不等式的综合运用
不等式及其基本性质例谈不等式性质的综合运用素材
例谈不等式性质的综合运用不等式是初中数学中的重点内容之一，灵活应用它的相关性质解答问题，是我们必须具备的一项能力，也是进一步学习其它知识的基础，下面举例说明，供同学们参考．一、 巧用不等式意义深化理解例1 已知ax 2-a >3(x-1)是一元一次不等式，求a 的值．析解：由一元一次不等式的定义可知，指数2-a=1,解得a=1∴当a=1时是一元一次不等式例2 已知a >b ，则下列不等式不成立的是（ ）A 、c ＋a >b ＋cB 、－1－3a <－1－3bC 、b －a <0D 、a×c 2>b×c 2析解：∵a >b ，由不等式性质1可知A 正确；由性质3得，－3a <－3b 成立，再由性质1 ∴－1－3a <－1－3b ，B 正确；有性质1得0>b －a 即b －a <0；由c 2可能等于0，因此可能有a×c 2 =b×c 2∴D 不正确二、 活用不等式性质巩固深化例3 已知a =x +2，b =x -1,且a >3>b ，则x 的取值范围是 ( )A ．x >1B ．x <4C ．x >1或x <4D ．1<x <4析解：利用转化的数学思想， 将已知转化为不等式组 x+2>3x -1<3解得：1<x<4 故选D例4. 如果不等式()22m x m ->-的解集为1x <，那么正确的是( )A ．2m ≠B ．2m >C ．2m <D ．m 为任意有理数析解：根据已知解集，结合不等式性质3，可知m －2<0, ∴m<2选C 三、 数形结合形象识别例5 不等式3(x －1)+4≥2x 的解集在数轴上表示为______．A ：B ：C ：D ：析解：解不等式得x ≥-1,把不等式的解集标在数轴上，形象直观理解不等式的解的取值范围，注意圆圈和实点的区别．选A四、妙用不等式解集便于掌握例6、下列说法中错误的是 （ ）（A ）2x >-6的解集是x>-3（B ） -8是2x<-8的一个解（C ）x <5的整数解有无数个（D ）x <3的正数解只有两个析解：本题对不等式的解、解集、整数解、正数解巧妙设置，拓广了思维空间．要正确区别上述几个概念含义，由题意可知D选项错误．五、联系实际情景，深化不等式性质应用例7 设“○”、“□”、“△”分别表示三种不同的物体，用天平比较它们质量的大小，两次情况如图所示，那么每个“○”、“□”、“△”这样的物体，按质量从小到大．．．．的顺序排列为（）A、○□△B、○△□C、□○△D、△□○析解：把不等式和等式的关系用天平的倾斜与平衡，形象直观的表示低的一边为重（即大），贴近生活实际，体现了数学Array来源于生活的新理念．由第一个天平可知2○＞○+□即○＞□，由第二个天平可知3△=△+□，即□=2△，∴□>△；因此△<□<○∴应选D．。
高中 不等式知识总结
模块七不等式✧考纲解读高考大纲分析解读（1）了解不等式的有关概念及其分类，掌握不等式的性质及其应用，明确各个性质中结论成立的前提条件.（2）掌握一元一次、一元二次不等式的解法.（3）会求含有参数的一元二次不等式.（4）会解简单的分式不等式、绝对值不等式等.（5）多考查线性目标函数的最值问题，兼顾面积、距离、斜率等问题.（6）能用线性规划的方法解决重要的实际问题，使收到的效益最大，耗费的人力、物力资源最少.（7）能够利用基本不等式求函数的最值，能熟练运用比较法、综合法证明不等式，注意掌握变形过程中的一些常用技巧；能够运用配方法思想、函数思想、分类讨论思想来证明不等式.（8）求函数的定义域、值域；比较大小；确定参数的取值范围；利用不等式探讨函数的性质；利用不等式求最值；解决实际应用性问题.✧知识导航不等式实数的大小比较不等式的性质重要的不等式不等式的证明解不等式不等式的应用比较法分析法综合法反证法数学归纳法有理不等式无理不等式绝对值不等式指数不等式和对数不等式✧考点剖析考点一不等式的概念和性质1.不等式的基本概念（1）不等（等）号的定义：（2）不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式. （3）同向不等式与异向不等式.（4）同解不等式与不等式的同解变形.2.不等式的基本性质（1）（对称性）；（2）（传递性）（3）（加法单调性）（4）（同向不等式相加）.;;0babababababa<⇔<-=⇔=->⇔>-abba<⇔>cacbba>⇒>>,cbcaba+>+⇒>dbcadcba+>+⇒>>,（5）（异向不等式相减） （6）（7）（乘法单调性）（8）（同向不等式相乘）（异向不等式相除） （倒数关系） （11）（平方法则） （12）（开方法则）3.几个常用不等式（12211a b a b+≥≥≥+(根据目标不等式左右的运算结构选用) ； （2）a 、b 、c ∈R ，222a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时，取等号）； （3）若0,0a b m >>>，则b b ma a m+<+（糖水的浓度问题）。
初二数学不等式基本解法思路
初二数学不等式基本解法思路不等式是数学中常见的一种方程形式，其解法与等式有所不同。
在初二数学中，我们需要掌握不等式的基本解法思路，以便解决相关问题。
一、一元不等式的解法1. 分情况讨论法：当不等式中存在绝对值、分式等复杂形式时，可以通过分情况讨论来解决问题。
步骤如下：- 首先，将不等式根据条件进行合理分组，得到多个可能的情况。
- 其次，针对每个情况，确定对应的条件，并解出相应的不等式。
- 最后，整合各个情况下的解集，得到最终的解集。
2. 提取公因式法：当不等式中存在公因式时，可以通过提取公因式的方式简化问题。
步骤如下：- 首先，观察不等式中的各项是否存在公因式。
- 其次，将公因式提取出来，使不等式变得更简单。
- 最后，解出简化后的不等式，并确定解集。
3. 线性不等式的解法：当不等式为一次方程时，我们可以使用线性不等式的解法来求解。
步骤如下：- 首先，将不等式转化为等式，得到一个一次方程。
- 其次，根据一次方程的解的性质，确定不等式的解集。
- 最后，根据不等式的要求，确定最终的解集。
二、二元不等式的解法1. 图像法：当不等式中存在二元变量和图像的相关关系时，可以使用图像法解决问题。
步骤如下：- 首先，将不等式转化为图像，并观察图像的特点。
- 其次，根据图像的特点，确定不等式的解集。
- 最后，根据不等式的要求，确定最终的解集。
2. 代入法：当不等式中存在二元变量时，可以使用代入法解决问题。
步骤如下：- 首先，先固定其中一个变量，将不等式化简为一元不等式。
- 其次，解出化简后的一元不等式，并得到相应的解集。
- 最后，根据不等式的要求，确定最终的解集。
三、综合运用不等式解题在解决具体问题时，我们需要综合运用不等式的解法思路。
具体步骤如下：1. 首先，将问题中的条件和要求抽象成一个或多个不等式。
2. 其次，根据具体情况选择合适的不等式解法。
3. 然后，根据解法思路解出不等式，并得到相应的解集。
4. 最后，验证解集是否满足问题的条件和要求。
高二数学不等式的实际应用
【解题回顾】本题采取分离变量，将问题转化为求函数值 域的问题.若转化为一元二次方程根的分布问题求解，则较 繁.
2. 已知等比数列 {an} 的首项 a1 ＞ 0 ，公比 q ＞ -1 ，且 q≠1 ， 前 n 项和为 Sn ；在数列 {bn} 中， bn ＝ an+1-kan+2 ，前 n 项和 为Tn. (1)求证：Sn＞0； (2)证明若Tn＞kSn对一切正整数n成立，则k≤-1/2.
(3)若f(x)≤m2-2am+1，对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成 立，求实数m的取值范围. 【解题回顾】本题是函数与不等式的综合题，对于(3)是 已知两参数a、x的范围，求另一参数m的范围.此类题的 做法是先消去一参x，后求m范围.
误解分析
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不等式问题大多需要“等价转化”，而能否确保转化 “等价”是解题成败的关键.
延伸·拓展
f a f b 0 a，b∈[-1，1]，a+b≠0有 ab
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5.已知f(x)是定义在[-1，1]上的奇函数，且 f(1)＝1，若
(1)判断函数f(x)在[-1，1]上是增函数，还是减函数，并证 明你的结论；
1 (2)解不等式 f x 2 1 f x -1
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4. 设 x ＝ logst+logts ， y ＝ logs4t+logt4s+m(logs2t+logt2s) ，其 中，s＞1，t＞1，m∈R. (1)将y表示成x的函数y＝f(x)，并求f(x)的定义域；
(2)若关于x的方程f(x)＝0，有且仅有一个实数根，求m的 取值范围；
(3)若f(x)＞0恒成立，求m的取值范围. 【解题回顾】(1)本小题是利用 x+1/x与x2+1/x2，x4+1/x4之 间的关系用配凑法求得. (2)通过换元，利用一元二次方程的实根分布知识求解. (3) 把恒成立问题转化为求函数的最值，本题利用函数的 单调性求最大值.
高考数学不等式的综合应用
难点20 不等式的综合应用不等式是继函数与方程之后的又一重点内容之一；作为解决问题的工具；与其他知识综合运用的特点比较突出.不等式的应用大致可分为两类；一类是建立不等式求参数的取值范围或解决一些实际应用问题；另一类是建立函数关系；利用均值不等式求最值问题、本难点提供相关的思想方法；使考生能够运用不等式的性质、定理和方法解决函数、方程、实际应用等方面的问题.●难点磁场(★★★★★)设二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a ＞0)；方程f (x )－x =0的两个根x 1、x 2满足0＜x 1＜x 2＜a 1. (1)当x ∈［0；x 1)时；证明x ＜f (x )＜x 1； (2)设函数f (x )的图象关于直线x =x 0对称；证明；x 0＜21x . ●案例探究［例1］用一块钢锭烧铸一个厚度均匀；且表面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器(如右图)设容器高为h 米；盖子边长为a 米；(1)求a 关于h 的解析式；(2)设容器的容积为V 立方米；则当h 为何值时；V 最大？求出V 的最大值(求解本题时；不计容器厚度)命题意图；本题主要考查建立函数关系式；棱锥表面积和体积的计算及用均值定论求函数的最值.知识依托；本题求得体积V 的关系式后；应用均值定理可求得最值.错解分析；在求得a 的函数关系式时易漏h ＞0.技巧与方法；本题在求最值时应用均值定理.解；①设h ′是正四棱锥的斜高；由题设可得；⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+='⋅+12222412214h a a a h a 消去)0(11:.2>+='a h a h 解得 ②由)1(33122+==h h h a V (h ＞0) 得；2121)1(31=⋅=++=hh h h hh V 而 所以V ≤61；当且仅当h =h1即h =1时取等号 故当h =1米时；V 有最大值；V 的最大值为61立方米. ［例2］已知a ；b ；c 是实数；函数f (x )=ax 2+bx +c ；g (x )=ax +b ；当－1≤x ≤1时|f (x )|≤1.(1)证明；|c |≤1；(2)证明；当－1 ≤x ≤1时；|g (x )|≤2；(3)设a ＞0；有－1≤x ≤1时； g (x )的最大值为2；求f (x ).★★★★★级题目.知识依托；二次函数的有关性质、函数的单调性是药引；而绝对值不等式的性质灵活运用是本题的灵魂.错解分析；本题综合性较强；其解答的关键是对函数f (x )的单调性的深刻理解；以及对条件“－1≤x ≤1时|f (x )|≤1”的运用；绝对值不等式的性质使用不当；会使解题过程空洞；缺乏严密；从而使题目陷于僵局.技巧与方法；本题(2)问有三种证法；证法一利用g (x )的单调性；证法二利用绝对值不等式；||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |+|b |；而证法三则是整体处理g (x )与f (x )的关系.(1)证明；由条件当=1≤x ≤1时；|f (x )|≤1；取x =0得；|c |=|f (0)|≤1；即|c |≤1.(2)证法一；依题设|f (0)|≤1而f (0)=c ；所以|c |≤a ＞0时；g (x )=ax +b 在［－1；1］上是增函数；于是g (－1)≤g (x )≤g (1)；(－1≤x ≤1).∵|f (x )|≤1；(－1≤x ≤1)；|c |≤1；∴g (1)=a +b =f (1)－c ≤|f (1)|+|c |=2；g (－1)=－a +b =－f (－1)+c ≥－(|f (－2)|+|c |)≥－2；因此得|g (x )|≤2 (－1≤x ≤1)；当a ＜0时；g (x )=ax +b 在［－1；1］上是减函数；于是g (－1)≥g (x )≥g (1)；(－1≤x ≤1)； ∵|f (x )|≤1 (－1≤x ≤1)；|c |≤1∴|g (x )|=|f (1)－c |≤|f (1)|+|c |≤2.综合以上结果；当－1≤x ≤1时；都有|g (x )|≤2.证法二；∵|f (x )|≤1(－1≤x ≤1)∴|f (－1)|≤1；|f (1)|≤1；|f (0)|≤1；∵f (x )=ax 2+bx +c ；∴|a －b +c |≤1；|a +b +c |≤1；|c |≤1；因此；根据绝对值不等式性质得；|a －b |=|(a －b +c )－c |≤|a －b +c |+|c |≤2；|a +b |=|(a +b +c )－c |≤|a +b +c |+|c |≤2；∵g (x )=ax +b ；∴|g (±1)|=|±a +b |=|a ±b |≤2；函数g (x )=ax +b 的图象是一条直线；因此|g (x )|在［－1；1］上的最大值只能在区间的端点x =－1或x =1处取得；于是由|g (±1)|≤2得|g (x )|≤2；(－1＜x ＜1).)21()21(])21()21([])21()21([)2121(])21()21[()(,)21()21(4)1()1(:22222222--+=+-+--++++=--++--+=+=∴--+=--+=x f x f c x b x a c x b x a x x b x x a b ax x g x x x x x 证法三 当－1≤x ≤1时；有0≤21+x ≤1；－1≤21-x ≤0； ∵|f (x )|≤1；(－1≤x ≤1)；∴|f )21(+x |≤1；|f (21-x )|≤1； 因此当－1≤x ≤1时；|g (x )|≤|f )21(+x |+|f (21-x )|≤2. (3)解；因为a ＞0；g (x )在［－1；1］上是增函数；当x =1时取得最大值2；即g (1)=a +b =f (1)－f (0)=2.① ∵－1≤f (0)=f (1)－2≤1－2=－1；∴c =f (0)=－1.因为当－1≤x ≤1时；f (x )≥－1；即f (x )≥f (0)；根据二次函数的性质；直线x =0为f (x )的图象的对称轴； 由此得－ab 2＜0 ；即b =0. 由①得a =2；所以f (x )=2x 2－1.●锦囊妙计1.应用不等式知识可以解决函数、方程等方面的问题；在解决这些问题时；关键是把非不等式问题转化为不等式问题；在化归与转化中；要注意等价性.2.对于应用题要通过阅读；理解所给定的材料；寻找量与量之间的内在联系；抽象出事物系统的主要特征与关系；建立起能反映其本质属性的数学结构；从而建立起数学模型；然后利用不等式的知识求出题中的问题.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★★)定义在R 上的奇函数f (x )为增函数；偶函数g (x )在区间［0；+∞)的图象与f (x )的图象重合；设a ＞b ＞0；给出下列不等式；其中正确不等式的序号是( )①f (b )－f (－a )＞g (a )－g (－b ) ②f (b )－f (－a )＜g (a )－g (－b )③f (a )－f (－b )＞g (b )－g (－a ) ④f (a )－f (－b )＜g (b )－g (－a )A.①③B.②④C.①④D.②③二、填空题2.(★★★★★)下列四个命题中；①a +b ≥2ab ②sin 2x +x2sin 4≥4 ③设x ；y 都是正数；若yx 91 =1；则x +y 的最小值是12 ④若|x －2|＜ε；|y －2|＜ε；则|x －y |＜2ε；其中所有真命题的序号是__________.3.(★★★★★)某公司租地建仓库；每月土地占用费y 1与车库到车站的距离成反比；而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比；如果在距车站10公里处建仓库；这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元；那么要使这两项费用之和最小；仓库应建在离车站__________公里处.三、解答题4.(★★★★★)已知二次函数 f (x )=ax 2+bx +1(a ；b ∈R ；a ＞0)；设方程f (x )=x 的两实数根为x 1；x 2.(1)如果x 1＜2＜x 2＜4；设函数f (x )的对称轴为x =x 0；求证x 0＞－1；(2)如果|x 1|＜2；|x 2－x 1|=2；求b 的取值范围.5.(★★★★)某种商品原来定价每件p 元；每月将卖出n 件；假若定价上涨x 成(这里x 成即10x ；0＜x ≤10).每月卖出数量将减少y 成；而售货金额变成原来的 z 倍. (1)设y =ax ；其中a 是满足31≤a ＜1的常数；用a 来表示当售货金额最大时的x 的值； (2)若y =32x ；求使售货金额比原来有所增加的x 的取值范围. 6.(★★★★★)设函数f (x )定义在R 上；对任意m 、n 恒有f (m +n )=f (m )·f (n )；且当x ＞0时；0＜f (x )＜1.(1)求证；f (0)=1；且当x ＜0时；f (x )＞1；(2)求证；f (x )在R 上单调递减；(3)设集合A ={ (x ；y )|f (x 2)·f (y 2)＞f (1)}；集合B ={(x ；y )|f (ax －g +2)=1；a ∈R }；若A ∩B =∅；求a 的取值范围.7.(★★★★★)已知函数f (x )=1222+++x c bx x (b ＜0)的值域是［1；3］； (1)求b 、c 的值；(2)判断函数F (x )=lg f (x )；当x ∈［－1；1］时的单调性；并证明你的结论；(3)若t ∈R ；求证；lg 57≤F (|t －61|－|t +61|)≤lg 513.［科普美文］数学中的不等式关系数学是研究空间形式和数量关系的科学；恩格斯在《自然辩证法》一书中指出；数学是辩证的辅助工具和表现形式；数学中蕴含着极为丰富的辩证唯物主义因素；等与不等关系正是该点的生动体现；它们是对立统一的；又是相互联系、相互影响的；等与不等关系是中学数学中最基本的关系.等的关系体现了数学的对称美和统一美；不等关系则如同仙苑奇葩呈现出了数学的奇异美.不等关系起源于实数的性质；产生了实数的大小关系；简单不等式；不等式的基本性质；如果把简单不等式中的实数抽象为用各种数学符号集成的数学式；不等式发展为一个人丁兴旺的大家族；由简到繁；形式各异.如果赋予不等式中变量以特定的值、特定的关系；又产生了重要不等式、均值不等式等.不等式是永恒的吗？显然不是；由此又产生了解不等式与证明不等式两个极为重要的问题.解不等式即寻求不等式成立时变量应满足的范围或条件；不同类型的不等式又有不同的解法；不等式证明则是推理性问题或探索性问题.推理性即在特定条件下；阐述论证过程；揭示内在规律；基本方法有比较法、综合法、分析法；探索性问题大多是与自然数n 有关的证明问题；常采用观察—归纳—猜想—证明的思路；以数学归纳法完成证明.另外；不等式的证明方法还有换元法、放缩法、反证法、构造法等.数学科学是一个不可分割的有机整体；它的生命力正是在于各个部分之间的联系.不等式的知识渗透在数学中的各个分支；相互之间有着千丝万缕的联系；因此不等式又可作为一个工具来解决数学中的其他问题；诸如集合问题；方程(组)的解的讨论；函数单调性的研究；函数定义域的确定；三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题无一不与不等式有着密切的联系.许多问题最终归结为不等式的求解或证明；不等式还可以解决现实世界中反映出来的数学问题.不等式中常见的基本思想方法有等价转化、分类讨论、数形结合、函数与方程.总之；不等式的应用体现了一定的综合性；灵活多样性.等与不等形影不离；存在着概念上的亲缘关系；是中学数学中最广泛、最普遍的关系.数学的基本特点是应用的广泛性、理论的抽象性和逻辑的严谨性；而不等关系是深刻而生动的体现.不等虽没有等的温柔；没有等的和谐；没有等的恰到好处；没有等的天衣无缝；但它如山之挺拔；峰之隽秀；海之宽阔；天之高远；怎能不让人心旷神怡；魂牵梦绕呢？参考答案难点磁场解；(1)令F (x )=f (x )－x ；因为x 1；x 2是方程f (x )－x =0的根；所以F (x )=a (x －x 1)(x －x 2).当x ∈(0；x 1)时；由于x 1＜x 2；得(x －x 1)(x －x 2)＞0；又a ＞0；得F (x )=a (x －x 1)(x －x 2)＞0；即x ＜f (x )x 1－f (x )=x 1－［x +F (x )］=x 1－x +a (x 1－x )(x －x 2)=(x 1－x )［1+a (x －x 2)］∵0＜x ＜x 1＜x 2＜a1；∴x 1－x ＞0；1+a (x －x 2)=1+ax －ax 2＞1－ax 2＞0 ∴x 1－f (x )＞0；由此得f (x )＜x 1.(2)依题意；x 0=－ab 2；因为x 1、x 2是方程f (x )－x =0的两根；即x 1；x 2是方程ax 2+(b －1)x +c =0的根. ∴x 1+x 2=－ab 1- ∴x 0=－a ax ax a x x a a b 2121)(22121-+=-+=；因为ax 2＜1；∴x 0＜2211x a ax = 歼灭难点训练 一、1.解析；由题意f (a )=g (a )＞0；f (b )=g (b )＞0；且f (a )＞f (b )；g (a )＞g (b )∴f (b )－f (－a )=f (b )+f (a )=g (a )+g (b )而g (a )－g (－b )=g (a )－g (b )∴g (a )+g (b )－［g (a )－g (b )］=2g (b )＞0；∴f (b )－f (－a )＞g (a )－g (－b )同理可证；f (a )－f (－b )＞g (b )－g (－a )答案；A二、2.解析；①②③不满足均值不等式的使用条件“正、定、等”.④式；|x －y |=|(x －2)－(y －2)|≤|(x －2)－(y －2)|≤|x －2|+|y －2|＜ε+ε=2ε.答案；④3.解析；由已知y 1=x 20；y 2x (x 为仓库与车站距离)费用之和y =y 1+y 2x + x 20≥2xx 208.0⋅=8 x =x20即x =5时“=”成立 答案；5公里处三、4.证明；(1)设g (x )=f (x )－x =ax 2+(b －1)x +1；且x ＞0.∵x 1＜2＜x 2＜4；∴(x 1－2)(x 2－2)＜0；即x 1x 2＜2(x 1+x 2)－4；12)42(212)(212)()(2121)(21)11(21221212121210-=++->++-=++-+>-+=---⋅=-=x x x x x x x x x x a a b a b x 于是得 (2)解；由方程g (x )=ax 2+(b －1)x +1=0可知x 1·x 2=a 1＞0；所以x 1；x 2同号 1°若0＜x 1＜2；则x 2－x 1=2；∴x 2=x 1+2＞2；∴g (2)＜0；即4a +2b －1＜0① 又(x 2－x 1)2=44)1(22=--a ab ∴2a +1=1)1(2+-b (∵a ＞0)代入①式得；21)1(2+-b ＜3－2b② 解②得b ＜41 2°若 －2＜x 1＜0；则x 2=－2+x 1＜－2 ∴g (－2)＜0；即4a －2b +3＜0③ 又2a +1=1)1(2+-b ；代入③式得21)1(2+-b ＜2b －1 ④解④得b ＞47. 综上；当0＜x 1＜2时；b ＜41；当－2＜x 1＜0时；b ＞47. 5.解；(1)由题意知某商品定价上涨x 成时；上涨后的定价、每月卖出数量、每月售货金额分别是；p (1+10x )元、n (1－10y )元、npz 元；因而 )10)(10(1001),101()101(y x z y n x p npz -+=∴-⋅+=；在y =ax 的条件下；z =1001［－a ［x －a a )1(5-］2+100+a a 2)1(25-］.由于31≤a ＜1；则0＜aa )1(5-≤10. 要使售货金额最大；即使z 值最大；此时x =aa )1(5-. (2)由z =1001 (10+x )(10－32x )＞1；解得0＜x ＜5. 6.(1)证明；令m ＞0；n =0得；f (m )=f (m )·f (0).∵f (m )≠0；∴f (0)=1取m =m ；n =－m ；(m ＜0)；得f (0)=f (m )f (－m )∴f (m )=)(1m f -；∵m ＜0；∴－m ＞0；∴0＜f (－m )＜1；∴f (m )＞1 (2)证明；任取x 1；x 2∈R ；则f (x 1)－f (x 2)=f (x 1)－f ［(x 2－x 1)+x 1］=f (x 1)－f (x 2－x 1)·f (x 1)=f (x 1)［1－f (x 2－x 1)］；∵f (x 1)＞0；1－f (x 2－x 1)＞0；∴f (x 1)＞f (x 2)；∴函数f (x )在R 上为单调减函数.(3)由⎩⎨⎧=+-<+⎩⎨⎧θ==+->+021)(1)2()1()(2222y ax y x f y ax f f y x f 得；由题意此不等式组无解；数形结合得；1|2|2+a ≥1；解得a 2≤3∴a ∈［－3；3］ 7.(1)解；设y =1222+++x c bx x ；则(y －2)x 2－bx +y －c =0 ① ∵x ∈R ；∴①的判别式Δ≥0；即 b 2－4(y －2)(y －c )≥0；即4y 2－4(2+c )y +8c +b 2≤0②由条件知；不等式②的解集是［1；3］∴1；3是方程4y 2－4(2+c )y +8c +b 2=0的两根 ⎪⎩⎪⎨⎧+=⨯+=+48312312b c c ∴c =2；b =－2；b =2(舍）(2)任取x 1；x 2∈［－1；1］；且x 2＞x 1；则x 2－x 1＞0；且(x 2－x 1)(1－x 1x 2)＞0；∴f (x 2)－f (x 1)=－)1)(1()1)((2)12(122221*********x x x x x x x x x x ++--=+--+＞0；∴f (x 2)＞f (x 1)；lg f (x 2)＞lg f (x 1)；即F (x 2)＞F (x 1)∴F (x )为增函数.,31|)61()61(||||,61||61|)3(=+--≤+--=t t u t t u 记 即－31≤u ≤31；根据F (x )的单调性知 F (－31)≤F (u )≤F (31)；∴lg 57≤F (|t －61|－|t +61|)≤lg 513对任意实数t 成立.。
不等式的计算规律口诀
不等式的计算规律口诀不等式是数学中一种重要的表达式形式，它描述了数值之间的大小关系。
在解决实际问题时，我们经常会遇到不等式的计算和简化。
为了更好地掌握不等式的计算规律，我们可以借助口诀来帮助记忆。
下面是不等式的计算规律口诀：一、加减法口诀：1. 当不等式两边同时加减一个数时，不等号方向不变。
2. 当不等式两边同时加减一个负数时，不等号方向相反。
二、乘除法口诀：1. 当不等式两边同时乘以一个正数时，不等号方向不变。
2. 当不等式两边同时乘以一个负数时，不等号方向相反。
3. 当不等式两边同时除以一个正数时，不等号方向不变。
4. 当不等式两边同时除以一个负数时，不等号方向相反。
三、乘方口诀：1. 当不等式两边同时取平方时，不等号方向不变。
2. 当不等式两边同时取平方根时，不等号方向不变，但需要注意正负号的情况。
四、绝对值口诀：1. 当不等式两边的绝对值相等时，不等号方向不变。
2. 当不等式两边的绝对值不等时，不等号方向可能发生改变，需要仔细判断。
五、分式口诀：1. 当不等式两边的分式取倒数时，不等号方向相反。
六、倒数口诀：1. 当不等式两边的倒数取倒数时，不等号方向不变。
七、开方口诀：1. 当不等式两边同时开方时，不等号方向不变，但需要注意正负号的情况。
八、综合运用口诀：1. 当不等式中同时包含加减、乘除、乘方、绝对值、分式、倒数、开方等多种运算时，根据不等式计算规律的先后顺序，逐步进行运算。
九、解不等式的步骤口诀：1. 将不等式化简为等式或不等式的组合形式。
2. 确定不等式的解集的方向性。
3. 判断不等式的解集是否为空集。
4. 判断不等式的解集是否为有限集或无限集。
以上口诀是解决不等式计算过程中的一些基本规律，通过熟练掌握这些规律，我们可以更加灵活地运用不等式来解决实际问题。
同时，需要注意的是，在不等式计算过程中，要遵循数学规律，严格按照口诀的要求进行计算，以确保结果的准确性。
不等式的性质及应用
反证法
定义：反证法是一种通过假设相反的结论成立，然后推导出 矛盾的结论，从而证明原结论正确的方法。
步骤
1. 假设相反的结论成立。
2. 推导出矛盾的结论。
3. 得出原结论正确的结论。
例子：例如，要证明一个数不能被3整除，可以先假设它可 以被3整除，然后推导出一些矛盾的结论，从而证明原结论 正确。
放缩法
不等式的性质及应用
2023-11-09
contents
目录
• 不等式的基本性质 • 不等式的证明方法 • 不等式的应用 • 不等式在数学竞赛中的应用 • 不等式的实际应用
01
不等式的基本性质
传递性
总结词
不等式的传递性是指如果a>b且c>d，那么ac>bd。
详细描述
不等式的传递性是基于实数的有序性质，即如果a>b且c>d ，那么ac>bd。但需要注意的是，不等式的传递性不适用于 所有的数学对象，例如在复数域上就不一定成立。
详细描述
不等式的乘法单调性是指当两个数a和b满足a>b且c>0时，那么a与c的乘积大于 b与c的乘积。这个性质在解决一些实际问题时非常有用，例如在经济学中的收益 问题。
正值不等式与严格不等式
总结词
正值不等式是指a>b时，称a>b；严格不等式是指a>b且a≠b时，称a>b。
详细描述
正值不等式是指当a大于b时，我们称a大于b；严格不等式是指当a大于b且a不等于b时，我们称a大于b。在数学 中，我们通常使用严格不等式来描述两个数之间的关系，以保证它们之间没有相等的情况。
利用不等式解决其他问题竞赛题
总结词
不等式在数学竞赛中还可以用来解决其他问题，如最 优化问题、数列问题、解析几何问题等。
《初中数学教案方程与不等式的综合运用》
《初中数学教案方程与不等式的综合运用》教案题目:初中数学教案-方程与不等式的综合运用教学目标:1.理解方程与不等式的概念及其应用2.掌握通过方程与不等式解决问题的方法与技巧3.培养学生综合运用方程与不等式解决实际问题的能力教学内容:1.方程与不等式的基本概念及表示法2.方程与不等式的解法3.通过方程与不等式解决实际问题教学步骤:Step 1: 引入知识 (10分钟)-通过实际例子引导学生认识方程与不等式的概念，如“如果一个数加上5等于10，我们可以用一个方程来表示这个关系。
如果一个数比5小于10，我们可以用一个不等式来表示这个关系。
”-让学生讨论一些他们在生活中遇到的实际问题，并思考如何用方程与不等式来解决问题。
Step 2: 理解方程与不等式的表示法 (15分钟)-通过示例和练习引导学生理解方程与不等式的表示法，如“3x+7=22”表示一个方程，“2x-5<10”表示一个不等式。
”-让学生分组讨论并写出几个不同形式的方程与不等式，并解释它们的意义。
Step 3: 学习方程与不等式的解法 (20分钟)-介绍一些常用的解方程与不等式的方法，如逆运算法、代入法、平方根法等。
-通过例题和练习让学生掌握不同方法的运用技巧，并提醒他们注意解方程不等式时需要注意的一些常见错误。
Step 4: 实际问题应用 (25分钟)-给学生提供一些带有数学问题的实际情境，如购物打折、图形面积与周长等，要求学生利用方程与不等式解决这些问题。
-让学生分组合作，通过讨论和思考，提出解决问题的方案，并用方程与不等式来表示与解决问题。
Step 5: 总结与拓展 (10分钟)-进行课堂总结，复习方程与不等式的基本概念、表示法和解法。
-提醒学生方程与不等式的运用范围，并鼓励他们在日常生活中积极应用所学知识。
-布置相关的作业，并鼓励学生自主学习和探索。
教学资源:-板书、教科书、练习题、黑板、多媒体设备等教学评估:-教师观察学生在课堂上的学习表现，包括思考能力、解题能力等。
解方程与不等式的应用的综合运用
解方程与不等式的应用的综合运用在数学中，解方程和不等式是我们经常会遇到的问题。
它们在各种实际场景中都具有广泛的应用。
本文将综合运用解方程和不等式的知识，通过一些例子来展示它们在实际问题中的应用。
例子1：购买商品打折小明在商店看到一件原价为100元的商品，商店正在进行打折活动，折扣为x（0 ≤ x ≤ 1）。
假设小明买了这件商品后只需要支付70元，请问打几折？解法：设原价100元打x折后的价格为P，则有P = 100 * x。
根据题意可知 P = 70，即100 * x = 70。
将方程改写为不等式形式：100 * x ≥ 70。
通过计算得到x ≥ 0.7，即小明至少可以打7折购买该商品。
例子2：求解速度与时间的关系某车从A地到B地的直线距离为100公里，假设车以V公里/小时的速度行驶。
已知车从A地出发后，行驶t小时到达B地。
如果将速度提高20%，所需时间将减少多少？解法：车的速度V与到达时间t之间存在着一定的关系。
设从A地到B地所需的时间为T，则有 T = 100 / V。
如果将速度提高20%，则新速度为V' = V + 0.2V = 1.2V。
设达到新速度所需的时间为T'。
根据题意可得 T' = 100 / (1.2V)。
求解时间的差值为ΔT = T - T'，即ΔT = T - 100 / (1.2V)。
通过简化和合并同类项，得到ΔT = 100V / (1.2V) - 100 / (1.2V)。
进一步化简，得到ΔT = 100 / (1.2V) * (1 - 1 / 1.2)。
计算 1 - 1 / 1.2 ≈ 0.167，所以ΔT 约等于 100 / (1.2V) * 0.167。
由此可知，如果增加速度20%，所需时间将减少约0.167小时。
通过以上两个例子，我们可以看到解方程和不等式在实际中的应用。
无论是购物打折还是计算速度与时间的关系，解方程和不等式都能够帮助我们准确地找到问题的解决办法。
不等式的综合运用1
不等式的综合运用1第九课时 不等式的综合运用（1）能够利用不等式解决函数的定义域、值域（最值）、单调性、方程的实根分布以及方程和不等式中的参数问题。
）1．设函数A ，g(x)=lg[(x －a －1)(2a －x)](a<1)的定义域为B 。
若B ⊆A,则实数a 的取值范畴 。
2．函数y=23(0)1xx x x <++的值域是 （ ）A ．（－1，0）B ．[－3，0）C ．[－3，－1]D ．（－∞，0）3．已知函数f(x)=log 0.5(x 2－ax+3a)在[2,+ ∞)上是减函数，则a 的取值范畴是 （ ）A ．（－∞，4]B ．（－4，4]C ．（0，12]D ．（0，4]4．若关于x 的方程9x +(4+a)3x +4=0有解，则实数a 的取值范畴是 。
5．若不等x 2－x+1>m(x 2+x+1)对一切实数x 恒成立，则实数m 的取值范畴是 （ ）A ．(3,+∞)B ．[3, +∞)C ．（－∞，13] D ．（－∞，13）例1．设a 、b ∈R,且a ≠2，定义在(－b ，b)上的函数f(x)=lg 112axx++是奇函数，求b 的取值范畴。
例2．设集合A={}2(,)|20x y x mx y +-+=，{}(,)|10,02B x y x y x =-+=≤≤且，假如A ∩B ≠φ,求实数m 的取值范畴。
例3．已知函数221()ax x f x x+-=的定义域恰为不等式log 2(x+3)+log 0.5x ≤3的解集，且f(x)在定义域内单调递减，求实数a 的取值范畴。
例4．已知f(x)是定义在[－1,1]上的奇函数，且f(1)=1，若a,b ∈[－1,1]，a+b ≠0有()()0f a f b a b+>+恒成立。
（1）试判定f(x)在[－1,1]上是增函数依旧减函数，并证明你的结论； （2）解不等式f(x+12)<1()1f x -； （3）若f(x)≤m 2－2am+1,对所有x ∈[－1,1]，a ∈[－1,1]恒成立，求实数m 的取值范畴。
不等式综合运用7
江苏省郑梁梅高级中学高三数学教学案主备人：朱延超 做题人：王金石 孔凡玲 审核人：徐耀然课题：不等式的综合运用考纲要求：能综合运用不等式知识解决数学问题 难点、疑点 不等式的功能：不等式的知识已经渗透到函数、三角、数列、解析几何、立体几何等内容中，体现了不等式广泛运用的工具功能。
课前预习：1、设点(),m n 在直线1x y +=位于第一象限内的图象上运动，则22log log m n +的最大值是___________2、已知12320061x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=，且1232006x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，，，，都是正数，则 ()()()122006111x x x ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+的最小值是___________3、已知6084x <<，2833y << ，则x y -的取值范围为___________，xy的取值范围为___________4、0a >，0b >，给出下列四个不等式：①122a b ab ++≥；②()114a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭；③22a b a b ab+≥+；④124a a +≥-+其中正确的不等式序号有___________序号：103例题精析：例1、已知关于x 的方程0124=++⋅+a a xx（1）若此方程有实数解，求实数a 的取值范围；（2）若此方程有负的实数解，求实数a 的取值范围。
△例2、已知关于x 的方程220x ax --=的两根为21x x ，，试问：是否存在实数m ，使得不等式||1212x x lm m -≥++对于任意实数[11][11]a l ∈-∈-，及，恒成立？若存在，求m 的取值范围，若不存在，说明理由。
△例3、设函数2()()()f x x x a x R =--∈，其中3>a ，证明：存在]01[，-∈k ，使得不等式）（）（x k f x k f 22cos cos -≥-对任意R x ∈恒成立。
一次方程与不等式的综合运用
（2）若购进A型号衣服的数量是B型号衣服的2倍还多4件，则商店在这次进货中可有几种方案？并简述购货方案。
方法总结2：
1.利用一元一次不等式解答应用题往往要找到表示不等关系的关键词语，如大于(>)，小于(<)，不多于(≤)，不少于(≥)，不超过(≤)，至少(≥)……
3、情感态度与价值观：通过自主学习体验获取数学知识的感受，培养学生勇于创新，多方位审视问题的创造技巧。
教学重点、
难点及措施
1、重点：探究一次方程（组）与一元一次不等式（组）之间的内在联系。
2、难点：对一次方程（组）与一元一次不等式（组）之间的联系的揭示及归纳、运用。
3、采用让学生动手，小组合作探究，“先学后教”，教师的“导”立足于学生的“学”，以学法为重心，放手让学生自主探索的学习，主动地参与到知识形成的整个思维过程，以及教学中渗透整体的数学思想方法来突出重点，突破难点。
2.利用一元一次不等式解应用题常常要借助方程思想，解题方法与利用方程解应用题类似;
3.不等式的解有无限个，而实际问题的答案往往要取特殊解，而这些条件往往是隐含条件，解题时要特别注意.
让学生们自己阅读、讨论、交流，教师抽一名学生分析应用题中的等量关系，并利用实物展台将他的过程展示给学生。
第二问老师引导学生去思考，发现有关键词“不少于”、“不多于”，引导学生目前最好设一个未知数进行解答，学生们讨论交流不等关系，老师抽一个学生上台板演完整的解题过程。
（1）求解：把方程或方程组的解用字母参数表示出来；
（2）构造：将解代入到已知条件中，构造出关于字母参数的不等式或不等式组；
（3）解答：解不等式或不等式组，从而得到字母参数的取值范围。
若关于x，y的二元一次方程组 的解满足x+y＜2，求正整数k的值。
高中数学 第1章 预备知识 3 不等式 3.2 第2课时 基本不等式的综合应用学案(含解析)北师大版
第2课时 基本不等式的综合应用学 习 目 标核 心 素 养1.会用基本不等式求函数的最大(小)值问题．(重点)2．能利用基本不等式解决实际应用问题．(难点)1．通过基本不等式求函数最值的应用，提升数学运算素养．2．借助基本不等式在实际问题中的应用，培养数学建模素养．已知x 、y 都是正数，(1)若x ＋y ＝s (和为定值)，则当x ＝y 时，积xy 取得最大值s 24；(2)若xy ＝p (积为定值)，则当x ＝y 时，x ＋y 取得最小值2p . 上述命题可归纳为：和定积最大，积定和最小．思考：(1)两个非负数的积为定值，它们的和一定可以用基本不等式求最小值吗？ (2)两个非负数的和为定值，它们的积一定可以用基本不等式求最大值吗？ 提示：(1)不一定，例如a 2＋2与1a 2＋2，它们的积为定值，但等号取不到，因此不能用基本不等式求最小值．(2)不一定，例如1＋a 2与1－a 2，它们的和为定值，但等号取不到，因此不能用基本不等式求最大值．1．若a ＞1，则a ＋1a －1的最小值是( ) A ．2 B ．a C ．2aa －1D ．3 D [∵a ＞1，∴a －1＞0，∴a ＋1a －1＝a －1＋1a －1＋1≥2 （a －1）·1a －1＋1＝3.当且仅当a －1＝1a －1，即a ＝2时，等号成立．] 2．设x ＞0，则y ＝3－3x －1x的最大值是( )A ．3B ．－3 2C ．3－2 3D ．－1 C [∵x ＞0， ∴y ＝3－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x ≤3－23x ·1x ＝3－2 3.当且仅当3x ＝1x ，且x ＞0，即x ＝33时，等号成立．]3．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元．那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．5 [依题意得y 1＝20x ，y 2＝45x 为仓库与车站的距离，∴y 1＋y 2＝20x ＋4x5≥216＝8，当且仅当x ＝5时取等号，所以仓库应建在离车站5千米处．]4．当x <32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值．[解] y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32＝－⎝⎛⎭⎪⎫3－2x 2＋83－2x ＋32，∵当x <32时，3－2x >0，∴3－2x 2＋83－2x≥23－2x 2·83－2x ＝4，当且仅当3－2x 2＝83－2x ，即x ＝－12时取等号． 于是y ≤－4＋32＝－52，故函数有最大值－52.]基本不等式求函数最值【例1】 (1)设0<x <2，求函数y ＝3x ()8－3x 的最大值； (2)若x >4，求y ＝3x －4＋x 的最小值． [思路点拨] (1)3x ＋()8－3x ＝8；(2)3x －4＋x ＝3x －4＋()x －4＋4 .可利用基本不等式求解．[解] (1)∵0＜x ＜2，∴0＜3x ＜6，8－3x ＞2＞0， ∴y ＝3x （8－3x ）≤3x ＋（8－3x ）2＝82＝4，当且仅当3x ＝8－3x ，即x ＝43时，取等号．∴当x ＝43时，y ＝3x （8－3x ）的最大值是4.(2)当x ＞4时，x －4＞0， ∴3x －4＋x ＝3x －4＋(x －4)＋4≥23x －4×（x －4）＋4＝23＋4， 当且仅当3x －4＝x －4， 即x ＝4＋3时，取等号； ∴当x ＝4＋3时，y ＝3x －4＋x 的最小值是23＋4.1．应用基本不等式求最值必须满足三个条件，“一正、二定、三相等”．2．应用基本不等式求最值时，“凑定值”是一个难点，常用技巧有“拆项”、“添项”、“常值代换”等．[跟进训练]1．求函数y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1(x >－1)的最小值.[解] 令x ＋1＝t >0，∴x ＝t －1，∴y ＝（t －1）2＋7（t －1）＋10t ＝t 2＋5t ＋4t ＝t ＋4t＋5≥2t ·4t＋5＝9，当且仅当t ＝4t，即t ＝2，x ＝1时等号成立．∴当x ＝1时，函数y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1(x >－1)取得最小值9.利用基本不等式求条件最值【例2】 已知x >0，y >0，且x ＋y ＝1，求8x ＋2y 的最小值.[思路点拨] 注意x ＋y ＝1的使用，构造出8y x和2xy利用基本不等式．[解] ∵x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝1， ∴8x ＋2y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y (x ＋y )＝10＋8y x ＋2xy ≥10＋28y x ·2xy＝18.当且仅当8y x＝2xy，即x ＝2y 时等号成立， ∴当x ＝23，y ＝13时，8x ＋2y有最小值18.1．本题在解答中要注意使1a ＋1b取最小值时所对应a 、b 的值也要一并解出来．2．解含有条件的最值问题，常结合要求最值的式子，采用“配”、“凑”、“常值代换”的方法，构造成基本不等式的形式，从而得出最值．[跟进训练]2．若x ＞0，y ＞0，且1x ＋4y＝1，则x ＋y 的最小值是( )A ．3B ．6C ．9D ．12C [x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝1＋y x ＋4x y ＋4＝5＋y x ＋4x y ≥5＋2y x ·4xy＝5＋4＝9. 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋4y ＝1y x ＝4x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝6时等号成立，故x ＋y 的最小值为9.]利用基本不等式解决实际问题【例3】 从等腰直角三角形纸片ABC 上，剪下如图所示的两个正方形，其中BC ＝2，∠A ＝90°，则这两个正方形的面积之和的最小值为________．12[设两个正方形边长分别为a ，b ， 则由题可得2a ＋2b ＝2，即a ＋b ＝1，S ＝a 2＋b 2≥2×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝12，当且仅当a ＝b ＝12时取等号．]利用基本不等式解决实际问题要遵循以下几点：(1)在理解题意的基础上设变量，确定问题中量与量之间的关系，初步确定用怎样的函数模型；(2)建立相应的函数解析式，将实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内，求出函数的最大值或最小值； (4)回到实际问题中，检验并写出正确答案．[跟进训练]3．要设计一个矩形，现只知道它的对角线长度为10，则在所有满足条件的设计中，面积最大的一个矩形的面积为( )A ．50B ．25 3C ．50 3D ．100 A [设矩形的长和宽分别为x 、y ，则x 2＋y 2＝100. 于是S ＝xy ≤x 2＋y 22＝50，当且仅当x ＝y 时等号成立．]运用基本不等式a ＋b2≥ ab 求最值时．要注意：(1)“拆”“拼”“凑”等变形技巧，使其满足基本不等式“正”“定”“等”的条件； (2)连续使用基本不等式时，取等号的条件很严格，要求每次等号成立的条件都要满足．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若a ＞1，则a ＋1a －1的最小值是2a a －1. ( )(2)若a <0，则a ＋1a的最小值是－2.( )(3)x 2＋3x 2＋2的最小值是2.( )[答案] (1)× (2)× (3)×2．若x 2＋y 2＝1(x 、y ∈R )，则x 1＋y 2的最大值为( ) A ．1 B ．54C ． 2D ．以上都不对 A [ x 1＋y 2≤x 2＋()1＋y 222＝()x 2＋y 2＋12＝1，当且仅当x ＝1，y ＝0时取等号．]3．设0<x <1，a ，b 都为大于零的常数，则a 2x ＋b 21－x的最小值为( )A ．(a －b )2B ．(a ＋b )2C ．a 2b 2D ．a 2B [∵a 2x ＋b 21－x ＝(1－x ＋x )⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2x ＋b 21－x ＝（1－x ）a 2x ＋xb 21－x ＋a 2＋b 2≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2.当且仅当x ＝aa ＋b时，取等号，∴选B.]4．若x >0，则x ＋2x的最小值是________．22 [x ＋2x≥2x ·2x＝22，当且仅当x ＝2时，等号成立．] 5．已知0<x <12，求函数y ＝x 1－4x 2的最大值．[解] 因为0<x <12，所以1－4x 2＞0，所以y ＝x 1－4x 2＝12×4x 21－4x 2≤12×4x 2＋1－4x 22＝14，当且仅当2x ＝1－4x 2，即x＝24时等号成立． 所以函数y ＝x 1－4x 2的最大值为14.。
高三数学 不等式的证明(比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法);不等式的应用知识精讲
高三数学不等式的证明（比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法）；不等式的应用知识精讲（一）不等式的证明1. 实数大小的性质（1）a b a b ->⇔>0；（2）a b a b -=⇔=0；（3）a b a b -<⇔<0。
2. 比较法证明的步骤（1）求差比较法步骤：作差——变形——判别差的符号，在运用求差比较法证明时其关键是变形，通常变形方法是分解因式、配方、利用判别式及把差化为若干个非负数的和。
（不能分解时证明有恒定符号可配方）（2）求商比较法步骤：作商——变形——判别商与1的大小，在运用求商比较法证明不等式时要根据已知条件灵活采用函数的单调性及基本不等式进行放缩。
3. 基本不等式定理1：如果a b R ，∈，那么a b ab 222+≥（当且仅当a b =时取等号）。
定理2：如果a b c R ，，∈+，那么a b c abc 3333++≥（当且仅当a b c ==时取等号）。
推论1：如果a b R ，∈+，那么a b ab +≥2（当且仅当a b =时取“＝”号）。
推论2：如果a b c R ，，∈+，那么a b c abc ++≥33（当且仅当a b c ==时取“＝”号）。
4. 综合法：利用某些已经证明过的不等式作为基础，再运用不等式的性质推导出所要求证的不等式，这种证明方法叫做综合法。
综合法的证明思路是：由因导果，也就是从一个（组）已知的不等式出发，不断地用必要条件替代前面的不等式，直到推导出要证的不等式。
5. 分析法：从求证的不等式出发分析这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立。
这种证明方法叫做分析法。
分析法的证明思路是：“执果索因”，即从求证的不等式出发，不断地用充分条件来代替前面的不等式，直至找到已知不等式为止。
用分析法证明不等式要把握以下三点：（1）寻找使不等式成立的充分条件时，往往是先寻找使不等式成立的必要条件，再考虑这个必要条件是否充分。
方程与不等式的综合运用
方程与不等式的综合运用在数学中，方程和不等式是两种常见的数学模型，它们在实际问题中具有广泛的应用。
通过将方程和不等式综合运用，可以帮助我们解决各种实际问题。
本文将探讨方程与不等式的综合运用，并通过一些例子来说明其实际应用。
一、线性方程与不等式的综合运用线性方程和不等式是最简单的数学模型之一，在各个领域中经常会遇到。
例如，在商业领域中，我们通常会遇到成本、收入、利润等与数量成正比的关系。
假设某公司生产的产品每件成本为C元，每件的售价为P元，每月销售量为S件，则其成本与收入的关系可以表示为以下方程和不等式：成本：C = S * C收入：R = S * P利润：P = R - C在实际问题中，我们可能需要求解某一项具体的数值，比如：当销售量为100件时，该公司的成本、收入和利润是多少？通过联立这些方程和不等式，可以解得具体数值，进而得出结论。
二、二次方程与不等式的综合运用二次方程和不等式是一类更复杂的数学模型，应用范围更为广泛。
在物理学中，牛顿第二定律常常用到二次方程，可以描述物体的运动。
假设某物体的质量为m千克，受力F牛顿，加速度为a米每秒的平方，则根据牛顿第二定律可以得到以下方程和不等式：F = m * a在工程中，二次方程也有广泛的应用。
例如，在设计一座拱桥时，我们需要考虑拱桥的自重、荷载和支持力等因素。
这些因素之间的关系可以用到二次方程。
三、指数方程与不等式的综合运用指数方程和不等式是在金融、生物学、环境科学等领域中常见的数学模型。
例如，在金融投资中，复利的计算往往使用指数方程。
假设某笔投资的年利率为r，本金为P元，投资年限为t年，则该笔投资在t 年后的价值可以表示为以下方程和不等式：价值：V = P * (1 + r)^t在生物学中，指数方程可以用来描述生物种群的增长和衰退。
例如，某种细菌以每小时翻倍的速度增长，初始细菌数量为N个，则t小时后的细菌数量可以表示为以下方程和不等式：数量：N = N0 * 2^(t/k)其中，k为细菌的翻倍时间。
高中数学新教材同步必修第一册 第2章 提升课 基本不等式
10.已知实数a，b满足0<a<1,0<b<1. (1)若 a＋b＝1，求1＋1a1＋1b的最小值；
解 已知实数a，b满足0<a<1,0<b<1. 若 a＋b＝1，1＋1a1＋1b＝1＋a＋a b1＋a＋b b＝2＋ab2＋ba＝4＋2ab＋2ba ＋1≥4＋4＋1＝9， 当且仅当 a＝b＝12时，等号成立，故最小值为 9.
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(2)求 y＝x2＋x6＋x＋3 12，在 x>－3 时的最小值. 解 y＝x2＋x6＋x＋3 12＝x＋x＋323＋3＝x＋3＋x＋3 3， ∵x>－3，∴x＋3>0， ∴x＋3＋x＋3 3≥2 3，当且仅当 x＋3＝x＋3 3， 即 x＝ 3－3 时，等号成立， ∴函数 y＝x2＋x6＋x＋3 12的最小值为 2 3.
当且仅当 x＋2＝x＋4 2，即 x＝0 时等号成立，D 正确.
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7.已知 a>0，b>0 且 a＋b＝3.式子a＋2 2020119＋b＋2 0220120的最小值是___2___.
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跟踪训练 2 已知 a>0，b>0，若不等式2a＋1b≥2am＋b恒成立，则 m 的最大
值等于
A.10
√B.9
C.8
D.7
解析 因为a>0，b>0，所以2a＋b>0， 所以要使2a＋1b≥2am＋b恒成立， 只需 m≤(2a＋b)2a＋1b恒成立， 而(2a＋b)2a＋b1＝4＋2ba＋2ab＋1≥5＋4＝9， 当且仅当a＝b时，等号成立，所以m≤9.
方程、函数和不等式的综合运用
方程、函数和不等式综合运用专题命题人：陈行1，某校计划购买A型和B型课桌凳共200套。
购买一套A型课桌凳比购买一套B型课桌凳少用30元，且购买4套A型和5套B型课桌凳共需1950元。
（1）求购买一套A型课桌凳和一套B型课桌凳各需多少元？（2）若该校购买这两种课桌凳的总费用不能超过43700元，并且购买A型课桌凳的数量不能超过B型课桌凳数量的23，求该校本次购买A型和B型课桌凳共有几种方案？哪种方案的总费用最低？并求出最低费用。
2，某商场将进价为2000元的冰箱以2400元出售，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的落实，商场决定采取适当的降价措施。
调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台。
（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）（2）商场要想在这种冰箱售价中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最大？最大利润是多少？3，某物流公司从A、B两个蔬菜市场向甲、乙两地输送蔬菜，A、B两个蔬菜市场各有蔬菜14吨，其中甲地需要蔬菜15吨，乙地需要蔬菜13吨，从A地到甲地的运费为50元/吨，到乙地的运费为30元/吨；从B地到甲地的运费为60元/吨，到乙地的运费为45元/吨。
（1）设物流公司从A市场向甲地运送蔬菜x吨，请你完成下表：运往甲地（吨）运往乙地（吨）A xB（2）设总运费为w元，请写出w与x的函数关系式；（3）你认为物流运输公司应怎样安排向甲、乙两地运送蔬菜，才能使总费用最少？最少运费多少？4，某地政府为响应党中央建设社会主义新农村和节约型社会的号召，决定资助部分农村地区修建一批沼气池，使农民用到经济、环保的沼气能源。
小康村共有300户村民，村里得到34万元的政府资助款，准备再从各户筹集一部分资金修建A型、B型沼气池共20个，两种型号沼气池每个修m/个）如下表：建的费用（万元/个）、可供使用的户数（户/个），占地面积（2m，若修建A型沼气池x个，修建两种沼气池共需要y万政府土地部门批给沼气池修建用地1882元。
高考数学 专家讲坛 第7讲 不等式及综合应用(含2013试题,含点评)
高考数学 专家讲坛 第7讲 不等式及综合应用（含2013试题，含点评）真题试做►———————————————————1．(2012·高考浙江卷)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A.245B.285 C ．5 D ．62．(2012·高考江苏卷)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )＜c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．考情分析►———————————————————不等式部分在高考中往往是一到两个填空题，重点考查一元二次不等式、简单的线性规划问题和基本不等式在求最值中的应用，解答题一般没有纯不等式的题目，而会穿插在其他知识中进行综合考查．一元二次不等式是高中数学的重要内容，是分析、解决相关数学问题的基础与工具．在近几年的高考中，涉及二次不等式的试题占有较大的比例，试题形式活泼且多种多样，既有填空题，又有解答题，多数是与函数、方程、数列、三角、解析几何、立体几何及实际问题相互交叉和渗透，考查不等式的基础知识、基本技能、基本思想方法，以及逻辑思维能力、运算能力、分析问题和解决问题的综合数学能力，充分体现了不等式的知识所具有的极强的辐射作用．考点一 一元二次不等式解一元二次不等式，换元法和图解法是常用的技巧之一，方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关，要善于把它们有机地联系起来，互相转化．通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的不等式，通过构造函数、数形结合，则可将不等式的解化归为直观、形象的图形关系，对含有参数的不等式，运用图解法可以使得分类标准更清晰．(1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x <0，x －1，x ≥0，则不等式x ＋(x ＋1)f (x ＋1)≤1的解集是( )A ．{x |－1≤x ≤2－1}B ．{x |x ≤1}C ．{x |x ≤2－1}D ．{x |－2－1≤x ≤2－1}(2)若函数f (x )＝(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3的图象恒在x 轴上方，则a 的取值范围是( )A ．1≤a ≤19B ．1<a <19C ．1≤a <19D ．1<a ≤19【思路点拨】 (1)涉及分段函数的有关问题，求解时应按分段函数中每段的定义域进行分类．(2)本题的解题思路是：函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象恒在x 轴上方，则对应不等式ax 2＋bx ＋c >0对一切x ∈R 恒成立．(1)解一元二次不等式通常先将不等式化为ax 2＋bx ＋c >0或ax 2＋bx ＋c <0(a >0)的形式，然后求出对应方程的根(若有根的话)，再写出不等式的解；(2)解指数、对数不等式，可以考虑把不等式的两边化成同底数的幂或同底数的对数的形式，然后再根据指数函数、对数函数的单调性，把它化为代数不等式，但要注意对数不等式的真数大于零这一隐含条件；(3)求解分段函数条件下的不等式，应按每段定义域对应下的函数解析式分别转化为一般不等式求解；(4)求解一元二次不等式在区间上恒成立的问题一般是把一元二次不等式看作二次函数，通过二次函数的图象判断函数图象在这个区间上与x 轴的相对位置，列出不等式恒成立满足的条件．强化训练1 解不等式：(1)x ＋64－x≤1；(2)log 12(x 2＋2x －3)>log 12(3x ＋1)．.考点二 简单的线性规划问题熟悉二元一次不等式Ax ＋By ＋C ≥0表示平面区域的判定方法，会求与平面区域相关的整点、面积等问题．掌握线性规划问题的解题步骤，结合目标函数的几何意义，利用数形结合思想解答．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≤－3，3x ＋5y ≤25，x ≥1，求z ＝2x －y 的最大值和最小值．(1)几何意义法：指根据目标函数表达式的特征找到其所代表的几何意义，结合图形求解，它是解决中学阶段线性规划问题的一般方法，高考范围内的所有线性规划问题都可采用这一方法．常见目标函数表示的几何意义有截距、向量投影(目标函数是整式)、斜率(目标函数是分式)、距离(目标函数是两个完全平方式之和)、点线距(目标函数是二元一次因式的绝对值)等．(2)变量替代法：指把目标函数z 代换到原约束条件中去，得到新的不等式组，画出此时的平面区域，观察左右或上下边界即可得到目标函数z 的值域(最值)．(3)解不等式法：指在目标函数和约束条件都是线性的线性规划问题中，把目标函数z 代换到原约束条件中去，得到z 的不等式组，直接放缩求解．(4)界点定值法：指通过总结，若目标函数和约束条件都是线性的线性规划问题，对应目标函数最值的最优解都是可行域所对应图形的边界顶点，这时要求目标函数的值域，只要把可行域的几个顶点代入，找到目标函数几个取值中最大的和最小的，即目标函数的最大值和最小值．强化训练2 设定点A (3，0)，动点P (x ，y )的坐标满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，y ≥2，x ＋y ≤6，则|OP →|cos∠AOP (O 为坐标原点)的最大值为________．考点三 基本不等式及其应用 利用基本不等式及变形求最值，掌握基本不等式及变形求函数的最大值和最小值；能灵活应用基本不等式解答函数和数列等综合问题．(2012·高考陕西卷)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a <b )，其全程的平均时速为v ，则( )A ．a <v <abB ．v ＝abC.ab <v <a ＋b 2 D ．v ＝a ＋b2【思路点拨】 先据已知条件用a 和b 表示出平均时速为v ，再据基本不等式求出v 与a ＋b2，ab ，a 之间的大小关系． 基本不等式是高考的重点与热点之一，同时也是解决很多函数最值问题的重要手段，我们常用“一正，二定，三相等”来表明应用基本不等式的原则，当题目的条件不满足这一前提，就需要适当的“凑”与“配”．高考中，以填空题形式考查是常见的一种形式，有时也和函数结合在一起以解答题的形式考查．强化训练3 (2013·高考山东卷)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z取得最大值时，2x ＋1y －2z的最大值为( )A ．0B ．1 C.94 D ．3不等式与四类知识的交汇不等式是中学数学中重要的基础知识，是分析和解决各种数学问题的重要工具，它的思想方法和内容几乎遍布高中数学的每一个章节，应用十分广泛，与其他知识的交汇是高考中常考常新的问题，应该引起我们的重视，下面分类解析不等式与其他知识点的交汇问题．一、不等式与集合的交汇已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |x ≥1}，N ＝{x |x ＋1x －2≥0}，则∁U (M ∩N )＝________．【解析】 易求得N ＝{x |x ≤－1或x >2}，而M ＝{x |x ≥1}，∴M ∩N ＝{x |x >2}，∴∁U (M ∩N )＝{x |x ≤2}．【答案】 {x |x ≤2} 本题主要考查分式不等式的解法及集合的交集、补集运算，不等式的解法及集合间的交、并、补运算是高考常考内容，要认真掌握，并确保得分．二、不等式与逻辑条件的交汇(2013·云南师大附中月考改编)已知条件p ：x 2－3x －4≤0；条件q ：x 2－6x ＋9－m 2≤0；若p 是q 的充分不必要条件，则m 的取值范围是________．【解析】 对于p ：－1≤x ≤4，对于q 讨论如下，当m >0时，q ：3－m ≤x ≤3＋m ；当m <0时，q ：3＋m ≤x ≤3－m ，若p 是q 的充分不必要条件，只需要⎩⎪⎨⎪⎧m >0，3－m ≤－1，3＋m ≥4，或⎩⎪⎨⎪⎧m <0，3＋m ≤－1，3－m ≥4，解得m ≤－4或m ≥4.【答案】 (－∞，－4]∪[4，＋∞)对于解含有参数的二次不等式，一般讨论的顺序是：(1)讨论二次项系数是否为0，这决定此不等式是否为二次不等式；(2)当二次项系数不为0时，讨论二次项系数是否大于0，这决定所求不等式的不等号的方向；(3)讨论判别式是否大于0，当判别式大于0时，判断两根的大小关系．三、不等式与函数的交汇函数f (x )的定义域是R ，对于任意实数x 1，x 2，都有f (x 1＋x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，当x >0时，f (x )>0，且不等式f (cos 2θ－3)＋f (4m －2m cos θ)>0对所有θ恒成立，求实数m 的取值范围．【解】 令x 1＝x 2＝0，则f (0)＝f (0＋0)＝f (0)＋f (0)，所以f (0)＝0. 由题意，对于任意实数x ∈R ，f (0)＝f (x －x )＝f (x )＋f (－x )＝0， 即f (－x )＝－f (x )，故f (x )是奇函数． 对任意实数x 1<x 2，则x 2－x 1>0， 所以f (x 2－x 1)＝f (x 2)－f (x 1)>0， 即f (x 2)>f (x 1)，则f (x )是增函数．由题意，得f (cos 2θ－3)>－f (4m －2m cos θ)＝f (2m cos θ－4m )．又f (x )是增函数，则原不等式等价于cos 2θ－3>2m cos θ－4m 对所有θ恒成立，分离参数，得m >2－cos 2θ2－cos θ＝－[(2－cos θ)＋22－cos θ]＋4，由于2－cos 2θ2－cos θ的最大值是4－2 2.故实数m 的取值范围是(4－22，＋∞)．利用函数性质法求解恒成立问题，主要的解题步骤是研究函数的性质，根据函数的奇偶性、周期性、对称性、单调性等性质，找到参数满足的不等式．四、不等式与数列的交汇已知数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝2a n －1(n ≥1)．(1)设b n ＝a n －1(n ＝1，2，3…)，求证：数列{b n }是等比数列；(2)设c n ＝2n a n ·a n ＋1，求证：数列{c n }的前n 项和S n <13.【证明】 (1)由a n ＋1＝2a n －1，得a n ＋1－1＝2(a n －1)， ∴{a n －1}是以a 1－1＝2为首项，以2为公比的等比数列．(2)由(1)知a n －1＝2×2n －1＝2n ，∴a n ＝2n＋1，∴c n ＝2n a n a n ＋1＝2n （2n ＋1）（2n ＋1＋1）＝12n ＋1－12n ＋1＋1， ∴S n ＝(121＋1－122＋1)＋(122＋1－123＋1)＋…＋(12n ＋1－12n ＋1＋1)＝13－12n ＋1＋1<13.本题以数列为载体考查了不等式的证明，解题的关键是熟练掌握等比数列的定义、数列求和方法等数列知识._体验真题·把脉考向_1．【解析】选C.∵x >0，y >0，由x ＋3y ＝5xy 得15⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋3x ＝1.∴3x ＋4y ＝15(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋3x ＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫3x y ＋4＋9＋12y x ＝135＋15⎝ ⎛⎭⎪⎫3x y ＋12y x ≥135＋15×23x y ·12yx＝5(当且仅当x ＝2y 时取等号)，∴3x ＋4y 的最小值为5.2．【解析】由题意知f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋b －a 24.∵f (x )的值域为[0，＋∞)，∴b －a 24＝0，即b ＝a 24.∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22. 又∵f (x )＜c ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＜c ， 即－a 2－c ＜x ＜－a2＋c .∴⎩⎪⎨⎪⎧－a 2－c ＝m ，－a2＋c ＝m ＋6.①②②－①，得2c ＝6，∴c ＝9. 【答案】9_典例展示·解密高考_ 【例1】【解析】(1)当x ＋1<0，即x <－1时， f (x ＋1)＝－(x ＋1)＋1＝－x .∴原不等式可化为x ＋(x ＋1)(－x )≤1.①由①得－x 2≤1，x ∈R ，此时不等式的解集为{x |x <－1}． 当x ＋1≥0，即x ≥－1时，f (x ＋1)＝x ＋1－1＝x ，∴原不等式可化为x ＋(x ＋1)x ≤1.② 解②得－2－1≤x ≤2－1，此时不等式的解集为{x |－1≤x ≤2－1}．综上可知，原不等式的解集为{x |x <－1}∪{x |－1≤x ≤2－1}＝{x |x ≤2－1}． (2)因为函数f (x )的图象恒在x 轴上方，所以不等式(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3>0对一切x ∈R 恒成立．①当a 2＋4a －5＝0时，有a ＝－5或a ＝1.若a ＝－5，不等式可化为24x ＋3>0，不满足题意； 若a ＝1，不等式可化为3>0，满足题意．②当a 2＋4a －5≠0时，应有 ⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋4a －5>0，16（a －1）2－12（a 2＋4a －5）<0， 解得1<a <19.综上，可得a 的取值范围是1≤a <19. 【答案】(1)C (2)C[强化训练1]【解】(1)原不等式可变形为x ＋64－x－1≤0，即x ＋6－（4－x ）4－x ≤0，化简得x ＋1x －4≥0.此不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）（x －4）≥0，x －4≠0，解得x ≤－1，或x >4.故原不等式的解集为{x |x ≤－1，或x >4}．(2)原不等式可转化为⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3>0，3x ＋1>0，x 2＋2x －3<3x ＋1，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |1<x <1＋172 【例2】【解】法一：(截距法)先作出可行域，如图(1)中的△ABC 及其内部(阴影部分)，且求得A (5，2)，B (1，1)，C (1，225)，作出直线L 0：2x －y ＝0，再将直线L 0平移．当L 0的平行线过C 点时，可使z ＝2x －y 达到最小值；当L 0的平行线过A 点时，可使z ＝2x －y 达到最大值．所以z min ＝－125，z max ＝8.图(1)法二：(变量替代法)将y ＝2x －z 代入原约束条件，可得⎩⎪⎨⎪⎧－7x ＋4z ≤－3，13x －5z ≤25，x ≥1，把z 看作纵轴，画出此不等式组表示的平面区域，如图(2)所示(阴影部分)，可知最高点P (5，8)，最低点Q (1，－125)，所以z min ＝－125，z max ＝8.图(2)法三：(解不等式法)由解法二，可知⎩⎪⎨⎪⎧－7x ＋4z ≤－3，13x －5z ≤25，x ≥1，可变为⎩⎪⎨⎪⎧4z ＋37≤x ，x ≤5z ＋2513，x ≥1，所以⎩⎪⎨⎪⎧1≤5z ＋2513，4z ＋37≤5z ＋2513，解得－125≤z ≤8.故z 的最大值为8，z 的最小值为－125.法四：(界点定值法)先作出可行域，如图(1)中的△ABC 及其内部(阴影部分)，可求得A (5，2)，B (1，1)，C (1，225)．把△ABC 的顶点A ，B ，C 的坐标代到目标函数中求出z 值分别为8，1，－125，比较大小，可知z 的最大值为8，z 的最小值为－125.[强化训练2]【解析】|OP →|·cos ∠AOP ＝OP →·OA →|OA →|＝3x ＋03＝x .作出动点P (x ，y )的坐标满足约束条件的平面区域如图所示，由图形，可知当点P 是直线x ＋y ＝6与y ＝2的交点时，x 取最大值．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝6，y ＝2，得P (4，2)．所以x 的最大值为4，即|OP →|cos ∠AOP 的最大值为4. 【答案】4。
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9、若不等式 对满足 的所有实数x都成立，求m取值范围.
10、已知A、B两地相距200km，一只船从A地逆水到B地，水速为8km/h，船在静水中的速度为 km/h(8< <18).若船每小时的燃油费与其在静水中的速度平方成正比，当 时，每小时的燃油费为720元，为了使全程燃油费最省，船在静水中的速度 应为多少？
(3)函数 的最大值为 ；(4)函数 的最小值为 ；
【答案】 .
【解析】
2、函数 的最小值是.
函数 的最大值为.
【答案】 .
【解析】
3、设 ，且 恒成立，则 的最大值是.
【答案】 .
【解析】
4、已知点A（-1，2），B（2，-2）在直线 的两侧，则 的取值范围是.
【答案】 .
【解析】
5、若 ，则函数 的值域是.
【答案】 .
【解析】
9、若不等式 对满足 的所有实数x都成立，求m取值范围.
【答案】 .
【解析】
10、已知A、B两地相距200km，一只船从A地逆水到B地，水速为8km/h，船在静水中的速度为 km/h(8< <18).若船每小时的燃油费与其在静水中的速度平方成正比，当 时，每小时的燃油费为720元，为了使全程燃油费最省，船在静水中的速度 应为多少？
【答案】 .
【解析】
泰兴市第五高级中学高一数学讲义
编号：034 课题:不等式的综合运用
[目标要求]
1、证明不等式的基本思想方法；2、基本不等式的应用；
3、不等式在函数、方程等问题中应用
[难点重点]
重点：基本不等式的应用
难点：不等式的证明，以及不等式的综合应用
[典例剖析]
例1、（1）若 ，求证： .
（2）若 ，求证： .
例2、若关于 的方程 有实数解，求实数 的取值范围.
例3、某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一吨产品需要电力、煤、劳动力及产值如下表所示：
品种
电力（千度）
煤（吨）
劳动力（人）
产值（千元）
甲
2
3
5
7
乙
8
5
2
10
该厂的劳动力满员200人，根据限额每天用电不得超过160千度，用煤不得超过150吨时，问每天生产这两种产品各几吨，才能创造最大经济价值？
（1）把全程运输成本y（元）表示为速度 （千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域；
（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶?
泰兴市第五高级中学高一数学作业
编号：034作业：不等式的综合运用
1、下列命题中正确的序号是.
(1)函数 的最小值为2；(2)函数 的最小值为2；
(3)函数 表示为速度 （千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域；
（4）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶?
【答案】 .
【解析】
泰兴市第五高级中学高一数学作业
编号：034作业：不等式的综合运用
2、下列命题中正确的序号是.
(1)函数 的最小值为2；(2)函数 的最小值为2；
例4、某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉价格为1800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购面粉每次需支付运费900元.求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？
[学习反思]
1、不等式证明的基本方法是比较，分析，综合，要善于从不等式的结构上寻求解题的突破口；
编号：034 课题:不等式的综合运用
[目标要求]
2、证明不等式的基本思想方法；2、基本不等式的应用；
3、不等式在函数、方程等问题中应用
[难点重点]
重点：基本不等式的应用
难点：不等式的证明，以及不等式的综合应用
[典例剖析]
例1、（1）若 ，求证： .
（2）若 ，求证： .
例2、若关于 的方程 有实数解，求实数 的取值范围.
【答案】 .
【解析】
11、如图，公园有一块边长为2的等边△ABC的角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上.
（1）设 ，求用 表示 的函数关系式.
（2）如果DE是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE的位置应在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应在哪里？请予证明.
[学习反思]
3、不等式证明的基本方法是比较，分析，综合，要善于从不等式的结构上寻求解题的突破口；
4、函数、方程与不等式的联系非常密切，要善于相互转化；
[课堂练习]
3、设 ，则 的取值范围是.
【答案】 .
【解析】
4、已知方程 有解，则实数 的取值范围是.
【答案】 .
【解析】
3、设 则 恒成立的 的最小值是.
2、函数 的最小值是.
函数 的最大值为.
3、设 ，且 恒成立，则 的最大值是.
4、已知点A（-1，2），B（2，-2）在直线 的两侧，则 的取值范围是.
5、若 ，则函数 的值域是.
6、若函数 ，在 上的最大值为 ，则 的值为.
7、已知平面区域D由A（1，3），B（5,2），C（3,1）为顶点的三角形内部以及其边界组成，若在区域D上有无穷多个点（x,y）可使目标函数为 取到最小值，则 的值为.
例3、某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一吨产品需要电力、煤、劳动力及产值如下表所示：
品种
电力（千度）
煤（吨）
劳动力（人）
产值（千元）
甲
2
3
5
7
乙
8
5
2
10
该厂的劳动力满员200人，根据限额每天用电不得超过160千度，用煤不得超过150吨时，问每天生产这两种产品各几吨，才能创造最大经济价值？
例4、某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉价格为1800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购面粉每次需支付运费900元.求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？
2、函数、方程与不等式的联系非常密切，要善于相互转化；
[课堂练习]
1、设 ，则 的取值范围是.
2、已知方程 有解，则实数 的取值范围是.
3、设 则 恒成立的 的最小值是.
4、若 ，则 有最值为.
5、设一个三角形的三边长为 ，则最长边与最短边的夹角为.
6、甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度 （千米/时）的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元
【答案】 .
【解析】
4、若 ，则 有最值为.
【答案】小， .
【解析】
5、设一个三角形的三边长为 ，则最长边与最短边的夹角为.
【答案】 .
【解析】
6、甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度 （千米/时）的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元
11、如图，公园有一块边长为2的等边△ABC的角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上.
（1）设 ，求用 表示 的函数关系式.
（2）如果DE是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE的位置应在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应在哪里？请予证明.
泰兴市第五高级中学高一数学讲义
【答案】 .
【解析】
6、若函数 ，在 上的最大值为 ，则 的值为.
【答案】 ，或 （舍去！）.
【解析】
7、已知平面区域D由A（1，3），B（5,2），C（3,1）为顶点的三角形内部以及其边界组成，若在区域D上有无穷多个点（x,y）可使目标函数为 取到最小值，则 的值为.
【答案】 .
【解析】
8、有48支铅笔，在甲组里，若每人分配3支，则有多余，若每人分配4支，则不够；在乙组里，若每人分配4支，则多余，若每人分配5支，则不够；已知两组人数相差5人，则甲组人数为.