高中数学 任意角的三角函数

第四章 三角函数——第24课时：任意角的三角函数

1

一．课题：高中数学 任意角的三角函数

二．教学目标：1．掌握角的概念的推广、正角、负角、象限角，终边相同的角的表示， 2．掌握弧度制、弧度与角度的转化关系，扇形面积及弧长公式． 三．教学重点：与α角终边相同的角的公式、弧长公式、扇形面积公式的运用． 四．教学过程： （一）主要知识：

1．角的概念的推广；象限角、轴线角；与α角终边相同的角为2()k k Z πα+∈；

2．角的度量；角度制、弧度制及其换算关系；弧长公式||l r α=、扇形面积公式1

2

S lr =

； 3．任意角的三角函数． （二）主要方法：

1．本节内容大多以选择、填空题形式出现，要重视一些特殊的解题方法，如数形结合法、代入检验法、特殊值法、待定系数法、排除法、另外还需掌握和运用一些基本结论．

（三）例题分析： 例1．若,(0,

)2

π

αβ∈，且sin cos 0αβ-<， 则

（ C ）

()A αβ<

()B αβ>

()C 2

παβ+<

()D 2

παβ+>

例2．（1）如果α是第一象限的角，那么

3α

是第几象限的角？ （2）如果α是第二象限的角，判断sin(cos )

cos(sin )αα的符号．

解：（1）∵22,2

k k k Z π

παπ<<+∈，

∴22,3336

k k k Z παππ<<+∈，

当3()k n n Z =∈时，22,36n n n Z απππ<<+∈，3α

是第一象限的角，

当31()k n n Z =+∈时，2522,336n n n Z παπππ+<<+∈，3α

是第二象限的角，

当32()k n n Z =+∈时，4322,332n n n Z παπππ+<<+∈，3

α

是第三象限的角．

∴3

α

是第一，二，三象限的角． （2）α是第二象限的角，1cos 0α-<<，0sin 1α<<，

sin(cos )0α<，cos(sin )0α>，∴

sin(cos )

0cos(sin )

αα<． 例3．（《高考A 计划》考点24“智能训练第6题”） 已知锐角α终边上的一点P 坐标是

(2sin 2,2cos 2)-，则α= （ C ）

()A 2 ()B 2- ()C 22π- ()D 22

π

-

第四章 三角函数——第24课时：任意角的三角函数

2

例4．扇形AOB 的中心角为2θ，半径为r ，在扇形AOB 中作内切圆1O 及与圆1O 外切，与,OA OB 相切的圆2O ，问sin θ为何值时，圆2O 的面积最大？最大值是多少？ 解：设圆1O 及与圆2O 的半径分别为12,r r ，

则11

1212()sin ()cos()2r r r r r r r θπ

θ-=⎧⎪

⎨+-=-⎪⎩，得112sin 1sin (1sin )1sin r r r r θθθθ⎧

=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩

， ∴122

(1sin )sin (1sin )

1sin (1sin )

r r r θθθθθ--==++， ∵022θπ<<，∴0θπ<<，令sin 1(12)t t θ=+<<， 2222321312()48t t r t t -+-==--+，当134t =，即1sin 3

θ=

时， 圆2O 的半径最大，圆2O 的面积最大，最大面积为

64

π

．

（四）巩固练习：

1．设02θπ≤<，如果sin 0θ<且cos20θ<，则θ的取值范围是

（ D ）

()A 32ππθ<<

()B 322πθπ<< ()C 344ππθ<< ()D 5744

ππ

θ<< 2．已知α的终边经过点(39,2)a a -+，且sin 0,cos 0αα>≤ ，则a 的取值范围是9

(2,]3

-． 3．若sin tan cot ()2

2

π

π

αααα>>-

<<

，则α∈

（ B ）

()A (,)24π

π-

- ()B (,0)4π- ()C (0,)4

π ()D (,)42ππ

五．课后作业：《高考A 计划》考点24，智能训练3，7，9，10，11，12，15，16．