2018年高考数学上海卷
2018年上海高考数学试题(文科)
2018年上海高考数学试题（文科）部门： xxx时间： xxx制作人：xxx整理范文，仅供参考，勿作商业用途2018年上海高考数学试卷<文科）一、填空题<本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．不等式的解为．2．在等差数列中，若，则．3．设，是纯虚数，其中是虚数单位，则．4．若，，则．5．已知的内角、、所对的边分别是，，．若，则角的大小是<结果用反三角函数值表示）．6．某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%．在一次考试中，男、女生平均分数分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为．b5E2RGbCAP7．设常数．若的二项展开式中项的系数为-10，则．8．方程的实数解为．9．若，则．10．已知圆柱的母线长为，底面半径为，是上地面圆心，、是下底面圆周上两个不同的点，是母线，如图．若直线与所成角的大小为，则．p1EanqFDPw11．盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7的七个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是<结果用最简分数表示）．DXDiTa9E3d12．设是椭圆的长轴，点在上，且．若，，则的两个焦点之间的距离为． 13．设常数，若对一切正实数成立，则的取值范围为．14．已知正方形的边长为1．记以为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、；以为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、．若且，则的最小值是．RTCrpUDGiT 二、选择题<本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．5PCzVD7HxA 15．函数的反函数为，则的值是< ） <A ）<B ）<C ）<D ）16．设常数，集合，．若，则的取值范围为< ）<A ）<B ）<C ）<D ）17．钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的< ） <A ）充分条件<B ）必要条件<C ）充分必要条件<D ）既非充分又非必要条件18．记椭圆围成的区域<含边界）为，当点分别在上时，的最大值分别是，则< ）A．0 B ． C．2 D ．三．解答题<本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域写出必要的步骤．19．<本题满分12分）如图，正三棱锥底面边长为，高为，求该三棱锥的体积及表面积．第19题图B20．<本题满分14分）本题共有2个小题．第1小题满分6分，第2小题满分8分．甲厂以千M/小时的速度匀速生产某种产品<生产条件要求），每小时可获得的利润是元．<1）求证：生产千克该产品所获得的利润为；<2）要使生产千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该如何选取何种生产速度？并求此最大利润．21．<本题满分14分）本题共有2个小题．第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知函数，其中常数．<1）令，判断函数的奇偶性并说明理由；<2）令，将函数的图像向左平移个单位，再往上平移个单位，得到函数的图像．对任意的，求在区间上零点个数的所有可能值．jLBHrnAILg22．<本题满分16分）本题共有3个小题．第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分． 已知函数．无穷数列满足．<1）若，求，，；<2）若，且，，成等比数列，求的值；<3）是否存在，使得，，，…，…成等差数列？若存在，求出所有这样的；若不存在，说明理由．23．<本题满分18分）本题共有3个小题．第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．如图，已知双曲线：，曲线：．是平面内一点，若存在过点的直线与、都有公共点，则称为“型点”．<1）在正确证明的左焦点是“型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程<不要求验证）；xHAQX74J0X<2）设直线与有公共点，求证，进而证明原点不是“型点；<3）求证：圆内的点都不是“型点”．参考答案一、选择题1．2．153．4．15．6．787．8．9．10．11．12．13．14．15．A16．B17．A18．D19．20．解：<1）每小时生产克产品，获利，生产千克该产品用时间为，所获利润为.<2）生产900千克该产品，所获利润为所以，最大利润为元。
【真题】2019年上海市高考数学试题含答案解析
2018年高考数学真题试卷（上海卷） 一、填空题1.（2018•上海）行列式4125的值为 。
【答案】18【解析】【解答】4125=45-21=18 【分析】a cb d=ad-bc 交叉相乘再相减。
【题型】填空题 【考查类型】中考真题 【试题级别】高三 【试题地区】上海【试题来源】2018年高考数学真题试卷（上海卷）2.（2018•上海）双曲线2214x y -=的渐近线方程为 。
【答案】12y x =±【解析】【解答】2214x y -=，a=2，b=1。
故渐近线方程为12y x =± 【分析】渐近线方程公式。
注意易错点焦点在x轴上，渐近线直线方程为22221x y ba -=时，by x a=±。
【题型】填空题 【考查类型】中考真题 【试题级别】高三【试题地区】上海【试题来源】2018年高考数学真题试卷（上海卷）3.（2018•上海）在（1+x ）7的二项展开式中，x ²项的系数为 。
（结果用数值表示） 【答案】21【解析】【解答】（1+x ）7中有T r+1=7r r C x ，故当r=2时，27C =762⨯=21 【分析】注意二项式系数，与各项系数之间差别。
考点公式()na b +第r+1项为T r+1=r n r rn C a b-。
【题型】填空题 【考查类型】中考真题 【试题级别】高三 【试题地区】上海【试题来源】2018年高考数学真题试卷（上海卷）4.（2018•上海）设常数a R ∈，函数2()log ()f x x a =+，若f x （）的反函数的图像经过点31（，），则a= 。
【答案】7【解析】【解答】f x （）的反函数的图像经过点31（，），故()f x 过点3（1，），则()13f =，()2log 1a +=3，1+a=23所以a=23-1，故a=7.【分析】原函数()f x 与反函数图像关于y=x 对称，如：原函数上任意点()00,x y ，则反函数上点为()00,y x【题型】填空题 【考查类型】中考真题 【试题级别】高三 【试题地区】上海【试题来源】2018年高考数学真题试卷（上海卷）5.（2018•上海）已知复数z 满足117i z i +=-（）（i 是虚数单位），则∣z ∣= 。
2018年全国统一高考真题数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含答案及解析)
2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）设z=+2i，则|z|=（）A．0B．C．1D．2．（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2＞0}，则∁R A=（）A．{x|﹣1＜x＜2}B．{x|﹣1≤x≤2}C．{x|x＜﹣1}∪{x|x＞2}D．{x|x≤﹣1}∪{x|x≥2}3．（5分）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是（）A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=（）A．﹣12B．﹣10C．10D．125．（5分）设函数f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为（）A．y=﹣2x B．y=﹣x C．y=2x D．y=x6．（5分）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则=（）A．﹣B．﹣C．+D．+7．（5分）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（）A．2B．2C．3D．28．（5分）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（﹣2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则•=（）A．5B．6C．7D．89．（5分）已知函数f（x）=，g（x）=f（x）+x+a．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（）A．[﹣1，0）B．[0，+∞）C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）10．（5分）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则（）A．p1=p2B．p1=p3C．p2=p3D．p1=p2+p3 11．（5分）已知双曲线C：﹣y2=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N．若△OMN为直角三角形，则|MN|=（）A．B．3C．2D．412．（5分）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2018年上海市高考数学试卷(含详细答案解析)
2018年上海市高考数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1．（4分）行列式的值为．2．（4分）双曲线﹣y2=1的渐近线方程为．3．（4分）在（1+x）7的二项展开式中，x2项的系数为（结果用数值表示）．4．（4分）设常数a∈R，函数f（x）=1og2（x+a）．若f（x）的反函数的图象经过点（3，1），则a=．5．（4分）已知复数z满足（1+i）z=1﹣7i（i是虚数单位），则|z|=．6．（4分）记等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3=0，a6+a7=14，则S7=．7．（5分）已知α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3}，若幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，则α=．8．（5分）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0）、B（2，0），E、F是y轴上的两个动点，且||=2，则的最小值为．9．（5分）有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是（结果用最简分数表示）．10．（5分）设等比数列{a n}的通项公式为a n=q n﹣1（n∈N*），前n项和为S n．若=，则q=．11．（5分）已知常数a＞0，函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）．若2p+q=36pq，则a=．12．（5分）已知实数x1、x2、y1、y2满足：x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，则+的最大值为．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．（5分）设P是椭圆=1上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为（）A．2 B．2 C．2 D．414．（5分）已知a∈R，则“a＞1”是“＜1”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件15．（5分）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）A．4 B．8 C．12 D．1616．（5分）设D是函数1的有限实数集，f（x）是定义在D上的函数，若f（x）的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，f（1）的可能取值只能是（）A．B．C．D．0三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14分）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2．（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设PO=4，OA、OB是底面半径，且∠AOB=90°，M为线段AB的中点，如图．求异面直线PM与OB所成的角的大小．18．（14分）设常数a∈R，函数f（x）=asin2x+2cos2x．（1）若f（x）为偶函数，求a的值；（2）若f（）=+1，求方程f（x）=1﹣在区间[﹣π，π]上的解．19．（14分）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S中x%（0＜x＜100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为f（x）=（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族S的人均通勤时间g（x）的表达式；讨论g（x）的单调性，并说明其实际意义．20．（16分）设常数t＞2．在平面直角坐标系xOy中，已知点F（2，0），直线l：x=t，曲线Γ：y2=8x（0≤x≤t，y≥0）．l与x轴交于点A、与Γ交于点B．P、Q 分别是曲线Γ与线段AB上的动点．（1）用t表示点B到点F的距离；（2）设t=3，|FQ|=2，线段OQ的中点在直线FP上，求△AQP的面积；（3）设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．21．（18分）给定无穷数列{a n}，若无穷数列{b n}满足：对任意n∈N*，都有|b n ﹣a n|≤1，则称{b n}与{a n}“接近”．（1）设{a n}是首项为1，公比为的等比数列，b n=a n+1+1，n∈N*，判断数列{b n}是否与{a n}接近，并说明理由；（2）设数列{a n}的前四项为：a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，{b n}是一个与{a n}接近的数列，记集合M={x|x=b i，i=1，2，3，4}，求M中元素的个数m；（3）已知{a n}是公差为d的等差数列，若存在数列{b n}满足：{b n}与{a n}接近，且在b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中至少有100个为正数，求d的取值范围．2018年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1．（4分）行列式的值为18．【分析】直接利用行列式的定义，计算求解即可．【解答】解：行列式=4×5﹣2×1=18．故答案为：18．【点评】本题考查行列式的定义，运算法则的应用，是基本知识的考查．2．（4分）双曲线﹣y2=1的渐近线方程为±．【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵双曲线的a=2，b=1，焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为y=±∴双曲线的渐近线方程为y=±故答案为：y=±【点评】本题考察了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想3．（4分）在（1+x）7的二项展开式中，x2项的系数为21（结果用数值表示）．【分析】利用二项式展开式的通项公式求得展开式中x2的系数．【解答】解：二项式（1+x）7展开式的通项公式为T r+1=•x r，令r=2，得展开式中x2的系数为=21．故答案为：21．【点评】本题考查了二项展开式的通项公式的应用问题，是基础题．4．（4分）设常数a∈R，函数f（x）=1og2（x+a）．若f（x）的反函数的图象经过点（3，1），则a=7．【分析】由反函数的性质得函数f（x）=1og2（x+a）的图象经过点（1，3），由此能求出a．【解答】解：∵常数a∈R，函数f（x）=1og2（x+a）．f（x）的反函数的图象经过点（3，1），∴函数f（x）=1og2（x+a）的图象经过点（1，3），∴log2（1+a）=3，解得a=7．故答案为：7．【点评】本题考查实数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．5．（4分）已知复数z满足（1+i）z=1﹣7i（i是虚数单位），则|z|=5．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：由（1+i）z=1﹣7i，得，则|z|=．故答案为：5．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．6．（4分）记等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3=0，a6+a7=14，则S7=14．【分析】利用等差数列通项公式列出方程组，求出a1=﹣4，d=2，由此能求出S7．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=0，a6+a7=14，∴，解得a1=﹣4，d=2，∴S7=7a1+=﹣28+42=14．故答案为：14．【点评】本题考查等差数列的前7项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．7．（5分）已知α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3}，若幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，则α=﹣1．【分析】由幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，得到a是奇数，且a＜0，由此能求出a的值．【解答】解：∵α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3}，幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，∴a是奇数，且a＜0，∴a=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查实数值的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．8．（5分）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0）、B（2，0），E、F是y轴上的两个动点，且||=2，则的最小值为﹣3．【分析】据题意可设E（0，a），F（0，b），从而得出|a﹣b|=2，即a=b+2，或b=a+2，并可求得，将a=b+2带入上式即可求出的最小值，同理将b=a+2带入，也可求出的最小值．【解答】解：根据题意，设E（0，a），F（0，b）；∴；∴a=b+2，或b=a+2；且；∴；当a=b+2时，；∵b2+2b﹣2的最小值为；∴的最小值为﹣3，同理求出b=a+2时，的最小值为﹣3．故答案为：﹣3．【点评】考查根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的数量积运算，二次函数求最值的公式．9．（5分）有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是（结果用最简分数表示）．【分析】求出所有事件的总数，求出三个砝码的总质量为9克的事件总数，然后求解概率即可．【解答】解：编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，3个数中含有1个2；2个2，没有2，3种情况，所有的事件总数为：=10，这三个砝码的总质量为9克的事件只有：5，3，1或5，2，2两个，所以：这三个砝码的总质量为9克的概率是：=，故答案为：．【点评】本题考查古典概型的概率的求法，是基本知识的考查．10．（5分）设等比数列{a n}的通项公式为a n=q n﹣1（n∈N*），前n项和为S n．若=，则q=3．【分析】利用等比数列的通项公式求出首项，通过数列的极限，列出方程，求解公比即可．【解答】解：等比数列{a n}的通项公式为a=q n﹣1（n∈N*），可得a1=1，因为=，所以数列的公比不是1，，a n=q n．+1可得====，可得q=3．故答案为：3．【点评】本题考查数列的极限的运算法则的应用，等比数列求和以及等比数列的简单性质的应用，是基本知识的考查．11．（5分）已知常数a＞0，函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）．若2p+q=36pq，则a=6．【分析】直接利用函数的关系式，利用恒等变换求出相应的a值．【解答】解：函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）．则：，整理得：=1，解得：2p+q=a2pq，由于：2p+q=36pq，所以：a2=36，由于a＞0，故：a=6．故答案为：6【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，代数式的变换问题的应用．12．（5分）已知实数x1、x2、y1、y2满足：x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，则+的最大值为+．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），=（x1，y1），=（x2，y2），由圆的方程和向量数量积的定义、坐标表示，可得三角形OAB为等边三角形，AB=1，+的几何意义为点A，B两点到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和，由两平行线的距离可得所求最大值．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），=（x1，y1），=（x2，y2），由x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，可得A，B两点在圆x2+y2=1上，且•=1×1×cos∠AOB=，即有∠AOB=60°，即三角形OAB为等边三角形，AB=1，+的几何意义为点A，B两点到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和，显然A，B在第三象限，AB所在直线与直线x+y=1平行，可设AB：x+y+t=0，（t＞0），由圆心O到直线AB的距离d=，可得2=1，解得t=，即有两平行线的距离为=，即+的最大值为+，故答案为：+．【点评】本题考查向量数量积的坐标表示和定义，以及圆的方程和运用，考查点与圆的位置关系，运用点到直线的距离公式是解题的关键，属于难题．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．（5分）设P是椭圆=1上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为（）A．2 B．2 C．2 D．4【分析】判断椭圆长轴（焦点坐标）所在的轴，求出a，接利用椭圆的定义，转化求解即可．【解答】解：椭圆=1的焦点坐标在x轴，a=，P是椭圆=1上的动点，由椭圆的定义可知：则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a=2．故选：C．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，是基本知识的考查．14．（5分）已知a∈R，则“a＞1”是“＜1”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【分析】“a＞1”⇒“”，“”⇒“a＞1或a＜0”，由此能求出结果．【解答】解：a∈R，则“a＞1”⇒“”，“”⇒“a＞1或a＜0”，∴“a＞1”是“”的充分非必要条件．故选：A．【点评】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．15．（5分）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）A．4 B．8 C．12 D．16【分析】根据新定义和正六边形的性质可得答案．【解答】解：根据正六边形的性质，则D1﹣A1ABB1，D1﹣A1AFF1满足题意，而C1，E1，C，D，E，和D1一样，有2×4=8，当A1ACC1为底面矩形，有4个满足题意，当A1AEE1为底面矩形，有4个满足题意，故有8+4+4=16故选：D．【点评】本题考查了新定义，以及排除组合的问题，考查了棱柱的特征，属于中档题．16．（5分）设D是函数1的有限实数集，f（x）是定义在D上的函数，若f（x）的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，f（1）的可能取值只能是（）A．B．C．D．0【分析】直接利用定义函数的应用求出结果．【解答】解：由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合．我们可以通过代入和赋值的方法当f（1）=，，0时，此时得到的圆心角为，，0，然而此时x=0或者x=1时，都有2个y与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个x只能对应一个y，因此只有当x=，此时旋转，此时满足一个x只会对应一个y，因此答案就选：B．故选：B．【点评】本题考查的知识要点：定义性函数的应用．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14分）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2．（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设PO=4，OA、OB是底面半径，且∠AOB=90°，M为线段AB的中点，如图．求异面直线PM与OB所成的角的大小．【分析】（1）由圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线长为4能求出圆锥的体积．（2）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PM与OB所成的角．【解答】解：（1）∵圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线长为4，∴圆锥的体积V===．（2）∵PO=4，OA，OB是底面半径，且∠AOB=90°，M为线段AB的中点，∴以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，P（0，0，4），A（2，0，0），B（0，2，0），M（1，1，0），O（0，0，0），=（1，1，﹣4），=（0，2，0），设异面直线PM与OB所成的角为θ，则cosθ===．∴θ=arccos．∴异面直线PM与OB所成的角的为arccos．【点评】本题考查圆锥的体积的求法，考查异面直线所成角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．18．（14分）设常数a∈R，函数f（x）=asin2x+2cos2x．（1）若f（x）为偶函数，求a的值；（2）若f（）=+1，求方程f（x）=1﹣在区间[﹣π，π]上的解．【分析】（1）根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出，（2）先求出a的值，再根据三角形函数的性质即可求出．【解答】解：（1）∵f（x）=asin2x+2cos2x，∴f（﹣x）=﹣asin2x+2cos2x，∵f（x）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴﹣asin2x+2cos2x=asin2x+2cos2x，∴2asin2x=0，∴a=0；（2）∵f（）=+1，∴asin+2cos2（）=a+1=+1，∴a=，∴f（x）=sin2x+2cos2x=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1，∵f（x）=1﹣，∴2sin（2x+）+1=1﹣，∴sin（2x+）=﹣，∴2x+=﹣+2kπ，或2x+=π+2kπ，k∈Z，∴x=﹣π+kπ，或x=π+kπ，k∈Z，∵x∈[﹣π，π]，∴x=或x=或x=﹣或x=﹣【点评】本题考查了三角函数的化简和求值，以及三角函数的性质，属于基础题．19．（14分）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S中x%（0＜x＜100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为f（x）=（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族S的人均通勤时间g（x）的表达式；讨论g（x）的单调性，并说明其实际意义．【分析】（1）由题意知求出f（x）＞40时x的取值范围即可；（2）分段求出g（x）的解析式，判断g（x）的单调性，再说明其实际意义．【解答】解；（1）由题意知，当30＜x＜100时，f（x）=2x+﹣90＞40，即x2﹣65x+900＞0，解得x＜20或x＞45，∴x∈（45，100）时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；（2）当0＜x≤30时，g（x）=30•x%+40（1﹣x%）=40﹣；当30＜x＜100时，g（x）=（2x+﹣90）•x%+40（1﹣x%）=﹣x+58；∴g（x）=；当0＜x＜32.5时，g（x）单调递减；当32.5＜x＜100时，g（x）单调递增；说明该地上班族S中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的；当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少．【点评】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力．20．（16分）设常数t＞2．在平面直角坐标系xOy中，已知点F（2，0），直线l：x=t，曲线Γ：y2=8x（0≤x≤t，y≥0）．l与x轴交于点A、与Γ交于点B．P、Q 分别是曲线Γ与线段AB上的动点．（1）用t表示点B到点F的距离；（2）设t=3，|FQ|=2，线段OQ的中点在直线FP上，求△AQP的面积；（3）设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）方法一：设B点坐标，根据两点之间的距离公式，即可求得|BF|；方法二：根据抛物线的定义，即可求得|BF|；（2）根据抛物线的性质，求得Q点坐标，即可求得OD的中点坐标，即可求得直线PF的方程，代入抛物线方程，即可求得P点坐标，即可求得△AQP的面积；（3）设P及E点坐标，根据直线k PF•k FQ=﹣1，求得直线QF的方程，求得Q点坐标，根据+=，求得E点坐标，则（）2=8（+6），即可求得P点坐标．【解答】解：（1）方法一：由题意可知：设B（t，2t），则|BF|==t+2，∴|BF|=t+2；方法二：由题意可知：设B（t，2t），由抛物线的性质可知：|BF|=t+=t+2，∴|BF|=t+2；（2）F（2，0），|FQ|=2，t=3，则|FA|=1，∴|AQ|=，∴Q（3，），设OQ的中点D，D（，），k QF==﹣，则直线PF方程：y=﹣（x﹣2），联立，整理得：3x2﹣20x+12=0，解得：x=，x=6（舍去），∴△AQP的面积S=××=；（3）存在，设P（，y），E（，m），则k PF==，k FQ=，直线QF方程为y=（x﹣2），∴y Q=（8﹣2）=，Q（8，），根据+=，则E（+6，），∴（）2=8（+6），解得：y2=，∴存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上，且P（，）．【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查转化思想，计算能力，属于中档题．21．（18分）给定无穷数列{a n}，若无穷数列{b n}满足：对任意n∈N*，都有|b n ﹣a n|≤1，则称{b n}与{a n}“接近”．（1）设{a n}是首项为1，公比为的等比数列，b n=a n+1+1，n∈N*，判断数列{b n}是否与{a n}接近，并说明理由；（2）设数列{a n}的前四项为：a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，{b n}是一个与{a n}接近的数列，记集合M={x|x=b i，i=1，2，3，4}，求M中元素的个数m；（3）已知{a n}是公差为d的等差数列，若存在数列{b n}满足：{b n}与{a n}接近，且在b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中至少有100个为正数，求d的取值范围．【分析】（1）运用等比数列的通项公式和新定义“接近”，即可判断；（2）由新定义可得a n﹣1≤b n≤a n+1，求得b i，i=1，2，3，4的范围，即可得到所求个数；（3）运用等差数列的通项公式可得a n，讨论公差d＞0，d=0，﹣2＜d＜0，d≤﹣2，结合新定义“接近”，推理和运算，即可得到所求范围．【解答】解：（1）数列{b n}与{a n}接近．理由：{a n}是首项为1，公比为的等比数列，可得a n=，b n=a n+1+1=+1，则|b n﹣a n|=|+1﹣|=1﹣＜1，n∈N*，可得数列{b n}与{a n}接近；（2）{b n}是一个与{a n}接近的数列，可得a n﹣1≤b n≤a n+1，数列{a n}的前四项为：a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，可得b1∈[0，2]，b2∈[1，3]，b3∈[3，5]，b4∈[7，9]，可能b1与b2相等，b2与b3相等，但b1与b3不相等，b4与b3不相等，集合M={x|x=b i，i=1，2，3，4}，M中元素的个数m=3或4；（3）{a n}是公差为d的等差数列，若存在数列{b n}满足：{b n}与{a n}接近，可得a n=a1+（n﹣1）d，①若d＞0，取b n=a n，可得b n+1﹣b n=a n+1﹣a n=d＞0，则b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中有200个正数，符合题意；②若d=0，取b n=a1﹣，则|b n﹣a n|=|a1﹣﹣a1|=＜1，n∈N*，可得b n+1﹣b n=﹣＞0，则b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中有200个正数，符合题意；③若﹣2＜d＜0，可令b2n﹣1=a2n﹣1﹣1，b2n=a2n+1，则b2n﹣b2n﹣1=a2n+1﹣（a2n﹣1﹣1）=2+d＞0，则b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中恰有100个正数，符合题意；④若d≤﹣2，若存在数列{b n}满足：{b n}与{a n}接近，即为a n﹣1≤b n≤a n+1，a n+1﹣1≤b n+1≤a n+1+1，可得b n+1﹣b n≤a n+1+1﹣（a n﹣1）=2+d≤0，b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中无正数，不符合题意．综上可得，d的范围是（﹣2，+∞）．【点评】本题考查新定义“接近”的理解和运用，考查等差数列和等比数列的定义和通项公式的运用，考查分类讨论思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题．第21页（共21页）。
(完整版)2018年上海高考数学试卷(参考答案)
2018年普通高等学校招生全国统一考试上海 数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1.行列式4125的值为_________.2.双曲线2214x y -=的渐近线方程为_________. 3.在7(1)x +的二项展开式中，2x 项的系数为_________.（结果用数值表示） 4.设常数a R ∈，函数2()log ()f x x a =+。
若()f x 的反函数的图像经过点(3,1)，则a =_________.5.已知复数z 满足(1)17i z i +=-（i 是虚数单位），则z =_________.6.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若30a =，6714a a +=，则7S =_________.7.已知12,1,,1,2,32α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭。
若幂函数()f x x α=为奇函数，且在(0,)+∞上递减，则 α=_________.8.在平面直角坐标系中，已知点(1,0)A -，(2,0)B ，E 、F 是y 轴上的两个动点，且2EF =u u u r，则AE BF ⋅u u u r u u u r的最小值为_________.9.有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个。
从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是_________.（结果用最简分数表示）10.设等比数列{}n a 的通项公式为1n n a q-=（*n ∈N ），前n 项和为n S 。
若11lim2n n n S a →+∞+=，则q =_________.11.已知常数0a >，函数2()2x x f x ax =+的图像经过点6,5P p ⎛⎫ ⎪⎝⎭、1,5Q q ⎛⎫- ⎪⎝⎭。
若236p q pq +=，则a =_________.12.已知实数1x 、2x 、1y 、2y 满足：22111x y +=，22221x y +=，121212x x y y +=，则的最大值为_________.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）13.设P 是椭圆22153x y +=上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ） （A） （B） （C） （D） 14.已知a ∈R ，则“1a >”是“11a<”的（ ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件 15.《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马。
2018年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅱ)(含解析版)
2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）=（）A．i B．C．D．2．（5分）已知集合A={（x，y）|x2+y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为（）A．9B．8C．5D．43．（5分）函数f（x）=的图象大致为（）A．B．C．D．4．（5分）已知向量，满足||=1，=﹣1，则•（2）=（）A．4B．3C．2D．05．（5分）双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则其渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x6．（5分）在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（）A．4B．C．D．27．（5分）为计算S=1﹣+﹣+…+﹣，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入（）A．i=i+1B．i=i+2C．i=i+3D．i=i+48．（5分）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30=7+23．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（）A．B．C．D．9．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为（）A．B．CD．10．（5分）若f（x）=cosx﹣sinx在[﹣a，a]是减函数，则a的最大值是（）A．B．C．D．π11．（5分）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）=f（1+x），若f（1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（）A．﹣50B．0C．2D．5012．（5分）已知F1，F2是椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A 且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P=120°，则C的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2018年上海高考数学真题及答案
2018年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1．（4分）（2018?上海）行列式的值为18．【考点】OM：二阶行列式的定义．【专题】11 ：计算题；49 ：综合法；5R ：矩阵和变换．【分析】直接利用行列式的定义，计算求解即可．【解答】解：行列式=4×5﹣2×1=18．故答案为：18．【点评】本题考查行列式的定义，运算法则的应用，是基本知识的考查．2．（4分）（2018?上海）双曲线﹣y2=1的渐近线方程为±．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11 ：计算题．【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵双曲线的a=2，b=1，焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为y=±∴双曲线的渐近线方程为y=±故答案为：y=±【点评】本题考察了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想3．（4分）（2018?上海）在（1+x）7的二项展开式中，x2项的系数为21（结果用数值表示）．【考点】DA：二项式定理．【专题】38 ：对应思想；4O：定义法；5P ：二项式定理．【分析】利用二项式展开式的通项公式求得展开式中x2的系数．【解答】解：二项式（1+x）7展开式的通项公式为T r+1=?x r，令r=2，得展开式中x2的系数为=21．故答案为：21．【点评】本题考查了二项展开式的通项公式的应用问题，是基础题．4．（4分）（2018?上海）设常数a∈R，函数f（x）=1og2（x+a）．若f（x）的反函数的图象经过点（3，1），则a=7．【考点】4R：反函数．【专题】11 ：计算题；33 ：函数思想；4O：定义法；51 ：函数的性质及应用．【分析】由反函数的性质得函数f（x）=1og2（x+a）的图象经过点（1，3），由此能求出a．【解答】解：∵常数a∈R，函数f（x）=1og2（x+a）．f（x）的反函数的图象经过点（3，1），∴函数f（x）=1og2（x+a）的图象经过点（1，3），∴log2（1+a）=3，解得a=7．故答案为：7．【点评】本题考查实数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．5．（4分）（2018?上海）已知复数z满足（1+i）z=1﹣7i（i是虚数单位），则|z|= 5．【考点】A8：复数的模．【专题】38 ：对应思想；4A ：数学模型法；5N ：数系的扩充和复数．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：由（1+i）z=1﹣7i，得，则|z|=．故答案为：5．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．6．（4分）（2018?上海）记等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3=0，a6+a7=14，则S7=14．【考点】85：等差数列的前n项和．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列通项公式列出方程组，求出a1=﹣4，d=2，由此能求出S7．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=0，a6+a7=14，∴，解得a1=﹣4，d=2，∴S7=7a1+=﹣28+42=14．故答案为：14．【点评】本题考查等差数列的前7项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．7．（5分）（2018?上海）已知α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3}，若幂函数f （x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，则α＝﹣1．【考点】4U：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；51 ：函数的性质及应用．【分析】由幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，得到a是奇数，且a＜0，由此能求出a的值．【解答】解：∵α∈{﹣2，﹣1，，1，2，3}，幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，∴a是奇数，且a＜0，∴a=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查实数值的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．8．（5分）（2018?上海）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0）、B（2，0），E、F是y轴上的两个动点，且||=2，则的最小值为﹣3．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；41 ：向量法；5A ：平面向量及应用．【分析】据题意可设E（0，a），F（0，b），从而得出|a﹣b|=2，即a=b+2，或b=a+2，并可求得，将a=b+2带入上式即可求出的最小值，同理将b=a+2带入，也可求出的最小值．【解答】解：根据题意，设E（0，a），F（0，b）；∴；∴a=b+2，或b=a+2；且；∴；当a=b+2时，；∵b2+2b﹣2的最小值为；∴的最小值为﹣3，同理求出b=a+2时，的最小值为﹣3．故答案为：﹣3．【点评】考查根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的数量积运算，二次函数求最值的公式．9．（5分）（2018?上海）有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是（结果用最简分数表示）．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；49 ：综合法；5I ：概率与统计．【分析】求出所有事件的总数，求出三个砝码的总质量为9克的事件总数，然后求解概率即可．【解答】解：编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，3个数中含有1个2；2个2，没有2，3种情况，所有的事件总数为：=10，这三个砝码的总质量为9克的事件只有：5，3，1或5，2，2两个，所以：这三个砝码的总质量为9克的概率是：=，故答案为：．【点评】本题考查古典概型的概率的求法，是基本知识的考查．10．（5分）（2018?上海）设等比数列{a n}的通项公式为a n=q n﹣1（n∈N*），前n 项和为S n．若=，则q=3．【考点】8J：数列的极限．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；35 ：转化思想；49 ：综合法；55 ：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】利用等比数列的通项公式求出首项，通过数列的极限，列出方程，求解公比即可．【解答】解：等比数列{a n}的通项公式为a=q n﹣1（n∈N*），可得a1=1，因为=，所以数列的公比不是1，，a n+1=q n．可得====，可得q=3．故答案为：3．【点评】本题考查数列的极限的运算法则的应用，等比数列求和以及等比数列的简单性质的应用，是基本知识的考查．11．（5分）（2018?上海）已知常数a＞0，函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）．若2p+q=36pq，则a=6．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】35 ：转化思想；51 ：函数的性质及应用．【分析】直接利用函数的关系式，利用恒等变换求出相应的a值．【解答】解：函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）．则：，整理得：=1，解得：2p+q=a2pq，由于：2p+q=36pq，所以：a2=36，由于a＞0，故：a=6．故答案为：6【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，代数式的变换问题的应用．12．（5分）（2018?上海）已知实数x1、x2、y1、y2满足：x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，则+的最大值为+．【考点】7F：基本不等式及其应用；IT：点到直线的距离公式．【专题】35 ：转化思想；48 ：分析法；59 ：不等式的解法及应用．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），=（x1，y1），=（x2，y2），由圆的方程和向量数量积的定义、坐标表示，可得三角形OAB为等边三角形，AB=1，+的几何意义为点A，B两点到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和，由两平行线的距离可得所求最大值．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），=（x1，y1），=（x2，y2），由x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，可得A，B两点在圆x2+y2=1上，且?=1×1×cos∠AOB=，即有∠AOB=60°，即三角形OAB为等边三角形，AB=1，+的几何意义为点A，B两点到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和，显然A，B在第三象限，AB所在直线与直线x+y=1平行，可设AB：x+y+t=0，（t＞0），由圆心O到直线AB的距离d=，可得2=1，解得t=，即有两平行线的距离为=，即+的最大值为+，故答案为：+．【点评】本题考查向量数量积的坐标表示和定义，以及圆的方程和运用，考查点与圆的位置关系，运用点到直线的距离公式是解题的关键，属于难题．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．（5分）（2018?上海）设P是椭圆=1上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为（）A．2 B．2 C．2 D．4【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11 ：计算题；49 ：综合法；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】判断椭圆长轴（焦点坐标）所在的轴，求出a，接利用椭圆的定义，转化求解即可．【解答】解：椭圆=1的焦点坐标在x轴，a=，P是椭圆=1上的动点，由椭圆的定义可知：则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a=2．故选：C．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，是基本知识的考查．＞1”是“＜1”的（）14．（5分）（2018?上海）已知a∈R，则“ａA．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；5L ：简易逻辑．【分析】“ａ＞1”?“”，“”?“ａ＞1或a＜0”，由此能求出结果．【解答】解：a∈R，则“ａ＞1”?“”，“”?“ａ＞1或a＜0”，∴“ａ＞1”是“”的充分非必要条件．故选：A．【点评】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．15．（5分）（2018?上海）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）A．4 B．8 C．12 D．16【考点】D8：排列、组合的实际应用．【专题】11 ：计算题；38 ：对应思想；4R：转化法；5O ：排列组合．【分析】根据新定义和正六边形的性质可得答案．【解答】解：根据正六边形的性质，则D1﹣A1ABB1，D1﹣A1AFF1满足题意，而C1，E1，C，D，E，和D1一样，有2×6=12，当A1ACC1为底面矩形，有2个满足题意，当A1AEE1为底面矩形，有2个满足题意，故有12+2+2=16故选：D．【点评】本题考查了新定义，以及排除组合的问题，考查了棱柱的特征，属于中档题．16．（5分）（2018?上海）设D是含数1的有限实数集，f（x）是定义在D上的函数，若f（x）的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，f（1）的可能取值只能是（）A．B．C．D．0【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】35 ：转化思想；51 ：函数的性质及应用；56 ：三角函数的求值．【分析】直接利用定义函数的应用求出结果．【解答】解：由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合．我们可以通过代入和赋值的方法当f（1）=，，0时，此时得到的圆心角为，，0，然而此时x=0或者x=1时，都有2个y与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个x只能对应一个y，因此只有当x=，此时旋转，此时满足一个x只会对应一个y，因此答案就选：B．故选：B．【点评】本题考查的知识要点：定义性函数的应用．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14分）（2018?上海）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2．（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设PO=4，OA、OB是底面半径，且∠AOB=90°，M为线段AB的中点，如图．求异面直线PM与OB所成的角的大小．【考点】LM：异面直线及其所成的角；L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】11 ：计算题；31 ：数形结合；41 ：向量法；5F ：空间位置关系与距离；5G ：空间角．【分析】（1）由圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线长为4能求出圆锥的体积．（2）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PM与OB所成的角．【解答】解：（1）∵圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线长为4，∴圆锥的体积V===．（2）∵PO=4，OA，OB是底面半径，且∠AOB=90°，M为线段AB的中点，∴以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，P（0，0，4），A（2，0，0），B（0，2，0），M（1，1，0），O（0，0，0），=（1，1，﹣4），=（0，2，0），设异面直线PM与OB所成的角为θ，则cosθ＝==．∴θ=arccos．∴异面直线PM与OB所成的角的为arccos．【点评】本题考查圆锥的体积的求法，考查异面直线所成角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．18．（14分）（2018?上海）设常数a∈R，函数f（x）=asin2x+2cos2x．（1）若f（x）为偶函数，求a的值；（2）若f（）=+1，求方程f（x）=1﹣在区间[﹣π，π]上的解．【考点】GP：两角和与差的三角函数；GS：二倍角的三角函数．【专题】11 ：计算题；38 ：对应思想；4R：转化法；58 ：解三角形．【分析】（1）根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出，（2）先求出a的值，再根据三角形函数的性质即可求出．【解答】解：（1）∵f（x）=asin2x+2cos2x，∴f（﹣x）=﹣asin2x+2cos2x，∵f（x）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴﹣asin2x+2cos2x=asin2x+2cos2x，∴2asin2x=0，∴a=0；（2）∵f（）=+1，∴asin+2cos2（）=a+1=+1，∴a=，∴f（x）=sin2x+2cos2x=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1，∵f（x）=1﹣，∴2sin（2x+）+1=1﹣，∴sin（2x+）=﹣，∴2x+=﹣+2kπ，或2x+=π+2kπ，k∈Z，∴x=﹣π+kπ，或x=π+kπ，k∈Z，∵x∈[﹣π，π]，∴x=或x=或x=﹣或x=﹣【点评】本题考查了三角函数的化简和求值，以及三角函数的性质，属于基础题．19．（14分）（2018?上海）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S中x%（0＜x＜100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为f（x）=（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族S的人均通勤时间g（x）的表达式；讨论g（x）的单调性，并说明其实际意义．【考点】5B：分段函数的应用．【专题】12 ：应用题；33 ：函数思想；4C ：分类法；51 ：函数的性质及应用．【分析】（1）由题意知求出f（x）＞40时x的取值范围即可；（2）分段求出g（x）的解析式，判断g（x）的单调性，再说明其实际意义．【解答】解；（1）由题意知，当30＜x＜100时，f（x）=2x+﹣90＞40，即x2﹣65x+900＞0，解得x＜20或x＞45，∴x∈（45，100）时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；（2）当0＜x≤30时，g（x）=30?x%+40（1﹣x%）=40﹣；当30＜x＜100时，g（x）=（2x+﹣90）?x%+40（1﹣x%）=﹣x+58；∴g（x）=；当0＜x＜32.5时，g（x）单调递减；当32.5＜x＜100时，g（x）单调递增；说明该地上班族S中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的；当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少．【点评】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力．20．（16分）（2018?上海）设常数t＞2．在平面直角坐标系xOy中，已知点F（2，0），直线l：x=t，曲线Γ：y2=8x（0≤x≤t，y≥0）．l与x轴交于点A、与Γ交于点B．P、Q分别是曲线Γ与线段AB上的动点．（1）用t表示点B到点F的距离；（2）设t=3，|FQ|=2，线段OQ的中点在直线FP上，求△AQP的面积；（3）设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．【考点】KN：直线与抛物线的位置关系．【专题】35 ：转化思想；4R：转化法；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）方法一：设B点坐标，根据两点之间的距离公式，即可求得|BF|；方法二：根据抛物线的定义，即可求得|BF|；（2）根据抛物线的性质，求得Q点坐标，即可求得OD的中点坐标，即可求得直线PF的方程，代入抛物线方程，即可求得P点坐标，即可求得△AQP的面积；（3）设P及E点坐标，根据直线k PF?k FQ=﹣1，求得直线QF的方程，求得Q点坐标，根据+=，求得E点坐标，则（）2=8（+6），即可求得P点坐标．【解答】解：（1）方法一：由题意可知：设B（t，2t），则|BF|==t+2，∴|BF|=t+2；方法二：由题意可知：设B（t，2t），由抛物线的性质可知：|BF|=t+=t+2，∴|BF|=t+2；（2）F（2，0），|FQ|=2，t=3，则|FA|=1，∴|AQ|=，∴Q（3，），设OQ的中点D，D（，），k QF==﹣，则直线PF方程：y=﹣（x﹣2），联立，整理得：3x2﹣20x+12=0，解得：x=，x=6（舍去），∴△AQP的面积S=××=；（3）存在，设P（，y），E（，m），则k PF==，k FQ=，直线QF方程为y=（x﹣2），∴y Q=（8﹣2）=，Q（8，），根据+=，则E（+6，），∴（）2=8（+6），解得：y2=，∴存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上，且P（，）．【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查转化思想，计算能力，属于中档题．21．（18分）（2018?上海）给定无穷数列{a n}，若无穷数列{b n}满足：对任意n ∈N*，都有|b n﹣a n|≤1，则称{b n}与{a n}“接近”．（1）设{a n}是首项为1，公比为的等比数列，b n=a n+1+1，n∈N*，判断数列{b n}是否与{a n}接近，并说明理由；（2）设数列{a n}的前四项为：a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，{b n}是一个与{a n}接近的数列，记集合M={x|x=b i，i=1，2，3，4}，求M中元素的个数m；（3）已知{a n}是公差为d的等差数列，若存在数列{b n}满足：{b n}与{a n}接近，且在b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中至少有100个为正数，求d的取值范围．【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【专题】34 ：方程思想；48 ：分析法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】（1）运用等比数列的通项公式和新定义“接近”，即可判断；（2）由新定义可得a n﹣1≤b n≤a n+1，求得b i，i=1，2，3，4的范围，即可得到所求个数；（3）运用等差数列的通项公式可得a n，讨论公差d＞0，d=0，﹣2＜d＜0，d≤﹣2，结合新定义“接近”，推理和运算，即可得到所求范围．【解答】解：（1）数列{b n}与{a n}接近．理由：{a n}是首项为1，公比为的等比数列，可得a n=，b n=a n+1+1=+1，则|b n﹣a n|=|+1﹣|=1﹣＜1，n∈N*，可得数列{b n}与{a n}接近；（2）{b n}是一个与{a n}接近的数列，可得a n﹣1≤b n≤a n+1，数列{a n}的前四项为：a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，可得b1∈[0，2]，b2∈[1，3]，b3∈[3，5]，b4∈[7，9]，可能b1与b2相等，b2与b3相等，但b1与b3不相等，b4与b3不相等，集合M={x|x=b i，i=1，2，3，4}，M中元素的个数m=3或4；（3）{a n}是公差为d的等差数列，若存在数列{b n}满足：{b n}与{a n}接近，可得a n=a1+（n﹣1）d，①若d＞0，取b n=a n，可得b n+1﹣b n=a n+1﹣a n=d＞0，则b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中有200个正数，符合题意；②若d=0，取b n=a1﹣，则|b n﹣a n|=|a1﹣﹣a1|=＜1，n∈N*，可得b n+1﹣b n=﹣＞0，则b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中有200个正数，符合题意；③若﹣2＜d＜0，可令b2n﹣1=a2n﹣1﹣1，b2n=a2n+1，则b2n﹣b2n﹣1=a2n+1﹣（a2n﹣1﹣1）=2+d＞0，则b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中恰有100个正数，符合题意；④若d≤﹣2，若存在数列{b n}满足：{b n}与{a n}接近，即为a n﹣1≤b n≤a n+1，a n+1﹣1≤b n+1≤a n+1+1，可得b n+1﹣b n≤a n+1+1﹣（a n﹣1）=2+d≤0，b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中无正数，不符合题意．综上可得，d的范围是（﹣2，+∞）．【点评】本题考查新定义“接近”的理解和运用，考查等差数列和等比数列的定义和通项公式的运用，考查分类讨论思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题．感恩和爱是亲姐妹。
2018年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅰ)(含解析版)
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18．（12 分）如图，在平行四边形 ABCM 中，AB=AC=3，∠ACM=90°，以 AC 为 折痕将△ACM 折起，使点 M 到达点 D 的位置，且 AB⊥DA．
（1）证明：平面 ACD⊥平面 ABC； （2）Q 为线段 AD 上一点，P 为线段 BC 上一点，且 BP=DQ= DA，求三棱锥
A．12 π
B．12π
C．8 π
D．10π
【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积． 菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．
【分析】利用圆柱的截面是面积为 8 的正方形，求出圆柱的底面直径与高，然后
求解圆柱的表面积．
【解答】解：设圆柱的底面直径为 2R，则高为 2R，
（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于 0.35m3 的概率； （3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按 365 天计算，
同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）
20．（12 分）设抛物线 C：y2=2x，点 A（2，0），B（﹣2，0），过点 A 的直线 l 与 C 交于 M，N 两点．
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5 分）已知集合 A={0，2}，B={﹣2，﹣1，0，1，2}，则 A∩B=（ ）
A．{0，2}
B．{1，2}
C．{0}
D．{﹣2，﹣1，0，1，2}
【考点】1E：交集及其运算． 菁优网版权所有
问题解决问题的能力．
上海高考数学真题及答案
精心整理2018年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1. （4分）（2018?上海）行列式° 1的值为18 .2 5【考点】OM :二阶行列式的定义.【专题】11:计算题；49:综合法；5R:矩阵和变换.【分析】直接利用行列式的定义，计算求解即可.【解答】解：行列式*】=4X 5 -2X仁18.2 5 ；故答案为：18.【点评】本题考查行列式的定义，运算法则的应用，是基本知识的考查.2. （4分）（2018?上海）双曲线二;--y2 3 4 5 6=1的渐近线方程为土一工.【考点】KC :双曲线的性质.【专题】11:计算题.【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程.I 2 n【解答】解：•••双曲线’.■- |的a=2，b=1，焦点在x轴上2 2 ■| i u而双曲线------- 的渐近线方程为y=±二丁精心整理【分析】利用二项式展开式的通项公式求得展开式中x2的系数.2 I 1I——双曲线1的渐近线方程为y= ±寺芷故答案为：y=±—工【点评】本题考察了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想3. （4分）（2018?上海）在（1+x）7的二项展开式中，x2项的系数为21 （结果用数值表示）.【考点】DA :二项式定理.【解答】解：二项式（1+X）7展开式的通项公式为T r+1= ：?X「，令r=2,得展开式中x2的系数为c铲21.故答案为：21.【点评】本题考查了二项展开式的通项公式的应用问题，是基础题.4. （4分）（2018?上海）设常数a€ R,函数f （x）=1og2 （x+a）.若f （x）的反函数的图象经过点（3, 1）,则a= 7 .【考点】4R:反函数.【专题】11:计算题；33:函数思想；40:定义法；51:函数的性质及应用.【分析】由反函数的性质得函数f （x）=1og2 （x+a）的图象经过点（1, 3）,由此能求出a.【解答】解：•常数a€ R,函数 f （x）=1og2 （x+a）. 「f （x）的反函数的图象经过点（3, 1）,•••函数f （x）=1og2 （x+a）的图象经过点（1, 3）,•••Iog2 （1+a）=3,解得a=7.故答案为：7.【点评】本题考查实数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题.5. （4分）（2018?上海）已知复数z满足（1+i）z=1 - 7i （i是虚数单位），则| z| = 5 .【考点】A8 :复数的模.I\ I ;【专题】38:对应思想；4A:数学模型法；5N :数系的扩充和复数.【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案. 【解答】解：由（1+i）z=1 - 7i,得1-五-6-8i 戸得二（1+i ）（17〕，则|z|= 」二 ..故答案为：5.【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题.6. （4分）（2018?上海）记等差数列｛a n｝的前n项和为S n,若a3=0, a s+a z=14,则S7= 14 . 【考点】85:等差数列的前n项和.精心整理【专题】11:计算题；34:方程思想；40:定义法；54:等差数列与等比数列.【分析】利用等差数列通项公式列出方程组，求出a i=- 4, d=2，由此能求出S7.【解答】解：•••等差数列{a n}的前n项和为S n, a3=0, a6+a7=14.If ai+2d=0・・< a i+5a i+6d=l 4解得a i= - 4, d=2,••• S7=7a i+^^ 尸-28+42=14.故答案为：14.【点评】本题考查等差数列的前7项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题.7. (5分)(2018?上海)已知a€ { - 2,- 1,-一. 一，1, 2, 3}，若幕函数f (x) =x a为奇函数，■1—1且在(0, +x)上递减，则a= - 1 .【考点】4U :幕函数的概念、解析式、定义域、值域.【专题】11:计算题；34:方程思想；4O:定义法；51:函数的性质及应用.【分析】由幕函数f (x) =x a为奇函数，且在(0, +x)上递减，得到a是奇数，且a v0,由此能求出a的值.【解答】解: T a€ { - 2,- 1, 1, 1, 2, 3},幕函数f (x) =x a为奇函数，且在(0, +X)上递减，• a是奇数，且a v0,•••a=- 1.故答案为：-1.【点评】本题考查实数值的求法，考查幕函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题.8. (5分)(2018?上海)在平面直角坐标系中，已知点 A (- 1, 0)、B (2, 0), E、F是y轴上的两个动点，且|卩|=2，则二，匸的最小值为 -3 .【考点】9O:平面向量数量积的性质及其运算.【专题】11:计算题；35:转化思想；41:向量法；5A :平面向量及应用.【分析】据题意可设E (0, a), F (0, b),从而得出| a- b| =2，即a=b+2，或b=a+2，并可求得1|■ ■ - •,将a=b+2带入上式即可求出‘I的最小值，同理将b=a+2带入，也可求出.1 'I的最小值.精心整理【解答】解：根据题意，设E （0, a）, F （0, b）;二丨丨--:;•••a=b+2，或b=a+2 ；且|三站・• •「:；.••両■丽二一2十命；当a=b+2时，…丨.：「— | < | :;••• b2+2b- 2的最小值为；4 ■；• < -1 ；的最小值为-3,同理求出b=a+2时，Z-I卜的最小值为-3.故答案为：-3.【点评】考查根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的数量积运算，二次函数求最值的公式.9. （5分）（2018?上海）有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是丄（结果用最简分数表示）.—冬—【考点】CB :古典概型及其概率计算公式.【专题】11:计算题；34:方程思想；49 :综合法；51:概率与统计.【分析】求出所有事件的总数，求出三个砝码的总质量为9克的事件总数，然后求解概率即可.【解答】解：编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，3个数中含有1个2；2个2,没有2，3种情况，所有的事件总数为：心訂10，这三个砝码的总质量为9克的事件只有：5, 3, 1或5, 2, 2两个，所以：这三个砝码的总质量为9克的概率是：亠4,故答案为：亍.【点评】本题考查古典概型的概率的求法，是基本知识的考查.10. （5分）（2018?上海）设等比数列｛a n｝的通项公式为a n=q n_ 1（n€ N*）,前n项和为S n.若lim-—=^，贝卩q=—.n—K a n+i z【考点】8J:数列的极限.【专题】11:计算题；34:方程思想；35:转化思想；49:综合法；55:点列、递归数列与数学归纳法.【分析】禾I 」用等比数列的通项公式求出首项，通过数列的极限，列出方程，求解公比即可. 【解答】解：等比数列｛an ｝的通项公式为a =q"1 (n € N*),可得a i =1, 因为 r 八‘=丄，所以数列的公比不是1,n+s a n+l 乂【点评】本题考查数列的极限的运算法则的应用，等比数列求和以及等比数列的简单性质的应用, 是基本知识的考查.11. (5分)(2018?上海)已知常数a >0,函数f(x )=' 的图象经过点P(p,\),Q(q ,)•若2z +ax552p+q =36pq ，则 a= 6.【考点】3A :函数的图象与图象的变换. 【专题】35:转化思想；51:函数的性质及应用.【分析】直接利用函数的关系式，利用恒等变换求出相应的 a 值. 【解答】解：函数f (x ) =_-——的图象经过点P (p , ¥), Q (q ,丄).严十" 同 I 5 则：一二丄,2p +ap 2q faq 55整理得：「=1,2p+n + 2p aQ+2q ap+解得：2p+q =a 2pq , 由于：2p+q =36pq , 所以：a 2=36, 由于a >0, 故：a=6.口1 -Qna n +i =q .可得 lim “n -*-00 (l _q) q1」1可得q=3.故答案为：3.故答案为：6【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，代数式的变换问题的应用.12'( 5分)(2018?上海)已知实数"心 y1、y2 满足：Xl2+yi2=1, X22处1, X1X2+y1y2「则"I —"的最大值为一+亠【考点】7F :基本不等式及其应用；IT :点到直线的距离公式. 【专题】35:转化思想；48 :分析法；59 :不等式的解法及应用.【分析】设A (x i , y i ), B (x 2, y 2), OA = (x i , y i ), OB = (x 2, y 2),由圆的方程和向量数量积的为点A , B 两点到直线x+y - 1=0的距离d i 与d 2之和，由两平行线的距离可得所求最大值. 【解答】解：设 A (x i , y i ) , B (x 2, y 2),'■= (x i , y i ), l-= (X 2 , y 2),由 x i 2+y i 2=1, x 22+y 22=1 , x i x 2+y i y 2= 2可得A , B 两点在圆x 2+y 2=1上, 且玉鉅=1 X 1 x cos / AOB=L ,2 [- 即有/ AOB=6° ,即三角形OAB 为等边三角形, AB=1 ,弱'5弱"的几何意义为点A ，B 两点 到直线x+y - 1=0的距离d i 与d 2之和,显然A , B 在第三象限，AB 所在直线与直线x+y=1平行, 可设 AB : x+y+t=0 , (t > 0), 由圆心O 到直线AB 的距离精心整理即h 、川+丨丄「： 1的最大值为:-:+ ■;,V2 V2故答案为：.〕+「::.【点评】本题考查向量数量积的坐标表示和定义，以及圆的方程和运用，考查点与圆的位置关系， 运=■: 1 -苗2即有两平行线的距离为 定义、坐标表示,可得三角形 OAB 为等边三角形,AB=1,I xj+yI -11 J的几何意义可得2 ：二1=1，解得t=.,用点到直线的距离公式是解题的关键，属于难题.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项•考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.2 2|13. （5分）（2018?上海）设P是椭圆=1上的动点，贝U P到该椭圆的两个焦点的距离之和为5 3（）A. 2B. 2 :;C. 2 !.D. 4 '：：」［\ \ : J J ；'【考点】K4 :椭圆的性质.【专题】11:计算题；49:综合法；5D :圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】判断椭圆长轴（焦点坐标）所在的轴，求出a,接利用椭圆的定义，转化求解即可.2 2【解答】解：椭圆'=1的焦点坐标在x轴，a="，5 32 2 -P是椭圆I厂=1上的动点，由椭圆的定义可知：则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a=2 J 5 3故选：C.【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，是基本知识的考查.14. （5分）（2018?上海）已知a€ R,贝U “A1”是1”的（）A .充分非必要条件B .必要非充分条件C•充要条件D.既非充分又非必要条件【考点】29 :充分条件、必要条件、充要条件.【专题】11:计算题；34:方程思想；40:定义法；5L :简易逻辑.【分析】“A 1”？“丈1”，丄V1”？“A 1或a v 0”，由此能求出结果.a a【解答】解：a€ R,贝U “A1”？“V1”，a丄J .”？“a 1 或a v0”，a... “A 1”是丄"的充分非必要条件.a故选：A.精心整理【点评】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题.15. （5分）（2018?上海）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA i是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）A. 4B. 8C. 12D. 16【考点】D8:排列、组合的实际应用.【专题】11:计算题；38:对应思想；4R:转化法；5O:排列组合.【分析】根据新定义和正六边形的性质可得答案.【解答】解：根据正六边形的性质，则D1- A1ABB1, D1 - A1AFF1满足题意，而C1，E1，C，D，E,和D1 一样，有2X6=12，丿I J '当A1ACC1为底面矩形，有2个满足题意，当A1AEE1为底面矩形，有2个满足题意，故有12+2+2=16故选：D.【点评】本题考查了新定义，以及排除组合的问题，考查了棱柱的特征，属于中档题.16. （5分）（2018?上海）设D是含数1的有限实数集，f （x）是定义在D上的函数，若f （x）的图象绕原点逆时针旋转一后与原图象重合，则在以下各项中，f （1）的可能取值只能是（）6A. .「；B.C. _D. 0【考点】3A :函数的图象与图象的变换.【专题】35:转化思想；51:函数的性质及应用；56:三角函数的求值.I ■-.. I .【分析】直接利用定义函数的应用求出结果.【解答】解：由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转——个单位后6与下一个点会重合.我们可以通过代入和赋值的方法当 f （1）=亠一，0时，此时得到的圆心角为0,然而此时x=0或者x=1时，都有2个y与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个x只能对应一个y,因此只有当x=—，此时旋转，此时满足一个x只会对应一个y,因此答案就选：B.2 b故选：B .【点评】本题考查的知识要点：定义性函数的应用.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17. (14分)(2018?上海)已知圆锥的顶点为 P ,底面圆心为O ,半径为2. (1) 设圆锥的母线长为4,求圆锥的体积；(2) 设PO=4, OA 、OB 是底面半径，且/ AOB=9° , M 为线段AB 的中点，如图•求异面直线 PM 与OB 所成的角的大小.【考点】LM :异面直线及其所成的角；L5 :旋转体(圆柱、圆锥、圆台)；LF :棱柱、棱锥、棱 台的体积.【专题】11:计算题；31:数形结合；41 :向量法；5F :空间位置关系与距离；5G :空间角. 【分析】(1)由圆锥的顶点为P ,底面圆心为O ,半径为2,圆锥的母线长为4能求出圆锥的体积. (2)以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求 出异面直线PM 与OB 所成的角.I' ；: a | !【解答】解：(1) •••圆锥的顶点为P ,底面圆心为O ,半径为2,圆锥的母线长为4, •••圆锥的体积 v=£ X 71 心2 x h=7" X IT X 22 X^/7^-22J J =師兀■.(2) T PO=4, OA , OB 是底面半径，且 / AOB=9° , M 为线段AB 的中点，•••以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴， 建立空间直角坐标系，P (0, 0, 4), A (2, 0, 0), B (0, 2, 0), M (1, 1, 0), O (0, 0, 0),「二(1 , 1 , - 4) , ' = (0 , 2 , 0), 设异面直线PM 与OB 所成的角为9,• 9 =arcc飞'【点评】本题考查圆锥的体积的求法，考查异面直线所成角的正切值的求法，考查空间中线线、 面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题. 18. (14分)(2018?上海)设常数 a € R ,函数 f (x ) =asin2x+2cos 2x . (1) 若f (x )为偶函数,求a 的值；=I M -O E I =::.|wi | - |0B |6则 cos 9•异面直线PM 与OB 所成的角的为arccos —19. (14分)(2018?上海)某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的 平均用时.某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示：当 S 中X% (0v x v 100)的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为(2)若 f (K 7【考点】GP :两角和与差的三角函数；GS :二倍角的三角函数. 计算题；38:对应思想；4R :转化法；58:解三角形. )=丘+1,求方程f (x ) =1 -血在区间［-n n 上的解.【专题】11:【分析】(1)根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出, (2)先求出 a 的值，再根据三角形函数的性质即可求出.(1) v f (x ) =asin2x+2co$x , • f (- x ) = - asin2x+2co$x ,v f (x )为偶函数,【解答】解:• f (- x ) =f (x ),• - asin2x+2co$x=asin2x+2coSx , 二 2asi n2x=0, • a=0；(2) v f (丄)=-；+1 ,4• asin ——+2cos (日=a+1="，• f (x ) = :;si n2x+2coVx= :;si n2x+cos2x+1= 2sin (2x+—) +1 ,••• f (x ) =1 - :■:, • 2sin (2x+二)+1=1-近,6••• sin (2x • 2x^—=-66 4n +2k n, k € Z ,n +k n,或 x= 13 24n +k n, k € Z ,v x € [ -n n ,"24"13K ~24~【点评】本题考查了三角函数的化简和求值，以及三角函数的性质，属于基础题.或x=或x=- 或x=-IT+2kn,或精心整理IpO, 0<x<30f ( X )= 30< .<100 (单位：分钟)，I H 而公交群体的人均通勤时间不受 x 影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：(1) 当x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？(2) 求该地上班族S 的人均通勤时间g(x )的表达式；讨论g( x )的单调性，并说明其实际意义.【考点】5B :分段函数的应用.【专题】12:应用题；33:函数思想；4C :分类法；51:函数的性质及应用.【分析】(1)由题意知求出f (x ) >40时x 的取值范围即可；(2) 分段求出g (x )的解析式，判断g (x )的单调性，再说明其实际意义.【解答】解；(1)由题意知，当30v x V 100时，即 x 2- 65x+900>0,解得x V 20或x > 45，•I x € (45， 100)时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间;(2) 当 0v x <30 时,g (x ) =30?x%+40 (1-x%) =40-希;丄LJ当 30v x V 100 时, 当0V x v 32.5时，g (x )单调递减； 当32.5V x v 100时，g (x )单调递增;说明该地上班族S 中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的;有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的;当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少.【点评】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力.20. (16分)(2018?上海)设常数t >2•在平面直角坐标系xOy 中，已知点F (2, 0)，直线I : x=t ， 曲线r y 2=8x (0< x < t , y >0). I 与x 轴交于点A 、与r 交于点B . P 、Q 分别是曲线r 与线段 AB 上的动点.(1) 用t 表示点B 到点F 的距离;f (x ) =2x+1800 -90>40, (2x+^^To一 2 23 "102 90) ?x%+40 (1 - x%) 奇-托x+58; 13 10 g (x )= 二 g(x )（2） 设t=3, |FQ|=2,线段0Q 的中点在直线FP 上，求△ AQP 的面积；（3） 设t=8,是否存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ,使得点E 在r 上？若存在，求点P 的坐标; 若不存在，说明理由.【考点】KN :直线与抛物线的位置关系.【专题】35:转化思想；4R :转化法；5D :圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】（1）方法一：设B 点坐标，根据两点之间的距离公式，即可求得| BF| ;方法二：根据抛物线的定义，即可求得| BF| ;（2） 根据抛物线的性质，求得 Q 点坐标，即可求得0D 的中点坐标，即可求得直线 PF 的方程， 代入抛物线方程，即可求得 P 点坐标，即可求得△ AQP 的面积；（3） 设P 及E 点坐标，根据直线k PF ?k FQ = - 1，求得直线QF 的方程，求得Q 点坐标，根据「+卩」=-，求得E 点坐标，贝则（牝+F ） 2=8 （「+6），即可求得P 点坐标. ；'| I 知 I m :/【解答】解：（1）方法一：由题意可知：设 B （t ，2逅t ）,则 |BF|=. •=+2， •••I BF|=t+2；方法二：由题意可知：设 B (t , 2血t ),由抛物线的性质可知：| BF| =t^-=t+2, • | BF| =t+2；(2) F (2, 0), |FQ|=2, t=3,则 | FA| =1,• |AQ|=庚，• Q （3,旧,设OQ 的中点D ,解得：x==, x=6 （舍去），• △ AQP 的面积S 〒x 體X 丄斗3 ；(3)存在，设 P (牛，y ), E (弓m ),则 k PF =^^= J , k FQ 芈H 3 8 匚―y -16 8V8),D ( V3严 k QF = =-屈，则直线PF 方程：y=-犯（x - 2）,，整理得: 3x 2- 20x+12=0,2 2 2 2直线QF 方程为卡（x -2），「y Q 嚮（8-2）咛，Q （8,气 j 根据丨•+ |.'=「.，则 E C +6，’亠丁）,8 4y2 2...（耳J ）2=8 （红+6）,解得：y 2半,4y 8 5.存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ,使得点E 在r 上，且P （二，）【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查转化思想，计算能力，属于中档 题.21. （18分）（2018?上海）给定无穷数列｛an ｝，若无穷数列｛b n ｝满足：对任意n € N *，都有|b n -a n | w 1，则称｛ b n ｝与｛a n ｝接近”.（1） 设｛a n ｝是首项为1，公比为丄的等比数列，b n =a n +1 + 1， n € N ，判断数列｛b n ｝是否与｛a n ｝接近， 并说明理由；（2） 设数列｛a n ｝的前四项为：a 1=1， a 2=2， a 3=4， a 4=8，｛b n ｝是一个与｛a n ｝接近的数列，记集合 M=｛x|x=b i ， i=1， 2， 3， 4｝，求 M 中元素的个数 m ；（3） 已知｛a n ｝是公差为d 的等差数列，若存在数列｛b n ｝满足：｛b n ｝与｛a n ｝接近，且在b 2 - b 1，b 3- b 2，…，b 201 - b 200中至少有100个为正数，求d 的取值范围.【考点】8M :等差数列与等比数列的综合.【专题】34：方程思想；48 :分析法；54：等差数列与等比数列.【分析】（1）运用等比数列的通项公式和新定义 接近”，即可判断；（2） 由新定义可得 1 w b n <a n +1，求得b i ，i=1，2，3，4的范围，即可得到所求个数；（3） 运用等差数列的通项公式可得 an ，讨论公差d >0, d=0，- 2v d v 0, d w - 2,结合新定义 接 近”，推理和运算，即可得到所求范围.【解答】解：（1）数列｛b n ｝与｛a n ｝接近.可得 a n - 1 w b n W an+1 ,理由：｛an ｝是首项为1,公比为寺的等比数列,,b n =a n +1 +1=丄2n |=1- 可得a n = +1,2n_1 可得数列｛b n ｝与｛an ｝接近；（2） ｛b n ｝是一个与｛an ｝接近的数列, v 1, n € N *,则 | b n - a n | =|1数列｛a n｝的前四项为：a i=1, a2=2, 33=4, a4=8,可得b i€ [0, 2] , b2€ [ 1, 3] , b3€ [3, 5] , b4€ [7, 9],可能b i与b2相等，b2与b3相等，但b i与b3不相等，b4与b3不相等，集合M=｛x|x=b i, i=1, 2, 3, 4｝,M中元素的个数m=3或4;(3)｛a n｝是公差为d的等差数列,若存在数列｛b n｝满足：｛b n｝与｛a n｝接近,可得a n=a1 + (n - 1) d ,①若d>0 ,取b n=a n ,可得b n+1 - b n=a n+1 - a n=d> 0 ,则b2 - b1 , b3 - b2 ,…，b201 - b200中有200个正数，符合题意；②若d=0 ,取b n=a1 -丄，则|b n- a n|=|a1-丄-a1| —v 1 , n€ N ,n n nI ------------- 1 j ”产/ ' I可得b n+1 - b n=—- > 0 ,n n+1则b2 - b1 , b3 - b2 ,…，b201 - b200中有200个正数，符合题意；③若-2v d v 0 ,可令b2n- 1=a2n-1 - 1 , b2n=a2n+1 ,贝U b2n —b2n-1=a2n+1 -( 92nT — 1 ) =2+d > 0 ,则b2 - b1 , b3 - b2 ,…，b201 - b200中恰有100个正数，符合题意；④若d< - 2,若存在数列｛b n｝满足：｛b n｝与｛a n｝接近,即为a n —1W b n W cl n+1 , a n+1 —1W b n+1 9n+1 +1 ,可得b n+1 - b n< a n+1 + 1 -(a n - 1) =2+d< 0 ,b2 - b1 , b3 - b2 ,…,b201 - b200中无正数，不符合题意.综上可得，d的范围是(-2 , +x).【点评】本题考查新定义接近”的理解和运用，考查等差数列和等比数列的定义和通项公式的运用,I . i :考查分类讨论思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题.感恩和爱是亲姐妹。
2018年全国高考数学卷(含文理科)
2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答案卡一并交回。
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给的四个选项中，只有一项符合）1．已知集合{}|10A x x =-≥，{}012B =，，，则A B =（ ）A ．{}0B ．{}1C ．{}12，D ．{}012，，2．()()12i i +-=（ ） A ．3i --B ．3i -+C ．3i -D ．3i +3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫棒头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是棒头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（ ）4．若1sin 3α=，则cos 2α=（ ）A ．89B ．79C ．79-D ．89-5．522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为（ ）A ．10B ．20C ．40D ．806．直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP ∆面积的取值范围是（ ）A ．[]26，B ．[]48，C ．D ．⎡⎣7．函数422y x x =-++的图像大致为（ ）8．某群体中的每位成品使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， 2.4DX =，()()46P X P X =<=，则p =（ ） A ．0.7B ．0.6C ．0.4D ．0.39．ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC ∆的面积为2224a b c +-，则C =（ ）A ．2πB ．3πC ．4πD ．6π10．设A B C D ，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC ∆为等边三角形且其面积为三棱锥D ABC -体积的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．11．设12F F ，是双曲线22221x y C a b-=：（00a b >>，）的左，右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若1PF OP ，则C 的离心率为（ ）AB ．2CD12．设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则（ ）A ．0a b ab +<<B ．0ab a b <+<C ．0a b ab +<<D ．0ab a b <<+二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a +b ，则λ=________．14．曲线()1x y ax e =+在点()01，处的切线的斜率为2-，则a =________．15．函数()cos 36f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0π，的零点个数为________．16．已知点()11M -，和抛物线24C y x =：，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若90AMB =︒∠，则k =________．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~31题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．） （一）必考题：共60分。
2018年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅲ)(含解析版)
2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A={x|x﹣1≥0}，B={0，1，2}，则A∩B=（）A．{0}B．{1}C．{1，2}D．{0，1，2} 2．（5分）（1+i）（2﹣i）=（）A．﹣3﹣i B．﹣3+i C．3﹣i D．3+i3．（5分）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）A．B．C．D．4．（5分）若sinα=，则cos2α=（）A．B．C．﹣D．﹣5．（5分）（x2+）5的展开式中x4的系数为（）A．10B．20C．40D．806．（5分）直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x﹣2）2+y2=2上，则△ABP面积的取值范围是（）A．[2，6]B．[4，8]C．[，3]D．[2，3] 7．（5分）函数y=﹣x4+x2+2的图象大致为（）A．B．C．D．＜P（X=6），则p=（）9．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C=（）A．B．C．D．10．（5分）设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且面积为9，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为（）A．12B．18C．24D．5411．（5分）设F1，F2是双曲线C：﹣=1（a＞0．b＞0）的左，右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若|PF1|=|OP|，则C的离心率为（）A．B．2C．D．12．（5分）设a=log2A．a+b＜ab＜0B．ab＜a+b＜0C．a+b＜0＜ab D．ab＜0＜a+b 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2018年上海市高考数学试题有答案
2018年高考数学真题试卷（上海卷）一、填空题1.（2018•上海）行列式4125的值为 。
【答案】18 【解析】【解答】4125=45-21=18 【分析】a cb d=ad-bc 交叉相乘再相减。
【题型】填空题 【考查类型】中考真题 【试题级别】高三 【试题地区】上海【试题来源】2018年高考数学真题试卷（上海卷） 2.（2018•上海）双曲线2214x y -=的渐近线方程为 。
【答案】12y x =±【解析】【解答】2214x y -=，a=2，b=1。
故渐近线方程为12y x =± 【分析】渐近线方程公式。
注意易错点焦点在x 轴上，渐近线直线方程为22221x y b a -=时，by x a=±。
【题型】填空题 【考查类型】中考真题 【试题级别】高三 【试题地区】上海【试题来源】2018年高考数学真题试卷（上海卷）3.（2018•上海）在（1+x ）7的二项展开式中，x ²项的系数为 。
（结果用数值表示） 【答案】21【解析】【解答】（1+x ）7中有T r+1=7r r C x ，故当r=2时，27C =762⨯=21 【分析】注意二项式系数，与各项系数之间差别。
考点公式()na b +第r+1项为T r+1=r n r rn C a b-。
【题型】填空题 【考查类型】中考真题 【试题级别】高三 【试题地区】上海【试题来源】2018年高考数学真题试卷（上海卷）4.（2018•上海）设常数a R ∈，函数2()log ()f x x a =+，若f x （）的反函数的图像经过点31（，），则a= 。
【答案】7【解析】【解答】f x （）的反函数的图像经过点31（，），故()f x 过点3（1，），则()13f =，()2log 1a +=3，1+a=23所以a=23-1，故a=7. 【分析】原函数()f x 与反函数图像关于y=x 对称，如：原函数上任意点()00,x y ，则反函数上点为()00,y x【题型】填空题 【考查类型】中考真题 【试题级别】高三 【试题地区】上海【试题来源】2018年高考数学真题试卷（上海卷）5.（2018•上海）已知复数z 满足117i z i +=-（）（i 是虚数单位），则∣z ∣= 。
【真题】2018年上海市高考数学试题含答案解析
2018年高考数学真题试卷（上海卷）一、填空题1.（2018•上海）行列式4125的值为 。
【答案】18【解析】【解答】4125=45-21=18 【分析】a cb d=ad-bc 交叉相乘再相减。
【题型】填空题 【考查类型】中考真题 【试题级别】高三 【试题地区】上海【试题来源】2018年高考数学真题试卷（上海卷）2.（2018•上海）双曲线2214x y -=的渐近线方程为 。
【答案】12y x =±【解析】【解答】2214x y -=，a=2，b=1。
故渐近线方程为12y x =± 【分析】渐近线方程公式。
注意易错点焦点在x 轴上，渐近线直线方程为22221x y ba -=时，by x a=±。
【题型】填空题 【考查类型】中考真题 【试题级别】高三【试题来源】2018年高考数学真题试卷（上海卷）3.（2018•上海）在（1+x ）7的二项展开式中，x ²项的系数为 。
（结果用数值表示） 【答案】21【解析】【解答】（1+x ）7中有T r+1=7r rC x ，故当r=2时，27C =762⨯=21 【分析】注意二项式系数，与各项系数之间差别。
考点公式()na b +第r+1项为T r+1=r n r rn C ab-。
【题型】填空题 【考查类型】中考真题 【试题级别】高三 【试题地区】上海【试题来源】2018年高考数学真题试卷（上海卷）4.（2018•上海）设常数a R ∈，函数2()log ()f x x a =+，若f x （）的反函数的图像经过点31（，），则a= 。
【答案】7【解析】【解答】f x （）的反函数的图像经过点31（，），故()f x 过点3（1，），则()13f =，()2log 1a +=3，1+a=23所以a=23-1，故a=7.【分析】原函数()f x 与反函数图像关于y=x 对称，如：原函数上任意点()00,x y ，则反函数上点为()00,y x【题型】填空题 【考查类型】中考真题 【试题级别】高三【试题来源】2018年高考数学真题试卷（上海卷）5.（2018•上海）已知复数z 满足117i z i +=-（）（i 是虚数单位），则∣z ∣= 。
专题05 平面向量-2018年高考数学(理)母题题源系列(上海专版)(原卷版)
母题五 平面向量【母题原题1】【2018上海卷，8】在平面直角坐标系中，已知点A （-1，0），B （2，0），E ，F 是y 轴上的两个动点，且|EF |=2，则⋅的最小值为______.【母题原题2】【2017上海卷，7】如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为________【母题原题3】【2016上海卷，14】如图，在平面直角坐标系中，O 为正八边形的中心，.任取不同的两点，点P 满足0i j OP OA OA ++=，则点P 落在第一象限的概率是_____________.【命题意图】考查平面向量的基础知识、基本运算、基本应用；考查运算求解能力以及运用数形结合思想分析与解决问题的能力；考查转化与化归思想的应用.【命题规律】平面向量的数量积、模、夹角是高考考查的重点、热点，往往以选择题或填空题的形式出现.常常以平面图形为载体，考查数量积、夹角、垂直的条件等问题；也易同三角函数、解析几何、不等式等知识相结合，以工具的形式出现．浙江卷涉及模的最值问题考查最多.【答题模板】基于平面向量的双重性，解答平面向量最值问题：一般可以从两个角度进行思考：一是利用其“形”的特征，将其转化为平面几何的有关知识进行解决；二是利用其“数”的特征，通过坐标转化为代数中的有关问题进行解决．【方法总结】1.平面向量数量积的计算方法①已知向量a ，b 的模及夹角θ，利用公式a·b ＝|a ||b|cos θ求解； ②已知向量a ，b 的坐标，利用数量积的坐标形式求解．学/科--网(2)对于向量数量积与线性运算的综合运算问题，可先利用数量积的运算律化简，再进行运算． 2.向量数量积的性质（1）如果e 是单位向量，则a ·e ＝e ·a . （2）a ⊥b ⇔a ·b ＝0.（3）a ·a ＝|a |2，|a （4）cos θ＝||||⋅a ba b .(θ为a 与b 的夹角)（5）|a ·b |≤|a ||b |.3.利用向量夹角公式、模公式，可将有关角度问题、线段长问题转化为向量的数量积来解决．同时应注意： (1)两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移动，使其起点相同，再观察夹角．(2)两向量夹角的范围为[0，π]，特别当两向量共线且同向时，其夹角为0，共线且反向时，其夹角为π. (3)在利用向量的数量积求两向量的夹角时，一定要注意两向量夹角的范围．1．【上海市虹口区2018届高三下学期教学质量监控（二模）】在中，，点、是线段的三等分点，点在线段上运动且满足k ⋅=，当⋅取得最小值时，实数的值为（ ）A. B. C. D.2．【上海市黄浦区2018届高三4月模拟（二模）】在给出的下列命题中，是假命题的是（ ） A. 设是同一平面上的四个不同的点，若，则点必共线B. 若向量是平面上的两个不平行的向量，则平面上的任一向量都可以表示为，且表示方法是唯一的 C. 已知平面向量满足，且，则是等边三角形D. 在平面上的所有向量中，不存在这样的四个互不相等的非零向量，使得其中任意两个向量的和向量与余下两个向量的和向量相互垂直3．【2017-2018上海市杨浦区高三数学一模】设A 、B 、C 、D 是半径为1的球面上的四个不同点，且满足0AB AC ⋅=， 0AC AD ⋅=， 0AD AB ⋅=，用1S 、2S 、3S 分别表示ABC ∆、ACD ∆、ABD ∆的面积，则123S S S ++的最大值是（ ） A.12B. 2C. 4D. 8 4．【上海市松江、闵行区2018届高三下学期质量监控（二模）】已知向量、的夹角为，，，若，则实数的值为___________.5．【上海市普陀区2018届高三下学期质量调研（二模）】点1F ， 2F 分别是椭圆22:12x C y +=的左、右两焦点，点N 为椭圆C 的上顶点，若动点M 满足： 2122MN MF MF =⋅，则122MF MF +的最大值为__________.6．【上海市黄浦区2018届高三4月模拟（二模）】已知向量在向量方向上的投影为，且，则=_______．(结果用数值表示)7．【上海市十二校2018届高三联考】在ABC ∆中， 120BAC ︒∠=， 2AB =， 1AC =，D 为线段BC 上任一点（包含端点），则AD BC ⋅ 的最大值为________ 8．【上海市崇明区2018届高三第一次高考模拟考试】在ABC 中,边上的中垂线分别交于点若,则_______9．【上海市浦东新区2018届高三数学一模】已知向量()1,2a =-， ()3,4b =，则向量a 在向量b 的方向上的投影为________10．【上海市交通大学附属中学2018届高三上学期开学摸底考试】如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱， AB 是一条侧棱， ()1,2,,16i P i =⋯是上、下底面上其余十六个点，则()1,2,,16i AB AP i ⋅=⋯的不同值的个数为__________．11．【2016-2017年上海市闵行区高三4月质量调研考试（二模）】已知定点()1,1A ，动点P 在圆221x y +=上，点P 关于直线y x =的对称点为P '，向量AQ OP O '=，是坐标原点，则PQ 的取值范围是 . 12．【2016-2017年上海市普陀区高三下学期质量调研（二模）】在△ABC 中， D 、E 分别是AB 、AC 的中点， M 是直线DE 上的动点.若△ABC 的面积为1，则2MB MC BC ⋅+的最小值为 .。
2018上海高考数学试卷含答案
2018上海一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．行列式的值为 ．2．双曲线x 24－y 2＝1的渐近线方程为 ． 3．在(1＋x )7的二项展开式中，x 2项的系数为 (结果用数值表示)．4．设常数a ∈R ，函数f (x )＝1og 2(x ＋a )．若f (x )的反函数的图象经过点(3，1)，则a ＝ ．5．已知复数z 满足(1＋i)z ＝1－7i(i 是虚数单位)，则|z |＝ ．6．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝0，a 6＋a 7＝14，则S 7＝ ．7．已知α∈{－2，－1，－12，12，1，2，3}，若幂函数f (x )＝x α为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝ ．8．在平面直角坐标系中，已知点A (－1，0)、B (2，0)，E 、F 是y 轴上的两个动点，且|EF →|＝2，则AE →·BF →的最小值为 ．9．有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是 (结果用最简分数表示)．10．设等比数列{a n }的通项公式为a n ＝q n －1(n ∈N *)，前n 项和为S n ．若1lim +∞→n n n a S ＝12，则q ＝ ． 11．已知常数a ＞0，函数f (x )＝2x 2x ＋ax 的图象经过点P (p ，65)，Q (q ，－15)．若2p ＋q ＝36pq ，则a ＝ ． 12．已知实数x 1、x 2、y 1、y 2满足：x 12＋y 12＝1，x 22＋y 22＝1，x 1x 2＋y 1y 2＝12，则22|x 1＋y 1－1|＋22|x 2＋y 2－1|的最大值为 ．二、选择题(本大题共有4题，满分20分，每题5分)每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．设P 是椭圆x 25＋y 23＝1上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为( ) A ．2 2 B ．2 3 C ．2 5 D ．4 214．已知a ∈R ，则“a ＞1”是“1a＜1”的( ) A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件15．《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA 1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA 1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是( )A ．4B ．8C ．12D ．1616．设D 是含数1的有限实数集，f (x )是定义在D 上的函数，若f (x )的图象绕原点逆时针旋转π6后与原图象重合，则在以下各项中，f (1)的可能取值只能是( )A ． 3B ．32C ．33D ．0三、解答题(本大题共有5题，满分76分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17．已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，半径为2．(1)设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；(2)设PO ＝4，OA 、OB 是底面半径，且∠AOB ＝90°，M 为线段AB 的中点，如图．求异面直线PM 与OB 所成的角的大小．18．设常数a ∈R ，函数f (x )＝a sin2x ＋2cos 2x ．(1)若f (x )为偶函数，求a 的值；(2)若f (π4)＝3＋1，求方程f (x )＝1－2在区间[－π，π]上的解．19．某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S 中x %(0＜x ＜100)的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧30， 0<x ≤30，2x ＋1 800x －90， 30<x <100(单位：分钟)，而公交群体的人均通勤时间不受x 影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：(1)当x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？(2)求该地上班族S 的人均通勤时间g (x )的表达式；讨论g (x )的单调性，并说明其实际意义．20．设常数t ＞2．在平面直角坐标系xOy 中，已知点F (2，0)，直线l ：x ＝t ，曲线Γ：y 2＝8x (0≤x ≤t ，y ≥0)．l 与x 轴交于点A 、与Γ交于点B 、P 、Q 分别是曲线Γ与线段AB 上的动点．(1)用t 表示点B 到点F 的距离；(2)设t ＝3，|FQ |＝2，线段OQ 的中点在直线FP 上，求△AQP 的面积；(3)设t ＝8，是否存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在Γ上？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．21．给定无穷数列{a n }，若无穷数列{b n }满足：对任意n ∈N *，都有|b n －a n |≤1，则称{b n }与{a n }“接近”．(1)设{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，b n ＝a n ＋1＋1，n ∈N *，判断数列{b n }是否与{a n }接近，并说明理由；(2)设数列{a n }的前四项为：a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4，a 4＝8，{b n }是一个与{a n }接近的数列，记集合M ＝{x |x ＝b i ，i ＝1，2，3，4}，求M 中元素的个数m ；(3)已知{a n }是公差为d 的等差数列，若存在数列{b n }满足：{b n }与{a n }接近，且在b 2－b 1，b 3－b 2，…，b 201－b 200中至少有100个为正数，求d 的取值范围．2018上海答案解析一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．行列式的值为 18 ． 【解答】行列式＝4×5－2×1＝18．故答案为：18． 【点评】本题考查行列式的定义，运算法则的应用，是基本知识的考查．2．双曲线x 24－y 2＝1的渐近线方程为 ． 【解答】因双曲线x 24－y 2＝1的a ＝2，b ＝1，焦点在x 轴上，而双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，故双曲线x 24－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±12x ，故答案为：y ＝±12x 【点评】本题考察了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想3．在(1＋x )7的二项展开式中，x 2项的系数为 21 (结果用数值表示)．【解答】解：二项式(1＋x )7展开式的通项公式为T r ＋1＝•x r ，令r ＝2，得展开式中x 2的系数为＝21．故答案为：21．【点评】本题考查了二项展开式的通项公式的应用问题，是基础题．4．设常数a ∈R ，函数f (x )＝1og 2(x ＋a )．若f (x )的反函数的图象经过点(3，1)，则a ＝ 7 ．【解答】因常数a ∈R ，函数f (x )＝1og 2(x ＋a )．f (x )的反函数的图象经过点(3，1)，故函数f (x )＝1og 2(x ＋a )的图象经过点(1，3)，故log 2(1＋a )＝3，解得a ＝7．故答案为：7．【点评】本题考查实数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．5．已知复数z 满足(1＋i)z ＝1－7i(i 是虚数单位)，则|z|＝ 5 ．【解答】由(1＋i)z ＝1－7i ，得z ＝－3－4i ，则|z |＝5．故答案为：5．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．6．(4分)记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝0，a 6＋a 7＝14，则S 7＝ 14 ．【解答】因等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝0，a 6＋a 7＝14，故， 解得a 1＝－4，d ＝2，故S 7＝7a 1＋21d ＝－28＋42＝14．故答案为：14．【点评】本题考查等差数列的前7项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．7．已知α∈{－2，－1，－12，12，1，2，3}，若幂函数f (x )＝x α为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝ －1 ．【解答】因α∈{－2，－1，－12，12，1，2，3}，幂函数f (x )＝x α为奇函数，且在(0，＋∞)上递减， 故a 是奇数，且a ＜0，故a ＝－1．故答案为：－1．【点评】本题考查实数值的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．8．在平面直角坐标系中，已知点A (－1，0)、B (2，0)，E 、F 是y 轴上的两个动点，且|EF →|＝2，则AE →·BF →的最小值为 －3 ．【解答】解：根据题意，设E (0，a )，F (0，b )；故|EF →|＝|a －b |＝2；故a ＝b ＋2，或b ＝a ＋2；且AE→＝(1，a )，BF →＝(－2，b )；故AE →·BF →＝－2＋ab ；当a ＝b ＋2时，AE →·BF →＝－2＋(b ＋2)b ＝b 2＋2b －2；因b 2＋2b －2的最小值为－3；故AE →·BF →的最小值为－3，同理求出b ＝a ＋2时，AE →·BF→的最小值为－3．故答案为：－3．【点评】考查根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的数量积运算，二次函数求最值的公式．9．有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是 (结果用最简分数表示)．【解答】解：编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，3个数中含有1个2；2个2，没有2，3种情况，所有的事件总数为：＝10， 这三个砝码的总质量为9克的事件只有：5，3，1或5，2，2两个，所以：这三个砝码的总质量为9克的概率是：＝15，故答案为：15． 【点评】本题考查古典概型的概率的求法，是基本知识的考查．10．设等比数列{a n }的通项公式为a n ＝q n －1(n ∈N *)，前n 项和为S n ．若1lim +∞→n n n a S ＝12，则q ＝ 3 ． 【解答】等比数列{a n }的通项公式为a n ＝q n －1(n ∈N*)，可得a 1＝1，因为1lim +∞→n n n a S ＝12，所以数列的公比不是1，S n ＝a 1(1－q n )1－q，a n ＋1＝q n ．可得＝＝＝1q －1＝12，可得q ＝3．故答案为：3． 【点评】本题考查数列的极限的运算法则的应用，等比数列求和以及等比数列的简单性质的应用，是基本知识的考查．11．已知常数a ＞0，函数f (x )＝2x 2x ＋ax 的图象经过点P (p ，65)，Q (q ，－15)．若2p ＋q ＝36pq ，则a ＝ 6 ． 【解答】因为f (x )＝2x 2x ＋ax ＝11＋ax 2x ，且其图象经过点P ，Q ，则f (p )＝11＋ap 2p ＝65，即ap 2p ＝－16①， f (q )＝11＋aq 2q ＝－15，即aq 2q ＝－6②，①×②得a 2pq 2p ＋q ＝1，则2p ＋q ＝a 2pq ＝36pq ，所以a 2＝36，解得a ＝±6，因为a >0，所以a ＝6．【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，代数式的变换问题的应用．12．已知实数x 1、x 2、y 1、y 2满足：x 12＋y 12＝1，x 22＋y 22＝1，x 1x 2＋y 1y 2＝12，则22|x 1＋y 1－1|＋22|x 2＋y 2－1|的最大值为 ．【解答】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，OA →＝(x 1，y 1)，OB →＝(x 2，y 2)，由x 12＋y 12＝1，x 22＋y 22＝1，x 1x 2＋y 1y 2＝12，可得A ，B 两点在圆x 2＋y 2＝1上，且OA →·OB →＝1×1×cos ∠AOB ＝12，即有∠AOB ＝60°，即三角形OAB 为等边三角形，AB ＝1，22|x 1＋y 1－1|＋22|x 2＋y 2－1|的几何意义为点A ，B 两点到直线x ＋y －1＝0的距离d 1与d 2之和，显然A ，B 在第三象限，AB 所在直线与直线x ＋y ＝1平行，可设AB ：x ＋y ＋t ＝0(t ＞0)，由圆心O 到直线AB 的距离d ＝22t ，可得22-12t ＝1，解得t ＝62，即有两平行线的距离为22(1＋62)＝12(2＋3)，即22|x 1＋y 1－1|＋22|x 2＋y 2－1|的最大值为2＋3，故答案为：2＋3．【点评】本题考查向量数量积的坐标表示和定义，以及圆的方程和运用，考查点与圆的位置关系，运用点到直线的距离公式是解题的关键，属于难题．二、选择题(本大题共有4题，满分20分，每题5分)每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．设P 是椭圆x 25＋y 23＝1上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为( ) A ．2 2 B ．2 3 C ．2 5 D ．4 2【解答】椭圆x 25＋y 23＝1的焦点坐标在x 轴，a ＝5，P 是椭圆x 25＋y 23＝1上的动点，由椭圆的定义可知：则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a ＝25．故选：C ．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，是基本知识的考查．14．已知a ∈R ，则“a ＞1”是“1a＜1”的( ) A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【解答】a ∈R ，则“a ＞1”⇒“1a ＜1”，“1a ＜1”⇒“a ＞1或a ＜0”，故“a ＞1”是“1a＜1”的充分非必要条件．故选：A ．【点评】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．15．《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA 1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA 1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是( )A ．4B ．8C ．12D ．16【解答】根据正六边形的性质，则D 1－A 1ABB 1，D 1－A 1AFF 1满足题意，而C 1，E 1，C ，D ，E ，和D 1一样，有2×4＝8，当A 1ACC 1为底面矩形，有4个满足题意，当A 1AEE 1为底面矩形，有4个满足题意，故有8＋4＋4＝16，故选：D ．【点评】本题考查了新定义，以及排除组合的问题，考查了棱柱的特征，属于中档题．16．设D 是含数1的有限实数集，f (x )是定义在D 上的函数，若f (x )的图象绕原点逆时针旋转π6后与原图象重合，则在以下各项中，f (1)的可能取值只能是( ) A ． 3 B ．32 C ．33 D ．0【解答】由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转π6个单位后与下一个点会重合．我们可以通过代入和赋值的方法当f (1)＝3，33，0时，此时得到的圆心角为π3，π6，0，然而此时x ＝0或者x ＝1时，都有2个y 与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个x 只能对应一个y ，因此只有当x ＝32，此时旋转π6，此时满足一个x 只会对应一个y ，因此答案就选：B ．【点评】本题考查的知识要点：定义性函数的应用．三、解答题(本大题共有5题，满分76分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，半径为2．(1)设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；(2)设PO ＝4，OA 、OB 是底面半径，且∠AOB ＝90°，M 为线段AB 的中点，如图．求异面直线PM 与OB 所成的角的大小．【解答】(1)因圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，半径为2，圆锥的母线长为4，故圆锥的体积V ＝13×π×r 2×h ＝13×π×22×23＝833π． (2)因PO ＝4，OA ，OB 是底面半径，且∠AOB ＝90°，M 为线段AB 的中点，故以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，P (0，0，4)，A (2，0，0)，B (0，2，0)，M (1，1，0)，O (0，0，0)，PM →＝(1，1，－4)，OB →＝(0，2，0)，设异面直线PM 与OB 所成的角为θ，则cos θ＝＝26．故θ＝arccos 26．故异面直线PM 与OB 所成的角的为arccos 26．【点评】本题考查圆锥的体积的求法，考查异面直线所成角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．18．(14分)设常数a ∈R ，函数f (x )＝a sin2x ＋2cos 2x ．(1)若f (x )为偶函数，求a 的值；(2)若f (π4)＝3＋1，求方程f (x )＝1－2在区间[－π，π]上的解． 【解答】(1)因f (x )＝a sin2x ＋2cos 2x ，故f (－x )＝－a sin2x ＋2cos 2x ，因f (x )为偶函数，故f (－x )＝f (x )，故－a sin2x ＋2cos 2x ＝a sin2x ＋2cos 2x ，故2a sin2x ＝0，故a ＝0；(2)因f (π4)＝3＋1，故a sin π2＋2cos 2(π4)＝a ＋1＝3＋1，故a ＝3，故f (x )＝3sin2x ＋2cos 2x ＝3sin2x ＋cos2x ＋1＝2sin(2x ＋π6)＋1，因f (x )＝1－2，故2sin(2x ＋π6)＋1＝1－2，故sin(2x ＋π6)＝－22，故2x ＋π6＝－π4＋2k π，或2x ＋π6＝5π4＋2k π，k ∈Z ，故x ＝－524π＋k π，或x ＝1324π＋k π，k ∈Z ，因x ∈[－π，π]，故x ＝1324π或x ＝1924π或x ＝－524π或x ＝－1124π． 【点评】本题考查了三角函数的化简和求值，以及三角函数的性质，属于基础题．19．某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S 中x %(0＜x ＜100)的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧30， 0<x ≤30，2x ＋1 800x －90， 30<x <100(单位：分钟)，而公交群体的人均通勤时间不受x 影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：(1)当x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？(2)求该地上班族S 的人均通勤时间g (x )的表达式；讨论g (x )的单调性，并说明其实际意义．【解答】(1)由题意知，当30＜x ＜100时，f (x )＝2x ＋－90＞40，即x 2－65x ＋900＞0， 解得x ＜20或x ＞45，故x ∈(45，100)时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；(2)当0＜x ≤30时，g (x )＝30•x %＋40(1－x %)＝40－x 10；当30＜x ＜100时，g (x )＝(2x ＋－90)•x %＋40(1－x %)＝－x ＋58；故g (x )＝；当0＜x ＜32．5时，g (x )单调递减；当32．5＜x ＜100时，g (x )单调递增；说明该地上班族S 中有小于32．5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于32．5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的；当自驾人数为32．5%时，人均通勤时间最少．【点评】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力．20．设常数t ＞2．在平面直角坐标系xOy 中，已知点F (2，0)，直线l ：x ＝t ，曲线Γ：y 2＝8x (0≤x ≤t ，y ≥0)．l 与x 轴交于点A 、与Γ交于点B 、P 、Q 分别是曲线Γ与线段AB 上的动点．(1)用t 表示点B 到点F 的距离；(2)设t ＝3，|FQ |＝2，线段OQ 的中点在直线FP 上，求△AQP 的面积；(3)设t ＝8，是否存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在Γ上？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．【解答】(1)方法一：由题意可知：设B (t ，22t )，则|BF |＝t ＋2，故|BF |＝t ＋2； 方法二：由题意可知：设B (t ，22t )，由抛物线的性质可知：|BF |＝t ＋p 2＝t ＋2，故|BF |＝t ＋2； (2)F (2，0)，|FQ |＝2，t ＝3，则|F A |＝1，故|AQ |＝3，故Q (3，3)，设OQ 的中点D ，D (32，22)， k QF ＝－3，则直线PF 方程：y ＝－3(x －2)，代入联立y 2＝8x ，整理得：3x 2－20x ＋12＝0，解得：x ＝23，x ＝6(舍去)，故△AQ P 的面积S ＝12×3×73＝736； (3)存在，设P (18y 2，y )，E (18m 2，m )，则k PF ＝16-82y y ，k FQ ＝y y 8-162，直线QF 方程为y ＝y y 8-162(x －2)，故y Q ＝y y 43-482，Q (8，y y 43-482)，根据FP →＋FQ →＝FE →，则E (18y 2＋6，y y 4482+)，故(yy 4482+)2＝8(18y 2＋6)，解得：y 2＝165，故存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在Γ上，且P (25，455)．【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查转化思想，计算能力，属于中档题．21．给定无穷数列{a n }，若无穷数列{b n }满足：对任意n ∈N *，都有|b n －a n |≤1，则称{b n }与{a n }“接近”．(1)设{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，b n ＝a n ＋1＋1，n ∈N *，判断数列{b n }是否与{a n }接近，并说明理由；(2)设数列{a n }的前四项为：a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4，a 4＝8，{b n }是一个与{a n }接近的数列，记集合M ＝{x |x ＝b i ，i ＝1，2，3，4}，求M 中元素的个数m ；(3)已知{a n }是公差为d 的等差数列，若存在数列{b n }满足：{b n }与{a n }接近，且在b 2－b 1，b 3－b 2，…，b 201－b 200中至少有100个为正数，求d 的取值范围．【解答】(1)数列{b n }与{a n }接近．理由：{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，可得a n ＝12n －1，b n ＝a n ＋1＋1＝12n ＋1，则|b n －a n |＝|12n ＋1－12n －1|＝1－12n ＜1，n ∈N *，可得数列{b n }与{a n }接近； (2){b n }是一个与{a n }接近的数列，可得a n －1≤b n ≤a n ＋1，数列{a n }的前四项为：a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4，a 4＝8，可得b 1∈[0，2]，b 2∈[1，3]，b 3∈[3，5]，b 4∈[7，9]，可能b 1与b 2相等，b 2与b 3相等，但b 1与b 3不相等，b 4与b 3不相等，集合M ＝{x |x ＝b i ，i ＝1，2，3，4}，M 中元素的个数m ＝3或4；(3){a n }是公差为d 的等差数列，若存在数列{b n }满足：{b n }与{a n }接近，可得a n ＝a 1＋(n －1)d ， ①若d ＞0，取b n ＝a n ，可得b n ＋1－b n ＝a n ＋1－a n ＝d ＞0，则b 2－b 1，b 3－b 2，…，b 201－b 200中有200个正数，符合题意；②若d ＝0，取b n ＝a 1－1n ，则|b n －a n |＝|a 1－1n －a 1|＝1n ＜1，n ∈N *，可得b n ＋1－b n ＝1n －1n ＋1＞0，则b 2－b 1，b 3－b 2，…，b 201－b 200中有200个正数，符合题意；③若－2＜d ＜0，可令b 2n －1＝a 2n －1－1，b 2n ＝a 2n ＋1，则b 2n －b 2n －1＝a 2n ＋1－(a 2n －1－1)＝2＋d ＞0，则b2－b1，b3－b2，…，b201－b200中恰有100个正数，符合题意；④若d≤－2，若存在数列{b n}满足：{b n}与{a n}接近，即为a n－1≤b n≤a n＋1，a n＋1－1≤b n＋1≤a n＋＋1，可得b n＋1－b n≤a n＋1＋1－(a n－1)＝2＋d≤0，b2－b1，b3－b2，…，b201－b200中无正数，不符1合题意．综上可得，d的范围是(－2，＋∞)．【点评】本题考查新定义“接近”的理解和运用，考查等差数列和等比数列的定义和通项公式的运用，考查分类讨论思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题．。
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数学试卷 第 6页（共 18页）
【解答】解：∵ 2, 1, 1 , 1 ,1, 2,3 ，
22
幂函数 f (x) x 为奇函数，且在（0，+∞）上递减，
∴ a 是奇数，且 a＜0 ，
∴ a 1．
故答案为： 1．
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域
8．【答案】 3
【解析】据题意可设 E（0, a）， F（0, b），从而得出 a b 2 ，即 a b 2 ，或 b a 2 ，
1 qn
可得， lim n
1 q qn
lim
n
1 qn (1 q)qn
lim n
1 qn
1
1q
1 q 1
1，n
N*
，判断数列 bn
是
否与 an 接近，并说明理由；
(2)设数列 an 的前四项为： a1 1, a2 2,a3 4,a4 8 ， bn 是一个与 an 接近的
数列，记集合 M {x | x bi ,i 1, 2,3, 4} ，求 M 中元素的个数 m；
(3)已知 an 是公差为 d 的等差数列，若存在数列bn 满足：bn 与an 接近，且在
从中随机选取三个，3 个数中含有 1 个 2；2 个 2，没有 2，3 种情况， 数学试卷 第 7页（共 18页）
所有的事件总数为： C53 10 ，
这三个砝码的总质量为 9 克的事件只有：5，3，1 或 5，2，2 两个，
所以：这三个砝码的总质量为 9 克的概率是： 2 = 1 ， 10 5
故答案为： 1 ． 5
数学试卷 第 2页（共 18页）
18.(本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分)
设常数 a R ，函数 f (x) a sin 2x 2cos 2x
(1)若 f (x) 为偶函数，求 a 的值；
(2)若
f
4
3 1 ，求方程 f (x) 1
2 在区间
上的解。
uuur
uuur
且 AE (1, a) ， BF (2, b)
uuur uuur ∴ AE BF 2 ab
uuur uuur 当 a b 2 时， AE BF 2 (b 2) b b2 2b 2 ；
∵ b2 2b 2 的最小值为 8 4 3 ； 4
uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur
并可求得 AE BF 2 ab ，将 a b 2 带入上式即可求出 AE BF 的最小值，
同理将 b a 2 带入，也可求出
的最小值．
【解答】解：根据题意，设 E(0, a),F(0,b)；
uur | EF || a b | 2
∴a b2 或b a 2
毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________
------------- -------------------- -------------------- -------------------- -------------------- -------------------- -------------------- -----------------------------------
。
7.已知 2, 1, 1 , 1 ,1, 2,3 ，若幂函数 f (x) xn 为奇函数，且在 0, 上递减，则
22
。
uuur
8.在平面直角坐标系中，已知点 A(1,0), B(2,0), E, F 是 y 轴上的两个动点，且 EF 2 ，
答
uuur uuur 则 AE BF 的最小值为
22 22 ax
|
的图像经过点
p
p,
6 5
、
Q
q,
1 5
，若
2 pq 36 pq ，则 a
。
无
12. 已 知 实 数
x₁、x₂、y₁、y₂满 足 ：
x12
y12
1
，
x22
y22
1
，
x1x2
y1 y2
1 2
，则
x1 y1 1 x2 y2 1 的最大值为
。
2
2
效
数学试卷 第 1页（共 18页）
b2﹣b1,b3﹣b2 ,L ,b20﹣1 b200 中至少有 100 个为正数，求 d 的取值范围．
数学试卷 第 3页（共 18页）
数学试卷 第 4页（共 18页）
上海市 2018 年普通高等学校招生全国统一考试
数学答案解析
一、填空题
1．【答案】18 【解析】直接利用行列式的定义，计算求解即可．
【考点】古典概型及其概率计算公式
10．【答案】3
【解析】利用等比数列的通项公式求出首项，通过数列的极限，列出方程，求解公比即
可．
解：等比数列{an} 的通项公式为 an
qn1 m
n N*
，可得 a1 1，
因为 lim Sn 1 ，所以数列的公比不是 1， a n n1 2
， an1 qn ．
y2 b2
1的渐近线方程为
y
b a
x
∴双曲线 x2 y2 1的渐近线方程为 y 1 x
4
2
故答案为： 1 x 2
【考点】双曲线的性质
3．【答案】21
【解析】利用二项式展开式的通项公式求得展开式中 x2 的系数．
解：二项式（1 x）7 展开式的通项公式为
Tr1 C7r • xr ，
令 r 2 ，得展开式中 x2 的系数为 C72 21．
绝密★启用前
在
上海市 2018 年普通高等学校招生全国统一考试
数学
本试卷满分 150 分,考试时间 120 分钟.
此
一、填空题(本大题共有 12 题，满分 54 分第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分)
41
1.行列式
的值为
。
25
2.双曲线 x2 y2 1的渐近线方程为
。
卷
4
3.在（1 x）7 的二项展开式中， x2 项的系数为
19.(本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分)
某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均勇士，
某地上班族 S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当 S 中 x%(0 x 100)
的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为
f
(
x)
30,
4 解：行列式
1 4 5-2 1 18 ．
25
故答案为：18．
【考点】二阶行列式的定义．
2．【答案】 1 x 2
【考点】双曲线的性质
【解析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定
双曲线的渐近线方程．
解：∵双曲线
的 a 2 ， b 1，焦点在 x 轴上
而双曲线
x2 a2
计算得答案．
解：由 (1 i) z 1 7i ， 得 z 1 7i (1 7i)(1 i) 6 8i 3 4i ，
1 i (1 i)(1 i) 2
则| z | (3)2 (4)2 5 ．
故答案为：5．
【考点】复数的模
6．【答案】14
【解析】利用等差数列通项公式列出方程组，求出 a1 4 ， d 2 ，由此能求出 S7 ． 解：∵等差数列{an} 的前 n 项和为 Sn ， a3 0,a6 a7 14
20.(本题满分 16 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分)
设常数 t＞2 ，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 F (2，0) ，直线 l : x t ，曲线 ：
y² 8x (0≤x≤t, y≥0) ，l 与 x 轴交于点 A ，与 交于点 B，P、Q 分别是曲线 与线 段 AB 上的动点。 (1)用 t 为表示点 B 到点 F 的距离； (2)设 t 3 ，∣FQ∣ 2 ，线段 OQ 的中点在直线 FP 上，求 △AQP 的面积； (3)设 t 8 ，是否存在以 FP、FQ 为邻边的矩形 FPEQ ，使得点 E 在 上？若存在， 求点 P 的坐标；若不存在，说明理由。
∴ a1 a1
2d 5d
0 a1
6d
14
，
解得 a1 -4 ， d 2 ，
∴
S7
7a1
76 2
d
28
42
14 ．
故答案为：14．
【考点】等差数列的前 n 项和
7．【答案】 1
【解析】由幂函数 （f x） x 为奇函数，且在 (0, ) 上递减，得到 a 是奇数，且 a＜0 ，
由此能求出 a 的值．
二、选择题(本大题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分)每题有且只有一个正确选项.
13.设 P 是椭圆 x2 y2 1 上的动点，则 P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（
）
53
A. 2 2
B. 2 3
C. 2 5
D. 4 2
14.已知 a R ，则“ a＞1”是“ 1 ＜1”的 a
（）
A.充分非必要条件
。(结果用数值表示)
4.设常数 a R ，函数 f x log2 (x a) ，若 f x 的反函数的图像经过点(3,1)，则
a
。。
5.已知复数 z 满足 (1 i)z 1 7i (i 是虚数单位)，则 z
。
上
6.记等差数列 an 的前几项和为 Sn，若 a3 0, a8 a7 14 ，则 S7