2017海淀区高二(下)期中(数学)理含答案

2017海淀区高二（下）期中

数学（理科）

一．选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．

1．（4分）复数1﹣i的虚部为（）

A．i B．1 C．D．﹣

2．（4分）xdx=（）

A．0 B．C．1 D．﹣

3．（4分）若复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，且z1=1+i，则z1•z2=（）A．﹣2 B．2 C．﹣2i D．2i

4．（4分）若a，b，c均为正实数，则三个数a+，b+，c+这三个数中不小于2的数（）A．可以不存在 B．至少有1个C．至少有2个D．至多有2个

5．（4分）定义在R上的函数f（x）和g（x），其各自导函数f′（x）f和g′（x）的图象如图所示，则函数F（x）=f（x）﹣g（x）极值点的情况是（）

A．只有三个极大值点，无极小值点

B．有两个极大值点，一个极小值点

C．有一个极大值点，两个极小值点

D．无极大值点，只有三个极小值点

6．（4分）函数f（x）=lnx与函数g（x）=ax2﹣a的图象在点（1，0）的切线相同，则实数a的值为（）A．1 B．﹣ C．D．或﹣

7．（4分）函数y=e x（2x﹣1）的大致图象是（）

A．B．

C．D．

8．（4分）为弘扬中国传统文化，某校在高中三个年级中抽取甲、乙、丙三名同学进行问卷调查．调查结果显示这三名同学来自不同的年级，加入了不同的三个社团：“楹联社”、“书法社”、“汉服社”，还满足如下条件：（1）甲同学没有加入“楹联社”；

（2）乙同学没有加入“汉服社”；

（3）加入“楹联社”的那名同学不在高二年级；

（4）加入“汉服社”的那名同学在高一年级；

（5）乙同学不在高三年级．

试问：丙同学所在的社团是（）

A．楹联社 B．书法社C．汉服社D．条件不足无法判断

二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．

9．（4分）在复平面内，复数对应的点的坐标为．

10．（4分）设函数f（x），g（x）在区间（0，5）内导数存在，且有以下数据：

x 1 2 3 4

f（x） 2 3 4 1

f′（x） 3 4 2 1

g（x） 3 1 4 2

g′（x） 2 4 1 3

则曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是；函数f（g（x））在x=2处的导数值是．

11．（4分）如图，f（x）=1+sinx，则阴影部分面积是．

12．（4分）如图，函数f（x）的图象经过（0，0），（4，8），（8，0），（12，8）四个点，试用“＞，=，＜”填空：（1）；

（2）f′（6）f′（10）．

13．（4分）已知平面向量=（x1，y1），=（x2，y2），那么•=x1x2+y1y2；空间向量=（x1，y1，z1），=（x2，y2．z2），那么•=x1x2+y1y2+z1z2．由此推广到n维向量：=（a1，a2，…，a n），=（b1，b2，…，b n），那么•= ．14．（4分）函数f（x）=e x﹣alnx（其中a∈R，e为自然常数）

①∃a∈R，使得直线y=ex为函数f（x）的一条切线；

②对∀a＜0，函数f（x）的导函数f′（x）无零点；

③对∀a＜0，函数f（x）总存在零点；

则上述结论正确的是．（写出所有正确的结论的序号）

三．解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15．（10分）已知函数f（x）=x3﹣3x2﹣9x+2

（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值．

16．（10分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1+a n=﹣，n∈N*．

（Ⅰ）求a2，a3，a4；

（Ⅱ）猜想数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．

17．（12分）已知函数f（x）=x﹣（a+1）lnx﹣，其中a∈R．

（Ⅰ）求证：当a=1时，函数y=f（x）没有极值点；

（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调增区间．

18．（12分）设f（x）=e t（x﹣1）﹣tlnx，（t＞0）（Ⅰ）若t=1，证明x=1是函数f（x）的极小值点；（Ⅱ）求证：f（x）≥0．

2017海淀区高二（下）期中数学（理科）

参考答案

一．选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．

1．【解答】复数1﹣i的虚部为﹣．

故选：D．

2．【解答】xdx=x2|=，

故选：B

3．【解答】∵复数z1、z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=1+i，

∴z2=﹣1+i．

∴z1•z2=﹣（1+i）（1﹣i）=﹣2．

故选：A

4．【解答】假设a+，b+，c+这三个数都小于2，

∴a++b++c+＜6

∵a++b++c+=（a+）+（b+）+（c+）≥2+2+2=6，

这与假设矛盾，

故至少有一个不小于2

故选：B

5．【解答】F′（x）=f′（x）﹣g′（x），

由图象得f′（x）和g′（x）有3个交点，

从左到右分分别令为a，b，c，

故x∈（﹣∞，a）时，F′（x）＜0，F（x）递减，

x∈（a，b）时，F′（x）＞0，F（x）递增，

x∈（b，c）时，F′（x）＜0，F（x）递减，

x∈（c，+∞）时，F′（x）＞0，F（x）递增，

故函数F（x）有一个极大值点，两个极小值点，