坐标系与参数方程-2019年高考文科数学解读考纲
2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题21坐标系与参数方程教学案文含解析20190330276
坐标系与参数方程【2019年高考考纲解读】高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程、参数方程与普通方程的互化、常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用．以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线的位置关系等解析几何知识． 【重点、难点剖析】 1．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x x2．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程 (1)直线过极点：θ＝α；(2)直线过点M (a,0)(a >0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ；(3)直线过M ⎝⎛⎭⎪⎫b ，π2且平行于极轴：ρsin θ＝b .3．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆方程为： ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0. 几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；(2)当圆心位于M (r,0)，半径为r ：ρ＝2r cos θ；(3)当圆心位于M ⎝⎛⎭⎪⎫r ，π2，半径为r ：ρ＝2r sin θ.(4)圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数，0≤θ≤2π)．圆心在点A (ρ0，θ0)，半径为r 的圆的方程为r 2＝ρ2＋ρ20－2ρρ0cos(θ－θ0)．4．直线的参数方程经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．设P 是直线上的任一点，则t 表示有向线段P 0P →的数量． 5．圆的参数方程圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数，0≤θ≤2π)． 6．圆锥曲线的参数方程(1)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)．(2)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a sec θ，y ＝b tan θ(θ为参数)．(3)抛物线y2＝2px (p >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt(t 为参数).【题型示例】题型一 极坐标方程和参数方程【例1】(2018·全国Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为y ＝k |x |＋2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0. (1)求C 2的直角坐标方程；【思路方法】(1)先列方程，再进一步转化为参数方程． (2)解出交点，再求得直线方程，最后转化为极坐标方程．【解析】(1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C 上的点(x ，y )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1.由x 21＋y 21＝1，得x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝1，即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.故C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝2sin t(t 为参数)．【感悟提升】若极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴正半轴重合，两坐标系的长度单位相同，则极坐标方程与直角坐标方程可以互化．求解与极坐标方程有关的问题时，可以转化为熟悉的直角坐标方程求解．若最终结果要求用极坐标表示，则需将直角坐标转化为极坐标．题型二 参数方程与普通方程的互化【例2】(2018·全国Ⅲ)在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点． (1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程．【解析】 (1)⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1. 当α＝π2时，l 与⊙O 交于两点．当α≠π2时，记tan α＝k ，则l 的方程为y ＝kx － 2.l 与⊙O 交于两点当且仅当|2|1＋k2<1，解得k <－1或k >1，即α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4或α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.综上，α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4. (2)l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin α⎝⎛⎭⎪⎫t 为参数，π4<α<3π4. 设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ， 则t P ＝t A ＋t B2，且t A ，t B 满足t 2－22t sin α＋1＝0.于是t A ＋t B ＝22sin α，t P ＝2sin α.又点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎨⎧x ＝t P cos α，y ＝－2＋t P sin α，所以点P 的轨迹的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22sin 2α，y ＝－22－22cos 2α⎝ ⎛⎭⎪⎫α为参数，π4<α<3π4.【感悟提升】(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有代入消参法、加减消参法、平方消参法等．(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解、漏解，若x ，y 有范围限制，要标出x ，y 的取值范围．【变式探究】 【2017·江苏】[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面坐标系中xOy 中,已知直线l 的参考方程为x 82tty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),曲线C的参数方程为22,x s y ⎧=⎪⎨=⎪⎩(s 为参数).设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值.【解析】直线l 的普通方程为. 因为点P 在曲线C 上，设，从而点P 到直线l 的的距离，当s =min 5d =.因此当点P 的坐标为()4,4时，曲线C 上点P 到直线l . 【考点】参数方程化普通方程【变式探究】在直角坐标系x O y 中,曲线C 1的参数方程为（t 为参数,a ＞0）．在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2：ρ=4cos θ. （I ）说明C 1是哪一种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程；（II ）直线C 3的极坐标方程为0θα=,其中0α满足tan 0α=2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a ． 【答案】（I ）圆,（II ）1【解析】解：（Ⅰ）消去参数t 得到1C 的普通方程.1C 是以)1,0(为圆心，a 为半径的圆.将代入1C 的普通方程中，得到1C 的极坐标方程为.（Ⅱ）曲线21,C C 的公共点的极坐标满足方程组若0≠ρ，由方程组得，由已知2tan =θ，可得，从而012=-a ，解得1-=a （舍去），1=a .1=a 时，极点也为21,C C 的公共点，在3C 上.所以1=a .【变式探究】在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．【变式探究】在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，M是C 1上的动点，P 点满足OP →＝2OM →，点P 的轨迹为曲线C 2. (1)求C 2的方程；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求AB .【解析】(1)设P (x ，y )，则由条件知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2，由于M 点在C 1上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x2＝2cos α，y2＝2＋2sin α，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α.从而C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α(α为参数)．(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ.射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π3，射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π3.所以AB＝|ρ2－ρ1|＝2 3.【规律方法】解决这类问题一般有两种思路，一是将极坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的直角坐标，再将其化为极坐标；二是将曲线的极坐标方程联立，根据限制条件求出极坐标．要注意题目所给的限制条件及隐含条件．【变式探究】将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C . (1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程． 解 (1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为C 上点(x ，y )，依题意，得1,2,x x y y =⎧⎨=⎩由x 21＋y 21＝1得x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝1， 即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.故C 的参数方程为cos 2sin x t y t =⎧⎨=⎩(t 为参数)．(2)由解得：1,0x y =⎧⎨=⎩或0,2.x y =⎧⎨=⎩不妨设P 1(1，0)，P 2(0，2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，所求直线斜率为k ＝12，于是所求直线方程为y －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，化为极坐标方程，并整理得 2ρcos θ－4ρsin θ＝－3， 即ρ＝34sin θ－2cos θ.题型三 极坐标 参数方程及其应用【例3】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t ，y ＝3＋t (t 为参数)，在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线m ：θ＝β(ρ>0)． (1)求C 和l 的极坐标方程；(2)设点A 是m 与C 的一个交点(异于原点)，点B 是m 与l 的交点，求|OA ||OB |的最大值．解 (1)曲线C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，得()ρcos θ－12＋ρ2sin 2θ＝1，化简得C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ. 因为l 的普通方程为x ＋y －4＝0，所以极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ－4＝0， 所以l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2 2. (2)设A (ρ1，β)，B (ρ2，β)， 则|OA ||OB |＝ρ1ρ2＝2cos β·sin β＋cos β4＝12(sin βcos β＋cos 2β)＝24sin ⎝⎛⎭⎪⎫2β＋π4＋14，由射线m 与C ，直线l 相交，则不妨设β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4， 则2β＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，3π4，所以当2β＋π4＝π2，即β＝π8时，|OA ||OB |取得最大值，即⎝⎛⎭⎪⎫|OA ||OB |max＝2＋14. 【感悟提升】 (1)利用参数方程解决问题，要理解参数的几何意义．(2)在解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题时，常常将极坐标方程化为直角坐标方程或将参数方程化为普通方程，有助于认识方程所表示的曲线，从而达到化陌生为熟悉的目的，这是转化与化归思想的应用．【变式探究】在平面直角坐标系中，以原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ. (1)若曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t cos α，y ＝1＋t sin α(α为参数)，求曲线C 1的直角坐标方程和曲线C 2的普通方程；(2)若曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数)，A (0,1)，且曲线C 1与曲线C 2的交点分别为P ，Q ，求1|AP |＋1|AQ |的取值范围．【解析】 (1)∵ρ＝2cos θ，∴ρ2＝2ρcos θ，又∵ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，∴曲线C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0， 曲线C 2的普通方程为x 2＋(y －1)2＝t 2.(2)将C 2的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数)代入C 1的方程x 2＋y 2－2x ＝0，得t 2＋(2sinα－2cos α)t ＋1＝0.∵Δ＝(2sin α－2cos α)2－4＝8sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4－4>0，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4∈⎝ ⎛⎦⎥⎤22，1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－22∪⎝ ⎛⎦⎥⎤22，1. t 1＋t 2＝－(2sin α－2cos α)＝－22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4，t 1t 2＝1>0，∵t 1t 2＝1>0，∴t 1，t 2同号，∴|t 1|＋|t 2|＝|t 1＋t 2|. 由点A 在曲线C 2上，根据t 的几何意义，可得 1|PA |＋1|AQ |＝1|t 1|＋1|t 2|＝|t 1|＋|t 2||t 1||t 2| ＝|t 1|＋|t 2||t 1t 2|＝|t 1＋t 2|1＝22⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4∈(2,22]．∴1|PA |＋1|AQ |∈(2,22]． 【变式探究】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l的参数方程为.（1）若a =−1，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到l a. 【答案】（1）C 与l 的交点坐标为()3,0， 2124,2525⎛⎫-⎪⎝⎭；（2）8a =或16a =-.【解析】（1）曲线C 的普通方程为2219x y +=. 当1a =-时，直线l 的普通方程为.由解得3{ 0x y ==或2125{ 2425x y =-=.从而C 与l 的交点坐标为()3,0， 2124,2525⎛⎫-⎪⎝⎭. （2）直线l 的普通方程为，故C 上的点到l 的距离为.当4a ≥-时， d=8a =； 当4a <-时， d由题设得，所以16a =-.综上， 8a =或16a =-.【变式探究】在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； （Ⅱ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）, l 与C 交于,A B两点，||AB =，求l 的斜率． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）3±. 【解析】（I ）由可得C 的极坐标方程（II ）在（I ）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为由,A B 所对应的极径分别为12,,ρρ将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得于是由||AB =得， 所以l的斜率为3或3-. 【变式探究】已知直线l 的参数方程为1,1x t y t =-+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＝4⎝⎛⎭⎪⎫ρ＞0，3π4＜θ＜5π4，则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为________．解析 直线l 的直角坐标方程为y ＝x ＋2，由ρ2cos 2θ＝4得ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，直角坐标方程为x 2－y 2＝4，把y ＝x ＋2代入双曲线方程解得x ＝－2，因此交点为(－2，0)，其极坐标为(2，π)．答案 (2，π)【变式探究】已知直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a －2t ，y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．(1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围．【命题意图】本小题主要考查直线与圆的参数方程等基础知识，意在考查考生的运算求解能力及化归与转化思想．【解题思路】(1)消去参数，即可求出直线l 与圆C 的普通方程．(2)求出圆心的坐标，利用圆心到直线l 的距离不大于半径，得到关于参数a 的不等式，即可求出参数a 的取值范围．【解析】(1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0，圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16.(2)因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4， 解得－25≤a ≤2 5. 【感悟提升】1．将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，常用的消参方法有代入消参、加减消参和三角恒等式消参等，往往需要对参数方程进行变形，为消去参数创造条件．2．在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解． 【变式探究】在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为(t 为参数)．在极坐标系(与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴)中，直线l 的方程为2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝m (m ∈R )． ①求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程；②设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值．。
解读2019高考数学考试大纲及考试说明
（五）高考数学试题来源:
①课本是试题的基本来源(旧题翻新)；
②历届高考试题成为新高考试题的借鉴； ③课本与《课程标准》的交集成为试题的创新地带； ④高等数学的基本思想、基本问题为高考题的命制提 供背景； ⑤国内外竞赛试题改编。
3
（一）课程基本理念
这些课程理念，必将在今后相当长的一段 时间内，引领高中数学教师瞄准育人目标，明确 教学内容，规范教学行为，完成教学任务.与此 相应的高考，必将把考查学生的数学素养、数学 思想、数学应用、数学文化等作为数学高考的重 要任务，并在试题中鲜明地体现出来。
4
（二）大纲解读:
2019年的考试大纲与2018年相比，在考核目标、 考试范围与要求等方面都没有变动，总体来看， 《2019年高考数学考试大纲》在指导思想、考核要 求及考试范围方面延续了2018年的要求： 1.继续坚持“一体四层四翼”的命题指导思想，注重顶 层设计，继续明确了“立德树人、服务选才、引导教 学”这一高考核心功能；通过明确“必备知识、关键能 力、学科素养、核心价值”四层考查内容以及“基础性、 综合性、应用性、创新性”四个方面的考查要求，回 答了高考“考什么”和“怎么考”的问题。
4.在现行考试大纲三个选考模块中删 去《几何证明选讲》，其余2个选考 模块的内容和范围都不变，考生从 《坐标系与参数方程》、《不等式选 讲》2个模块中任选1个作答。
(四)高考数学新课标卷命题指导思想
坚持“有助于高校科学公正地选拔人才，有助于推进普通高中 课程改革，实施素质教育”的原则，体现普通高中课程标准的基本 理念，以能力立意，将知识、能力和素质融为一体，全面检测考生 的数学核心素养. 发挥数学作为主要基础学科的作用， 考查考生对中 学数学的基础知识、基本技能的掌握程度，考查考生对数学思想方 法和数学本质的理解水平，以及进入高等学校继续学习的潜能.
2019数学文科考纲解读
热 点
2函数与导数 （预测）
函数的图像与性质 用 三个“二次”间的联系解决问题 导数的几何意义 单调性 极值 恒成立 导数与三角函数结合的压轴题
重点
能 力
2 分析高考 大胆预测
年份（文） 题号
2014 1 7 16 8 17 分值 15
课标1卷考点分布及考查重点
知识点
3三角 函数
2015
17
三角函数的定义与图像 已知三角函数关系求角的关系 解三角形，求面积最大值 两角和的正弦 三角函数的图像与性质 解三角形，求边范围
函数的单调性 对数函数的函数值 函数与导数（单调性
2015
2函数 与导数
2016
2017
3 12 21 12 14 21 7 12 21 9 11 21
12 13 21
22
22
22
2018
22
极值 不等式恒成立）
3.掌握基本初等函数图像 4.能用导数处理函数的综合 问题
10
2 分析高考 大胆预测
分段函数的考查 对指数函数的性质
③需要规范数学表达，掌握数学语言， 形成良好的解题习惯的要讲。
3 查找问题 科学备考
问题3练习/讲评效率低
策略三
怎么 讲
1.要讲答案
要
2.要讲类型 3.要讲错因
讲
出6 个 层
4.要讲扩展或变形、举一反三
5.要讲出信心
6.要讲出危机
年份（文）
课标1卷考点分布及考查重点
知识点
题号 分值
3平面 向量
2014 6 2015 2 2016 13 2017 13 2018 7
5 5 5 5 5
向量的加法 平面向量的减法运算 平面向量数量积的运算 平面向量数量积的运算 平面向量数量积的运算 高考考查重点：
2019届高考数学一轮复习 选考4-4 坐标系与参数方程 第1讲 坐标系课件 文 新人教版
换方程的求法是将xy＝＝xy′′μλ ，
代入 y＝f(x)，得y′μ ＝fx′λ ，整理之
后得到 y′＝h(x′)，即为所求变换之后的方程．
【针对补偿】 1．在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换 φ：x2′y′＝＝3xy， . 求 点 A13，－2经过 φ 变换所得的点 A′的坐标．
[解] 设 A′(x′，y′)，由伸缩变换 φ：
[知识自测] 1．点 P 的直角坐标为(1，－ 3)，则点 P 的极坐标为__________．
[解析] 因为点 P(1，－ 3)在第四象限，与原点的距离为 2，且 OP 与 x 轴所成的角为－π3，所以点 P 的极坐标为2，－π3.
[答案] 2，－π3
2．圆 ρ＝5cos θ－5 3sin θ 的圆心的极坐标为________． [解析] 将方程 ρ＝5cos θ－5 3sin θ 两边都乘以 ρ 得： ρ2＝5ρcos θ－5 3ρsin θ， 化成直角坐标方程为 x2＋y2－5x＋5 3y＝0. 圆心的坐标为52，－5 23，化成极坐标为5，53π. [答案] 5，53π(答案不唯一)
例 1 (1)求椭圆x42＋y2＝1，经过伸缩变换xy′ ′＝ ＝y12x，
方程．[解]
由x′＝12x， y′＝y
得到xy＝＝2y′x′. ，
①
后的曲线
将①代入x42＋y2＝1，得4x4′2＋y′2＝1，即 x′2＋y′2＝1. 因此椭圆x42＋y2＝1 经伸缩变换后得到的曲线方程是 x2＋y2＝1.
3．常用简单曲线的极坐标方程
曲线
图形
圆心在极点，半径为 r 的圆
圆心为(r,0)，半径为 r 的圆
极坐标方程 ρ＝r
ρ＝2rcos θ
圆心为(r，π2)，半径为 r 的圆 过极点，倾斜角为 α 的直线 过点(a,0)，与极轴垂直的直线 过点a，π2，与极轴平行的直线
2010-2019学年高考新课标全国I卷数学(文)真题分类汇编专题17 坐标系与参数方程(解析版)
专题17 坐标系与参数方程坐标系与参数方程大题：10年10考，而且是作为2个选做题之一出现的，主要考查两个方面：一是极坐标方程与普通方程的转化，二是极坐标方程与参数方程的简单应用，难度较小．1．（2019年）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2221141txttyt⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为＝0．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）求C上的点到l距离的最小值．【解析】（1）由2221141txttyt⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩（t为参数），得22211221txty tt⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，两式平方相加，得2214yx+=（x≠﹣1），∴C的直角坐标方程为2214yx+=（x≠﹣1），由＝0，得2110x++=，即直线l的直角坐标方程为得2110x++=．（2）法一、设C上的点P（cosθ，2sinθ）（θ≠π），则P到直线2110x++=的距离为：d∴当sin（θ+φ）＝﹣1时，d．法二、设与直线2110x++=平行的直线方程为20x m++=，联立222014x m y x ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩，得16x 2+4mx +m 2﹣12＝0． 由△＝16m 2﹣64（m 2﹣12）＝0，得m ＝±4．∴当m ＝4时，直线240x ++=与曲线C 的切点到直线2110x ++=的距离最小，为=2．（2018年）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为y ＝k |x |+2．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3＝0．（1）求C 2的直角坐标方程；（2）若C 1与C 2有且仅有三个公共点，求C 1的方程．【解析】（1）曲线C 2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3＝0．转换为直角坐标方程为：x 2+y 2+2x ﹣3＝0，转换为标准式为：（x +1）2+y 2＝4．（2）由于曲线C 1的方程为y ＝k |x |+2，则：该射线关于y 轴对称，且恒过定点（0，2）．由于该射线与曲线C 2的极坐标有且仅有三个公共点．所以必有一直线相切，一直线相交．则圆心到直线y ＝kx +2的距离等于半径2．2=2=， 解得：k ＝43-或0， 当k ＝0时，不符合条件，故舍去，同理解得：k ＝43或0， 经检验，直线423y x =+与曲线C 2没有公共点． 故C 1的方程为423y x =-+． 3．（2017年）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为41x a t y t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）． （1）若a ＝﹣1，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到la ．【解析】（1）曲线C 的参数方程为3cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），化为标准方程是29x +y 2＝1； a ＝﹣1时，直线l 的参数方程化为一般方程是：x +4y ﹣3＝0； 联立方程2219430x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩，解得30x y =⎧⎨=⎩或21252425x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 所以椭圆C 和直线l 的交点为（3，0）和（2125-，2425）． （2）l 的参数方程41x a t y t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）化为一般方程是x +4y ﹣a ﹣4＝0，椭圆C 上的任一点P 可以表示成P （3cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），所以点P 到直线l 的距离dφ满足tanφ＝34，且d 的最①当﹣a ﹣4≤0时，即a ≥﹣4时，|5sin （θ+φ）﹣a ﹣4|≤|﹣5﹣a ﹣4|＝|5+a +4|＝17，解得a ＝8和﹣26，a ＝8符合题意．②当﹣a ﹣4＞0时，即a ＜﹣4时，|5sin （θ+φ）﹣a ﹣4|≤|5﹣a ﹣4|＝|5﹣a ﹣4|＝17， 解得a ＝﹣16和18，a ＝﹣16符合题意．4．（2016年）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为cos 1sin x a t y a t =⎧⎨=+⎩（t 为参数，a ＞0）．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cosθ．（1）说明C 1是哪种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；（2）直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tanα0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a ．【解析】（1）由cos 1sin x a t y a t =⎧⎨=+⎩，得cos 1sin x a t y a t=⎧⎨-=⎩，两式平方相加得，x 2+（y ﹣1）2＝a 2．∴C 1为以（0，1）为圆心，以a 为半径的圆．化为一般式：x 2+y 2﹣2y +1﹣a 2＝0．①由x 2+y 2＝ρ2，y ＝ρsinθ，得ρ2﹣2ρsinθ+1﹣a 2＝0；（2）C 2：ρ＝4cosθ，两边同时乘ρ得ρ2＝4ρcosθ，∴x 2+y 2＝4x ，②即（x ﹣2）2+y 2＝4．由C 3：θ＝α0，其中α0满足tanα0＝2，得y ＝2x ，∵曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，∴y ＝2x 为圆C 1与C 2的公共弦所在直线方程，①﹣②得：4x ﹣2y +1﹣a 2＝0，即为C 3 ，∴1﹣a 2＝0，∴a ＝1（a ＞0）．5．（2015年）在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝﹣2，圆C 2：（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求C 1，C 2的极坐标方程；（2）若直线C 3的极坐标方程为θ＝4π（ρ∈R ），设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积． 【解析】（1）由于x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ，∴C 1：x ＝﹣2 的极坐标方程为 ρcosθ＝﹣2， 故C 2：（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝1的极坐标方程为：（ρcosθ﹣1）2+（ρsinθ﹣2）2＝1，化简可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4＝0．（2）把直线C 3的极坐标方程θ＝4π（ρ∈R ）代入圆C 2：（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝1， 可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4＝0，求得ρ1＝，ρ2，∴|MN |＝|ρ1﹣ρ2|，由于圆C 2的半径为1，∴C 2M ⊥C 2N ，△C 2MN 的面积为221C C 2M N ＝1112⨯⨯＝12．6．（2014年）已知曲线C ：2249x y +＝1，直线l ：222x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）． （1）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（2）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值．【解析】（1）对于曲线C ：2249x y +＝1，可令x ＝2cosθ、y ＝3sinθ， 故曲线C 的参数方程为2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）．对于直线l ：222x t y t =+⎧⎨=-⎩① ② ， 由①得：t ＝x ﹣2，代入②并整理得：2x +y ﹣6＝0；（2）设曲线C 上任意一点P （2cosθ，3sinθ）．P 到直线l 的距离为53sin 65d θθ=+-． 则()256sin 305d θαPA ==+-o ，其中α为锐角． 当sin （θ+α）＝﹣1时，|P A |取得最大值，最大值为55． 当sin （θ+α）＝1时，|P A |257．（2013年）已知曲线C 1的参数方程为45cos 55sin x t y t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sinθ．（1）把C 1的参数方程化为极坐标方程；（2）求C 1与C 2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．【解析】（1）将45cos 55sin x t y t=+⎧⎨=+⎩，消去参数t ，化为普通方程（x ﹣4）2+（y ﹣5）2＝25，即C 1：x 2+y 2﹣8x ﹣10y +16＝0，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入x 2+y 2﹣8x ﹣10y +16＝0，得ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16＝0．∴C 1的极坐标方程为ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16＝0．（2）∵曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sinθ．∴曲线C 2的直角坐标方程为x 2+y 2﹣2y ＝0，联立222281016020x y x y x y y ⎧+--+=⎪⎨+-=⎪⎩， 解得11x y =⎧⎨=⎩或02x y =⎧⎨=⎩，∴C 1与C 2，4π）和（2，2π）． 8．（2012年）已知曲线C 1的参数方程是2cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（φ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C 2的坐标系方程是ρ＝2，正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为（2，3π）． （1）求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；（2）设P 为C 1上任意一点，求|P A |2+|PB |2+|PC |2+|PD |2的取值范围．【解析】（1）点A ，B ，C ，D 的极坐标为（2，3π），（2，56π），（2，43π），（2，116π），点A ，B ，C ，D 的直角坐标为（1），（，1），（1-，），1-）．（2）设P （x 0，y 0），则002cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），t ＝|P A |2+|PB |2+|PC |2+|PD |2＝4x 2+4y 2+16＝32+20sin 2φ，∵sin 2φ∈[0，1]，∴t ∈[32，52]．9．（2011年）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）M 是C 1上的动点，P 点满足2OP =OM u u u r u u u u r ，P 点的轨迹为曲线C 2．（1）求C 2的方程；（2）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝3π与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |．【解析】（1）设P （x ，y ），则由条件知M （2x ，2y ）．由于M 点在C 1上， 所以2cos 222sin 2x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩，从而C 2的参数方程为4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）（2）曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sinθ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sinθ．射线θ＝3π与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin 3π， 射线θ＝3π与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin 3π． 所以|AB |＝|ρ2﹣ρ1|＝10．（2010年）已知直线C 1：1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），C 2：cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）． （1）当α＝3π时，求C 1与C 2的交点坐标； （2）过坐标原点O 做C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 中点，当α变化时，求P 点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．【解析】（1）当α＝3π时，C 1的普通方程为)1y x =-，C 2的普通方程为x 2+y 2＝1．联立方程组)2211y x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，解得C 1与C 2的交点为（1，0），（12，2-．（2）C 1的普通方程为x sinα﹣y cosα﹣sinα＝0①． 则OA 的方程为x cosα+y sinα＝0②， 联立①②可得x ＝sin 2α，y ＝﹣cosαsinα； A 点坐标为（sin 2α，﹣cosαsinα），故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为21sin 21sin cos 2x y ααα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ （α为参数）， P 点轨迹的普通方程为2211416x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭．故P 点轨迹是圆心为（14，0），半径为14的圆．。
【2019版课标版】高考数学文科精品课件第十四章 坐标系与参数方程
第十四章坐标系与参数方程考纲解读分析解读坐标系与参数方程是高考数学的选考部分,其中极坐标与直角坐标的互化,直线与圆的参数方程及应用是高考的重点,难度不大,题型一般为解答题,分值为10分,但部分省份可能以填空题的形式出现.本章也是对前面所学的解析几何、平面几何、三角函数等知识的综合应用和进一步的深化,考查学生的转化与化归思想的应用.(1)消去参数t得l1的普通方程l1:y=k(x-2);消去参数m得l2的普通方程l2:y=(x+2).设P(x,y),由题设得-消去k得x2-y2=4(y≠0).所以C的普通方程为x2-y2=4(y≠0).(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ-sin2θ)=4(0<θ<2π,θ≠π).联立--得cos θ-sin θ=2(cosθ+sinθ).故tan θ=-,从而cos2θ=,sin2θ=,代入ρ2(cos2θ-sin2θ)=4得ρ2=5,所以交点M的极径为.五年高考考点一坐标系1.(2015湖南,12,5分)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ,则曲线C的直角坐标方程为.答案x2+y2-2y=02.(2014陕西,15C,5分)(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,点到直线ρsin-=1的距离是.答案 13.(2017课标全国Ⅱ,22,10分)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4.(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|·|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;(2)设点A的极坐标为,点B在曲线C2上,求△OAB面积的最大值.解析(1)设P的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),M的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0).由题设知|OP|=ρ,|OM|=ρ1=.由|OM|·|OP|=16得C2的极坐标方程为ρ=4cosθ(ρ>0).因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x≠0).(2)设点B的极坐标为(ρB,α)(ρB>0).由题设知|OA|=2,ρB=4cos α,于是△OAB的面积S=|OA|·ρB·sin∠AOB=4cos α·-=2--≤2+.当α=-时,S取得最大值2+.所以△OAB面积的最大值为2+.4.(2016课标全国Ⅰ,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cosθ.(1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;(2)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tan α0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.解析(1)消去参数t得到C1的普通方程:x2+(y-1)2=a2.C1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆.(2分)将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入C1的普通方程中,得到C1的极坐标方程为ρ2-2ρsinθ+1-a2=0.(4分)(2)曲线C1,C2的公共点的极坐标满足方程组--(6分)若ρ≠0,由方程组得16cos2θ-8sin θcosθ+1-a2=0,(8分)由已知tan θ=2,可得16cos2θ-8sin θcosθ=0,从而1-a2=0,解得a=-1(舍去)或a=1.a=1时,极点也为C1,C2的公共点,在C3上.所以a=1.(10分)5.(2013辽宁,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆C1,直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ,ρcos-=2.(1)求C1与C2交点的极坐标;(2)设P为C1的圆心,Q为C1与C2交点连线的中点.已知直线PQ的参数方程为(t∈R为参数),求a,b的值.解析(1)圆C1的直角坐标方程为x2+(y-2)2=4,直线C2的直角坐标方程为x+y-4=0.解--得所以C1与C2交点的极坐标为,.(6分)(注:极坐标系下点的表示不唯一.)(2)由(1)可得,P点与Q点的直角坐标分别为(0,2),(1,3),故直线PQ的直角坐标方程为x-y+2=0.由参数方程可得y=x-+1,所以-解得a=-1,b=2.(10分)考点二参数方程1.(2014湖南,12,5分)在平面直角坐标系中,曲线C:(t为参数)的普通方程为.答案x-y-1=02.(2017课标全国Ⅰ,22,10分)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的参数方程为-(t为参数).(1)若a=-1,求C与l的交点坐标;(2)若C上的点到l距离的最大值为,求a.解析(1)曲线C的普通方程为+y2=1.当a=-1时,直线l的普通方程为x+4y-3=0.由-解得或-从而C与l的交点坐标为(3,0),-.(2)直线l的普通方程为x+4y-a-4=0,故C上的点(3cos θ,sinθ)到l的距离为d=--. 当a≥-4时,d的最大值为,由题设得=,所以a=8;当a<-4时,d的最大值为,由题设得=,所以a=-16.综上,a=8或a=-16.3.(2016课标全国Ⅱ,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.(1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;(2)直线l的参数方程是(t为参数),l与C交于A,B两点,|AB|=,求l的斜率.解析(1)由x=ρcosθ,y=ρsinθ可得圆C的极坐标方程为ρ2+12ρcosθ+11=0.(3分)(2)在(1)中建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为θ=α(ρ∈R).设A,B所对应的极径分别为ρ1,ρ2,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2+12ρcosα+11=0.(6分)于是ρ1+ρ2=-12cos α,ρ1ρ2=11.|AB|=|ρ1-ρ2|=-=-.(8分)由|AB|=得cos2α=,tan α=±.(9分)所以l的斜率为或-.(10分)4.(2016课标全国Ⅲ,23,10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数).以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin=2.(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程;(2)设点P在C1上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.解析(1)C1的普通方程为+y2=1.C2的直角坐标方程为x+y-4=0.(5分)(2)由题意,可设点P的直角坐标为(cos α,sinα).因为C2是直线,所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值,d(α)==-.(8分)当且仅当α=2kπ+(k∈Z)时,d(α)取得最小值,最小值为,此时P的直角坐标为.(10分)5.(2016江苏,21C,10分)[选修4—4:坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为(t为参数),椭圆C的参数方程为(θ为参数).设直线l与椭圆C相交于A,B两点,求线段AB的长.解析椭圆C的普通方程为x2+=1.将直线l的参数方程代入x2+=1,得+=1,即7t2+16t=0,解得t1=0,t2=-.所以AB=|t1-t2|=.6.(2015课标Ⅱ,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,曲线C1:(t为参数,t≠0),其中0≤α<π.在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=2sinθ,C3:ρ=2cos θ.(1)求C2与C3交点的直角坐标;(2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|AB|的最大值.解析(1)曲线C2的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,曲线C3的直角坐标方程为x2+y2-2x=0.联立--解得或所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和.(2)曲线C1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R,ρ≠0),其中0≤α<π.因此A的极坐标为(2sin α,α),B的极坐标为(2α,α).所以|AB|=|2sin α-2cos α|=4-.当α=时,|AB|取得最大值,最大值为4.教师用书专用(7—11)7.(2013湖南,11,5分)在平面直角坐标系xOy中,若直线l1:(s为参数)和直线l2:-(t为参数)平行,则常数a的值为.答案 48.(2015陕西,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数).以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,☉C的极坐标方程为ρ=2sin θ.(1)写出☉C的直角坐标方程;(2)P为直线l上一动点,当P到圆心C的距离最小时,求P的直角坐标.解析(1)由ρ=2sin θ,得ρ2=2ρsinθ,从而有x2+y2=2y,所以x2+(y-)2=3.(2)设P,又C(0,),则|PC|=-=,故当t=0时,|PC|取得最小值,此时,P点的直角坐标为(3,0).9.(2014课标Ⅰ,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线C:+=1,直线l:-(t为参数).(1)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程;(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.解析(1)曲线C的参数方程为(θ为参数).直线l的普通方程为2x+y-6=0.(2)曲线C上任意一点P(2cos θ,3sinθ)到l的距离为d=|4cos θ+3sinθ-6|,=|5sin(θ+α)-6|,其中α为锐角,则|PA|=°且tan α=.当sin(θ+α)=-1时,|PA|取得最大值,最大值为.当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小值,最小值为.10.(2014课标Ⅱ,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ,θ∈.(1)求C的参数方程;(2)设点D在C上,C在D处的切线与直线l:y=x+2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D的坐标.解析(1)C的普通方程为(x-1)2+y2=1(0≤y≤1).可得C的参数方程为(t为参数,0≤t≤π).(2)设D(1+cos t,sin t).由(1)知C是以G(1,0)为圆心,1为半径的上半圆.因为C在点D处的切线与l垂直,所以直线GD与l的斜率相同.tan t=,t=.故D的直角坐标为,即.11.(2013课标全国Ⅱ,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程已知动点P,Q都在曲线C:(t为参数)上,对应参数分别为t=α与t=2α(0<α<2π),M为PQ的中点.(1)求M的轨迹的参数方程;(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点.解析(1)依题意有P(2cos α,2sinα),Q(2cos2α,2sin2α),因此M(cos α+cos2α,sinα+sin2α).M的轨迹的参数方程为(α为参数,0<α<2π).(2)M点到坐标原点的距离d==(0<α<2π).当α=π时,d=0,故M的轨迹过坐标原点.三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一坐标系1.(人教A选4—4,一,3,A5,变式)已知曲线C1,C2的极坐标方程分别为ρcosθ=3,ρ=4cosθ(ρ≥0),则曲线C1与曲线C2交点的极坐标为.答案,-(k∈Z)2.(2018衡水中学、郑州一中12月联考,22)已知直线l的参数方程是(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ.(1)求曲线C的直角坐标方程与直线l的极坐标方程;(2)若直线θ=与曲线C交于点A(不同于原点),与直线l交于点B,求|AB|的值.解析(1)ρ=2cosθ可化为ρ2=2ρcosθ,根据极坐标与直角坐标的互化公式可得x2+y2=2x,∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2x.直线l的参数方程(t为参数)化为普通方程为x-y-1=0,化为极坐标方程为ρcos=.(2)将θ=代入ρ=2cosθ,可求得|OA|=1,将θ=代入ρcos=,可求得|OB|=1+,根据题意可知O、A、B三点共线,且|AB|=|OA|+|OB|=2+,∴|AB|=2+.3.(2018广东广州12月调研,22)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数),将曲线C1经过伸缩变换后得到曲线C2,在以原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线l的极坐标方程为ρcosθ-ρsinθ-10=0.(1)说明曲线C2是哪一种曲线,并将曲线C2的方程化为极坐标方程;(2)已知点M是曲线C2上的任意一点,求点M到直线l的距离的最大值和最小值.解析(1)因为曲线C1的参数方程为(α为参数),伸缩变换为所以曲线C2的参数方程为所以C2的普通方程为x'2+y'2=4.表示圆心在坐标原点的圆.所以C2的极坐标方程为ρ2=4,即ρ=2.(2)直线l的普通方程为x-y-10=0.由(1)知曲线C2表示圆心为原点,半径为2的圆,且圆心到直线l的距离d==5,因为5所以圆C2与直线l相离.所以圆C2上的点M到直线l的距离的最大值为d+r=5+2,最小值为d-r=5-2.4.(2017山西太原模拟,22)设直线l的参数方程为(t为参数),若以直角坐标系xOy的O点为极点,Ox轴为极轴,选择相同的单位长度建立极坐标系,得曲线C的极坐标方程为ρ=.(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程,并指出曲线是什么曲线;(2)若直线l与曲线C交于A、B两点,求|AB|.解析(1)由ρ=得ρsin2θ=8cosθ,∴ρ2sin2θ=8ρcosθ,∴y2=8x,∴曲线C表示顶点在原点,焦点在x轴正半轴的抛物线.(2)由(t为参数)得y=2x-4,代入y2=8x,得x2-6x+4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=6,x1·x2=4,∴|AB|=·|x1-x2|=·-·=×=10.考点二参数方程5.(2018山西康杰中学等六校12月联考,22)在直角坐标系xOy中,已知点P(0,),曲线C的参数方程为(φ为参数),以原点O为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为2ρcos-=.(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程;(2)设直线l与曲线C交于A,B两点,求|PA|·|PB|的值.解析(1)由2ρcos-=得ρcosθ+ρsinθ=,即x+y-=0.由(φ为参数)得+=1.所以曲线C的普通方程为+=1,直线l的直角坐标方程为x+y-=0.(2)由(1)知:直线l的倾斜角为,所以直线l的参数方程为-(t为参数),代入曲线C的普通方程可得t2+2t-8=0.设方程的两根为t1,t2,则|PA|·|PB|=|t1t2|=8.6.(2018河南洛阳一模,22)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t参数,m∈R),以原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2=-(0≤θ≤π).(1)写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程;(2)已知点P是曲线C2上一点,若点P到曲线C1的最小距离为2,求m的值.解析(1)由曲线C1的参数方程消去参数t,可得C1的普通方程为x-y+m=0.由曲线C2的极坐标方程得3ρ2-2ρ2cos2θ=3,θ∈[0,π],∴曲线C2的直角坐标方程为+y2=1(0≤y≤1).(2)设曲线C2上任意一点P(α,sinα),α∈[0,π],则点P到曲线C1的距离d==.∵α∈[0,π],∴cos∈-,∴2cos∈[-2,],当m+<0时,m+=-4,即m=-4-;当m-2>0时,m-2=4,即m=6.∴m=-4-或m=6.7.(2017安徽黄山二模,22)已知曲线C的极坐标方程为ρ=,过点P(1,0)的直线l交曲线C于A,B两点.(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)求|PA|·|PB|的取值范围.解析(1)由ρ=得ρ2(1+sin2θ)=2,故曲线C的直角坐标方程为+y2=1.(2)由题意知,直线l的参数方程为(t为参数),将代入+y2=1得(cos2α+2sin2α)t2+2tcos α-1=0,设A,B对应的参数分别为t1,t2,则t1t2=-,则|PA|·|PB|=|t1t2|==∈,∴|PA|·|PB|的取值范围为.8.(2017广东广州联考,22)以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相同的长度单位,已知直线l的参数方程为(t为参数,0<θ<π),曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=4sinθ.(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;(2)设直线l与曲线C相交于A,B两点,当θ变化时,求|AB|的最小值.解析(1)由(t为参数)消去t得xcos θ-ysin θ+sinθ=0.所以直线l的普通方程为xcos θ-ysin θ+sinθ=0,由ρcos2θ=4sinθ得(ρcosθ)2=4ρsinθ,把x=ρcosθ,y=ρsinθ代入上式,得x2=4y,所以曲线C的直角坐标方程为x2=4y.(2)将直线l的参数方程代入x2=4y,得t2sin2θ-4tcos θ-4=0,设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=,t1t2=-,所以|AB|=|t1-t2|=-==,∵0<θ<π,∴当θ=时,|AB|取最小值4.9.(2016辽宁五校协作体联考,23)已知在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为-(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ2-4ρcosθ=0.(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;(2)设点P是曲线C上的一个动点,求它到直线l的距离d的取值范围.解析(1)直线l的参数方程为-(t为参数),将t=x+3代入y=t,得直线l的普通方程为x-y+3=0.曲线C的极坐标方程为ρ2-4ρcosθ=0,将x=ρcosθ,ρ2=x2+y2代入即得曲线C的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4.(2)设点P(2+2cos θ,2sinθ),θ∈R,则d=-=,∵θ∈R,∴d的取值范围是-.B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:40分时间:40分钟)解答题(每小题10分,共50分)1.(2018河南百校联盟12月联考,22)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为-(t为参数).以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C2:ρ=2sin.(1)求曲线C1的普通方程及C2的直角坐标方程;(2)设P(k,2k),若曲线C1与C2只有一个公共点Q(Q与P不重合),求|PQ|.解析(1)由-(t为参数)消去参数t得曲线C1的普通方程为x+y-3k=0.由ρ=2sin可得ρ2=2ρsinθ+2ρcosθ,由ρ2=x2+y2,ρcosθ=x,ρsinθ=y得C2的直角坐标方程为x2+y2-2x-2y=0.(2)曲线C1为直线,曲线C2表示以C2(1,1)为圆心,为半径的圆,若曲线C1与C2只有一个公共点Q,则圆心C2(1,1)到直线x+y-3k=0的距离为,即-=,解得k=0或k=.当k=0时,P,Q重合于点(0,0),不满足题意,舍去.当k=时,P的坐标为,易知点P在直线C1上,|PC2|=--=.所以|PQ|=-=.2.(2017豫北名校联盟联考,22)在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数).(1)求曲线C的普通方程;(2)经过点M(2,1)(平面直角坐标系xOy中的点)作直线l交曲线C于A,B两点,若M恰好为线段AB的三等分点,求直线l的斜率. 解析(1)由曲线C的参数方程得(θ为参数),所以曲线C的普通方程为+=1.(2)设直线l的倾斜角为θ1,则直线l的参数方程为(t为参数).代入曲线C的普通方程,得(cos2θ1+4sin2θ1)t2+(4cos θ1+8sin θ1)t-8=0,设A,B对应的参数分别为t1,t2,所以--由题意可知t1=-2t2.所以12sin2θ1+16sin θ1cos θ1+3cos2θ1=0,即12tan2θ1+16tan θ1+3=0.解得tan θ1=-.所以直线l的斜率为-.3.(2017河北衡水中学二调,22)已知直线l:(t为参数),曲线C1:(θ为参数).(1)设l与C1相交于A,B两点,求|AB|;(2)若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的,纵坐标压缩为原来的,得到曲线C2,设点P是曲线C2上的一个动点,求它到直线l的距离的最小值. 解析(1)l的普通方程为y=(x-1),C1的普通方程为x2+y2=1,联立得方程组-解得或-所以l与C1的交点为A(1,0),B-,所以|AB|=---=1.(2)由题意知C2的参数方程为(θ为参数),所以点P的坐标是,从而点P到直线l的距离d=--=-,因此当sin-=-1时,d取得最小值且最小值为(-1).4.(2016广东肇庆三模,23)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ-4=0.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程;(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).解析(1)由曲线C1的参数方程为(t为参数),可得C1的普通方程为y2=x,将代入上式整理得ρsin2θ=cosθ,即C1的极坐标方程为ρsin2θ-cos θ=0.(2)将曲线C2的极坐标方程ρ2+2ρcosθ-4=0化为直角坐标方程为x2+y2+2x-4=0,将y2=x代入上式得x2+3x-4=0,解得x=1或x=-4(舍去),当x=1时,y=±1,所以C1与C2交点的平面直角坐标为A(1,1),B(1,-1),∵ρA==,ρB==,tan θA=1,tan θB=-1,ρ≥0,0≤θ<2π,∴θA=,θB=.故C1与C2交点的极坐标为,.C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 极坐标方程与直角坐标方程的互化方法1.(2018湖北八校12月联考,22)已知曲线C的极坐标方程为ρ2=,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系.(1)求曲线C的普通方程;(2)A,B为曲线C上两点,若OA⊥OB,求+的值.解析(1)由ρ2=得ρ2cos2θ+9ρ2sin2θ=9,将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入得曲线C的普通方程是+y2=1.(2)因为ρ2=,所以=+sin2θ,设A(ρ1,α),由OA⊥OB知B点的坐标可设为,所以+=+=+sin2α++cos2α=+1=.2.(2017四川广安等四市一模,22)在平面直角坐标系中,曲线C1:(α为参数)经过伸缩变换后的曲线为C2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C2的极坐标方程;(2)设曲线C3的极坐标方程为ρsin-=1,且曲线C3与曲线C2相交于P,Q两点,求|PQ|的值.解析(1)由题意得曲线C2的参数方程为(α为参数),则曲线C2的直角坐标方程为(x'-1)2+y'2=1,所以曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosα.(2)由(1)知曲线C2是以(1,0)为圆心,1为半径的圆,易知曲线C3的直角坐标方程为x-表示直线,所以曲线C2的圆心(1,0)到直线C3的距离d=--=,所以|PQ|=2-=3.(2017山西太原一模,22)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为其中φ为参数,曲线C2:x2+y2-2y=0,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,射线l:θ=α(ρ≥0)与曲线C1,C2分别交于点A,B(均异于原点O).(1)求曲线C1,C2的极坐标方程;(2)当0<α<时,求|OA|2+|OB|2的取值范围.解析(1)C1的普通方程为+y2=1,C1的极坐标方程为ρ2cos2θ+2ρ2sin2θ-2=0,C2的极坐标方程为ρ=2sinθ.(2)联立θ=α(ρ≥0)与C1的极坐标方程得|OA|2=,联立θ=α(ρ≥0)与C2的极坐标方程得|OB|2=4sin2α,则|OA|2+|OB|2=+4sin2α=+4(1+sin2α)-4.令t=1+sin2α,则|OA|2+|OB|2=+4t-4,当0<α<时,t∈(1,2).设f(t)=+4t-4,易得f(t)在(1,2)上单调递增,∴|OA|2+|OB|2∈(2,5).方法2 参数方程与普通方程的互化方法4.(2017江西南昌十校二模,22)已知曲线C的极坐标方程是ρ=2,以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线l的参数方程为(t为参数).(1)写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程;(2)设曲线C经过伸缩变换得到曲线C',过点F(,0)作倾斜角为60°的直线交曲线C'于A,B两点,求|FA|·|FB|.解析(1)直线l的普通方程为2曲线C的直角坐标方程为x2+y2=4.(2)∵∴C'的直角坐标方程为+y2=1.易知直线AB的参数方程为(t为参数).将直线AB的参数方程代入+y2=1,得t2+则t1·t2=-,∴|FA|·|FB|=|t1·t2|=.方法3 与参数方程有关问题的求解方法5.(2018四川成都七中一诊,22)已知曲线C:(α为参数)和定点A(0,),F1、F2是此曲线的左、右焦点,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求直线AF2的极坐标方程;(2)经过点F1且与直线AF2垂直的直线l交此圆锥曲线于M、N两点,求|MF1|-|NF1|的值.解析(1)可化为+=1,表示椭圆,焦点为F1(-1,0)和F2(1,0).经过A(0,)和F2(1,0)的直线方程为x+=1,即x+y-=0,∴极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=.(2)由(1)知,直线AF2的斜率为-,因为l⊥AF2,所以l的斜率为,∴l的倾斜角为30°,∴l的参数方程为-(t为参数),将其代入椭圆C的直角坐标方程,整理得13t2-12t-36=0. ∵M,N在点F1的两侧,∴|MF1|-|NF1|=|t1+t2|=.。
2019版高考数学(文科)B版(课标3卷地区通用)课件 第十五章 坐标系与参数方程
线l与☉O交于A,B两点. (1)求α的取值范围;
(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.
解析 本题考查参数方程与普通方程的互化、直线与圆的位置关系. (1)☉O的直角坐标方程为x2+y2=1.
2 当α≠ 时,记tan α=k,则l的方程为y=kx- 2 . 2
当α= 时,l与☉O交于两点.
2
又点P的坐标(x,y)满足
y
x t P cos α, 2 t P sin α,
所以点P的轨迹的参数方程是
2 sin 2α, x 3 . 2 α为参数, α 4 4 y 2 2 cos 2α 2 2
4(2cos α sin α ) ,故2cos α+sin α=0,于是直线l的斜率k=tan α=-2. 1 3cos 2 α
注:因为在教材中,参数方程与普通方程对应,极坐标方程与直角坐标方程对应,所以本题中的 “直角坐标方程”更改为“普通方程”更合适.
方法总结 以角θ为参数的参数方程,一般利用三角函数的平方关系sin2θ+cos2θ=1化为普通方
经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;
4 时,l2与C2没有公共点. 当k= 3 4 |x|+2. 综上,所求C1的方程为y=- 3
k 2 1
3
方法技巧 极坐标方程与直角坐标方程互化的技巧: (1)巧用极坐标方程两边同乘ρ或同时平方的技巧,将极坐标方程构造成含有ρcos θ,ρsin θ,ρ2的
思路分析 (1)将☉O的参数方程化为普通方程→分直线斜率存在与不存在两种 情况讨论→由点到直线的距离公式
得到关于斜率的不等式→得出斜率的取值范围,进而得
到倾斜角的取值范围 (2)利用中点坐标公式建立A、B、P坐标的关系,即可求P的轨迹方程. 易错警示 容易忽略直线斜率不存在的情形,求倾斜角时要注意斜率是否存在.
2019年高考数学(文)考试大纲解读：专题06 平面解析几何-含解析
（四）平面解析几何初步1.直线与方程（1）在平面直角坐标系中,结合具体图形,确定直线位置的几何要素.（2）理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式.（3）能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.（4）掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系.（5）能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.（6）掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.3.空间直角坐标系（1）了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标表示点的位置.（2）会推导空间两点间的距离公式.（十五）圆锥曲线与方程（1）了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.（2）掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.（3）了解双曲线、抛物线的定义、几何图形和标准方程,知道它们的简单几何性质.（4）理解数形结合的思想.（5）了解圆锥曲线的简单应用.预计2019年的高考中，对平面解析几何部分的考查总体保持稳定，其考查情况的预测如下： 直线和圆的方程问题单独考查的几率很小，多作为条件和圆锥曲线结合起来进行命题；直线与圆的位置关系是命题的热点，需给予重视，试题多以选择题或填空题的形式命制，难度中等及偏下.样题4 （2018浙江）已知点P (0，1)，椭圆24x +y 2=m (m >1)上两点A ，B 满足AP =2PB ，则当m =___________时，点B 横坐标的绝对值最大． 【答案】5【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由2AP PB =得122x x -=，，所以，因为A ，B 在椭圆上，所以，，所以，所以224x +，与对应相减得234my +=，，当且仅当5m =时取最大值．【名师点睛】解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.样题5 （2018新课标全国Ⅱ文科）双曲线A ．y =B ．y =C ．2y x =±D ．y = 【答案】A样题6 （2018新课标全国Ⅲ文科）已知双曲线则点(4,0)到C 的渐近线的距离为A B ．2C ．2D ．【答案】D 【解析】，1ba∴=，所以双曲线C 的渐近线方程为0x y ±=，所以点(4,0)到渐近线的距离，故选D ．考向三 直线与圆锥曲线样题7 （2017新课标全国II 文科）过抛物线2:4C y x =的焦点F ，C 于点M （M在x 轴的上方），l 为C 的准线，点N 在l 上且MN l ⊥，则M 到直线NF 的距离为A B ．C ．D ．【答案】C样题8 （2018新课标全国Ⅱ文科）设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =． （1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程． 【答案】（1）y =x –1；（2）或．【解析】（1）由题意得F （1，0），l 的方程为y =k （x –1）（k >0）． 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．由2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩得．，故．所以．由题设知22448k k +=，解得k =–1（舍去），k =1． 因此l 的方程为y =x –1．（2）由（1）得AB 的中点坐标为（3，2），所以AB 的垂直平分线方程为，即5y x =-+．设所求圆的圆心坐标为（x 0，y 0），则解得0032x y =⎧⎨=⎩，或00116.x y =⎧⎨=-⎩，因此所求圆的方程为或．样题9 （2017新课标全国Ⅰ文科）设A ，B 为曲线C ：y =24x 上两点，A 与B 的横坐标之和为4．（1）求直线AB 的斜率；（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．【解析】（1）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则12x x ≠，2114x y =，2224x y =，x 1+x 2=4，于是直线AB 的斜率．【名师点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系，主要利用根与系数的关系：因为直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用根与系数的关系及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题、弦长问题，可用根与系数的关系直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．考向四 圆锥曲线的其他综合问题样题10 （2018新课标全国Ⅲ文科）已知斜率为k 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点．线段AB 的中点为．（1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且．证明：．【答案】（1）见解析；（2）见解析.（2）由题意得F （1，0）．设33()P x y ，， 则．由（1）及题设得，．又点P 在C 上，所以34m =， 从而3(1)2P -，，3||=2FP uu r ． 于是，同理2||=22xFB -uu r ，所以，故．样题11 设椭圆的右焦点为1F 1F 且与x 轴垂直的直线（1）求椭圆C 的方程；（2）若24y x =上存在两点M N 、，椭圆C 上存在两个点P Q 、满足： 1P Q F 、、三点共线，1M N F 、、三点共线且PQ MN ⊥，求四边形PMQN 的面积的最小值.（2）当直线MN 的斜率不存在时，直线PQ 的斜率为0，此时；当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为，联立24y x =，得，设,M N 的横坐标分别为,M N x x ，则，∴MN =，由PQ MN ⊥可得直线PQ 的方程为，联立椭圆C 的方程，消去y ，得，设,P Q 的横坐标分别为,P Q x x ，则P Q x x ∴，,令，则，综上，.。
2019届文理通用高考数学大二轮复习第1部分专题8选考系列第1讲坐标系与参数方程讲义
(3)直线 经过点 P0(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线的参数方程是xy＝ ＝xy00＋ ＋ttcsionsαα，， 其中 t 是 参数．
5．直线参数方程中参数 t 的几何意义 过定点 M0(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线的参数方程为xy＝ ＝xy00＋ ＋ttcsionsαα， (t 为参数) ①. 通常称①为直线 l 的参数方程的“标准式”，其中参数 t 的几何意义是：|t|是直 线上任一点 M(x，y)到 M0(x0，y0)的距离，即|M0M|＝|t|. 当 0<α<π 时，sinα>0，所以，直线 l 的单位方向向量 e 的方向总是向上．此时， 若 t>0，则M→0M的方向向上；若 t<0，则M→0M的方向向下；若 t＝0，则点 M 与点 M0 重合，即当点 M 在 M0 上方时，有 t＝|M→0M|；当点 M 在 M0 下方时，有 t＝－|M→0M|.
(1)M 为曲线 C1 上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点 P 的轨迹 C2 的直角坐标方程；
(2)设点 A 的极坐标为(2，π3)，点 B 在曲线 C2 上，求△OAB 面积的最大值．
[解析] 设 P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)． 由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝co4sθ. 由|OM|·|OP|＝16 得 C2 的极坐标方程为 ρ＝4cosθ(ρ>0)． 因此 C2 的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)． (2)设点 B 的极坐标为(ρB，α)(ρB>0)． 由题设知|OA|＝2，ρB＝4cosα，于是△OAB 的面积 S＝12|OA|·ρB·sin∠AOB＝
[解析] (1)直线 l 的参数方程为xy＝ ＝tm，t (t 为参数)，普通方程为 y＝mx，圆 C
专题21 坐标系与参数方程(教学案) 2019年高考数学(文科)考纲解读与热点难点突破Word版含解析
【2019年高考考纲解读】高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程、参数方程与普通方程的互化、常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用．以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线的位置关系等解析几何知识． 【重点、难点剖析】 1．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx x2．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． 几个特殊位置的直线的极坐标方程 (1)直线过极点：θ＝α；(2)直线过点M (a,0)(a >0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ； (3)直线过M ⎝⎛⎭⎫b ，π2且平行于极轴：ρsin θ＝b . 3．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆方程为： ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0. 几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ； (2)当圆心位于M (r,0)，半径为r ：ρ＝2r cos θ； (3)当圆心位于M ⎝⎛⎭⎫r ，π2，半径为r ：ρ＝2r sin θ. (4)圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数，0≤θ≤2π)．圆心在点A (ρ0，θ0)，半径为r 的圆的方程为r 2＝ρ2＋ρ20－2ρρ0cos(θ－θ0)．4．直线的参数方程经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．设P 是直线上的任一点，则t 表示有向线段P 0P →的数量． 5．圆的参数方程圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数，0≤θ≤2π)．6．圆锥曲线的参数方程(1)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)．(2)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sec θ，y ＝b tan θ(θ为参数)．(3)抛物线y 2＝2px (p >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数). 【题型示例】题型一 极坐标方程和参数方程【例1】(2018·全国Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为y ＝k |x |＋2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0. (1)求C 2的直角坐标方程；【思路方法】(1)先列方程，再进一步转化为参数方程． (2)解出交点，再求得直线方程，最后转化为极坐标方程．【解析】(1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C 上的点(x ，y )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1. 由x 21＋y 21＝1，得x 2＋⎝⎛⎭⎫y 22＝1， 即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.故C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝2sin t(t 为参数)．【感悟提升】若极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴正半轴重合，两坐标系的长度单位相同，则极坐标方程与直角坐标方程可以互化．求解与极坐标方程有关的问题时，可以转化为熟悉的直角坐标方程求解．若最终结果要求用极坐标表示，则需将直角坐标转化为极坐标． 题型二 参数方程与普通方程的互化【例2】(2018·全国Ⅲ)在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点． (1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程．【解析】 (1)⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1. 当α＝π2时，l 与⊙O 交于两点．当α≠π2时，记tan α＝k ，则l 的方程为y ＝kx － 2.l 与⊙O 交于两点当且仅当|2|1＋k 2<1，解得k <－1或k >1，即α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4或α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2. 综上，α的取值范围是⎝⎛⎭⎫π4，3π4. (2)l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin α⎝⎛⎭⎫t 为参数，π4<α<3π4. 设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ， 则t P ＝t A ＋t B2，且t A ，t B 满足t 2－22t sin α＋1＝0.于是t A ＋t B ＝22sin α，t P ＝2sin α.又点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎨⎧x ＝t P cos α，y ＝－2＋t P sin α，所以点P 的轨迹的参数方程是⎩⎨⎧x ＝22sin 2α，y ＝－22－22cos 2α⎝⎛⎭⎫α为参数，π4<α<3π4.【感悟提升】(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有代入消参法、加减消参法、平方消参法等．(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解、漏解，若x ，y 有范围限制，要标出x ，y 的取值范围．【变式探究】 【2017·江苏】[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面坐标系中xOy 中,已知直线l 的参考方程为x 82t ty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),曲线C的参数方程为22,x s y ⎧=⎪⎨=⎪⎩(s 为参数).设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值.【解析】直线l 的普通方程为. 因为点P 在曲线C 上，设，从而点P 到直线l 的的距离，当s =min d =. 因此当点P 的坐标为()4,4时，曲线C 上点P 到直线l的距离取到最小值5. 【考点】参数方程化普通方程【变式探究】在直角坐标系x O y 中,曲线C 1的参数方程为（t 为参数,a ＞0）．在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2：ρ=4cos θ.（I ）说明C 1是哪一种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程；（II ）直线C 3的极坐标方程为0θα=,其中0α满足tan 0α=2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a ． 【答案】（I ）圆,（II ）1【解析】解：（Ⅰ）消去参数t 得到1C 的普通方程.1C 是以)1,0(为圆心，a 为半径的圆.将代入1C 的普通方程中，得到1C 的极坐标方程为.（Ⅱ）曲线21,C C 的公共点的极坐标满足方程组若0≠ρ，由方程组得，由已知2tan =θ，可得，从而012=-a ，解得1-=a （舍去），1=a .1=a 时，极点也为21,C C 的公共点，在3C 上.所以1=a .【变式探究】在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．【变式探究】在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，M 是C 1上的动点，P点满足OP →＝2OM →，点P 的轨迹为曲线C 2. (1)求C 2的方程；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求AB .【解析】(1)设P (x ，y )，则由条件知M ⎝⎛⎭⎫x 2，y 2，由于M 点在C 1上，所以⎩⎨⎧x2＝2cos α，y2＝2＋2sin α，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α. 从而C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α(α为参数)．(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ.射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π3，射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π3.所以AB ＝|ρ2－ρ1|＝2 3.【规律方法】解决这类问题一般有两种思路，一是将极坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的直角坐标，再将其化为极坐标；二是将曲线的极坐标方程联立，根据限制条件求出极坐标．要注意题目所给的限制条件及隐含条件．【变式探究】将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C . (1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．解 (1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为C 上点(x ，y )，依题意，得1,2,x x y y =⎧⎨=⎩由x 21＋y 21＝1得x 2＋⎝⎛⎭⎫y 22＝1，即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.故C 的参数方程为cos 2sin x t y t =⎧⎨=⎩(t 为参数)．(2)由解得：1,0x y =⎧⎨=⎩或0,2.x y =⎧⎨=⎩。
2019年高考全国Ⅰ卷坐标系与参数方程试题评析和备考建议
容易消去, 曲线 C 的参数方程源于课本, 高于课本.
课本习题 4 (选修 4-4《坐标系与参数方程》第 28 页 x2 y2
例 1) 在椭圆 + = 1 上求一点 M , 使点 M 到直线 94
x + 2y − 10 = 0 的距离最小, 并求出最小距离.
在高考试题 1 中, 如果求出了曲线 C 和直线 l 的直角坐
分考生把 l 的直角坐标方程写成了 3x + 2y + 11 = 0 或 √
2x − 3y + 1 = 0 等形式, 说明了有些考生存在“公式不熟,
记忆混乱, 粗心大意, 快速解答, 不懂检验”等问题.
2. 高考试题 1 第 (1) 问求曲线 C 的直角坐标方程.
解法 2.1 (利用完全平方公式, 平方相加消去参数, 求曲
y=
1 + t2 4t
(t 为参
1 + t2
数), 以坐标原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标
√ 系, 直线 l 的极坐标方程为 2ρ cos θ + 3ρ sin θ + 11 = 0.
(1) 求 C 和 l 的直角坐标方程;
(2) 求 C 上的点到 l 距离的最小值.
课本习题 1 (选修 4-4《坐标系与参数方程》第 15 页习
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中学数学研究
2019 年第 9 期 (上)
2019 年高考全国 I 卷坐标系与参数方程试题评析和备考建议
广东省云浮市郁南县西江中学 (527199) 刘龙标
坐标系与参数方程模块是高中数学的选修内容, 在高
考全国 I 卷的数学卷中有 1 道选做题, 分值 10 分, 广东约有
90% 的考生是选做这一道题的. 下面结合笔者的教学经验,
【2019版课标版】高考数学文科精品课件第十五章 坐标系与参数方程
第十五章坐标系与参数方程命题探究解答过程(1)曲线C的普通方程为+y2=1.当a=-1时,直线l的普通方程为x+4y-3=0.由-解得或从而C与l的交点坐标为(3,0),-.(2)直线l的普通方程为x+4y-a-4=0,故C上的点(3cosθ,sinθ)到l的距离d=--.当a≥-4时,d的最大值为.由题设得=,所以a=8;当a<-4时,d的最大值为.由题设得=,所以a=-16.综上,a=8或a=-16考纲解读分析解读坐标系与参数方程是高考数学的选考内容,重点考查直线与圆的极坐标方程,极坐标与直角坐标的互化;直线、圆与椭圆的参数方程以及参数方程与普通方程的互化.本章在高考中以极坐标方程(参数方程)为载体,考查直线与圆、圆锥曲线的位置关系等知识,分值约为10分,属中档题.五年高考考点一坐标系与极坐标1.(2017北京,11,5分)在极坐标系中,点A在圆ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0上,点P的坐标为(1,0),则|AP|的最小值为.答案12.(2017天津,11,5分)在极坐标系中,直线4ρcos-+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为.答案23.(2017课标全国Ⅱ,22,10分)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4.(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|·|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;(2)设点A的极坐标为,点B在曲线C2上,求△OAB面积的最大值.解析(1)设P的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),M的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0).由题设知|OP|=ρ,|OM|=ρ1=.由|OM|·|OP|=16得C2的极坐标方程ρ=4cosθ(ρ>0).因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x≠0).(2)设点B的极坐标为(ρB,α)(ρB>0).由题设知|OA|=2,ρB=4cosα,于是△OAB面积S=|OA|·ρB·sin∠AOB=4cosα·-=2--≤2+.当α=-时,S取得最大值2+.所以△OAB面积的最大值为2+.4.(2016课标全国Ⅱ,23,10分)在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.(1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;(2)直线l的参数方程是(t为参数),l与C交于A,B两点,|AB|=,求l的斜率.解析(1)由x=ρcosθ,y=ρsinθ可得圆C的极坐标方程ρ2+12ρcosθ+11=0.(3分)(2)在(1)中建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为θ=α(ρ∈R).(4分)设A,B所对应的极径分别为ρ1,ρ2,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2+12ρcosα+11=0.于是ρ1+ρ2=-12cosα,ρ1ρ2=11.(6分)|AB|=|ρ1-ρ2|=-=-.(8分)由|AB|=得cos2α=,tanα=±.(9分)所以l的斜率为或-.(10分)5.(2015课标Ⅰ,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C1,C2的极坐标方程;(2)若直线C3的极坐标方程为θ=(ρ∈R),设C2与C3的交点为M,N,求△C2MN的面积.解析(1)因为x=ρcosθ,y=ρsinθ,所以C1的极坐标方程为ρcosθ=-2,C2的极坐标方程为ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0.(5分)(2)将θ=代入ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0,得ρ2-3ρ+4=0,解得ρ1=2,ρ2=.故ρ1-ρ2=,即|MN|=.由于C2的半径为1,所以△C2MN的面积为.(10分)教师用书专用(6—21)6.(2014安徽,4,5分)以平面直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l的参数方程是-(t为参数),圆C的极坐标方程是ρ=4cosθ,则直线l被圆C截得的弦长为()A. B.2C. D.2答案 D7.(2014江西,11(2),5分)(坐标系与参数方程选做题)若以直角坐标系的原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,则线段y=1-x(0≤x ≤1)的极坐标方程为( )A.ρ=,0≤θ≤B.ρ=,0≤θ≤C.ρ=cos θ+sin θ,0≤θ≤D.ρ=cos θ+sin θ,0≤θ≤答案 A8.(2013安徽,7,5分)在极坐标系中,圆ρ=2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( ) A.θ=0(ρ∈R)和ρcos θ=2 B.θ= (ρ∈R)和ρcos θ=2 C.θ= (ρ∈R)和ρcos θ=1 D.θ=0(ρ∈R)和ρcos θ=1答案 B9.(2016北京,11,5分)在极坐标系中,直线ρcos θ- ρsin θ-1=0与圆ρ=2cos θ交于A,B 两点,则|AB|= .答案 210.(2015湖南,12,5分)在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C 的极坐标方程为ρ=2sin θ,则曲线C 的直角坐标方程为 . 答案 x 2+y 2-2y=011.(2015广东,14,5分)(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C 1的极坐标方程为ρ(cos θ+sin θ)=-2,曲线C 2的参数方程为(t 为参数),则C 1与C 2交点的直角坐标为 .答案 (2,-4)12.(2014湖南,11,5分)在平面直角坐标系中,倾斜角为的直线l 与曲线C: (α为参数)交于A,B 两点,且|AB|=2,以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线l 的极坐标方程是 . 答案 ρcos=113.(2014重庆,15,5分)已知直线l 的参数方程为 (t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ-4cos θ=0(ρ≥0,0≤θ<2π),则直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ= . 答案14.(2014广东,14,5分)(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,曲线C 1和C 2的方程分别为ρsin 2θ=cos θ和ρsin θ=1.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线C 1和C 2交点的直角坐标为 .答案 (1,1)15.(2014天津,13,5分)在以O 为极点的极坐标系中,圆ρ=4sin θ和直线ρsin θ=a 相交于A,B 两点.若△AOB 是等边三角形,则a 的值为 . 答案 316.(2013北京,9,5分)在极坐标系中,点 到直线ρsin θ=2的距离等于 . 答案 117.(2013湖北,16,5分)(选修4—4:坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy 中,椭圆C 的参数方程为(φ为参数,a>b>0),在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴)中,直线l 与圆O 的极坐标方程分别为ρsin=m(m 为非零常数)与ρ=b.若直线l 经过椭圆C 的焦点,且与圆O 相切,则椭圆C 的离心率为 .答案18.(2013广东,14,5分)(坐标系与参数方程选做题)已知曲线C的参数方程为(t为参数),C在点(1,1)处的切线为l.以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l的极坐标方程为.答案ρcosθ+ρsinθ=219.(2014辽宁,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C.(1)写出C的参数方程;(2)设直线l:2x+y-2=0与C的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.解析(1)设(x1,y1)为圆上的点,在已知变换下变为C上点(x,y),依题意,得由+=1得x2+=1,即曲线C的方程为x2+=1.故C的参数方程为(t为参数).(2)由-解得或不妨设P1(1,0),P2(0,2),则线段P1P2的中点坐标为,所求直线斜率为k=,于是所求直线方程为y-1=-,化为极坐标方程,并整理得2ρcosθ-4ρsinθ=-3,即ρ=-.20.(2013课标全国Ⅰ,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程;(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).解析(1)将消去参数t,化为普通方程(x-4)2+(y-5)2=25,即C1:x2+y2-8x-10y+16=0.将代入x2+y2-8x-10y+16=0得ρ2-8ρcosθ-10ρsinθ+16=0.所以C1的极坐标方程为ρ2-8ρcosθ-10ρsinθ+16=0.(2)C2的普通方程为x2+y2-2y=0.由---解得或所以C1与C2交点的极坐标分别为,.21.(2013辽宁,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆C1,直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ,ρcos-=2.(1)求C1与C2交点的极坐标;(2)设P为C1的圆心,Q为C1与C2交点连线的中点.已知直线PQ的参数方程为(t∈R为参数),求a,b的值.解析(1)圆C1的直角坐标方程为x2+(y-2)2=4,直线C2的直角坐标方程为x+y-4=0.解--得所以C1与C2交点的极坐标为,.(6分)注:极坐标系下点的表示不唯一.(2)由(1)可得,P点与Q点的直角坐标分别为(0,2),(1,3).故直线PQ的直角坐标方程为x-y+2=0.由参数方程可得y=x-+1,所以-解得a=-1,b=2.(10分)考点二参数方程1.(2017江苏,21C,10分)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的参数方程为(s为参数).设P为曲线C上的动点,求点P到直线l的距离的最小值.解析直线l的普通方程为x-2y+8=0.因为点P在曲线C上,设P(2s2,2s),从而点P到直线l的距离d=-=-.当s=时,dmin=.因此当点P的坐标为(4,4)时,曲线C上点P到直线l的距离取到最小值.2.(2016课标全国Ⅲ,23,10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数).以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin=2.(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程;(2)设点P在C1上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.解析(1)C1的普通方程为+y2=1.C2的直角坐标方程为x+y-4=0.(5分)(2)由题意,可设点P的直角坐标为(cosα,sinα).因为C2是直线,所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值,d(α)==3-2.(8分)当且仅当α=2kπ+(k∈Z)时,d(α)取得最小值,最小值为,此时P的直角坐标为.(10分)3.(2015陕西,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数).以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,☉C的极坐标方程为ρ=2sinθ.(1)写出☉C的直角坐标方程;(2)P为直线l上一动点,当P到圆心C的距离最小时,求P的直角坐标.解析(1)由ρ=2sinθ,得ρ2=2ρsinθ,从而有x2+y2=2所以x2+(y-)2=3.(2)设P,又C(0,),则|PC|=-=,故当t=0时,|PC|取得最小值,此时,P点的直角坐标为(3,0).4.(2014课标Ⅰ,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线C:+=1,直线l:(t为参数).(1)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程;(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.解析(1)曲线C的参数方程为(θ为参数).直线l的普通方程为2x+y-6=0.(2)曲线C上任意一点P(2cosθ,3sinθ)到l的距离为d=|4cosθ+3sinθ-6|.则|PA|==|5sin(θ+α)-6|,其中α为锐角,且tanα=.当sin(θ+α)=-1时,|PA|取得最大值,最大值为.当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小值,最小值为.5.(2013课标全国Ⅱ,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程已知动点P,Q都在曲线C:(t为参数)上,对应参数分别为t=α与t=2α(0<α<2π),M为PQ的中点.(1)求M的轨迹的参数方程;(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点.解析(1)依题意有P(2cosα,2sinα),Q(2cos2α,2sin2α),因此M(cosα+cos2α,sinα+sin2α).M的轨迹的参数方程为(α为参数,0<α<2π).(2)M点到坐标原点的距离d==(0<α<2π).当α=π时,d=0,故M的轨迹过坐标原点.教师用书专用(6—13)6.(2014北京,3,5分)曲线(θ为参数)的对称中心()A.在直线y=2x上B.在直线y=-2x上C.在直线y=x-1上D.在直线y=x+1上答案B7.(2014湖北,16,5分)选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是ρ=2,则C1与C2交点的直角坐标为.答案(,1)8.(2013湖南,9,5分)在平面直角坐标系xOy中,若直线l:-(t为参数)过椭圆C:(φ为参数)的右顶点,则常数a的值为.答案39.(2013陕西,15C,5分)(坐标系与参数方程选做题)如图,以过原点的直线的倾斜角θ为参数,则圆x2+y2-x=0的参数方程为.答案(θ为参数)10.(2016江苏,21C,10分)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为(t为参数),椭圆C的参数方程为(θ为参数).设直线l 与椭圆C相交于A,B两点,求线段AB的长.解析椭圆C的普通方程为x2+=1.将直线l的参数方程代入x2+=1,得+=1,即7t2+16t=0,解得t1=0,t2=-.所以AB=|t-t2|=.111.(2014福建,21(2),7分)选修4—4:坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为-(t为参数),圆C的参数方程为(θ为参数).(1)求直线l和圆C的普通方程;(2)若直线l与圆C有公共点,求实数a的取值范围.解析(1)直线l的普通方程为2x-y-2a=0,圆C的普通方程为x2+y2=16.(2)因为直线l与圆C有公共点,故圆C的圆心到直线l的距离d=≤4,解得-2≤a≤212.(2014江苏,21C,10分)选修4—4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为(t为参数),直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,求线段AB的长.解析将直线l的参数方程代入抛物线方程y2=4x,得=4,解得t=0,t2=-8.1所以AB=|t-t2|=8.113.(2013福建,21(2),7分)选修4—4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点A的极坐标为,直线l的极坐标方程为ρcos-=a,且点A 在直线l上.(1)求a的值及直线l的直角坐标方程;(2)圆C的参数方程为(α为参数),试判断直线l与圆C的位置关系.解析(1)由点A在直线ρcos-=a上,可得a=.所以直线l的方程可化为ρcosθ+ρsinθ=2,从而直线l的直角坐标方程为x+y-2=0.(2)由已知得圆C的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,所以圆C的圆心为(1,0),半径r=1,因为圆心C到直线l的距离d==<1,所以直线l与圆C相交.三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一坐标系与极坐标1.(2018四川南充模拟,22)在极坐标系中,已知直线l的极坐标方程为ρsin=1,圆C的圆心是C,半径为1,求:(1)圆C的极坐标方程;(2)直线l被圆C所截得的弦长.解析(1)因为圆C的圆心是C,半径为1,所以转化成直角坐标为C,半径为1,所以圆的方程为-+-=1,转化成极坐标方程为ρ2-ρcosθ-ρsinθ=0.(2)已知直线l的极坐标方程为ρsin=1,所以ρ=1,即x+y-=0.直线l的方程为x+y-=0,圆心C满足直线的方程,所以直线经过圆心,所以直线l被圆C所截得的弦为圆的直径.由于圆的半径为1,所以所截得的弦长为2.2.(2018四川德阳模拟,22)已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ.以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是(t为参数).(1)将曲线C的极坐标方程化成直角坐标方程,将直线l的参数方程化成普通方程;(2)当m=0时,直线l与曲线C异于原点O的交点为A,直线ρ=-与曲线C异于原点O的交点为B,求三角形AOB的面积.解析(1)曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ.转化为直角坐标方程为x2+y2=4x.直线l的参数方程为(t为参数),转化为直角坐标方程为y=x-m.(2)当m=0时,A,B,所以S△=×2×2sin=+1.AOB3.(2017安徽合肥二模,22)在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ.(1)求出圆C的直角坐标方程;(2)已知圆C与x轴交于A,B两点,直线l:y=2x关于点M(0,m)(m≠0)对称的直线为l',若直线l'上存在点P使得∠APB=90°,求实数m的最大值.解析(1)由ρ=4cosθ得ρ2=4ρcosθ,故x2+y2-4x=0,即圆C的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4.(2)l:y=2x关于点M(0,m)的对称直线l'的方程为y=2x+2m,易知AB为圆C的直径,故直线l'上存在点P使得∠APB=90°的充要条件是直线l'与圆C有公共点,故≤2,于是,实数m的最大值为4.(人教A选4—4,一,1-3,5,变式)在极坐标系中,曲线C:ρ=4acosθ(a>0),直线l:ρcos-=4,C与l有且只有一个公共点.(1)求a的值;(2)若O为极点,A,B为曲线C上的两点,且∠AOB=,求|OA|+|OB|的最大值.解析(1)曲线C的直角坐标方程为(x-2a)2+y2=4a2(a>0),曲线C表示以(2a,0)为圆心,2a为半径的圆.l的直角坐标方程为x+y-8=0.由题意知直线l与圆C相切,则-=2a,解得a=(舍负).(2)不妨设A的极角为θ,B的极角为θ+,则|OA|+|OB|=cosθ+cos=8cosθ-sinθ=cos,所以当θ=-时,|OA|+|OB|取得最大值,为.考点二参数方程5.(2018四川达州模拟,22)在直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,以x轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l:(t为参数),曲线C的极坐标方程是ρ2-6ρcosθ+1=0,l与C相交于A、B两点.(1)求l的普通方程和C的直角坐标方程;(2)已知M(0,-1),求|MA|·|MB|的值.解析(1)直线l的参数方程为(t为参数),转化为直角坐标方程为x-y-1=0.曲线C的极坐标方程是ρ2-6ρcosθ+1=0,转化为直角坐标方程为x2+y2-6x+1=0.(2)把直线l的参数方程(t为参数)代入x2+y2-6x+1=0,得到t2-4t+2=0,A点对应的参数为t1,B点对应的参数为t2,则|MA|·|MB|=|t·t2|=2.16.(2018广东茂名模拟,22)在平面直角坐标系中,直线l的参数方程为(t为参数),以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=asinθ(a≠0).(1)求圆C的直角坐标方程与直线l的普通方程;(2)设直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的倍,求a的值.解析(1)直线l的参数方程为(t为参数),消去参数t,可得4x+3y-8=0.由圆C的极坐标方程为ρ=asinθ(a≠0),可得ρ2=aρsinθ,根据ρsinθ=y,ρ2=x2+y2,可得圆C的直角坐标方程为x2+y2-ay=0,即x2+-=.(2)由(1)可知圆C的圆心为,半径r=,直线方程为4x+3y-8=0,圆心到直线l的距离d=-=-,直线l截圆C的弦长为=2-,解得a=32或a=,故得直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的倍时,a的值为32或.7.(2017河北石家庄二中3月模拟,22)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1和C2的参数方程分别是(t是参数)和(φ为参数).以原点O 为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的极坐标方程;(2)射线OM:θ=α∈与曲线C1的交点为O,P,与曲线C2的交点为O,Q,求|OP|·|OQ|的最大值.解析(1)C1的普通方程为y2=4x,C2的极坐标方程为ρ=2sinθ.(2)由(1)可得C1的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ,与直线θ=α联立可得:ρ=,即OP=,同理可得OQ=2sinα.所以|OP|·|OQ|==,令f(α)=,易知f(α)在α∈上单调递减,所以(|OP|·|OQ|)max==8.B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:40分时间:35分钟)解答题(共40分)1.(2018辽宁鞍山一模,22)在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C1:+=1,以平面直角坐标系xOy的原点O为极点,x轴正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系.已知直线l:ρ(2cosθ-sinθ)=6.(1)试写出直线l的直角坐标方程和曲线C1的参数方程;(2)在曲线C1上求一点P,使点P到直线l的距离最大,并求出此最大值.解析(1)曲线C1:+=1,设θ为参数,令x=cosθ,y=2sinθ,则曲线C1的参数方程为(θ为参数).又直线l:ρ(2cosθ-sinθ)=6,即2ρcosθ-ρsinθ-6=0,化为直角坐标方程是2x-y-6=0.(2)设P(cosθ,2sinθ),则P到直线l的距离d=--=-,∴cos=-1,即P-时,点P到直线l的距离最大,最大值为=2.2.(2018四川绵阳模拟,22)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程是(α为参数),以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C的极坐标方程;(2)设l1:θ=,l2:θ=,若l1,l2与曲线C分别交于异于原点的A,B两点,求△AOB的面积.解析(1)∵曲线C的参数方程是(α为参数),∴将C的参数方程化为普通方程为(x-3)2+(y-4)2=25,即x2+y2-6x-8y=0.(2分)∴C的极坐标方程为ρ=6cosθ+8sinθ.(4分)(2)把θ=代入ρ=6cosθ+8sinθ,得ρ1=4+3∴A.(6分)把θ=代入ρ=6cosθ+8sinθ,得ρ=3+4,2∴B.(8分)∴S△AOB=ρ1ρ2sin∠AOB=×(4+3(3+4-=12+.(10分)3.(2017福建泉州二模,22)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),在以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,圆C的方程为ρ=4cosθ.(1)求l的普通方程和圆C的直角坐标方程;(2)当φ∈(0,π)时,l与C相交于P,Q两点,求|PQ|的最小值.解析(1)由直线l的参数方程(t为参数),消去参数t,得(x-3)sinφ-(y-1)cosφ=0,即直线l的普通方程为xsinφ-ycosφ+cosφ-3sinφ=0.由圆C的极坐标方程ρ=4cosθ,得ρ2-4ρcosθ=0(*).将代入(*)得,x2+y2-4x=0.即圆C的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4.(2)将直线l的参数方程代入(x-2)2+y2=4,得t2+2(cosφ+sinφ)t-2=0.设P,Q两点对应的参数分别为t,t2,1则t+t2=-2(cosφ+sinφ),t1t2=-2.1所以|PQ|=|t-t2|1=-·=2=2因为φ∈(0,π),所以2φ∈(0,2π),所以当φ=,即sin2φ=-1时,|PQ|取得最小值2.4.(2017河南洛阳一模,22)在直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为(φ为参数),以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求圆C的普通方程;(2)直线l的极坐标方程是2ρsin=5,射线OM:θ=与圆C的交点为O,P,与直线l的交点为Q,求线段PQ的长.解析(1)因为圆C的参数方程为(φ为参数),所以圆心C的坐标为(0,2),半径为2,圆C的普通方程为x2+(y-2)2=4.(2)将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入x2+(y-2)2=4,得圆C的极坐标方程为ρ=4sinθ.设P(ρ1,θ1),则由解得ρ1=2,θ1=.设Q(ρ2,θ2),则由解得ρ2=5,θ2=.所以|PQ|=3.C组2016—2018年模拟·方法题组方法1极坐标方程与直角坐标方程的互化方法1.(2018四川德阳模拟,22)已知极坐标系的极点为平面直角坐标系xOy的原点,极轴为x轴的正半轴,两种坐标系中的长度单位相同,曲线C的参数方程为(α为参数),直线l过点(-1,0),且斜率为,射线OM的极坐标方程为θ=.(1)求曲线C和直线l的极坐标方程;(2)已知射线OM与曲线C的交点为O,P,与直线l的交点为Q,求线段PQ的长.解析(1)∵曲线C的参数方程为(α为参数),∴曲线C的普通方程为(x+1)2+(y-1)2=2,将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入整理得ρ+2cosθ-2sinθ=0,即曲线C的极坐标方程为ρ=2sin-.∵直线l过点(-1,0),且斜率为,∴直线l的方程为y=(x+1),∴直线l的极坐标方程为ρcosθ-2ρsinθ+1=0.(2)当θ=时,|OP|=2sin-=2,|OQ|==,故线段PQ的长为2-=.2.(2018四川凉山州模拟,22)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴非负半轴为极轴)中,圆C的方程为ρ=6sinθ.(1)求圆C的直角坐标方程;(2)若点P(1,2),设圆C与直线l交于点A,B,求证:|PA|×|PB|为定值.解析(1)圆C的方程为ρ=6sinθ,转化为直角坐标方程为x2+y2-6y=0.(2)证明:点P(1,2),圆C与直线l交于点A,B,把直线l的参数方程(t为参数)代入x2+y2-6y=0中,整理得t2+2(cosα-sinα)t-7=0,设t1和t2分别为A和B对应的参数,则t1·t2=-7(定值),故|PA|×|PB|=|t1·t2|=7为定值.3.(2017山西太原一模,22)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为其中φ为参数,曲线C2:x2+y2-2y=0,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,射线l:θ=α(ρ≥0)与曲线C1,C2分别交于点A,B(均异于原点O).(1)求曲线C1,C2的极坐标方程;(2)当0<α<时,求|OA|2+|OB|2的取值范围.的普通方程为+y2=1,解析(1)C1C1的极坐标方程为ρ2cos2θ+2ρ2sin2θ-2=0,C2的极坐标方程为ρ=2sinθ.(2)联立θ=α(ρ≥0)与C1的极坐标方程得|OA|2=,的极坐标方程得|OB|2=4sin2α,联立θ=α(ρ≥0)与C2则|OA|2+|OB|2=+4sin2α=+4(1+sin2α)-4.令t=1+sin2α,则|OA|2+|OB|2=+4t-4,当0<α<时,t∈(1,2).设f(t)=+4t-4,易得f(t)在(1,2)上单调递增,∴|OA|2+|OB|2∈(2,5).方法2参数方程与普通方程的互化方法4.(2018湖北荆州一模,22)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为-(α为参数).(1)求曲线C的普通方程;(2)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线l的方程为ρsin-+=0,已知直线l与曲线C相交于A、B两点,求|AB|.解析(1)曲线C的参数方程为-(α为参数),sinα=,cosα=-,普通方程为+-=1,化简得x2+y2=2.(2)由ρsin-+=0,知ρ(cosθ-sinθ)+=0,化为普通方程为x-y+=0,圆心到直线l的距离d=,由垂径定理得|AB|=.5.(2018河南郑州质检,22)在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(α为参数),在以原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线l 的极坐标方程为ρsin-=.(1)求曲线C的普通方程和直线l的倾斜角;(2)设点P(0,2),l和C交于A,B两点,求|PA|+|PB|.解析(1)由(α为参数)消去参数α,得+y2=1,即曲线C的普通方程为+y2=1,由ρsin-=,得ρsinθ-ρcosθ=2,①将代入①得y=x+2,所以直线l的倾斜角为.(2)由(1)知,点P(0,2)在直线l上,可设直线l的参数方程为(t为参数),即(t为参数),将其代入+y2=1并化简得5t2+18t+27=0,Δ=(18)2-4×5×27=108>0.设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=-<0,t1t2=>0,所以t1<0,t2<0,所以|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=.6.(2017湖南长郡中学六模,22)已知曲线C1:(t为参数),C2:(θ为参数).(1)化C1,C2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;(2)若C1上的点P对应的参数为t=,Q为C2上的动点,求PQ的中点M到直线C3:(t为参数)距离的最小值.解析(1)C1:(x+4)2+(y-3)2=1,C2:+=1,C1表示圆心是(-4,3),半径是1的圆,C2表示中心是坐标原点,焦点在x轴上,长半轴长是8,短半轴长是3的椭圆. (2)当t=时,P(-4,4),又Q(8cosθ,3sinθ),故M-,又C3的普通方程为x-2y-7=0,则M到C3的距离d=|4cosθ-3sinθ-13|=|3sinθ-4cosθ+13|=|5(sinθ-φ)+13|其中φ满足tanφ=,所以d的最小值为.。
2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题21坐标系与参数方程教学案(文科)含解析
坐标系与参数方程【2019年高考考纲解读】高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程、参数方程与普通方程的互化、常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用．以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线的位置关系等解析几何知识． 【重点、难点剖析】 1．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x x2．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． 几个特殊位置的直线的极坐标方程 (1)直线过极点：θ＝α；(2)直线过点M (a,0)(a >0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ；(3)直线过M ⎝⎛⎭⎪⎫b ，π2且平行于极轴：ρsin θ＝b .3．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆方程为： ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0. 几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；(2)当圆心位于M (r,0)，半径为r ：ρ＝2r cos θ；(3)当圆心位于M ⎝⎛⎭⎪⎫r ，π2，半径为r ：ρ＝2r sin θ.(4)圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数，0≤θ≤2π)．圆心在点A (ρ0，θ0)，半径为r 的圆的方程为r 2＝ρ2＋ρ20－2ρρ0cos(θ－θ0)． 4．直线的参数方程经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．设P 是直线上的任一点，则t 表示有向线段P 0P →的数量． 5．圆的参数方程圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数，0≤θ≤2π)．6．圆锥曲线的参数方程(1)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)．(2)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a sec θ，y ＝b tan θ(θ为参数)．(3)抛物线y2＝2px (p >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数).【题型示例】题型一 极坐标方程和参数方程【例1】(2018·全国Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为y ＝k |x |＋2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0. (1)求C 2的直角坐标方程；【思路方法】(1)先列方程，再进一步转化为参数方程． (2)解出交点，再求得直线方程，最后转化为极坐标方程．【解析】(1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C 上的点(x ，y )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1.由x 21＋y 21＝1，得x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝1，即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.故C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝2sin t(t 为参数)．【感悟提升】若极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴正半轴重合，两坐标系的长度单位相同，则极坐标方程与直角坐标方程可以互化．求解与极坐标方程有关的问题时，可以转化为熟悉的直角坐标方程求解．若最终结果要求用极坐标表示，则需将直角坐标转化为极坐标． 题型二 参数方程与普通方程的互化【例2】(2018·全国Ⅲ)在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点． (1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程．【解析】 (1)⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1. 当α＝π2时，l 与⊙O 交于两点．当α≠π2时，记tan α＝k ，则l 的方程为y ＝kx － 2.l 与⊙O 交于两点当且仅当|2|1＋k 2<1，解得k <－1或k >1，即α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，3π4或α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.综上，α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4.(2)l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin α⎝ ⎛⎭⎪⎫t 为参数，π4<α<3π4. 设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ，则t P ＝t A ＋t B2，且t A ，t B 满足t 2－22t sin α＋1＝0.于是t A ＋t B ＝22sin α，t P ＝2sin α.又点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎨⎧x ＝t P cos α，y ＝－2＋t P sin α，所以点P 的轨迹的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22sin 2α，y ＝－22－22cos 2α⎝⎛⎭⎪⎫α为参数，π4<α<3π4.【感悟提升】(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有代入消参法、加减消参法、平方消参法等．(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解、漏解，若x ，y 有范围限制，要标出x ，y 的取值范围．【变式探究】 【2017·江苏】[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面坐标系中xOy 中,已知直线l 的参考方程为x 82t ty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),曲线C的参数方程为22,x s y ⎧=⎪⎨=⎪⎩(s 为参数).设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值.【答案】5【解析】直线l 的普通方程为. 因为点P 在曲线C 上，设，从而点P 到直线l 的的距离，当s =min d =. 因此当点P 的坐标为()4,4时，曲线C 上点P 到直线l. 【考点】参数方程化普通方程【变式探究】在直角坐标系x O y 中,曲线C 1的参数方程为（t 为参数,a ＞0）．在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2：ρ=4cos θ. （I ）说明C 1是哪一种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程；（II ）直线C 3的极坐标方程为0θα=,其中0α满足tan 0α=2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a ． 【答案】（I ）圆,（II ）1【解析】解：（Ⅰ）消去参数t 得到1C 的普通方程.1C 是以)1,0(为圆心，a 为半径的圆.将代入1C 的普通方程中，得到1C 的极坐标方程为.（Ⅱ）曲线21,C C 的公共点的极坐标满足方程组若0≠ρ，由方程组得，由已知2tan =θ，可得，从而012=-a ，解得1-=a （舍去），1=a .1=a 时，极点也为21,C C 的公共点，在3C 上.所以1=a .【变式探究】在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．【变式探究】在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，M 是C 1上的动点，P 点满足OP →＝2OM →，点P 的轨迹为曲线C 2.(1)求C 2的方程；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求AB .【解析】(1)设P (x ，y )，则由条件知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y2，由于M 点在C 1上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2cos α，y2＝2＋2sin α，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α.从而C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α(α为参数)．(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ.射线θ＝π3与C 1的交点A的极径为ρ1＝4sin π3，射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π3.所以AB ＝|ρ2－ρ1|＝2 3.【规律方法】解决这类问题一般有两种思路，一是将极坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的直角坐标，再将其化为极坐标；二是将曲线的极坐标方程联立，根据限制条件求出极坐标．要注意题目所给的限制条件及隐含条件．【变式探究】将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C . (1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．解 (1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为C 上点(x ，y )，依题意，得1,2,x x y y =⎧⎨=⎩由x 21＋y 21＝1得x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝1，即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.故C 的参数方程为cos 2sin x t y t =⎧⎨=⎩(t 为参数)．(2)由解得：1,0x y =⎧⎨=⎩或0,2.x y =⎧⎨=⎩不妨设P 1(1，0)，P 2(0，2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，所求直线斜率为k ＝12，于是所求直线方程为y －1＝12⎝⎛⎭⎪⎫x －12，化为极坐标方程，并整理得 2ρcos θ－4ρsin θ＝－3， 即ρ＝34sin θ－2cos θ.题型三 极坐标 参数方程及其应用【例3】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t ，y ＝3＋t(t 为参数)，在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线m ：θ＝β(ρ>0)．(1)求C 和l 的极坐标方程；(2)设点A 是m 与C 的一个交点(异于原点)，点B 是m 与l 的交点，求|OA ||OB |的最大值．解 (1)曲线C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，得()ρcos θ－12＋ρ2sin 2θ＝1，化简得C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ. 因为l 的普通方程为x ＋y －4＝0，所以极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ－4＝0， 所以l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2 2. (2)设A (ρ1，β)，B (ρ2，β)， 则|OA ||OB |＝ρ1ρ2＝2cos β·sin β＋cos β4＝12(sin βcos β＋cos 2β)＝24sin ⎝⎛⎭⎪⎫2β＋π4＋14，由射线m 与C ，直线l 相交，则不妨设β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4， 则2β＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，3π4，所以当2β＋π4＝π2，即β＝π8时，|OA ||OB |取得最大值，即⎝⎛⎭⎪⎫|OA ||OB |max＝2＋14. 【感悟提升】 (1)利用参数方程解决问题，要理解参数的几何意义．(2)在解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题时，常常将极坐标方程化为直角坐标方程或将参数方程化为普通方程，有助于认识方程所表示的曲线，从而达到化陌生为熟悉的目的，这是转化与化归思想的应用． 【变式探究】在平面直角坐标系中，以原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(1)若曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝1＋t sin α(α为参数)，求曲线C 1的直角坐标方程和曲线C 2的普通方程；(2)若曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数)，A (0,1)，且曲线C 1与曲线C 2的交点分别为P ，Q ，求1|AP |＋1|AQ |的取值范围． 【解析】 (1)∵ρ＝2cos θ，∴ρ2＝2ρcos θ， 又∵ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，∴曲线C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0， 曲线C 2的普通方程为x 2＋(y －1)2＝t 2.(2)将C 2的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数)代入C 1的方程x 2＋y 2－2x ＝0，得t 2＋(2sin α－2cos α)t＋1＝0.∵Δ＝(2sin α－2cos α)2－4＝8sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4－4>0，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4∈⎝ ⎛⎦⎥⎤22，1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－22∪⎝ ⎛⎦⎥⎤22，1. t 1＋t 2＝－(2sin α－2cos α)＝－22sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4，t 1t 2＝1>0，∵t 1t 2＝1>0，∴t 1，t 2同号，∴|t 1|＋|t 2|＝|t 1＋t 2|. 由点A 在曲线C 2上，根据t 的几何意义，可得 1|PA |＋1|AQ |＝1|t 1|＋1|t 2|＝|t 1|＋|t 2||t 1||t 2| ＝|t 1|＋|t 2||t 1t 2|＝|t 1＋t 2|1＝22⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4∈(2,22]．∴1|PA |＋1|AQ |∈(2,22]． 【变式探究】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为.（1）若a =−1，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到la. 【答案】（1）C 与l 的交点坐标为()3,0， 2124,2525⎛⎫-⎪⎝⎭；（2）8a =或16a =-. 【解析】（1）曲线C 的普通方程为2219x y +=. 当1a =-时，直线l 的普通方程为.由解得3{ 0x y ==或2125{ 2425x y =-=. 从而C 与l 的交点坐标为()3,0， 2124,2525⎛⎫-⎪⎝⎭. （2）直线l 的普通方程为，故C 上的点到l 的距离为.当4a ≥-时， d=8a =； 当4a <-时， d由题设得，所以16a =-.综上， 8a =或16a =-.【变式探究】在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； （Ⅱ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）, l 与C 交于,A B两点，||AB =，求l 的斜率．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）3±. 【解析】（I ）由可得C 的极坐标方程（II ）在（I ）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为由,A B 所对应的极径分别为12,,ρρ将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得于是由||AB =得，所以l的斜率为3或3-. 【变式探究】已知直线l 的参数方程为1,1x t y t =-+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ＞0，3π4＜θ＜5π4，则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为________．解析 直线l 的直角坐标方程为y ＝x ＋2，由ρ2cos 2θ＝4得ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，直角坐标方程为x 2－y 2＝4，把y ＝x ＋2代入双曲线方程解得x ＝－2，因此交点为(－2，0)，其极坐标为(2，π)． 答案 (2，π)【变式探究】已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a －2t ，y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．(1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围．【命题意图】本小题主要考查直线与圆的参数方程等基础知识，意在考查考生的运算求解能力及化归与转化思想．【解题思路】(1)消去参数，即可求出直线l 与圆C 的普通方程．(2)求出圆心的坐标，利用圆心到直线l 的距离不大于半径，得到关于参数a 的不等式，即可求出参数a 的取值范围．【解析】(1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0，圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16.(2)因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4， 解得－25≤a ≤2 5. 【感悟提升】1．将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，常用的消参方法有代入消参、加减消参和三角恒等式消参等，往往需要对参数方程进行变形，为消去参数创造条件．2．在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解． 【变式探究】在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为(t 为参数)．在极坐标系(与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴)中，直线l 的方程为2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝m (m ∈R )． ①求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程；②设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值．。
2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题21坐标系与参数方程教学案文(含解析)
坐标系与参数方程【2019年高考考纲解读】高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程、参数方程与普通方程的互化、常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用．以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线的位置关系等解析几何知识． 【重点、难点剖析】 1．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x x2．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． 几个特殊位置的直线的极坐标方程 (1)直线过极点：θ＝α；(2)直线过点M (a,0)(a >0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ；(3)直线过M ⎝⎛⎭⎪⎫b ，π2且平行于极轴：ρsin θ＝b .3．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆方程为： ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0. 几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；(2)当圆心位于M (r,0)，半径为r ：ρ＝2r cos θ；(3)当圆心位于M ⎝⎛⎭⎪⎫r ，π2，半径为r ：ρ＝2r sin θ.(4)圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数，0≤θ≤2π)．圆心在点A (ρ0，θ0)，半径为r 的圆的方程为r 2＝ρ2＋ρ20－2ρρ0cos(θ－θ0)． 4．直线的参数方程经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．设P 是直线上的任一点，则t 表示有向线段P 0P →的数量． 5．圆的参数方程圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数，0≤θ≤2π)．6．圆锥曲线的参数方程(1)椭圆x 2a ＋y 2b ＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)．(2)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a sec θ，y ＝b tan θ(θ为参数)．(3)抛物线y2＝2px (p >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数).【题型示例】题型一 极坐标方程和参数方程【例1】(2018·全国Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为y ＝k |x |＋2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0. (1)求C 2的直角坐标方程；【思路方法】(1)先列方程，再进一步转化为参数方程． (2)解出交点，再求得直线方程，最后转化为极坐标方程．【解析】(1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C 上的点(x ，y )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1.由x 21＋y 21＝1，得x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝1，即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.故C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝2sin t(t 为参数)．【感悟提升】若极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴正半轴重合，两坐标系的长度单位相同，则极坐标方程与直角坐标方程可以互化．求解与极坐标方程有关的问题时，可以转化为熟悉的直角坐标方程求解．若最终结果要求用极坐标表示，则需将直角坐标转化为极坐标． 题型二 参数方程与普通方程的互化【例2】(2018·全国Ⅲ)在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点． (1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程．【解析】 (1)⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1. 当α＝π2时，l 与⊙O 交于两点．当α≠π2时，记tan α＝k ，则l 的方程为y ＝kx － 2.l 与⊙O 交于两点当且仅当|2|1＋k 2<1，解得k <－1或k >1，即α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，3π4或α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.综上，α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4.(2)l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin α⎝ ⎛⎭⎪⎫t 为参数，π4<α<3π4. 设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ，则t P ＝t A ＋t B2，且t A ，t B 满足t 2－22t sin α＋1＝0.于是t A ＋t B ＝22sin α，t P ＝2sin α.又点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎨⎧x ＝t P cos α，y ＝－2＋t P sin α，所以点P 的轨迹的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22sin 2α，y ＝－22－22cos 2α⎝⎛⎭⎪⎫α为参数，π4<α<3π4.【感悟提升】(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有代入消参法、加减消参法、平方消参法等．(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解、漏解，若x ，y 有范围限制，要标出x ，y 的取值范围．【变式探究】 【2017·江苏】[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面坐标系中xOy 中,已知直线l 的参考方程为x 82t ty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),曲线C的参数方程为22,x s y ⎧=⎪⎨=⎪⎩(s 为参数).设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值.【解析】直线l 的普通方程为. 因为点P 在曲线C 上，设，从而点P 到直线l 的的距离，当s =min d =. 因此当点P 的坐标为()4,4时，曲线C 上点P 到直线l【考点】参数方程化普通方程【变式探究】在直角坐标系x O y 中,曲线C 1的参数方程为（t 为参数,a ＞0）．在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2：ρ=4cos θ. （I ）说明C 1是哪一种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程；（II ）直线C 3的极坐标方程为0θα=,其中0α满足tan 0α=2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a ． 【答案】（I ）圆,（II ）1【解析】解：（Ⅰ）消去参数t 得到1C 的普通方程.1C 是以)1,0(为圆心，a 为半径的圆.将代入1C 的普通方程中，得到1C 的极坐标方程为.（Ⅱ）曲线21,C C 的公共点的极坐标满足方程组若0≠ρ，由方程组得，由已知2tan =θ，可得，从而012=-a ，解得1-=a （舍去），1=a .1=a 时，极点也为21,C C 的公共点，在3C 上.所以1=a .【变式探究】在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．【变式探究】在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，M 是C 1上的动点，P 点满足OP →＝2OM →，点P 的轨迹为曲线C 2.(1)求C 2的方程；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求AB .【解析】(1)设P (x ，y )，则由条件知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y2，由于M 点在C 1上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2cos α，y2＝2＋2sin α，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α.从而C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α(α为参数)．(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ.射线θ＝π3与C 1的交点A的极径为ρ1＝4sin π3，射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π3.所以AB ＝|ρ2－ρ1|＝2 3.【规律方法】解决这类问题一般有两种思路，一是将极坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的直角坐标，再将其化为极坐标；二是将曲线的极坐标方程联立，根据限制条件求出极坐标．要注意题目所给的限制条件及隐含条件．【变式探究】将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C . (1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．解 (1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为C 上点(x ，y )，依题意，得1,2,x x y y =⎧⎨=⎩由x 21＋y 21＝1得x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝1，即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.故C 的参数方程为cos 2sin x t y t =⎧⎨=⎩(t 为参数)．(2)由解得：1,0x y =⎧⎨=⎩或0,2.x y =⎧⎨=⎩不妨设P 1(1，0)，P 2(0，2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，所求直线斜率为k ＝12，于是所求直线方程为y －1＝12⎝⎛⎭⎪⎫x －12，化为极坐标方程，并整理得 2ρcos θ－4ρsin θ＝－3， 即ρ＝34sin θ－2cos θ.题型三 极坐标 参数方程及其应用【例3】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t ，y ＝3＋t(t 为参数)，在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线m ：θ＝β(ρ>0)．(1)求C 和l 的极坐标方程；(2)设点A 是m 与C 的一个交点(异于原点)，点B 是m 与l 的交点，求|OA ||OB |的最大值．解 (1)曲线C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，得()ρcos θ－12＋ρ2sin 2θ＝1，化简得C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ. 因为l 的普通方程为x ＋y －4＝0，所以极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ－4＝0， 所以l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2 2. (2)设A (ρ1，β)，B (ρ2，β)， 则|OA ||OB |＝ρ1ρ2＝2cos β·sin β＋cos β4＝12(sin βcos β＋cos 2β)＝24sin ⎝⎛⎭⎪⎫2β＋π4＋14，由射线m 与C ，直线l 相交，则不妨设β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4， 则2β＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，3π4，所以当2β＋π4＝π2，即β＝π8时，|OA ||OB |取得最大值，即⎝⎛⎭⎪⎫|OA ||OB |max＝2＋14. 【感悟提升】 (1)利用参数方程解决问题，要理解参数的几何意义．(2)在解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题时，常常将极坐标方程化为直角坐标方程或将参数方程化为普通方程，有助于认识方程所表示的曲线，从而达到化陌生为熟悉的目的，这是转化与化归思想的应用． 【变式探究】在平面直角坐标系中，以原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(1)若曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝1＋t sin α(α为参数)，求曲线C 1的直角坐标方程和曲线C 2的普通方程；(2)若曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数)，A (0,1)，且曲线C 1与曲线C 2的交点分别为P ，Q ，求1|AP |＋1|AQ |的取值范围． 【解析】 (1)∵ρ＝2cos θ，∴ρ2＝2ρcos θ， 又∵ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，∴曲线C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0， 曲线C 2的普通方程为x 2＋(y －1)2＝t 2.(2)将C 2的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数)代入C 1的方程x 2＋y 2－2x ＝0，得t 2＋(2sin α－2cos α)t＋1＝0.∵Δ＝(2sin α－2cos α)2－4＝8sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4－4>0，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4∈⎝ ⎛⎦⎥⎤22，1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－22∪⎝ ⎛⎦⎥⎤22，1. t 1＋t 2＝－(2sin α－2cos α)＝－22sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4，t 1t 2＝1>0，∵t 1t 2＝1>0，∴t 1，t 2同号，∴|t 1|＋|t 2|＝|t 1＋t 2|. 由点A 在曲线C 2上，根据t 的几何意义，可得 1|PA |＋1|AQ |＝1|t 1|＋1|t 2|＝|t 1|＋|t 2||t 1||t 2| ＝|t 1|＋|t 2||t 1t 2|＝|t 1＋t 2|1＝22⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4∈(2,22]．∴1|PA |＋1|AQ |∈(2,22]． 【变式探究】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为.（1）若a =−1，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到la. 【答案】（1）C 与l 的交点坐标为()3,0， 2124,2525⎛⎫-⎪⎝⎭；（2）8a =或16a =-. 【解析】（1）曲线C 的普通方程为2219x y +=. 当1a =-时，直线l 的普通方程为.由解得3{ 0x y ==或2125{2425x y =-=. 从而C 与l 的交点坐标为()3,0， 2124,2525⎛⎫-⎪⎝⎭. （2）直线l 的普通方程为，故C 上的点到l 的距离为.当4a ≥-时， d=8a =； 当4a <-时， d由题设得，所以16a =-.综上， 8a =或16a =-.【变式探究】在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； （Ⅱ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）, l 与C 交于,A B两点，||AB =l 的斜率．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【解析】（I ）由可得C 的极坐标方程（II ）在（I ）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为由,A B 所对应的极径分别为12,,ρρ将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得于是由||AB =得，所以l【变式探究】已知直线l 的参数方程为1,1x t y t =-+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ＞0，3π4＜θ＜5π4，则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为________．解析 直线l 的直角坐标方程为y ＝x ＋2，由ρ2cos 2θ＝4得ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，直角坐标方程为x 2－y 2＝4，把y ＝x ＋2代入双曲线方程解得x ＝－2，因此交点为(－2，0)，其极坐标为(2，π)． 答案 (2，π)【变式探究】已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a －2t ，y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．(1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围．【命题意图】本小题主要考查直线与圆的参数方程等基础知识，意在考查考生的运算求解能力及化归与转化思想．【解题思路】(1)消去参数，即可求出直线l 与圆C 的普通方程．(2)求出圆心的坐标，利用圆心到直线l 的距离不大于半径，得到关于参数a 的不等式，即可求出参数a 的取值范围．【解析】(1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0，圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16.(2)因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4， 解得－25≤a ≤2 5. 【感悟提升】1．将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，常用的消参方法有代入消参、加减消参和三角恒等式消参等，往往需要对参数方程进行变形，为消去参数创造条件．2．在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解． 【变式探究】在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为(t 为参数)．在极坐标系(与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴)中，直线l 的方程为2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝m (m ∈R )． ①求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程；②设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值．。
2019年高考(文科)数学真题专题13+坐标系与参数方程
2019年高考（文科）数学真题专题13 坐标系与参数方程1．【2019年高考北京卷文数】已知直线l 的参数方程为13,24x t y t=+=+⎧⎨⎩（t 为参数），则点（1，0）到直线l的距离是 A ．15B ．25C ．45D ．65【答案】D【解析】由题意，可将直线l 化为普通方程：1234x y --=，即()()41320x y ---=，即4320x y -+=，所以点（1，0）到直线l的距离65d ==，故选D ． 【名师点睛】本题考查直线参数方程与普通方程的转化，点到直线的距离，属于容易题，注重基础知识、基本运算能力的考查．2．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为．（1）求C 和l 的直角坐标方程； （2）求C 上的点到l 距离的最小值．【答案】（1）221(1)4y x x +=≠-；l的直角坐标方程为2110x +=；（2．【解析】（1）因为221111t t --<≤+，且()22222222141211y t t x t t ⎛⎫-⎛⎫+=+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+，所以C 的直角坐标方程为221(1)4y x x +=≠-．l的直角坐标方程为2110x ++=．2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，2cos sin 110ρθθ++=（2）由（1）可设C 的参数方程为cos ,2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，ππα-<<）．C 上的点到lπ4cos 11α⎛⎫-+ ⎪=当2π3α=-时，π4cos 113α⎛⎫-+ ⎪⎝⎭取得最小值7，故C 上的点到l．【名师点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题．求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求解问题．3．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P ． （1）当0=3θπ时，求0ρ及l 的极坐标方程； （2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程． 【答案】（1）0ρ=l 的极坐标方程为cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭； （2）4cos ,,42ρθθπ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦π．【解析】（1）因为()00,M ρθ在C 上，当03θπ=时，04sin 3ρπ== 由已知得||||cos23OP OA π==． 设(,)Q ρθ为l 上除P 的任意一点．在Rt OPQ △中，cos ||23OP ρθπ⎛⎫-== ⎪⎝⎭， 经检验，点(2,)3P π在曲线cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭上． 所以，l 的极坐标方程为cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． （2）设(,)P ρθ，在Rt OAP △中，||||cos 4cos ,OP OA θθ== 即 4cos ρθ=．因为P 在线段OM 上，且AP OM ⊥，故θ的取值范围是,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．所以，P 点轨迹的极坐标方程为4cos ,,42ρθθπ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦π．【名师点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型．4．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，)4B π，)4C 3π，(2,)D π，弧»AB ，»BC ，»CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2π，(1,)π，曲线1M 是弧»AB ，曲线2M 是弧»BC ，曲线3M 是弧»CD． （1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||OP =P 的极坐标．【答案】（1）1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，2M 的极坐标方程为π3π2sin 44ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，3M 的极坐标方程为3π2cos π4ρθθ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭．（2）π6⎫⎪⎭或π3⎫⎪⎭或2π3⎫⎪⎭或5π6⎫⎪⎭．【解析】（1）由题设可得，弧»»»,,AB BCCD 所在圆的极坐标方程分别为2cos ρθ=，2sin ρθ=，2cos ρθ=-．所以1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，2M 的极坐标方程为π3π2sin 44ρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，3M 的极坐标方程为3π2cos π4ρθθ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭． （2）设(,)P ρθ，由题设及（1）知若π04θ≤≤，则2cos θ=，解得π6θ=；若π3π44θ≤≤，则2sin θ=π3θ=或2π3θ=；若3ππ4θ≤≤，则2cos θ-=5π6θ=．综上，P 的极坐标为π6⎫⎪⎭或π3⎫⎪⎭或2π3⎫⎪⎭或5π6⎫⎪⎭． 【名师点睛】此题考查了极坐标中过极点的圆的方程，思考量不高，运算量不大，属于中档题．5．【2019年高考江苏卷数学】在极坐标系中，已知两点3,,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭，直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．（1）求A ，B 两点间的距离；（2）求点B 到直线l 的距离．【答案】（12）2．【解析】（1）设极点为O ．在△OAB 中，A （3，4π），B ，2π），由余弦定理，得AB =． （2）因为直线l 的方程为sin()34ρθπ+=，则直线l 过点)2π，倾斜角为34π．又)2B π，所以点B 到直线l 的距离为3sin()242ππ⨯-=． 【名师点睛】本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．。
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选考内容
（一）坐标系与参数方程
1．坐标系
（1）理解坐标系的作用.
（2）了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.
（3）能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.
（4）能在极坐标系中给出简单图形的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.
（5）了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解它们的区别.
2．参数方程
（1）了解参数方程，了解参数的意义.
（2）能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.
（3）了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程.
（4）了解其他摆线的生成过程，了解摆线在实际中的应用，了解摆线在表示行星运动轨道中的作用.
1．从考查题型来看，涉及本知识点的题目主要以选考的方式，在解答题中出现，考查与参数方程、极坐标方程相关的互化与计算
2．从考查内容来看，主要考查：（1）极坐标系中直线和圆的方程；（2）已知直线和圆的参数方程，判断直线和圆的位置关系.
考向一参数方程与普通方程的互化
样题1（2018新课标III 卷文）在平面直角坐标系xOy 中，O ⊙的参数方程为cos sin x y θθ
=⎧⎨=⎩，（θ为参数），过点(
0，且倾斜角为α的直线l 与O ⊙交于A B ，两点．
综上，所求1C 的方程为
． 考向三 极坐标方程与参数方程的综合应用
样题3 已知直线l 的参数方程为
（t 为参数）．在以坐标原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为．
（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；
（2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求OA OB ⋅．
样题4 在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线的极坐标方程为
,过点的直线的参数方程为为参数),直线与曲线相交于两点. (1)写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程;
(2)若
,求的值. 【解析】(1)由
,得, 所以曲线的直角坐标方程为
, 直线的普通方程为.
(2)将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程
中,
得,
设两点对应的参数分别为，
则有,
因为,所以,即,
所以,解之得或(舍去), 所以的值为1.。