2017海淀区高二(下)期中(数学)理含答案
2017年北京市高考数学试卷(理科)(附详细答案)
2017年北京市高考数学试卷〔理科〕一、选择题.〔每题5分〕1．〔5分〕假设集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|x＜﹣1或x＞3}，则A∩B=〔〕A．{x|﹣2＜x＜﹣1}B．{x|﹣2＜x＜3}C．{x|﹣1＜x＜1}D．{x|1＜x＜3} 2．〔5分〕假设复数〔1﹣i〕〔a+i〕在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是〔〕A．〔﹣∞，1〕B．〔﹣∞，﹣1〕C．〔1，+∞〕D．〔﹣1，+∞〕3．〔5分〕执行如下图的程序框图，输出的S值为〔〕A．2 B．C．D．4．〔5分〕假设x，y满足，则x+2y的最大值为〔〕A．1 B．3 C．5 D．95．〔5分〕已知函数f〔x〕=3x﹣〔〕x，则f〔x〕〔〕A．是奇函数，且在R上是增函数B．是偶函数，且在R上是增函数C．是奇函数，且在R上是减函数D．是偶函数，且在R上是减函数6．〔5分〕设，为非零向量，则“存在负数λ，使得=λ”是“•＜0”的〔〕A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．〔5分〕某四棱锥的三视图如下图，则该四棱锥的最长棱的长度为〔〕A．3 B．2 C．2 D．28．〔5分〕根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，则以下各数中与最接近的是〔〕〔参考数据：lg3≈0.48〕A．1033 B．1053 C．1073 D．1093二、填空题〔每题5分〕9．〔5分〕假设双曲线x2﹣=1的离心率为，则实数m=．10．〔5分〕假设等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=﹣1，a4=b4=8，则=．11．〔5分〕在极坐标系中，点A在圆ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0上，点P的坐标为〔1，0〕，则|AP|的最小值为．12．〔5分〕在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，假设sinα=，则cos〔α﹣β〕=．13．〔5分〕能够说明“设a，b，c是任意实数．假设a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为．14．〔5分〕三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如下图，其中A i的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点B i的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3．〔1〕记Q i为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是．〔2〕记p i为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是．三、解答题15．〔13分〕在△ABC中，∠A=60°，c=a．〔1〕求sinC的值；〔2〕假设a=7，求△ABC的面积．16．〔14分〕如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD=，AB=4．〔1〕求证：M为PB的中点；〔2〕求二面角B﹣PD﹣A的大小；〔3〕求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．17．〔13分〕为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y 的数据，并制成如图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者．〔1〕从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；〔2〕从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望E〔ξ〕；〔3〕试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小．〔只需写出结论〕18．〔14分〕已知抛物线C：y2=2px过点P〔1，1〕．过点〔0，〕作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点．〔1〕求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；〔2〕求证：A为线段BM的中点．19．〔13分〕已知函数f〔x〕=e x cosx﹣x．〔1〕求曲线y=f〔x〕在点〔0，f〔0〕〕处的切线方程；〔2〕求函数f〔x〕在区间[0，]上的最大值和最小值．20．〔13分〕设{a n}和{b n}是两个等差数列，记c n=max{b1﹣a1n，b2﹣a2n，…，b n﹣a n n}〔n=1，2，3，…〕，其中max{x1，x2，…，x s}表示x1，x2，…，x s这s个数中最大的数．〔1〕假设a n=n，b n=2n﹣1，求c1，c2，c3的值，并证明{c n}是等差数列；〔2〕证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当n≥m时，＞M；或者存在正整数m，使得c m，c m+1，c m+2，…是等差数列．2017年北京市高考数学试卷〔理科〕参考答案与试题解析一、选择题.〔每题5分〕1．〔5分〕假设集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|x＜﹣1或x＞3}，则A∩B=〔〕A．{x|﹣2＜x＜﹣1}B．{x|﹣2＜x＜3}C．{x|﹣1＜x＜1}D．{x|1＜x＜3}【分析】根据已知中集合A和B，结合集合交集的定义，可得答案．【解答】解：∵集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|x＜﹣1或x＞3}，∴A∩B={x|﹣2＜x＜﹣1}故选：A．【点评】此题考查的知识点集合的交集运算，难度不大，属于基础题．2．〔5分〕假设复数〔1﹣i〕〔a+i〕在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是〔〕A．〔﹣∞，1〕B．〔﹣∞，﹣1〕C．〔1，+∞〕D．〔﹣1，+∞〕【分析】复数〔1﹣i〕〔a+i〕=a+1+〔1﹣a〕i在复平面内对应的点在第二象限，可得，解得a范围．【解答】解：复数〔1﹣i〕〔a+i〕=a+1+〔1﹣a〕i在复平面内对应的点在第二象限，∴，解得a＜﹣1．则实数a的取值范围是〔﹣∞，﹣1〕．故选：B．【点评】此题考查了复数的运算法则、几何意义、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．〔5分〕执行如下图的程序框图，输出的S值为〔〕A．2 B．C．D．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当k=0时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=1，S=2，当k=1时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=2，S=，当k=2时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=3，S=，当k=3时，不满足进行循环的条件，故输出结果为：，故选：C．【点评】此题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．4．〔5分〕假设x，y满足，则x+2y的最大值为〔〕A．1 B．3 C．5 D．9【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最值即可．【解答】解：x，y满足的可行域如图：由可行域可知目标函数z=x+2y经过可行域的A时，取得最大值，由，可得A〔3，3〕，目标函数的最大值为：3+2×3=9．故选：D．【点评】此题考查线性规划的简单应用，画出可行域判断目标函数的最优解是解题的关键．5．〔5分〕已知函数f〔x〕=3x﹣〔〕x，则f〔x〕〔〕A．是奇函数，且在R上是增函数B．是偶函数，且在R上是增函数C．是奇函数，且在R上是减函数D．是偶函数，且在R上是减函数【分析】由已知得f〔﹣x〕=﹣f〔x〕，即函数f〔x〕为奇函数，由函数y=3x为增函数，y=〔〕x为减函数，结合“增”﹣“减”=“增”可得答案．【解答】解：f〔x〕=3x﹣〔〕x=3x﹣3﹣x，∴f〔﹣x〕=3﹣x﹣3x=﹣f〔x〕，即函数f〔x〕为奇函数，又由函数y=3x为增函数，y=〔〕x为减函数，故函数f〔x〕=3x﹣〔〕x为增函数，故选：A．【点评】此题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度不大，属于基础题．6．〔5分〕设，为非零向量，则“存在负数λ，使得=λ”是“•＜0”的〔〕A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】，为非零向量，存在负数λ，使得=λ，则向量，共线且方向相反，可得•＜0．反之不成立，非零向量，的夹角为钝角，满足•＜0，而=λ不成立．即可判断出结论．【解答】解：，为非零向量，存在负数λ，使得=λ，则向量，共线且方向相反，可得•＜0．反之不成立，非零向量，的夹角为钝角，满足•＜0，而=λ不成立．∴，为非零向量，则“存在负数λ，使得=λ”是•＜0”的充分不必要条件．故选：A．【点评】此题考查了向量共线定理、向量夹角公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．〔5分〕某四棱锥的三视图如下图，则该四棱锥的最长棱的长度为〔〕A．3 B．2 C．2 D．2【分析】根据三视图可得物体的直观图，结合图形可得最长的棱为PA，根据勾股定理求出即可．【解答】解：由三视图可得直观图，再四棱锥P﹣ABCD中，最长的棱为PA，即PA===2，故选：B．【点评】此题考查了三视图的问题，关键画出物体的直观图，属于基础题．8．〔5分〕根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，则以下各数中与最接近的是〔〕〔参考数据：lg3≈0.48〕A．1033 B．1053 C．1073 D．1093【分析】根据对数的性质：T=，可得：3=10lg3≈10，代入M将M也化为10为底的指数形式，进而可得结果．【解答】解：由题意：M≈3361，N≈1080，根据对数性质有：3=10lg3≈10，∴M≈3361≈〔10〕361≈10173，∴≈=1093，故选：D．【点评】此题解题关键是将一个给定正数T写成指数形式：T=，考查指数形式与对数形式的互化，属于简单题．二、填空题〔每题5分〕9．〔5分〕假设双曲线x2﹣=1的离心率为，则实数m=2．【分析】利用双曲线的离心率，列出方程求和求解m 即可．【解答】解：双曲线x2﹣=1〔m＞0〕的离心率为，可得：，解得m=2．故答案为：2．【点评】此题考查双曲线的简单性质，考查计算能力．10．〔5分〕假设等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=﹣1，a4=b4=8，则=1．【分析】利用等差数列求出公差，等比数列求出公比，然后求解第二项，即可得到结果．【解答】解：等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=﹣1，a4=b4=8，设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q．可得：8=﹣1+3d，d=3，a2=2；8=﹣q3，解得q=﹣2，∴b2=2．可得=1．故答案为：1．【点评】此题考查等差数列以及等比数列的通项公式的应用，考查计算能力．11．〔5分〕在极坐标系中，点A在圆ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0上，点P的坐标为〔1，0〕，则|AP|的最小值为1．【分析】先将圆的极坐标方程化为标准方程，再运用数形结合的方法求出圆上的点到点P的距离的最小值．【解答】解：设圆ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0为圆C，将圆C的极坐标方程化为：x2+y2﹣2x﹣4y+4=0，再化为标准方程：〔x﹣1〕2+〔y﹣2〕2=1；如图，当A在CP与⊙C的交点Q处时，|AP|最小为：|AP|min=|CP|﹣r C=2﹣1=1，故答案为：1．【点评】此题主要考查曲线的极坐标方程和圆外一点到圆上一点的距离的最值，难度不大．12．〔5分〕在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，假设sinα=，则cos〔α﹣β〕=﹣．【分析】方法一：根据教的对称得到sinα=sinβ=，cosα=﹣cosβ，以及两角差的余弦公式即可求出方法二：分α在第一象限，或第二象限，根据同角的三角函数的关系以及两角差的余弦公式即可求出【解答】解：方法一：∵角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，∴sinα=sinβ=，cosα=﹣cosβ，∴cos〔α﹣β〕=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣cos2α+sin2α=2sin2α﹣1=﹣1=﹣方法二：∵sinα=，当α在第一象限时，cosα=，∵α，β角的终边关于y轴对称，∴β在第二象限时，sinβ=sinα=，cosβ=﹣cosα=﹣，∴cos〔α﹣β〕=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣×+×=﹣：∵sinα=，当α在第二象限时，cosα=﹣，∵α，β角的终边关于y轴对称，∴β在第一象限时，sinβ=sinα=，cosβ=﹣cosα=，∴cos〔α﹣β〕=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣×+×=﹣综上所述cos〔α﹣β〕=﹣，故答案为：﹣【点评】此题考查了两角差的余弦公式，以及同角的三角函数的关系，需要分类讨论，属于基础题13．〔5分〕能够说明“设a，b，c是任意实数．假设a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为﹣1，﹣2，﹣3．【分析】设a，b，c是任意实数．假设a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题，则假设a ＞b＞c，则a+b≤c”是真命题，举例即可，此题答案不唯一【解答】解：设a，b，c是任意实数．假设a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题，则假设a＞b＞c，则a+b≤c”是真命题，可设a，b，c的值依次﹣1，﹣2，﹣3，〔答案不唯一〕，故答案为：﹣1，﹣2，﹣3【点评】此题考查了命题的真假，举例说明即可，属于基础题．14．〔5分〕三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如下图，其中A i的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点B i的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3．〔1〕记Q i为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是Q1．〔2〕记p i为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是p2．【分析】〔1〕假设Q i为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q i=A i的综坐标+B i的纵坐标；进而得到答案．〔2〕假设p i为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p i为A i B i中点与原点连线的斜率；进而得到答案．【解答】解：〔1〕假设Q i为第i名工人在这一天中加工的零件总数，Q1=A1的纵坐标+B1的纵坐标；Q2=A2的纵坐标+B2的纵坐标，Q3=A3的纵坐标+B3的纵坐标，由已知中图象可得：Q1，Q2，Q3中最大的是Q1，〔2〕假设p i为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p i为A i B i中点与原点连线的斜率，故p1，p2，p3中最大的是p2故答案为：Q1，p2【点评】此题考查的知识点是函数的图象，分析出Q i和p i的几何意义，是解答的关键．三、解答题15．〔13分〕在△ABC中，∠A=60°，c=a．〔1〕求sinC的值；〔2〕假设a=7，求△ABC的面积．【分析】〔1〕根据正弦定理即可求出答案，〔2〕根据同角的三角函数的关系求出cosC，再根据两角和正弦公式求出sinB，根据面积公式计算即可．【解答】解：〔1〕∠A=60°，c=a，由正弦定理可得sinC=sinA=×=，〔2〕a=7，则c=3，∴C＜A，由〔1〕可得cosC=，∴sinB=sin〔A+C〕=sinAcosC+cosAsinC=×+×=，∴S=acsinB=×7×3×=6．△ABC【点评】此题考查了正弦定理和两角和正弦公式和三角形的面积公式，属于基础题16．〔14分〕如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD=，AB=4．〔1〕求证：M为PB的中点；〔2〕求二面角B﹣PD﹣A的大小；〔3〕求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．【分析】〔1〕设AC∩BD=O，则O为BD的中点，连接OM，利用线面平行的性质证明OM∥PD，再由平行线截线段成比例可得M为PB的中点；〔2〕取AD中点G，可得PG⊥AD，再由面面垂直的性质可得PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG，再证明OG⊥AD．以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，求出平面PBD与平面PAD的一个法向量，由两法向量所成角的大小可得二面角B﹣PD﹣A的大小；〔3〕求出的坐标，由与平面PBD的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直线MC与平面BDP所成角的正弦值．【解答】〔1〕证明：如图，设AC∩BD=O，∵ABCD为正方形，∴O为BD的中点，连接OM，∵PD∥平面MAC，PD⊂平面PBD，平面PBD∩平面AMC=OM，∴PD∥OM，则，即M为PB的中点；〔2〕解：取AD中点G，∵PA=PD，∴PG⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG，由G是AD的中点，O是AC的中点，可得OG∥DC，则OG⊥AD．以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，由PA=PD=，AB=4，得D〔2，0，0〕，A〔﹣2，0，0〕，P〔0，0，〕，C〔2，4，0〕，B〔﹣2，4，0〕，M〔﹣1，2，〕，，．设平面PBD的一个法向量为，则由，得，取z=，得．取平面PAD的一个法向量为．∴cos＜＞==．∴二面角B﹣PD﹣A的大小为60°；〔3〕解：，平面BDP的一个法向量为．∴直线MC与平面BDP所成角的正弦值为|cos＜＞|=||=||=．【点评】此题考查线面角与面面角的求法，训练了利用空间向量求空间角，属中档题．17．〔13分〕为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y 的数据，并制成如图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者．〔1〕从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；〔2〕从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望E〔ξ〕；〔3〕试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小．〔只需写出结论〕【分析】〔1〕由图求出在50名服药患者中，有15名患者指标y的值小于60，由此能求出从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标小于60的概率．〔2〕由图知：A、C两人指标x的值大于1.7，而B、D两人则小于1.7，可知在四人中随机选项出的2人中指标x的值大于1.7的人数ξ的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E〔ξ〕．〔3〕由图知100名患者中服药者指标y数据的方差比未服药者指标y数据的方差大．【解答】解：〔1〕由图知：在50名服药患者中，有15名患者指标y的值小于60，则从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标小于60的概率为：p==．〔2〕由图知：A、C两人指标x的值大于1.7，而B、D两人则小于1.7，可知在四人中随机选项出的2人中指标x的值大于1.7的人数ξ的可能取值为0，1，2，P〔ξ=0〕=，P〔ξ=1〕==，P〔ξ=2〕==，∴ξ的分布列如下：ξ012PE〔ξ〕==1．〔3〕由图知100名患者中服药者指标y数据的方差比未服药者指标y数据的方差大．【点评】此题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．18．〔14分〕已知抛物线C：y2=2px过点P〔1，1〕．过点〔0，〕作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点．〔1〕求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；〔2〕求证：A为线段BM的中点．【分析】〔1〕根据抛物线过点P〔1，1〕．代值求出p，即可求出抛物线C的方程，焦点坐标和准线方程；〔2〕设过点〔0，〕的直线方程为y=kx+，M〔x1，y1〕，N〔x2，y2〕，根据韦达定理得到x1+x2=，x1x2=，根据中点的定义即可证明．【解答】解：〔1〕∵y2=2px过点P〔1，1〕，∴1=2p，解得p=，∴y2=x，∴焦点坐标为〔，0〕，准线为x=﹣，〔2〕证明：设过点〔0，〕的直线方程为y=kx+，M〔x1，y1〕，N〔x2，y2〕，∴直线OP为y=x，直线ON为：y=x，由题意知A〔x1，x1〕，B〔x1，〕，由，可得k2x2+〔k﹣1〕x+=0，∴x1+x2=，x1x2=∴y1+=kx1++=2kx1+=2kx1+=2kx1+〔1﹣k〕•2x1=2x1，∴A为线段BM的中点．【点评】此题考查了抛物线的简单性质，以及直线和抛物线的关系，灵活利用韦达定理和中点的定义，属于中档题．19．〔13分〕已知函数f〔x〕=e x cosx﹣x．〔1〕求曲线y=f〔x〕在点〔0，f〔0〕〕处的切线方程；〔2〕求函数f〔x〕在区间[0，]上的最大值和最小值．【分析】〔1〕求出f〔x〕的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到所求方程；〔2〕求出f〔x〕的导数，再令g〔x〕=f′〔x〕，求出g〔x〕的导数，可得g〔x〕在区间[0，]的单调性，即可得到f〔x〕的单调性，进而得到f〔x〕的最值．【解答】解：〔1〕函数f〔x〕=e x cosx﹣x的导数为f′〔x〕=e x〔cosx﹣sinx〕﹣1，可得曲线y=f〔x〕在点〔0，f〔0〕〕处的切线斜率为k=e0〔cos0﹣sin0〕﹣1=0，切点为〔0，e0cos0﹣0〕，即为〔0，1〕，曲线y=f〔x〕在点〔0，f〔0〕〕处的切线方程为y=1；〔2〕函数f〔x〕=e x cosx﹣x的导数为f′〔x〕=e x〔cosx﹣sinx〕﹣1，令g〔x〕=e x〔cosx﹣sinx〕﹣1，则g〔x〕的导数为g′〔x〕=e x〔cosx﹣sinx﹣sinx﹣cosx〕=﹣2e x•sinx，当x∈[0，]，可得g′〔x〕=﹣2e x•sinx≤0，即有g〔x〕在[0，]递减，可得g〔x〕≤g〔0〕=0，则f〔x〕在[0，]递减，即有函数f〔x〕在区间[0，]上的最大值为f〔0〕=e0cos0﹣0=1；最小值为f〔〕=e cos﹣=﹣．【点评】此题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、最值，考查化简整理的运算能力，正确求导和运用二次求导是解题的关键，属于中档题．20．〔13分〕设{a n}和{b n}是两个等差数列，记c n=max{b1﹣a1n，b2﹣a2n，…，b n﹣a n n}〔n=1，2，3，…〕，其中max{x1，x2，…，x s}表示x1，x2，…，x s这s个数中最大的数．〔1〕假设a n=n，b n=2n﹣1，求c1，c2，c3的值，并证明{c n}是等差数列；〔2〕证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当n≥m时，＞M；或者存在正整数m，使得c m，c m+1，c m+2，…是等差数列．【分析】〔1〕分别求得a1=1，a2=2，a3=3，b1=1，b2=3，b3=5，代入即可求得c1，c2，c3；由〔b k﹣na k〕﹣〔b1﹣na1〕≤0，则b1﹣na1≥b k﹣na k，则c n=b1﹣na1=1﹣n，c n﹣c n=﹣1对∀n∈N*均成立；+1〔2〕由b i﹣a i n=[b1+〔i﹣1〕d1]﹣[a1+〔i﹣1〕d2]×n=〔b1﹣a1n〕+〔i﹣1〕〔d2﹣d1×n〕，分类讨论d1=0，d1＞0，d1＜0三种情况进行讨论根据等差数列的性质，即可求得使得c m，c m+1，c m+2，…是等差数列；设=An+B+对任意正整数M，存在正整数m，使得n≥m，＞M，分类讨论，采用放缩法即可求得因此对任意正数M，存在正整数m，使得当n≥m时，＞M．【解答】解：〔1〕a1=1，a2=2，a3=3，b1=1，b2=3，b3=5，当n=1时，c1=max{b1﹣a1}=max{0}=0，当n=2时，c2=max{b1﹣2a1，b2﹣2a2}=max{﹣1，﹣1}=﹣1，当n=3时，c3=max{b1﹣3a1，b2﹣3a2，b3﹣3a3}=max{﹣2，﹣3，﹣4}=﹣2，下面证明：对∀n∈N*，且n≥2，都有c n=b1﹣na1，当n∈N*，且2≤k≤n时，则〔b k﹣na k〕﹣〔b1﹣na1〕，=[〔2k﹣1〕﹣nk]﹣1+n，=〔2k﹣2〕﹣n〔k﹣1〕，=〔k﹣1〕〔2﹣n〕，由k﹣1＞0，且2﹣n≤0，则〔b k﹣na k〕﹣〔b1﹣na1〕≤0，则b1﹣na1≥b k﹣na k，因此，对∀n∈N*，且n≥2，c n=b1﹣na1=1﹣n，c n+1﹣c n=﹣1，∴c2﹣c1=﹣1，﹣c n=﹣1对∀n∈N*均成立，∴c n+1∴数列{c n}是等差数列；〔2〕证明：设数列{a n}和{b n}的公差分别为d1，d2，下面考虑的c n取值，由b1﹣a1n，b2﹣a2n，…，b n﹣a n n，考虑其中任意b i﹣a i n，〔i∈N*，且1≤i≤n〕，则b i﹣a i n=[b1+〔i﹣1〕d1]﹣[a1+〔i﹣1〕d2]×n，=〔b1﹣a1n〕+〔i﹣1〕〔d2﹣d1×n〕，下面分d1=0，d1＞0，d1＜0三种情况进行讨论，①假设d1=0，则b i﹣a i n═〔b1﹣a1n〕+〔i﹣1〕d2，当假设d2≤0，则〔b i﹣a i n〕﹣〔b1﹣a1n〕=〔i﹣1〕d2≤0，则对于给定的正整数n而言，c n=b1﹣a1n，此时c n+1﹣c n=﹣a1，∴数列{c n}是等差数列；当d2＞0，〔b i﹣a i n〕﹣〔b n﹣a n n〕=〔i﹣n〕d2＞0，则对于给定的正整数n而言，c n=b n﹣a n n=b n﹣a1n，此时c n﹣c n=d2﹣a1，+1∴数列{c n}是等差数列；此时取m=1，则c1，c2，…，是等差数列，命题成立；②假设d1＞0，则此时﹣d1n+d2为一个关于n的一次项系数为负数的一次函数，故必存在m∈N*，使得n≥m时，﹣d1n+d2＜0，则当n≥m时，〔b i﹣a i n〕﹣〔b1﹣a1n〕=〔i﹣1〕〔﹣d1n+d2〕≤0，〔i∈N*，1≤i≤n〕，因此当n≥m时，c n=b1﹣a1n，﹣c n=﹣a1，故数列{c n}从第m项开始为等差数列，命题成立；此时c n+1③假设d1＜0，此时﹣d1n+d2为一个关于n的一次项系数为正数的一次函数，故必存在s∈N*，使得n≥s时，﹣d1n+d2＞0，则当n≥s时，〔b i﹣a i n〕﹣〔b n﹣a n n〕=〔i﹣1〕〔﹣d1n+d2〕≤0，〔i∈N*，1≤i ≤n〕，因此，当n≥s时，c n=b n﹣a n n，此时==﹣a n+，=﹣d2n+〔d1﹣a1+d2〕+，令﹣d1=A＞0，d1﹣a1+d2=B，b1﹣d2=C，下面证明：=An+B+对任意正整数M，存在正整数m，使得n≥m，＞M，假设C≥0，取m=[+1]，[x]表示不大于x的最大整数，当n≥m时，≥An+B≥Am+B=A[+1]+B＞A•+B=M，此时命题成立；假设C＜0，取m=[]+1，当n≥m时，≥An+B+≥Am+B+C＞A•+B+C≥M﹣C﹣B+B+C=M，此时命题成立，因此对任意正数M，存在正整数m，使得当n≥m时，＞M；综合以上三种情况，命题得证．【点评】此题考查数列的综合应用，等差数列的性质，考查与不等式的综合应用，考查“放缩法”的应用，考查学生分析问题及解决问题的能力，考查分类讨论及转化思想，考查计算能力，属于难题．。
等差数列与等比数列的综合-高中数学知识点讲解(含答案)
等差数列与等比数列的综合（北京习题集）（教师版）一．选择题（共7小题）1．（2017秋•通州区期末）已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，11a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列，那么数列{}n a 的前10项和10S 等于( ) A ．90B ．100C ．10或90D ．10或1002．（2018•延庆县一模）若a ，b 是函数2()(0,0)f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，且a ，b ，2-这三个数适当排序后可成等差数列，且适当排序后也可成等比数列，则a b +的值等于( ) A ．4B ．5C ．6D ．73．（2018•西城区校级模拟）已知等差数列{}n a 的公差和首项都不为0，且1a 、2a 、4a 成等比数列，则1143(a a a += ) A ．2B ．3C ．5D ．74．（2018秋•西城区校级期中）若1，a ，b 成等差数列，3，2a +，5b +，成等比数列，则等差数列的公差为() A ．3B ．3或1-C ．3-D ．3或3-5．（2017•东城区三模）已知数列{}n a 是公差为1-的等差数列，且4a 是2a 与5a 的等比中项，n S 为{}n a 的前n 项和，则6(S = ) A ．90-B ．45-C ．0D ．156．（2015秋•海淀区校级期末）已知等差数列1，a ，b ，又4，2a +，1b +为等比数列，求该等差数列的公差() A ．1-B ．0C ．2D ．17．（2016•东城区二模）成等差数列的三个正数的和等于6，并且这三个数分别加上3、6、13后成为等比数列{}n b 中的3b 、4b 、5b ，则数列{}n b 的通项公式为( ) A ．12n n b -=B ．13n n b -=C ．22n n b -=D ．23n n b -=二．填空题（共8小题）8．（2017秋•房山区期末）等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0，且2a ，3a ，6a 成等比数列，则6S = ． 9．（2017秋•海淀区期末）已知公差为1的等差数列{}n a 中，1a ，2a ，4a 成等比数列，则{}n a 的前100项和为 ． 10．（2018秋•东城区校级期中）若等差数列{}n a 与等比数列{}n b 中，若110a b =>，11110a b =>，则6a ，6b 的大小关系为 ．11．（2018•海淀区校级三模）已知等差数列{}n a 中，公差0d ≠，12a =，1a ，2a ，4a 是等比数列{}n b 的前三项，则等差数列{}n a 的公差d = ，等比数列{}n b 的前n 项n S =12．（2017•北京）若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==-，448a b ==，则22a b = ． 13．（2017•西城区二模）已知等差数列{}n a 的公差为2，且1a ，2a ，4a 成等比数列，则1a = ；数列{}n a 的前n 项和n S = ．14．（2017春•海淀区期中）若数列{}n a 满足12312()()n n a a a a a a n +++⋯+=+，则数列{}n a 是等差数列．类比上述结论，可以猜想：若数列{}n b 满足 ，则数列{}n b 是等比数列．15．（2016•顺义区一模）国家新能源汽车补贴政策，刺激了电动汽车的销售，据市场调查发现，某地区今年Q 型电动汽车的销售将以每月10%的增长率增长；R 型电动汽车的销售将每月递增20辆，已知该地区今年1月份销售Q 型和R 型车均为50辆，据此推测该地区今年Q 型汽车销售量约为 辆；这两款车的销售总量约为 辆．（参考数据：111.1 2.9≈，121.1 3.1≈，131.1 3.5)≈等差数列与等比数列的综合（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）1．（2017秋•通州区期末）已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，11a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列，那么数列{}n a 的前10项和10S 等于( ) A ．90B ．100C ．10或90D ．10或100【分析】设{}n a 的公差为d ，且0d ≠，由等比中项的性质、等差数列的通项公式列出方程，求出d 的值，由等差数列的前n 项和公式求出{}n a 的前10项和10S ． 【解答】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，且0d ≠， 11a =且1a ，2a ，5a 成等比数列，2215()a a a ∴=，则2(1)1(14)d d +=+， 解得2d =或0d =（舍去）， {}n a ∴的前10项和1010910121002S ⨯=⨯+⨯=， 故选：B ．【点评】本题考查等差数列的通项公式、前n 项和公式，以及等比中项的性质，考查方程思想．2．（2018•延庆县一模）若a ，b 是函数2()(0,0)f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，且a ，b ，2-这三个数适当排序后可成等差数列，且适当排序后也可成等比数列，则a b +的值等于( ) A ．4B ．5C ．6D ．7【分析】由二次方程的韦达定理可得0a >，0b >，由题意可得a ，2-，b 或b ，2-，a 成等比数列，a ，b ，2-或b ，a ，2-或2-，a ，b 或2-，b ，a 成等差数列，由中项的性质，可得a ，b 的方程，解方程即可得到所求和． 【解答】解：a ，b 是函数2()(0,0)f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点， 可得a b p +=，ab q =，即有0a >，0b >，a ，b ，2-这三个数适当排序后可成等差数列，且适当排序后也可成等比数列，即a ，2-，b 或b ，2-，a 成等比数列， 可得4ab =；又a ，b ，2-或b ，a ，2-或2-，a ，b 或2-，b ，a 成等差数列，可得22b a =-或22a b =-， 解得4a =，1b =或1a =，4b =， 可得5a b +=， 故选：B ．【点评】本题考查等差数列、等比数列的中项的性质，以及二次方程的韦达定理，考查方程思想和运算能力，属于中档题．3．（2018•西城区校级模拟）已知等差数列{}n a 的公差和首项都不为0，且1a 、2a 、4a 成等比数列，则1143(a a a += ) A ．2B ．3C ．5D ．7【分析】利用等差数列以及等比数列的通项公式，求出数列首项与公比的关系，然后求解即可．【解答】解：由1a 、2a 、4a 成等比数列得2241a a a =， 2111()(3)a d a a d ∴+=+，21d a d ∴=， 0d ≠，1d a ∴=，则1141113111315523a a a a d a a a d a +++===+， 故选：C ．【点评】本题考查数列的通项公式的应用，等差数列以及等比数列的应用，考查计算能力．4．（2018秋•西城区校级期中）若1，a ，b 成等差数列，3，2a +，5b +，成等比数列，则等差数列的公差为() A ．3B ．3或1-C ．3-D ．3或3-【分析】由题意列关于a ，b 的方程组，求得a ，b 后可得等差数列的公差． 【解答】解：1，a ，b 成等差数列，3，2a +，5b +成等比数列，则 221(2)3(5)a b a b =+⎧⎨+=+⎩，解得：47a b =⎧⎨=⎩或25a b =-⎧⎨=-⎩（舍)． ∴等差数列的公差为3b a -=．故选：A ．【点评】本题考查了等差数列的定义，考查了等差数列的通项公式，是基础题．5．（2017•东城区三模）已知数列{}n a 是公差为1-的等差数列，且4a 是2a 与5a 的等比中项，n S 为{}n a 的前n 项和，则6(S = ) A ．90-B ．45-C ．0D ．15【分析】由题意和等差数列的通项公式可得1a 的方程，解方程代入求和公式计算可得．【解答】解：由题意可得2425a a a =，公差1d =-， 2111(3)()(4)a d a d a d ∴+=++代入数据可得2111(3)(1)(4)a a a -=--， 解得15a =， 61656152S a d ⨯∴=+=． 故选：D ．【点评】本题考查等差数列的求和公式和通项公式，属基础题．6．（2015秋•海淀区校级期末）已知等差数列1，a ，b ，又4，2a +，1b +为等比数列，求该等差数列的公差() A ．1-B ．0C ．2D ．1【分析】设等差数列的公差为d ，运用等差数列和等比数列的中项的性质，解方程可得2a =，3b =，即可得到公差1d =．【解答】解：设等差数列的公差为d ， 由1，a ，b 成等差数列，可得21a b =+， 由4，2a +，1b +为等比数列，可得：24(1)(2)b a +=+， 解得2a =，3b =， 可得公差11d a =-=． 故选：D ．【点评】本题考查等差数列和等比数列的中项的性质，考查等差数列的公差的求法，以及运算能力，属于基础题． 7．（2016•东城区二模）成等差数列的三个正数的和等于6，并且这三个数分别加上3、6、13后成为等比数列{}n b 中的3b 、4b 、5b ，则数列{}n b 的通项公式为( ) A ．12n n b -=B ．13n n b -=C ．22n n b -=D ．23n n b -=【分析】设成等差数列的三个正数为a d -，a ，a d +，由题意可得2a =，再由等比数列的中项的性质，可得1d =，求得公比为2，由等比数列的通项公式计算即可得到所求． 【解答】解：设成等差数列的三个正数为a d -，a ，a d +， 即有36a =，解得2a =，由题意可得23d -+，26+，213d ++成等比数列， 即为5d -，8，15d +成等比数列， 即有(5)(15)64d d -+=， 解得1(11d =-舍去），即有4，8，16成等比数列，可得公比为2， 则数列{}n b 的通项公式为33132422n n n n b b ---===． 故选：A ．【点评】本题考查等差数列和等比数列的中项的性质，考查等比数列的通项公式的运用，以及运算能力，属于中档题．二．填空题（共8小题）8．（2017秋•房山区期末）等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0，且2a ，3a ，6a 成等比数列，则6S = 24- ． 【分析】设等差数列{}n a 的公差为0d ≠，由2a ，3a ，6a 成等比数列．解得d ，然后求解前6项的和． 【解答】解：设等差数列{}n a 的公差为0d ≠，2a ，3a ，6a 成等比数列．2326a a a ∴=，2(12)(1)(15)d d d ∴+=+⨯+，解得2d =-．611665(2)242S ∴=⨯+⨯⨯⨯-=-．故答案为：24-．【点评】本题考查等差数列与等比数列的通项公式，数列求和，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 9．（2017秋•海淀区期末）已知公差为1的等差数列{}n a 中，1a ，2a ，4a 成等比数列，则{}n a 的前100项和为 5050 ． 【分析】由已知列式求得等差数列的首项，然后代入等差数列的前n 项和公式得答案． 【解答】解：在公差为1的等差数列{}n a 中， 由1a ，2a ，4a 成等比数列，得：2111(1)(3)a a a +=+，即11a =． 100100991001150502S ⨯∴=⨯+⨯=． 故答案为：5050．【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查了等比数列的性质，训练了等差数列的前n 项和的求法，是基础的计算题．10．（2018秋•东城区校级期中）若等差数列{}n a 与等比数列{}n b 中，若110a b =>，11110a b =>，则6a ，6b 的大小关系为 66a b ．【分析】运用等差数列中项的性质和基本不等式，以及等比数列中项的性质，即可得到所求结论． 【解答】解：若等差数列{}n a 与等比数列{}n b 中，若110a b =>，11110a b =>， 由等差数列中项的性质可得11161112a a aa a +=66||b b =，当且仅当111a a =取得等号．故答案为：66a b ．【点评】本题考查等差数列和等比数列中项的性质，以及基本不等式的运用，考查运算和推理能力，属于中档题． 11．（2018•海淀区校级三模）已知等差数列{}n a 中，公差0d ≠，12a =，1a ，2a ，4a 是等比数列{}n b 的前三项，则等差数列{}n a 的公差d = 2 ，等比数列{}n b 的前n 项n S =【分析】由已知列式求出等差数列的公差，进一步得到等比数列的公比，代入等比数列的前n 项和公式求等比数列{}n b 的前n 项n S ．【解答】解：由12a =，1a ，2a ，4a 是等比数列{}n b 的前三项， 得2214a a a =，即2(2)2(23)d d +=+，解得2d =． 214a a d ∴=+=，则数列{}n b 是以2为首项，以2为公比的等比数列，∴12(12)2212n n n S +-==--．故答案为：2；122n +-．【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查等比数列的性质及前n 项和，是中档题． 12．（2017•北京）若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==-，448a b ==，则22a b = 1 ． 【分析】利用等差数列求出公差，等比数列求出公比，然后求解第二项，即可得到结果． 【解答】解：等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==-，448a b ==， 设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ． 可得：813d =-+，3d =，22a =；38q =-，解得2q =-，22b ∴=． 可得221a b =． 故答案为：1．【点评】本题考查等差数列以及等比数列的通项公式的应用，考查计算能力．13．（2017•西城区二模）已知等差数列{}n a 的公差为2，且1a ，2a ，4a 成等比数列，则1a = 2 ；数列{}n a 的前n 项和n S = ．【分析】由题意可得1a ，12a +，16a +成等比数列，通过解方程求得1a 的值．然后求和．【解答】解：数列{}n a 是公差为2的等差数列，且1a ，2a ，4a 成等比数列，1a ∴，12a +，16a +成等比数列，2111(2)(6)a a a ∴+=+，解得12a =， 数列{}n a 的前n 项和2(1)222n n n S n n n -=+⨯=+． 故答案为：2；2n n +．【点评】本题主要考查等比数列的定义和性质，等差数列的通项公式的应用，属于基础题．14．（2017春•海淀区期中）若数列{}n a 满足12312()()n n a a a a a a n +++⋯+=+，则数列{}n a 是等差数列．类比上述结论，可以猜想：若数列{}n b 满足 21231()()n n n b b b b b b ⋯= ，则数列{}n b 是等比数列．【分析】把数列的项相加改成数列的项相乘，把结论的相乘的系数改成等比数列的指数，即可得到． 【解答】解：把数列的项相加改成数列的项相乘，把结论的相乘的系数改成等比数列的指数，可得： 若数列{}n b 满足21231()()n n n b b b b b b ⋯=，则数列{}n b 是等比数列． 故答案为：21231()()n n n b b b b b b ⋯=．【点评】本题考查等差数列与等比数列的综合，考查类比推理等基础知识与基本技能方法，属于基础题． 15．（2016•顺义区一模）国家新能源汽车补贴政策，刺激了电动汽车的销售，据市场调查发现，某地区今年Q 型电动汽车的销售将以每月10%的增长率增长；R 型电动汽车的销售将每月递增20辆，已知该地区今年1月份销售Q 型和R 型车均为50辆，据此推测该地区今年Q 型汽车销售量约为 1050 辆；这两款车的销售总量约为 辆．（参考数据：111.1 2.9≈，121.1 3.1≈，131.1 3.5)≈【分析】由题意可得，今年Q 型电动汽车的月销售量与R 型电动汽车的月销售量分别构成等比数列和等差数列，然后利用等比数列和等差数列的前n 项和求解．【解答】解：由题意可得，今年Q 型电动汽车的月销售量构成以50为首项，以1.1为公比的等比数列，则今年Q 型电动汽车的销售量为1250(111)10501 1.1-≈-；R 型电动汽车的月销售量构成以50为首项，以20为公差的等差数列，则R 型电动汽车的销售量为121112502019202⨯⨯+⨯=． ∴这两款车的销售总量约为：105019202970+=．故答案为：1050；2970．【点评】本题考查等差数列与等比数列的综合，考查了等差数列与等比数列的前n项和，是基础题．。
北京市海淀区首都师范大学附属中学2022-2023学年高二下学期期中练习数学试题
上的最大值与最小值的和为__________．
三、多选题
18．将数列{an} 中的所有项排成如下数阵：
a1 a2 a3 a4
a5 a6 a7 a8 a9 …… 已知从第二行开始每一行比上一行多两项，第一列数 a1 ， a2 ， a5 ，……，成等差数列，
故
a4
+
a2
+
a0
=
1+ 81 2
=
41 ，
故选：B.
9．B 【分析】首先将 4 名男同学分配到 3 个志愿服务站，再将 3 名女同学分配到 3 个志愿服务 站，即可得到答案.
【详解】首先将
4
名男同学分配到
3
个志愿服务站共有
C24C12C11 A22
× A33
=
36
种，
答案第31 页，共22 页
将 3 名女同学分配到 3 个志愿服务站共有 A33 = 6 种，
试卷第51 页，共33 页
1．A
参考答案：
【分析】根据复合函数求导公式求解即可.
【详解】
y¢
=
x
1 +
1
(
x
+
1)¢
=
1. x +1
故选：A 2．B 【分析】利用等比中项性质列式求解
【详解】等比数列 {an }
中，
ìíîaa332
= =
a1a5 a1q2
Þ
a3
=
a1a5 = 4 .
故选：B.
二项式定理(1)
x 二项式定理1.【来源】浙江省 2017 届高三“超级全能生”3 月联考数学试题 在二项式(2x - 1)6的展开式中，常数项是（ C ）xA ．-240B ．240C ．-160D ．160答案及解析：2.【来源】安徽省黄山市 2019 届高三第一次质量检测（一模）数学（理）试题在(1+x )6(1－2x )展开式中，含 x 5 的项的系数是( D ) A. 36B. 24C. －36D. －243.【来源】新疆维吾尔自治区 2018 届高三第二次适应性（模拟）检测数学（理）试题若⎛ 2 1 ⎫n- x ⎪ 展开式中含 x 项的系数为-80，则 n 等于（ A ）⎝ ⎭A ．5B ．6 C.7 D ．84.【来源】浙江省金丽衢十二校联考 2017 届高考二模数学试题在（1+x 3）（1﹣x ）8 的展开式中，x 5 的系数是（ A ） A ．﹣28B ．﹣84C ．28D ．84答案及解析：【考点】二项式定理的应用．【分析】利用二项式定理的通项公式求解即可．【解答】解：由（1+x 3）展开可知含有 x 3 与（1﹣x ）8 展开的 x 2 可得 x 5 的系数； 由（1+x 3）展开可知常数项与（1﹣x ）8 展开的 x 5，同样可得 x 5 的系数； ∴含 x 5 的项+=28x 5﹣56x 5=﹣28x 5；∴x 5 的系数为﹣28， 故选 A【点评】本题主要考查二项式定理的应用，求展开式的系数把含有 x 5 的项找到．从而可以利用通项求解．属于中档题5.【来源】北京东城景山学校 2016-2017 学年高二下学期期中考试数学（理）试题设(3x -1)4 = a + a x + a x 2 + a x 3 + a x 4 ，则 a + a + a + a的值为（ A ）．12341234A ．15B ．16C ．1D ．－15答案及解析： 在(3x -1)4= a + a x + a x 2 + a x 3 + a x 4 中，令 x = 0 ，可得 a = 1 ，1234再令 x = 1可得 a 0 + a 1 + a 2 + a 3 + a 4 = 16 ， 所以 a 1 + a 2 + a 3 + a 4 = 15 ．n 7 7 7 故选 A ．6.【来源】北京西城八中少年班 2016-2017 学年高一下学期期末考试数学试题在(x + y )n的展开式中，若第七项系数最大，则 n 的值可能等于（ D ）．A ．13，14B ．14，15C ．12，13D ．11，12，13答案及解析：(x + y )n 的展开式第七项系数为 C 6 ，且最大，可知此为展开式中间项，当展开式为奇数项时： n= 6 ， n = 12 ，2当有偶数项时 n + 1= 6 ， n = 11， 2 或 n + 1 = 7 ， n = 13 ，2故 n = 11，12 ，13 ． 选 D ．7.【来源】广东省广州市海珠区 2018 届高三综合测试（一）数学（理）试题(x + y )(2x - y )6 的展开式中 x 4 y 3 的系数为（ D ）A ．－80B ．－40C. 40D ．808.【来源】广东省潮州市 2017 届高三数学二模试卷数学（理）试题 在（1﹣2x ）7（1+x ）的展开式中，含 x 2 项的系数为（ B ） A ．71 B ．70 C ．21 D ．49答案及解析：【分析】先将问题转化为二项式（1﹣2x ）7 的系数问题，利用二项展开式的通项公式求出展开式的第 r+1 项，令 x 的指数分别等于 1，2 求出特定项的系数【解答】解：（1﹣2x ）7（1+x ）的展开式中 x 2 的系数等于（1﹣2x ）7 展开式的 x 的系数+（1﹣2x ）7 展开式的 x 2 的系数，（x+1）7 展开式的通项为 T r+1=（﹣2）r C r x r ，故展开式中 x 2 的系数是（﹣2）2C 2+（﹣2）•C 1=84﹣14=60，故选：B ．9.【来源】浙江省新高考研究联盟 2017 届第四次联考数学试题 在二项式(x 2- 1)5 的展开式中，含 x 7的项的系数是（ C ）xA ． -10B. 10C. -5D. 510.【来源】辽宁省重点高中协作校 2016-2017 学年高二下学期期末考试数学（理）试题 已知(1 + x )n的展开式中只有第 6 项的二项式系数最大，则展开式奇数项的二项式系数和为( D ) A ．212B ．211C.210D ．2911.【来源】上海市浦东新区 2018 届高三上学期期中考试数学试卷展开式中的常数项为（ C ）x -A.-1320B.1320C.-220D.22012.【来源】浙江省绍兴一中2017 届高三上学期期末数学试题在（x﹣y）10 的展开式中，系数最小的项是（C ）A．第4 项B．第5 项C．第6 项D．第7 项答案及解析：【考点】二项式定理的应用．【分析】由二项展开式可得出系数最小的项系数一定为负，再结合组合数的性质即可判断出系数最小的项．【解答】解：展开式共有11 项，奇数项为正，偶数项为负，且第6 项的二项式系数最大，则展开式中系数最小的项第 6项．故选C．13.【来源】浙江省金华十校联考2017 届高三上学期期末数学试题在（1﹣x）n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a n x n中，若2a2+a n﹣5=0，则自然数n的值是（B）A．7 B．8 C．9 D．10答案及解析：【考点】二项式定理的应用．【分析】由二项展开式的通项公式T r+1=•（﹣1）r x r可得a r=（﹣1）r•，于是有2（﹣1）2+（﹣1）n﹣5=0，由此可解得自然数n 的值．【解答】解：由题意得，该二项展开式的通项公式•（﹣1）r x r，∴该项的系数，∵2a2+a n﹣5=0，∴2（﹣1）2+（﹣1）n﹣5=0，即+（﹣1）n﹣5•=0，∴n﹣5 为奇数，∴2==，∴2×=，∴（n﹣2）（n﹣3）（n﹣4）=120．∴n=8．故答案为：8．14.【来源】浙江省重点中学2019 届高三上学期期末热身联考数学试题⎛ 2 ⎫5 1⎪1展开式中，x2的系数是( B )⎝⎭A、80B、－80C、40D、－4015.【来源】山东省德州市2016-2017 学年高二下学期期末考试数学（理）试题a 2 4如果x + x - 的展开式中各项系数之和为2，则展开式中x 的系数是( C ) x xA．8 B．－8 C.16 D．－1616.【来源】云南省昆明市第一中学2018 届高三第八次月考数学（理）试题x x2 ⎪ ⎛1- 1 ⎫ (1+ x )6x 3⎝ ⎭ 展开式中 x 的系数为（B ）A ．－14B ．14C. 15D ．3017.【来源】安徽省安庆一中、山西省太原五中等五省六校（K12 联盟）2018 届高三上学期期末联考数学（理）试题在二项式(x - 1)n 的展开式中恰好第 5 项的二项式系数最大，则展开式中含有 x 2项的系数是（ C ）xA ．35B ．－35C ．－56D ．56答案及解析：第五项的二项式系数最大，则，通项，令，故系数.18.【来源】辽宁省实验中学、沈阳市东北育才学校等五校 2016-2017 学年高二下学期期末联考数学（理）试题 在( - 2)n 的展开式中，各项的二项式系数之和为 64，则展开式中常数项为（ A ）xA ．60B ．45C ． 30D ．1519.【来源】湖北省武汉市 2018 届高三四月调研测试数学理试题 在(x + 1-1)6 的展开式中，含 x 5项的系数为（ B ）xA ．6B ．－6C ．24D ．－24答案及解析：的展开式的通项 ．的展开式的通项=． 由 6﹣r ﹣2s=5，得 r+2s=1，∵r ，s ∈N ，∴r=1，s=0． ∴的展开式中，含 x 5 项的系数为 ． 故选：B ．20.【来源】辽宁省抚顺市 2018 届高三 3 月高考模拟考试数学（理）试题在(2 -1)6 的展开式中，含 1项的系数为( C )xA. －60B. 160C. 60D. 6421.【来源】2018 年高考真题——数学理（全国卷Ⅲ）(x 2+ 2)5 的展开式中 x 4 的系数为( C )xA ．10B ．20C ．40D ．80答案及解析：由题可得 令 ,则所以x2× 4x9 n故选 C.22.【来源】浙江省金华市十校联考 2016-2017 学年高二下学期期末数学试卷在（x 2﹣4）5 的展开式中，含 x 6 的项的系数为（ D ） A ．20 B ．40 C ．80 D ．160答案及解析：【分析】=（﹣4）r，令 10﹣2r=6，解得 r=2，由此能求出含 x 6 的项的系数．【解答】解：∵（x 2﹣4）5， ∴T r+1==（﹣4）r，令 10﹣2r=6，解得 r=2， ∴含 x 6 的项的系数为=160． 故选：D ．23.【来源】浙江省诸暨市牌头中学 2018 届高三 1 月月考数学试题 在⎛x 2 - ⎝2 ⎫6的展开式中，常数项为（ D ）⎪⎭ A ．-240 B ．-60 C ．60 D ．24024.【来源】浙江省湖州市 2017 届高三上学期期末数学试题在（1﹣x ）5+（1﹣x ）6+（1﹣x ）7+（1﹣x ）8 的展开式中，含 x 3 的项的系数是（ D ） A ．121 B ．﹣74C ．74D ．﹣121答案及解析：【考点】二项式定理的应用．【分析】利用等比数列的前 n 项公式化简代数式；利用二项展开式的通项公式求出含 x 4 的项的系数，即是代数式的含 x 3 的项的系数．【解答】解：（1﹣x ）5+（1﹣x ）6+（1﹣x ）7+（1﹣x ）8 ==，（1﹣x ）5 中 x 4 的系数 ，﹣（1﹣x ）9 中 x 4 的系数为﹣C 4=﹣126，﹣126+5=﹣121． 故选：D25.【来源】甘肃省兰州市第一中学 2018 届高三上学期期中考试数学（理）试题在(x 2-1)(x +1)4 的展开式中，x 3 的系数是（ A ） A ．0B ．10C ．－10D ．20答案及解析：(x +1)4 的展开式的通项, 因此在(x 2-1)(x +1)4 的展开式中,x 3 的系数是26.【来源】山西重点中学协作体 2017 届高三暑期联考数学（理）试题在二项式 + 1的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互 x xx 1 ⎝ ⎭不相邻的概率为( D ) A ． 16B ． 14C. 1 3D ． 51227.【来源】湖北省孝感市八校 2017-2018 学年高二上学期期末考试数学（理）试题已知C 0- 4C 1+ 42C 2- 43C 3+ + (-1)n 4nC n= 729 ，则C 1+ C 2+ + C n的值等于（ C ）nnnnnA ．64B ．32 C.63 D ．31答案及解析：nnn因为 ，所因，选 C. 28.【来源】辽宁省重点高中协作校 2016-2017 学年高二下学期期末考试数学（理）试题若òn(2x -1)dx = 6 ，则二项式(1 - 2x )n的展开式各项系数和为( A ) A ．－1 B ．26 C ．1 D ． 2n29.【来源】浙江省金华十校 2017 届高三数学模拟试卷（4 月份）数学试题若(x －1)8=1+a 1x +a 2x 2+…+a 8x 8，则 a 5=（ B ） A ．56B ．﹣56C ．35D ．﹣35答案及解析：利用通项公式即可得出． 解：通项公式 T r+1=（﹣1）8﹣r x r ，令 r=5，则（﹣1）3=﹣56．故选：B ．30.【来源】广东省茂名市五大联盟学校 2018 届高三 3 月联考数学（理）试题6⎛ 1 ⎫ x 4在( + x ) 1+ y ⎪ 的展开式中， y 2 项的系数为（ C ）A ．200B ．180 C. 150 D ．120答案及解析：展开式的通项公式，令可得：，，展开式的通项公式 ，令可得，据此可得： 项的系数为 .本题选择 C 选项.31.【来源】吉林省长春外国语学校 2019 届高三上学期期末考试数学（理）试题 (2－x )(1+2x )5 展开式中，含 x 2 项的系数为（ B ）x x 0 1 2 2017 3n nx A ． 30 B ． 70 C ．90 D ．－15032.【来源】浙江省新高考研究联盟 2017 届第三次联考数学试题若(1 + x )3 + (1 + x )4 + (1 + x )5 + + (1 + x )2017 = a + a x + a x 2 + + a x 2017 ，则 a 的值为（ D ）3 2017 32018 420174201833.【来源】广东省肇庆市 2017 届高考二模数学（理）试题若（x 6+ 1 ）n的展开式中含有常数项，则 n 的最小值等于（ C ）A ．3B ．4C ．5D ．6答案及解析：【分析】二项式的通项公式 T r+1=C ）r ，对其进行整理，令 x 的指数为 0，建立方程求出 n 的最小值．【解答】解：由题意 ）n 的展开式的项为）r =C n r=C r令r=0，得 r ，当 r=4 时，n 取到最小值 5故选：C ．【点评】本题考查二项式的性质，解题的关键是熟练掌握二项式的项，且能根据指数的形式及题设中有常数的条 件转化成指数为 0，得到 n 的表达式，推测出它的值．34.【来源】上海市金山中学 2017-2018 学年高二下学期期中考试数学试题 设(3x -1)6= a x 6+ a x 5+ + a x + a ，则| a | + | a | + | a | + + | a| 的值为…（ B ）651126(A) 26(B) 46(C) 56(D) 26+ 4635.【来源】浙江省台州市 2016-2017 学年高二下学期期末数学试题x -已知在（ 2 1 ）n的展开式中，第 6 项为常数项，则 n =（ D ）A ．9B ．8C ．7D ．6答案及解析：【考点】二项式系数的性质． 【分析】利用通项公式即可得出． 【解答】解：∵第 6 项为常数项，由 =﹣ •x n ﹣6，可得 n ﹣6=0．解得 n=6． 故选：D ．36.【来源】山东省潍坊寿光市 2016-2017 学年高二下学期期末考试数学（理）试题⎛ 1 ⎫6+ 2x ⎪ ⎝ ⎭的展开式中常数项为（ B ） A ．120B ．160C. 200D ．24037.【来源】北京西城八中少年班 2016-2017 学年高一下学期期末考试数学试题 (2x + 3)4 = a + a x + a x 2 + a x 3 + a x 4(a + a + a )2 - (a + a )2若0 1 2 3 4，则 0 2 41 3 的值为（ A ）． 5 x A ． C B ． C C ． C D ． Cx x A ．1 B ．－1 C ．0 D ．2答案及解析：令 x = 1， a + a + + a = (2 + 3)4 ，1 4令 x = -1， a - a + a - a + a= (-2 + 3)4 ，1234而 (a + a + a )2 - (a + a )22413= (a 0 + a 2 + a 4 + a 1 + a 3 )(a 0 - a 1 + a 2 - a 3 + a 4 )= (2 + 选 A ．3)4 (-2 + 3)4 = (3 - 4)4 = 1． 38.【来源】云南省曲靖市第一中学 2018 届高三 4 月高考复习质量监测卷（七）数学（理）试题设 i 是虚数单位，a 是(x + i )6的展开式的各项系数和，则 a 的共轭复数 a 的值是（ B ） A ． －8iB ． 8iC ． 8D ．-8答案及解析：由题意，不妨令 ，则，将转化为三角函数形式，，由复数三角形式的乘方法则，，则，故正确答案为 B.39.【来源】福建省三明市 2016-2017 学年高二下学期普通高中期末数学（理）试题 a 2 52x + x - 的展开式中各项系数的和为－1，则该展开式中常数项为( A ) x xA ．－200B ．－120 C.120 D ．20040.【来源】甘肃省天水一中 2018 届高三上学期第四次阶段（期末）数学（理）试题已知（1+ax ）(1+x )5 的展开式中 x 2 的系数为 5，则 a =( D )A.-4B.-3C.-2D.-141.【来源】广东省深圳市宝安区 2018 届高三 9 月调研测数学（理）试题(1 + 1)(1 + x )5 展开式中 x 2 的系数为 ( A )xA ．20B ．15C ．6D ．142.【来源】甘肃省民乐一中、张掖二中 2019 届高三上学期第一次调研考试（12 月）数学（理）试题⎛ a ⎫ ⎛1 ⎫5x + ⎪ 2x - ⎪ ⎝ ⎭ ⎝⎭ 的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式中常数项为( D )A ．-40B ．-20C ．20D ．4043.【来源】浙江省名校协作体 2018 届高三上学期考试数学试题⎛ 1+ 2⎫(1- x )4 展开式中 x 2 的系数为（ C ） x ⎪ ⎝ ⎭A .16B .12C .8D .444.【来源】山西省太原市 2018 届高三第三次模拟考试数学（理）试题已知(x -1)(ax +1)6展开式中 x 2 的系数为 0，则正实数a = （ B ） 22 A ．1B ．C.53D ． 2x 4 5 5 答案及解析：的展开式的通项公式为.令 得 ；令得.展开式 为. 由题意知，解得（舍）.故选 B. 45.【来源】吉林省松原市实验高级中学、长春市第十一高中、东北师范大学附属中学 2016 届高三下学期三校联合模拟考试数学（理）试题(x +1)2 (x - 2)4的展开式中含 x 3 项的系数为( D )A ．16B ．40 C.－40 D ．846.【来源】海南省天一大联考 2018 届高三毕业班阶段性测试（三）数学（理）试题若(2x - 3)2018= a + a x + a x 2 + L + ax 2018 ，则 a + 2a + 3a + L + 2018a= （ D ）122018A ．4036B ．2018C ．-2018D ．-4036123201847.【来源】湖北省天门、仙桃、潜江 2018 届高三上学期期末联考数学（理）试题(1 + x )8 (1 + y )4 的展开式中 x 2y 2 的系数是 ( D )A ．56B ．84C ．112D ．168答案及解析：因的展开式 的系数 ，的展开式 的系数 ，所的系数.故选 D.48.【来源】北京西城八中 2016-2017 学年高一下学期期末考试数学试题 ⎛ x 2 - 在二项式⎝ 1 ⎫5⎪⎭ 的展开式中，含 x 的项的系数是（ C ）． A ．－10B ．－5C ．10D ．5答案及解析：解： ⎛ x 2 - 1 ⎫5⎪ 的展开项T = C k (x 2 )k (-x -1 )5-k = (-1)5-k C k x 3k -5 ，令3k - 5 = 4 ，可得 k = 3， ⎝x ⎭ k +1 5 5∴ (-1)5-k C k = (-1)5-3 C 3= 10 ． 故选 C ．49.【来源】广东省化州市 2019 届高三上学期第二次模拟考生数学（理）试题 已知(x +1)(ax - 1)5的展开式中常数项为－40，则 a 的值为（ C ）xA. 2B. －2C. ±2D. 450.【来源】福建省“华安一中、长泰一中、南靖一中、平和一中”四校联考 2017-2018 学年高二下学期第二次联考试题（5 月）数学（理）试题若(1 - 2 x )n(n ∈ N *) 的展开式中 x 4的系数为 80，则(1 - 2 x )n的展开式中各项系数的绝对值之和为( C ) A ．32B ．81C ．243D ．256。
北京市海淀区北京理工大学附属中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题(含解析)
北京市海淀区北京理工大学附属中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题1.的倾斜角为（ ）A. B. C. D.2.已知直线平分圆的周长，则（ ）A.2B.4C.6D.83.如图，在四面体OABC 中，，点在OA 上，且为BC 的中点，则等于（ ）A. B. C. D.4.已知向量，当时，向量在向量上的投影向量为（ ）（用坐标表示）A. B. C. D.5.已知直线和直线，下列说法错误的是（ ）A.始终过定点 B.若，则或-3C.若，则或2D.当时，始终不过第三象限6.空间内有三点，则点到直线EF 的距离为（ ）B.D.7.已知圆直线，点在直线上运动，直线PA ，PB 分别与圆相切于点A ，B .则下列说法正确的个数是（ ）310y --=30︒60︒120︒150︒260x my -+=222:(1)(2)4C x y -+-=m =,,OA a OB b OC c ===M 2,OM MA N =MN121232a b c -+ 211322a b c-++111222a b c +-221332a b c +-(2,1,1),(1,,1),(1,2,1)a b x c =-==-- a b ⊥ b c(1,2,1)-(1,2,1)(1,2,1)--(1,2,1)-1:0l x ay a +-=2:(23)10l ax a y ---=2l 21,33⎛⎫⎪⎝⎭12//l l 1a =12l l ⊥0a =0a >1l (3,1,4),(2,1,1),(1,2,2)P E F -P 22:(4)4M x y ++=:20l x y +-=P l M（1）四边形PAMB（2）|PA |最短时，弦AB （3）|PA |最短时，弦AB 直线方程为（4）直线AB 过定点A.1个B.2个C.3个D.4个8.在矩形ABCD 中，.将三角形ACD 沿着AC 翻折，使点在平面ABC 上的投影恰好在直线AB 上，则此时二面角的余弦值为（ ）A. B.D.9.在正三棱锥中，是的中心，，则____________.10.已知直线，若，则实数___________.11.设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值___________.12.如图，平行六面体的所有棱长均为两两所成夹角均为，点E ，F分别在棱上，且，则___________；直线与EF 所成角的余弦值为______________________.13.已知的顶点边上的中线CM 所在直线的方程为的平分线BH 所在直线的方程为.（1）求直线BC 的方程;（2）若点P 满足，求动点的轨迹方程.14.已知四棱锥中，底面ABCD 是正方形，平面是PB 的中点.3380x y +-=10,23⎛⎫-⎪⎝⎭,,AD a AB b b a ==>D E B AC D --22a ba b2a b b+P ABC -O ABC 2PA AC ==PO PB ⋅=12:310,:2(1)10l mx y l x m y +-=+-+=12l l ‖m =m ∈R A 10x my ++=B 230mx y m --+=(,)P x y ||||||PA PB AB ++1111ABCD A B C D -12,,,AB AD AA 60︒11,BB DD 112,2BE B E D F DF ==||EF =1AC ABC (1,2),A AB 210,x y ABC +-=∠y x =PBC ABC S S = P P ABCD -PD ⊥,1,ABCD PD AB E ==（1）求直线BD 与直线PC 所成角的大小;（2）求点B 到平面ADE 的距离.15.已知圆过点三个点.（1）求圆的标准方程;（2）已知，直线与圆相交于A ，B 两点，求|AB |的最小值.16.已知平面边形ABCD 中，，且.以AD 为腰作等腰直角三角形PAD ，且，将沿直线AD 折起，使得平面平面ABCD .（1）证明:平面PAC ;（2）若M 是线段PD 上一点，且平面MAC ，①求三棱锥M-ABC 的体积;②求平面PBC 与平面ABM 夹角的余弦值.M (1,0),(2,2)--M 2a c b +=0ax by c ++=M //,AD BC BC CD⊥2AD CD AB ===PA AD =PAD ∆PAD ⊥AB ⊥//PB参考答案1.【答案】A所以它的倾斜角为.故选：A.2.【答案】B【详解】由，可得圆心为，因为直线平分圆的周长，所以直线过圆的圆心，则，解得.故选：B.3.【答案】B【详解】可知:，即.故选:B.4.【答案】A【详解】，解得，，所以在上的投影向量为.故选：A.5.【答案】B【详解】，令且，解得，故直线过点，A 正确;当时，和直线，故重合，故B 错误;由，得或2，故C 正确;30︒22(1)(2)4x y -+-=(1,2)260x my -+=222:(1)(2)4C x y -+-=2260m -+=4m =21()32MN MO ON OA OB OC =+=-++211322MN a b c =-++,210a b a b x ⊥∴⋅=-+=3x =(1,3,1)b ∴=b c 2.161(1,2,1)141b c c c c c--==-=-++2:(2)310l a x y y -+-=20x y -=310y -=21,33x y ==21,33⎛⎫⎪⎝⎭1a =1:10l x y +-=2:10l x y +-=12,l l 1(32)0a a a ⨯+⨯-=0a =始终过，斜率为负，不会过第三象限，故D 正确.故选：B 6.【答案】A【详解】因为，所以直线EF 的一个单位方向向量为.因为，所以点到直线EF故选：A 7.【答案】A【详解】对于（1），四边形的面积可以看成两个直角三角形的面积之和，即，最短时，面积最小，故当时，|MP |最短，即，，故（1）错误；对于（2），由上述可知，时，|MP |最短，故|PA |最小，且最小值为所以故（2）正确;对于（3），当|短时，则，又，所以，可设AB 的直线方程为圆心到直线AB 的距离或，由于直线AB 在圆心的右侧，且在直线的左侧，11:1l y x a=-+(0,1)(1,1,1)EF =- 1,1,1)u =- (1,0,5)PE =- P ==122||2||2MPA MPB MPA PAMB S S S S PA AM PA =+==⨯⨯=== 四边形‖||MP ∴MP l ⊥min ||MP ==PAMB S ∴==四边形MP l ⊥||PA ==|||2||sin 2||22||AP AB AM AMP AM PM =∠==⨯=PA ∣MP l ⊥MP AB ⊥,1,1l AB l AB k k =-∴=-‖0,x y m ++=∴(4,0)M -d ===83m =163m =(4,0)M -l所以，所以，即直线AB 的方程为，故（3）错误;对于（4），设圆上一点，，易知，由于，所以，同理，，，即，令，解得，所以直线AB 过定点为，故（4）错误;故选：A.8.【答案】A【详解】如图所示，作于于.在Rt 中，，在R 中，，4224m m -<-<⇒-<<83m =803xy ++=()()(),,,,,A A BB P P A x y B x y P x y ()()()4,,4,,,A A B B A P A P MA x y MB x y PA x x y y ∴=+=+=--()()()040A A P A A P PA MA x x x y y y ⋅=⇒+-+-= ()2244A A x y ++=()()444p A P A x x y y +++⋅=()()0444P B P B PB MB x x y y ⋅=⇒+++⋅=():(4)44,2P P P P AB x x y y y x ∴+++⋅==-+ ()()(4)424P P x x y x ∴+++-=(4)42120P x y x x y +-+++=4042120x y x y +-=⎧⎨++=⎩10323x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩102,33⎛⎫- ⎪⎝⎭DG AC ⊥,G BH AC ⊥H ADC AD AC DAC AC =∠==ADG cos AG AD DAC a =∠==DG ===同理可得，因为所以，又因为，所以.因为与的夹角即为二面角的大小，所以二面角的余弦值为.故选：A.9.【答案】【详解】在正三棱锥中，是的中心，平面平面，即，，.故答案为：cos BC BCA CH DG AC ∠====()AD BC AE ED BC AE BC B E CD ⋅=+⋅=⋅+⋅()()GD HB GA AD HC CB GA HC GA CB AD HC AD CB⋅=+⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅ 4220a a a a b =+⨯⨯+=+2222||||a b GD HB a b ⋅==+ 422222222cos ,||||a GD HB a ab GD HB a b b GD HB a b ⋅+===⋅+GD HBB ACD --B AC D --22a b82/233P ABC -O ABC PO ∴⊥,ABC OB ⊂,ABC PO BO ∴⊥0PO OB ⋅=2,2PA AC AB CB AC ===== 2||||sin 603BO AB ︒∴=⋅⋅=22248()||||||433PO PB PO PO OB PO PO OB BP BO ∴⋅=⋅+=+⋅=-=-= 8310.【答案】3【详解】解:故答案为：3.11.【答案】【详解】由题意可知：动直线过定点，动直线，即过定点，则，且，则，可知点的轨迹是以AB 为直径的圆，则，且，可得，当且仅当时，等号成立，所以的最大值.故答案为:12.【详解】连接AF ，AE，(1)3232m m m m -=⨯⎧⇒=⎨≠-⎩6+10x my ++=(1,0)A -230mx y m --+=(2)30m x y --+=(2,3)B ||AB =1(1)0m m ⨯+⨯-=PA PB ⊥P 222||||||18PA PB AB +==22(||||)||||182PA PB PA PB +≤+=||||6PA PB +≤||||3PA PB ==||||||PA PB AB ++6+6+，故；，故，故，则故直线与EF.故答案为13.【详解】（1）111121333EF AF AE AD DD AB BB AB AD AA =-=+--=-+- 22221111222933EF AB AD AA AB AD AB AA AD AA =++-⋅+⋅-⋅4224044222cos 22cos 22cos 9333339πππ=++-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯=||EF = 11AC AB AD AA =++ 22221111222AC AD AD AB AA AD A =++++⋅+⋅11144422222222224222=+++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=1AC =1113||AC EF AC EF ⎛⎫⋅====1AC由点在，设，则AB 的中点在直线CM 上，所以，解得，所以，设点关于直线对称的点，则有，解得，即，显然在BC 上，直线BC 的斜率为，由点斜式，整理得，即为直线BC 的方程.（2）点A 到直线BC 的距离为因为点满足，所以点P ，A 到直线BC 的距离相等，所以动点的轨迹为与直线BC 平行，且距离等于点A 到直线BC 的距离的直线，设轨迹方程为，，解得或4，所以动点的轨迹方程为或.14.【详解】（1）以点为原点，分别以DA ，DC ，DP 所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图空间直角坐标系.B y x =(,)B m m 12,22m m ++⎛⎫⎪⎝⎭1221022m m +++⨯-=1m =-(1,1)B --(1,2)A y x =()00,A x y '00002112122y x y x -⎧=-⎪-⎪⎨++⎪=⎪⎩0021x y =⎧⎨=⎩(2,1)A '(2,1)A '1(1)22(1)3k --==--21(1)3y x +=+2310x y --=d ==P PBC ABC S S = P 230x y C -+==6C =-P 2360x y --=2340x y -+=D由题意D （0，0，0），A （1，0，0），B （1，1，0），C （0，1，0），P （0，0，1），设直线BD 与直线PC 所成的角为，因为，，所以直线BD 与直线PC 所成角为;（2）因为，所以，，则为平面ADE 的一个法向量，设点到平面ADE 的距离为，则为向量在向量上的投影的绝对值，由，得所以点到平面ADE.15.【详解】（1）设圆的方程为，代入各点得:，所求圆的一般方程为:标准方程为:.111(22,2,E θ(1,1,0),(0,1,1)BD PC =--=- ||1cos 2||||BD PC BD PC θ⋅===⋅ 3π111(1,0,0),(0,1,1),,,222DA PC DE ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭10010(1)0DA PC ⋅=⨯+⨯+⨯-= 11101(1)0222DE PC ⋅=⨯+⨯+-⨯= (0,1,1)PC =- B d d DB (0,1,1)PC =- (1,1,0)DB = ||||DB PC d PC ⋅=== B 220x y Dx Ey F ++++=1041200,4,15420D F DEF D E F E F ⎧++=⎪++-+=⇒===-⎨⎪++-+=⎩22410x y y ++-=22(2)5x y ++=（2）把代入直线方程得:，即，令，可得，所以直线过定点.又，所以定点在圆内，当时，|AB |最小，此时，则.16.【详解】（1）因，故，又，且，故在直角梯形ABCD 中，，由可得；因平面平面，平面平面，则平面ABCD ，又平面ABCD ，则，又，因平面PAC ，故平面PAC .（2）①如图，连接BD ，设，连接OM ，因平面MAC ，且平面PBD ，平面平面，则，故，在四边形ABCD 中，由，可得，故，即，即点是线段PD 上靠近点的三等分点，2c b a =-20ax by b a ++-=(1)(2)0x a y b -++=1020x y -=⎧⎨+=⎩12x y =⎧⎨=-⎩(1,2)N -||1MN =<N MN AB ⊥|||1AM r MN ===min ||4AB ===//,AD BC BC CD ⊥AD CD ⊥2AD CD AB ===PA AD =AC AB ==24BC =+=222AB AC BC +=AB AC ⊥PAD ⊥,ABCD PA AD ⊥PAD ⋂ABCD AD =PA ⊥AB ⊂PA AB ⊥PA AC A ⋂=,PA AC ⊂AB ⊥BD AC O ⋂=//PB PB ⊂PBD ⋂MAC OM =//OM PB DM DO MP BO=//AD BC 12DO AD BO BC ==12DM DO MP BO ==13DM DP =M D故.②如图，以点A 为坐标原点，分别以AB ，AC ，AP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则，所以，，设平面PBC 的法向量为，则，可取，因，故，设平面ABM 的法向量为，则由，可取，故，故平面PBC与平面ABM11111823332189M ABC P ABC V AB AC PA --==⨯⨯⨯⨯=⨯⨯=(0,0,0),(0,0,2),(A B C P D (2)BC PC =-=- ()111,,m x y z =1111020BC m PC m z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ m = 112333DM DP ⎫===⎪⎭ 22(,33AM AD DM AB ⎫⎛⎫=+=+==⎪ ⎪⎭⎝⎭ ()222,,n x y z = 22220203AB n AM n x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩(0,1,n =cos(,)|||m n m n m n ⋅=⋅ ∣。
2023-2024学年北京海淀区理工大附中高二(上)期中数学试题及答案
2023北京理工大附中高二（上）期中数 学一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 如图，一个水平放置的平面图形的直观图是边长为2的正方形，则原图形的周长是（ ）A. 16B. 12C. 4+D. 4+ 2. 已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）A. 若m α⊂，n ⊂α，//m β，//n β，则//αβB. 若//n m ，n α⊥，则m α⊥C. 若m α⊥，m n ⊥，则//n αD. 若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n3. 如图所示，圆柱与圆锥的组合体，已知圆锥部分的高为12，圆柱部分的高为2，底面圆的半径为1，则该组合体的体积为（ ）A. π3B. 2πC. 13π6D. 5π24. 已知a ，b ，c 是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（ ）A. 3a ，a b −，2a b +B. 2b ，2b a −，2b a +C. a ，2b ，b c −D. c ，a c +，a c −5. 设x 、y ∈R ，向量(),1,1a x =，()1,,1b y =，()3,6,3c =−且a c ⊥，//b c ，则a b +=（ ）A. B. C. 4 D. 36. 正方体1111ABCD A B C D −中，直线1AB 与平面11ACC A 所成的角为（ ）A. 30︒B. 45︒C. 60︒D. 90︒ 7. 已知点P 是正方体1111ABCD A B C D −的棱11A D 上的一个动点，设异面直线AB 与CP 所成的角为α，则cos α的最小值是（ ）A. 3B. 23C. 5D. 58. 如图，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面A 1B 1C 1，底面三角形A 1B 1C 1是正三角形，E 是BC 的中点，则下列叙述正确的是（ ）A. CC 1与B 1E 是异面直线B.AC ⊥平面ABB 1A 1C. AE ，B 1C 1为异面直线，且AE ⊥B 1C 1D. A 1C 1//平面AB 1E9. 在正三棱锥−P ABC 中，O 是ABC 的中心，2PA AB ==，则PO PA ⋅=( )A. 59 C. 3 D. 8310. 在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，E 为BC 的中点，点P 在底面ABCD 上移动，且满足11B P D E ⊥，则线段1B P 的长度的最大值为( )A. 2B. 3C.D. 5二、填空题共5小题，每小题4分，共20分.11. 设向量()1,2,4AB =，(),1,1CD m =，AB CD ⊥，则实数m =________.12. 已知正方体1111ABCD A B C D −的棱长为3，则1C 到平面1A BD 的距离为______.13. 已知直线m ，n 的方向向量分别为()1,2,2a =−，()130b =,,，则直线m ，n 夹角的余弦值为______. 14. 在古代数学中，把正四棱台叫做方亭，数学家刘徽用切割的方法巧妙地推导出了方亭的体积公式()2213V a ab b h =++，a 为方亭的下底面边长，b 为上底面边长，h 为高.某地计划在一片平原地带挖一条笔直的沟渠，渠的横截面为等腰梯形，上底为10米，下底为6米，深2米，长为837.5米，并把挖出的土堆成一个方亭，设计方亭的下底面边长为70米，高为6米，则其侧面与下底面所成的二面角的正切值为________.15. 已知圆锥的底面半径为2，S 为顶点，A ，B 为底面圆周上的两个动点，则下列说法正确的是______.①圆锥的体积为8π；；③圆锥截面SAB 面积的最大值为 ④若圆锥的顶点和底面上的所有点都在一个球面上，则此球的体积为256π3. 三、解答题共4小题，共40分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16. 设,R x y ∈，向量(),1,1a x =，()1,,1b y =，()2,4,2c =−，且a b ⊥，b c ∥.（1）求a b +；（2）求向量a b +与2a b c +−夹角的大小．17. 如图，在正方体1111ABCD A B C D −中，棱长为2，M 、N 分别为1A B 、AC 的中点．（1）证明：//MN 平面11BCC B ；（2）求1A B 与平面11A B CD 所成角的大小．18. 如图，在直三棱柱111ABCA B C 中，90ACB ∠=︒，1AC BC CC ==，M 为AB 的中点，D 在11A B 上且113A D DB =.（1）求证：平面CMD ⊥平面11ABB A ；（2）求直线CM 与平面CBD 所成角的正弦值；（3）求二面角B CD M −−的余弦值.19. 如图，在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 为菱形，且2AB =，2ABC BAD ∠=∠，2PDC π∠=，点M 为棱DP 的中点.（1）在棱BC 上是否存在一点N ，使得CM 平面PAN ，并说明理由；（2）若PB AC ⊥，二面角B CM D −−A 到平面BCM 的距离.参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 【答案】A【分析】根据斜二测画法分析运算.【详解】在直观图中，2,O A O B ''===，可得原图形是平行四边形，其底边长2，高为2⨯=6=，所以原图形的周长为()22616⨯+=．故选：A.2. 【答案】B【分析】根据空间线面位置关系依次判断各选项即可得答案.【详解】解：对于A ，若m α⊂，n ⊂α，//m β，//n β，mn P =，则//αβ，故错误； 对于B ，//n m ，n α⊥，则m α⊥，正确；对于C ，m α⊥，m n ⊥，则//n α或n ⊂α，故错误；对于D ，若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n 或异面，故错误.故选：B3. 【答案】C【分析】利用圆柱和圆锥的体积公式即可求解.【详解】依题意可知，底面圆的半径为1,r =圆柱部分的高为12h =，圆锥部分的高为212h =， 所以圆柱部分的体积为2211ππ122πV r h ==⨯⨯=， 圆锥部分的体积为22221111ππ1π3326V r h ==⨯⨯⨯=， 所以该组合体的体积为121132πππ66V V V =+=+=. 故选：C.4. 【答案】C【分析】利用空间向量的基底的定义，逐项判断作答.【详解】向量,,a b c 是不共面的三个向量，对于A ，32()(2)a a b a b =−++，则向量3,,2a a b a b −+共面，A 不能构成空间基底； 对于B ，2(2)(2)b b a b a =−++，则向量2,2,2b b a b a −+共面，B 不能构成空间基底； 对于D ，2()()c a c a c =+−−，则向量,,c a c a c +−共面，D 不能构成空间基底；对于C ，假定向量,2,a b b c −共面，则存在不全为0的实数12,λλ，使得122()a b b c λλ=+−，整理得122(2)0a b c λλλ−++=，而向量,,a b c 不共面，则有12210200λλλ=⎧⎪+=⎨⎪=⎩，显然不成立，所以向量,2,a b b c −不共面，能构成空间的一个基底，C 能构成空间基底.故选：C5. 【答案】D【分析】利用空间向量垂直与共线的坐标表示求出x 、y 的值，求出向量a b +的坐标，利用空间向量的模长公式可求得结果.【详解】因为a c ⊥，则3630a c x ⋅=−+=，解得1x =，则()1,1,1a =，因为//b c ，则136y =−，解得=2y −，即()1,2,1b =−， 所以，()2,1,2a b +=−，因此，413a b +=+=.故选：D.6. 【答案】A 【分析】根据给定条件，作出直线与平面所成的角，再在三角形中求解作答.【详解】正方体1111ABCD A B C D −中，连接1111B D A C O =，连接AO ，如图，则有111B O A C ⊥，而1AA ⊥平面1111A B C D ，1B O ⊂平面1111A B C D ，即有11B O AA ⊥，又1111111,,AA A C A AA A C ⋂=⊂平面11ACC A ，因此1B O ⊥平面11ACC A ，则1B AO ∠是直线1AB 与平面11ACC A 所成的角， 在1Rt AB O 中，190AOB ∠=，11111122B O B D AB ==，则有130B AO ∠=， 所以直线1AB 与平面11ACC A所成的角为30︒.故选：A7. 【答案】A【分析】由正方体的性质可知所求为cos DCP ∠的最小值，又因为CD ⊥DP ，可知当点P 在1A 处时，cos α有最小值，计算可得结果.【详解】解：由正方体的性质可知：//AB CD ，则异面直线AB 与CP 所成的角为直线CD 与直线CP 所成的角，即DCP ∠或其补角. 又因为CD ⊥平面11ADD A ，所以CD ⊥DP ，即求cos DCP ∠的最小值.cos CD CP α==，当点P 在1A 处时， ()min cos 3α==.故选：A.8. 【答案】C【分析】逐一分析选项，得到正确答案，A.根据是否共面分析；B.用反证法证明；C.利用线面垂直的性质定理证明；D.利用AC ∥A 1C 1，判断线面是否平行.【详解】对于A, CC 1与B 1E 都在平面CC 1B 1B 内，且CC 1与B 1E 是相交直线，故A 错误；对于B ，假设AC ⊥平面ABB 1A 1，则AC 垂直于平面内的任一条直线，即AC ⊥AB ，这与题设“底面三角形A 1B 1C 1是正三角形”矛盾，所以假设不成立，故B 错误；对于C ，点B 1∉AE ，直线B 1C 1交平面AEB 1于点B 1，∴AE ，B 1C 1为异面直线；由题知△ABC 是正三角形，又E 是BC 的中点，∴AE ⊥BC ，又AE ⊥C 1C ，且BC C 1C= C ∴AE ⊥底面BB 1C 1C ，∴AE ⊥B 1C 1，故C 正确；对于D ，直线AC 交平面AB1E 于点A ，又AC ∥A 1C 1，∴直线A 1C 1与平面AB 1E 相交，故D 错误． 故选：C【点睛】本题考查异面直线判断、异面直线垂直、线面垂直、线面平行等命题的真假性判断，考查学生的空间想象能力与逻辑推理能力，属于基础题.9. 【答案】D【分析】将PA 转化为PO OA +，由三棱锥是正三棱锥可知PO ⊥OA ，即可将PO PA ⋅转化为2||PO ，结合勾股定理即可求解．【详解】P ABC −为正三棱锥，O 为ABC 的中心，∴PO ⊥平面ABC ，△ABC 是等边三角形，∴PO ⊥AO ，∴220sin6033PO OA AO AB ⋅==⋅⋅=，， 故()22248||||433PO PA PO PO OA PO AP AO ⋅=⋅+==−=−=． 故选：D.10. 【答案】B【分析】以D 为原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设(),,0P a b ，根据110B P D E ⋅=求出a 、b 之间的关系，利用两点间距离公式结合二次函数性质可求1B P 长度的最大值．【详解】以D 为原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()10,0,2D ，()1,2,0E ，()12,2,2B ，设(),,0P a b ，02a ，02b ，则()12,2,2B P a b =−−−，()11,2,2D E =−，11B P D E ⊥，()1122240B P D E a b ∴⋅=−+−+=， 220a b ∴+−=，则易求01b ， 2222221(2)(2)4(2)(2)4548B P a b b b b b =−+−+=−+−+=−+，由二次函数的性质可知，当1b =时，2548b b −+可取到最大值9， ∴线段1B P 的长度的最大值为3．故选：B ．二、填空题共5小题，每小题4分，共20分.11. 【答案】6−【分析】利用向量数量积坐标计算公式直接求解.【详解】因为AB CD ⊥，所以240AB CD m ⋅=++=，解得6m =−.故答案为：6−.【点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．12. 【答案】【分析】根据正方体的性质以及线面垂直的判定定理、性质定理，可得出1AC ⊥平面1A BD .构造辅助线得出1AC 与平面1A BD 的交点E ，然后根据相似三角形，即可得出答案.【详解】如图，连接1AC ，1AD ，由正方体的性质可知，11C D ⊥平面11ADD A ，11A D AD ⊥.因为1A D ⊂平面11ADD A ，所以111C D A D ⊥.因为11C D ⊂平面11AC D ，1AD ⊂平面11AC D ，1111AD C D D =，所以1A D ⊥平面11AC D因为1AC ⊂平面11AC D ，所以11A D AC ⊥.同理可得11AC A B ⊥.因为1A D ⊂平面1A BD ，1A B ⊂平面1A BD ，111A D A B A ⋂=，所以1AC ⊥平面1A BD .连接AC 交BD 于O ，连接1A O 交1AC 于点E ，则1C 到平面1A BD 的距离即等于1C E 的长.因为11//AA CC ，且11AA CC =，所以四边形11ACC A 为平行四边形. 又12AO AC =，所以11AOE C A E △∽△，则11112AE AO C E AC ==，所以1123C E AC ==1C 到平面1A BD的距离为故答案为：13.【答案】6【分析】直接利用向量的夹角公式求解即可.【详解】设直线m ，n 夹角为θ，则cos 614a ba b θ⋅===+⋅. 故答案为：6. 14. 【答案】625 【分析】计算出挖出的土的体积，利用台体体积公式求出b 的值，然后作出图形，找出其侧面与下底面所成的二面角的平面角，即可计算出侧面与下底面所成的二面角的正切值.【详解】由题意知挖出的土的体积()1837.51062134002V =⨯⨯+⨯=， 则由()22170706134003b b ⨯++⨯=，整理得27018000b b +−=，解得20b =或90b =−（舍去）.在正四棱台1111ABCD A B C D −中，70AB =，1120A B =，设点1B 在底面ABCD 内的射影为点E ，点1C 在底面ABCD 内的射影为点N ，设直线EN 分别交AB 、CD 于点F 、M ，连接1B F 、1C M ，因为1B E ⊥平面ABCD ，1C N ⊥平面ABCD ，所以，11//B E C N ，又因为平面//ABCD 平面1111A B C D ，所以，11B E C N =，故四边形11B C NE 为矩形，所以，11//FM B C ，因为AB BC ⊥，11//B C BC ，则//FM BC ，所以，AB FM ⊥，因为1B E ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，则1AB B E ⊥，因为1FM B E E =，FM 、1B E ⊂平面11B C MF ，所以，AB ⊥平面11B C MF ，因为1B F ⊂平面11B C MF ，所以，1B F AB ⊥，所以，侧面11AA B B 与底面ABCD 所成二面角的平面角为1B FE ∠，易知四边形11AA B B 、11CC D D 是全等的等腰梯形，且11BB CC =，11ABB DCC ∠=∠，所以，111111sin sin B F BB ABB CC DCC C M =∠=∠=，因为//FM BC ，//BF CM 且FB BC ⊥，则四边形BCMF 为矩形，故FM BC =，则11FM B C ≠， 故四边形11B C MF 为等腰梯形，因为11B F C M =，11B E C N =，1190B EF C NM ∠=∠=，故11B EF C NM △≌△，所以，EF MN =，又因为1120EN B C ==，70FM BC ==，故70202522FM EN EF −−===， 在1Rt B EF 中，116tan 25B E B FE EF ∠==. 故答案为：625. 15. 【答案】①②④【分析】根据题意求出圆锥的母线长，体积，侧面展开图的弧长，轴截面的面积，外接球体积，即可得出结论.【详解】圆锥的底面半径r =2h =，∴圆锥的母线长4SA SB ====，∴圆锥的体积(2211ππ28π33V r h ==⨯⨯=，①正确；设圆锥侧面展开图的圆心角大小为α，则2π4,αα⨯=⨯=，②正确；当圆锥截面SAB 为圆锥的轴截面时，此时4,SA SB AB ===，则2221cos 22SA SB AB ASB SA SB +−∠==−⋅，又()0,πASB ∠∈， 2π3ASB ∴∠=，则当π2ASB ∠=时，圆锥截面SAB 面积的最大， 此时11sin 441822ASB S SA SA ASB =⋅⋅⋅∠=⨯⨯⨯=，故③错误； 圆锥的顶点和底面上的所有点都在同一个球面上，即为圆锥的外接球，设圆锥的外接球半径为R ，由球的性质可知()222R h R r =−+，即()(2222R R =−+， 解得4R =， 所以外接球体积3344256πππ4333V R ==⨯=，④正确 故答案为：①②④. 三、解答题共4小题，共40分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16. 【答案】（1）3 （2）π2【分析】根据空间向量垂直和平行的性质，求出x 、y ，进而求出向量a 和b ，再进行相应运算即可.【小问1详解】由题意，a b ⊥，b c ∥， 可得1011242x y y ++=⎧⎪⎨==⎪−⎩，解得12x y =⎧⎨=−⎩， 则()1,1,1a =，()1,2,1b =−，所以()2,1,2a b +=−， 故223a b +=+=. 【小问2详解】因为21,4,1ab c ， 所以22114210a b a b c ，故向量a b +与2a b c +−的夹角为π2. 17. 【答案】（1）证明见解析（2）30° 【分析】（1）以点D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴建立空间直角坐标系，求出MN 和平面11BCC B 的法向量，利用空间向量证明即可，（2）求出平面11A B CD 的法向量，利用空间向量求解即可.【小问1详解】如图，以点D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴建立空间直角坐标系．则()2,0,0A ，()0,2,0C ，()12,0,2A ，(2,2,0)B ，()12,2,2B ，()2,1,1M ，()1,1,0N ． 所以()1,0,1MN =−−，因为DC ⊥平面11BCC B ,所以平面11BCC B 的一个法向量为(0,2,0)DC =，因为0MN DC ⋅=，所以MN DC ⊥， 因为MN ⊂平面11BCC B ，所以//MN 平面11BCC B【小问2详解】()0,2,0DC =，()12,0,2DA =，()10,2,2A B =−．设平面11A B CD 的一个法向量为(),,n x y z =则122020DA n x z DC n y ⎧⋅=+=⎨⋅==⎩，令1z =，则=1x −，0y =，所以()1,0,1n =−设1A B 与平面11A B CD 所成角为θ， 则1111sin cos ,222A B n A B n A B n θ⋅−====⋅． 因为0180θ︒≤<︒，所以1A B 与平面11A B CD 所成角为30°．18. 【答案】（1）证明见解析（2）17（3）51【分析】（1）证明1,CM AB CM AA ⊥⊥，推出CM ⊥平面11ABB A ，进而可得结论；（2）以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，1CC 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求直线CM 与平面CBD 所成角的正弦值；（3）利用向量法求二面角B CD M −−的余弦值.【小问1详解】直三棱柱111ABC A B C 中, 1AC BC CC ==，M 为AB 的中点，CM AB ∴⊥，1AA ⊥平面ABC ，CM ⊂平面ABC1CM AA ∴⊥，又1AA AB A =，1,AA AB ⊂平面11ABB A ，CM ∴⊥平面11ABB A ，又CM ⊂平面CMD ，∴平面CMD ⊥平面11ABB A ；【小问2详解】以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，1CC 为z 轴，建立空间直角坐标系，设14AC BC CC a ===，则(0,0,0),(0,4,0),(,3,4),(2,2,0)C B a D a a a M a a ，()(,,4),(0,4,0),2,2,0BD a a a BC a CM a a =−=−=设面BDC 的法向量(),,n x y z =，则4040n BD xa ya za n BC ya ⎧⋅=−+=⎪⎨⋅=−=⎪⎩，取1z =，得()4,0,1n =−，设直线CM 与平面CBD 所成角为θ，8sin |cos ,|8CM n a α−=<>==⋅ 【小问3详解】设面CDM 的法向量为(),,m x y z '''=，又()(),2,2,0,34,C CD a a M a a a ==，340220m CD x a y a z a m CM x a y a ⎧⋅=++=⎪⎨⋅=+=⎪⎩'''''，取2x '=得()2,2,1m =−，1c 5161os ,m m nm n n −==⋅=+⋅−， 所以二面角B CD M −−的余弦值为51. 19. 【答案】（1）存在，理由见解析；（2．【分析】（1）取PA 的中点Q ，连结NQ 、MQ ，可以证明得四边形CNQM 为平行四边形，利用线面平行的判定定理可得点N ；（2）先证明DE ，DC ，DP 两两互相垂直，以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，由二面角B CM D −−的余弦值为6，求出MD 的长度，进而利用点面距的坐标公式求解即可． 【详解】（1）在棱BC 上存在点N ，使得//CM 平面PAN ，点N 为棱BC 的中点.证明：取PA 的中点Q ，连结NQ 、MQ ，由题意，MQ AD ∥且12MQ AD =，CN AD ∥且12CN AD =， 故CN MQ ∥且CN MQ =. ∴四边形CNQM 为平行四边形.∴CM NQ ∥，又CM ⊄平面PAN ，NQ ⊂平面PAN ，∴CM 平面PAN ；（2）取AB中点E ，因为底面ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，又PB AC ⊥，且PB BD B ⋂=，所以AC ⊥平面PBD ，即PD AC ⊥.又2PDC π∠=，即PD DC ⊥，而DC AC C =所以PD ⊥平面ABCD .又2ABC BAD ∠=∠，所以ABD △为正三角形，即DE AB ⊥，也即DE DC ⊥ 所以DE ，DC ，DP 两两互相垂直（需写出证明过程）. 以D 为坐标原点，分别以DE ，DC ，DP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系. 设MD a =，则()0,0,0D ，()0,0,M a ，()0,2,0C，)B，)1,0A −. 所以()0,2,MC a =−，()3,1,0CB =−. 设平面MBC 的一个法向量为(),,m x y z =. 由·20·30m MC y az m CB x y ⎧=−=⎪⎨=−=⎪⎩，取1x =，得1,3,m a ⎛=⎝⎭； 取平面DMC的一个法向量为()1,0,0n =.由题意，cos ,6m n==，解得a = ∴(3,1,MA =−.设点A 到平面BCM 的距离为d ，则23m MA d m ⋅=== 即点A 到平面BCM。
北京市海淀区2013-2014学年高二下学期期中考试数学理试题 扫描版含答案
海淀区高二年级第二学期期中练习数学（理科）参考答案及评分标准 2014．04一. 选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.（8）讲评提示：考察函数ex . 二.填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. （9）(2,)+ （10）4π （11）16（12）2（13）111111()2321n n n +++++<+∈-N* ，12k + （注：每空2分）（14）20(,0)a b （注：回答出20(,0)a b 给4分；答案为0(,0)ab b 或20(,0)b b 或22(,0)2a bb +给3分；其它答案酌情给1~2分；未作答，给0分）三.解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分10分）证明：（Ⅰ）连接AC 交BD 于点O ，连接OE . 在矩形ABCD 中，AO OC =. 因为 AE EP =，所以 OE ∥PC . ………………………2分 因为 PC Ë平面BDE ，OE Ì平面BDE ， 所以 PC ∥平面BDE . ………………………5分 （Ⅱ）在矩形ABCD 中，BC CD ^. 因为 PD BC ^，CDPD D =，PD Ì平面PDC ，DC Ì平面PDC ，所以 BC ^平面PDC . ………………………8分 因为 PC Ì平面PDC ，所以 BC PC ^.OAEBCDP即 PBC ∆是直角三角形. ………………………10分（16）（本小题满分11分）解：（Ⅰ）因为 ()332f x ax x =++，所以 2'()33f x ax =+. ………………………2分 因为 函数()f x 的一个极值点是1, 所以 '(1)330f a =+=.解得：1a =-. ………………………4分 经检验，1a =-满足题意. 所以 (2)0,'(2)9f f ==-.所以曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程是9(2)y x =--，即9180x y +-=. ………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知：2'()33f x x =-+.令'()0f x =，得 121,1x x =-=. ………………………7分 当x 在[2,3]-上变化时，()'(),f x f x 的变化情况如下表………………………10分 所以 函数()f x 在[2,3]-上的最大值为4，最小值为-16. ………………………11分（17）（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）因为()e a xg x x -=，x ∈R ，所以'()(1)ea xg x x -=-． ………………………2分令'()0g x =，得1x =．当x 变化时，()g x 和'()g x 的变化情况如下：故()g x 的单调递减区间为；单调递增区间为． ………………………5分 （Ⅱ）因为 ()e a x h x x -=+， 所以 '()1ea xh x -=-. ………………………6分令'()0h x =，得x a =．当x 变化时，()h x 和'()h x 的变化情况如下：即()h x 的单调递增区间为；单调递减区间为． ………………………8分 所以()h x 的最小值为()1h a a =+.①当10a +>，即1a >-时，函数()h x 不存在零点.②当10a +=，即1a =-时，函数()h x 有一个零点. ………………………10分 ③当10a +<，即1a <-时，(0)e 0ah =>， 下证：(2)0h a >.令()e 2x m x x =-，则'()e 2x m x =-. 解'()e 20x m x =-=得ln 2x =.当ln 2x >时，'()0m x >，所以 函数()m x 在[)ln 2,+∞上是增函数. 取1ln 2x a =->>，得：ln2()e 2e 2ln 222ln 20a m a a --=+>-=->. 所以 (2)e 2()0a h a a m a -=+=->.结合函数()h x 的单调性可知，此时函数()h x 有两个零点.综上，当1a >-时，函数()h x 不存在零点；当1a =-时，函数()h x 有一个零点；当1a <-时，函数()h x 有两个零点. ………………………12分 （18）（本小题满分11分） （Ⅰ）解：（1）不是，因为线段12A B 与线段12A A 不垂直；（2）不是，因为线段23B B 与线段23A A 不垂直. ………………………2分（Ⅱ）命题“对任意n ∈N 且2n >，总存在一条折线12n C A A A ---：有共轭折线”是真命题.理由如下：当n 为奇数时，不妨令21,2,3,4,n k k =-=，取折线1221k C A A A ----：.其中(,)(1,2,,21)i i i A a b i k =-，满足211(1,2,,21),0(1,2,,),i i a i i k b i k -=-=-==21(1,2,,1)i b i k ==-.则折线C 的共轭折线为折线C 关于x 轴对称的折线.如图所示.当n 为偶数时，不妨令2,2,3,4,n k k ==，取折线122k C A A A ---：.其中(,)(1,2,,2)i i i A a b i k =，满足22121(1,2,,21),2,0(1,2,,),1(1,2,,)i k i i a i i k a k b i k b i k -=-=-=====.折线C的共轭折线为折线122'k C B B B ---：.其中(,)(1,2,,2)i i i B x y i k =满足22212211(1,2,,23),21,21,2,0(1,2,,1),i k k k i x i i k x k x k x k y i k ---=-=-=-=+===-2222121(1,2,,2),3,1,1i k k k y i k y y y --=-=-=-=-=.如图所示. ………………………7分注：本题答案不唯一.（Ⅲ）证明：假设折线1234B B B B ---是题设中折线C 的一条共轭折线（其中11B A =，44B A =），设1(,)t t t t B B x y += (1,2,3t =)，显然,t t x y 为整数. 则由11t t t t B B A A ++⊥，得：11223312312330,30,30,9,1. x yx yx yx x xy y y+=⎧⎪-=⎪⎪+=⎨⎪++=⎪⎪++=⎩①②③④⑤由①②③式得11223,,.3333 y x y x y x=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩这与⑤式矛盾，因此，折线C无共轭折线. ………………………11分注：对于其它正确解法，相应给分.。
2017-2018年北京市人大附中高二(下)期中数学试卷(文科)和答案
2017-2018学年北京市人大附中高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸相应的位置上）1．（5分）复数3+4i的共轭复数是（）A．3﹣4i B．3+4i C．﹣3+4i D．﹣3﹣4i 2．（5分）如图是《集合》的知识结构图，如果要加入“列举法”，则应该接在（）A．“集合的概念”的后面B．“集合的表示”的后面C．“基本关系”的后面D．“基本运算”的后面3．（5分）用反证法证明命题：“如果a＞b＞0，那么|a|＞|b|”时，假设的内容应是（）A．|a|=|b|B．|a|＜|b|C．|a|≤|b|D．|a|＞|b|且|a|=|b|4．（5分）下列结论正确的个数是（）①回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法；②为了研究吸烟与患肺病是否有关，在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，x2的观测值为x2=7.469大于6.635，故我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；③在线性回归分析中，相关系数为r，|r|≤1，并且|r|越接近1，线性相关程度越强．A．0B．1C．2D．35．（5分）函数f（x）的定义域为（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极值点（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．（5分）类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC中的两边AB，AC互相垂直，则三角形三边长之间满足关系：AB2+AC2=BC2，若三棱锥A﹣BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB所在平面两两互相垂直，其三个侧面面积分别为S1，S2，S3，则三棱锥的三个侧面积与底面BCD的面积S之间满足的关系为（）A．B．C．D．7．（5分）为解决四个村庄用电问题，政府投资在已建电厂与这四个村庄之间架设输电线路，现已知这四个村庄及电厂之间的距离如图所示（距离单位：公里）则能把电力输送到这四个村庄的输电线路的最短总长度应该是（）A．19.5B．20.5C．21.5D．25.58．（5分）设函数f（x）定义如表，数列{x n}满足x1=5，，则x2017的值为（）A．1B．3C．5D．6二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把结果填在答题纸相应的位置）9．（5分）复数z=1﹣i（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于第象限．10．（5分）经调查某地若干户家庭的年收入x（万元）和年饮食支出y（万元）具有线性相关关系，并得到y关于x的线性回归直线方和：，由回归直线方程预测，家庭年收入为2万元时，年饮食支出大约为万元．11．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否正确的回答对A，B，C三个问题，甲说：我回答对的问题比乙多，但没有回答对B；乙说：我没回答对C；丙说：我们三人都同时答对一个题；由此可判断乙答对的题为．12．（5分）阅读图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是．13．（5分）a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…则a9+b9=．14．（5分）若集合M满足：∀x，y∈M，都有x+y∈M，xy∈M，则称集合M是封闭的．显然，整数集Z，有理数集Q，都是封闭的．在上述定义下，（1）复数集C封闭的（填“是”或“否”）；（2）若Q⊊F⊆C，集合F是封闭，则满足条件的一个F可以是（只写一个）．三、解答题（本大题共3小题，共30分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸相应的位置上）15．（8分）已知复数z1=2+4i，z2=a+i（a∈R），z1=z2•（1+i），求|z2|．16．（12分）设函数，且曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线的斜率为0．（1）求a的值；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）求函数f（x）在区间上的最小值．17．（10分）对于无穷数列{a n}与{b n}，记集合，集合，若同时满足条件：①数列{a n}，{b n}均单调递增；②A ∩B=∅且A∪B=N*，则称数列{a n}与{b n}是“好友数列”．（1）若a n=2n，，判断数列{a n}与{b n}是否为“好友数列”，并说明理由；（2）若数列{a n}与{b n}是“好友数列”，{a n}为等差数列且a16=36，求数列{a n}与{b n}的通项公式．一、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．请把答案填在答题纸相应的位置上）18．（6分）=（）A．﹣1B．1C．i D．﹣i19．（6分）类比等比数列的定义，定义等积数列为：若数列从第二项起，每一项与前一项的乘积为一个不变的非零常数，则称数列为等积数列，这个常数叫做该数列的公积．若一个等积数列的首项为2，公积为6，则数列的通项公式为（）A．B．C．D．20．（6分）已知函数f（x）=sinx+e x，今f1（x）=f′（x），f2（x）=f′1（x），f3（x）=f′2（x），…，f n+1（x）=f′n（x），（n∈N*）则f2017（x）=（）A．sinx+e x B．cosx+e x C．﹣sinx+e x D．﹣cosx+e x二、填空题（本题共3小题，每小题6分，共18分．请把答案填在答题纸相应的位置上）21．（6分）设z∈C，|z|=1，则|z﹣（1+i）|的最大值是．22．（6分）设函数f（x）在R上可导，其导函数为f'（x），且函数y=（1﹣x）f'（x）的图象如下图所示，则函数f（x）的极大值点为x=．23．（6分）等差数列中，a3+a4=4，a5+a7=6．（1）数列的通项公式为a n=．（2）设，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[2.6]=2．则数列{b n}的前8项和为．三、解答题（本题共1小题，满分14分．请把解答过程写在答题纸相应的位置上）24．（14分）已知函数，且f′（﹣1）=0．（1）试用含a的代数式表示b；（2）a≤1时，求函数f（x）的单调区间；（3）令a=﹣1，并且设方程f（x）=m有三个不等的实数根，求实数m的取值范围．2017-2018学年北京市人大附中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸相应的位置上）1．（5分）复数3+4i的共轭复数是（）A．3﹣4i B．3+4i C．﹣3+4i D．﹣3﹣4i【解答】解：根据题意可得：复数为3+4i，所以结合共轭复数的定义可得：复数3+4i的共轭复数是3﹣4i．故选：A．2．（5分）如图是《集合》的知识结构图，如果要加入“列举法”，则应该接在（）A．“集合的概念”的后面B．“集合的表示”的后面C．“基本关系”的后面D．“基本运算”的后面【解答】解：列举法是集合表示法的一种，在知识结构图中，列举法应该放在集合的表示后面，即它的下位，由此知应选B．故选：B．3．（5分）用反证法证明命题：“如果a＞b＞0，那么|a|＞|b|”时，假设的内容应是（）A．|a|=|b|B．|a|＜|b|C．|a|≤|b|D．|a|＞|b|且|a|=|b|【解答】解：由于结论|a|＞|b|的否定为：|a|≤|b|，用反证法证明命题时，要首先假设结论的否定成立，故应假设：|a|≤|b|，由此推出矛盾．故选：C．4．（5分）下列结论正确的个数是（）①回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法；②为了研究吸烟与患肺病是否有关，在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，x2的观测值为x2=7.469大于6.635，故我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；③在线性回归分析中，相关系数为r，|r|≤1，并且|r|越接近1，线性相关程度越强．A．0B．1C．2D．3【解答】解：①，回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种方法，不是对具有函数关系的变量进行分析，故①正确；②，x2的观测值为x2=7.469大于6.635，故我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，但不表示在100个吸烟的人中必有99人患有肺病，故②不正确；③，在线性回归分析中，相关系数为r满足|r|越接近1，线性相关程度越强，正确．∴正确结论的个数是2个．故选：C．5．（5分）函数f（x）的定义域为（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极值点（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：从f′（x）的图象可知f（x）在（a，b）内从左到右的单调性依次为增→减→增→减，根据极值点的定义可知，导函数在某点处值为0，左右两侧异号的点为极值点，由图可知，在（a，b）内只有3个极值点．故选：C．6．（5分）类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC中的两边AB，AC互相垂直，则三角形三边长之间满足关系：AB2+AC2=BC2，若三棱锥A﹣BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB所在平面两两互相垂直，其三个侧面面积分别为S1，S2，S3，则三棱锥的三个侧面积与底面BCD的面积S之间满足的关系为（）A．B．C．D．【解答】解：由边对应着面，边长对应着面积，由类比可得．故选：A．7．（5分）为解决四个村庄用电问题，政府投资在已建电厂与这四个村庄之间架设输电线路，现已知这四个村庄及电厂之间的距离如图所示（距离单位：公里）则能把电力输送到这四个村庄的输电线路的最短总长度应该是（）A．19.5B．20.5C．21.5D．25.5【解答】解：如图，最短总长度应该是：电厂到A，再从A到B、D，然后从D 到C，所以能把电力输送到这四个村庄的输电线路的最短总长度应该是5+4+6+5.5=20.5km．故选：B．8．（5分）设函数f（x）定义如表，数列{x n}满足x1=5，，则x2017的值为（）A．1B．3C．5D．6【解答】解：∵数列{x n}满足x1=5，，∴由表得：x2=f（5）=6，x3=f（6）=3，x4=f（3）=1，x5=f（1）=4，x6=f（4）=2，x7=f（2）=5，x8=f（5）=6，∴数列{x n}是以6为周期的周期数列，∵2017=336×6+1，∴x2017=x1=5．故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把结果填在答题纸相应的位置）9．（5分）复数z=1﹣i（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于第四象限．【解答】解：∵复数z=1﹣i在复平面上对应的点的坐标为（1，﹣1），∴复数z=1﹣i（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于第四象限．故答案为：四．10．（5分）经调查某地若干户家庭的年收入x（万元）和年饮食支出y（万元）具有线性相关关系，并得到y关于x的线性回归直线方和：，由回归直线方程预测，家庭年收入为2万元时，年饮食支出大约为0.7万元．【解答】解：根据线性回归直线方程，计算x=2时，=0.2×2+0.3=0.7，即预测家庭年收入为2万元时，年饮食支出大约为0.7万元．故答案为：0.7．11．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否正确的回答对A，B，C三个问题，甲说：我回答对的问题比乙多，但没有回答对B；乙说：我没回答对C；丙说：我们三人都同时答对一个题；由此可判断乙答对的题为A．【解答】解：由乙说：我没回答对C，则乙可能答对A或B，但甲说：我回答对的问题比乙多，但没有回答对B，则乙只能是答对A，B中的任一个，再由丙说：我们三人都同时答对一个题，则由此可判断乙答对的题为A．故答案为：A．12．（5分）阅读图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是4．【解答】解：程序在运行过程中各变量变化的如下表示：S n 是否继续循环循环前 2 1/第一圈﹣1 2 是第二圈 3 是第三圈 2 4 否故最后输出的n值为4故答案为：413．（5分）a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…则a9+b9=76．【解答】解：观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第9项．继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，…，第9项为76，即a9+b9=76，．故答案为：76；14．（5分）若集合M满足：∀x，y∈M，都有x+y∈M，xy∈M，则称集合M是封闭的．显然，整数集Z，有理数集Q，都是封闭的．在上述定义下，（1）复数集C是封闭的（填“是”或“否”）；（2）若Q⊊F⊆C，集合F是封闭，则满足条件的一个F可以是R（只写一个）．【解答】解：（1）根据题意，对于复数集，由复数的运算法则，若x，y∈C，则x+y∈C，xy∈C，则复数C是封闭的，（2）若Q⊊F⊆C，集合F是封闭，则实数集R符合，则满足条件的一个F可以是R；故答案为：（1）是，（2）R．三、解答题（本大题共3小题，共30分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸相应的位置上）15．（8分）已知复数z1=2+4i，z2=a+i（a∈R），z1=z2•（1+i），求|z2|．【解答】解：∵z1=2+4i，z2=a+i（a∈R），由z1=z2•（1+i），得2+4i=（a+i）（1+i）=（a﹣1）+（a+1）i．∴，即a=3．∴|z2|=|3+i|=．16．（12分）设函数，且曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线的斜率为0．（1）求a的值；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）求函数f（x）在区间上的最小值．【解答】解：（1）函数的导数为：f′（x）=3x﹣，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线的斜率为0．可得6﹣=0，解得a=4；（2）f（x）=x2﹣12lnx，导数为f′（x）=3x﹣=，由f′（x）＞0，可得x＞2；由f′（x）＜0，可得0＜x＜2；即f（x）的增区间为（2，+∞）．减区间为（0，2）；（3）由（2）可得函数f（x）的极小值为f（2）=6﹣12ln2，且2∈[，e]，可得f（x）的最小值为6﹣12ln2．17．（10分）对于无穷数列{a n}与{b n}，记集合，集合，若同时满足条件：①数列{a n}，{b n}均单调递增；②A ∩B=∅且A∪B=N*，则称数列{a n}与{b n}是“好友数列”．（1）若a n=2n，，判断数列{a n}与{b n}是否为“好友数列”，并说明理由；（2）若数列{a n}与{b n}是“好友数列”，{a n}为等差数列且a16=36，求数列{a n}与{b n}的通项公式．【解答】解：（1）数列{a n}与{b n}不为“好友数列”．由a n=2n，，可得集合A为正偶数集，集合B中不含1，3，虽然满足①数列{a n}，{b n}均单调递增；②A∩B=∅但A∪B≠N*，则数列{a n}与{b n}不为“好友数列”；（2）设数列{a n}的公差为d的等差数列，由a16=36，即有a1+15d=36，由题意可得36﹣15d≥1，解得d=1或2，若d=1，则a1=21，a n=n+20，b n=n（1≤n≤20），与无穷数列{a n}与{b n}矛盾，舍去；若d=2，则a1=6，a n=2n+4，b n=，综上可得a n=2n+4，b n=，n∈N*．一、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．请把答案填在答题纸相应的位置上）18．（6分）=（）A．﹣1B．1C．i D．﹣i【解答】解：∵，∴=i8=（i4）2=1．故选：B．19．（6分）类比等比数列的定义，定义等积数列为：若数列从第二项起，每一项与前一项的乘积为一个不变的非零常数，则称数列为等积数列，这个常数叫做该数列的公积．若一个等积数列的首项为2，公积为6，则数列的通项公式为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可得，a n a n+1=6，∵a1=2∴a2=3，a3=2，a4=3，…，∴a n=，（k∈N*）．故选：A．20．（6分）已知函数f（x）=sinx+e x，今f1（x）=f′（x），f2（x）=f′1（x），f3（x）=f′2（x），…，f n+1（x）=f′n（x），（n∈N*）则f2017（x）=（）A．sinx+e x B．cosx+e x C．﹣sinx+e x D．﹣cosx+e x【解答】∵f（x）=sinx+e x，∴，，，，∴f n（x）=f n（x），+4，故选：B．二、填空题（本题共3小题，每小题6分，共18分．请把答案填在答题纸相应的位置上）21．（6分）设z∈C，|z|=1，则|z﹣（1+i）|的最大值是1+．【解答】解：由题意可知，复数z的轨迹为单位圆，如图，|z﹣（1+i）|的几何意义为单位圆上的动点到定点P的距离，由图可知，|z﹣（1+i）|的最大值为|AP|=1+．故答案为：1+．22．（6分）设函数f（x）在R上可导，其导函数为f'（x），且函数y=（1﹣x）f'（x）的图象如下图所示，则函数f（x）的极大值点为x=﹣2．【解答】解：由函数的图象可知，f′（﹣2）=0，f′（1）=0，f′（2）=0，并且当x＜﹣2时，f′（x）＞0；当﹣2＜x＜1，f′（x）＜0；当1＜x＜2时，f′（x）＜0；x＞2时，f′（x）＞0，即f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增，在（﹣2，1）上单调递减，在（1，2）递减，在（2，+∞）递增，所以f（x）在x=﹣2处取得极大值，在x=2处取得极小值，x=1不为极值点，故答案为：﹣2．23．（6分）等差数列中，a3+a4=4，a5+a7=6．（1）数列的通项公式为a n=+．（2）设，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[2.6]=2．则数列{b n}的前8项和为16．【解答】解：（1）∵等差数列中，a3+a4=4，a5+a7=6．∴，解得a1=1，d=，∴a n=1+（n﹣1）×=+．故答案为：+．（2）∵，∴数列{b n}的前8项和为：S8=[]+[]+[]+[]+[]+[]+[]+[]=1+1+1+2+2+3+3+3=16．故答案为：16．三、解答题（本题共1小题，满分14分．请把解答过程写在答题纸相应的位置上）24．（14分）已知函数，且f′（﹣1）=0．（1）试用含a的代数式表示b；（2）a≤1时，求函数f（x）的单调区间；（3）令a=﹣1，并且设方程f（x）=m有三个不等的实数根，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）函数，导数为f′（x）=x2+2ax+b，f′（﹣1）=0，即为1﹣2a+b=0，可得b=2a﹣1；（2）a≤1时，f（x）=x3+ax2+（2a﹣1）x导数为f′（x）=x2+2ax+2a﹣1=（x+1）（x+2a﹣1），当a=1时，f′（x）=（x+1）2≥0，f（x）在R上递增；当a＜1时，1﹣2a＞﹣1，可得f（x）在（﹣1，1﹣2a）递减；在（﹣∞，﹣1），（1﹣2a，+∞）递增；（3）a=﹣1，f（x）=x3﹣x2﹣3x，导数为f′（x）=x2﹣2x﹣3=（x﹣3）（x+1），f（x）在（﹣1，3）递减，在（﹣∞，﹣1），（3，+∞）递增；可得f（x）的极小值为f（3）=﹣27，极大值为f（﹣1）=，方程f（x）=m有三个不等的实数根，可得﹣27＜m＜，即m的取值范围是（﹣27，）．。
[推荐学习]高二数学下学期期中试题理
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四川省绵阳市南山中学2017-2018学年高二数学下学期期中试题理本试卷分试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分组成，共4页；答题卡共4页.满分100分，考试时间100分钟.第Ⅰ卷（选择题，共48分）一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把它选出来填涂在答题卡上。
1. 已知命题p ：“x R ∀∈， 20x > ”，则p ⌝ 是( )A. x R ∀∈， 20x ≤B. 0x R ∃∈， 200x >C. 0x R ∃∈， 200x <D. 0x R ∃∈， 200x ≤2.对于空间任意一点O 和不共线得三点A 、B 、C ，有如下关系：213161++= ，则( )A. 四点O 、A 、B 、C 必共面B. 四点P 、A 、B 、C 必共面C. 四点O 、P 、B 、C 必共面D. 五点O 、P 、A 、B 、C 必共面3.已知p ：5≠+y x ，q ：3≠x 或2≠y ，则p 是q 的( ) A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4．在某次学科知识竞赛中（总分100分），若参赛学生成绩ξ服从N （80， σ2）(σ>0)，若ξ在(70，90)内的概率为0.8，则落在[90，100]内的概率为( )A. 0.05B. 0.1C. 0.15D. 0.25．设函数()⎩⎨⎧≤<≤≤=21,110,2x x x x f ， 则定积分()dx x f ⎰20等于( )A. 83B. 2C. 43D. 136．设函数()f x 在R 上可导，其导函数f ′（x ），且函数()f x 在x =﹣2处取得极小值，则函数y =xf ′（x ）的图象可能是( )A. B. C. D.7．袋中有大小完全相同的2个白球和3个黄球，逐个不放回地摸出两球，设“第一次摸得白球”为事件A ，“摸得的两球同色”为事件B ，则()P B A 为( )A.110B. 15C. 14D. 258．有3位男生， 3位女生和1位老师站在一起照相，要求老师必须站中间，与老师相邻的不能同时为男生或女生，则这样的排法种数是( )A. 144B. 216C. 288D. 432 9．记()()()()77221071112x a x a x a a x ++⋅⋅⋅+++++=+，则0126a a a a ++++的值为( )A. 2187B. 2188C. 127D. 12810．四棱柱1111A B C D A B C D -中， 1160A AB A AD DAB ∠=∠=∠=︒，1A A AB AD ==，则1CC 与1DB 所成角为（ ）A. 30︒B. 45︒C. 60︒D. 90︒11．已知()f x 为定义在()0,+∞上的可导函数，且()()'f x xf x >恒成立，则不等式()210x f f x x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭的解集为( )A. ()1,+∞B. (),1-∞C. ()2,+∞D. (),2-∞ 12．当0>x 时，函数()a x k y -=()1>k 的图象总在曲线xe xy 2=的上方，则实数a 的最大整数值为（ ）A. -1B. -2C. -3D. 0第Ⅱ卷（非选择题，共52分）二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分。
2023-2024学年北京市海淀区北京师范大学第三附属中学高二下学期期中练习数学试题(含答案)
2023-2024学年北京师范大学第三附属中学高二下学期期中练习数学试题一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.函数f(x)=ln2+cos x 的导数为( )A. 12−sin xB. −sin xC. sin xD. 12+sin x 2.已知等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，若q =2，S 2=6，则S 3=( )A. 8B. 10C. 12D. 143.如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 44.在等差数列{a n }中，a 2+a 12=32，则a 6+a 7+a 8的值是( )A. 24B. 32C. 48D. 965.已知数列{a n }的通项公式为a n =−2n 2+9n (n ∈N ∗).若数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n 取得最大值时n 的值为( )A. 2B. 3C. 4D. 56.已知函数f (x )=ax−2ln x 在区间(1,+∞)上单调递增，则a 的取值范围是( )A. (−∞,12]B. [12,+∞)C. (−∞,2]D. [2,+∞)7.设{a n }是公差不为0的无穷等差数列，则“{a n }为递增数列”是“存在正整数N 0，当n >N 0时，a n >0”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8.函数f (x )=(x 2−2x )e x 的图象大致是( )A. B.C. D.9.一个球从100m 高的地方自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下，当它第6次着地时，经过的路程是( )A. [100+200(1−2−5)]mB. [100+100(1−2−5)]mC. 200(1−2−5)mD. 100(1−2−5)m10.已知函数f (x )=x ln x +x 2，且x 0是函数f (x )的极值点．给出以下几个问题：①x 0>1e ；②0<x 0<1e ；③f (x 0)+x 0<0；④f (x 0)+x 0>0其中正确的命题是( )A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
2023-2024学年北京市海淀区中关村中学高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年北京市海淀区中关村中学高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知a →=（x ，1，3），b →=（1，3，9），如果a →与b →为共线向量，则x ＝（ ） A ．1B ．12C ．13D ．162．已知集合A ＝{y |y ＝e x }，集合B ＝{x |y ＝ln （x ﹣1）}，则A ∪B ＝（ ） A ．RB ．[1，+∞）C ．（0，+∞）D ．（1，+∞）3．已知直线m 和平面α，β，则下列四个命题中正确的是（ ） A ．若α⊥β，m ⊂β，则m ⊥α B ．若m ∥α，m ∥β，则α∥β C ．若α∥β，m ∥α，则m ∥βD ．若α∥β，m ⊥α，则m ⊥β4．某校组织全体学生参加了主题为“建党百年，薪火相传”的知识竞赛，随机抽取了200名学生进行成绩统计、发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，在被抽取的学生中，成绩在区间[80，90）的学生数是（ ）A ．30B ．45C ．60D ．1005．已知两条异面直线的方向向量分别是u →=(3，−1，2)，v →=(−1，3，2)，则这两条直线所成的角θ满足（ ） A ．sinθ=17B ．cosθ=17C ．sinθ=−17D ．cosθ=−176．已知平面α={P|n →⋅P 0P →=0}，其中P 0（1，1，1），法向量n →=(−1，1，2)，则下列各点中不在平面α内的是（ ） A ．（2，0，1）B ．（2，0，2）C ．（﹣1，1，0）D ．（0，2，0）7．在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 是线段B 1D 1上一点，则点M 到平面A 1BD 的距离是（ ） A ．√36B ．√33C ．√34D ．√638．如图，将半径为1的球与棱长为1的正方体组合在一起，使正方体的一个顶点正好是球的球心，则这个组合体的体积为（ ）A ．76π+1B ．76π+56C ．78π+1D ．π+19．已知函数f （x ）＝2sin ωx 在区间[−π3，π4]上的最小值为﹣2，则ω的取值范围是（ ） A ．(−∞，−92]∪[6，+∞) B ．(−∞，−92]∪[32，+∞) C ．（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞）D ．(−∞，−2]∪[32，+∞)10．在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为BD 1，B 1C 1的中点，点P 在正方体的表面上运动，且满足MP ⊥CN ，则下列说法正确的是（ ）A ．点P 可以是棱BB 1的中点 B ．线段MP 的最大值为√32C ．点P 的轨迹是正方形D ．点P 轨迹的长度为2+√5二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．复数z ＝1+2i 的虚部是 ，复数z 在复平面内对应的点在第 象限．12．若向量a →=(1，2，2)，b →=(3，1，−1)，c →=(−1，3，m)，且a →，b →，c →共面，则m ＝ ． 13．圆锥的底面半径为1，高为2，则圆锥的侧面积等于 ．14．已知在空间直角坐标系O ﹣xyz （O 为坐标原点）中，点A （1，1，﹣1），点B （1，﹣1，1），则z 轴与平面OAB 所成的线面角大小为 ．15．如图，在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 是棱AA 1上的一个动点，给出下列四个结论： ①三棱锥B 1﹣BED 1的体积为定值； ②存在点E ，使得B 1D ⊥平面BED 1；③对每一个点E ，在棱DC 上总存在一点P ，使得AP ∥平面BED 1；④M 是线段BC 1上的一个动点，过点A 1的截面α垂直于DM ，则截面α的面积的最小值为√62． 其中所有正确结论的序号是 ．三、解答题：本大题共3小题，共40分.16．（12分）如图，在三棱锥V ﹣ABC 中，平面VAC ⊥平面ABC ，∠VCA ＝90°，M ，N 分别为VA ，VB 的中点．（1）求证：AB ∥平面CMN ； （2）求证：AB ⊥VC ．17．（14分）已知函数f （x ）＝a sin2x +2cos 2x ，且满足f （x ）的图象过点（−π6，0）． （Ⅰ）求函数f （x ）的解析式及最小正周期；（Ⅱ）若函数f （x ）在区间[−π12，m ]上的最大值为3，求实数m 的取值范围．18．（14分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，BB 1⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，AA 1＝AB ＝BC ＝2． （1）求证：BC 1⊥平面A 1B 1C ； （2）求二面角B 1﹣A 1C ﹣C 1的余弦值：（3）点M 在线段B 1C 上，且B 1M B 1C=13，点N 在线段A 1B 上，若MN ∥平面A 1ACC 1，求A 1N A 1B的值．四、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.19．袋中装有3只黄色、2只白色的乒乓球（其体积、质地完全相同），从袋中随机摸出3个球，摸出的3个球为2个黄球1个白球的概率是 ．20．声音的等级f （x ）（单位：dB ）与声音强度x （单位：W /m 2）满足f(x)=10×lgx1×10−12．喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB ；一般说话时，声音的等级约为60dB ，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的 倍．21．在通用技术教室里有一个三棱锥木块如图所示，VA ，VB ，VC 两两垂直，VA ＝VB ＝VC ＝1（单位：dm ），小明同学计划通过侧面VAC 内任意一点P 将木块锯开，使截面平行于直线VB 和AC ，则该截面面积（单位：dm 2）的最大值是 ．22．设函数f （x ）={log 2x −a ，x ≥15(x −a)(x −3a)，x ＜1．①若a ＝1，则f （x ）的最小值为 ；②若f （x ）恰有2个零点，则实数a 的取值范围是 ． 五、解答题：本大题共2小题，共25分. 23．（12分）在△ABC 中，bsin2A =√3asinB ． （Ⅰ）求∠A ；（Ⅱ）若△ABC 的面积为3√3，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△ABC 存在且唯一确定，求a 的值．条件①：sinC =2√77；条件②：b c =3√34；条件③：cosC =√217 注：如果选择的条件不符合要求，第（II ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．24．（13分）给定正整数n ≥2，设集合M ＝{α|α＝（t 1，t 2，…，t n ），t k ∈{0，1}，k ＝1，2，…，n }．对于集合M 中的任意元素β＝（x 1，x 2，…，x n ）和γ＝（y 1，y 2，…，y n ），记β•γ＝x 1y 1+x 2y 2+…+x n y n ． 设A ⊆M ，且集合A ＝{αi |αi ＝（t i 1，t i 2，…，t in ），i ＝1，2，…，n }，对于A 中任意元素αi ，αj ，若αi ⋅αj ={p ，i =j ，1，i ≠j ，则称A 具有性质T （n ，p ）． （Ⅰ）判断集合A ＝{（1，1，0），（1，0，1），（0，1，1）}是否具有性质T （3，2）？说明理由； （Ⅱ）判断是否存在具有性质T （4，p ）的集合A ，并加以证明；（Ⅲ）若集合A 具有性质T （n ，p ），证明：t 1j +t 2j +…+t nj ＝p （j ＝1，2，…，n ）．2023-2024学年北京市海淀区中关村中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知a →=（x ，1，3），b →=（1，3，9），如果a →与b →为共线向量，则x ＝（ ） A ．1B ．12C ．13D ．16解：a →=（x ，1，3），b →=（1，3，9），如果a →与b →为共线向量，则x1=13=39，解得x =13．故选：C ．2．已知集合A ＝{y |y ＝e x }，集合B ＝{x |y ＝ln （x ﹣1）}，则A ∪B ＝（ ） A ．RB ．[1，+∞）C ．（0，+∞）D ．（1，+∞）解：因为A ＝{y |y ＝e x }＝（0，+∞），B ＝{x |y ＝ln （x ﹣1）}＝{x |x ﹣1＞0}＝（1，+∞）， 所以A ∪B ＝（0，+∞）． 故选：C ．3．已知直线m 和平面α，β，则下列四个命题中正确的是（ ） A ．若α⊥β，m ⊂β，则m ⊥α B ．若m ∥α，m ∥β，则α∥β C ．若α∥β，m ∥α，则m ∥βD ．若α∥β，m ⊥α，则m ⊥β解：对于A ，若α⊥β，m ⊂β，则m 与α可能平行，如果是交线，则在α内，故A 错误；对于B ，若α∥β，m ∥α，则m ∥β或者m ⊂β；故B 错误； 对于C ，若m ∥α，m ∥β，则α与β可能相交；故C 错误；对于D ，若α∥β，m ⊥α，利用面面平行的性质以及项目存在的性质可以判断m ⊥β；故D 正确； 故选：D ．4．某校组织全体学生参加了主题为“建党百年，薪火相传”的知识竞赛，随机抽取了200名学生进行成绩统计、发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，在被抽取的学生中，成绩在区间[80，90）的学生数是（ ）A ．30B ．45C ．60D ．100解：由题意得，10×（0.005+0.01+0.015+x +0.04）＝1，解得x ＝0.03， 则学生成绩在区间[80，90）的频率为10×0.03＝0.3，因为共抽取200名学生，所以成绩在区间[80，90）的学生数为200×0.3＝60． 故选：C ．5．已知两条异面直线的方向向量分别是u →=(3，−1，2)，v →=(−1，3，2)，则这两条直线所成的角θ满足（ ） A ．sinθ=17B ．cosθ=17C ．sinθ=−17D ．cosθ=−17解：因为两条异面直线的方向向量分别是u →=(3，−1，2)，v →=(−1，3，2)，所以cosθ=|cos ＜u →，v →＞|=|u →⋅v →||u →||v →|=|−3−3+4|√3+(−1)2+2√(−1)2+3+2=17．故选：B ．6．已知平面α={P|n →⋅P 0P →=0}，其中P 0（1，1，1），法向量n →=(−1，1，2)，则下列各点中不在平面α内的是（ ） A ．（2，0，1）B ．（2，0，2）C ．（﹣1，1，0）D ．（0，2，0）解：若点在平面α内，则n →⋅P 0P →=0，对于A ：n →⋅P 0P →=（1，﹣1，0）•（﹣1，1，2）＝﹣2，所以A 选项的点不在平面α内； 对于B ：n →⋅P 0P →=(1，−1，1)⋅(−1，1，2)=0，满足要求，所以在平面内； 对于C ：n →⋅P 0P →=(−2，0，−1)⋅(−1，1，2)=0，满足要求，所以在平面内； 对于D ：n →⋅P 0P →=(−1，1，−1)⋅(−1，1，2)=0，满足要求，所以在平面内． 故选：A ．7．在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 是线段B 1D 1上一点，则点M 到平面A 1BD 的距离是（ ） A ．√36B ．√33C ．√34D ．√63解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A 1（1，0，1），B （1，1，0），D （0，0，0），A 1B →=(0，1，−1)，A 1D →=(−1，0，−1)， 设平面A 1BD 的法向量n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅A 1B →=y −z =0n →⋅A 1D →=−x −z =0，取x ＝1可得平面A 1BD 的一个法向量n →=(1，−1，−1)， 因为M 是线段B 1D 1上一点，设M(a ，a ，1)(0≤a ≤√2)，所以MD →=(−a ，−a ，−1)，所以点M 到平面A 1BD 的距离d =|MD →⋅n →||n →|=|−a+a+1|3=√33．故选：B ．8．如图，将半径为1的球与棱长为1的正方体组合在一起，使正方体的一个顶点正好是球的球心，则这个组合体的体积为（ ）A ．76π+1B ．76π+56C ．78π+1D ．π+1解：该组合体的体积V ＝V 球+V 正方体−18V 球=78V 球+V 正方体=78×43π×13+13=7π6+1， 故选：A ．9．已知函数f （x ）＝2sin ωx 在区间[−π3，π4]上的最小值为﹣2，则ω的取值范围是（ ） A ．(−∞，−92]∪[6，+∞) B ．(−∞，−92]∪[32，+∞) C ．（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞）D ．(−∞，−2]∪[32，+∞)解：当ω＞0时，−π3ω≤ωx ≤π4ω，由题意知−π3ω≤−π2，即ω≥32， 当ω＜0时，π4ω≤ωx ≤−π3ω，由题意知π4ω≤−π2，即ω≤﹣2，综上知，ω的取值范围是(−∞，−2]∪[32，+∞)． 故选：D ．10．在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为BD 1，B 1C 1的中点，点P 在正方体的表面上运动，且满足MP ⊥CN ，则下列说法正确的是（ ）A ．点P 可以是棱BB 1的中点 B ．线段MP 的最大值为√32C ．点P 的轨迹是正方形D ．点P 轨迹的长度为2+√5解：在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，因为该正方体的棱长为1，M ，N 分别为BD 1，B 1C 1的中点，则D （0，0，0），M(12，12，12)，N(12，1，1)，C(0，1，0)，所以CN →=(12，0，1)，设P （x ，y ，z ），则MP →=(x −12，y −12，z −12)， 因为MP ⊥CN ，所以12(x −12)+z −12=0，2x +4z −3=0，当x ＝1时，z =14， 当x ＝0时，z =34，取E(1，0，14)，F(1，1，14)，G(0，1，34)，H(0，0，34)， 连结EF ，FG ，GH ，HE ，则EF →=HG →=(0，1，0)，EH →=FG →=(−1，0，12)， 所以四边形EFGH 为矩形， 则EF →⋅CN →=0，EH →⋅CN →=0，即EF ⊥CN ，EH ⊥CN ，又EF 和EH 为平面EFGH 中的两条相交直线， 所以CN ⊥平面EFGH ，又EM →=(−12，12，14)，MG →=(−12，12，14)， 所以M 为EG 的中点，则M ∈平面EFGH ， 所以为使MP ⊥CN ，必有点P ∈平面EFGH ， 又点P 在正方体表面上运动， 所以点P 的轨迹为四边形EFGH ， 因此点P 不可能是棱BB 1的中点， 故选项A 错误；又EF ＝GH ＝1，EH ＝FG =√52，所以EF ≠EH ，则点P 的轨迹不是正方形，且矩形EFGH 的周长为2+2×√52=2+√5， 故选项C 错误，选项D 正确；因为CN →=(12，0，1)，MP →=(x −12，y −12，z −12)，又MP ⊥CN ，则12(x −12)+z −12=0，2x +4z −3=0，所以x =32−2z ，点P 在正方体表面运动，则0≤32−2z ≤1，解得14≤z ≤34，且0≤y ≤1，所以MP =√(x −12)2+(y −12)2+(z −12)2=√5(z −12)2+(y −12)2， 故当z =14或z =34，y ＝0或1时，MP 取得最大值为34，故选项B 错误； 故选：D ．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．复数z ＝1+2i 的虚部是 2 ，复数z 在复平面内对应的点在第 四 象限．解：复数z ＝1+2i 的虚部是2，z =1−2i ，在复平面对应的点为（1，﹣2）在第四象限． 故答案为：2；四．12．若向量a →=(1，2，2)，b →=(3，1，−1)，c →=(−1，3，m)，且a →，b →，c →共面，则m ＝ 5 ． 解：∵向量a →=(1，2，2)，b →=(3，1，−1)，c →=(−1，3，m)，且a →，b →，c →共面， ∴设a →=x b →+y c →，则（1，2，2）＝（3x ﹣y ，x +3y ，﹣x +my ）， ∴{3x −y =1x +3y =2−x +my =2，解得x =12，y =12，m ＝5． 故答案为：5．13．圆锥的底面半径为1，高为2，则圆锥的侧面积等于 √5π ． 解：∵圆锥的底面半径为1，高为2， ∴母线长为：√12+22=√5，∴圆锥的侧面积为：πrl ＝π×1×√5=√5π， 故答案为：√5π．14．已知在空间直角坐标系O ﹣xyz （O 为坐标原点）中，点A （1，1，﹣1），点B （1，﹣1，1），则z 轴与平面OAB 所成的线面角大小为π4．解：因为O （0，0，0），A （1，1，﹣1），B （1，﹣1，1）， 所以OA →=(1，1，−1)，OB →=(1，−1，1)， 设平面OAB 的法向量为m →=(x ，y ，z)， 则m →⊥OA →，m →⊥OB →，所以{m →⋅OA →=0m →⋅OB →=0， 即{x +y −z =0x −y +z =0，解得{x =0y =z ，令z ＝1，得x ＝0，y ＝1，所以m →=(0，1，1)， 又z 轴的一个方向向量为n →=(0，0，1)， 设z 轴与平面OAB 的夹角为θ∈[0，π2]，所以sinθ=|cos ＜m →，n →＞|=|m →⋅n →||m →||n →|=1√2=√22，所以θ=π4．故答案为：π4．15．如图，在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 是棱AA 1上的一个动点，给出下列四个结论： ①三棱锥B 1﹣BED 1的体积为定值； ②存在点E ，使得B 1D ⊥平面BED 1；③对每一个点E ，在棱DC 上总存在一点P ，使得AP ∥平面BED 1；④M 是线段BC 1上的一个动点，过点A 1的截面α垂直于DM ，则截面α的面积的最小值为√62． 其中所有正确结论的序号是 ①④ ．解：对于①，如图，在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AA1∥BB1，AA1⊄平面BB1D1，BB1⊂平面BB1D1，∴AA1∥平面BB1D1，∵点E是棱AA1上的一个动点，∴点E到平面BB1D1的距离为h=√22，S△BB1D1=12×B1D1×BB1=√22，∴三棱锥B1﹣BED1的体积V=12×S△BB1D1×ℎ=14，故①正确；对于②，当E为棱AA1的中点时，取BD1的中点为F，连接EF，如图，则EF∥AC，又AC⊥BD，AC⊥BB1，BD∩BB1＝B，∴EF⊥平面BDD1B1，又B1D⊂平面BDD1B1，∴EF⊥B1D，由正方体性质得BDD1B1是矩形，不是正方体，∴BD1⊥B1D不成立，又EF∩BD1＝F，∴不存在点E，使得B1D⊥平面BED1，故②错误；对于③，当E与点A重合时，无论点P在何位置，直线AP与平面BED1相交，故③错误；对于④，根据题意，作图如下，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1C⊥平面BDC1，∴A1C⊥DM，设D1G＝x，则A1G=√1+x2，CG=√(1−x)2+1，则△A1GC中，cos∠A1GC=1+x2+x2−2x+2−32√1+x2⋅√x2−2x+2=x2−x√1+x2⋅√x2−2x+2，sin∠A1GC=√1−(2√1+x2⋅√x2−2x+2)2=√2x2−2x+2√1+x2⋅√x2−2x+2，则该截面面积S＝2×12A1G•CG•sin∠A1GC=√2x2−2x+2=√2•√(x−12)2+34，∵x∈[0，1]，当x=12时，S min=√62，故④正确．故答案为：①④．三、解答题：本大题共3小题，共40分.16．（12分）如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面VAC⊥平面ABC，∠VCA＝90°，M，N分别为VA，VB的中点．（1）求证：AB∥平面CMN；（2）求证：AB⊥VC．证明：（1）因为M，N分别为的棱VA，VB的中点，所以MN∥AB，又MN⊂平面CMN，AB⊄平面CMN，所以AB∥平面CMN；（2）由∠VCA＝90°知，VC⊥AC，又因为平面VAC⊥平面ABC，平面VAC∩平面ABC＝AC，VC⊂平面VAC，所以VC⊥平面ABC，又AB⊂平面ABC，所以VC⊥AB．17．（14分）已知函数f（x）＝a sin2x+2cos2x，且满足f（x）的图象过点（−π6，0）．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及最小正周期；（Ⅱ）若函数f（x）在区间[−π12，m]上的最大值为3，求实数m的取值范围．解：（Ⅰ）由题意，f（−π6）＝a sin（−π3）+2cos2(−π6)=−√32a+2×34=0，解得a=√3．∴f （x ）=√3sin2x +2cos 2x =√3sin2x +cos2x +1=2sin(2x +π6)+1． ∴f （x ）的最小正周期T =2π2=π； （Ⅱ）由x ∈[−π12，m ]，得2x +π6∈[0，2m +π6]， ∵函数f （x ）在区间[−π12，m ]上的最大值为3， ∴sin （2x +π6）在区间[−π12，m ]上的最大值为1， 则2m +π6≥π2，即m ≥π6． ∴实数m 的取值范围是[π6，+∞）．18．（14分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，BB 1⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，AA 1＝AB ＝BC ＝2． （1）求证：BC 1⊥平面A 1B 1C ； （2）求二面角B 1﹣A 1C ﹣C 1的余弦值： （3）点M 在线段B 1C 上，且B 1M B 1C=13，点N 在线段A 1B 上，若MN ∥平面A 1ACC 1，求A 1N A 1B的值．解：（1）证明：在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，BB 1⊥平面ABC ，AB ⊥BC ， 因为平面ABC ∥平面A 1B 1C 1 所以BB 1⊥平面A 1B 1C 1，又A 1B 1⊂平面A 1B 1C 1，B 1C 1⊂平面A 1B 1C 1， 所以BB 1⊥A 1B 1，且BB 1⊥B 1C 1， 又A 1B 1⊥B 1C 1， 因为BB 1∩B 1C 1＝B 1， 所以A 1B 1⊥平面BBC 1B 1， 因为BC 1⊂平面BBC 1B 1， 所以A 1B 1⊥BC 1，由BB 1＝AA 1＝BC ，则侧面BB 1C 1C 为正方形，所以BC 1⊥B 1C ，因为A 1B 1∩B 1C ＝B 1，A 1B 1⊂平面A 1B 1C ，B 1C ⊂平面A 1B 1C ， 所以BC 1⊥平面A 1B 1C ．（2）以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴，BB 1为z 轴，建立空间直角坐标系，如图，A （0，2，0）C （2，0，0）C 1（2，0，2），B （0，0，0），B 1（0，0，2），A 1（0，2，2）， 所以CA →=(−2，2，0)，CC 1→=(0，0，2)，B 1A 1→=(0，2，0)，B 1C →=(2，0，−2)， 设平面ACC 1A 1的法向量n →=(x 1，y 1，z 1)，则{n →⋅CA →=(x 1，y 1，z 1)⋅(−2，2，0)=−2x 1+2y 1=0n →⋅CC 1→=(x 1，y 1，z 1)⋅(0，0，2)=2z 1=0，取x 1＝1，则y 1＝1，z 1＝0， 所以n →=（1，1，0），设平面B 1A 1C 的法向量m →=(x 2，y 2，z 2)，则{m →⋅B 1C →=(x 2，y 2，z 2)⋅(2，0，−2)=2x 2−2z 2=0m →⋅B 1A 1→=(x 2，y 2，z 2)⋅(0，2，0)=2y 2=0， 取x 2＝1，则y 2＝0，z ＝1， 所以m →=(1，0，1)，设二面角B 1﹣A 1C ﹣C 1的平面角为θ，则|cosθ|=|cos〈m →，n →〉|=|m →⋅n →||m →||n →|=2×2=12，因为二面角B 1﹣A 1C ﹣C 1为锐二面角， 所以二面角B 1﹣A 1C ﹣C 1的余弦值为12． （3）点M 在线段B 1C 上，且B 1M B 1C=13，点N 在线段A 1B 上，设M （a ，b ，c ），N （x ，y ，z ），设A 1N A 1B=λ，则B 1C →=3B 1M →，A 1N →=λA 1B →，且0≤λ≤1，且A 1B →=(0，−2，−2)，即（2，0，﹣2）＝3（a ，b ，c ﹣2），（x ，y ﹣2，z ﹣2）＝λ（0，﹣2，﹣2）， 解得M(23，0，43)，N （0，2﹣2λ，2﹣2λ）， MN →=(−23，2−2λ，23−2λ)，因为MN ∥平面ACC 1A 1，且n →=(1，1，0)， 所以n →⋅MN →=−23+2−2λ=0，解得λ=23． 所以A 1N A 1B的值为23．四、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.19．袋中装有3只黄色、2只白色的乒乓球（其体积、质地完全相同），从袋中随机摸出3个球，摸出的3个球为2个黄球1个白球的概率是35．解：把3只黄色乒乓球标记为A 、B 、C ，2只白色乒乓球标记为1、2， 从5个球中随机摸出3个球的基本事件为：ABC 、AB 1、AB 2、AC 1、AC 2、A 12、BC 1、BC 2、B 12、C 12，共10个，其中2个黄球1个白球的基本事件为AB 1、AB 2、AC 1、AC 2、BC 1、BC 2，共6个， 所以摸出的3个球为2个黄球1个白球的概率P =610=35． 故答案为：35．20．声音的等级f （x ）（单位：dB ）与声音强度x （单位：W /m 2）满足f(x)=10×lgx1×10−12．喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB ；一般说话时，声音的等级约为60dB ，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的 108 倍． 解：由f(x)=10×lg x 1×10−12，即y =10×lg x1×10−12， 得声音强度x =10y10×10−12=10−12+y10，设喷气式飞机起飞时声音强度与一般说话时声音强度分别为x 1，x 2， 所以强度之比x 1x 2=10−12+1401010−12+6010=1014−6=108．故答案为：108．21．在通用技术教室里有一个三棱锥木块如图所示，VA ，VB ，VC 两两垂直，VA ＝VB ＝VC ＝1（单位：dm ），小明同学计划通过侧面VAC 内任意一点P 将木块锯开，使截面平行于直线VB 和AC ，则该截面面积（单位：dm 2）的最大值是√24．解：根据题意，在平面VAC 内，过点P 作EF ∥AC 分别交VA ，VC 于F ，E ， 在平面VBC 内，过E 作EQ ∥VB 交BC 于Q ，在平面VAB 内，过F 作FD ∥VB 交BC 于D ，连接DQ ，如图，∵EF ∥AC ，则∠VEF ＝∠VCA ，∠VFE ＝∠VAC ，∴△VEF ∽△VCA ， 设其相似比为k ，则VF VA=VE VC=EF AC=k ，∵VA ⊥VC ，∴在Rt △VAC 中，AC 2＝VA 2+VC 2， ∵VA ＝VB ＝VC ＝1，∴AC =√2，即EF =√2k ， ∵FD ∥VB ，∴∠AFD ＝∠AVB ，∴AF VA=AD BA=FD VB，∵AF VA=VA−VF VA=1﹣k ，同理△CEQ ∽△AVB ，即CEVC=CQ BC=EQ VB=1﹣k ，∵VB ⊥VC ，VB ⊥VA ，VA ∩VC ＝V ，VA ⊂平面VAC ，VC ⊂平面VAC ， ∴VB ⊥平面VAC ，∵FD ∥VB ，EQ ∥VB ，∴FD ⊥平面VAC ，EQ ⊥平面VAC ，∵EF ⊂平面VAC ，∴FD ⊥EF ，EQ ⊥FE ， ∵BD BA =AB−AD AB =k ，BQ CB=CB−CQ CB=k ，∴BQ BC=BD BA，∵∠B ＝∠B ，∴△BDQ ∽△BAC ，∴DQ ∥AC ， ∵EF ∥AC ，∴EF ∥DQ ，∵FD ⊥EF ，EQ ⊥FE ，∴FD ⊥DQ ，EQ ⊥DQ ，∴四边形FEQD 矩形，即S 矩形FEQD ＝EF •FD ＝（1﹣k ）⋅√2k =−√2（k −12）2+√24，∴由二次函数的性质知当k =12时，S FEQD 有最大值为√24．故答案为：√24． 22．设函数f （x ）={log 2x −a ，x ≥15(x −a)(x −3a)，x ＜1．①若a ＝1，则f （x ）的最小值为 ﹣1 ；②若f （x ）恰有2个零点，则实数a 的取值范围是 （﹣∞，0]∪[13，1） ．解：①若a ＝1，x ≥1时，f （x ）＝log 2x ﹣1，f （x ）在[1，+∞）递增，f （x ）的最小值是f （1）＝﹣1， x ＜1时，f （x ）＝5（x ﹣1）（x ﹣3）＝5（x 2﹣4x +3），f （x ）在（﹣∞，1）递减，f （x ）＞f （1）， 故f （x ）的最小值是﹣1；②a ＝0时，x ≥1时，f （x ）＝log 2x ，f （x ）递增，f （x ）有1个零点是x ＝1， x ＜1时，f （x ）＝5x 2，f （x ）有1个零点是x ＝0， 故a ＝0时，f （x ）恰有2个零点，符合题意；a ＞0时，x ≥1时，f （x ）＝log 2x ﹣a ，f （x ）递增，f （x ）≥f （1）＝﹣a ＜0，f （x ）在[1，+∞）1个零点，x ＜1时，f （x ）＝5（x ﹣a ）（x ﹣3a ），若f （x ）在（﹣∞，1）恰有1个零点， 则零点是x ＝a ＜1，3a ＞1，解得：13＜a ＜1，a ＜0时，x ≥1时，f （x ）＝log 2x ﹣a ，f （x ）递增，f （x ）≥f （1）＝﹣a ＞0，f （x ）在[1，+∞）0个零点，x ＜1时，f （x ）＝5（x ﹣a ）（x ﹣3a ）恰有2个零点，则x ＝a ＜0，x ＝3a ＜0，符合题意，当a =13时，f （x ）={log 2x −13，x ≥15(x −13)(x −1)，x ＜1，当x ＜1时，函数1个零点是13，当x ＞1时，函数1个零点是√23，共2个零点， 故a =13符合题意，综上，若f （x ）恰有2个零点，则a ≤0或13≤a ＜1，故答案为：﹣1，（﹣∞，0]∪[13，1）．五、解答题：本大题共2小题，共25分. 23．（12分）在△ABC 中，bsin2A =√3asinB ． （Ⅰ）求∠A ；（Ⅱ）若△ABC 的面积为3√3，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△ABC 存在且唯一确定，求a 的值．条件①：sinC =2√77；条件②：b c =3√34；条件③：cosC =√217注：如果选择的条件不符合要求，第（II ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．解：（Ⅰ）因为b sin2A =√3a sin B ，由正弦定理得，sin B sin2A =√3sin A sin B ， 又B ∈（0，π），所以sin B ≠0，得到sin2A =√3sin A ， 又sin2A ＝2sin A cos A ，所以2sin A cos A =√3sin A ，又A ∈（0，π），所以sin A ≠0，得到cos A =√32，所以A =π6； （Ⅱ）选条件①：sin C =2√77； 由（1）知，A =π6，根据正弦定理知，ca=sinC sinA=2√7712=4√77＞1，即c ＞a ， 所以角C 有锐角或钝角两种情况，△ABC 存在，但不唯一，故不选此条件． 选条件②：bc =3√34； 因为S △ABC =12bc sin A =12bc sin π6=14bc ＝3√3，所以bc ＝12√3，又bc =3√34，得到b =3√34c ，代入bc ＝12√3，得到3√34c 2＝12√3，解得c ＝4，所以b ＝3√3，由余弦定理得，a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ＝（3√3）2+42﹣2×3√3×4×√32=27+16﹣36＝7，所以a =√7．选条件③：cos C =√217； 因为S △ABC =12bc sin A =12bc sin π6=14bc ＝3√3，所以bc ＝12√3，由cos C =√217，得到sin C =√1−cos 2C =√1−2149=2√77， 又sin B ＝sin （π﹣A ﹣C ）＝sin （A +C ）＝sin A cos C +cos A sin C ，由（1）知A =π6， 所以sin B =12×√217+2√77×√32=3√2114， 又由正弦定理得b c=sinB sinC=3√21142√77=3√34，得到b =3√34c ，代入bc ＝12√3，得到3√34c 2＝12√3，解得c ＝4，所以b ＝3√3，由余弦定理得，a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ＝（3√3）2+42﹣2×3√3×4×√32=27+16﹣36＝7，所以a =√7． 24．（13分）给定正整数n ≥2，设集合M ＝{α|α＝（t 1，t 2，…，t n ），t k ∈{0，1}，k ＝1，2，…，n }．对于集合M 中的任意元素β＝（x 1，x 2，…，x n ）和γ＝（y 1，y 2，…，y n ），记β•γ＝x 1y 1+x 2y 2+…+x n y n ． 设A ⊆M ，且集合A ＝{αi |αi ＝（t i 1，t i 2，…，t in ），i ＝1，2，…，n }，对于A 中任意元素αi ，αj ，若αi ⋅αj ={p ，i =j ，1，i ≠j ，则称A 具有性质T （n ，p ）． （Ⅰ）判断集合A ＝{（1，1，0），（1，0，1），（0，1，1）}是否具有性质T （3，2）？说明理由； （Ⅱ）判断是否存在具有性质T （4，p ）的集合A ，并加以证明；（Ⅲ）若集合A 具有性质T （n ，p ），证明：t 1j +t 2j +…+t nj ＝p （j ＝1，2，…，n ）．解：（Ⅰ）∵（1，1，0）•（1，1，0）＝1×1+1×1+0×0＝2，同理可得（1，0，1）•（1，0，1）＝（0，1，1）•（0，1，1）＝2， 而（1，1，0）•（1，0，1）＝1×1+1×0+0×1＝1，同理可得（1，1，0）•（0，1，1）＝（1，0，1）•（0，1，1）＝1，∴集合A ＝{（1，1，0），（1，0，1），（0，1，1）}具有性质T （3，2）； （Ⅱ）当n ＝4时，集合A 的元素有4个，由题可知p ∈{0，1，2，3，4}， 假设集合A 具有性质T （4，p ），则①当p ＝0时，A ＝{（0，0，0，0）}，矛盾；②当p ＝1时，A ＝{（1，0，0，0），（0，1，0，0），（0，0，1，0），（0，0，0，1）}，不具有性质T （4，1），矛盾；③当p＝2时，A＝{（1，1，0，0），（1，0，1，0），（1，0，0，1），（0，1，1，0），（0，1，0，1），（0，0，1，1）}，∵（1，1，0，0）和（0，0，1，1）至多一个在A中；（1，0，1，0）和（0，1，0，1）至多一个在A 中；（1，0，0，1）和（0，1，1，0）至多一个在A中，故集合A的元素个数小于4，矛盾；④当p＝3时，A＝{（1，1，1，0），（1，1，0，1），（1，0，1，1），（0，1，1，1）}，不具有性质T（4，3），矛盾；⑤p＝4时，A＝{（1，1，1，1）}，矛盾，综合可得：不存在具有性质T（4，p）的集合A；（Ⅲ）证明：设c j＝t1j+t2j+…t nj（j＝1，2，…，n），则c1+c2+…+c n＝np，若p＝0，则A＝{（0，0，…，0）}，矛盾；当p＝1时，A＝{（1，0，0，…，0）}，矛盾，故p≥2，假设存在j使得c j≥p+1，不妨设j＝1，即c1≥p+1，当c1＝n时，有c j＝0或c j＝1（j＝2，3，…，n）成立，∴α1，α2，…，αn中分量为1的个数至多有n+（n﹣1）＝2n﹣1＜2n≤np，当p+1≤c1＜n时，不妨设t11＝t21＝…＝t p+1，1＝1，t n1＝0，∵αn•αn＝p，∴αn的各分量有p个1，不妨设t n2＝t n3＝…＝t n，p+1＝1，由i≠j时，αi•αj＝1可知：∀q∈{2，3，…，p+1}，t1q，t2q，…t p+1，q中至多有一个1，即α1，α2，…αp+1的前p+1个分量中，至多含有p+1+p＝2p+1个1，又αi•αn＝1（i＝1，2，…，p+1），则α1，α2，…αp+1的前p+1个分量中，含有（p+1）+（p+1）＝2p+2个1，矛盾，∴c j≤p（j＝1，2，…，n），∵c1+c2+…+c n＝np，∴c j＝p（j＝1，2，…，n），∴t1j+t2j+…+t nj＝p（j＝1，2，…，n）．第21页（共21页）。
2022-2023学年北京市海淀区高二下学期期中数学试题【含答案】
2022-2023学年北京市海淀区高二下学期期中数学试题一、单选题1．已知抛物线的准线方程为，则该抛物线的标准方程为（ ）1y =-A ．B ．C ．D ．22x y=22y x =24x y =24y x=【答案】C【分析】根据准线方程为，可知抛物线的焦点在轴的正半轴，再设抛物线的标准形式为1y =-y ，根据准线方程求出的值，代入即可得到答案.22x py =p 【详解】由题意可知抛物线的焦点在轴的正半轴，设抛物线标准方程为：，y ()220x py p =>∵抛物线的准线方程为，1y =-∴，∴，12p=2p =∴抛物线的标准方程为：，24x y =故选：C .【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程、抛物线的简单性质，属于基础题.2．在二项式的展开式中，的系数为（ ）252()x x -x A ．﹣80B ．﹣40C ．40D ．80【答案】A【分析】根据二项展开式的通项，可得，令，即可求得的系数，得到答案.10315(2)r r rr T C x -+=-3r =x 【详解】由题意，二项式的展开式的通项为，252()x x -251031552()()(2)r r r r r rr T C x C x x --+=-=-令，可得，3r =3345(2)80T C x x =-=-即展开式中的系数为，故选A.x 80-【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中熟记二项展开式的通项是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3．设随机变量的概率分布列为X X1234P13m1416则（ ）(|3|1)P X -==A ．B ．C ．D ．7125121416【答案】B【详解】试题分析：()1111213124.3464P X X x ==---=-=⇒=，或，故选B()()()11531244612P X P X P X -===+==+=则【解析】概率分布4．用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为A ．24B ．48C ．60D ．72【答案】D【详解】试题分析：由题意，要组成没有重复数字的五位奇数，则个位数应该为1或3或5，其他位置共有种排法，所以奇数的个数为，故选D.44A 44372A =【解析】排列、组合【名师点睛】利用排列、组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏，分步时要注意整个事件的完成步骤．在本题中，个位是特殊位置，第一步应先安排这个位置，第二步再安排其他四个位置．5．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有善走男，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，问日增几何？”，该问题中，善走男第5日所走的路程里数是（ ）A ．120B ．130C ．140D ．150【答案】C【分析】设第天走步里，则是等差数列，问题转化为已知等差数列的前9项和为1260，要n n a {}n a 求，利用等差数列的性质求解即可．5a 【详解】由题意设此人第一天走步里，第二天走步里．第天走步里，是等差数列，已1a 2a n n a {}n a知，要求，91260S =5a ，∴．()195959929126022a a a S a +⨯====5140a =故选：C.6．盒子中有6个乒乓球，其中4新2旧，从中取2个来用，用完后放回盒中.设此时盒中旧乒乓球的个数为，则等于（ ）ξ()3P ξ=A ．B ．C ．D ．11525715815【答案】D【分析】通过用完后，将球放回盒中有3个旧球，可知取出的2个球1新1旧，从而可求解答案.【详解】盒子中有6个乒乓球，其中4新2旧，从中取2个来用，用完后放回盒中.设此时盒中旧乒乓球的个数为，ξ说明取出的2个球1新1旧，3ξ=则.()1142268315C C P C ξ===故选：D.7．对于数列，“ ”是“为递增数列”的{}n a ()11,2,n n a a n +>= {}n a A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【详解】由，又，1(12)n n a a n +>= ，，(12)n n a a n ≥= ，，所以，则为递增数列；1(12)n n a a n +>= ，，{}n a 若为递增数列，如，{}n a 12218,7,6,||n a n a a a a =-=-=-<不成立，1n na a +>所以“”是“为递增数列”的充分不必要条件.1(12)n n a a n +>= ，，{}n a 故选：B.8．某人射击一次命中目标的概率为，则此人射击6次，3次命中且恰有2次连续命中的概率为12（ ）A ．B ．C ．D ．3661()2C 2641()2A 2641(2C 1641()2C 【答案】B【分析】根据n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率，可得这名射手射击命中3次的概率，再根据相互独立事件的概率乘法运算求得结果.【详解】根据射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响，故此人射击6次，123次命中的概率为，6361C 2⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭恰有两次连续击中目标的概率为，2436A C 故此人射击6次，3次命中且恰有2次连续命中的概率为.6623246436A 11C A 2C 2⎛⎫⎛⎫⋅⋅=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选B【点睛】本题主要考查独立重复试验的概率问题，熟记概念和公式即可，属于常考题型.9．过双曲线的右焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为A ．若()222210,0x y a b a b -=>>（O 为坐标原点），则该双曲线的离心率为（ ）2AFO AOF ∠∠=ABC ．2D2【答案】B【分析】由题意易得所以，从而，再由.30AOF ∠= tan 30b a == c e a ==【详解】解：在中，因为，Rt AFO △2AFO AOF ∠∠=所以，则30AOF ∠=tan 30ba =所以，c e a ==故选：B10．把名新生安排到某个班级，要求每个班级至少有一名新生，则不同的安排方式共有（ ）53A ．种B ．种C ．种D ．种150180300360【答案】A【分析】要求每个班级至少有一名新生，所以先从人的个数分三组，则有两类情况，求出所有的组数，再对三组进行排序即可.【详解】解：把名新生安排到某个班级，要求每个班级至少有一名新生，53从人的个数有组分法，即，，和，，两种分法.2113122若分成人，人，人，则共有分组方法，11335C 10=若分成人，人，人，则共有分组方法，122225322C C 15A =将分好的三组安排到三个班级中共有种排法，33A 6=所以所有的安排方法共有种安排方法.(1015)6150+⨯=故选：.A 11．若椭圆上存在点P ，使得点P 到椭圆的两个焦点的距离之比为，则称该椭圆为“倍径椭圆”，2:1则下列椭圆中为“倍径椭圆”的是（ ）A ．B ．2211615x y +=22589x y +=C ．D ．2212524x y +=2213336x y +=【答案】B【分析】根据椭圆的定义结合椭圆性质分析可得，进而可得，逐项分析判断即113e ≤<2280,9b a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦可.【详解】设椭圆的两个焦点为， 12,F F 由题意可得：则，即，122PF PF a+=122PF a PF =-不妨设，则，解得，12PF PF >12222PF a PF PF =-=223a PF =可得，解得，23a a c a c -≤≤+113e ≤<则，解得.2222211,19c b e a a ⎡⎫==-∈⎪⎢⎣⎭2280,9b a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦对于A ：可知，则，故A 错误；2216,15a b ==221580,169b a ⎛⎤=∉ ⎥⎝⎦对于B ：因为，即，22589x y +=2214045x y +=可知，则，故B 正确；2245,40a b ==22880,99b a ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦对于C ：可知，则，故C 错误；2225,24a b ==222480,259b a ⎛⎤=∉ ⎥⎝⎦对于D ：可知，则，故D 错误；2236,33a b ==221180,129b a ⎛⎤=∉ ⎥⎝⎦故选：B.12．已知数列的前n 项和为，且，，则使得成立的{}n a n S 14a=()*142Nn n a a n n ++=+∈2023nS>n 的最小值为（ ）A ．32B ．33C ．44D ．45【答案】D【分析】分为奇数和为偶数两种情况，得到的通项公式，进而分为奇数和为偶数两种n n {}n a n n 情况求和，解不等式，求出答案.【详解】①，142n n a a n ++=+当时，②，2n ≥()1412n n a a n -+=-+两式相减得，114n n a a +--=当为奇数时，为等差数列，首项为4，公差为4，n {}n a 所以，144222n n a n -⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭中，令得，故，142n n a a n ++=+1n =126a a +=2642a =-=故当为偶数时，为等差数列，首项为2，公差为4，n {}n a 所以，241222n n a n ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭所以当为奇数时，n ，()()()()213241114222242222n n n n n n n S a a a a a a n n -+-++++-=+++++++==++ 当为偶数时，，n ()()()()21312442222222n n n n nn n S a a a a a a n n-+++-=+++++++==+当为奇数时，令，解得，n 222023n n ++>45n ≥当为偶数时，令，解得，n 22023n n +>46n ≥所以成立的n 的最小值为.2023n S >45故选：D二、填空题13．在等差数列中，若，，则________．{}n a 15a =51a =6a =【答案】0【分析】利用等差数列的通项公式，列方程求得首项与公差，从而可得结果.【详解】在等差数列中，{}n a 由且，15a =5141a a d =+=解得,151a d =⎧⎨=-⎩,()65510a ∴=+⨯-=故答案为:.014．已知某班级中，有女生18人，男生20人，而且女生中不戴眼镜的有8人，男生中戴眼镜的有11人，现从这个班级中随机抽出一名学生，己知这名学生是女生，则所抽到学生戴眼镜的概率是________．【答案】59【分析】计算女生中戴眼镜的人数，根据条件概率的意义，即可求得答案.【详解】由题意从这个班级中随机抽出一名学生，己知这名学生是女生，而女生有18人，女生中不戴眼镜的有8人，则戴眼镜的有10人，故所抽到学生戴眼镜的概率是，105189=故答案为：5915．已知椭圆的左、右两个顶点分别为A ，B ，点P 是椭圆C 上异于A ，B 的任意一22:143x y C +=点，则直线PA ，PB 的斜率之积为________．【答案】/34-0.75-【分析】根据题意结合斜率公式分析运算.【详解】由题意可得，则，2a =()()2,0,2,0A B -设，则，整理得，()()000,2P x y x ≠±2200143x y +=()2020344x y -=-可得直线PA ，PB 的斜率分别为，0000,22PA PB y y k k x x ==+-所以.()202000220000343422444PA PBx y y y k k x x x x --⋅=⨯===-+---故答案为：.34-16．在数列中，已知，，则________．{}n a 10a =1n a +=50a =【分析】根据数列的递推式求出数列前面几项，可推得数列的周期，根据周期性即可求得答案.【详解】由题意，，10a =1na +=2a ==，，3a===40a ===故数列的项具有周期性，周期为3，{}n a 故5016322a a a ⨯+===17．对正在横行全球的“新冠病毒”，某科研团队研发了一款新药用于治疗，为检验药效，该团队从“新冠”感染者中随机抽取100名，检测发现其中感染了“普通型毒株”，“德尔塔型毒株”、“其他型毒株”的人数占比为．对他们进行治疗后，统计出该药对“普通型毒株”、“德尔塔型毒株”、“其他型毒5:3:2株”的有效率分别为82%、60%、75%，那么你预估这款新药对 “新冠病毒”的总体有效率是________．【答案】74%【分析】根据题意，结合概率的计算公式，准确计算，即可求解.【详解】由题意，感染了“普通型毒株”，“德尔塔型毒株”、“其他型毒株”的人数占比为且该药5:3:2对“普通型毒株”、“德尔塔型毒株”、“其他型毒株”的有效率分别为82%、60%、75%，所以这款新药对 “新冠病毒”的总体有效率为.53282%60%75%74%101010⨯+⨯+⨯=故答案为：.74%18．袋中装有5个相同的红球和2个相同的黑球，每次从中抽出1个球，抽取3次按不放回抽取，得到红球个数记为X ，得到黑球的个数记为Y ；按放回抽取，得到红球的个数记为．下列结论中ξ正确的是________．①；②；③；④．()():5:2Y E X E =()()D X Y D >()()E X E ξ=()()D X D ξ<（注：随机变量X 的期望记为、方差记为）()E X ()D X 【答案】①③④【分析】根据不放回抽取，确定红球个数X 的可能取值以及黑球个数为Y 的可能取值，求出每个值对应的概率，即可求得的期望和方程，判断①，②；按放回抽取，可知，求出其,X Y 5(3,)7B ξ 期望和方程，即可判断③，④.【详解】由题意抽取3次按不放回抽取，可得红球个数X 的可能取值为，1,2,3黑球个数Y 的可能取值为，2,1,0则，5212512151(1)7657657657P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，5425242544(2)7657657657P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，5432(3)7657P X ==⨯⨯=故；14215()1237777E X =⨯+⨯+⨯=由题意可知，3X Y +=故,,,1(2)(1)7P Y P X ====4(1)(2)7P Y P X ====2(0)(3)7P Y P X ====故，1426()2107777E Y =⨯+⨯+⨯=故，故①正确；()()156:77:5:2E X E Y ==，22215115415220()(1)(2)(377777749D X =-⨯+-⨯+-⨯=，22261646220()(2(1)(077777749D Y =-⨯+-⨯+-⨯=即，故②错误；()()D X Y D =抽取3次按放回抽取，每次抽取到红球的概率为，57得到红球的个数记为，则，ξ5(3,7B ξ 故，()()51555303,3(1)777749E D ξξ=⨯==⨯⨯-=故，，即③，④正确，()()E X E ξ=()()D X D ξ<故答案为：①③④【点睛】关键点睛：解答本题的关键是明确不放回抽取和放回抽取的区别，从而计算变量的期望和方程，不放回抽取时，要考虑互斥情况，计算概率；放回抽取时，可确定变量服从二项分布，从而可求解问题.三、解答题19．已知圆C 过点，，．()0,4P -()2,0Q ()3,1R -(1)求圆C 的方程；(2)若直线与圆C 交于两点A ，B ，且，求m 的值．:10l mx y +-=AB 4=【答案】(1)()()22125x y -++=(2)43【分析】（1）设圆的一般方程，代入运算求解即可；（2）根据垂径定理可得圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式运算求解.【详解】（1）设圆的一般方程为，220x y Dx Ey F ++++=由题意可得：，解得，16404201030E F D F D E F -+=⎧⎪++=⎨⎪+-+=⎩240D E F =-⎧⎪=⎨⎪=⎩故圆的一般方程为，即.22240x y x y +-+=()()22125x y -++=（2）由（1）可得：圆心，半径，()1,2C -r =则圆心到直线的距离，()1,2C -l 1d ==，解得，43m =所以m 的值为.4320．已知等差数列的前n 项和公式为，，．{}n a n S 3225a a -=5314S S -=(1)求的通项公式；{}n a (2)若对，恒成立，求的取值范围．*n ∀∈N 0n n S a λ-+≥λ【答案】(1)411n a n =-(2)[)10,+∞【分析】（1）根据等差数列的性质可求得，再求，进而可得结果；455,9a a ==1,a d （2）由（1）可得，根据恒成立问题，结合二次函数分析运算.229n S n n =-【详解】（1）设等差数列的公差为，d 由题意可得，()32242425a a a a a a -=+-==且，则，534514S S a a -=+=59a =可得，54144,37d a a a a d =-==-=-所以.()741411n a n n =-+-=-（2）由（1）可得：，()27411292n n n S n n -+-==-则，()()222941121311n n S a n n n n n λλλ-+=---+=-++因为的开口向上，对称轴为，221311y n n λ=-++134n =且，则当时，取到最小值，*n ∈N 3n =221311y n n λ=-++10λ-可得，即，100λ-≥10λ≥所以的取值范围为.λ[)10,+∞21．某冰糖橙是甜橙的一种，以味甜皮薄著称．该橙按照等级可分为四类：珍品、特级、优级和一级．某采购商打算订购一批橙子销往省外，并从采购的这批橙子中随机抽取100箱（每箱有），5kg 利用橙子的等级分类标准得到的数据如下表：等级珍品特级优级一级箱数40301020(1)从这100箱橙子中随机抽取1箱，求该箱是珍品的概率；(2)利用样本估计总体，果园老板提出两种方案供采购商参考：方案一：不分等级出售，价格为27元；/kg 方案二：分等级出售，橙子价格如下表等级珍品特级优级一级价格（元）/kg 36302418从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案？(3)从这100箱中抽取3箱，这3箱等级不全相同的概率记为；用分层随机抽样的方法从这1001p 箱橙子中抽取20箱，再从抽取的20箱中随机抽取3箱，这3箱等级不全相同的概率记为，请2p 直接写出与的大小关系（不必说明理由）．1p 2p 【答案】(1)25(2)采购商应选择方案一(3)12p p <【分析】（1）根据题意结合古典概型分析运算；（2）根据题意求方案二的平均单价，进而对比分析；（3）先按分层抽样求各层抽取的箱数，再根据古典概型运算分析.【详解】（1）由题意可得：该箱是珍品的概率.4021005P ==（2）若选方案一：则单价为27元；/kg 若选方案二：则单价为元；364030302410182029.4100⨯+⨯+⨯+⨯=/kg 因为，所以采购商应选择方案一.2729.4<（3）由题意可得：，33334030102013100C C C C 14651C 1617p +++=-=若用分层随机抽样的方法从这100箱橙子中抽取20箱，则珍品、特级、优级和一级分别抽取8箱、6箱、2箱和4箱，则，3338642320C C C 531C 57p ++=-=因为，所以.146553161757<12p p <22．已知椭圆，上顶点的坐标为，()2222:10x y C a b a b +=>>()0,1A (1)求椭圆C 的方程．(2)若椭圆C 下顶点是B ，M 是C 上一点（不与A ，B 重合），直线AM 与直线交于点P ，直线2y =BP 交椭圆C 于点N ．求证：直线MN 过定点．【答案】(1)2212x y +=(2)直线MN 过定点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）由题意可得：，，解方程即可得出答案；1b =c a=（2）设，直线的方程为，直线BP 的方程为，两直线分别与椭圆的(),2P t AM 11y x t =+31y x t=-方程联立求出的坐标，即可表示出直线MN 的方程，即可知求的直线MN 过的定点.,M N 【详解】（1）由题意可得：，，，解得，1b =c a=222a b c =+a =1c =椭圆的标准方程为.∴C 2212x y +=（2），设，直线：，()0,1A (),2P t AM 11y x t =+联立方程，可得：，221112y x t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩222410x x t t ⎛⎫++= ⎪⎝⎭则，所以，2244221M t t x t t =-=-++221441122M t y t t t ⎛⎫=-+=-+ ⎪++⎝⎭故，2244,122t M tt ⎛⎫--+ ⎪++⎝⎭，，直线BP 的方程为，()0,1B -(),2P t 31y x t =-联立方程，可得：，223112y x t x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩2291602x x t t ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭则，所以，2261291182N t t x t t ==++2231236111818N t y t t t =⋅-=-++则，221236,11818t N t t⎛⎫- ⎪++⎝⎭，()()()224222322236411266272618212416968166182N MMN N M t t y y t t t t k t t x x t t t t t t t ⎛⎫---+ ⎪-+---+-++⎝⎭=====-+++++所以直线MN 的方程为：，222264461182282t t t y x x t t t t --⎛⎫=+-+=+ ⎪++⎝⎭令，故直线MN 过定点.10,2x y ==10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭23．设数列，即当{}()()11:1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,,1,,1,k k n k a k k ---------- 个时，．记．()()()*1122k k k k n k -+<≤∈N ()11k n a k -=-()*12n n S a a a n =+++∈N (1)写出，，，；1S 2S 3S 4S (2)令，求数列的通项公式；()12k k k b S +={}k b (3)对于，定义集合，求集合中元素的个数．*l ∈N *,,1n l n S P n n n l a ⎧⎫⎪⎪=∈∈≤≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭Z N 且2023P 【答案】(1)12341,1,3,0S S S S ==-=-=(2)()()1112k k k k b ++=-⋅(3)1024【分析】（1）根据题意直接运算求解；（2）根据题意分类讨论结合并项求和分析运算；（3）根据题意分析可得，若，则为奇数，进而分析运算即可.212n n S k n a -=+n n S a ∈Z k 【详解】（1）由题意可得：，()()12132431,21,23,30S S S S S S S ==+-=-=+-=-=+=所以.12341,1,3,0S S S S ==-=-=（2）当为偶数，则k ()()()()()()11111122122k k kk k k k b ---+⋅⋅⋅+=+-+-+⋅⋅-=⨯+-⨯+⋅⋅⋅+-⋅⨯+()()()()()()2222221234112341k k k k ⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+--=-+-+-⋅⋅⋅--+⎡⎤⎣⎦⎣⎦；()()1123412k k k k +=-++++⋅⋅⋅+-+=-当为奇数，则；k ()()()()()()()()()()21221211111122k k k k k k k k k b S k k k +++++⎡⎤=--++⋅⋅⋅+-+=-++=⎣⎦综上所述：.()()1112k k k k b ++=-⋅（3）由（2）可得：，()()()112112k k k k k S +++=-⋅当时，则，()()()*1122k k k k n k -+<≤∈N ()()()()1111122kn k k k kk k S n ---⎡⎤=-⋅+-⨯-⎢⎥⎣⎦所以，()()()()()()1121121111221122k k n n k k k k k n k k S k a n k k k n ----⎡⎤-⋅+-⨯⎢⎥--⎣⎦==-+--=+-若，则，故为奇数，n n S a ∈Z 212k -∈Z k 令，解得为偶数，()()()*11202322k k k k k -+<≤∈N 64k =故，63k =所以集合中元素的个数.2023P 6432136310242⨯++⋅⋅⋅+==【点睛】方法点睛：对于数列，常用分类讨论结合并项求和方法进行求和.(){}1nn a -。
三角函数中的恒等变换应用-高中数学知识点讲解(含答案)
三角函数中的恒等变换应用（北京习题集）（教师版）一．选择题（共6小题）1．（2017秋•东城区期末）若)3cos ,(,)x x x ϕϕππ+=-∈-，则ϕ等于( ) A ．3π-B ．3πC ．56π D ．56π-2．（2019•石景山区一模）已知函数()sin f x a x x =-的一条对称轴为6x π=-，12()()0f x f x +=，且函数()f x 在1(x ，2)x 上具有单调性，则12||x x +的最小值为( ) A ．6πB ．3π C ．23π D ．43π 3．（2018•海淀区二模）关于函数()sin cos f x x x x =-，下列说法错误的是( ) A ．()f x 是奇函数 B ．0不是()f x 的极值点C ．()f x 在(,)22ππ-上有且仅有3个零点D ．()f x 的值域是R4．（2017春•西城区期末）函数()f x x x =-在区间[0，]π上的最大、最小值分别为( )A ．π，0B ．2π- C ．,14ππ- D ．0,14π-5．（2017春•海淀区校级期中）已知函数21()(2cos 1)sin 2cos42f x x x x =-+，若(2πα∈，)π且()f α=α的值是( ) A ．58πB ．1116πC ．916π D ．78π6．（2015秋•丰台区期末）函数()sin 22f x x x =+在区间[0，]π上的零点之和是( ) A ．23πB ．712π C ．76π D ．43π 二．填空题（共5小题）7．（2018春•丰台区期末）已知函数2()cos cos f x x x x =+，则()f x 的最小正周期为 ；最大值为 ． 8．（2017•海淀区校级三模）已知函数()sin()cos (0)6f x x x πωωω=+->，若函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，且在区间[,]44ππ-上是单调函数，则ω的最大值是9．（2017•朝阳区二模）若平面向量(cos ,sin )a θθ=，(1,1)b =-，且a b ⊥，则sin 2θ的值是 ． 10．（2016•北京模拟）已知函数(tan )sin 2cos2f ααα=+，则函数()f x 的值域为 ．11．（2016春•海淀区校级期末）函数2()sin()cos 62xf x x π=++的振幅为 ，最小正周期为 ．三．解答题（共4小题）12．（2015春•延庆县期末）（Ⅰ）证明：sin 1cos 1cos sin αααα-=+． （Ⅱ）已知圆的方程是222x y r +=，则经过圆上一点0(M x ，0)y 的切线方程为200x x y y r +=，类比上述性质，试写出椭圆22221x y a b+=类似的性质．13．（2014•海淀区校级模拟）由倍角公式2cos22cos 1x x =-，可知cos2x 可以表示为cos x 的二次多项式．对于cos3x ，我们有 cos3cos(2)x x x =+ cos2cos sin2sin x x x x =-2(2cos 1)cos 2(sin cos )sin x x x x x =-- 322cos cos 2(1cos )cos x x x x =--- 34cos 3cos x x =-可见cos3x 可以表示为cos x 的三次多项式．一般地，存在一个n 次多项式()n P t ，使得cos (cos )n nx P x =，这些多项式()n P t 称为切比雪夫多项式．()I 求证：3sin33sin 4sin x x x =-；()II 请求出4()P t ，即用一个cos x 的四次多项式来表示cos4x ； ()III 利用结论3cos34cos 3cos x x x =-，求出sin18︒的值．14．（2009秋•通州区期末）求证：2tan (1cos2)1cos2θθθ+=-．15．（20092tan α=．三角函数中的恒等变换应用（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．（2017秋•东城区期末）若)3cos ,(,)x x x ϕϕππ+=-∈-，则ϕ等于( ) A ．3π-B ．3πC ．56π D ．56π-【分析】由题意利用两角和的正弦公式可得cos ϕ和sin ϕ的值，从而求得ϕ的值． 【解答】解：23sin()3cos xx x ϕ+-，cos sin 3cos x x xx ϕϕ∴+=-，∴3ϕϕ⎧=⎪=⎨=-⎪⎩即1cos 2sin ϕϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(,)ϕππ∈-，3πϕ∴=-， 故选：A．【点评】本题主要考查两角和的正弦公式的应用，属于基础题．2．（2019•石景山区一模）已知函数()sin f x a x x =-的一条对称轴为6x π=-，12()()0f x f x +=，且函数()f x 在1(x ，2)x 上具有单调性，则12||x x +的最小值为( ) A ．6πB ．3π C ．23π D ．43π 【分析】利用辅助角公式化简，对称轴为6x π=-，12()()0f x f x +=，且函数()f x 在1(x ，2)x 上具有单调性，可得1x 与2x ，关于对称中心对称，即可求解12||xx +的最小值；【解答】解：函数()sin )f x a xx x θ=-=+，其中tan θ= 函数()f x的一条对称轴为6x π=-，可得1()62f a π-=--=解得：2a =． 3πθ∴=-对称中心对称横坐标3x k ππ-=，可得3x k ππ=+，k Z ∈．又12()()0f x f x +=，且函数()f x 在1(x ，2)x 上具有单调性． 12||2||3x x k π∴+=+当0k =时，可得122||3x x π+= 故选：C ．【点评】本题考查了正弦函数的最值和单调性的综合应用．属于中档题． 3．（2018•海淀区二模）关于函数()sin cos f x x x x =-，下列说法错误的是( ) A ．()f x 是奇函数 B ．0不是()f x 的极值点C ．()f x 在(,)22ππ-上有且仅有3个零点D ．()f x 的值域是R【分析】根据三角函数的性质和导函数，依次判断各选项即可．【解答】解：对于A ：由()sin()cos()()f x x x x f x -=-+-=-，()f x ∴是奇函数，A 对；对于B ，()sin cos f x x x x =-，()cos cos sin sin f x x x x x x x '=--=-，当0x =时，()0f x =，()0f x '=，0不是()f x 的极值点．B 对．对于:()sin cos C f x x x x =-，()cos cos sin sin f x x x x x x x '=-+=，可得在(2π-，0)上单调递减．(0,)2π上单调递增．(0)f 可得最小值，(0)0f =，所以，()f x 在(,)22ππ-上不是3个零点．C 不对；对于D ：当x 无限大或无线小时，可得()f x 的值域为R ，D 对． 故选：C ．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，导函数的应用，属于基础题．4．（2017春•西城区期末）函数()f x x x =-在区间[0，]π上的最大、最小值分别为( )A ．π，0B ．2π- C ．,14ππ- D ．0,14π-【分析】对函数()f x 求导数，利用导数判断()f x 的单调性，并求()f x 在区间[0，]π上的最大、最小值．【解答】解：函数()f x x x =，()1f x x ∴'=；令()0f x '=，解得cos x ， 又[0x ∈，]π，4x π∴=；[0x ∴∈，)4π时，()0f x '<，()f x 单调递减；(4x π∈，]π时，()0f x '>，()f x 单调递增；且()14444f ππππ==-，(0)0f =，()f ππ=；∴函数()f x 在区间[0，]π上的最大、最小值分别为π和14π-．故选：C ．【点评】本题考查了利用导数求函数在闭区间上的最值问题，是中档题．5．（2017春•海淀区校级期中）已知函数21()(2cos 1)sin 2cos42f x x x x =-+，若(2πα∈，)π且()f α=α的值是( ) A ．58πB ．1116πC ．916π D ．78π【分析】利用二倍角公式和和角公式化简()f x ，根据()f α=α的表达式即可得出α的值．【解答】解：111()cos2sin 2cos4sin 4cos4)2224f x x x x x x x π=+=++，())242f παα∴=+=4242k ππαπ∴+=+，即162k ππα=+，k Z ∈． (2πα∈，)π，916216πππα∴=+=． 故选：C ．【点评】本题考查了三角恒等变换，正弦函数的图象与性质，属于中档题．6．（2015秋•丰台区期末）函数()sin 22f x x x =+在区间[0，]π上的零点之和是( ) A ．23πB ．712π C ．76π D ．43π 【分析】由()0f x =结合正切函数的性质求出函数的零点即可得到结论．【解答】解：由()sin 220f x x x ==得sin 2x x =，即tan 2x = 即23x k ππ=-，即26k x ππ=-， 0x π，∴当1k =时，3x π=，当2k =时，56x π=， 则函数()f x 的零点之和为57366πππ+=， 故选：C ．【点评】本题主要考查函数零点的求解和应用，根据正切函数的性质求出x 的值是解决本题的关键． 二．填空题（共5小题）7．（2018春•丰台区期末）已知函数2()cos cos f x x x x =+，则()f x 的最小正周期为 π ；最大值为 ． 【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性求得函数()f x 的最小正周期．再根据正弦函数值域求最大值．【解答】解：函数2111()cos cos 2cos2sin(2)2262f x x x x x x x π=+=++=++． 故函数()f x 的最小正周期为T π=． 当2262x k πππ+=+时，函数()f x 取得最大值为32． 故答案为：3,2π．【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．8．（2017•海淀区校级三模）已知函数()sin()cos (0)6f x x x πωωω=+->，若函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，且在区间[,]44ππ-上是单调函数，则ω的最大值是 43【分析】利用和与差和辅助角公式化简，根据直线2x π=对称，且在区间[,]44ππ-上是单调函数可得1()244T ππ--，建立不等式关系，求解即可．【解答】解：函数()sin()cos (0)6f x x x πωωω=+->，1cos 2x x ωω=- sin()6x πω=-函数()f x 的图象关于直线2x π=对称， 即262k πππωπ-=+，k Z ∈，1123k ω∴=+，又()f x 在区间[,]44ππ-上是单调函数，∴1()244T ππ--， 则T π．即2ω．∴24622462k k πππωππππωπ⎧---⎪⎪⎨⎪-+⎪⎩解得：483883k k ωω⎧-⎪⎪⎨⎪+⎪⎩∴403ω< 可得ω的最大值为：43． 故答案为：43【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键． 9．（2017•朝阳区二模）若平面向量(cos ,sin )a θθ=，(1,1)b =-，且a b ⊥，则sin 2θ的值是 1 ．【分析】利用向量垂直，就是数量积为0，求出cos sin 0θθ-=，两边平方，利用同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式可求sin 2θ的值． 【解答】解：因为a b ⊥， 所以0a b =， 即：cos sin 0θθ-=，两边平方可得：22cos 2sin cos sin 0θθθθ-+=， 可得：1sin20θ-=，解得：sin21θ=． 故答案为：1．【点评】本题考查数量积判断两个平面向量的垂直关系，考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题． 10．（2016•北京模拟）已知函数(tan )sin 2cos2f ααα=+，则函数()f x 的值域为 [ ． 【分析】由三角恒等变换化简()f x ，然后转化为关于x 的方程． 【解答】解：22(tan )sin 2cos22sin cos cos sin f ααααααα=+=+-2222222sin cos cos sin 2tan 1tan cos sin 1tan ααααααααα+-+-==++， ∴2221()1x x f x x +-=+，2(1)210y x x y ∴+-+-=，当110,2y x +==-，即1y =-成立； 当10y +≠时，△2(2)4(1)(1)0y y =--+-，可得2y，且10y +≠，综上所述，可得函数的值域为[．【点评】本题考查三角恒等变换以及换元，转化思想．11．（2016春•海淀区校级期末）函数2()sin()cos 62xf x x π=++的振幅为，最小正周期为 ． 【分析】将函数利用二倍角公式和辅助角公式进行化简，结合三角函数的图象和性质即可得出答案．【解答】解：2()sin()cos 62xf x x π=++，11sin coscos sincos 6622x x x ππ=+++111cos cos 222x x x =+++1cos 2x x =++1)2x ϕ=++，其中tan ϕ=∴，最小正周期222||1T πππω===；，2π． 【点评】本题考查了利用二倍角公式和辅助角公式进行三角函数的能力和三角函数的图象和性质的运用．属于基础题三．解答题（共4小题）12．（2015春•延庆县期末）（Ⅰ）证明：sin 1cos 1cos sin αααα-=+． （Ⅱ）已知圆的方程是222x y r +=，则经过圆上一点0(M x ，0)y 的切线方程为200x x y y r +=，类比上述性质，试写出椭圆22221x y a b+=类似的性质．【分析】（Ⅰ）运用分析法进行证明；（Ⅱ）经过圆上一点0(M x ，0)y 的切线方程就是将圆的方程中的一个x 与y 分别用0(M x ，0)y 的横坐标与纵坐标替换．由此类比得到． 【解答】（Ⅰ）证明：欲证sin 1cos 1cos sin αααα-=+， 只需证2sin (1cos )(1cos )ααα=-+， 即证22sin 1cos αα=-，上式显然成立，故原等式成立．5⋯分（Ⅱ）解：圆的性质中，经过圆上一点0(M x ，0)y 的切线方程就是将圆的方程中的一个x 与y 分别用0(M x ，0)y 的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆22221x y a b +=类似的性质为：过椭圆22221x y a b+=一点0(P x ，0)y 的切线方程为00221x x y ya b+=．10⋯分． 【点评】本题考查了三角函数恒等式的证明以及类比推理．13．（2014•海淀区校级模拟）由倍角公式2cos22cos 1x x =-，可知cos2x 可以表示为cos x 的二次多项式．对于cos3x ，我们有 cos3cos(2)x x x =+ cos2cos sin2sin x x x x =-2(2cos 1)cos 2(sin cos )sin x x x x x =-- 322cos cos 2(1cos )cos x x x x =--- 34cos 3cos x x =-可见cos3x 可以表示为cos x 的三次多项式．一般地，存在一个n 次多项式()n P t ，使得cos (cos )n nx P x =，这些多项式()n P t 称为切比雪夫多项式．()I 求证：3sin33sin 4sin x x x =-；()II 请求出4()P t ，即用一个cos x 的四次多项式来表示cos4x ； ()III 利用结论3cos34cos 3cos x x x =-，求出sin18︒的值．【分析】()I 利用诱导公式可得33sin3cos(3)cos[3(3)]22x x x ππ=--=--，把已知的条件代入可证得结论成立． ()II 两次使用二倍角公式，即可求得结果．()III 利用sin36cos54︒=︒，可得32sin18cos184cos 183cos18︒︒=︒-︒，解方程求出2sin18︒的值．【解答】解：()I 证明：33sin3cos(3)cos[3()][4cos ()3cos()]2222x x x x x ππππ=--=--=---- 33(4sin 3sin )3sin 4sin x x x x =--=-，故等式成立．22242()cos4cos(22)2cos 212(2cos 1)12(4cos 4cos 1)1II x x x x x x ==-=--=-+- 428cos 8cos 1x x =-+．()sin36cos54III ︒=︒，32sin18cos184cos 183cos18∴︒︒=︒-︒，24sin 182sin1810∴︒+︒-=，∴sin18︒=． 【点评】本题考查二倍角公式、诱导公式的应用，正确选择公式是解题的关键． 14．（2009秋•通州区期末）求证：2tan (1cos2)1cos2θθθ+=-．【分析】原式的左边括号外边利用同角三角函数间的基本关系把tan θ化为sin cos θθ，括号里边利用二倍角的余弦函数公式化简，合并后约分即可得到结果；原式的右边利用二倍角的余弦函数公式化简，合并后得到结果，由左边=右边得证．【解答】证明：等式左边2tan (1cos 2)θθ=+222sin (12cos 1)cos θθθ=+- 222sin 2cos cos θθθ= 22sin θ=，等式右边221cos21(12sin )2sin θθθ=-=--=，∴左边=右边，故原式成立．【点评】此题考查了三角函数恒等式的证明，用到的知识有同角三角函数间的基本关系，以及二倍角的余弦函数公式，熟练掌握三角函数的恒等变换公式是证明的关键．15．（20092tan α=．【分析】先把1sin 1sin αα+-分子分母同时乘以1sin α+，整理求得22(1sin )cos αα+，进而根据α所在的象限求得1sin cos αα+=1sin cos αα-= 2tan α=．【解答】解：1sin 1sin αα+-2(1sin )(1sin )(1sin )ααα+=-+ (1sin )a =+^2/[1(sin )a -^2] 22(1sin )cos αα+=因为A 是第四象限的角 所以cos 0> 又因为sin 1α<- 所以1sin 0a +>1sin cos αα+1sin cos αα-=第11页（共11页）1sin 1sin sin 2cos cos cos αααααα+-=-= 2tan α=原式得证．【点评】本题主要考查了三角函数恒等式的证明及同角三角函数基本关系的应用．。
2017年全国统一高考真题数学试卷(理科)(新课标ⅲ)(含答案及解析)
2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A={（x，y）|x2+y2=1}，B={（x，y）|y=x}，则A∩B中元素的个数为（）A．3B．2C．1D．02．（5分）设复数z满足（1+i）z=2i，则|z|=（）A．B．C．D．23．（5分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是（）A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳4．（5分）（x+y）（2x﹣y）5的展开式中的x3y3系数为（）A．﹣80B．﹣40C．40D．805．（5分）已知双曲线C：﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，且与椭圆+=1有公共焦点，则C的方程为（）A．﹣=1B．﹣=1C．﹣=1D．﹣=1 6．（5分）设函数f（x）=cos（x+），则下列结论错误的是（）A．f（x）的一个周期为﹣2πB．y=f（x）的图象关于直线x=对称C．f（x+π）的一个零点为x=D．f（x）在（，π）单调递减7．（5分）执行如图的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为（）A．5B．4C．3D．28．（5分）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A．πB．C．D．9．（5分）等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{a n}前6项的和为（）A．﹣24B．﹣3C．3D．810．（5分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，则C的离心率为（）A．B．C．D．11．（5分）已知函数f（x）=x2﹣2x+a（e x﹣1+e﹣x+1）有唯一零点，则a=（）A．﹣B．C．D．112．（5分）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若=λ+μ，则λ+μ的最大值为（）A．3B．2C．D．2二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023-2024学年北京市海淀区高二上学期期中数学检测试卷(有解析)
k 值，利用弦长公式求解即可. 【详解】由题设，直线 l 的斜率必存在，设过 P(1, 2) 的直线 MN 为 y 2 k(x 1) ，联立双
曲线： (2 k 2 )x2 2k(k 2)x (k 4 4k 6) 0
设
M
(x1 ,
y1 ),
N (x2 ,
y2
)
，则
x1
x2
2k (k 2
则△PF1F2 的面积为
.
18．已知曲线 C 的方程为 x2 4 y 4 ，则下列说法正确的是
．
①曲线 C 关于坐标原点对称； ②y 的取值范围是[1,1]；
③曲线 C 是一个椭圆； 面积．
E : x2 y2 1
④曲线 C 围成区域的面积小于椭圆 4
围成区域的
三、解答题，本题共 4 小题，共 40 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
，
由抛物线的性质可知：点 M (1, m) 到焦点的距离等于 M (1, m) 到准线的距离，
1 a 3 即 4 ，得a
8 ，抛物线方程为 y2
8x ，
-1-
则焦点坐标为 (2,0) ，焦点到 y 轴的距离为 2.
故选：C
5．D
b 2 【分析】由条件可得 a ，即可得离心率.
【详解】因为双曲线 C ：
故选：A. 8．D
【分析】直线 y kx 过原点，且与双曲线 x2 y2 1的两支各有一个交点，则直线 y kx 在
两条渐近线之间，数形结合即可得到答案. 【详解】由双曲线 x2 y2 1，得渐近线方程为 y x ， 由题意得，直线 y kx 应该在两条渐近线之间，如图得， k (1,1) . 故选：D.
D．3
x2 y2 12．已知椭圆 a2 b2
2022-2023学年北京市海淀区高二下学期期中考试数学试题【含答案】
2022-2023学年北京市海淀区高二下学期期中考试数学试题一、单选题1．2344A C -=（）A ．6B ．12C ．8D ．20【答案】C【分析】根据组合数与排列数的运算即可得答案.【详解】∵24A 4312=⨯=，34432C 4321⨯⨯==⨯⨯，∴2344A C 1248-=-=.故选：C.2．下列结论中正确的是（）A ．若0a b >>，0c d <<，则b a c d>B ．若0x y >>且1xy =，则()21log 2xy x x y y +>>+C ．设{}n a 是等差数列，若210a a >>，则213a a a <D ．若[)0,x ∈+∞，则()21ln 18x x x+≥-【答案】A【分析】根据不等式的性质判断A ，利用特殊值判断B ，根据等差数列的性质及基本不等式判断C ，构造函数，利用导数判断D.【详解】选项A ，由0c d <<，可得0c d ->->，则110d c->->，又0a b >>，所以a b d c ->-，则b ac d >，故A 正确.选项B ，取12,2x y ==，则221154,,log ()log 1282x y x x y y +==+=>，则不等式()21log 2xyx x y y +>>+不成立，故B 不正确.选项C ，由题意得1322a a a +=且13a a ≠，所以213131311=()222a a a a a a a +>⨯=，故C 不正确.选项D ，设21()ln(1)8h x x x x =+-+，则1(3)()1144(1)x x x h x x x -'=-+=++，当03x <<时，()0h x '<，则()h x 单调递减，()(0)0h x h <=，即()21ln 18x x x +<-，故D 不正确.故选：A.3．函数21e xy -=的导数是（）A ．()2211e xy x -'=-B ．212e x y x -'=C ．()21exy x '=-D ．21e xy -'=【答案】B【分析】根据复合函数的求导公式求解即可.【详解】解：由已知可得()22121e 12e x x y x x --''=⋅-=，故选：B.4．在等差数列{}n a 中，若12a =，24a =，则4a =（）A ．6B ．8C ．16D ．32【答案】B【解析】先求出公差，再利用等差数列的通项公式可得答案.【详解】因为等差数列{}n a 中，12a =，24a =，所以公差21422d a a =-=-=，，则4132328a a d =+=+⨯=，故选：B.5．已知等比数列{}n a 各项均为正数，且25392a a a =⋅，则q =（）A ．12B ．2C ．2D ．22【答案】D【分析】利用等比数列的通项公式即可求解.【详解】由25392a a a =⋅可得：()24281112a q a q a q =⋅，即28210112a q a q =，因为10a ≠，0q ≠，所以221q =，解得：22q =或22q =-（舍），故选：D.6．已知等差数列{a n }，则“a 2＞a 1”是“数列{a n }为单调递增数列”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【详解】试题分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解：在等差数列{a n }中，若a 2＞a 1，则d ＞0，即数列{a n }为单调递增数列，若数列{a n }为单调递增数列，则a 2＞a 1，成立，即“a 2＞a 1”是“数列{a n }为单调递增数列”充分必要条件，故选C ．【解析】必要条件、充分条件与充要条件的判断．7．某质点沿直线运动，位移y （单位：m ）与时间t （单位：s ）之间的关系为2()34y t t =+，则质点在2t =时的瞬时速度为（）A ．8m/sB ．12m/sC ．18m/sD ．24m/s【答案】B【分析】利用导数的物理意义，即可求解.【详解】()6y t t '=，当2t =时，212t y ='=，所以质点在2t =时的瞬时速度为12/m s .故选：B8．曲线221y x =+在点()1,3P -处的切线方程为（）A ．41y x =--B ．47y x =--C ．41y x =-D ．47y x =+【答案】A【分析】求导，再根据导数的几何意义即可得解.【详解】求导函数4y x '=，当=1x -时，()414y '=⨯-=-，∴曲线221y x =+在点()1,3P -处的切线方程为：()341y x -=-+，即41y x =--.故选：A.9．如图，从甲地到乙地有3条路，从乙地到丁地有2条路；从甲地到丙地有3条路，从丙地到丁地有4条路.从甲地到丁地的不同路线共有（）A ．12条B ．15条C ．18条D ．72条【答案】C【分析】分甲乙丁与甲丙丁两种情况分类,再根据乘法原理分别求解再求和即可.【详解】若线路为甲乙丁则有326⨯=,路线为甲丙丁则有3412⨯=.故共有61218+=.故选：C【点睛】本题主要考查了分步与分类计数的方法,属于基础题.10．由1，2，3，4，5组成的无重复数字的3位数有（）A ．48个B ．60个C ．96个D ．120个【答案】B【分析】根据排列数的意义求解即可.【详解】根据题意，由1，2，3，4，5组成的无重复数字的3位数有：35A 54360=⨯⨯=.故选：B.11．函数()()3e xf x x =-的单调增区间是（）A ．(),2-∞B ．()0,3C ．()1,4D ．()3,+∞【答案】A【分析】求导函数，令()0f x ¢>，解不等式即可得函数单调增区间.【详解】()()3e xf x x =-，定义域为R则()()()e 3e 2e x x xf x x x =-+-=-'，令()0f x ¢>，解得2x <，故函数()f x 的单调增区间为(),2-∞.故选：A.12．函数322y x x =--+的极值情况是（）A ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既无极大值也无极小值D ．既有极大值又有极小值【答案】D【分析】对函数求导后，由导数的正负求出函数的单调区间，从而可求出函数的极值.【详解】∵322y x x =--+，∴223y x x '=--，由0y '=，得0x =或23x =-，2,3x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，0'<y ；2,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，0'>y ；()0,x ∈+∞时，0'<y ，∴函数232y x x =--的递减区间是2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，()0,∞+；递增区间是2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴当23x =-时，函数取得极小值，当0x =时，函数取得极大值，∴函数232y x x =--既有极大值又有极小值.故选：D.13．已知函数()y f x ='的图象如图所示，那么下列结论正确的是（）A ．()0f a =B ．()f x '没有极大值C ．x b =时，()f x 有极大值D ．x c =时，()f x 有极小值【答案】D【分析】根据函数()y f x ='的图象可知，()f x '有极大值()f b '，()f a 的值无法确定，再根据()y f x ='的图象确定()y f x =的单调性，从而可说明b 不是函数()f x 的极值点，c 是函数()f x 的极小值点.【详解】解：如图所示，设函数()y f x ='的图象在原点与(,0)c 之间的交点为(,0)d ．由图象可知：()()()0f a f d f c '='='=.当x a <时，()0f x '<，此时函数()f x 单调递减；当a x d <<时，()0f x '>，此时函数()f x 单调递增；当d x c <<时，()0f x '<，此时函数()f x 单调递减；当c x <时，()0f x '>，此时函数()f x 单调递增．可得：a 是函数()f x 的极小值点，d 是函数()f x 的极大值点，c 是函数()f x 的极小值点．b 不是函数()f x 的极值点，()0f a =不一定成立．且由图知，()f x '有极大值()f b '.故选：D ．14．设a R ∈，若函数e x y ax =+，x R ∈，有大于零的极值点，则（）A ．1a <-B ．1a >-C ．1a e<-D ．1a e>-【答案】A【详解】题意即0x e a +=有大于0的实根,数形结合令12,xy e y a ==-,则两曲线交点在第一象限,结合图像易得11a a ->⇒<-,选A.15．对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足()()10x f x -'≥则必有A ．()()()0221f f f +<B ．()()()0221f f f +≤C ．()()()0221f f f +≥D ．()()()0221f f f +>【答案】C【分析】先由题意得到函数的单调性,然后跟根据单调性进行判断可得结论.【详解】()()10x f x -'≥ 若()0f x '=，则()f x 为常数函数,()()()02=21f f f +;若()0f x '=不恒成立,∴当1x >时,()0f x '≥,()f x 递增，当1x <时,()0f x '≤,()f x 递减.(0)(1),(2)(1)(0)(2)2(1)f f f f f f f ∴>>∴+>，.故选:C.【点睛】本题考查函数最值和单调性的关系,考查对基本概念的理解,解题时可根据导函数的符号得到函数的单调性,进而得到函数的最值情况,属于中档题.二、填空题16．在等比数列{}n a 中，242,4a a ==，则6a =.【答案】8【分析】根据等比数列的通项公式进行求解即可.【详解】设该等比数列的公比为q ，因为242,4a a ==，所以22422a q q a =⇒=，因此264428a a q =⋅=⨯=，故答案为：817．已知函数()32f x x =，则()()11limx f x f x→+-=△△△.【答案】6【分析】利用求导公式对()f x 进行求导，根据导数的定义即可求值.【详解】解：∵()32f x x =，∴()26f x x '=，∴()16f '=，则()()()011lim16x f x f f x→+-'==△△△.故答案为：6.18．已知函数()sin f x x =，则2f π⎛⎫'=⎪⎝⎭【答案】0【分析】求出函数的导函数，再代入计算可得.【详解】解：∵()sin f x x =，∴()cos f x x '=，∴cos 022f ππ⎛⎫'== ⎪⎝⎭；故答案为：019．函数222y x x -=+在[]0,4上的最大值为.【答案】10【分析】对二次函数配方后，根据二次函数的性质可求得其最大值.【详解】解：根据题意，函数()222211y x x x =-+=-+，当0x =时，2y =，当4x =时，10y =，故函数222y x x -=+在[]0,4上的最大值为10.故答案为：10.三、双空题20．已知二项式2()nx x+的展开式中各项二项式系数和是16，则n ＝，展开式中的常数项是．【答案】424【分析】由二项式的和有216n =求n 值，写出二项式展开式通项，进而求常数项.【详解】由题意216n =，则4n =，故二项式42()x x+展开式的通项为4214C 2r r rr T x -+=，令420r -=，得2r =，故展开式中的常数项为2234C 2T ==24.故答案为：4，24四、填空题21．数列{}n a 中，若13a =，11n n na a n +=+，则n a =.【答案】3n【分析】根据数列的递推关系式结合累乘法即可得n a .【详解】由题意，13a =，11n n na a n +=+可得0n a ≠，所以11n n a n a n +=+，所以1211211213312n n n n n a a a n n a a a a a n n n-----=⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯=- .故答案为：3n.22．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则n a =.【答案】21n -【解析】根据()12n n n a S S n -=-≥，求出通项，再验证1n =也满足所求式子即可.【详解】因为数列{}n a 的前n 项和2n S n =，所以()()2211212n n n a S S n n n n -=-=--=-≥，又111a S ==也满足上式，所以21n a n =-.故答案为：21n -.【点睛】本题主要考查由n S 求数列的通项，属于基础题型.23．若曲线()()21e x f x ax -=-在点()()22f ,处的切线过点()3,2，则实数a 的值为.【答案】45/0.8【分析】根据导数的几何意义结合导数的运算即可确定切线方程，根据切线方程过点()3,2，列方程求解实数a 的值.【详解】由()()21e x f x ax -=-，得()()22e 1e x xf x a ax --=+-'，∴()22131f a a a '=+-=-，又()221f a =-，∴曲线()()21x f x ax e -=-在点()()22f ,处的切线方程为()()21312y a a x -+=--，代入()3,2，得3231a a -=-，解得45a =.故答案为：45.24．已知函数3()f x mx x =-在()-∞+∞上是减函数，则m 的取值范围是．【答案】0m ≤【分析】根据导数与单调性的关系,对3()f x mx x =-求导,并令'()0f x ≤,即可求得m 的取值范围.【详解】因为函数3()f x mx x =-则2'()31f x mx =-因为()f x 在()-∞+∞上是减函数所以'()0f x ≤在()-∞+∞上恒成立即2310mx -≤则当0x =时,'(0)10f =-≤恒成立当0x ≠时,213m x ≤在()-∞+∞上恒成立,则0m ≤综上所述,m 的取值范围是0m ≤【点睛】本题考查了导数在函数单调性中的应用,二次函数恒成立问题,属于基础题.25．法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析函数论》中给出了一个定理，具体如下．如果函数()y f x =满足如下条件：（1）在闭区间[],a b 上是连续的；（2）在开区间(),a b 上可导.则在开区间(),a b 上至少存在一点ξ，使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-成立，此定理即“拉格朗日中值定理”，其中ξ被称为“拉格朗日中值”．则()x g x e =在区间[]0,1上的“拉格朗日中值”ξ=．【答案】()ln e 1-【分析】先求()g x '，结合拉格朗日中值的定义，可得()()()()1010g g g ξ'-=-求得ξ的值即可.【详解】由()e xg x =可得()e xg x '=，所以()e g ξξ'=，由拉格朗日中值的定义可知()()()10e 110g g g ξ-'==--，即e e 1ξ=-，所以()ln e 1ξ=-．故答案为：()ln e 1-.五、解答题26．有2名男生、3名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.(结果用数字回答)（1）选4人排成一排;（2）排成前后两排,前排1人，后排4人;（3）全体排成一排,女生必须站在一起;（4）全体排成一排,男生互不相邻;（5）全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边;（6）全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边;（7）全体排成一排，甲在乙前，乙在丙前.【答案】（1）120；（2）120；（3）36；（4）72；（5）72；（6）78；（7）20.【分析】（1）（2）直接利用排列求解；（3）利用捆绑法求解；（4）利用插空法求解；（5）利用优先法求解；（6）利用间接法求解；（7）利用整体法求解.【详解】（1）选4人排成一排，有45120A =种；（2）排成前后两排,前排1人，后排4人，有45120A =种；（3）全体排成一排,女生必须站在一起，有333336A A ⋅=种；（4）全体排成一排,男生互不相邻，有323472A A ⋅=种；（5）全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边，有143472A A ⋅=种；（6）全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边，有5443544378A A A A --+=种；（7）全体排成一排，甲在乙前，乙在丙前，有2520A =种.27．已知数列{}n a 满足11a =，12n na a +=，等差数列{}nb 满足13b a =，21b a =.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n n a b +的前n 项和.【答案】（1）12n n a -=，73n b n =-；（2）2113212nn n --+【分析】（1）依题意{}n a 为等比数列，由等比数列的通项公式计算可得n a ；由13b a =，21b a =，求出公差，进而得到n b ；（2）求得1273n n n a b n -+=+-，利用分组求和法，结合等差数列和等比数列的求和公式，可得所求和．【详解】解：（1）由11a =，12n na a +=，可得12n n a -=；设等差数列{}nb 的公差为d ，由134b a ==，211b a ==，可得213d b b =-=-，则43(1)73n b n n =--=-；（2）1273n n n a b n -+=+-，可得数列{}n n a b +的前n 项和为1(124...2)(41...73)n n -++++++++-2121113(473)211222n n n n n n --=++-=-+-．28．已知{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，43a =-再从条件①条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：(1)数列{}n a 的通项公式；(2)n S 的最小值，并求n S 取得最小值时n 的值．条件①：424S =-；条件②：132a a =．【答案】(1)条件①：211,N n a n n +=-∈；条件②：315,Nn a n n +=-∈(2)条件①：5n =时，最小值为525S =-；条件②：4n =或5n =时，最小值为4530S S ==-.【分析】（1）根据等差数列定义，设出公差d 利用所选条件分别解得1a 和d ，即可写出数列的通项公式；（2）根据通项公式可得前n 项和为n S 的表达式，再根据二次函数性质即可求得最小值.【详解】（1）若选择条件①：设等差数列{}n a 的公差为d ，由43a =-可得133a d +=-；又424S =-，得1434242a d ⨯+=-，即12312a d +=-；解得19,2a d =-=，所以()()11921211n a a n d n n =+-=-+-=-；即数列{}n a 的通项公式为211,N n a n n +=-∈.若选择条件②：设等差数列{}n a 的公差为d ，由43a =-可得133a d +=-；又132a a =，即()1122a a d =+，得140a d +=；解得112,3a d =-=；所以()()151313121n a a n d n n =-=+--=-+；即数列{}n a 的通项公式为315,N n a n n +=-∈.（2）若选择条件①：由211,N n a n n +=-∈可得，()22(1)92105252n n n S n n n n -=-+⨯=-=--；根据二次函数的性质可得当5n =时，25n S =-为最小；即5n =时，n S 取最小值，且最小值为525S =-.若选择条件②：由315,N n a n n +=-∈可得，()22(1)339243123922228n S n n n n n n -⎛⎫=-+⨯=-=-- ⎪⎝⎭；根据二次函数的性质可得当4n =或5n =时，30n S =-为最小；即4n =或5n =时，n S 取最小值，且最小值为4530S S ==-.29．已知曲线C ：()3f x x x =-.(1)求()1f '的值；(2)求曲线C 在点()()1,1P f 处的切线方程；(3)求函数()f x 的极值.【答案】(1)2(2)220x y --=(3)极大值为239，极小值为239-【分析】（1）根据题意，求导之后代入计算即可得到结果；（2）根据题意，求导之后，由导数的几何意义即可得到结果；（3）根据题意，求导之后，代入计算，即可得到极值.【详解】（1）已知()3f x x x =-，函数定义域为R ，可得()231f x x '=-，所以()213112f '=⨯-=；（2）由（1）知()12f '=，又()31110f =-=，所以曲线C 在点()()1,1P f 处的切线方程为()021y x -=-，即220x y --=；（3）由（1）知()231f x x '=-，令()0f x '=，解得33x =-或33x =，当33x <-时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；当3333x -<<时，()0f x '<，()f x 单调递减；当33x >时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，所以()f x 在33x =-处取得极大值239，在33x =处取得极小值239-.30．已知函数()()22ln f x ax a x x =-++.(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处切线的倾斜角；(2)当0a >时，函数()f x 在区间[]1,e 上的最小值为2-，求a 的取值范围；(3)若对任意1x 、()20,x ∈+∞，12x x <，且()()112222f x x f x x +<+恒成立，求a 的取值范围.【答案】(1)0(2)[)1,+∞(3)[]0,8【分析】（1）求出()1f '的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的倾斜角；（2）求得()()()()1210ax x f x x x --'=>，对实数a 的取值进行分类讨论，利用导数分析函数()f x 在[]1,e 上的单调性，结合()min 2f x =-可得出实数a 的取值范围；（3）设()2ln g x ax ax x =-+，分析可知，函数()g x 在()0,∞+上单调递增，对实数a 的取值进行分类讨论，结合2210ax ax -+≥对任意的()0,x ∈+∞恒成立，可求得实数a 的取值范围.【详解】（1）解：当1a =时，()23ln f x x x x =-+，()123f x x x'=-+，则()10f '=，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处切线的倾斜角为0.（2）解：函数()()22ln f x ax a x x =-++的定义域为()0,∞+，当0a >时，()()()()()1211220ax x f x ax a x x x --'=-++=>，令()0f x '=，可得12x =或1x a =.①当101a<≤时，即1a ≥时，()f x 在[]1,e 上单调递增，所以()f x 在[]1,e 上的最小值是()12f =-；②当11e a <<，即11ea <<时，若11x a <<，则()0f x '<，此时函数()f x 在11,a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，当1e x a <<时，即()0f x ¢>，此时函数()f x 在1,e a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，所以，()f x 在[]1,e 上的最小值是()112f f a ⎛⎫<=- ⎪⎝⎭，不合题意；③当1e a ≥，即10ea <≤时，对任意的[]1,e x ∈时，()0f x '≤，则()f x 在[]1,e 上单调递减，所以()f x 在[]1,e 上的最小值是()()e 12f f <=-，不合题意.综上可得1a ≥，故a 的取值范围为[)1,+∞.（3）解：设()()2g x f x x =+，则()2ln g x ax ax x =-+，对任意1x 、()20,x ∈+∞，12x x <，且()()112222f x x f x x +<+恒成立，等价于()g x 在()0,∞+上单调递增.而()21212ax ax g x ax a x x-+'=-+=，①当0a =时，()10g x x'=>，此时()g x 在()0,∞+单调递增；②当0a ≠时，只需()0g x '≥在()0,∞+恒成立，因为()0,x ∈+∞，只要2210ax ax -+≥，则需要0a >，二次函数221y ax ax =-+的对称性为直线14x =，只需280a a ∆=-≤，即08a <≤.综上可得08a ≤≤，所以a 的取值范围为[]0,8.【点睛】方法点睛：求函数()f x 在区间[],a b 上的最值的方法：（1）若函数()f x 在区间[],a b 上单调，则()f a 与()f b 一个为最大值，另一个为最小值；（2）若函数()f x 在区间[],a b 内有极值，则要求先求出函数()f x 在区间[],a b 上的极值，再与()f a 、()f b 比大小，最大的为最大值，最小的为最小值；（3）若函数()f x 在区间[],a b 上只有唯一的极大点，则这个极值点就是最大（最小）值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.。
2016-2017学年高二下学期期中考试数学(理)试题(A卷)Word版含答案
试卷类型 A2016-2017学年高二下学期期中考试数学（理）试题一．选择题（5分×12=60分）在每小题给出的四个选项只有一个正确。
1．下列求导运算正确的是（ ） A. 233'1x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ B. ()21log 'ln2x x = C. ()33'3log x x e = D. ()2cos '2sin x x x x =-2．曲线34y x x =-在点（－1，－3）处的切线方程是（ ） A.74y x =+ B.72y x =+ C.2y x =- D.4y x =- 3．由“若b a>，则c b c a +>+”推理到“若b a >，则bc ac >”是（ ）A.归纳推理B.类比推理C.演绎推理D.不是推理4．已知三棱锥O ABC -，点,M N 分别为,AB OC 的中点，且,,OA a OB b OC c === ，用a ， b ， c表示MN ，则MN等于( )A. ()12b c a +-B.()12a b c +- C. ()12a b c -+ D. ()12c a b -- 5．若'0()3f x =-，则000()(3)limh f x h f x h h→+--=（ ） A ．-3 B ． -6 C ．-9 D ．-126．若2(sin cos )2x a x dx π-=⎰，则实数a 等于（ ）A ．1-B ．1C ．7．如图，函数()y f x =的图象在点P 处的切线方程是8y x =-+，则()()55f f '+=( )A ．12B ．1C ．2D ．0 8．函数32()23f x x x a =-+的极大值为6，那么a 的值是（ ） A ．5 B ．0 C ．6 D ．19.函数f （x ）在x=x 0处导数存在，若p ：f′（x 0）=0：q ：x=x 0是f （x ）的极值点，则（ ） A ．p 是q 的充分必要条件B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 10．若2()2'(1)f x xf x =+，则'(0)f 等于 （ ） A. －2 B. －4 C. 2 D. 0 11．由曲线x y =，直线2-=x y 及y 轴所围成的封闭图形的面积为（ ）A ．316 B ．310C ．4D ．6 12．函数()f x 在实数集R 上连续可导，且()()20f x f x '->在R 上恒成立，则以下不等式一定成立的是（ ） A. ()()221f f e >B. ()()221f f e <C. ()()321f e f -> D. ()()321f e f -<二．填空题。
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2017海淀区高二（下）期中数学（理科）一．选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．1．（4分）复数1﹣i的虚部为（）A．i B．1 C．D．﹣2．（4分）xdx=（）A．0 B．C．1 D．﹣3．（4分）若复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，且z1=1+i，则z1•z2=（）A．﹣2 B．2 C．﹣2i D．2i4．（4分）若a，b，c均为正实数，则三个数a+，b+，c+这三个数中不小于2的数（）A．可以不存在 B．至少有1个C．至少有2个D．至多有2个5．（4分）定义在R上的函数f（x）和g（x），其各自导函数f′（x）f和g′（x）的图象如图所示，则函数F（x）=f（x）﹣g（x）极值点的情况是（）A．只有三个极大值点，无极小值点B．有两个极大值点，一个极小值点C．有一个极大值点，两个极小值点D．无极大值点，只有三个极小值点6．（4分）函数f（x）=lnx与函数g（x）=ax2﹣a的图象在点（1，0）的切线相同，则实数a的值为（）A．1 B．﹣ C．D．或﹣7．（4分）函数y=e x（2x﹣1）的大致图象是（）A．B．C．D．8．（4分）为弘扬中国传统文化，某校在高中三个年级中抽取甲、乙、丙三名同学进行问卷调查．调查结果显示这三名同学来自不同的年级，加入了不同的三个社团：“楹联社”、“书法社”、“汉服社”，还满足如下条件：（1）甲同学没有加入“楹联社”；（2）乙同学没有加入“汉服社”；（3）加入“楹联社”的那名同学不在高二年级；（4）加入“汉服社”的那名同学在高一年级；（5）乙同学不在高三年级．试问：丙同学所在的社团是（）A．楹联社 B．书法社C．汉服社D．条件不足无法判断二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．9．（4分）在复平面内，复数对应的点的坐标为．10．（4分）设函数f（x），g（x）在区间（0，5）内导数存在，且有以下数据：x 1 2 3 4f（x） 2 3 4 1f′（x） 3 4 2 1g（x） 3 1 4 2g′（x） 2 4 1 3则曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是；函数f（g（x））在x=2处的导数值是．11．（4分）如图，f（x）=1+sinx，则阴影部分面积是．12．（4分）如图，函数f（x）的图象经过（0，0），（4，8），（8，0），（12，8）四个点，试用“＞，=，＜”填空：（1）；（2）f′（6）f′（10）．13．（4分）已知平面向量=（x1，y1），=（x2，y2），那么•=x1x2+y1y2；空间向量=（x1，y1，z1），=（x2，y2．z2），那么•=x1x2+y1y2+z1z2．由此推广到n维向量：=（a1，a2，…，a n），=（b1，b2，…，b n），那么•= ．14．（4分）函数f（x）=e x﹣alnx（其中a∈R，e为自然常数）①∃a∈R，使得直线y=ex为函数f（x）的一条切线；②对∀a＜0，函数f（x）的导函数f′（x）无零点；③对∀a＜0，函数f（x）总存在零点；则上述结论正确的是．（写出所有正确的结论的序号）三．解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（10分）已知函数f（x）=x3﹣3x2﹣9x+2（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值．16．（10分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1+a n=﹣，n∈N*．（Ⅰ）求a2，a3，a4；（Ⅱ）猜想数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．17．（12分）已知函数f（x）=x﹣（a+1）lnx﹣，其中a∈R．（Ⅰ）求证：当a=1时，函数y=f（x）没有极值点；（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调增区间．18．（12分）设f（x）=e t（x﹣1）﹣tlnx，（t＞0）（Ⅰ）若t=1，证明x=1是函数f（x）的极小值点；（Ⅱ）求证：f（x）≥0．2017海淀区高二（下）期中数学（理科）参考答案一．选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．1．【解答】复数1﹣i的虚部为﹣．故选：D．2．【解答】xdx=x2|=，故选：B3．【解答】∵复数z1、z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=1+i，∴z2=﹣1+i．∴z1•z2=﹣（1+i）（1﹣i）=﹣2．故选：A4．【解答】假设a+，b+，c+这三个数都小于2，∴a++b++c+＜6∵a++b++c+=（a+）+（b+）+（c+）≥2+2+2=6，这与假设矛盾，故至少有一个不小于2故选：B5．【解答】F′（x）=f′（x）﹣g′（x），由图象得f′（x）和g′（x）有3个交点，从左到右分分别令为a，b，c，故x∈（﹣∞，a）时，F′（x）＜0，F（x）递减，x∈（a，b）时，F′（x）＞0，F（x）递增，x∈（b，c）时，F′（x）＜0，F（x）递减，x∈（c，+∞）时，F′（x）＞0，F（x）递增，故函数F（x）有一个极大值点，两个极小值点，故选：C．6．【解答】由题意，f′（x）=，g′（x）=2ax，∵函数f（x）=lnx与函数g（x）=ax2﹣a的图象在点（1，0）的切线相同，∴1=2a，∴a=，故选C．7．【解答】y′=e x（2x﹣1）+2e x=e x（2x+1），令y′=0得x=﹣，∴当x＜﹣时，y′＜0，当x时，y′＞0，∴y=e x（2x﹣1）在（﹣∞，﹣）上单调递减，在（﹣，+∞）上单调递增，当x=0时，y=e0（0﹣1）=﹣1，∴函数图象与y轴交于点（0，﹣1）；令y=e x（2x﹣1）=0得x=，∴f（x）只有1个零点x=，当x时，y=e x（2x﹣1）＜0，当x时，y=e x（2x﹣1）＞0，综上，函数图象为A．故选A．8．【解答】假设乙在高一，则加入“汉服社”，与（2）矛盾，所以乙在高二，根据（3），可得乙加入“书法社”，根据（1）甲同学没有加入“楹联社”，可得丙同学所在的社团是楹联社，故选A．二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．9．【解答】复数==﹣1﹣i在复平面内对应的点的坐标（﹣1，﹣1）．故答案为：（﹣1，﹣1）．10．【解答】f′（1）=3，f（1）=2，∴曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=3x﹣1，[f（g（x））]′=f′（g（x））g′（x），x=2时，f′（g（2））g′（2）=3×4=12，故答案为y=3x﹣1；1211．【解答】由图象可得S=（1+sinx）dx=（x﹣cosx）|=π﹣cosπ﹣（0﹣cos0）=2+π，故答案为：π+212．【解答】（1）由函数图象可知=，==2，∴．（2）∵f（x）在（4，8）上是减函数，在（8，12）上是增函数，∴f′（6）＜0，f′（10）＞0，∴f′（6）＜f′（10）．故答案为（1）＞，（2）＜．13．【解答】由题意可知•=a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n．故答案为：a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n．14．【解答】对于①，函数f（x）=e x﹣alnx的导数为f′（x）=e x﹣，设切点为（m，f（m）），则e=e m﹣，em=e m﹣alnm，可取m=1，a=0，则∃a∈R，使得直线y=ex为函数f（x）的一条切线，故①正确；对于②，∀a＜0，函数f（x）的导函数f′（x）=e x﹣，由x＞0，可得f′（x）＞0，则导函数无零点，故②正确；对于③，对∀a＜0，函数f（x）=e x﹣alnx，由f（x）=0，可得e x=alnx，分别画出y=e x和y=alnx，（a＜0）的图象，可得它们存在交点，故f（x）总存在零点，故③正确．故答案为：①②③．三．解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．【解答】（Ⅰ）f′（x）=3x2﹣6x﹣9=3（x+1）（x﹣3），令f′（x）=0，得x=﹣1或x=3，当x变化时，f′（x），f（x）在区间R上的变化状态如下：x （﹣∞﹣﹣1 （﹣1，3） 3 （3，+∞）1）f′（x）+ 0 ﹣0 +f（x）↗极大↘极小↗所以f（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣1），（3，+∞）；单调递减区间是（﹣1，3）；（Ⅱ）因为f（﹣2）=0，f（2）=﹣20，再结合f（x）的单调性可知，函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值为﹣20．16．【解答】（Ⅰ）由题意a1=1，a2+a1=，a3+a2=﹣1，a4+a3=2﹣解得：a2=﹣1，a3=﹣，a4=2﹣（Ⅱ）猜想：对任意的n∈N*，a n =﹣，①当n=1时，由a1=1=﹣，猜想成立．②假设当n=k （k∈N*）时，猜想成立，即a k =﹣则由a k+1+a k =﹣，得a k+1=﹣，即当n=k+1时，猜想成立，由①、②可知，对任意的n∈N*，猜想成立，即数列{a n}的通项公式为a n =﹣．17．【解答】（Ⅰ）证明：函数f（x）的定义域是（0，+∞）．当a=1时，f（x）=x﹣2lnx ﹣，函数f′（x）=≥0，所以函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增，所以当a=1时，函数y=f（x）没有极值点；（Ⅱ）f′（x）=1﹣+=，x∈（0，+∞）令f′（x）=0，得x1=1，x2=a，①a≤0时，由f′（x）＞0可得x＞1，所以函数f（x）的增区间是（1，+∞）；②当0＜a＜1时，由f′（x）＞0，可得0＜x＜a，或x＞1，所以函数f（x）的增区间是（0，a），（1，+∞）；③当a＞1时，由f′（x）＞0可得0＜x＜1，或x＞a，所以函数f（x）的增区间是（0，1），（a，+∞）；④当a=1时，由（Ⅰ）可知函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增．综上所述，当a≤0时，函数y=f（x）的增区间是（1，+∞）；当0＜a＜1时，所以函数f（x）的增区间是（0，a），（1，+∞）；当a=1时，函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增；当a＞1时，所以函数f（x）的增区间是（0，1），（a，+∞）．18．【解答】证明：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），…（ 1分）若t=1，则f（x）=e x﹣1﹣lnx，．…（2分）因为f′（1）=0，…（3分）且0＜x＜1时，，即f′（x）＜0，所以f（x）在（0，1）上单调递减；…（4分）x＞1时，，即f′（x）＞0，所以f（x）在（1，+∞）上单调递增；…（5分）所以x=1是函数f（x）的极小值点；…（6分）（Ⅱ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），t＞0.；…（7分）令，则，故g（x）单调递增．…（8分）又g（1）=0，…（9分）当x＞1时，g（x）＞0，因而f′（x）＞0，f（x）单增，即f（x）的单调递增区间为（1，+∞）；当0＜x＜1时，g（x）＜0，因而f′（x）＜0，f（x）单减，即f（x）的单调递减区间为（0，1）．…（11分）所以x∈（0，+∞）时，f（x）≥f（1）=1≥0成立．…（12分）。