解析几何的诞生

cos(A B) cos(A B) sin A sin B 2
的启示，或许还受到德国数学家斯蒂弗尔在他的《综合算术》中所发现 1, r , r 2 , r 3 ,...... 与其指数构成的算术级数0,1,2,3，…之间对应关系 及运算性质的启示。 对数的发现 苏格兰贵族数学家纳皮尔是在球面天文学的三角学研究研究中首先发 明对数方法的，1614年他在题为《奇妙的对数定理说明书》的小书中，阐 7 述了他的对数方法。他考察一个点P沿着直线AB（长度为 10 单位）的运 动，其速度在每一点P处正比于剩余距离PB=y；再假定一个点Q沿着无限 直线CD匀速运动，其速度等于P点在A处的速度，CQ=x；令P与Q分别从 A、C出发，那么定义是y的对数。如下图：
1 a y a( ) e
x
瑞士仪器工匠比尔吉1600年也独立地发明了对数方法以简化天文 计算，他的出发点是斯蒂弗尔的级数的对应思想，属于算术性质而 略异于纳皮尔的做法，不过他的发明迟至1620年才得到发表。 对数的发明大大减轻了计算工作量，很快风靡欧洲，所以拉普拉斯 曾称赞道：“对数的发明家对其节省劳力而延长了天文学家的寿 命”。可以说，到16世纪末，17世纪初，整个初等数学的主要内容 基本定型，文艺复兴促成的东西方数学的融合，为近代数学的兴起 及以后的惊人发展铺平了道路。
16世纪前半叶，欧洲人像印度人和阿拉伯人一样，把实用的算 术计算放在数学的首位。这是因为科学成果在工程技术上的应用以 及实践上的需要，要求得出数量上的结果；地理探索与海洋贸易需 要更为准确的天文知识；以精确观测为基础的新天文学需要精密的 天文数表，特别是三角函数表；日益发展起来的银行业务和商务活 动也需要更好地计算技术，所以这些都对计算技术的改进提出了前 所未有的要求。1585年荷兰数学家史蒂文发表的《十进算数》系统 地探讨了十进制记数及其运算理论，并提倡用十进制小数来书写分 数，还建议度量衡及币制中也广泛采用十进制。这种十进制的采用 又为计算机技术的改变准备了必要条件。 这一时期计算技术最大的改进是对数的发明和应用，它的生产 主要是由于天文和航海计算的强烈需要，为简化天文、航海方面遇 到的繁杂数值计算，自然希望将乘除法归结为简单的加减法，这种 设想受到人们熟知的三角公式：
《论平面和立体的轨迹引论》定义以下曲线： 直线: d (a x) by
圆： b 2 x 2 y 2 椭圆： b 2 x 2 k y2 2 2 抛物线：x dy, y dx 双曲线： xy k 2 ; x 2 b 2 新曲线： x m y n a, y n
（三）总结 德沙格等人把这种投影分析方法和所获得的结果，视为欧 几里得几何的一部分，从而在17世纪人们对二者不加以区别。 但我们应该认识到，当时由于这一方法而诱发了一些新的思想 和观点: (1)一个数学家对象从一个形状连续变化到另一形状 （2）变化与变换不变性 （3）几何新方法——仅关心几何图形的相交与结构关系，不涉 及度量。 不过17世纪数学家们的时尚是理解自然和控制自然，用代 数方法处理数学问题一般更为有效，也特别容易获得实践所需 的定量结果，而射影几何学家的方法是综合的，而且得出的结 果也是定性的，不那么有用。因此，射影几何产生后不久，很 快就让位于代数、解析集合和微积分，终由这些学科进一步发 展出在近代数学中也占中心地位的其他学科。德沙格、帕斯卡、 拉伊尔等人的工作与结果也渐被人们所遗忘，迟至19世纪才又 被人们重新发现。
2.帕斯卡
法国数学家帕斯卡在13岁的时候就发 现了所谓“帕斯卡三角形”（我国称 杨辉三角），16岁时就开始研究投影 与取景法，他曾接受德沙格的建议， 把圆锥曲线的许多性质简化为少数几 个基本命题，1640年完成著作《圆锥 曲线论》，不久失传，后于1779年被 重新发现。在射影几何方面他最突出 的成就是所谓的帕斯卡定理：圆锥曲 线的内接六边形对边交点共线。
5.3 解析几何的诞生
解析几何的思想来源 费马和《平面和立体轨迹引论》 笛卡儿和《几何学》 解析几何的扩展 解析几何诞生的意义

解析几何的产生并不是偶然的。在笛卡儿之前的许多学者 在这方面做过努力。 早在公元前2000年，美素不达米亚地区的巴比伦人已能 用数表示一点到另一固定点、直线或物体的距离，已有原始 的坐标思想。古埃及人也利用类似的坐标思想测量土地。公 元前4世纪中叶古希腊数学家门奈赫莫斯发现了圆锥截线， 阿波罗奥斯全面论述圆锥曲线的性质时采用过一种“坐标”， 以圆锥体底面的直径作为横坐标，过顶点的垂线作为纵坐标。 公元前4世纪时我国战国时代天文学家石申绘制恒星方位表 时利用了坐标方法。 公元前2世纪，希腊天文学家希帕霍斯绘制恒星图表时也采 用了经纬度表示星的位置。
14世纪法国数学家奥雷姆在研究抛体运动时设想用图形表示一 个可变的值，这个量依赖于另一个量。这可以说是函数概念及函 数图示法的萌芽。他也借用了经纬度术语叙述图示法，其中经度 相当于现代的横坐标，纬度相当于纵坐标，由此可见坐标思想直 接来自经纬度。 16世纪末，韦达提出了用代数方法解决几何问题的想法。他在 代数专著《分析五篇》（1593出版）和几何专著（1600）中都 使用代数方法研究几何问题。其代数成果是圆满解决了阿波罗尼 奥斯几何作图相切问题。韦达的思想给解析几何创立以很大启发。 17世纪初，开普勒发现行星运动三大定律，伽利略研究抛射体 的运动轨迹，都要求数学从运动变化的观点研究解决问题。这些 实际需求从客观上促进了解析几何的建立，而从数学理论本身， 也提出一些寻求新方法的问题。 从古希腊开始，人们曾尝试用几种方法解决代数问题，形成 所谓的“几何代数”。这种思想延续了两千多年。阿拉伯人文艺 复兴时期的欧洲人在解决了代数问题后还要用Biblioteka Baidu何方法进行“证 明”，韦达甚至还保留了代数方程的齐次特征，带有明显的几何 印迹。
ky n m 和 r av ax
笛卡儿
1596年3月31日生于拉埃那，今称拉埃耶，1650年2月卒于 瑞典斯德哥尔摩。法国哲学家、数学家、物理学家解析几何学 奠基人之一。他认为数学史其他一切科学的理论和模 型，提出了以数学为基础，以演绎为核心的方法论。 对后世的哲学、数学和自然科学发展起到了巨大作用。 笛卡儿出生于一个富有的律师之家，不满周岁， 其母去世。因为他的整个青年时代被允许晚起，他养成 了在早晨沉思的习惯。1612年入读普瓦捷大学，攻读法 学，四年后获得博士学位。为了了解社会，探索自然， 1618年开始在荷兰、德国体验军旅生活，1628年变卖 家产，到安静的荷兰定居，后被瑞典女王克里斯蒂娜聘为私人教师，每 天早晨5时驱车赶往宫廷，为女王讲授哲学，与他多年的习惯不符，又 遇到了瑞典少有的严寒，不久便得了肺炎，于1650年2月11日永远地闭上了 眼睛。
费马是解析几何的两位独立发明人之一，但他不是职业数学家， 甚至都没有教过数学。费马对曲线的兴趣，始于研究希腊数学家阿 波罗尼奥斯的著作《论平面轨迹》。1629年撰写了《平面和立体轨 迹引论》，试图展开关于轨迹的一般性研究。书中清晰地阐述了费 马的解析几何原理，指出：“只要在最后的方程中出现两个未知量， 我们就有一条轨迹，这两个量之一的末端描绘出一条直线或曲线。 直线只有一种，曲线的种类则是无限的，有圆、抛物线、椭圆等等” 如图：
笛卡儿1637年发表了著名的哲学著作《更好的指导推理和寻求 科学真理的方法论》，该书有三个附录：《几何学》、《屈光 学》和《气象学》，解析几何的发明包含在《几何学》这篇附 录中。笛卡儿的出发点是一个著名的希腊数学问题——
帕波斯问题：
设在平面上给定3条直线 l1 , l2 , l3，过平面上的点C作三条直线分别是与 l1 , l2 , l3 交于点P、R、Q，交角分别等于已知角 1 , 2 , 3 ，求使 CP CR kCQ2 的点C的轨迹；如果给定4条直线（如下图）则求使 CP CR k (k为常数) 的点C的轨迹。
德沙格的另一项重要工作是从对合点问题出发讨论了调和点组 的理论。对于这一直线上的特定点O（对合中心）以及两对点 A、B和A’、B’，若有OA·OB=OA’·OB’对合。德沙格利用射影 原理证明了，在圆锥曲线的内接四边形中，任一不过顶点的的 直线与圆锥曲线以及与完全四边形对边相交的四对点具有对合 关系。在对合概念的基础上，他引入共轭点与调和点组，认为 对合、调合点组关系在投影变换下具有不变性，并进一步研究 了极点极带理论。他最后利用这些研究阿波罗尼奥斯的圆锥曲 线，将圆锥曲线的直径视为无穷远点的极带，通过投影和截影 这种新的证明方法，统一处理了不同类型的圆锥曲线。
（一）射影几何的产生 欧洲几何学创造性活动的复兴晚于代数学。中世纪宗教绘画 具有象征性和超现实性，而文艺复兴时期，描绘现实世界成 为绘画的重要目标，这就使画家们在将三维现实世界绘制到 三维的画布上，面临这样一些问题： （1）一个物体的同一投影的两个截影有什么共同的性质？ （2）从两个光源分别对两个物体投影得同一物影，那么这两 个物体有何共同的几何性质？ 正是由于绘画、制图中提出的这类问题的刺激而导致了富有 文艺复兴特色的学科——透视学的兴起，进而诞生了射影几 何学。意大利人布努雷契是第一个认真研究透视法并试图运 用几何方法进行绘画的艺术家。数学透视法的天才阿尔贝蒂 的《论绘画》一书，则是早期数学透视法的代表作，书中除 引入投影线、截影等一些概念外，还讨论了截影的数学性质， 成为射影几何学发展的起点。
纳皮尔最初让x和y这两组数是按公式 对应， y 7 x x1 x2 时，并不能得到 y y1a 2 其中 a 10 ，e是自然对数的底，当 纳皮尔的目的是想用对数解决平面和球面三角问题，因此他制作了以 0 0 分弧为间隔的 0 ~ 90 解正弦的对数表。 对数的实用价值很快为纳皮尔的朋友，伦敦格雷沙姆学院几何学教 授布里格斯所认识，他与纳皮尔合作，决定采用 y 10 x ，则 x x1 x2 时得到 y y1 y2 ，这样，就获得了今天所谓的“常用对数”， 由于我们的数系是十进制的，从而它们在数值计算上具有优越性，他 对《对数计算》编制了1~2000以及90000~100000的14位常用对数表。
CQ CS
笛卡儿在《几何学》第二卷中，证明了四线问题的帕波斯结论。 步骤：记AP为x，PC为y，经简单的几何分析，他用已知量表出CR、 CQ、CS的值，代入CP· CR=CS· CQ（设k=1），就得到一个关于 X和y的二次方程：
y Ay Bxy Cx Dx
2
2
（*）
其中A、B、C、D是由已知量组成的简单代数式。于是他指出， 任给x一个值，就得到一个关于y的二次方程可以解出y，并根据他在 《几何学》第一卷中给的方法，用圆规直尺将y画出。如果我们取无穷 多个x值，就得到无穷多个y的值，从而得到无穷多个点C，所以这些点 C的轨迹就是方程（*）所代表的曲线。在这个具体的问题中笛卡儿选定 一条直线（AG）作为基线（相当于一根坐标轴），以点A为原点，x值 是基线的长度，从A点量起；y值是另一条线段的长度，该线段从基线出 发，与基线交成定角。正是因为如此，笛卡儿建立了历史上第一个倾斜 坐标系。在《几何学》第三卷中，笛卡儿也给出了直角坐标系的例子。
（二）对射影几何有所贡献的数学家 1.德沙格 其主要著作是1693年发表的《试论圆锥曲线——平面所得 结果的初稿》书中引入了70多个射影几何术语，其中充满 了创造性的思想，其中之一就是他从焦点透视的投影与截 影原理出发，对平行线引入无穷远点的概念。
德沙格定理 投影三角形ABC和A’B’C’的对应边或 延长线的交点Q、R、P共线，反之，对 应边交点共线的三角形对应定点连线 AA’、BB’、CC’共点O，如下图：
费马在书中还提出并使用了坐标概念，不仅使用了斜坐标系，也使用 直坐标系，他所成的未知量A、E实际就是“变量”，也就是我们今天所 称的横坐标与纵坐标。 1643年费马又在一封信中简短地描述了他关于三维解析几何的思想， 第一个把三元方程用于空间解析几何。 1650年他进一步明确指出：一个自变量的方程决定点的作图，二个 自变量的方程决定平面曲线的轨迹作图，三个自变量的方程决定空间曲 面的轨迹作图。 费马 没有说明他的解析几何思想是如何形成的，我们可以认为，他 与笛卡儿的创造都是文艺复兴以来欧洲代数学振兴所带来的必然结果。