二次函数的应用 最值问题

21.4二次函数的应用

第一课时（最值问题）

教学目标：

1、经历数学建模的基本过程。

2、会运用二次函数求实际生活中的最值问题。

3、体会二次函数是一类最优化问题的重要数学模型，感受数学的应用价值。教学重点

二次函数在最优化问题中的应用

教学难点

从现实问题中建立二次函数模型，学生较难理解

教学过程

一、创设问题情境，引入新课

由21.1节的问题1引入

例1：在问题1中，要使围成的水面面积最大，那么它的长应是多少？它的

最大面积是多少？

问题分析：这是一个求最值的问题。要想解决这个问题，就要首先将实际问

题转化成数学问题。

二、讲授新课

在前面的学习中我们已经知道，这个问题中的水面长x与面积S之间的满足

函数关系式S=-x2+20x。通过配方，得到S=-(x-10)2+100。由此可以看出，这个

函数的图像是一条开口向下的抛物线，其定点坐标是(10，100)。所以，当x=10m

=100（m2）。

时，函数取得最大值，为S

最大值

所以，当围成的矩形水面长为10m，宽为10m时，它的面积最大，最大面积

是100 m2。

总结得出解这类题的一般步骤：

（1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值

范围；

（2）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值。

三、例题讲解

P36例3：上抛物体在不计空气阻力的情况下，有如下关系式：h＝v

0t－

1

2

gt2，

其中h是物体上升的高度，v

是物体被上抛时的初始速度，g表示重力加速度，通常取g＝10m/s2，t是舞台抛出后经过的时间。在一次排球比赛中，球从靠近地面处被垫起时竖直向上的初始速度为10m/s。

（1）问排球上升的最大高度是多少？

（2）已知某运动员在2.5m高度是扣球效果最佳，如果她要打快攻，问该运动员在排球被垫起后多长时间扣球最佳？（精确到0.1s）。

分析：学生容易把这个问题中排球的运动路线想象成抛物线，这一点需要首先说明，球是竖直上抛，在球上升或下降的过程中运动员完成击球。第一个问题,配方得到h=-5(t-1)2+5,抛物线开口向下，顶点坐标（1，5），所以最大高度为5

米。第二个问题只要令h=2.5，求出方程h=10t-5t2的解，t

1≈0.3(s),t

2

≈1.7(s)。

在结合实际情况，要快攻，所以最后确定选择较小的根。

四、课堂练习

课本P34练习1、2；P38练习1

五、课堂小结

本节课，我们将实际问题转化为数学模型，利用二次函数的知识解决了实际生活中的最值问题。

六、布置作业

习题21.4第2、3题。