论1和定理5即得.

根据矢量的分解定理和线性相关概念，可得如下定理：

定理6 两矢量共线的充要条件是它们线性相关.

定理7 三矢量共面的充要条件是它们线性相关.

定理8 空间任何四个矢量总是线性相关.

推论3 空间四个以上矢量总是线性相关.

证明：由定理5和定理8即得.

例1. 设一直线上三点A, B, P满足＝λ(λ≠－1),O是空间任意一点，求证：

＝

证明：如图1-11，因为

＝－,

＝－,

所以－＝λ(－),

(1+λ)＝+λ,

所以＝.

例2. 在△ABC中，设＝，＝，AT是角A的平分线（它与BC交于T点），

试将分解为,的线性组合.

分析：如图1-12，利用三角形的角平分线定理.