中考数学 压轴题 河南·专题：二次函数压轴题

∴0＜m＜5.
PE＝－m2＋4m＋5－(－ 3 m＋3)＝－m2＋ 19 m＋2.
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分两种情况讨论：
专题剖析
聚焦河南
①当点E在点F上方时，EF＝－
3 4
m＋3.
∵PE＝5EF，
∴－m2＋ 19 m＋2＝5(－ 3 m＋3)，
4
4
即2m2－17m＋26＝0，
解得m1＝2，m2＝
13 2
(舍去)．
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8
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由－8≤x≤0，知4≤S≤13， ∴S的整数值有10个． 由图象可知，当S＝12时，对应的“好点”有2个， ∴“好点”共有11个．
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1．(2014·河南)如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于
A(－1，0)，B(5，0)两点，直线y＝－
3 4
如图，过点E作EM⊥y轴于点M，
∴△CME∽△COD， ∴CE＝| 5 m|.
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∵PE＝CE，
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类型二 图形判定问题 这类问题通常是先求出二次函数解析式，结合特殊三
角形、四边形的性质与判定，利用数形结合思想，分类讨 论解决图形判定问题．解决这类题目的关键是利用数形结 合思想，注意分类讨论涉及多种情况．
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(3)点P的坐标为P1(－
1 2
，11
4
)，P2(4，5)，P3(3－
11，
2 11 －3)．
提示：∵点E和E′关于直线PC对称，
∴∠E′CP＝∠ECP.
又∵PE∥y轴，
∴∠EPC＝∠E′CP＝∠PCE，
∴PE＝EC.
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又∵CE＝CE′，
∴四边形PECE′为菱形．
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(2)猜想正确．
理由：设P(x，－ 1 x2＋8)，
8
则PF＝8－(－
1 8
x2＋8)＝
1 8
x2.
如图，过点P作PM⊥y轴于点M，则
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(3)“好点”共有11个． 当点P运动时，DE大小不变， ∴PE与PD的和最小时，△PDE的周长最小． ∵PD－PF＝2， ∴PD＝PF＋2. ∴PE＋PD＝PE＋PF＋2， 当P，E，F三点共线时，PE＋PF最小．
x＋3与y轴交于点
C，与x轴交于点D.点P是x轴上方的抛物线上一动点，过点
P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E.设点P的横坐标为m.
(1)求抛物线的解析式；
(2)若PE＝5EF，求m的值；
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(3)若点E′是点E关于直线PC的对称点，是否存在点P，使 点E′落在y轴上？若存在，请直接写出相应的点P的坐标； 若不存在，请说明理由．
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段、面积等关系式，再结合图形的性质与判定解答符合题 意要求的三角形与四边形问题．
河南省中考对此问题的考查：2013年、2014年、2015 年、2016年、2017年中考试题第23题均以解答题的形式考 查了二次函数的综合问题．
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类型一 线段、面积类问题 这类问题通常是先给出二次函数图象经过一些特殊点，
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此时点P，E的横坐标都为－4. 将x＝－4代入y＝－ 1 x2＋8，解得y＝6.
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∴P(－4，6)，此时△PDE的周长最小，且△PDE的面积是
12，点P恰为“好点”．
∴△PDE的周长最小时“好点”的坐标是(－4，6)．
提示：直线ED的解析式是y＝ 3 x＋6，
2
如图，设P(x，－ 1 x2＋8)，N(x， 3 x＋6)，
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例2 (2013·河南)如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与直线
y＝
1 2
x＋2交于C，D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为
(3，7 )，点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x
2
轴于点E，交CD于点F.
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P的横坐标为m，当m为何值时，以O，C，P，F为顶
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解：(1)∵抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)， B(5，0)两点，
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋4x＋5.
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(2)∵点P的横坐标为m，则P(m，－m2＋4m＋5)，
E(m，－
3 4
m＋3)，F(m，0)．
∵点P在x轴上方，要使PE＝5EF，点P应在y轴右侧，
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(3)小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE的面积为整 数”的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使 △PDE的周长最小的点P也是一个“好点”．请直接写出所 有“好点”的个数，并求出△PDE周长最小时“好点”的坐 标．
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【分析】 (1)利用待定系数法求出抛物线解析式即可； (2)首先表示出P，F点坐标，再利用两点之间距离公式得出 PD，PF的长，进而求出即可；(3)根据题意当P，E，F三点 共线时，PE＋PF最小，进而得出P点坐标以及利用△PDE的 面积可以等于4到13之间的所有整数，在面积为12时，a的 值有两个，进而得出答案． 【自主解答】 (1)抛物线的解析式为y＝－ 1 x2＋8.
利用待定系数法求出二次函数解析式，结合二次函数解析式 和一次函数解析式建立有关线段、面积的函数模型，然后根 据函数性质进行求解．解决这类题目的关键是利用数形结合 思想，建立函数模型．
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例1 (2015·河南)如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐 标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点 A，C间的一个动点(含端点)，过点P作PF⊥BC于点F，点D， E的坐标分别为(0，6)，(－4，0)，连接PD，PE，DE. (1)请直接写出抛物线的解析式； (2)小明探究点P的位置发现：当点P与点A或点C重合时，PD 与PF的差为定值．进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差 为定值．请你判断该猜想是否正确，并说明理由；
专题 二次函数压轴题
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二次函数压轴题主要有线段、面积类问题，图形判定问 题，三角形全等、相似类问题等．主要涉及的知识点有：二 次函数、一次函数的图象与性质、三角形、四边形的相关性 质与判定等．基本解题思路为：综合分析题干信息建立函数 模型，求出函数解析式，结合图象中的相关信息求解对应线
点的四边形是平行四边形？请说明理由；
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(3)若存在点P，使∠PCF＝45°，请直接写出相应的点P的 坐标．