随机延迟微分方程SST方法的稳定性_唐占涛_苏欢_丁效华
中立型随机延迟微分方程θ-方法的均方稳定性
中立型随机延迟微分方程θ-方法的均方稳定性王文强【摘要】讨论θ-方法用于求解非线性中立型随机延迟微分方程初值问题时数值解的稳定性,给出了θ-方法均方稳定的一个充分条件.【期刊名称】《吉首大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(035)002【总页数】5页(P10-14)【关键词】中立型随机延迟微分方程;θ-方法;均方稳定【作者】王文强【作者单位】湘潭大学数学与计算科学学院,湖南湘潭411105【正文语种】中文【中图分类】O175.13随机延迟微分方程数值方法的稳定性研究是一件很有意义的工作,近年来已经开始受到越来越多的学者关注,相关的研究成果逐渐多起来.文献[1]提出了随机延迟微分方程Milstein方法.文献[2]建立了数值方法的均方稳定性(MS-稳定性)概念，证明了当线性标量系统的真解是均方稳定时，Euler-Maruyama方法的数值解是MS-稳定的.文献[3]研究了带有延迟项的随机微分方程半隐式Milstein数值方法的稳定性,通过对数值方法应用到线性试验方程上得到的差分方程进行讨论，给出了半隐式Milstein方法MS-稳定与GMS-稳定的条件.文献[4]运用Halanay-type理论，对常系数线性随机延迟微分方程给出了Euler-Maruyama方法均方稳定的判别准则.文献[5]研究了一类带有延迟项的线性随机延迟微分方程Milstein数值方法的稳定性,通过对数值方法应用到线性试验方程上得到的差分方程进行讨论，给出了Milstein方法MS-稳定的条件.文献[6]研究了改进的Milstein方法在有限区间上对随机延迟微分方程的分片近似的相关结论.文献[7-12]研究了随机延迟微分方程不同数值方法的均方稳定性与收敛性.文献[13]研究了中立型非线性随机延迟微分方程单步方法的均方收敛性.文献[14]进一步研究了中立型非线性随机延迟微分方程半隐式Euler方法的均方稳定性.笔者主要讨论非线性中立型随机延迟微分方程初值问题，给出了θ-方法均方稳定的一个充分条件.设(Ω,F,{Ft}t≥0,P)是完备的概率空间，滤子{Ft}t≥0满足通常条件,即它们是右连续的且每一个Ft都包含所有的零概率集.考虑下列中立型随机延迟微分方程初值问题：其中：实常数τ>0；W(t)是一维标准Wiener过程；初始函数φ是Hölder连续的，即存在常数γ>0,L>0,使当t,s∈[-τ,0]时，有E(|φ(t)-φ(s)|p)≤L|t-s|pγ,p=1,2；映射f:[0,+∞)×R×R→R和g:[0,+∞)×R×R→R充分光滑且满足∀和其中L,K1,K2均为常数，x∨y=max(x,y),且存在常数λ∈(0,1),对任意x,y1,y2∈R,有|N(y1)-N(y2)|≤λ|y1-y2|,此时方程(1)存在唯一强解X(t).将θ-方法用于数值求解初值问题(1)，得到这里：θ是数值方法相应的参数且0≤θ≤1；正整数m≥1,步长h=；tk=kh；Wiener增量ΔWk=W(tk+1)-W(tk)是一列服从N(0,h)正态分布且相互独立的随机变量；Xk是真解的值X(tk)的逼近，且当l≤0时有Xl=φ(lh).定义1[15] 如果对于任意ε>0，存在δ>0，使得当‖φ‖<δ时，对于任意t≥0有E(|X(t)|p)<ε，并且存在δ0>0,使得对于一切满足‖φ‖<δ0的初始函数φ，有成立，这里p∈Z+,那么称方程(1a)的零解X(t)是p阶矩渐近稳定的.特别地，如果p=2，那么称方程(1a)的零解X(t)是均方渐近稳定的.定义2[1] 一个数值方法用于求解问题(1)时所获数值解序列记为{Xk}.如果存在常数h0>0，使得当积分步长h<h0且h=时(m为正整数),恒有那么称该数值方法是均方稳定(MS-稳定)的.为了方便讨论，下文中引入记号).引理1 用θ-方法求解初值问题(1)所得的数值解{Xk}满足下列不等式：证明由Yk=Xk-N(Xk-m)和(3)式,可得同理可得将(6)式代入(5)式，有(7)式两边平方，利用Cauchy不等式得(8)式两边取数学期望，并注意到当l≤0时，有Xl=φ(lh)，则引理1的结论得证.作为一种特殊情形，根据文献[15]中推论6.8容易得到下面的结论：定理1 如果方程(1a)满足下列条件：(ⅰ) 存在2个正数λ1,λ2，使得对任意的x,y∈R,有(ⅱ) 0<λ<,λ1>.那么方程(1)的零解是均方渐近稳定的.将定理1稍加修改，可以得到下面的结论：引理2 如果方程(1a)满足下列条件：(ⅰ) 存在2个常数μ1>0,μ2≥0，使得对任意的x,y∈R,有(ⅱ)那么方程(1)的零解是均方渐近稳定的.证明根据三角不等式知|x|2=|x-N(y)+N(y)|2≤(|x-N(y)|+|N(y)|)2≤(|x-N(y)|+λ|y|)2.根据Cauchy不等式知因此联立(2),(9)，(11)式可得根据定理1联立(10)和(12)式即知结论成立.引理3 如果0<x<,那么下列不等式成立:证明将不等式(13)恒等变形得>,或(1-2x)2(1+x)(1+x2)-(1-x)<0,即5x4+x2+x-2<0.令f(x)=5x4+x2+x-2,则且<0,因此函数f(x)在区间[0,]单调递减且<0,从而不等式(13)成立.将不等式(14)恒等变形得>,或(1-2x)2(1+x)(1+2x-x2)-(1-x)<0,即当0<x<时,(15)式显然成立.因此不等式(14)成立.下面给出关于数值方法稳定性分析的结论.首先记定理2 当步长h<h0时，如果方程(1)满足条件(9)和(10),那么有证明由格式(4)得(16)式两边同时平方,移项整理得因此注意到E(ΔWk)=0,E[(ΔWk)2]=h,而且Xk,Xk-m都是Ftk可测的，因此容易得到又根据已知条件(9)得根据数学期望的性质和(2)式知将(18),(19)和(20)式代入(15)式取数学期望得或根据引理1的结论整理(21)式可得其中ρ1(h;θ,λ,μ1,μ2,K1,K2)=(2(1-θ)2K1h+μ2+2K2)+1-(1-θ)μ1h.注意常数λ∈(0,1/2)，联立(22)式易知其中σ1(h;θ,λ,μ2,K1,K2,S)=(1+λ2)S(2(1-θ)2K1h+μ2+2K2).根据引理3和(10)式可得μ1>,则当h<h0时，有0<<1.记ρ=,σ=,则由(23)式递推可得记M=max(ρ,λ)<1,则由(24)式进一步可得定理3 当步长h<h0时，如果方程(1)满足条件(9)和(10),那么θ-方法(4)是MS-稳定的.证明由Xk=Yk+N(Xk-m)和Cauchy不等式,可得(25)式两边取数学期望有又根据定理2的结论，对(26)式两边同时取极限得而根据条件(10)知2λ2<,因此结论得证.【相关文献】[1] HU Yaozhong,SALAH-ELDIN A MOHAMMED,YAN Feng.Discrete-Time Approximations of Stochastic Delay Equations:The Milstein Scheme[J].The Annals ofProbability,2004,32(1A):265-314.[2] CAO Wanrong,LIU Mingzhu,FAN Zhencheng.MS-Stability of the Euler-Maruyama Method for Stochastic Differential Delay Equations[J].Applied Mathematics and Computation,2004,159:127-135.[3] CAO Wanrong.The Convergence and Stability of Some Numerical Methods for Stochastic Differential Delay Equation[D].Harbin:Harbin Institute of Technology,2004. [4] CHRISTOPHER T H BAKER,EVELYN BUCKWAR.Exponential Stability in p-th Mean of Solutions,and of Convergent Euler-Type Solutions,of Stochastic Delay Differential Equations[J].Journal of Computational and Applied Mathematics,2005,184:404-427. [5] WANG Zhiyong,ZHANG Chengjian.An Analysis of Stability of Milstein Method for Stochastic Differential Equations with Delay[J].Computers and Mathematics with Applications,2006,51:1 445-1 452.[6] NORBERT HOFMANN,THOMAS MÜLLER-GRONBACH.A Modified Milstein Scheme for Approximation of Stochastic Delay Differential Equations with Constant TimeLag[J].Journal of Computational and Applied Mathematics,2006,197:89-121.[7] WANG Wenqiang,HUANG Shan,LI Shoufu.Mean-Square Stability of Euler-Maruyama Methods for Nonlinear Stochastic Delay Differential Equations[J].Mathematica Numerica SINICA,2007,29(2):217-224.[8] WANG Wenqiang,LI Shoufu,HUANG Shan.Convergence of Semi-Implicit Euler Methodsfor Nonlinear Stochastic Delay Differential Equations[J].Journal of Yunnan University:Natural Sciences Edition,2008,30(1):11-15.[9] WANG Wenqiang.Convergence and Stability of Several Numerical Methods for Nonlinear Stochastic Delay Differential Equations[D].Xiangtan:Xiangtan University,2007.[10] LUO Jiaowan.A Note on Exponential Stability in p-th Mean of Solutions of Stochastic Delay Differential Equations[J].Journal of Computational and AppliedMathematics,2007,198(1):143-148.[11] RATHINASAMY A,BALACHANDRAN K.Mean-Square Stability of Milstein Method for Linear Hybrid Stochastic Delay Integro-Differential Equations[J].Nonlinear Analysis:Hybrid Systems,2008，2(4)：1 256-1 263.[12] ZHANG Haomin,GAN Siqing.Mean Square Convergence of One-Step Methods for Neutral Stochastic Differential Delay Equations[J].Applied Mathematics and Computation,2008,204(2):884-890.[13] ZHANG Haomin,GAN Siqing,HU Lin.The Split-Step Backward Euler Method for Linear Stochastic Delay Differential Equations[J].Journal of Computational and Applied Mathematics,2009,225(2):558-568.[14] WANG Wenqiang,CHEN Yanping.Mean-Square Stability of Semi-Implicit Euler Method for Nonlinear Neutral Stochastic Delay Differential Equations[J].Applied Numerical Mathematics,2011(61):696-701.[15] MAO Xuerong.Stochastic Differential Equations and theirApplications[M].Horwood:Chichester,1997.。
随机延迟微分方程随机θ方法的几乎处处指数稳定
Ｘｔ ＝誊＋Ａ — Ｕ ＋Ｍｔ ｔ ｔ
如果 ｌ Ａ ｉ ～ ＜ｏ ， 么对 于几乎 所有 （ ∈Ｑ，ｉ Ｘ ＜∞ ｌ ｉ ｍ ｏ ａ 那 Ｅ ， ｌ ａ ｒ 和 ｉ＿ ｍ ＿ ＜∞， ￣Ｕ 也就是 ， 和 都 置
收敛到 有 限的随机 变量 。 我 们考虑 ｎ维 的随机延 迟微分 方程 ｆｘ ｔ ＝ ｄ （） （） （ 一下 ） ｆ （ ｔ ， ｔ ） ｄ ｔ ， ≥ ０ ｔ ， ｔ ） ｄ ＋ｇ （ ） （ —下 ） ｗ（） ｔ ，、 ，
４ ２
（） ２
下 面是本 篇文 章 的主要结 果 ， 先 给 出解析 解 的稳 定 性 结果 ， 后 给 出方 程 （ ） 随机 ０方 法 ， 且 应 用 首 之 １的 并
半鞅 收敛 定理 来证 明这个 方法得 到 的数值解 是几 乎处 处指 数稳定 的 。
２ 解析解和数值解的稳定性
解 研 究。
基金项 目： 黑龙江省教 育厅青年 骨干项 目（ １５ ０ １ 。 １５ Ｇ ０ ）
中图分类号 ：Ｎ １． 文献标 识码 ： 文章编号 ：０５ ０ ６ （０ ２ ０ — ０ ２ ０ 收稿 日期 ： １一 １ ０ Ｔ ９ １８ Ａ ２ ９ — ０ ３ ２ １ ）３ ０ ４ — ５ ２ ２Ｏ—１ ０
１ 引言与预备
在这篇文章不做特别的说明， 我们令 Ｉ Ｉ 是欧几里得范数 ， （ Ｆ， ） 令 Ｑ， Ｐ 是完备 的概率空间， 并具有
满足通常条件的代数流 ｛ ｝ 。 引理 １ ］对于 ｔ ０ 令 Ａ ｔ， （） ： Ｅ ２ ， （） Ｕ ｔ 是两个 可测的增过程 ， 并且 Ａ ０ ＝ （ ） ．．令 Ｍ（） （ ） ｖ ｏ ＝０ ｓ ， ａ ｔ 是 实值的局部鞅 ， 并且 Ｍ（ ） ０ ．． 令 是非负 可测的随机变量。假设 Ｘ ｔ 是非负并且对于 ｔ ０ ０ ＝ ａＳ ， （） 有 Ｘ（） ＋Ａ ｔ ｔ＝ （）一Ｕ（）＋Ｍ（） 如果 ｌ ｔ ＜ｏａ ， 么对 于几乎所 有 的 ∞ ∈ ｎ， ｔ ｔ。 ｉ ．Ａ（） ｍ＋ ｏ 那 有
延迟微分方程θ—方法的稳定性
延迟微分方程θ—方法的稳定性
刘明珠;储钟武;李晓波;刘开昌
【期刊名称】《系统仿真学报》
【年(卷),期】1993(5)2
【摘要】本文给出了延迟微分方程数值解的稳定性分析。
重点解决了单腿θ—方法和线性θ—方法用于求解线性检验方程U(t)=λ(t)U(t)+μ(t)U(t-τ),其中τ>0,λ、μ是从实数域到复数域上的函数,证明了当0<θ<1时两种方法都是不稳定的;而当θ=1时是稳定的。
【总页数】7页(P57-63)
【关键词】稳定性;θ-方法;微分方程;初值问题
【作者】刘明珠;储钟武;李晓波;刘开昌
【作者单位】哈尔滨工业大学
【正文语种】中文
【中图分类】O241.8
【相关文献】
1.非线性随机延迟微分方程θ-Heun方法的稳定性 [J], 蒋茜;张引娣;王彩霞
2.随机变延迟微分方程平衡方法的收敛性和稳定性 [J], 包学忠;胡琳;郭慧清
3.随机延迟微分方程θ-Heun方法的T-稳定性 [J], 蒋茜;张引娣;王彩霞
4.延迟微分方程扩展梯形方法的延迟依赖稳定性 [J], 陈婕;吴世枫
5.带Neumann边界条件的延迟泛函偏微分方程线性θ-方法的稳定性 [J], 陈永堂;王琦
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随机延迟微分方程SST方法的稳定性_唐占涛_苏欢_丁效华
2 〈x1 － x2 ， f（ x1 ， y， t） － f（ x2 ， y， t） 〉 ≤λ | x1 － x2 |
（ 3）
（ 4）
其中 λ ＞ 0 为常数。 本文将通过 SST 方法对方程（ 1 ） 进行离散， 并证明 SST 数值解的相应稳定性定理。
1
预备知识
本节给出本文所用的符号记法。如未加特别声明， 本文均采用以下符号形式。 T |A| = 令 | · | 表示 Ｒ 中的欧几里得范数。 若 A 为向量或者矩阵， 其转置表示为 A 。 当 A 为 矩 阵，
唐占涛， 苏 欢， 丁效华
（ 哈尔滨工业大学 （ 威海） 理学院，威海 264209 ）
摘 要： 在延迟随机微分方程领域， 随机分步 theta（ SST） 数值方法的应用成果较少。 研究随机 分步 theta（ SST） 方法应用于随机延迟微分方程 （ SDDEs ） 时的稳定性性质， 给出在线性增长条件及 SST 数值解能保持原方程真实解几乎必然指数稳定的一个充分条件。 数值 单边 Lipschitz 条件下， 模拟验证了所得结果的正确性及有效性 。 关键词： 几乎必然指数稳定性； 随机分步 theta（ SST） 方法； 随机延迟微分方程（ SDDEs） 中图分类号： O241． 8 文献标志码： A 文章编号： 1001 － 7011 （ 2014 ） 01 － 0013 － 08
微分方程的稳定性理论
微分方程的稳定性理论微分方程的稳定性理论是研究微分方程解的行为随参数变化而产生的稳定性问题的数学分支。
在许多实际问题中，人们常常需要分析微分方程在不同参数下的解的性质，以便更好地理解系统的行为和动态特性。
稳定性的概念稳定性是指微分方程解在初始条件或参数扰动下的响应行为。
在微分方程中，对解的稳定性主要分为几种类型：1.渐近稳定：解会收敛到一个稳定的状态。
2.指数稳定：解在某稳定状态附近呈指数形式衰减或增长。
3.李雅普诺夫稳定：指解相对于初始值的具体指数速度趋于稳定。
4.中立稳定：解在稳定状态周围有振荡。
稳定性分析方法微分方程的稳定性理论为研究者提供了一些方法来分析解的稳定性：李雅普诺夫方法李雅普诺夫方法是一种常用的稳定性分析方法，通过构造一个李雅普诺夫函数来研究解的收敛性。
这种方法适用于线性和非线性系统，并且可以用来证明解的全局稳定性。
极限环方法极限环方法是另一种常用的稳定性分析方法，通过将微分方程线性化为极限环系统，探索极限环周围解的动态特性来确定系统的稳定性。
这种方法对周期解和周期性解的稳定性问题有很好的应用。
拉普拉斯变换方法拉普拉斯变换方法是用于求解线性微分方程的一种方法，可以将微分方程转化为代数方程，从而快速得到解的稳定性特性。
这种方法适用于线性系统和光滑函数的稳定性分析。
应用领域微分方程的稳定性理论在许多领域都有着广泛的应用，例如控制理论、动力系统和生态学等。
通过稳定性分析，研究者可以更好地理解系统的稳定性特性和动态行为，为实际问题的解决提供理论支持。
结论微分方程的稳定性理论是微分方程研究中一个重要而深刻的领域，它为研究者提供了丰富的稳定性分析方法和技术工具。
通过深入研究微分方程的稳定性问题，我们可以更好地理解系统的动态特性，为科学研究和工程实践提供理论支持。
求解随机微分方程数值方法的稳定性与收敛性
1、For Itoˆ stochastic differential equations, The numerical method and its stability was studied mainly. First, θ-Heun method was obtained by improving the Heun method. Then, according to the definition of the mean square stability and exponential stability of numerical method, the mean square stability condition and the exponential stability condition of the θ-Heun method and its stability regions were gain. What’s more, the range of the θ that makes the stability of θ-Heun method was given, and the numerical validation was performed. Finally, the mean square stability and the asymptotic stability of these two methods were compared by numerical examples.
变时滞反馈控制的混合中立型随机延迟微分方程的指数稳定性
第50卷第6期2023年北京化工大学学报(自然科学版)Journal of Beijing University of Chemical Technology (Natural Science)Vol.50,No.62023引用格式:刘琪,兰光强.变时滞反馈控制的混合中立型随机延迟微分方程的指数稳定性[J].北京化工大学学报(自然科学版),2023,50(6):105-111.LIU Qi,LAN GuangQiang.Exponential stability of hybrid neutral stochastic differential delay equations with time⁃depend⁃ent delay feedback control[J].Journal of Beijing University of Chemical Technology (Natural Science),2023,50(6):105-111.变时滞反馈控制的混合中立型随机延迟微分方程的指数稳定性刘 琪 兰光强*(北京化工大学数理学院,北京 100029)摘 要:研究了变时滞反馈控制的混合中立型随机延迟微分方程(HNSDDEs)的指数稳定性㊂采用函数方法设置合适的变时滞反馈控制函数,得到了该系统的指数稳定性㊂对比已有的研究成果,本文的主要贡献是在变时滞反馈控制下对HNSDDEs 的指数稳定性作了进一步研究㊂最后,给出一个例子证明了结论的有效性㊂关键词:变时滞;混合中立型随机延迟微分方程(HNSDDEs);反馈控制;指数稳定性中图分类号:O211.6 DOI :10.13543/j.bhxbzr.2023.06.013收稿日期:2022-09-05基金项目:北京市自然科学基金(1192013)第一作者:女,1998年生,硕士生*通信联系人E⁃mail:langq@引 言带有变时滞反馈控制的混合中立型随机延迟微分方程(HNSDDEs)常被用于系统未来的建模,目前已经被广泛应用于种群生态㊁神经网络以及激光器动力学等领域㊂对于随机系统突然性的结构变化,常采用连续时间马氏链来描述,带有马氏链的随机延迟微分方程即为混合随机延迟微分方程㊂文献[1]具体研究了混合随机延迟微分方程,文献[2-4]则进一步考虑了其稳定性及有界性,文献[5-7]又扩展到了带中立项的混合随机延迟微分方程的稳定性研究㊂然而并非所有系统都是稳定的,因此设计一个合适的反馈控制使不稳定的系统变得稳定很有意义㊂相应地,文献[8-11]研究了系统稳定化问题㊂其中文献[8]研究了常时滞反馈控制的高阶非线性混合随机时滞微分方程的指数稳定性,文献[9]是在文献[10]的基础上进一步研究了变时滞反馈控制的HNSDDEs 的L p 渐进稳定性和H ∞稳定性㊂本文采用Lyapunov 函数方法,进一步研究了变时滞反馈控制下的HNSDDEs 的指数稳定性㊂文献[8]研究了常时滞反馈控制下的混合随机微分延迟方程的指数稳定性,其所涉及的时滞均为常量,本文进一步将常时滞推广到了函数时滞,并且将受控方程推广到了带有中立项的混合随机延迟微分方程,其难点在于找到时滞δ(t )的上界和利用引理2处理中立项㊂文献[9]研究了变时滞反馈控制的具有时变延迟的高度非线性HNSDDEs 的L p 渐近稳定性和H ∞稳定性,但缺少指数稳定性,本文则是通过进一步找到更合适的反馈函数确定了方程的收敛速度,即指数稳定性㊂1 基本假设与模型描述设(Ω,F ,{F t }t ≥0,P )是一个带有σ流(满足通常条件)的完备概率空间,{B (t )}t ≥0是定义在其上的m 维布朗运动,{r (t )}t ≥0是右连马氏链且独立于{B (t )}t ≥0,S ={1,2, ,N }是其状态空间,Γ=(γij )N ×N 是其生成算子㊂考虑变时滞反馈控制HNSDDEd ^x(t )=f (x (t ),x (t -τ(t )),t ,r (t ))d t +g (x (t ),x (t -τ(t )),t ,r (t ))d B (t ),t ≥0(1)其中^x(t )=x (t )-N (x (t -τ(t )),t ,r (t )),且初值满足{x(θ):-τ≤θ≤0}=φ∈C([-τ,0];n)r(0)=r0∈S(2)其中f,g,N均为Borel可测函数,并且满足f:n×n×+×S→ng:n×n×+×S→n×mN:n×+×S→n加上反馈控制函数u之后系统变为d^x(t)=[f(x(t),x(t-τ(t)),t,r(t))+u(x(t-δ(t)),t,r(t))]d t+g(x(t),x(t-τ(t)),t,r(t))㊃d B(t),t≥0(3)其中0≤δ(t)≤δ≤τ,0≤τ(t)≤τ㊂假设f(0,0,t,i)=N(0,t,i)≡0,g(0,0,t,i)≡0V(x,t,i)∈C2,1(n×+×S;+)为方便起见,简记^x=x-N(y,t,i)㊂对V(x,t,i)∈C2,1(n×+×S;+)定义如下算子LL V(x,y,t,i)=V t(^x,t,i)+V T x(^x,t,i)f(x,y,t, i)+12trace[g T(x,y,t,i)V xx(^x,t,i)g(x,y,t,i)]+∑j∈sγij V(^x,t,j)(4)为得到本文主要结论,提出以下假设㊂假设1 对任意l>0,存在K l>0,使得对任意i∈S,t∈+,且|x|∨|x|∨|y|∨|y|≤l,满足|f(x,y,t,i)-f(x,y,t,i)|∨|g(x,y,t,i)-g(x,y,t,i)|≤Kl(|x-x|+|y-y|)(5)假设2 存在K>0,m1>1,m2≥1,使得对∀x, y∈n,i∈S,t∈+,有|f(x,y,t,i)|≤K(|x|m1+|y|m1+1)|g(x,y,t,i)|≤K(|x|m2+|y|m2+1)(6)假设3 系统(3)中的时滞函数τ:+→[0,τ]满足τ′(t)=dτ(t)d t≤τ<1,t≥0(7)系统(3)反馈控制函数中的δ:+→[0,δ]满足δ′(t)=dδ(t)d t≤δ<1,t≥0(8)假设4 存在κ∈(0,1)使得对∀x,y∈n,i∈S,t∈+,有|N(x,t,i)-N(y,t,i)|≤κ(1-τ)|x-y|(9)并且N(0,t,i)≡0㊂假设5 存在常数c1,c2,c3,c4>0,c2>c3+c4和函数V∈C2,1(n×+×S;+),U1,U2∈C(×[-τ,+∞];+),使得对∀x,y∈n,i∈S,t∈+,有U1(x,t)≤V(x,t,i)≤U2(x,t)L V(x,y,t,i)+V x(x-N(y),t,i)u(z,t,i)≤c1-c2U2(x,t)+c3(1-τ)U2(y,t-τ(t))+c4(1-δ)U2(z,t-δ(t))(10)由文献[7]可得如下引理㊂引理1 设假设1~4成立,且假设5对于U1(x,t)=|x|w成立,那么系统(3)有唯一的全局解,并且满足sup-τ≤t<∞E|x(t)|w<∞,w≥2(m1∨m2)由文献[5]中引理2.2以及式(9)可得引理2 若p≥1,则[1-κ(1-τ)]p-1[|x|p-κ(1-τ)|y|p]≤|x-N(y,t,i)|p≤[1+κ(1-τ)]p-1[|x|p+κ(1-τ)|y|p](11) 2 主要结论与证明定义片段过程x(t)={x(t+s):-2τ≤s≤0,0≤t≤2τ}同理定义r(t),且令r(s)=r(0),s∈[-2τ,0)x(s)=φ(-τ),s∈[-2τ,-τ{)令U∈C2,1(n×+×S;+)且满足lim|x|→∞inf(t,i)∈+×SU(x,t,i[])=∞对于t∈+,定义V(x(t),t,r(t))=U(^x(t),t,r(t))+ρ∫0-δ∫t t+s J(v)㊃d v d s(12)其中ρ>0,且J(t):=δ|u(x(t-δ(t)),t,r(t))+f(x(t),x(t-τ(t)),t,r(t))|2+|g(x(t),x(t-τ(t)),t,r(t))|2对于x,y∈n,i∈S,s∈[-2τ,0),设f(x,y,s,i)≡f(x,y,0,i)g(x,y,s,i)≡g(x,y,0,i)u(z,s,i)≡u(z,0,i)由伊藤公式可得d U(^x(t),t,r(t))=[U t(^x(t),t,r(t))+ U T x(^x(t),t,r(t))(f(x(t),x(t-τ(t)),t,r(t))+ u(x(t-δ(t)),t,r(t)))+∑j∈Sγj,r(t)U(^x(t),t,j)+ 12trace[g T(x(t),x(t-τ(t)),t,r(t))U xx(^x(t),t,㊃601㊃北京化工大学学报(自然科学版) 2023年r(t))g(x(t),x(t-τ(t)),t,r(t))]d t+d B(t)(13)其中,B(t)是局部鞅,并且B(0)=0㊂整理式(13)得d U(^x(t),t,r(t))=l U(x(t),x(t-τ(t)),t, r(t))d t+U T x(^x(t),t,r(t))[u(x(t-δ(t)),t, r(t))-u(x(t),t,r(t))]d t+d B(t)其中,l U(x(t),x(t-τ(t)),t,r(t))=Ut(^x(t),t, r(t))+U T x(^x(t),t,r(t))[f(x(t),x(t-τ(t)),t, r(t))+u(x(t),t,r(t))]+∑j∈Sγj,r(t)U(^x(t),t,j)+ 12trace[g T(x(t),x(t-τ(t)),t,r(t))U xx(^x(t),t, r(t))g(x(t),x(t-τ(t)),t,r(t))]进而易得以下结论㊂引理3 V(x(t),t,r(t)),t≥0是伊藤过程,且有d V(x(t),t,r(t))=d B(t)+L V(x(t),t,r(t))㊃d t其中,L V(x(t),t,r(t))=l U(x(t),x(t-τ(t)),t, r(t))+ρδJ(t)-ρ∫t t-δJ(v)d v+U T x(^x(t),t,r(t))㊃[u(x(t-δ(t)),t,r(t))-u(x(t),t,r(t))](14)假设6 对于函数u:n×S×+→n,存在实数a i,a i,正数d i,d i和非负数b i,b i,e i,e i(i∈S),对于任意q1>1,p>2有x T[f(x,y,t,i)+u(x,t,i)]+12|g(x,y,t,i)|2≤a i|x|2+b i|y|2-d i|x|p+e i|y|px T[f(x,y,t,i)+u(x,t,i)]+q12|g(x,y,t,i)|2≤a i|x|2+b i|y|2-d i|x|p+e i|y|p且A1:=-2diag(a1,a2, ,a N)-ΓA2:=-(q1+1)diag(a1,a2, ,a N)-Γ是非奇异M矩阵(具体定义可参考文献[1]中的2.6部分),并有1>γ1,γ2>γ3,1>γ4,γ5>γ6(θ1,θ2, ,θN)T=A-11(1, ,1)T(θ1,θ2, ,θN)T=A-12(1, ,1)Tγ1=max i∈S2θi b i,γ2=min i∈S2θi d iγ3=max i∈S2θi e i,γ4=max i∈S(q1+1)θi b iγ5=min i∈S(q1+1)θi d i,γ6=max i∈S(q1+1)θi e i其中θi和θi是正数㊂需要注意的是,关于控制函数u的选取,考虑如下特殊情况x T f(x,y,t,i)+q-12|g(x,y,t,i)|2≤a(|x|2+ |y|2)-b|x|p+c|y|p其中a>0,b>c>0㊂由于|x|2,|y|2的系数均为正数,因此只能得到原方程的矩有界性,而得不到稳定性㊂此时可选取u(x,t,i)=Ax,其中矩阵A为实对称正定矩阵,且满足λmax(A)<-2a,从而x T[f(x,y,t,i)+u(x,t,i)]+q-12㊃|g(x,y,t,i)|2≤(λmax(A)+a)|x|2+a|y|2-b|x|p+c|y|p故加上控制项之后的系统指数稳定㊂假设7 存在U∈C2,1(n×+×S;+),H∈C(n;+),及常数0<α<1,0<β<λ,0<λ1,λ2,λ3,ρ1,ρ2,使得对任意的x,y∈n,i∈S,t∈+有l U(x,y,t,i)+λ1|U x(^x,t,i)|2+λ2㊃|f(x,y,t,i)|2+λ3|g(x,y,t,i)|2≤-λ|x|2+(1-τ)β|y|2-H(x)+(1-τ)αH(y)(15)其中,ρ1|x|p+q1-1≤H(x)≤ρ2(1+|x|p+q1-1)㊂假设8 存在λ4>0满足|u(x,t,i)-u(y,t,i)|≤λ4|x-y|(16)并且有u(0,t,i)=0㊂故有∀x∈n,u(x,t,i)≤λ4㊃|x|㊂定理1 令q∈[2,w),w≥2(m1∨m2)㊂若假设1~8成立,且常数满足κ(1-τ)<12δ≤λ1λ2(1-κ)(1-κ(1-τ))λ4∧2λ1λ3(1-κ)(1-κ(1-τ))λ24∧(λ-β)(1-δ)λ1(1-κ)(1-κ(1-τ))λ24则对任意初值,存在ε>0使得系统(3)的解满足lim t→∞sup1t ln(E|x(t)|q)≤-εw-q w-2(17)其中ε=ε1∧ε2∧ε3∧ε4,ε1,ε2,ε3,ε4分别是以下4个方程的根㊃701㊃第6期 刘 琪等:变时滞反馈控制的混合中立型随机延迟微分方程的指数稳定性εδ+2(1-κ)(1-κ(1-τ))=1[εh 3ρ-11(1+κ(1-τ))p +q 1-2](κe ετ+1)+e ετα=1ε(h 2+h 3)(1+κ(1-τ))(1+e ετκ)+βe ετ+2ρδ2λ24eεδ1-δ+λ4κ2(1-τ)e ετ(1-τ-δ+e εδ(1-τ ))λ1(1-δ-τ)=λ2e ετκ2(1-τ)2=1特别地,当q =2时有lim t →∞sup 1tln (E |x (t )|2)≤-ε(18)即满足均方指数稳定㊂证明:证明分为两步㊂1)第一步取k 0>0足够大使得‖φ‖:=sup -τ≤s ≤0φ(s )<k 0㊂定义σk =inf {t ≥0:|x (t )≥k |}(k ≥k 0),且inf ϕ=∞㊂由引理1和文献[7],当k →∞,则σk →∞,a.s.根据假设6再定义U (^x,i )=θi |^x |2+θi |^x |q 1+1(19)由伊藤公式有e εtEV (x (t ),t ,r (t ))=V (x (0),0,r (0))+∫te εs (εV (x (s ),s ,r (s ))+L V (x (s ),s ,r (s )))d s取h 1=min i ∈Sθi ,h 2=max i ∈S θi ,h 3=max i ∈Sθi ,结合式(12)可得h 1eε(t ∧σk )E |^x(t ∧σk )|2≤V (x (0),0,r (0))+∫t ∧σk0e εs E (L V (x (s ),s ,r (s )))d s +ερJ 1(t ∧σk )+∫t ∧σke εs (εh 2E |^x(s )|2+εh 3E |^x (s )|q 1+1)d s (20)其中,J 1(t ∧σk )=E ∫t ∧σke ε(s∫0-δ∫ss +uJ (v )d v d )u ㊃d s ㊂对于式(20)中的E |^x(t ∧σk )|2结合基本不等式可得到E |x (t ∧σk )|2≤2E |^x(t ∧σk )|2+2κ2(1-τ)2E |x (t ∧σk -τ(t ∧σk ))|2(21)对于式(20)中的L V (x (t ),t ,r (t ))结合式(14)和假设7有L V (x (t ),t ,r (t ))≤-λ|x (t )|2+(1-τ)β㊃|x (t -τ(t ))|2-H (x (t ))+(1-τ)αH (x (t -τ(t )))-λ1|U x (^x(t ),t ,r (t ))|2-λ2|f (x (t ),x (t -τ(t )),t ,r (t ))|2-λ3|g (x (t ),x (t -τ(t )),t ,r (t ))|2+ρδJ (t )-ρ∫tt-δJ (v )d v +U T x (^x (t ),t ,r (t ))㊃[u (x (t -δ(t )),t ,r (t ))-u (x (t ),t ,r (t ))]由假设8运用均值不等式可以得到U T x (^x (t ),t ,r (t ))[u (x (t -δ(t )),t ,r (t ))-u (x (t ),t ,r (t ))]≤λ1|U x (^x(t ),t ,r (t ))|2+λ244λ1㊃|x (t -δ(t ))-x (t )|2定义ρ=λ242λ1(1-κ)(1-κ(1-τ)),由定理1中δ满足的不等式知2ρδ2≤λ2,ρδ≤λ3㊂再由Hölder 不等式有E |x (t -δ(t ))-x (t )|2≤2E |^x(t )-^x (t -δ(t ))|2+2E |N (x (t -τ(t )),t ,r (t ))-N (x (t -τ(t )-δ(t ),t ,r (t ))|2≤4E∫tt-δ[δ|u (x (v -δ(v )),v ,r (v ))+f (x (v ),x (v -τ(v )),v ,r (v ))|2+|g (x (v ),x (v -τ(v )),v ,r (v ))|2]d v +2κ2(1-τ)2E |x (t -τ(t ))-x (t -τ(t )-δ(t ))|2所以有E L V (x (t ),t ,r (t ))≤-λE |x (t )|2+(1-τ)㊃βE |x (t -τ(t ))|2-EH (x (t ))+(1-τ)αEH (x (t -τ(t )))+2ρδ2λ24E |x (t -δ(t ))|2(+λ24λ1-)ρ㊃E∫t t -δJ (v )d v +λ4κ2(1-τ)22λ1E |x (t -τ(t ))-x (t -τ(t )-δ(t ))|2(22)对于式(20)中的E |^x(t )|q 1+1有以下关系式E |^x(t )|q 1+1≤E |^x (t )|2+E |^x (t )|p +q 1-1(23)又由假设7有|x (t )|p +q 1-1≤ρ-11H (x (t ))(24)所以结合式(20)~(23)有12h 1e ε(t ∧σk )E |x (t ∧σk )|2≤Π1+Π2+Π3+∫t ∧σke εs (εh 2E |^x(s )|2+εh 3E |^x (s )|2+εh 3㊃E |^x(s )|p +q 1-1)d s +∫t ∧σke εs E [-λ|x (s )|2+(1-τ)㊃β|x (s -τ(s ))|2-H (x (s ))+(1-τ)αH (x (s -τ(s )))+2ρδ2λ24|x (s -δ(s ))|2+λ4κ2(1-τ)22λ1㊃|x (s -τ(s ))-x (s -τ(s )-δ(s ))|2]d s(25)其中,Π1=h 1e ε(t ∧σk )κ2(1-τ)2E |x (t ∧σk -τ(t ∧σk ))|2Π2=V (x (0),0,r (0))㊃801㊃北京化工大学学报(自然科学版) 2023年Π3=ερJ 1(t ∧σk )(+λ24λ1-)ρJ 2(t ∧σk )J 2(t ∧σk )=E∫t ∧σke ε[s∫ss -δJ (v )d ]v d s易得J 1(t ∧σk )≤δJ 2(t ∧σk )㊂取ε1为ε1ρδ+λ24λ1-ρ=0的唯一解,则由ρ的定义知,对任意0<ε≤ε1,有Π3≤0㊂结合式(11),令k →∞,结合式(24),式(25)化为12h 1e εt E |x (t )|2≤Π1+Π2+Π4+Π5(26)其中,Π1=h 1e εt κ2(1-τ)2E |x (t -τ(t ))|2Π4=∫teεs{εh 3ρ-11[1+κ(1-τ)]p +q 1-2㊃[EH (x (s ))+κ(1-τ)EH (x (s -τ(s )))]-EH (x (s ))+(1-τ)αEH (x (s -τ(s )))}d sΠ5=∫te εs {ε(h 2+h 3)[1+κ(1-τ)]㊃[E |x (s )|2+κ(1-τ)E |x (s -τ(s ))|2]}d s +∫teε[s-λE |x (s )|2+(1-τ)βE |x (s -τ(s ))|2+2ρδ2λ24E |x (s -δ(s ))|2+λ4κ2(1-τ)22λ1E |x (s -τ(s ))-x (s -τ(s )-δ(s ))|]2d s对于Π2,由初值条件㊁假设2㊁假设8㊁引理2和式(12)得V (x (0),0,r (0))<∞,并且记为C 0,C 0为常数㊂对于Π4,根据假设3化简有Π4≤{[εh 3(1+κ(1-τ))p +q 1-2ρ-11](κe ετ+1)+e ετα-1}∫te εs E [H (x (s ))]d s +e ετ[εh 3(1+κ(1-τ))p +q 1-2ρ-11κ+α]∫-τe εs E [H (x (s ))]d s取ε2为[ε2h 3(1+κ(1-τ))p +q 1-2ρ-11](κe ε2τ+1)+e ε2τα-1=0的唯一解,则对任意0<ε≤ε2以及0<α<1即可满足Π4≤e ετ[εh 3(1+κ(1-τ))p +q 1-2ρ-11κ+α]㊃∫0-τe εs E [H (x (s ))]d s <∞(27)对于Π5,令ε3为ε3(h 2+h 3)(1+κ(1-τ))(1+e ε3τκ)+βe ε3τ+2ρδ2λ24eε3 δ1-δ+λ4κ2(1-τ)e ε3τ(1-τ-δ+e ε3δ(1-τ ))λ1(1-δ-τ)=λ的唯一解,对任意0<ε≤ε3,有Π5≤e [ετε(h 2+h 3)(1+κ(1-τ))κ+β+λ4κ2(1-τ)λ]1∫0-τe εs E |x (s )|2d s +2ρδ2λ24eεδ1-δ∫0-δe εs㊃E |x (s )|2d s +λ4κ2(1-τ)2e ε(τ+δ)λ1(1-δ-τ)∫-δ-τe εs E |x (s )|2d s [+ε(h 2+h 3)(1+κ-κτ)(1+e ετκ)+βe ετ+2ρδ2λ24eεδ1-δ+λ4κ2(1-τ)e ετ(1-τ-δ+e εδ(1-τ ))λ1(1-δ-τ)-]λ∫te εs E |x (s )|2d s ≤e [ετε(h 2+h 3)(1+κ(1-τ))κ+β+λ4κ2(1-τ)λ]1∫0-τe εs E |x (s )|2d s +2ρδ2λ24e εδ1-δ∫-δe εsE |x (s )|2d s +λ4κ2(1-τ)2e ε(τ+δ)λ1(1-δ-τ)㊃∫-δ-τe εs E |x (s )|2d s <∞(28)综上对任意0<ε≤ε1∧ε2∧ε3,可得12h 1e εt E |x (t )|2≤h 1e εt κ2(1-τ)2E |x (t -τ(t ))|2+C 1(29)其中C 1是一个常数㊂2)第二步式(29)经过整理可以得到e εt E |x (t )|2≤2e ετe ε(t -τ(t ))κ2(1-τ)2E |x (t -τ(t ))|2+2C 1h 1,故有sup 0≤s ≤t e εs E |x (s )|2≤2C 1h 1+2e ετκ2(1-τ)2sup 0≤s ≤t e εs ㊃E |x (s )|2+2κ2(1-τ)2e ετsup -τ≤s ≤0‖ϕ‖2由κ(1-τ)<12,令ε4为1-2e ε4τκ2(1-τ)2=0的唯一解,则对任意0<ε≤ε1∧ε2∧ε3∧ε4,有sup 0≤s ≤t e εs E |x (s )|2≤2C 1h 1+2κ2(1-τ)2e ετsup -τ≤s ≤0‖φ‖21-2κ2(1-τ)2e ετ:=C 2即当t ∈[0,∞)时,e εt E |x (t )|2≤C 2,即E |x (t )|2≤C 2e -εt ㊂对于任意的q ∈[2,w ),由Hölder 不等式得到㊃901㊃第6期 刘 琪等:变时滞反馈控制的混合中立型随机延迟微分方程的指数稳定性E |x (t )|q≤(E |x (t )|2)w - qw -2(E |x (t )|w)q -2w -2㊂由引理1知C 3:=E |x (t )|w <∞,故E |x (t )|q ≤C q -2w -23(C 2e -εt )w - qw -2≤C 4e -εt w - qw -2所以式(17)成立㊂特别地,当q =2时,有式(18)成立㊂3 例子考虑一维HNSDDEd[x (t )-N (x (t -τ(t )),t ,r (t ))]=f (x (t ),x (t -τ(t )),t ,r (t ))d t +g (x (t ),x (t -τ(t )),t ,r (t ))d B (t ),t ≥0(30)其中f (x ,y ,t ,1)=0.5x +y 3-6x 3f (x ,y ,t ,2)=x +y 3-4x3g (x ,y ,t ,1)=g (x ,y ,t ,2)=0.5y 2τ(t )=0.1(1-cos t ),N (y )=0.1y显然f ,g 不满足线性增长条件㊂令r (t )为一个连续的马氏链,状态空间S ={1,2},算子Γ=-22æèçöø÷1-1,B (t )为标准布朗运动且独立于r (t )㊂定义初值x (u )=0.2+cos u ,u ∈[-0.2,0],r (0)=2㊂由文献[10]可知系统(30)不稳定,以下将通过引入一个反馈控制函数使系统稳定㊂增加控制函数u (x ,t ,1)=-x ,u (x ,t ,2)=-2x ,增加控制函数后系统(3)的具体形式为 d[x (t )-0.1x (t -τ(t ))](=12x (t )+(x (t -τ(t )))3-6x (t )3-x (t - δ(t )))d t +12(x (t -τ(t )))2d B (t ),i (=1x (t )+(x (t -τ(t )))3-4x (t )3-2x (t - δ(t )))d t +12(x (t -τ(t )))2d B (t ),i ìîíïïïïïïïïïüþýïïïïïïïïï=2其中δ(t )=τ(t )㊂以下验证假设1~8㊂假设1显然成立㊂令m 1=3,m 2=2,可知假设2成立㊂令λ4=2,可知假设8成立㊂假设3对如下常数成立:δ=τ=0.2,δ=τ=0.1,且假设4对κ=19成立㊂取U 1(x ,t )=V (x ,i ,t )=|x |6,U 2(x ,t )=2.2x 6+x 8,由Young 不等式可得L V (x ,y ,t ,i )+V x (x -N (y ),t ,i )u (z ,t ,i )≤sup x ∈(43x 6-0.229x 8)-8×U 2(x ,t )+589×(1-τ)×U 2(y ,t -τ(t ))+109×(1-δ)×U 2(z ,t -δ(t ))故假设5对c 1=sup x ∈(43x 6-0.229x 8)<∞,c 2=8,c 3=589,c 4=109成立㊂取p =4,q 1=3,可知假设6成立㊂取U (x ,t ,i )=2x 2+x 4,i =1x 2+x 4,i ={2,再由Young 不等式,令λ1=0.05,λ2=0.1,λ3=4可得l U (x ,y ,t ,i )+λ1|U x (^x(t ),t ,i )|2+λ2㊃|f (x ,y ,t ,i )|2+λ3|g (x ,y ,t ,i )|2≤-1.845|x |2+0.369(1-τ)|y |2-6(x 4+x 6)+0.955×(1-τ)×6(y 4+y 6)若令H (x )=6(x 4+x 6),λ=1.845,β=0.369,α=0.955,则假设7成立㊂根据定理1条件发现κ,τ取值合理,进而可以得到δ≤0.0576时,定理1所有条件成立,故对∀w ≥6,∀q ∈[2,w ),存在ε>0使得lim t →∞sup1t ln (E |x (t )|q )≤-εw -qw -2特别地,q =2时有lim t →∞sup1tln (E |x (t )|2)≤-ε㊂4 结论本文采用函数方法,受文献[5]的启发在多项式增长的条件下讨论了变时滞反馈控制下的HNS⁃DDEs 的指数稳定性㊂最后,用一个例子证明了结论的有效性㊂参考文献:[1] MAO X R,YUAN C G.Stochastic differential equations with Markovian switching[M].London:Imperial CollegePress,2006.[2] FEI W Y,HU L J,MAO X R,et al.Delay dependentstability of highly nonlinear hybrid stochastic systems[J].Automatica,2017,82:165-170.[3] FEI C,SHEN M X,FEI W Y,et al.Stability of highlynonlinear hybrid stochastic integro⁃differential delay equa⁃tions[J].Nonlinear Analysis:Hybrid Systems,2019,31:180-199.㊃011㊃北京化工大学学报(自然科学版) 2023年[4] HU L J,MAO X R,SHEN Y.Stability and boundednessof nonlinear hybrid stochastic differential delay equations [J].Systems &Control Letters,2013,62:178-187.[5] WU A Q,YOU S R,MAO W,et al.On exponential sta⁃bility of hybrid neutral stochastic differential delay equa⁃tions with different structures [J].Nonlinear Analysis:Hybrid Systems,2021,39:100971.[6] SHEN M X,FEI W Y,MAO X R,et al.Stability ofhighly nonlinear neutral stochastic differential delay equa⁃tions[J].Systems &Control Letters,2018,115:1-8.[7] SHEN M X,FEI C,FEI W Y,et al.Boundedness andstability of highly nonlinear hybrid neutral stochastic sys⁃tems with multiple delays[J].Science China Information Sciences,2019,62:202205.[8] LI X Y,MAO X R.Stabilisation of highly nonlinear hy⁃brid stochastic differential delay equations by delay feed⁃back control[J].Automatica,2020,112:108657.[9] 周之薇,宋瑞丽.变时滞反馈控制的混合中立型随机延迟微分方程的稳定性[J].井冈山大学学报(自然科学版),2022,43(3):6-14.ZHOU Z W,SONG R L.Stabilization of the hybrid neu⁃tral stochastic differential equations controlled by thetime⁃varying delay feedback [J].Journal of Jinggangshan University (Natural Science),2022,43(3):6-14.(in Chinese)[10]SHEN M X,FEI C,FEI W Y,et al.Stabilisation by de⁃lay feedback control for highly nonlinear neutral stochasticdifferential equations [J ].Systems &Control Letters,2020,137:104645.[11]CHEN W M,XU S Y,ZOU Y.Stabilization of hybridneutral stochastic differential delay equations by delayfeedback control[J].Systems &Control Letters,2016,88:1-13.Exponential stability of hybrid neutral stochastic differential delay equations with time⁃dependent delay feedback controlLIU Qi LAN GuangQiang *(College of Mathematics and Physics,Beijing University of Chemical Technology,Beijing 100029,China)Abstract :The exponential stability of hybrid neutral stochastic differential delay equations (HNSDDEs)with time⁃dependent delay feedback control has been ing the Lyapunov function method,the exponential sta⁃bility of the system can be obtained by setting an appropriate feedback control function with a variable ⁃pared with the existing research results,the results of this work increase our understanding of the exponential stabil⁃ity of HNSDDEs under the influence of variable delay feedback.Finally,an example is given to prove the validity of the conclusions.Key words :time⁃dependent delay;hybrid neutral stochastic differential delay equations (HNSDDEs);feedbackcontrol;exponential stability(责任编辑:吴万玲)㊃111㊃第6期 刘 琪等:变时滞反馈控制的混合中立型随机延迟微分方程的指数稳定性。
一类中立随机延迟微分方程解的指数稳定性
一类中立随机延迟微分方程解的指数稳定性
严良清;马丽
【期刊名称】《海南师范大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2018(031)004
【摘要】文章研究了一类带Levy跳且带Markov状态转换的中立随机延迟微分方程数值解的指数稳定性,在局部Lipschitz、线性增长、压缩映射条件下,利用split-stepθ方法证明了带Levy跳和Markov状态转换的中立延迟微分方程解几乎处处指数稳定,从而推广了带Possion跳不带Markov状态转换的结果.
【总页数】8页(P397-404)
【作者】严良清;马丽
【作者单位】海南师范大学数学与统计学院,海南海口571158;海南师范大学数学与统计学院,海南海口571158
【正文语种】中文
【中图分类】O211.62
【相关文献】
1.带泊松跳的中立型随机时滞微分方程解的指数稳定性 [J], 卢俊香;王珊珊;付蓉
2.一类多时滞中立型随机微分方程的指数稳定性 [J], 张彩琴;刘桂荣
3.中立型时滞随机微分方程数值解的指数稳定性 [J], 王秋实; 兰光强
4.非线性中立型时滞随机微分方程数值解的指数稳定性 [J], 宋美玲; 胡良剑
5.中立型随机比例微分方程的数值解的指数稳定性（英文） [J], 程生敏;石班班
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随机延迟微分方程半隐式Euler方法的T-稳定性
ｃ２）｝，
ｈ２＝ｍ
ｉｎ｛
１ ｜ａ｜
，－ｋ＋
姨ｋ２－８（ａ２－ｂ２）｜ｃ｜ ２（ａ２－ｂ２）
｝，
ｈ３＝
－ｋ－
姨ｋ２－８（ａ２－ｂ２）｜ｃ｜ ２（ａ２－ｂ２）
，
其中 ｋ＝２ａ＋２ａ｜ｃ｜ｃ２．
（１）若步长
ｈ≥
ｃ２ ｂ２
，且 ｈ＜ｈ１，则应用于半隐式 Ｅ ｕｌｅｒ 方
随机微分方程是一种重要的数学模型，它在随机理论
特别是经济学、金融学等研究领域中有相当广泛的应用．比
较随机延迟微分方程与确定性微分方程模型，前者往往能
够更加真实地模拟出现实中的问题，可以更加准确的描述
系统当前与过去相关形态的变化规律．
本文讨论的随机延迟微分方程具有如下形式：
ｄＸ （ｔ）＝ｆ（ｔ，Ｘ （ｔ），Ｘ （ｔ－τ））ｄｔ＋ｇ（ｔ，Ｘ （ｔ），Ｘ （ｔ－τ）ｄＷ （ｔ），ｔ≥０ Ｘ （ｔ）＝ψ（ｔ），ｔ∈［－τ，０］
选择服从两点分布的随机变量作为驱动过程，则应用
半隐式 Ｅ ｕｌｅｒ方法于方程（２）得到的差分方程具有如下形式：
Ｘ ｎ＋１＝Ｘ ｎ＋（１＋θ）（ａＸ ｎ＋ｂＸ ｎ－ｍ）ｈ＋θ（ａＸ ｎ＋ｂＸ ｎ－ｍ）ｈ＋ｃＸ ｎ－ｍ△Ｗ ｎ， （４） 其中，ｈ＞０ 表示步长，且对于 ｍ ∈Ｚ＋ 满足 τ＝ｍ ｈ；ｔｎ＝ｎｈ，
＝（｜１＋ａｈ｜＋｜ｂｈ＋ｃ姨 ｈ Ｕ ｎ｜）ｍ ａｘ｜Ｘ ｎ｜，｜Ｘ ｎ－ｍ｜
（５）
下面递推不等式（５）．由于随机变量 Ｕ ｎ 服从两点分布，因
此，只需考虑递推不等式 ｎ＋１ 步的一个平均即可．称这个平
均为平均稳定函数，记为 Ｒ （ｈ，ａ，ｂ，ｃ），这里
Ｒ ２（ｈ，ａ，ｂ，ｃ）＝（｜１＋ａｈ｜＋｜ｂｈ＋ｃ姨 ｈ ｜）（｜１＋ａｈ｜＋｜ｂｈ－ｃ姨 ｈ ｜） （６）
几类随机延迟微分方程的数值分析
几类随机延迟微分方程的数值分析摘要：随机延迟微分方程（Stochastic Delay Differential Equations，SDDEs）是描述动态系统中随机延迟效应的数学模型。
在实际应用中，SDDEs模型广泛用于生物、物理、经济和金融等领域。
本文主要介绍SDDEs数值分析的方法和理论。
关键词：随机延迟微分方程；数值分析；Euler-Maruyama算法；Milstein方法；BDF方法一、简介随机延迟微分方程是一种描述动态系统中随机延迟效应的数学模型，它是由随机微分方程和延迟微分方程相结合而成的。
SDDEs可以用来描述许多实际问题，如化学反应动力学、通信网络、人口种群动态等等。
在数值分析中，SDDEs的解决方案是进行时间离散，使用数值方法来逼近精确解。
本文介绍几种常见的数值方法，包括Euler-Maruyama算法、Milstein方法和BDF方法。
二、Euler-Maruyama算法Euler-Maruyama算法是一种基本的数值方法，它是将SDDEs离散化为一组随机常微分方程组来求解的。
Euler-Maruyama算法的基本思想是将应用爱达华公式的Euler方法与Maruyama方法相结合，即使用Euler方法来逼近延迟微分项，并使用Maruyama方法来逼近随机项。
Euler-Maruyama算法的数值解法如下：$$\begin{aligned}&Y_{n+1}=Y_n+f(Y_n) \Delta t+\sigma(Y_n) \DeltaW_n+g(Y_n,Y_{n-\tau}) \Delta t\\&\Delta W_n=W_{t_{n+1}}-W_{t_n}\end{aligned}$$其中，$Y_n$表示时刻$t_n$处的解，$f(Y_n)$是没有随机项和延迟项的微分方程右手边的项，$\sigma(Y_n)$表示随机项的系数，$g(Y_n,Y_{n-\tau})$表示延迟项的系数，$\Delta W_n$是短时间内的Wiener过程增量，$\Delta t$是时间步长，$\tau$是延迟时间。
微分方程的稳定性理论概览
微分方程的稳定性理论概览微分方程是描述自然界中各种现象演化规律的数学工具，而微分方程的稳定性理论则是研究方程解的渐近行为的一个重要分支。
在动力系统中，稳定性理论是研究系统在微小扰动下的性质，以此来预测系统的长期行为。
本文将对微分方程的稳定性理论进行概述。
稳定性的概念在微分方程的稳定性理论中，稳定性是指当自变量（通常是时间）趋于无穷远时，因变量（方程解）的行为。
一个解在某些条件下可能会趋向一个有限值，这种情况被称为渐近稳定。
另一方面，如果解在微小扰动下会发生显著的变化，这种情况被称为不稳定。
稳定性的分类稳定性可以分为以下几种类型： 1. 渐近稳定：当时间趋于无穷时，解趋向于一个有限值。
2. 李亚普诺夫稳定：解在某种度量下趋向于零。
3. 指数稳定：解以某种指数速率趋近于零。
4. 分歧稳定：解在某些区域内保持稳定，但在其他区域内不稳定。
稳定性的判定方法判定微分方程解的稳定性是微分方程理论的关键问题。
常用的方法有： 1. 利雅普诺夫稳定性定理：通过证明存在一个李亚普诺夫函数，证明解在该函数下渐近稳定。
2. 极限环稳定性判据：利用系统的特征值研究系统的稳定性。
3. 稳定性的Lyapunov方法：通过构造Lyapunov函数判定系统的稳定性。
稳定性在实际问题中的应用微分方程的稳定性理论在生物学、化学、物理学等领域都有广泛的应用。
例如，在天体力学中，稳定性理论用于研究行星轨道的长期性质；在生物学中，通过稳定性理论可以研究生态系统的稳定性。
稳定性理论为实际问题的预测和解决提供了有力的数学工具。
结语微分方程的稳定性理论是微分方程理论中的一个重要分支，对系统的稳定性进行分析是研究微分方程解的基础。
通过本文的概览，读者可以了解稳定性的概念、分类、判定方法和应用，进一步深入学习微分方程稳定性的理论。
愿本文能给读者带来启发和帮助。
微分方程的稳定性
λ1t
，( 当
λ1 = λ 2 )
其中 λ1 , λ2 为特征方程 r 2 + p r + q = 0 的两根 . 这里 λ1 +λ2 = - p , λ1 •λ2 = q
有时候 , 初始条件的微小变化会导致解的性态随时间变 大后 , 产生显著的差异 , 这时称 系统是不稳定 的 ; 有时候 , 初始条件变化导致解的性态差异会随时间变大 后而消失 , 这时称该 系统是稳定 的. 在实际问题中, 初始状态不能精确地而只能近似地确定, 在实际问题中 初始状态不能精确地而只能近似地确定 所以稳定性问题的研究对于用微分方程方法建立的模型 具有十分重要的实际意义。 具有十分重要的实际意义。 也就是说，在具有稳定性特征的微分方程模型中 也就是说，在具有稳定性特征的微分方程模型中, 长远 来看, 来看 最终发展结果与精确的初始状态究竟如何 , 两者 之间没有多大关系, 初始状态刻画得精确不精确是无关 之间没有多大关系 紧要的。 紧要的。
(1) 当 p ＞ 0 , q ＞ 0 时, 如果 p2 – 4q ≥ 0，由 λ1 +λ2 = - p , λ1 •λ2 = q , ， 推得 λ1 与 λ2 均为负数 ， 故当 t → +∞ 时，e λ1 t 与 e λ2 t 均趋于零 ， 系统稳定 ; 如果 p2 – 4q ＜ 0，由 λ1 +λ2 = - p , λk = α±βi ， ± 中 α 为负数 （ k = 1 ，2 ） ， 故当 t → +∞ 时，eλk t = eαt（ sinβt ± cosβt ） 系统仍为稳定的 （ k = 1 ，2 ） 也均趋于零 ， 系统仍为稳定的 ；
几类随机微分方程解的稳定性的分析硕士学位论文 精品
硕士学位论文几类随机微分方程解的稳定性的分析Stability Analysis of solution for Several Classes of Stochastic Differential Equations赵鹏程哈尔滨工业大学2014年6月国内图书分类号：××××学校代码：10213 国际图书分类号：××××密级：公开理学硕士学位论文几类随机微分方程解的稳定性的分析硕士研究生：赵鹏程Array导师：李龙锁教授申请学位：理学硕士学科：概率论与数理统计所在单位：理学院答辩日期：2014年6月授予学位单位：哈尔滨工业大学Classified Index: ××××U.D.C: ××××Dissertation for the Master Degree in ScienceStability Analysis of solution for Several Classes of Stochastic Differential EquationsCandidate：Zhao PengchengSupervisor：Prof.Li longsuoAcademic Degree Applied for：Master of ScienceSpeciality：Probability and MathematicalstatisticsAffiliation：School of ScienceDate of Defence：June, 2014Degree-Conferring-Institution：Harbin Institute of Technology摘要摘要随机微分方程（SDES）广泛的被应用于生物、物理、经济、控制等领域。
很久以来，因为缺少有效的求解随机微分方程的数值方法和可以利用的计算机资源，使得在建立数学模型时往往都忽略了随机因素的影响。
微分方程的稳定性分析
微分方程的稳定性分析稳定性分析是微分方程研究中的重要内容，它关注的是系统解的长期行为。
通过稳定性分析，我们可以了解系统解的极限情况，以便更好地理解和预测系统的行为。
一、什么是微分方程的稳定性分析微分方程的稳定性分析是通过研究方程解的渐进行为来确定方程的稳定性质。
在稳定性分析中，我们需要关注解的局部和整体行为，包括解的收敛性、周期性和渐近性等。
二、稳定性分析的方法稳定性分析有多种方法，常见的包括线性稳定性分析、李雅普诺夫稳定性分析和拉普拉斯变换等。
下面我们将介绍其中的两种方法。
1. 线性稳定性分析线性稳定性分析是一种常用的稳定性分析方法，适用于线性微分方程或非线性微分方程的线性化问题。
该方法通过分析线性近似方程的特征值来判断系统的稳定性。
线性稳定性分析的基本步骤如下：1）求出线性近似方程；2）求解线性近似方程的特征值；3）根据特征值的实部和虚部判断系统的稳定性。
2. 李雅普诺夫稳定性分析李雅普诺夫稳定性分析是一种适用于非线性微分方程的稳定性分析方法，主要用于判断解的渐进稳定性。
李雅普诺夫稳定性分析的基本思想是引入李雅普诺夫函数或李雅普诺夫方程，通过研究该函数或方程的性质来判断系统的稳定性。
常见的李雅普诺夫稳定性定理有李雅普诺夫第一定理和李雅普诺夫第二定理。
三、稳定性分析的应用稳定性分析在很多领域中有广泛的应用，以下举两个例子说明。
1. 电路分析在电路分析中，稳定性分析可以用来判断电路的稳定性和输出响应的稳定性。
通过对微分方程进行稳定性分析，可以预测电路的稳态工作点和响应特性，为电路设计和优化提供指导。
2. 生态学研究在生态学研究中，稳定性分析可以用来分析种群的演化和稳定性。
通过建立动态方程，研究种群数量随时间的变化规律，可以评估种群的稳定性和系统的可持续性。
四、总结稳定性分析是微分方程研究中的重要内容，它通过分析方程解的渐进行为来确定系统的稳定性质。
常用的稳定性分析方法有线性稳定性分析和李雅普诺夫稳定性分析。
分段连续型延迟微分方程及随机延迟微分方程数值稳定性分析的开题报告
分段连续型延迟微分方程及随机延迟微分方程数值稳定性分析的开题报告一、研究背景和意义分段连续型延迟微分方程是一类重要的变分不等式问题，应用广泛，可以用来模拟许多实际系统，如控制系统、金融系统、生态系统等，例如捕食-食饵模型和时间滞后的恶性肿瘤模型等。
随机延迟微分方程是延迟微分方程的随机推广。
这种方程可以被用来建模一些实际问题，如物理和工程问题和金融问题，其中随机性可描述外部噪声或不确定性。
随机延迟微分方程的研究在随机分析和实际应用中具有重要意义。
因此，研究分段连续型延迟微分方程及随机延迟微分方程的数值稳定性是当前数学研究的热点问题之一。
本课题将研究两种微分方程的数值解方法，并对其数值稳定性进行分析。
二、研究内容和技术路线本文主要研究分段连续型延迟微分方程和随机延迟微分方程的数值解法及稳定性分析。
具体包括以下内容：1. 研究分段连续型时滞微分方程的数值解法：采用一种适用于分段连续型时滞微分方程的差分格式，对其数值解法进行研究，建立相应的数值模型。
2. 研究随机时滞微分方程的数值解法：采用随机泰勒展开式，将随机延迟微分方程转化为随机微分方程，然后采用常规的数值方法，如Euler方法，对其数值解法进行研究。
3. 稳定性分析：对两种微分方程的数值方法进行稳定性分析，并给出相应的误差界。
技术路线：1. 对分段连续型时滞微分方程进行数值解法的研究，建立相应的数值模型。
2. 研究随机时滞微分方程的数值解法，将其转化为随机微分方程，然后采用常规的数值方法进行研究。
3. 对两种微分方程的数值方法进行稳定性分析，并给出相应的误差界。
三、预期成果本文预期得出以下成果：1. 建立适用于分段连续型时滞微分方程的差分格式，对其数值解法进行研究，建立相应的数值模型。
2. 研究随机延迟微分方程的数值解法，将其转化为随机微分方程，然后采用常规的数值方法进行研究。
3. 对两种微分方程的数值方法进行稳定性分析，并给出相应的误差界。
四、参考文献[1] 张华荣. 分段连续型时滞微分方程的数值解法[J]. 数值计算与应用, 2009,31(2): 125-134.[2] Jin HR, Li JC, Lu ST. Stability Analysis and Numerical Methods for Stochastic Delay Differential Equations with Markovian Switching[J]. Applied Mathematics and Computation, 2017, 296: 182-196.[3] Zhu W, Shen Y. On Numerical Solutions of Stochastic Differential Equations with Memory[J]. Applied Numerical Mathematics, 2019, 137: 1-18.。
非线性混杂随机时滞微分方程的稳定性研究
创新点
01
02
03
Байду номын сангаас
提出了一种新的非线性分析方法和技 巧，用于研究非线性混杂随机时滞微 分方程的稳定性，并揭示其动力学行 为。
将所提出的方法应用于具体的实际问 题中，展示了其在实际问题中的应用 价值和实用性。
通过实验验证了所提出方法的正确性 和有效性，为进一步推广和应用奠定 了基础。
针对具体的非线性混杂随机时滞微分方 程，研究其稳定性和不稳定性，并探讨 其应用领域和实际问题。
研究方法
基于非线性科学和随机微分方程的理 论和方法，建立非线性混杂随机时滞 微分方程的模型和分析框架。
采用谱分析、Lyapunov指数、Floyd算法 等非线性分析方法和技巧，对非线性混杂 随机时滞微分方程的稳定性进行深入研究 。
实的理论基础。 • 参考文献2 • 期刊名称：应用数学进展 • 文章标题：混杂随机时滞微分方程的稳定性分析 • 作者：李四，王五，赵六 • 发表年份：2021 • 期刊卷号：30 • 期刊页码：105-115 • 引用内容：该文章详细研究了混杂随机时滞微分方程的稳定性，为实际应用中的模型分析和设计提供了理
附录C: 实验数据和分析
数据来源
实验数据主要来源于两个方面，一是我们在实验室进行的大量模 拟实验，二是从相关领域的研究文献中获取的数据。
数据处理
对于从实验和文献中获取的数据，我们需要进行预处理和分析， 以提取有用的信息。
结果展示
通过图表和统计数据展示处理后的结果，以便于读者理解和分析 。
附录D: 参考文献
随着实际应用背景的不断 变化，需要建立更为复杂 和精确的模型以描述实际 现象。同时，也需要不断 拓展模型以适应更广泛的 应用领域。
Khasminskii型条件下随机延迟微分方程θ-方法的几乎必然指数稳定性（英文）
Khasminskii型条件下随机延迟微分方程θ-方法的几乎必然
指数稳定性（英文）
陈琳
【期刊名称】《应用数学》
【年(卷),期】2017(30)1
【摘要】本文是我们之前工作的延伸,本文作者和殷荣城(2013)在单调型条件下考察了随机微分方程的θ方法的均方稳定性.在之前的结论中,我们考虑的是不带延迟的随机系统的均方稳定性.而本文,我们希望进一步考虑带延迟的随机系统的几乎必然稳定性.本文在修改后的Khasminskii条件下得到随机延迟微分方程θ方法的几乎必然指数稳定性.该结果使现有结论得到可观的推进.
【总页数】8页(P231-238)
【关键词】随机延迟微分方程;几乎必然指数稳定性;θ方法;修改的Khasminskii条件
【作者】陈琳
【作者单位】江西财经大学统计学院;江西财经大学应用统计研究中心
【正文语种】中文
【中图分类】O241.81
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1.随机延迟微分方程随机θ方法的几乎处处指数稳定 [J], 张玲
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几类延迟微分方程数值方法的稳定性和收敛性分析的开题报告
几类延迟微分方程数值方法的稳定性和收敛性分析的开题报告题目：几类延迟微分方程数值方法的稳定性和收敛性分析一、研究背景延迟微分方程是一种包含历史信息的微分方程，它们在许多领域都有重要的应用，如生物学、物理学、工程学等。
数值方法可以有效地处理这些方程，但是在设计数值方法时需要考虑延迟项对稳定性和收敛性的影响。
二、研究内容本文将针对几类延迟微分方程设计数值方法，并对其稳定性和收敛性进行分析。
首先，将设计显式欧拉方法、隐式欧拉方法和改进的欧拉方法来处理一阶延迟微分方程。
然后，研究针对二阶延迟微分方程的三阶 Runge-Kutta 方法，同时比较其与常规的二阶 Runge-Kutta 方法的性能。
接下来，将设计两种数值方法来求解时滞微分方程。
一种是基于多项式插值的方法，另一种是基于离散 Fourier 变换的方法。
对这两种方法的稳定性和收敛性进行比较。
最后，将研究一种用于求解带有非线性扰动项的时滞微分方程的数值方法。
该方法基于 Picard 迭代法，通过解决线性化子问题来得到非线性问题的数值解。
对其稳定性和收敛性进行分析。
三、研究意义通过研究这几种延迟微分方程数值方法的稳定性和收敛性，可以进一步加深对延迟微分方程的理解，并提高数值计算的精度和效率，为延迟问题的实际应用提供有力的支持。
四、研究方法本文将采用分析和数值实验相结合的方法，通过分析数值方法的截断误差和稳定性函数来研究其收敛性和稳定性，并通过数值实验比较不同数值方法的性能。
五、预期结果预计本文将得到不同数值方法的截断误差和稳定性函数的表达式，推导它们的收敛阶和稳定性区间，比较不同数值方法的稳定性和收敛性。
同时，将对不同数值方法在实际问题中的应用进行验证和比较，为实际问题的求解提供参考。
六、参考文献[1] Süli E, Mayers D. An introduction to numerical analysis[M]. Cambridge university press, 2003.[2] Hale J K. Theory of functional differential equations[M]. Springer Science & Business Media, 2013.[3] Erneux T. Applied delay differential equations[M]. Springer Science & Business Media, 2009.[4] Jolly M S. Numerical solution of delay differential equations[M]. CRC Press, 2014.。
一类随机时滞微分方程的稳定性分析的开题报告
一类随机时滞微分方程的稳定性分析的开题报告一、选题背景随机时滞微分方程是一类非线性动力学系统的描述方式，也是研究许多实际问题的数学模型，如物理、生物、工程、经济等领域。
时滞可以代表系统内部的反应延迟，或者代表外部因素的延迟作用。
当考虑随机扰动的影响时，时滞微分方程可以更好地描述实际问题中的不确定性和随机性。
稳定性分析是研究非线性动力学系统的一个重要部分，随机时滞微分方程的稳定性分析是将随机性和时滞结合起来进行的一项复杂的工作。
稳定性分析的目标是确定系统是否具有长期稳定的行为，即在扰动下概率收敛到某个确定的状态。
稳定性分析对于实际问题的解决和应用具有重要的意义。
二、研究目的和内容本文的目的是对一类随机时滞微分方程的稳定性进行分析，研究系统的长期稳定性行为，并探索随机扰动和时滞对系统稳定性的影响。
具体内容包括以下方面：1.介绍随机时滞微分方程的基本概念和数学描述；2.分析随机时滞微分方程的稳定性，研究系统的长期稳定性行为；3.探讨随机扰动和时滞对系统稳定性的影响；4.通过数值模拟验证分析结果。
三、研究方法和步骤本文采用以下方法对随机时滞微分方程的稳定性进行分析：1.利用Lyapunov稳定性理论及其相关工具，研究随机时滞微分方程的稳定性；2.应用随机分析和随机微积分的方法，研究随机扰动对系统稳定性的影响；3.借助数学建模和数值模拟的手段，验证分析结果的正确性。
具体步骤如下：1.介绍随机时滞微分方程的基本概念和数学描述；2.利用Lyapunov稳定性理论和相关工具，进行稳定性分析，得出系统的长期稳定性行为，并进行仿真验证；3.引入随机扰动，探讨其对系统稳定性的影响，并利用随机分析和随机微积分的方法对系统进行分析；4.分析结果的正确性进行数值模拟验证。
四、研究意义随机时滞微分方程的稳定性分析是研究非线性动力学系统的重要内容，具有广泛的应用价值。
本文探索随机扰动和时滞对系统长期稳定性的影响，对于揭示实际问题的动力学本质、解决实际问题、促进实践具有重要意义。
时变随机微分方程的一般稳定性
时变随机微分方程的一般稳定性时变随机微分方程的一般稳定性随机微分方程是数学中重要的一个分支，其研究对象为带有随机项的微分方程。
相比于确定性微分方程，随机微分方程具有更复杂的特性和行为。
在现实世界中，许多自然和社会现象都受到随机因素的影响，因此研究随机微分方程的稳定性具有重要意义。
时变随机微分方程是一类随时间变化的随机微分方程。
它的一个典型例子可以表示为：dX(t) = [a(t)X(t) + b(t)]dt + [c(t)X(t) +d(t)]dW(t)其中，X(t)为未知随机过程，a(t)，b(t)，c(t)，d(t)都是已知的函数，dW(t)表示随机项。
时变随机微分方程的稳定性研究的是其解的长期性质。
一般来说，当时间趋于无穷大时，解是稳定的，即解不会受到随机项的影响而发生剧烈改变。
稳定性的研究对于了解系统的长期演化趋势以及预测未来行为都具有重要意义。
对于时变随机微分方程的一般稳定性进行分析时，我们需要关注解的平均行为和方差的演化。
解的平均行为可以通过解的期望函数来描述，而方差的演化可以通过解的方差函数来描述。
通常情况下，我们可以用解的平均行为来判断时变随机微分方程的稳定性。
如果平均行为收敛到某一有界的常数，那么解具有稳定性。
具体来说，我们可以使用Lyapunov指数来刻画平均行为的变化趋势。
Lyapunov指数是一个表示系统稳定性的指标，其值可以为负、零或正。
当Lyapunov指数为负时，解呈现有界的收敛行为，即解的平均行为收敛到某个有界常数；当Lyapunov指数为零时，解呈现漂移的稳定行为，即解的平均行为不发生变化；当Lyapunov指数为正时，解呈现发散的不稳定行为，即解的平均行为发散至无穷大。
此外，我们还可以通过解的方差函数来判断时变随机微分方程的稳定性。
方差函数可以反映解的随机波动性以及风险特征。
如果随着时间的增长，方差函数趋于收敛，那么解具有稳定性。
具体的判断方法可以使用Ito引理进行分析。
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t→∞
lim
1 log | x（ t， x（ 0 ） ） | ＜ 0 a． s．，x（ 0 ） ∈Ｒ n t
第1 期
唐占涛等： 随机延迟微分方程 SST 方法的稳定性
· 15 ·
成立， 则称方程（ 1 ） 的解是几乎必然指数稳定性的。 ［22 ］ 珔＞ 0 ， 定义 2 （ 数值解的几乎必然指数稳定性 ） 对方程 （ 1 ） 的数值解 x k 来说， 若存在常数 η 使得对任 n = － m， － m + 1， …， 0 意有界初始随机变量 ξ（ nΔ） ，
k→∞
lim
1 珔a． s． log | x k | ≤ － η kΔ
（ 6）
成立， 则称其为是几乎必然指数稳定的 。 ［18 ］ U（ t） 为两个 F t 相容的递增过程， 引理 1 （ 连续半鞅收敛定理） 令 A（ t） ， 其中 t ≥0 ， 且 A（ 0 ） = U（ 0 ） = 0 a． s．， 令 M（ t） 为实局部鞅且 M（ 0 ） = 0 a． s．， 令 ξ 为一非负 F0 可测随机变量。设 X （ t） 非负， 以及 X （ t） = ζ + A（ t） － U（ t） + M（ t） ，t≥0 若 lim A（ t） ＜ ∞ a． s．， 则对几乎所有 ω∈Ω，
F， P ） 为全概率空间， 同时令（ Ω， 其滤子为｛ F t ｝ t≥0 ， 满足通常条件： 滤子是右连续， 单增的且 F0 包含所有 null 集。B （ t） 为这一概率空间上的一维布朗运动 。 的 P定义 1 （ 几乎必然指数稳定性）
［22 ］
x（ 0 ） ） 如果对方程（ 1 ） 的平凡解 x（ t， （ 5）
b F0
f（ 0 ， 0， t） = g（ 0 ， 0， t） = 0 。同时作为一个全局假设， 给出如下的局部 Lipschtiz 条件。 g 满足如下局部 Lipschitz 条件， 令 f， 即对每个整数 j≥0 ， 均存在一个正常数 c j ， 使得下式成立 珋 珋 珋 珋 珋 珋 | f（ x， y， t） － f（ x ， y ， t） | ∨ | g（ x， y， t） － g（ x ， y ， t ） | ≤c j （ | x － x | + |y －y | ） ，t≥0 （ 2） n 珋 珋 珋 珋 y， x ， y |∨|y|∨|y | ≤j。 其中 x， ∈Ｒ ， 且|x|∨|x 假设 1 假设 2 令 f 满足线性增长条件： | f（ x， y， t ） | 2 ≤K （ | x | 2 + | y | 2 ） 其中 K ＞ 0 为常数。 假设 3 令 f 满足单边 Lipschitz 条件：
Stability of SST method for stochastic delay differential equations
TANG Zhantao， SU Huan， DING Xiaohua
（ School of Science，Harbin Institute of Technology （ Weihai） ，Weihai 264209 ，China）
Abstract： Given little literature on stochastic splitstep theta （ SST） method in stochastic delay differential equations （ SDDEs） ，this study will focus on the numerical stability of SST method for SDDEs． Sufficient condition under which SST method can reproduce the almost sure exponential stability of the exact solutions to stochastic delay differential equations are investigated with given linear growth condition and oneside Lipschitz condition． The numerical experiment confirms the correctness of the obtained theorem． Key words： almost sure exponential stability； stochastic splitstep theta （ SST ） method； stochastic delay differential equations （ SDDEs）
0
引
言
随机微分方程（ SDEs） 及随机延迟微分方程 （ SDDEs ） 的重要性广为人知。 但是由于绝大多数微分方程 ［1 ］ 难以显示求解 ， 故相应的关于 SDEs 及 SDDEs 的数值理论得到大量研究。 考虑到稳定性理论在数值分析 关于这两类方程数值稳定性理论的研究更是广受关注。 现已有大量关于 SDEs 数值解的 理论中的重要性， ［2 － 4 ］ 。对于 SDEs， 2］ Borel如 SDEs 的矩稳定性 文献［ 指出， 在一定条件下， 通过切比雪夫不等式、 研究成果， Cantelli 引理、 矩指数稳定性， 可以推出几乎必然指数稳定性。 具体到 SDDEs 数值理论的研究， 尽管发展迅速， 应用范围不断扩大， 但是由于起步较晚， 相应的理论研 在于解决基本数值方法的收敛性 究结果远没有 SDEs 数值理论的成果丰富。 SDDEs 数值理论研究的初衷，
· 14 ·
黑
龙
江
大
学
自
然
科
学
学
报
第 31 卷
5 － 6］ 7］ 问题。在此方面， 文献［ 研究了单步法的收敛性； 文献［ 研究了 SDDEs 的泰勒展开方法， 并用此方法 建立了多种数值格式， 包括显式欧拉法、 半隐式欧拉法以及 Milstein 方法， 同时研究了相应方法的收敛性与 8］ 9］ 相容性； 文献［ 则对 Milstein 方法进行了更为系统的研究； 文献［ 通过 Halanay 类型不等式研究了 SDDEs 10］ 数值方法的收敛性。对于 SDDEs 数值解的稳定性研究方面， 文献［ 研究了非线性中立型随机微分方程半 11］ 12 － 13］ 隐式 EULEＲ 方法的均方渐近稳定性； 文献［ 研究了 SDDEs 的矩稳定性； 文献［ 针对 SDDEs 构造 了分步向后欧拉法及改进的分步向后欧拉法 ， 并研究了方法的收敛性及均方稳定性 。 14 － 16］ 文献［ 则讨论在非全局 Lipschitz 条件下 SDDEs 数值解法的收敛性问题。 在 20 世纪 90 年代， Mao 发表了将确定性 LaSalle 定理推广到随机情况的一系列优秀论文［17 － 19］， 其以连续情形的半鞅收敛定理 将 LaSalle 定理进行了推广， 而对 SDEs 和 SDDEs 来说， 几乎必然渐近稳定性也可随之得到。 相应 为基础， ［20 ］ 21］ Wu，Mao 及 Szpruch 在文献 的， 通过离散半鞅收敛定理 ， 文献［ 研究了随机差分方程的稳定性。 最近， ［ 22］ Maruyama （ EM ） 方法在线性增长条件下 中通过离散半鞅收敛定理， 对随机延迟微分方程， 证明了 EulerEuler（ BE ） 方法在单边 Lipschitz 条件下的几乎必然指数稳定性。 至 的几乎必然指数稳定性， 以及 Backward此， 对于几乎必然指数稳定性的证明 ， 人们寻找到了一种新的更直接的证明途径 。 但是， 很多问题只靠 EM 法或者 BE 法不能解决， 因此， 发展更一般的能保持 SDDEs 真实解的几乎必然 Ding， Ma 以及 Zhang 在文献［ 23］ 指数稳定性的数值方法是必要的。2010 年， 中引入 SST 方法， 并研究了该 方法应用于 SDEs 时的收敛性问题。此后， 关于 SST 方法的文献结果一直不够丰富， 因此， 本文将 SST 方法 应用于 SDDEs， 研究该方法的稳定性， 在于扩大该方法的应用范围， 并获得 SST 方法保持 SDDEs 真实解几乎 必然指数稳定性的条件。 本文主要针对如下 SDDEs 进行分析： dx（ t） = f（ x（ t） ， x（ t － τ） ， t） dt + g（ x（ t） ， x（ t － τ） ， t） dB （ t） ，t≥0 （ 1） n n n n 0］ ；Ｒ ）， g∈C（ Ｒ × Ｒ × Ｒ + ； Ｒ ） ， B （ t ） 为一维布朗运动。 方便起见， 其初始值为 x0 = ξ∈C （ ［－ τ， 且 f， 令
2 〈x1 － x2 ， f（ x1 ， y， t） － f（ x2 ， y， t） 〉 ≤λ | x1 － x2 |
（ 3）
（ 4）
其中 λ ＞ 0 为常数。 本文将通过 SST 方法对方程（ 1 ） 进行离散， 并证明 SST 数值解的相应稳定性定理。
1
预备知识
本节给出本文所用的符号记法。如未加特别声明， 本文均采用以下符号形式。 T |A| = 令 | · | 表示 Ｒ 中的欧几里得范数。 若 A 为向量或者矩阵， 其转置表示为 A 。 当 A 为 矩 阵，
trace（ A T A） 表示其迹范数。 当 A 为对称阵， 0， 则其最大特征值由 λ max （ A ） 表示。 令 Ｒ + = ［ τ ＞ 0， ∞） ， 槡
n C（ ［－ τ， 0］ ， Ｒ n ） 表示所有从［－ τ， 0］ 到 Ｒ 的连续函数所组成的类， 其范数定义为 ‖ ‖ = sup － τ≤θ≤0 | （ θ） | 。 b 0］ ， Ｒ n ） 表示所有 F0 可测有界的， 0］ ， Ｒ n ） 中取值的所有随机变量 ξ = ｛ ξ （ θ ） ： 令 C F0（ ［－ τ， 且在 C（ ［ － τ， T － τ≤θ≤0 ｝ 构成的类。而 X ， Y∈Ｒ n 二者的内积可以表示成 〈X ， Y〉 或 X Y 两种形式。