期权定价实验报告(E101613109黄冬璇)

广东金融学院实验报告课程名称：金融工程

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B.实验算例

算例：考虑一个不分红利5个月欧式看涨期权：股票价格为50，执行价格为50，无风险利率为10%，波动率为40。试构造二叉树模型，确定期权的价格。

C.实验过程

在Excel 中创建欧式期权表单模型步骤为（将Excel 求解过程和输出结果截图填写在下面）

（1）输入.

在EXCEL 的单元格A4：A9中分别输入“标的资产”、“执行价格”、“波动率”、“到期日”、“无风险利率”和“红利”。其中将期限为5个月的欧式期权的到期日化为单位为年，即为5/12=0.416666667年 ；并且题目中的标的资产的不考虑红利的，所以红利等于0,所以根据题目给出的要求，在对应的单元格B4：B9中分别输入初始值。如下图：

图2-1 欧式看涨期权初始值赋值后的对话框1

（2）欧式看涨期权初始值赋值

假定使用10期的二叉树来计算标的资产的价值，接下来我们可以根据公式t

e

u ∆=σ和t

e

d ∆-=σ来

计算二叉树中的上行和下行的幅度，即u 和d 的值。同时再根据公式d

u d e p t r --=∆计算其风险中性概率。

利用EXCEL 软件来计算，我们可以先在单元格A14：A16分别输入u 、d 和p 。并在对应的单元格中B14：B16中分别输入公式为“=EXP(B6*SQRT(B7/B12))”，“=1/B14”和“=(EXP(B8*B7/B12)-B15)/(B14-B15)”。得到的结果为u 的值为1.085075596及d 的值为0.921594775，p 的值为0.50513928。计算过程和计算结果如下图：

图2-2 u、d和p的计算

图2-3 欧式看涨期权初始值赋值后的对话框2

（3）计算每个节点的股票价格

利用二叉树模型生成每个节点的股票价格。首先，将当前的股票价格输入到单元格D12中，在命令框中输入“=B4”.在单元格E11中，输入公式“=D12*$B$14”，其含义是股票市场初始价格乘以u，生成股票价格上升后的价格。同理，当股票下降的情况下，其股票价格应该为初始价格乘以d，在单元格E13中输入公式“=D12*$B$15”。结果如图：

图2-4 单步二叉树的结果

同样的在单元格F10、F12和F14中分别输入公式“=E11*$B$14”、“=E11*$B$15”和“=E13*$B$15”。后面各列应该输入的公式以此类推，直至将10期所有可能的股票价格节点填满。得到的计算过程和结果如下图：

图2-5 整个二叉树的计算过程

图2-6 整个二叉树的计算结果

（4）计算每个节点上的期权价格

从上图中计算得出每个节点的股票价格，相对应的可以计算出每个节点的期权价格。在这里应运用逐期倒推的方法。

到期日，期权的价格等于股票价格和执行价格之间的差额与0的较大值，即最后一列节点),(j N 的期权价值j N f ,为 N

j X d

Su f j

N j

j N ,,1,0),0,max(,⋅⋅⋅=-=- 。

在图2-6所示的EXCEL 表格中，选中单元格N3，输入EXCEL 公式“=MAX(N2-$B$5,0)”用来显示与单元格N3相对应的欧式看涨期权的价格。类似，低于每一个节点，将其对应的期权价格显示在它下面的一个单元格中。在N 列的其他单位格以此类推，向下填充，直至把每一个节点对应的期权价格填满。其过程如图所示：

图2-7 第10期的期权价格

接下来可以计算M 列（第9期）的股票价格对应的期权价格了。又因为对于无收益的欧式看涨期权，节点（i,j ）的期权价值为

])1([,11,1,j i j i t r j i f p pf e f +++∆--+=；10-≤≤N i ，i j ≤≤0

在单元格M4中的期权的价值依赖于单元格N3和单元格N5，所以单元格N3中认购期权的价格为“=EXP(-$B$8*$B$7/$B$12)*(N3*$B$16+N5*(1-$B$16))”，类似，在N 列其他的股票价格对应的期权价格以此类推，其过程如下图所示：

图2-8 第9期的期权价格

以此规律填充每个节点对应的期权价格，直至填满整个表格，得到最初的欧式看涨期权的价格。计算结果如图：

图2-9 完整的二叉树期权定价模型的股票价格和期权价格的值

由上图可以知道，利用二叉树模型期权定价计算得到欧式看涨期权的理论价格为5.99元。

B.实验算例

算例：已知股票价格为50，欧式看跌期权执行价格为50，到期日为5个月，无风险利率为10%，波动率标准差为0.4。试用有限差分法确定期权的价格。

C.实验过程 在Excel 中创建欧式期权表单模型步骤为（将Excel 求解过程和输出结果截图填写在下面） （1）输入

在EXCEL 的单元格A4：A9中分别输入“期权种类”、“标的资产价格”、“执行价格”、 “期限”、“波动率”和“无风险利率”。其中将期限为5个月的欧式期权的到期日化为单位为年，即为5/12=0.416667年 ；所以根据题目给出的要求，在对应的单元格B4：B9中分别输入初始值。如下图：

图2-10 欧式看跌期权的初始赋值1

（2）有限差分法的初始赋值

首先，从0时刻开始到到期日T 之间的时间分为有限个等间隔的小时间段，设

5

/100.0416670.04212

T t N ∆=

==≈。

保留小数点后两位使得。其中N=10，所以有11个时点。

其次，把资产价格的变化从0到资产的最大值也分成M 个等间隔的小价格段。又因为该标的资产为欧式

看跌期权，所以最大值S max =50，

设M=10，所以有M+1=11个资产价格。其max 50

510

S S M ∆=

==。 因为有限差分法是根据布莱克—舒尔斯—默顿期权定价模型（BSM 模型）的原理来实现的。而BSM 期权定价模型的最基本的基础假设是标准布朗运动。dS Sdt Sdz μσ=+ ①

所以，我们可以进行变量置换，即令Z=lnS ，使得2

ln ()2

dZ d S dt dz σμσ==-

+ ②

由几何布朗运动的性质可知

2

ln ()2

Z S t z

z t

σμσε∆=∆=-∆+∆∆=∆ ③