极限思想和在数学中的应用

极限思想及其在数学中的应用

摘要：高等数学中极限教学作为重要内容，是高等数学计算分析的基础，也是高等数学问题分析的难题，极限的基本思考都是围绕高等数学计算分析开展的，高等数学中微积分、级数等基础概念和思想都是基于极限思想提出的，以极限作为工具去解决和处理数学问题是一种极其重要的方法。许多学生在学习数列极限时感觉很困难，原因在于数列极限概念很抽象，而且计算也有一定的难度。本文首先阐述极限的定义；接着从数列极限和函数极限两方面分析极限的求解方法；最后指出极限的应用状况，通过这些应用使我们对极限有一个更系统立体的了解。

关键词：极限；求解方法；应用状况

Limit thought and its application in

mathematics

Abstract：Limits in higher mathematics teaching as an important content, is the foundation of higher mathematics calculation and analysis, is also a difficult problem in higher mathematics problem analysis, limit the basic thinking about higher mathematics calculation and analysis, calculus of higher mathematics, series, and other basic concepts and ideas are put forward based on the limit state, in order to limit as a tool to solve and deal with the mathematics problem is a very important method. Many students find it difficult to learn the limit of the sequence because the concept of the limit is abstract and computationally difficult. Firstly, the definition of limit is described. Then the solution method of limit is analyzed from the limit of sequence and the limit of function. Finally, the application of the limit is pointed out. Through these applications, we have a more systematic understanding of the limit.

Key words:limit; Solution method; Application status

目录

一、引言 (1)

（一）选题背景 (1)

（二）研究目的和意义 (1)

二、极限的概念 (1)

（一）数列极限的定义 (1)

（二）函数极限的定义 (2)

1 一元函数极限的定义 (2)

2 多元函数极限的定义 (3)

三、极限的求法 (4)

（一）数列极限的求法 (4)

1 极限定义求法 (4)

2 极限运算法则法 (7)

3 夹逼准则求法 (7)

4 单调有界定理求法 (8)

5 定积分定义法 (8)

6 级数法 (9)

（二）函数极限的求法 (9)

1 一元函数极限的求解方法 (9)

2 多元函数极限的求解方法 (16)

四、极限的应用 (19)

（一）在计算面积中的应用 (19)

（二）在求方程数值解中的应用 (20)

五、结论 (21)

致谢 (23)

一、引言

（一）选题背景

随着对变量间函数关系的不断深化，微积分由此产生。极限是微积分的基础也是微积分中最重要的部分，它描述的是一种趋势，是从数量上描述变量在无限变化过程中的变化趋势。极限思想是微积分的基本思想，微积分作为现代数学的基础，与各类科学问题紧密相关。如：求物体运动的瞬时加速度、求曲线的切线、求函数最大值、最优化问题等。这些问题在十七世纪中期，牛顿和莱布尼茨在前人的基础上，经过不懈努力，创立了微积分。在创立微积分的过程中也产生了一种重要的数学思想——极限思想。微积分的基础和研究工具是极限理论，极限理论的核心是极限概念，因此，搞好极限概念的教学不仅关乎学生数学分析课程的学习，而且关乎学生整个数学生涯的学习。

（二）研究目的和意义

极限是《高等数学》课程中最重要的概念之一极限思想贯穿整个教材，它是微积分的灵魂,《高等数学》课程中的很多概念都是由极限来定义的，因此理解极限思想的内涵和掌握求极限的方法是学习这门课程的基本要求。但是，笔者在教学过程中发现大部分学员往往对求极限这一问题感到束手无策，这一方面是因为求极限的题目类型比较多，求解方法也是因题而异，变化多端；另一方面是因为几乎所有的《高等数学》课程教材没有把求极限的方法进行归纳总结。为了帮助学员掌握求极限的方法并能熟练地求极限，笔者对《高等数学》课程中常用的求极限的方法进行了分析研究，给出了每种方法的注意事项及使用技巧，并对数列极限的应用进行了探讨。

二、极限的概念

在研究极限解法之前，首先我们要清楚极限的定义,这是对极限做进一步深入研究的先决基础。高等数学中，极限主要分为数列极限和函数极限。

（一）数列极限的定义

数列极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的,如我国古代数学家刘徽（公元3世