独立随机变量的中心极限定理
中心极限定理
2 设二维随机变量X,Y)的密度函数为 、 ( 1 p( x,y) = [ϕ1( x,y) +ϕ2 ( x,y)] 2 ,且它们 其中 1( x,y)和ϕ2( x,y)都是二维正态密度函数 ϕ 1 1 对应的二维随机变量的 相关系数为 和− .它们的 3 3 边际密度函数所对应的 随机变量的数学期望都 0 是，
1. 方差都是 (1)求随机变量 和Y的密度函数 X ( x)和pY ( y), 及X和Y X p
. 的相关系数
(2)问X和Y是否独立？ 是否独立？
第四章 1 求特征函数；已知特 . 、求特征函数； 征函数求密度函数
( 4 特征函数的基本性质P201性质 .1.1− 4.1.5) 2、大数定律的一般形式 会判断 .v.序列是否 ； r ( 律 服从大数定律马尔可夫与辛钦大数定 )
解：
i 1 若学生答对第题 ， Xi = i ， 0 若学生答错第题 于是 i 相互独立，且服从二点 ： X 相互独立， 分布： 分布 i i P( Xi = 1) = pi = 1− , P( Xi = 0) = 1− pi = , 100 100 i = 1,2,L,99
Bn =
E Xi − pi
* n
记Bn =
2
∑σ
i =1
n
2 i
Var(Yn ) = ∑σ i
n i =1
n
n Yn − EYn Yn − ∑µi Xi − µi Y = i =1 =∑ = Var(Yn ) Bn i =1 B
n
1 n 2 lim 2 2 ∑∫ ( x-µi ) pi ( x)dx = 0 | x− µi |>τBn n→+∞τ B n i =1 林德贝格条件
P153 6、 14 P164 2、(1)、(1)、 、 8 9 13 18 P182 10、 、 、 、 14 24 38 41 P197 2、、、 4 7 10
统计学中心极限定理
统计学中心极限定理统计学中的中心极限定理是一项非常重要的定理，它在统计学中有着广泛的应用。
该定理的核心思想是，当我们从一个总体中抽取足够多的样本时，样本的均值近似服从正态分布。
本文将介绍中心极限定理的基本概念、原理以及其在实际应用中的重要性。
中心极限定理是统计学中的一项基本理论，它描述了随机现象中大量独立随机变量的和或均值的分布趋于正态分布的规律。
具体来说，假设有一个总体，它的均值为μ，标准差为σ。
我们从这个总体中抽取n个样本，并计算它们的均值。
根据中心极限定理，当样本容量n足够大时，这些样本的均值将近似服从均值为μ，标准差为σ/√n的正态分布。
中心极限定理的原理可以通过数学推导加以解释。
当样本容量n足够大时，由于样本之间是相互独立的，每个样本的随机性质会互相抵消。
根据大数定律，样本的均值将趋于总体的均值。
而由于样本之间的独立性，样本均值的方差将会减小，从而使得样本均值的分布逐渐接近正态分布。
中心极限定理在实际应用中具有重要的意义。
首先，它使得我们能够通过对样本均值的分析来推断总体均值的性质。
例如，我们可以通过抽取一部分样本，计算它们的均值，然后利用中心极限定理来估计总体均值的置信区间。
这在统计推断和参数估计中是非常常见和重要的。
中心极限定理也为假设检验提供了基础。
假设检验是统计学中常用的一种方法，用于判断一个假设是否成立。
通过比较样本均值与总体均值的差异，我们可以利用中心极限定理来计算样本均值的显著性，从而判断总体均值是否与假设值相符。
中心极限定理还为抽样调查和统计模型的建立提供了理论基础。
在抽样调查中，我们通常需要对样本进行统计分析，以了解总体的特征。
中心极限定理告诉我们，只要样本足够大，我们就可以通过样本均值来推断总体均值的分布。
而在统计模型的建立中，中心极限定理也是我们进行参数估计和模型检验的重要工具。
统计学中的中心极限定理是一项重要的定理，它描述了大量独立随机变量的和或均值的分布趋于正态分布的规律。
中心极限定理
中心极限定理中心极限定理（Central Limit Theorems）什么是中心极限定理大数定律揭示了大量随机变量的平均结果，但没有涉及到随机变量的分布的问题。
而中心极限定理说明的是在一定条件下，大量独立随机变量的平均数是以正态分布为极限的。
中心极限定理是概率论中最著名的结果之一。
它提出，大量的独立随机变量之和具有近似于正态的分布。
因此，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释为什么有很多自然群体的经验频率呈现出钟形(即正态)曲线这一事实，因此中心极限定理这个结论使正态分布在数理统计中具有很重要的地位，也使正态分布有了广泛的应用。
中心极限定理的表现形式中心极限定理也有若干个表现形式，这里仅介绍其中四个常用定理：（一）辛钦中心极限定理设随机变量相互独立，服从同一分布且有有限的数学期望a和方差σ2，则随机变量，在n无限增大时，服从参数为a和的正态分布即n→∞时，将该定理应用到抽样调查，就有这样一个结论：如果抽样总体的数学期望a和方差σ2是有限的，无论总体服从什么分布，从中抽取容量为n的样本时，只要n足够大，其样本平均数的分布就趋于数学期望为a，方差为σ2 / n的正态分布。
（二）德莫佛——拉普拉斯中心极限定理设μn是n次独立试验中事件A发生的次数，事件A在每次试验中发生的概率为P，则当n无限大时，频率设μn / n趋于服从参数为的正态分布。
即：该定理是辛钦中心极限定理的特例。
在抽样调查中，不论总体服从什么分布，只要n充分大，那么频率就近似服从正态分布。
（三）李亚普洛夫中心极限定理设是一个相互独立的随机变量序列，它们具有有限的数学期望和方差：。
记，如果能选择这一个正数δ>0，使当n→∞时，，则对任意的x有：该定理的含义是：如果一个量是由大量相互独立的随机因素影响所造成的，而每一个别因素在总影响中所起的作用不很大，则这个量服从或近似服从正态分布。
（四）林德贝尔格定理设是一个相对独立的随机变量序列，它们具有有限的数学期望和方差满足林德贝尔格条件，则当n→∞时，对任意的x，有。
中心极限定理
k 940
k!
0.9379
用Chebyshev 不等式
P
X 6000
1 6
0.01
0.7685
用中心极限定理
P
X 1 6000 6
0.01 0.9624
例2 某车间有200台车床，每台独立工作，开工 率为0.6. 开工时每台耗电量为 r 千瓦. 问供 电所至少要供给这个车间多少电力, 才能以 99.9% 的概率保证这个车间不会因供电不足 而影响生产？
例1 设有一大批种子，其中良种占1/6. 试估计 在任选的6000粒种子中，良种所占比例与 1/6比较上下不超过1%的概率.
解 设 X 表示6000粒种子中的良种数 , 则
X ~ B(6000,1/6) E( X ) 1000, D( X ) 5000
6
X
近似
~N
1000,
5000 6
P
2
即：
n
Xk n
lim P k1
x (x)
n
n
n
即
n
足够大时，k 1
X
k
n
的分布函数近似于
n
标准正态随机变量的分布函数。
n
X k n 近似
k 1
~ N (0,1)
n
n
X k 近似服从 N (n, n 2 )
k 1
定理2 德莫佛 — 拉普拉斯中心极限定理 （DeMoivre-Laplace ）
设 Y n ~ B( n , p) , 0 < p < 1, n = 1,2,…
则对任一实数 x，有 lim P Yn np x n np(1 p)
1
x t2
e 2 dt
统计学中的中心极限定理简介
统计学中的中心极限定理简介统计学是研究数据收集、分析、解释和展示的科学。
在统计学中，有一个非常重要的概念被称为中心极限定理。
中心极限定理不仅为统计推断提供了理论基础，而且在实际应用中也起到了极其重要的作用。
无论是在自然科学、社会科学，还是在工程技术等多个领域，中心极限定理的应用无处不在。
本文将对中心极限定理进行详细介绍，探讨其含义、重要性、应用及相关实例。
中心极限定理的基本概念中心极限定理（Central Limit Theorem, CLT）是指在一定条件下，当样本容量足够大时，不论原始总体分布的形状如何，样本均值的分布趋近于正态分布。
这一定理为我们理解大量独立随机变量之和或者平均值提供了理论依据。
定义及数学表述若(X_1, X_2, , X_n)是来自同一总体的独立同分布随机变量，且它们的期望为()和方差为(^2)，则当样本容量(n)趋近于无穷时，样本均值({X} = _{i=1}^{n} X_i)的标准化形式：[ Z = ]将趋向于标准正态分布，即(N(0, 1))。
换句话说，对于大样本而言，样本均值的分布近似于正态分布，而这正是中心极限定理所要表达的核心内容。
中心极限定理的重要性中心极限定理的重要性体现在以下几个方面。
1. 理论基础作为统计推断的一部分，许多统计方法（如假设检验、置信区间等）都依赖于样本均值的正态性假设。
中心极限定理提供了在什么条件下可以使用正态分布的方法，使得这些统计方法具有更广泛的适用性。
2. 实际应用在实际工作中，我们通常会处理来自不同类型总体的数据。
中心极限定理使得即使底层数据不服从正态分布，我们依然可以使用基于正态分布的方法进行分析，这大大提高了数据分析过程的便利性。
3. 数据分析工具的发展许多现代数据分析工具和软件包都使用了中心极限定理作为其基础，帮助用户进行更精确的数据分析。
例如，在执行回归分析时，许多测试统计量依赖于中心极限定理，使得结果更具可信度。
中心极限定理的条件虽然中心极限定理适用于许多情况，但其成立需要满足一定条件：独立性：样本观测值必须是独立的。
中心极限定理及其应用
中心极限定理及其应用在统计学中，中心极限定理是一个十分重要的理论，它指出，对于任何分布，如果进行足够多次的独立随机实验，那么其各自的样本平均值的分布将变得越来越接近正态分布。
这个定理在实际应用中有着广泛的应用，可以帮助我们更好地理解许多不同领域的现象。
一、中心极限定理的原理首先，我们需要理解中心极限定理的原理。
其基本假设是，我们有一个特定的总体（即一个随机变量的总体），其均值为μ、方差为σ2。
我们对这个总体进行随机抽样实验，每次实验都独立于前一次实验。
如果我们将每次实验的结果加起来，那么总和将逐渐趋近于正态分布。
具体来说，如果我们进行n次实验，每次实验得到的随机变量的分布都相同，且有限，那么这些随机变量的总和的分布将逐渐趋近于正态分布，而随着n的增加，趋近的速度会越来越快。
但是注意：这个定理只适用于样本中的随机变量的数量足够多，而且不能是无限多。
二、中心极限定理的应用中心极限定理在实际应用中有着非常广泛的用途。
它可以帮助我们更好地理解许多不同领域的现象。
1. 物理学在物理学中，中心极限定理可以帮助我们更好地理解热力学的基本原理。
热力学是描述物质在不同状态下的性质的一门学科，其中体积、温度、压力等参数都是连续变化的。
中心极限定理告诉我们，当我们观察足够多个分子时，它们的运动状态将趋向于正态分布，从而使我们更好地理解宏观物理系统的运动规律。
2. 经济学在经济学中，中心极限定理可以帮助我们更好地理解市场的波动。
市场波动是一个复杂而强烈的现象，但中心极限定理告诉我们，当我们对市场涨跌幅进行足够多的抽样时，这些涨跌幅的总和将趋向于正态分布。
这使得经济学家能够更好地预测市场的走向，从而使投资策略更加精细化。
3. 生物学中心极限定理也可以应用于生物学中，帮助我们更好地理解生物群落的变化。
生物群落中的物种数量随着时间或空间的变化而发生变动，并且往往受到众多因素的影响。
中心极限定理告诉我们，当我们对大量的随机抽样进行实验时，这些样本的总数将趋向于正态分布。
统计学中心极限定理
统计学中心极限定理统计学中心极限定理是统计学中一个重要的概念和方法，它是对大数定律的推广和应用。
所谓大数定律是指在一定条件下，大量相互独立的随机变量的平均值趋向于一个确定的常数。
而中心极限定理则是关于随机变量和概率分布的一个定理，它揭示了随机变量和概率分布之间的关系。
中心极限定理的核心思想是，如果一个随机变量是由多个相互独立的随机变量的和或平均值构成的，那么当这些随机变量的数量足够大时，它的分布将逐渐接近于正态分布。
具体来说，中心极限定理分为三种形式：李雅普诺夫型、林德贝格-列维型和费歇尔-拉普拉斯型。
首先是李雅普诺夫型中心极限定理。
该定理是由俄国数学家亚历山大·利亚普诺夫于1901年提出的，它针对独立同分布的随机变量序列。
如果这个序列的方差有限，那么当随机变量的数量足够大时，它们的和的分布将逐渐接近于正态分布。
这个定理在实际应用中非常重要，例如在样本均值的抽样分布中，李雅普诺夫型中心极限定理可以帮助我们进行假设检验和置信区间的计算。
其次是林德贝格-列维型中心极限定理。
该定理由瑞典数学家约瑟夫·林德贝格和法国数学家保罗·列维于1922年独立提出，它针对独立同分布的随机变量序列。
如果这个序列的方差无限大，但是它们的均值的标准差趋向于零，那么当随机变量的数量足够大时，它们的标准化和的分布将逐渐接近于标准正态分布。
林德贝格-列维型中心极限定理在实际应用中常用于描述随机过程的极限行为，例如在金融市场中的股票价格变动。
最后是费歇尔-拉普拉斯型中心极限定理。
该定理由法国数学家西蒙·费歇尔和法国数学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯于1812年独立提出，它针对二项分布的随机变量序列。
如果这个序列的样本容量足够大，那么它的二项分布可以近似为正态分布。
费歇尔-拉普拉斯型中心极限定理在实际应用中常用于二项分布的近似计算，例如在品质控制中的不良品率的估计。
总结来说，统计学中心极限定理是关于随机变量和概率分布之间的一个重要定理。
统计学的中心极限定理
统计学的中心极限定理统计学的中心极限定理（Central Limit Theorem，简称CLT）是统计学中的重要理论之一。
它指出，在一定条件下，当独立同分布的随机变量相互加总时，其和的分布会近似服从正态分布。
本文将详细介绍中心极限定理的基本概念、数学原理以及实际应用。
一、中心极限定理的基本概念中心极限定理是指当样本容量足够大时，无论总体分布是什么样的，样本均值的抽样分布都将近似于正态分布。
简单来说，中心极限定理说明了在很多独立随机变量的加和中，无论这些变量的分布如何，当样本容量足够大时，加和的分布接近于正态分布。
二、中心极限定理的数学原理中心极限定理的数学原理可以用公式表示为：当样本容量n足够大时，样本均值的抽样分布服从均值为总体均值、方差为总体方差除以样本容量的正态分布。
公式中包含了三个重要的概念：样本容量、总体均值和总体方差。
样本容量越大，均值的抽样分布越接近正态分布；总体均值和总体方差则决定了正态分布的位置和形态。
三、中心极限定理的实际应用中心极限定理在实际应用中具有广泛的意义。
首先，该定理提供了一种近似分布的估计方法。
当我们无法得知总体的分布情况时，可以利用中心极限定理，通过样本均值的抽样分布来近似估计总体分布。
其次，中心极限定理为假设检验和置信区间的构建提供了理论依据。
通过对样本均值的抽样分布进行推断，可以进行假设检验判断总体均值是否显著不同，以及构建置信区间来估计总体均值的范围。
此外，中心极限定理还在统计抽样调查、质量控制、金融风险评估等领域得到广泛应用。
通过对样本均值的抽样分布进行分析，可以得出更准确的结论和预测。
总之，统计学的中心极限定理是一项重要的理论，它指出了样本均值的抽样分布会近似服从正态分布。
在实际应用中，中心极限定理为我们提供了一种近似估计、假设检验和置信区间构建的方法。
进一步探究和应用中心极限定理，将有助于我们更好地理解和运用统计学中的相关知识。
5-2中心极限定理
故近似地有
查表得
6000 6000 1 / 6 5 / 6
2.58,
0.0124 .
中心极限定理
§5.2 中心极限定理
李雅普诺夫定理 独立同分布的中心极限定理
德莫佛-拉普拉斯定理
1
中心极限定理
一、中心极限定理 李雅普诺夫(Liapunov)定理
设有独立的随机变量序列X1,X2，…,Xn…, 且有有限
的期望 E( X k ) k，D( X k ) k 0, (k 1,2,)，
V - 20 5 105 - 20 5 P{V 105} P 2 2 20 10 / 12 20 10 / 12 V - 100 P 0.387 1 (0.387) 0.348 20 (10 / 12 )
9
中心极限定理
r 120 ( ) 0.999, 48
r - 120 48 3. 1 ,
所以 r 141.
查表得
即供给141千瓦电就能以99.9%的概率保证这个车 间正常生产。
10
中心极限定理
例2 今从良种率为1/6的种子中任取6000粒，问能以0.99 的概率保证在这6000粒种子中良种所占的比例与1/6的 差的绝对值不超过多少？相应的良种粒数在哪个范围内？ 解 设良种数为X，则X~B(6000,1/6) 设不超过的界限为α，则有 德莫佛-拉普拉斯定理
2
二项分布即可以用帕松分布近似代替，也可用正态 说明 当p很小，n很大时用帕松分布近似代替，p不太 分布近似代替，如何选择？ 接近0或1，n又较大时用此推论计算有关二项分布的
中心极限定理内容
中心极限定理内容
中心极限定理是概率论和统计学中的一个重要定理，它指出，对于一个具有相同分布和有限均值和方差的独立随机变量样本，它们的平均值的分布在样本量足够大时趋近于正态分布。
中心极限定理的含义在于，当样本量增大时，样本均值的变异性逐渐减小，而均值的分布逐渐趋近于一个确定的正态分布。
这一定理充分展示了正态分布作为统计学中常用分布的优越性。
中心极限定理具有广泛的应用，例如在样本比例推断和回归分析中，可以使用中心极限定理来计算样本均值的置信区间和标准误差。
因此，中心极限定理是概率论和统计学中最重要的定理之一，是许多统计学方法的基础。
概率论与数理统计 6.2 中心极限定理
则X～B(n,0.005), 近似地，X ~ N(0.005n,0.005 0.995n)
PX 5 1 PX 5
1
P
X 0.005n
5 0.005n
0.005 0.995n 0.005 0.995n
1
5 0.005n 0.005 0.995n
0.005n 5
0.005
近似地，X ~ N(10000 0.005,10000 0.0050.995)
即 X ~ N(50,49.75), 设死亡人数超过k人的概率小于0.003,
PX k 1 PX k
1
P
X
50
49.75
k 50 49.75
1
k 50 49.75
0.003
k 50 49.75
( x)
2
n
Xi n
定理表明，n足够大时，r.v. i1
近似服从N (0,1)，
n
注意到E n X i n, D n X i n 2 ,
i1
i1
n
从而 X i近似服从 N (n , n 2 ). i 1
中心极限定理是概率论中最重要的一类极限定理，此定 理告诉我们，在一定条件下，相互独立的随机变量之和在个 数很多时近似服从正态分布，揭示了为什么正态分布是最
P( i1 n/3
3n) 2( 3n ) 1
(2)当n 36, 1时， 所求概率为
6
P(
1 36
36 i 1
Xi
a
1) 2(1.732) 1 0.92 6
(3)要求n， 使得
P(
1 n
n i 1
Xi
a
) 2(
3n ) 1 0.95
中心极限定理 考研数学
中心极限定理考研数学摘要：一、中心极限定理的概念1.中心极限定理的定义2.中心极限定理的重要性二、中心极限定理的性质1.独立随机变量序列2.极限分布3.定理的证明三、中心极限定理在考研数学中的应用1.概率论部分的应用2.数理统计部分的应用四、考研数学中中心极限定理的例题解析1.概率论部分的例题解析2.数理统计部分的例题解析正文：中心极限定理是考研数学中一个重要的理论知识点，它涉及到概率论与数理统计部分的内容。
对于准备参加考研的同学来说，深入理解和掌握中心极限定理的概念、性质以及在考研数学中的应用，对于提高考试分数具有关键性的作用。
首先，我们来了解中心极限定理的概念。
中心极限定理是指，当独立随机变量序列的均值为μ，方差为σ^2 时，这些随机变量之和的分布随着序列项数的增大趋近于正态分布。
中心极限定理向我们揭示了，当随机变量序列的项数足够多时，它们的总和的分布趋近于正态分布，而正态分布具有许多重要的性质，这为我们研究和分析大量数据的分布提供了便利。
接下来，我们探讨中心极限定理的性质。
首先，中心极限定理适用于独立随机变量序列。
其次，在这些随机变量序列的均值和方差满足一定条件下，中心极限定理保证了随机变量之和的分布趋近于正态分布。
最后，虽然中心极限定理的证明较为复杂，但它是概率论中一个基本的定理，为我们研究随机变量的性质提供了理论依据。
在考研数学中，中心极限定理在概率论和数理统计部分都有广泛的应用。
在概率论部分，中心极限定理可以帮助我们求解随机变量之和的分布，而在数理统计部分，中心极限定理则可以用来估计总体参数。
因此，掌握中心极限定理对于提高考研数学成绩具有重要意义。
为了更好地理解中心极限定理在考研数学中的应用，我们来看一些例题。
在概率论部分，中心极限定理常常用来求解二项分布、泊松分布等离散型随机变量的和。
而在数理统计部分，中心极限定理则可以用来求解样本均值的分布，以及根据样本均值求解总体参数的估计值。
中心极限定理的公式
中心极限定理（Central Limit Theorem）是概率论中的一条重要定理，它描述了大量独立随机变量的和或平均值的分布趋近于正态分布的现象。
中心极限定理的一般形式可以表示为：
如果有一组独立随机变量X₁, X₂, ..., X n，它们具有相同的分布和期望值μ，方差σ²，则当n趋近于无穷大时，这组随机变量的和（或平均值）的分布趋近于一个正态分布，其均值为nμ，方差为nσ²。
数学公式表示为：
Z = (X₁ + X₂ + ... + X n - nμ) / sqrt(nσ²)
其中Z是一个标准正态分布的随机变量。
这个公式表明，当样本容量足够大时，无论原始随机变量的分布形态如何，样本均值的分布都会趋近于正态分布。
这个定理在统计学和概率论中具有广泛的应用，可以用来推断总体参数、进行假设检验等。
中心极限定理样本均值样本方差
中心极限定理样本均值样本方差中心极限定理是概率统计学中一个重要的定理，它描述了在一定条件下，大量独立同分布随机变量的样本均值的分布近似服从正态分布。
其中，样本均值和样本方差是中心极限定理的关键指标。
本文将对中心极限定理、样本均值和样本方差进行详细的论述。
1. 中心极限定理的概念中心极限定理是概率论和数理统计中的基本理论之一。
它指出，假设X1, X2, ..., Xn是独立同分布的随机变量序列，其期望为μ，方差为σ^2。
当n趋向于无穷大时，这些随机变量的样本均值（即X1+X2+...+Xn)/n）的分布将趋近于一个服从正态分布N(μ, σ^2/n)的随机变量。
换句话说，样本均值的分布会趋近于总体均值，并且方差会趋近于总体方差除以样本容量。
2. 样本均值的意义样本均值是样本中各个观测值的总和除以样本容量n。
在统计学中，样本均值用于估计总体均值。
根据中心极限定理，当样本容量足够大时，样本均值的分布会接近于总体均值。
因此，通过对样本数据进行分析，我们可以近似地推断总体特征，如总体均值。
3. 样本方差的意义样本方差是用于衡量样本数据的离散程度的统计量。
计算样本方差的公式为：(∑(Xi - X)^2)/(n-1)，其中Xi表示第i个观测值，X表示样本均值，n表示样本容量。
样本方差越大，意味着样本数据的离散程度越高。
样本方差的存在使我们能够对总体方差进行估计，并且在推断总体特征时提供了重要的参考依据。
4. 样本均值和样本方差的应用样本均值和样本方差在实际应用中具有广泛的意义。
以市场调研为例，调查员需要对特定人群进行抽样调查，获取样本数据后可以计算样本均值和样本方差来对总体特征进行估计。
又如在生产过程中，检测部门需要对生产批次进行抽样检验，通过计算样本均值和样本方差来评估产品质量的稳定性。
样本均值和样本方差还常用于假设检验、置信区间估计等统计推断的方法中。
总结：通过对中心极限定理、样本均值和样本方差的论述，我们可以了解到它们在统计分析中的重要性。
中心极限定理levy lindeberg
中心极限定理levy lindeberg中心极限定理一、引言中心极限定理是概率论中最重要的定理之一，它描述了大量独立随机变量的和在一定条件下趋向于正态分布。
中心极限定理是概率论和数理统计学中最重要的基本工具之一，它在实际问题中得到广泛应用，如信号处理、金融风险管理、医学统计等领域。
二、定义设$X_1, X_2, ..., X_n$是$n$个相互独立的随机变量，它们具有相同的分布函数$F(x)$和期望值$\mu=E(X_i)$，方差$\sigma^2=Var(X_i)$。
令$S_n=\sum\limits_{i=1}^{n}X_i$，则有：$$\lim_{n \to \infty}P\left(\frac{S_n-n\mu}{\sigma\sqrt{n}} \leqx\right) = \Phi(x)$$其中$\Phi(x)$是标准正态分布函数。
三、证明在证明中心极限定理时，我们需要用到两个重要的引理：Lindeberg-Levy引理和Lindeberg-Feller定理。
1. Lindeberg-Levy引理设$X_1, X_2, ..., X_n$是$n$个相互独立的随机变量，它们具有相同的分布函数$F(x)$和期望值$\mu=E(X_i)$，方差$\sigma^2=Var(X_i)$。
令$S_n=\sum\limits_{i=1}^{n}X_i$，则有：$$\lim_{n \to \infty}\frac{1}{\sigma^2n}\sum_{i=1}^{n}E[(X_i-\mu)^2I(|X_i-\mu|>\epsilon \sigma)] = 0$$其中$I(|X_i-\mu|>\epsilon \sigma)$是指示函数，当$|X_i-\mu|>\epsilon \sigma$时，它的值为1；否则为0。
2. Lindeberg-Feller定理设$X_1, X_2, ..., X_n$是$n$个相互独立的随机变量，它们具有相同的分布函数$F(x)$和期望值$\mu=E(X_i)$，方差$\sigma^2=Var(X_i)$。
概率论-第十六讲--中心极限定理
2
20 600
1
2
0.8165
1
0.5878
例3 检验员逐个检查某产品,每查一个需 用10秒钟. 但有的产品需重复检查一次， 再用去10秒钟. 若产品需重复检查的概率 为 0.5, 求检验员在 8 小时内检查的产品多 于1900个的概率.
解 若在 8 小时内检查的产品多于1900个, 即检查1900个产品所用的时间小于 8 小时.
5000 6 5000 6
2 60 1 0.9624
5000 6
比较几个近似计算的结果
二项分布(精确结果) P X 1 0.01 0.9590
6000 6
中心极限定理
P
X 6000
1 6
0.01
0.9624
Poisson 分布
P
X 6000
1 6
0.01
0.9379
20.747 1 0.494.
第12周 问 题
一本书有 1 000 000 个印刷符号, 排版时每个符号被排错的概率为千分 之一. 校对时, 每个排版错误被改正的 概率为0.99. 求在校对后错误不多于 15 个的概率.
设 Y n ~ B( n , p) , 0 < p < 1, n = 1,2,…
则对任一实数 x，有
lim P Yn np x n np(1 p)
1
x t2
e 2 dt
2
即对任意的 a < b,
lim P a Yn np b
n
np(1 p)
1
b t2
e 2 dt
2 a
则n →∞，有
lim
n
PZn
z
辛钦中心极限定理
辛钦中心极限定理简介在概率论和数理统计中，辛钦中心极限定理（Central Limit Theorem, CLT ）是一个非常重要且普遍适用的定理。
它表明，当独立随机变量的和逐渐增加时，这些随机变量的均值的分布将逐渐接近于一个正态分布。
一、辛钦中心极限定理的表述辛钦中心极限定理的一般表述如下：设X1, X2, …, Xn 是来自于任意分布（均值为μ，方差为σ^2）的独立随机变量序列，令Sn = (X1 + X2 + … + Xn) / √n，则当n 趋向无穷大时，随机变量序列Sn 的极限分布为正态分布N(0,1)，即：lim n→∞P (S n ≤x )=Φ(x )其中，P(Sn ≤ x)表示Sn 的累积分布函数，Φ(x)表示标准正态分布的累积分布函数。
二、辛钦中心极限定理的证明辛钦中心极限定理的证明非常复杂，我们在这里只给出一个简要的概述。
首先，根据独立随机变量的定义，可以得出Sn 的均值和方差分别为：E (S n )=E (X 1+X 2+...+X n )=n ⋅μVar (S n )=Var (X 1+X 2+...+X n )=n ⋅σ2接下来，我们定义一个新的随机变量Yn = (Sn - n·μ) / (σ·√n)，即Yn 为Sn 标准化后的随机变量。
根据标准化的定义，可以得出Yn 的均值和方差分别为：E (Y n )=E (S −nμσ√n )=E (S )−nμσ√n=0 Var (Y n )=Var (S −nμσ√n )=Var (S n )σ2n =nσ2σ2n =1由于Yn 的均值为0，方差为1，根据切比雪夫不等式，可以得出：P (|Y n |≥ϵ)≤1ϵ2 对于任意的ε > 0，当n 趋向无穷大时，P(|Yn| ≥ ε)趋向于0。
根据中心极限定理的定义，我们需要证明当n 趋向无穷大时，P(Sn ≤ x)趋向于Φ(x)，即证明：lim n→∞P (S n ≤x )=Φ(x )通过数学推导和一系列的极限运算，可以得到：P (S n ≤x )=P (S −nμσ√n ≤x −nμσ√n )=P (Y n ≤x −nμσ√n) 当n 趋向无穷大时，根据切比雪夫不等式，上述公式的右侧趋向于Φ(x)。
中心极限定理推导过程
中心极限定理推导过程
中心极限定理是概率论中的一个重要定理，它说明当样本容量很大时，样本均值的分布近似于正态分布。
下面是中心极限定理的推导过程：
假设有一组独立同分布的随机变量 X1, X2, ..., Xn，它们的期望为μ，方差为σ^2。
定义样本均值为：
X_bar = (X1 + X2 + ... + Xn) / n
我们可以计算样本均值的期望和方差：
E(X_bar) = E[(X1 + X2 + ... + Xn) / n] = (E(X1) + E(X2) + ... + E(Xn)) / n = μ
Var(X_bar) = Var[(X1 + X2 + ... + Xn) / n] = (1/n^2) Var(X1 + X2 + ... + Xn) = (σ^2 / n)
根据切比雪夫不等式，对于任意ε > 0，有：
P(|X_bar - μ| ≥ ε) ≤ Var(X_bar) / ε^2 = σ^2 / (n ε^2)
当 n 很大时，右侧的值趋近于 0，所以可以得到：
lim P(|X_bar - μ| ≥ ε) = 0
也就是说，当样本容量很大时，样本均值与总体均值之间的差距会变得很小，即样本均值的分布近似于正态分布。
这就是中心极限定理的推导过程，它揭示了为什么在实际应用中，可以使用正态分布来近似描述很多随机现象。
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３）对每—个固定取值的ｍ。ＩＬ．．１的分布收敛于一个分布函致，，刖ｌ－：｝的分布函数收敛于，．
证明：
令ａ为，的任意—个连续点，任取ｅ＞０．则存在一个足够大的耳。使
将条件②和条件⑥一⑧同时代入式（３）可得出：存在ｎｏ，当一≥ｎｏ时式（２）成立．引理２证毕．
弓ｆ理３：令｛ｋ｝和ｌ—ｌＩｆ为２个趋于无穷大的序列，且Ａ．是由龟。…，气所确定的一个随机事件．Ａ为
万方数据
任—个随机事件，赠有：
Ｕｍ，ｕｐｐ（厶Ｊ五）＝ｌｔｍ．．ｐｐ（Ａ．） 若ｐ（＾）＝Ｏ。筑说ｐ（＾Ｉｌ＾）－－ｐ（Ａ．）．
猜缀定理证明：令，ｋ＝嘉，当％｝ｓ，ｓ嘉肘，，ｋ。；％“＾（，ｋ一，）】，这里用［霉］代劓、于等于＃
的最大整数．
注意：对每—个ｍ。脚都是离散的；Ｏ《～一－ｓ石１；，ｋ．．ｒｎ—上一～＞－． 记：
差哦－＋螋江鼽＋喇．－彘＋（警）晤）＋（每芦）（是）
由文献［２】中的定理２可得出—；警＝墨．．＝ｚ兽。的分布函数对每一个ｍ收敛于尹．从而推出： Ｖ，‘■．ｏ
本文主要研究两两NQD随机变量序列的若干极限性质。首先讨论了关于两两NQD序列的强收敛性，主要通过对随机变量巧妙的截尾和两两NQD列的三级 数定理研究其在一类矩条件下的强极限定理，推广了吴群英的结论；其次，研究了两两NQD阵列加权和的各种收敛性，主要包括行两两NQD阵列加权和最 大值的极限定理和其Jamison型加权和的强收敛性，前者在随机阵列Cesaro一致可积的条件下，借助两两NQD列的Kolmogorov不等式展开，推广了有关 NA列的弱大数律、Lp收敛性等相应结果，后者把两两NQD序列中的部分已知结论在阵列中作了补充说明；最后，利用函数的上可加性给出两两NQD列 Kolmogorov不等式的较一般形式，进而在一类广泛条件下研究了它的三级数定理。
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万方数据
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3.学位论文 王建峰 几类相依随机变量的强极限定理 2006
概率论是从数量上研究随机现象的规律性的学科。它在自然科学、技术科学、管理科学中都有着广泛的应用，因此从上个世纪三十年代以来，发展 甚为迅速，而且不断有新的分支学科涌出。概率极限理论就是其主要分支之一，也是概率统计学科中极为重要的理论基础．前苏联著名概率论学者 Gnedenko和Kolmogrov曾说过：“概率论的认识论的价值只有通过极限定理才能被揭示，没有极限定理就不可能去理解概率论的基本概念的真正含义。 ”关于独立随机变量的经典的概率极限理论在上世纪30年代和40年代已获得完善的发展。其基本结果被总结在Gnedenko和Kolmogorov的专著《相互独立 随机变量和的极限分布》(1954)及Petrov的专著《独立随机变量和的极限定理》(1975)中。
ｌ誓ｎ囊聊｛Ｉ％．／￣厅ｉＩ＞脚）ｔ１．尹（膨）＋中（一盯）
因此ｌ ｚ霉．１符合引理２的条件２）．
同时·当雾ｓ一时·有：
磐ｌ≮＾ｌ＝案一－轭一－
由此可知｛蹭．Ｉ符合引理２的条件１）．易证ＩＺ一（ｔ）．Ｉ符合条件引理２的条件２）．如果能证明
｛苎涪Ｊ满足条件引理２的条件１），剜引理２棘可被用于式（４）巾，且完成定理的证明．
第２ｌ卷 第７期
埘．２ｌ Ｎｏ．７
【数理化科学】
Ｊｏｕｍｄ正重凸庆嘁工Ｉｎ学ｄｔ院 ｍｅ学ｏｆ报Ｔｅ（ｃ自 ｈｎ蛔然（科Ｎｍ学ｕｎｔｄｔ‰）Ｅ赫阻）
∞叮年７月
Ｊｕｌ．２００７
独立随机变量的中心极限定理。
董晴
ａＥ华大学师范理学院。吉林青韩ｔ３２０１３）
Ｃｅｎｔｒａｌ Ｌｉｍｉｔ Ｔｈｅｏｒｅｍｓ ｏｆ Ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ Ｒａｎｄｏｍ Ｖａｒｉａｂｌｅｓ
相似文献(3条)
1.学位论文 李睿 两两NQD随机变量序列的若干极限性质 2007
概率论是有着广泛应用的一门学科，同时也是许多其他学科的理论基础，诸如信息论、数学风险论、保险精算理论等均是建立在概率论基础上的。 众所周知，极限理论一直以来都是概率论研究的核心问题之一，其中关于独立随机变量序列的极限理论已日趋完善，并且得到了许多深刻的结果；但这 些已经无法满足各种实际问题的需要，所以，在五十年代，多种相依变量的概念被相继提出并引起了广大学者的研究兴趣，两两NQD随机变量序列就是其 中最为广泛的一类，它的出现不仅为实际应用提供了理论基础，也给独立随机变量的研究带来了新的途径。因此，进一步研究两两NQD随机变量序列的各 种极限性质仍有重大的科学意义和应用价值。
Ｉｈ＿薯．１９∞（１１）；卯一１０２．
踟ｈ岫．加曲ｄ唪嘲啤蚺ｄ峨ｃＪ】．＾豳脚出．＾一．齄．Ｉｈ畔．１９略（９）：２１５—２鹅．
Ｒｅｉｄ，ｓＬ．Ｉ趟ｈ靠ｈｎｍｏｎｔＵＩ．Ｉ】．Ｐｍｍｈａｌｔｉｃｔ％ｃｅｍｍ－时Ｔｈｅｉｒ却商喊．ｍ·，１奶（１）：曰一鸵。
＾ｍ柚ＢＣ．ＶｉｈｍｍｏｄＡ．Ｔｏｅ＾＿严呻ｔｉｃⅨ啦妇幽瞳０ｓＩｔ＿ｄＲ嗍缸Ｊ】．ｈ蛔硝。１９粥（１）：３．５１一埘．
参考文献(6条) 1.Anscomeb F J Large-sample theory of sequential estimation.Proe 1996 2.Renyi A On the central limit theorem for the sum of a random number of independent random variables 1960(11) 3.Unknown On mixing sequences of sets 1958(09) 4.Resnick S L Limit laws for record values 1973(01) 5.Arnold B C.VillasenorJ A The Asymptotic Distributions of Sums of Records 1998(01) 6.陈希孺 数理统计引论 1981
万方数据
重庆工学院学报
量．
本文中将利用３个引理证明猜想定理内容【ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ一．
割理ｌ：如果Ｘ。ｌ，是随机变量。且６芑Ｏ．刚：Ｐ（葺＋ｌ，ｓ矗一５）一Ｐ（ＩｙＩ＞６）ｓＰ（ｚｓ口）ｓＰ（盖＋ｙ ｓｄ＋６）＋Ｐ（ＩＹＩ＞６）
该结论显然正确。证明略．
引理２：设贩，墨．．．螋：．，ｚ２．是随机变量，其中ｍ，Ｂｔｌ，２，…；，＝ｌ，…Ｉ．如果
④１１．ｍｍｐＰ｛ＩＺ．Ｏ。．－Ｉ＞肘）‘矗。』＝ｌ。…。Ｉ．
⑤肇呷Ｐ｛Ｉ馊．Ｉ＞啬｝ｔ磊小ｌ－．一＾
由条件①和条件③一＠可得，存在某一个特定的点ｎｏ。当ｎ乏ｎｏ时，列：
＠力二：ｐｌＬ．。ｓ口＋毋｝一Ｆ（口＋谚）Ｉ＜·；；
⑦ｅ）ｐｌＩｚ‰Ｉ＞ｕｌ＜磊，』＝１，２·…，Ｉ； ＠ｈ）ｐｌＩ罐７．Ｉ＞肘｝‘轰，ｊ＝ｌｔ２，…，ｌ；
即式（５）等于ｏ，也就是ｌ砖？。｝符合引理２的条件１）。定理证毕．’ 中心极限定理对于独立随机变量的随机指标是有重要意义的．本文中给出了独立随机变量的中心极
限定理的证明。对于这一类随机变量的求解具有重要的意义．
参考文献：
【ｌ】 【２】
＾Ｐ卫．日ｅｍｍ＋由ＡＦ，Ｊ．加Ｕｔｍｈｐｅ－Ⅻ，，出ｄ岫ｎ＿“ｙ ｏⅧｌｍｈ，“ｔ酬ｍ酬ｉ蛔－ｍ—ｈＩ∞岫．ｄ胁ｉ【ｍｌ脚ｅ．ｌ妇ａ曲ｎ嘲ｍｄ彰ｏａｍ商Ⅲｌ油ｉｄ萨ｂ【ｐ确Ｊ峨】１９．蝤＾．ｍ袖．Ｊ嘣．ｓｃｉ
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（２）
成立．设在引理中的ｘ＝％。ｙ丰一耋删。缓．，４＝ｎ。ｂ＝参。对任意的ｍ，ｎ，ａ＞ＯＷ：
ＩＰＩＷ．＜口Ｉ一，（口）ｌ＜ｍ氅．ＩＰＩＸ．．一ｓ４＋毋｝～，（口）Ｉ ４－Ｐ｛Ｉ瘩增－ｚ２－Ｉ＞引ｓ
罂景ｌ，（口＋毋）一，（４）ｌ＋霉暑Ｉ｜ＰＩ墨．－ｓ口＋毋Ｉ一，（口＋毋）ｌ＋，
啪阱嗍旧 晾希薯．置理境计引论［Ｍ】．北京：科学出苴社．１９８１．
（责任埔辑捌舸）
万方数据
独立随机变量的中心极限定理
作者： 作者单位： 刊名：
英文刊名： 年，卷(期)： 引用次数：
董晴， DONG Qing 北华大学,师范理学院,吉林,吉林,132013
重庆工学院学报（自然科学版） JOURNAL OF CHONGQING INSTITUTE OF TECHNOLOGY 2007，21(7) 0次
哑，ｈ严｛，ｃ ２铲ｕｍｓ—Ｉｓ
峄‰南（等…屯各Ｉ坠糍掣ｌ＞ｅ）ｓ
Ｉｊ一～Ｉｔ２一
脚《硒胂Ｌ班．ｍ＜襞ｇｒ＜（ｉｋ＜＋３）２－ｍｌｓ刮＞瓣ｌ譬…嘉扣ｆ譬…嘉｝
其中ｆ＝Ｌｎ（ｋ一３）２。－Ｊ． 由勋Ｉ珊。螂哪不等式得：
ｐ加引一理ｍ３ａ盼Ⅲ应ｘ用嘲表一明Ｉ，刮在，陆紫孵≤｝萋ｓ≠纽》焉｛专｝严ｓｔ＜＝孝毪）≤《竽轰＝ｏ赋式（５）是有弄的，
证明：对固定的｜Ｉｏ和足够大的ｎ·有ｐ（～Ｉ厶）一ｐ（～）ｐ（＾Ｉ）。令厶＝厶一ｐ（厶）．这里，－是屯的
集合特征函敷，显然可得：
璺巴ｐ＜＾Ｉ＾．）一ｐ（＾）ｐ（＾－）＝０
假如ｐ（＾一ｈＯ，列ｐ（Ａ．ｍＡ）一ｐ（＾）—．ｏ，即ＵｍⅢｐｐ（，ｔ．ｍＡ）＝ｌｉ＝ｍｐｐ（Ａ．）如果ｐ（＾）。Ｏ，引理显 然成立．