4.3单位圆与诱导公式
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教学难点：正弦函数、余弦函数诱导公式的 推导
问题提出
t
p
1 2
5730
1.单位圆中任意角α 的正弦、余弦是怎 样定义的？
yቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
sin y α 的终边
cos x P(x，y)
Ox
2. 2kπ ＋α （k∈Z）与α 的正弦函数、 余弦函数之间的关系是什么？
公式一： sin( 2k) sin
课堂小结
1.利用圆的对称性及角终边的对称性探 索诱导公式的方法
2.诱导公式的应用
3.利用诱导公式一～四，可以求任意 角的正弦、余弦函数，其基本思路是：
任意负角的 正弦、余弦函数
任意正角的 正弦、余弦函数
锐角的正弦、 余弦函数
0～2π 的角 的正弦、余弦函
数
这是一种化归与转化的数学思想.
布置作业：
知识探究（一）. 角α与-α,的正弦函数、
余弦函数关系
思考：对于任意给定的一个角α ，角-α 的终
边与角α 的终边有y什么关系？
P(cosα,sinα)
．P(x,y) cosα=x
cos x cos( ) x
α
cos(-α)=x
oo
-α (1,0) x sinα=y
．P1(x,-y) sin(-α)=-y
x cos(α -π )=-x
Q(-x，-y)
α +π、α -π的终边
思考：对比sinα ，cosα 的值， π ＋α 的正弦、余弦函数与α 的正弦、 余弦函数有什么关系？
公式三： sinsi(n(α+π) =)-sinα sin
cos(α+π) = -cosα
cossin((α-π)= -)sinα cos
y
α 的终边
P(x，y) o
x Q(-x，-y) π+α 的终边
思考：根据正弦函数、余弦的函数定义，
sin（α＋π） 、cos（α ＋π ）、sin
（α-π） 、cos（α -π ）、的值分别是
什么？
y
sin(α ＋π )=-y
α 的终边
cos(α ＋π )=-x
P(x，y) o
sin(α -π )=-y
P1(cos(-α)，sin(-α))
公式二
sin(-α) = -sinα cos(-α) = cosα
知识探究（二）：角α与α±π的正.余弦函 数关系
思考：对于任意给定的一个角α ，角α ＋π 、
α -π 的终边与角α 的终边有y 什么关系？
α 的终边
o
x
π+α 的终边
思考：设角α 的终边与单位圆交于点P （x，y），则角α ＋π 、α -π 的终边与 单位圆的交点坐标如何？
4.4单位圆的对称性与诱导公式（一）
一、教学目标
1、会利用单位圆研究正弦、余弦函数的诱导 公式。
2、在利用单位圆的对称性推导诱导公式中， 进一步培养几何方法研究代数问题的意识。
3、观察正弦、余弦函数值的变化规律，再次 体会对称性在研究问题中的价值。
教学重点难点：
教学重点：正弦函数、余弦函数诱导公式的 推导
cos( 2k) cos
3、在直角坐标系中，找出点P（x,y）
关于x轴，y轴，原点的对称点的坐标
y
P2(-x,y)
.P(x,y)
o P3(-x,-y)
x P1(x,-y)
4.利用公式一，可将任意角的三角函数 值，转化为00～3600范围内的三角函数 值.其中锐角的三角函数可以查表计算， 而对于900～3600范围内的三角函数值， 如何转化为锐角的三角函数值，是我们 需要研究和解决的问题.
公式四：
cos(π-α) = -cosα
诱导公式
（1） （3） （5）
诱导公式的作
用思是考什一么
下
（2）
（4）
例题解析
例1 求下列各三角函数的值：
解：（1）sin( 7 ) sin 7
4
4
s in(2
4
)
（
sin
4
）
sin
4
2 2
（2）cos 2
3
cos( ) 3
cos
3
1 2
（3）cos( 31 ) cos(31 )
6
6
cos(4 7 )
6
cos(
) cos( )
6
6
3 2
求值步骤：负化正，大化小，化成锐角再求值
例2： 化简：
（1）
；
练习：cos( ).sin(2 ) sin( ).cos( )
cos(α-π) = -cosα
知识探究（三）：角α与π-α的正弦、余弦 函数关系
y
P1(-x, y) ．
π-α ． P(cosα,sinα)
P1(cos(π-α)，sin(π-α))
α
x
o
-α (1,0)
．
思考：对于任意给定的一个角α ，π-α 的终边与α 的终边有什么关系？
sin(π-α) = sinα
P20练习：1，2.写在书本上 P24：8.（2）写在作业本上
问题提出
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1 2
5730
1.单位圆中任意角α 的正弦、余弦是怎 样定义的？
yቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
sin y α 的终边
cos x P(x，y)
Ox
2. 2kπ ＋α （k∈Z）与α 的正弦函数、 余弦函数之间的关系是什么？
公式一： sin( 2k) sin
课堂小结
1.利用圆的对称性及角终边的对称性探 索诱导公式的方法
2.诱导公式的应用
3.利用诱导公式一～四，可以求任意 角的正弦、余弦函数，其基本思路是：
任意负角的 正弦、余弦函数
任意正角的 正弦、余弦函数
锐角的正弦、 余弦函数
0～2π 的角 的正弦、余弦函
数
这是一种化归与转化的数学思想.
布置作业：
知识探究（一）. 角α与-α,的正弦函数、
余弦函数关系
思考：对于任意给定的一个角α ，角-α 的终
边与角α 的终边有y什么关系？
P(cosα,sinα)
．P(x,y) cosα=x
cos x cos( ) x
α
cos(-α)=x
oo
-α (1,0) x sinα=y
．P1(x,-y) sin(-α)=-y
x cos(α -π )=-x
Q(-x，-y)
α +π、α -π的终边
思考：对比sinα ，cosα 的值， π ＋α 的正弦、余弦函数与α 的正弦、 余弦函数有什么关系？
公式三： sinsi(n(α+π) =)-sinα sin
cos(α+π) = -cosα
cossin((α-π)= -)sinα cos
y
α 的终边
P(x，y) o
x Q(-x，-y) π+α 的终边
思考：根据正弦函数、余弦的函数定义，
sin（α＋π） 、cos（α ＋π ）、sin
（α-π） 、cos（α -π ）、的值分别是
什么？
y
sin(α ＋π )=-y
α 的终边
cos(α ＋π )=-x
P(x，y) o
sin(α -π )=-y
P1(cos(-α)，sin(-α))
公式二
sin(-α) = -sinα cos(-α) = cosα
知识探究（二）：角α与α±π的正.余弦函 数关系
思考：对于任意给定的一个角α ，角α ＋π 、
α -π 的终边与角α 的终边有y 什么关系？
α 的终边
o
x
π+α 的终边
思考：设角α 的终边与单位圆交于点P （x，y），则角α ＋π 、α -π 的终边与 单位圆的交点坐标如何？
4.4单位圆的对称性与诱导公式（一）
一、教学目标
1、会利用单位圆研究正弦、余弦函数的诱导 公式。
2、在利用单位圆的对称性推导诱导公式中， 进一步培养几何方法研究代数问题的意识。
3、观察正弦、余弦函数值的变化规律，再次 体会对称性在研究问题中的价值。
教学重点难点：
教学重点：正弦函数、余弦函数诱导公式的 推导
cos( 2k) cos
3、在直角坐标系中，找出点P（x,y）
关于x轴，y轴，原点的对称点的坐标
y
P2(-x,y)
.P(x,y)
o P3(-x,-y)
x P1(x,-y)
4.利用公式一，可将任意角的三角函数 值，转化为00～3600范围内的三角函数 值.其中锐角的三角函数可以查表计算， 而对于900～3600范围内的三角函数值， 如何转化为锐角的三角函数值，是我们 需要研究和解决的问题.
公式四：
cos(π-α) = -cosα
诱导公式
（1） （3） （5）
诱导公式的作
用思是考什一么
下
（2）
（4）
例题解析
例1 求下列各三角函数的值：
解：（1）sin( 7 ) sin 7
4
4
s in(2
4
)
（
sin
4
）
sin
4
2 2
（2）cos 2
3
cos( ) 3
cos
3
1 2
（3）cos( 31 ) cos(31 )
6
6
cos(4 7 )
6
cos(
) cos( )
6
6
3 2
求值步骤：负化正，大化小，化成锐角再求值
例2： 化简：
（1）
；
练习：cos( ).sin(2 ) sin( ).cos( )
cos(α-π) = -cosα
知识探究（三）：角α与π-α的正弦、余弦 函数关系
y
P1(-x, y) ．
π-α ． P(cosα,sinα)
P1(cos(π-α)，sin(π-α))
α
x
o
-α (1,0)
．
思考：对于任意给定的一个角α ，π-α 的终边与α 的终边有什么关系？
sin(π-α) = sinα
P20练习：1，2.写在书本上 P24：8.（2）写在作业本上