人教A版高中数学高一《椭圆的简单几何性质》导学案3
椭圆几何性质导学案
课题§2.2.2椭圆的几何性质（第1课时）【学习目标】１．熟悉椭圆的几何性质（对称性、范围、顶点、离心率）；２．掌握椭圆标准方程中的c b a ,,的几何意义，以及e c b a ,,,的相互关系能说明离心率的大小对椭圆形状的影响；3．理解根据曲线的方程研究曲线的几何性质的一般方法【情景创设】已知地球运行的轨道是长半轴长81.5010a km =⨯，离心率0.0192e =的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，则地球到太阳的最大和最小距离是多少？【阅读课本P 43~ P 45，完成下列任务】在解析几何中，我们是通过对曲线方程的讨论来研究曲线的几何性质的。
现在我们对椭圆的标准方程)0(12222>>=+b a by a x 进行讨论。
问题1 ：“范围”是方程中变量的取值范围，是曲线所在的位置的范围，椭圆的标准方程中的,x y 取值范围是什么？其图形位置是怎样的？问题2：标准形式的方程所表示的椭圆，如何研究椭圆对称性？有何作用？问题3：椭圆的顶点是怎样的点？椭圆的长轴与短轴是怎样定义的？长轴长、短轴长各是多少？c b a ,,的几何意义各是什么？问题4：椭圆的离心率是怎样定义的？用什么来表示？它的范围如何？ 圆的形状都是相同的，而椭圆却有些比较“扁”，有些比较“圆”，用什么样的量来刻画椭圆“扁”的程度呢？并研究该量对椭圆形状影响的原因？问题5：画椭圆草图的方法是怎样的？知识点归纳：（务必记忆）椭圆上到对称中心距离最远和最近的点：短轴端点B 1和B 2到中心O 的距离最近；长轴端点A 1和A 2到中心O 的距离最远．探究一：利用椭圆方程研究其几何性质（P46页例4）求椭圆221625400x y +=的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．分析：①先化为标准方程，找出,a b ，求出c ； ②注意焦点所在的坐标轴．变式训练：求下列椭圆的长轴长和短轴长，焦点坐标，顶点坐标和离心率： (1) 229436x y += (2) 222241(0)m x m y m +=>探究二：利用椭圆的几何性质求标准方程例：求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)长轴在x 轴上，长轴的长等于12，离心率等于23；(2)长轴长是短轴长的2倍，且椭圆过点(－2，－4)．探究三：求椭圆的离心率例 若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )A.45 B.35 C.25 D.15【巩固练习】A 组1．椭圆x 2＋4y 2＝1的离心率为( )A.32B.34C.22D.232．椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，两顶点分别是(4,0)，(0,2)，则此椭圆的方程是( )A.x 24＋y 216＝1或x 216＋y 24＝1B.x 24＋y 216＝1C.x 216＋y 24＝1D.x 216＋y 220＝1 3．若椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为32，长轴长为6，则椭圆的标准方程是（ ） A.1203622=+y x B.15922=+y x C.1951592222=+=+y x y x 或 D.13620120362222=+=+y x y x 或4．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )A.45B.35C.25D.155．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为36，短轴一个端点到右焦点的距离为3，则椭圆C 的方程为___________________．B 组6.已知椭圆的中心在原点，一个焦点为)0,32(-F ，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是__________________。
高中数学新人教版A版精品教案《椭圆的简单几何性质》
《椭圆的几何性质》教学设计全日制普通高中数学人教版第二册（上）第八章第二节《椭圆的简单几何性质》是人教版内容。
本课是在学生学习了椭圆的定义、标准方程的基础上。
通过研究椭圆的标准方程来探究椭圆的简单几何性质，通过本节课的学习让学生了解、掌握椭圆的几何性质，初步体会利用曲线方程来研究其性质的方法，同时也为下一步学习双曲线和抛物线的性质做好了铺垫。
2、教学目标：（1）通过对椭圆标准方程的讨论，使学生掌握椭圆的几何性质，并正确地画出它的图形。
（2）通过知识的形成培养学生观察、分析、抽象、概括的逻辑思维能力，和运用数形结合思想解决实际问题的能力。
培养学生的创新意识和创新思维，培养学生的合作意识。
3、教学重点和难点：重点：椭圆的简单几何性质及其探究过程。
难点：利用曲线方程研究曲线几何性质的基本方法和离心率是用来刻画椭圆的扁圆程度的给出过程。
4、教法分析：本节课以启发、探究式教学为主，综合运用演示法、讲授法、讨论法、及练习法等教学方法。
在椭圆简单几何性质的教学过程中，让学生发现性质，然后进行讨论、探究、总结、运用，最后通过练习加以巩固提高。
5、学法分析：在具体的问题情境下，引导学生采用动手实践、自主探究、合作交流的学习方法进行学习，充分发挥其主体的积极作用，使学生在观察、实践、问题转化等数学活动中充分体验探索的快乐，发挥潜能，使知识和能力得到深化6过程2y25400表示什么样的曲线？怎么画它的图2,0),(a A )b线段12,A A 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于,2b ，a,=21y b 中,a x a b y b二、从图形看椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形。
2,0),(a A a 12(0,),(0,)b B b225400y和1259x y的长袖长，短轴长，顶点坐标，并画出它的草图。
c a 。
并用几何画板验证猜想22B F O2211b cea ababae22e1>e223611612x y y 与 2229361610x y y 与思路设计。
高中数学新人教版A版精品教案《《椭圆》复习导学案》
《椭圆》导学案一、知识点梳理椭圆的标准方程及其简单几何性质条件 2a>2c,a 2=b 2c 2,a>0,b>0,c>0标准方 程及 图形2222x y a b +=1a>b>02222y x a b +=1a>b>0范围 ||≤a;||≤b ||≤b;||≤a 对称性曲线关于___________________________对称曲线关于___________ ________________对称 顶点长轴顶点________短轴顶点________长轴顶点________ 短轴顶点________焦点 ________________焦距 |F 1F 2|=________离心率e= c a ∈________二、范例讲解例1．（2021年高考大纲全国卷）已知椭圆C ：222210a x y a b b +=>>（）的左、右焦点为1F 、2F ，离心率为33，过2F 的直线交C 于A 、B 两点，若B AF 1∆的周长为34，则C 的方程为（ ）（A ）12322=+y x （B ）1y 322=+x （C ）181222=+y x （D ）141222=+y x例2已知），（01-1F 、）（0,12F 是椭圆C 的两个焦点，过2F 且垂直于轴的直线交C 于A 、B 两点，且3AB =，则C 的方程为（ ）（A ）1y 222=+x （B ）12322=+y x （C ）13422=+y x （D ）14522=+y x是椭圆14522=+y x 上的一点，1F 、2F 是焦点，若01230F PF ∠=,则21PF F ∆的面积等于（ ） （A ）3316（B ））（3-24（C ））（3216+（D ）16三、练习巩固1.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ ）（A ）13（B C ）12（D2已知椭圆的焦点为），（01-1F 和）（0,12F ，P 是椭圆上的一点，且1212F F PF PF 是与的等差中项，则该椭圆的方程是（ ）（A ）22y 1169x +=（B ）2211612x y +=（C ）22143x y +=（D ）22134x y +=3已知椭圆的方程为2223(0)x y m m +=>，则此椭圆的离心率为（ ）（A ）13（B （C （D ）12是以1F 、2F 为焦点的椭圆222210a x y a b b+=>>（）上的一点，且120PF PF •=,121tan 2PF F ∠=,则此椭圆的离心率为（ ）（A B （C ）13（D ）12（3，-2）且与椭圆22y 194x +=有相同焦点的椭圆的方程为（ ）（A ）22y 11510x +=（B ）2212520x y +=（C ）2211015x y +=（D ）2212015x y +=是椭圆Γ的长轴，点C 在Γ上，4CBA π∠==4,BC =则Γ的两个焦点之间的距离为________。
高中数学《椭圆的简单几何性质》导学案
2．2.2椭圆的简单几何性质课标要求,学法指导1. 掌握椭圆的对称性、范围、顶点、离心率等简单性质．2. 能用椭圆的简单性质求椭圆方程．3. 能用椭圆的简单性质分析解决有关问题．,在研究椭圆的简单性质时，首先要从“形”的方面观察椭圆具有哪些几何性质；再从“数”的方面(即利用椭圆方程)推导椭圆具有哪些几何性质；然后要充分利用图形的形象直观准确把握并熟记这些性质；最后，在解决具体问题时，要根据具体情境，灵活地运用这些性质解题．,,课前自主学习KEQIANZIZHUXUEXI,对应学生用书P351. 椭圆的简单几何性质焦点的位置,焦点在x轴上,焦点在y轴上图形,,标准方程,eq \f(x2,a2＋eq \f(y2,b2＝1(a>b>0),eq \f(y2,a2＋eq \f(x2,b2＝1(a>b>0)范围,－a≤x≤a且－b≤y≤b,－b≤x≤b且－a≤y≤a顶点,A(±a,0)，B(0，±b),A(0，±a)，B(±b,0)轴长,短轴长＝2b，长轴长＝2a焦点,(±c,0),(0，±c)焦距,|F1F2|＝2c对称性,对称轴x轴、y轴，对称中心(0,0)离心率,e＝eq \f(c,a(0<e<1)2. 椭圆几何性质的应用(1)椭圆的焦点决定椭圆的位置，范围决定椭圆的大小，离心率决定了椭圆的扁圆程度，对称性是椭圆的重要特征，顶点是椭圆与对称轴的交点，是椭圆重要的特殊点；若已知椭圆的标准方程，则根据a、b的值可确定其性质．(2)明确a，b的几何意义，a是长半轴长，b是短半轴长，不要与长轴长、短轴长混淆，由c2＝a2－b2，可得“已知椭圆的两个焦点，求焦点”的几何作图法，只要以短轴的端点B1(或B2)为圆心，以a为半径作弧交长轴于两点，这两点就是焦点．(3)如图所示椭圆中的△OF2B2找出a，b，c，e对应的线段或量为a＝|F2B2|，b＝|OB2|，c＝|OF2|，e＝eq \f(c,a＝eq \f(|OF2|,|F2B2|＝cos∠OF2B2.(4)若椭圆的标准方程为eq \f(x2,a2＋eq \f(y2,b2＝1(a>b>0)，则椭圆与x 轴的交点A1，A2到焦点F2的距离分别最大和最小，且|A1F2|＝a＋c，|A2F2|＝a－c.3. 椭圆的离心率对椭圆形状的影响椭圆的焦距与长轴长的比称作椭圆的离心率，记作e＝eq \f(2c,2a＝eq \f(c,a.∵a>c>0，∴0<e<1.e越接近于1，则c就越接近于a，从而b＝a2－c2越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近于0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆，当且仅当a＝b时，c＝0，这时两个焦点重合，这时图形就变为圆，此时方程即为x2＋y2＝a2.1. 椭圆16x2＋9y2＝144的长轴长是________；短轴长是________；离心率是________．提示：由eq \f(x2,9＋eq \f(y2,16＝1知，2a＝8,2b＝6，e＝eq \f(7,4.2. 椭圆的长轴长为10，一个焦点坐标为(4,0)，则它的标准方程为________．提示：a＝5，c＝4，则b＝3，∴椭圆方程为eq \f(x2,25＋eq \f(y2,9＝1.,,课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU对应学生用书P36SIWEIJUJIAO 思维聚焦, 1.椭圆的离心率与其扁圆程度的关系(1)离心率公式：e＝eq \f(c,a＝1－(eq \f(b,a)2.(2)离心率范围：0<e<1.(3)离心率e是刻画椭圆的扁圆程度的比率：当e越接近于0时，c越接近于0，a与b越接近于相等，椭圆越接近于圆；当e越接近于1时，b越接近于0，a与c越接近于相等，椭圆越接近于线段A1A2.所以离心率越大，椭圆越扁．注意：椭圆eq \f(x2,a2＋eq \f(y2,b2＝1(a>b>0)与椭圆eq \f(x2,a2＋eq \f(y2,b2＝λ和椭圆eq \f(y2,a2＋eq \f(x2,b2＝λ(a>b>0，λ>0)的离心率相同．2．直线与椭圆的位置关系要解决直线与椭圆的位置关系问题，可把直线方程与椭圆方程联立，消去y(或消去x)得到关于x(或关于y)的一元二次方程Ax2＋Bx＋C＝0(A≠0)，Δ＝B2－4AC.若Δ<0，则直线与椭圆没有公共点；若Δ＝0，则直线与椭圆有且只有一个公共点；若Δ>0，则直线与椭圆有两个公共点．3．求椭圆中的弦长若直线与椭圆相交时，常常借助根与系数的关系解决弦长问题．直线方程为y＝kx＋m，椭圆方程为：eq \f(x2,a2＋eq \f(y2,b2＝1(a>b>0)，联立消去y后得到关于x的一元二次方程．当Δ>0时，直线与椭圆相交，设交点A(x1，y1)，B(x2，y2), 则直线被椭圆截得的弦长；|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2(x1＋x2)2－4x1x2或|AB|＝1＋eq \f(1,k2|y1－y2|＝1＋eq \f(1,k2(y1＋y2)2－4y1y2.椭圆的简单几何性质例1已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝eq \f(3,2，求m的值及椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标．[思路分析]解决本题的关键是确定m的值，应先将椭圆方程化为标准形式，用m表示a、b、c，再由e＝eq \f(3,2求出m的值．[完美作答]椭圆方程可化为eq \f(x2,m＋eq \f(y2,eq \f(m,m＋3＝1，∵m－eq \f(m,m＋3＝eq \f(m(m＋2),m＋3>0，∴m>eq \f(m,m＋3.∴椭圆焦点在x轴上．即a2＝m，b2＝eq \f(m,m＋3，c＝a2－b2＝eq \f(m(m＋2),m＋3.由e＝eq \f(3,2得，eq \f(m＋2,m＋3＝eq \f(3,2，∴m＝1.∴椭圆的标准方程为x2＋eq \f(y2,eq \f(1,4＝1.∴a＝1，b＝eq \f(1,2，c＝eq \f(3,2.∴椭圆的长轴长为2；短轴长为1；两焦点坐标分别为F1(－eq \f(3,2,0)、F2(eq \f(3,2,0)；四个顶点分别为A1(－1,0)、A2(1,0)、B1(0，－eq \f(1,2)、B2(0，eq \f(1,2)．解决有关椭圆的问题一般首先应弄清椭圆的类型，而椭圆的类型又决定于焦点的位置．(1)要掌握好椭圆的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率．(2)熟练掌握椭圆定义、标准方程、几何性质，这些基本概念是解决计算问题、证明问题、求轨迹问题及其他有关问题的基础和关键．[针对训练1]已知椭圆方程为9x2＋y2＝81，求它的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标．[解]将9x2＋y2＝81化为标准方程eq \f(x2,9＋eq \f(y2,81＝1，∴椭圆焦点在y轴上，其中a＝9，b＝3，c＝62，∴长轴长2a＝18，短轴长2b＝6，焦点坐标为F1(0，－62)、F2(0，62)，顶点坐标为B1(－3,0)、B2(3,0)、A1(0，－9)、A2(0,9)．椭圆的离心率问题例2已知F1为椭圆的左焦点，A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的点，当PF1⊥F1A，PO∥AB(O为椭圆中心)时，求椭圆的离心率．[思路分析]求椭圆的离心率就是利用e＝eq \f(c,a，可以直接求，也可以找a与c的关系，注意结合a、b、c、e之间的关系．[完美作答]解法一：由已知可设椭圆的方程为eq \f(x2,a2＋eq \f(y2,b2＝1(a>b>0)，c2＝a2－b2，F1(－c,0)，因为PF1⊥F1A，所以P(－c，b1－eq \f(c2,a2)，即P(－c，eq \f(b2,a)，∵AB∥PO，∴kAB＝kOP，即－eq \f(b,a＝－eq \f(b2,ac，∴b＝c，∴a2＝2c2，∴e＝eq \f(c,a＝eq \f(2,2.解法二：由解法一知P(－c，eq \f(b2,a)，又△PF1O∽△BOA，∴eq \f(PF1,BO＝eq \f(F1O,AO，∴eq \f(eq \f(b2,a,b＝eq \f(c,a，即b＝c，∴a2＝2c2，∴e＝eq \f(c,a＝eq \f(2,2.由离心率的定义可知，求e的值，就是求a和c的值或a与c的关系，很多题目由于受到已知条件的限制不能同时解出a和c的值，只能将条件整理成a与c的关系式，进而求出eq \f(c,a.[针对训练2]已知F1(－c,0)，F2(c,0)为椭圆eq \f(x2,a2＋eq \f(y2,b2＝1的两个焦点，P为椭圆上一点且eq \o(PF1,\s\up6(→))·eq \o(PF2,\s\up6(→))＝c2，则此椭圆离心率的取值范围是()A. [eq \f(3,3,1)B. [eq \f(1,3，eq \f(1,2]C. [eq \f(3,3，eq \f(2,2]D. (0，eq \f(2,2][解析]设P(m，n)，eq \o(PF1,\s\up6(→))·eq \o(PF2,\s\up6(→))＝c2＝(－c－m，－n)·(c－m，－n)＝m2－c2＋n2，∴m2＋n2＝2c2，2c2－m2＝n2①，把P(m，n)代入椭圆eq \f(x2,a2＋eq \f(y2,b2＝1得b2m2＋a2n2＝a2b2②，把①代入②得m2＝eq \f(a2b2－2a2c2,b2－a2≥0，∴a2b2≤2a2c2，∴b2≤2c2，∴a2≤3c2，∴e＝eq \f(c,a≥eq \f(3,3.又m2＝eq \f(a2b2－2a2c2,b2－a2≤a2，∴a2≥2c2，∴e＝eq \f(c,a≤eq \f(2,2.综上知此椭圆离心率的取值范围是[eq \f(3,3，eq \f(2,2]，故选C.[答案]C直线与椭圆的位置关系例3已知椭圆eq \f(x2,a2＋eq \f(y2,b2＝1(a>b>0)经过点(0，3)，离心率为eq \f(1,2，左右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c,0)．(1)求椭圆的方程；(2)若直线l：y＝－eq \f(1,2x＋m与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于C，D两点，且满足eq \f(|AB|,|CD|＝eq \f(53,4，求直线l的方程．[思路分析](1)依据题设和椭圆的几何量之间的关系构建方程组求解；(2)联立方程，利用根与系数之间的关系，借助弦长公式和题设条件构建方程确定直线方程．[完美作答](1)由题设知eq \b\lc\{\rc\ (eq \a\vs4\ac\hs10\co1(b＝3，, eq \f(c,a＝eq \f(1,2，,b2＝a2－c2，))解得a＝2，b＝3，c＝1，∴椭圆的方程为eq \f(x2,4＋eq \f(y2,3＝1.(2)由题设，以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1，∴圆心到直线l的距离d＝eq \f(2|m|,5，由d<1得|m|<eq \f(5,2.(*)∴|CD|＝21－d2＝21－eq \f(4,5m2＝eq \f(2,55－4m2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq \b\lc\{\rc\ (eq \a\vs4\ac\hs10\co1(y＝－eq \f(1,2x＋m，,eq \f(x2,4＋eq \f(y2,3＝1))得x2－mx＋m2－3＝0，由求根公式可得x1＋x2＝m，x1x2＝m2－3.∴|AB|＝[1＋(－eq \f(1,2)2][m2－4(m2－3)]＝eq \f(15,24－m2.由eq \f(|AB|,|CD|＝eq \f(53,4得eq \f(4－m2,5－4m2＝1，解得m＝±eq \f(3,3，满足(*)．∴直线l的方程为y＝－eq \f(1,2x＋eq \f(3,3或y＝－eq \f(1,2x－eq \f(3,3.有关直线与椭圆的问题，要注意应用韦达定理和弦长公式|AB|＝1＋k2|x1－x2|，以及公式|x1－x2|＝eq \f(Δ,|a|.[针对训练3]椭圆ax2＋by2＝1(a>0，b>0)与直线x＋y＝1相交于A，B两点，若|AB|＝22，且AB的中点C与原点O的连线的斜率为eq \f(2,2，求椭圆的方程．[解]设A(x1，y1)，B(x2，y2)．将y＝1－x代入ax2＋by2＝1，得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0①，则x1，x2是方程①的两根，所以x1＋x2＝eq \f(2b,a＋b，x1x2＝eq \f(b －1,a＋b.又y1＝1－x1，y2＝1－x2，所以y1＋y2＝2－(x1＋x2)＝eq \f(2a,a＋b.所以点C的坐标为(eq \f(b,a＋b，eq \f(a,a＋b)，所以kOC＝eq \f(a,b ＝eq \f(2,2，即b＝2a，把它代入方程①得(2＋1)ax2－22ax＋2a－1＝0.所以|AB|＝1＋(－1)2|x1－x2|＝2·eq \f(8a2－4a(2＋1)(2a－1),(2＋1)a＝22，即(2＋1)a－2a2＝(3＋22)a2，解得a＝eq \f(1,3(或a＝0，舍去)．所以b＝eq \f(2,3.故所求椭圆的方程为eq \f(x2,3＋eq \f(2y2,3＝1.椭圆的中点弦问题例4已知椭圆eq \f(x2,16＋eq \f(y2,4＝1，过点P(2,1)作一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线的方程．[思路分析]由于弦所在直线过定点P(2,1)，所以可设出弦所在直线的方程为y－1＝k(x－2)，与椭圆方程联立，通过中点为P，得出k的值．也可以通过设而不求的思想求直线的斜率．[完美作答]解法一：如图，易知直线斜率存在，设所求直线的方程为y－1＝k(x－2)，代入椭圆方程并整理，得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0，(*)又设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1、x2是(*)方程的两个根，∴x1＋x2＝eq \f(8(2k2－k),4k2＋1.∵P为弦AB的中点，∴2＝eq \f(x1＋x2,2＝eq \f(4(2k2－k),4k2＋1.解得k＝－eq \f(1,2，∴所求直线的方程为x＋2y－4＝0.解法二：设直线与椭圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵P为弦AB的中点，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.又∵A、B在椭圆上，∴x21＋4y21＝16，x22＋4y22＝16.两式相减，得(x21－x22)＋4(y21－y22)＝0，即(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.∴eq \f(y1－y2,x1－x2＝eq \f(－(x1＋x2),4(y1＋y2)＝－eq \f(1,2，即kAB＝－eq \f(1,2.∴所求直线方程为y－1＝－eq \f(1,2(x－2)．即x＋2y－4＝0.解法三：设所求直线与椭圆的一交点为A(x，y)，另一交点为B(4－x,2－y)，∵A、B在椭圆上，∴x2＋4y2＝16，①(4－x)2＋4(2－y)2＝16.②①－②得x＋2y－4＝0，则A、B在直线x＋2y－4＝0上，而过A、B的直线只有一条，∴所求直线的方程为x＋2y－4＝0.中点弦问题求解关键在于充分利用“中点”这一条件，灵活运用中点坐标公式及根与系数的关系．[针对训练4]已知椭圆E：eq \f(x2,a2＋eq \f(y2,b2＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为()A. eq \f(x2,45＋eq \f(y2,36＝1B. eq \f(x2,36＋eq \f(y2,27＝1C. eq \f(x2,27＋eq \f(y2,18＝1D. eq \f(x2,18＋eq \f(y2,9＝1[分析]本题考查直线与椭圆的位置关系、斜率公式、焦点弦和中点弦问题，意在考查考生通过解方程组求解弦的中点的能力．运用两点式得到直线的方程，代入椭圆方程，消去y，由根与系数的关系得到a，b之间的关系，并由a，b，c 之间的关系确定椭圆方程．[解析]因为直线AB过点F(3,0)和点(1，－1)，所以直线AB的方程为y＝eq \f(1,2(x－3)，代入椭圆方程eq \f(x2,a2＋eq \f(y2,b2＝1消去y，得(eq \f(a2,4＋b2)x2－eq \f(3,2a2x＋eq \f(9,4a2－a2b2＝0，所以AB的中点的横坐标为eq \f(eq \f(3,2a2,2(eq \f(a2,4＋b2)＝1，即a2＝2b2，又a2＝b2＋c2，所以b＝c＝3，选择D.[答案]D,题型技法函数思想解决椭圆中的最值问题[典例]若点O和点F 分别为椭圆eq \f(x2,4＋eq \f(y2,3＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则O eq \o(P,\s\up6(→))·F eq \o(P,\s\up6(→))的最大值为________．[分析]设P(x，y)，将O eq \o(P,\s\up6(→))·F eq\o(P,\s\up6(→))表示为关于x的二次函数，结合定义域－2≤x≤2确定最大值．[解析]由椭圆eq \f(x2,4＋eq \f(y2,3＝1可得F(－1,0)，O(0,0)．设P(x，y)，－2≤x≤2，则O eq \o(P,\s\up6(→))·F eq \o(P,\s\up6(→))＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3(1－eq \f(1,4x2)＝eq \f(1,4x2＋x＋3＝eq \f(1,4(x＋2)2＋2，当且仅当x＝2时，O eq \o(P,\s\up6(→))·F eq \o(P,\s\up6(→))取得最大值6.[答案]6解决与椭圆有关的最值问题，一般是用坐标法，即设出椭圆上任一点的坐标(x，y)，依据椭圆方程将距离(或距离的平方)转化为关于x或y的二次函数，由于椭圆的范围限制了x，y的取值范围．因此问题转化为定区间上二次函数的最值问题，从而可解．[跟踪训练]已知点F1，F2是椭圆x2＋2y2＝2的两个焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么|eq \o(PF1,\s\up6(→))＋eq \o(PF2,\s\up6(→))|的最小值是()A. 0B. 1C. 2D. 22解析：设P(x0，y0)，则eq \o(PF1,\s\up6(→))＝(－1－x0，－y0)，eq \o(PF2,\s\up6(→))＝(1－x0，－y0)，∴eq \o(PF1,\s\up6(→))＋eq \o(PF2,\s\up6(→))＝(－2x0，－2y0)，∴|eq \o(PF1,\s\up6(→))＋eq \o(PF2,\s\up6(→))|＝4x20＋4y20＝22－2y20＋y20＝2－y20＋2.∵点P在椭圆上，∴0≤y20≤1，∴当y20＝1时，|eq \o(PF1,\s\up6(→))＋eq \o(PF2,\s\up6(→))|取最小值为2.故选C.答案：C,,课堂效果落实KETANGXIAOGUOLUOSHI,对应学生用书P381．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为()A．(±13,0)B．(0，±10)C．(0，±13) D．(0，±69)解析：由题意知a＝13，b＝10，焦点在y轴上．所以c＝a2－b2＝132－102＝69.故焦点坐标为(0，±69)．答案：D2. 过椭圆eq \f(x2,a2＋eq \f(y2,b2＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为()A. eq \f(5,2B. eq \f(3,3C. eq \f(1,2D. eq \f(1,3解析：∵PF1⊥F1F2，F1F2＝2c，∠F1PF2＝60°，∴|PF1|＝eq \f(2,33c，|PF2|＝eq \f(4,33c，∴|PF1|＋|PF2|＝2a，∴eq \f(23,3c＋eq \f(43,3c＝2a，得e＝eq \f(c,a＝eq \f(3,3.答案：B3．已知点(m，n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，则2m＋4的取值范围是() A．[4－23,4＋23]B．[4－3,4＋3]C．[4－22,4＋22]D．[4－2,4＋2]解析：把(m，n)代入方程得8m2＋3n2＝24，∴24－8m2＝3n2≥0解得－3≤m≤3∴4－23≤2m＋4≤23＋4.答案：A4．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为eq \f(2,2. 过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为________．解析：由△ABF2的周长＝4a＝16，得a＝4，又知离心率为eq \f(2,2，即eq \f(c,a＝eq \f(2,2，得c＝22，所以a2＝16，b2＝a2－c2＝16－8＝8，∴C的方程为eq \f(x2,16＋eq \f(y2,8＝1.答案：eq \f(x2,16＋eq \f(y2,8＝1,,课后课时精练KEHOUKESHIJINGLIAN,对应学生用书P102时间：30分钟满分：75分一、选择题(每小题5分，共30分)1．已知椭圆C1：eq \f(x2,12＋eq \f(y2,4＝1，C2：eq \f(x2,16＋eq \f(y2,8＝1，则()A. C1与C2顶点相同B. C1与C2长轴长相同C. C1与C2短轴长相同D. C1与C2焦距相等解析：由两个椭圆的标准方程可知：C1的顶点坐标为(±23，0)，(0，±2)，长轴长为43，短轴长为4，焦距为42；C2的顶点坐标为(±4,0)，(0，±22)，长轴长为8，短轴长为42，焦距为42.故选D.答案：D2．中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴3等分，则此椭圆的方程是()A．eq \f(x2,81＋eq \f(y2,72＝1B．eq \f(x2,81＋eq \f(y2,9＝1 C．eq \f(x2,81＋eq \f(y2,45＝1 D．eq \f(x2,81＋eq \f(y2,36＝1解析：∵2a＝18,2c＝eq \f(1,3×2a＝6，∴a＝9，c＝3，b2＝81－9＝72.答案：A3．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足eq \o(MF1,\s\up6(→))·eq \o(MF2,\s\up6(→))＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是()A．(0,1) B．(0，eq \f(1,2]C．(0，eq \f(2,2) D．[eq \f(2,2,1)解析：由eq \o(MF1,\s\up6(→))·eq \o(MF2,\s\up6(→))＝0知MF1⊥MF2，∴椭圆上的点均满足∠F1MF2<90°，∴只需F1，F2与短轴端点形成的角为锐角，所以c<b⇒c2<b2＝a2－c2，即2c2<a2，解得e∈(0，eq \f(2,2)．答案：C4．若直线y＝kx＋1与椭圆eq \f(x2,5＋eq \f(y2,m＝1总有公共点，则m 的取值范围是()A．m>1 B．m≥1或0<m<1C．0<m<5且m≠1 D．m≥1且m≠5解析：解法一：由于直线y＝kx＋1恒过点(0,1)，所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上，则0<eq \f(1,m≤1且m≠5，故m≥1且m≠5.解法二：由eq \b\lc\{\rc\ (eq \a\vs4\ac\hs10\co1(y＝kx＋1，,mx2＋5y2－5m＝0，))消去y整理得(5k2＋m)x2＋10kx＋5(1－m)＝0.依题意Δ＝100k2－20(1－m)(5k2＋m)≥0对一切k∈R恒成立，即5mk2＋m2－m≥0对一切k∈R恒成立，由于m>0且m≠5，∴m≥1且m≠5.答案：D5. 椭圆C：eq \f(x2,4＋eq \f(y2,3＝1的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线P A2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线P A1斜率的取值范围是()A. [eq \f(1,2，eq \f(3,4]B. [eq \f(3,8，eq \f(3,4]C. [eq \f(1,2,1]D. [eq \f(3,4,1]解析：本题考查椭圆的定义和不等式的性质．由题意知点P在第一象限，设P点横坐标为x，代入椭圆方程则纵坐标为y＝eq \f(3,2×4－x2，由P A2的斜率得：1≤eq \f(3,2·eq \f(2＋x,2－x≤2，即eq \f(2,3≤eq \f(2＋x,2－x≤eq \f(4,3，P A1的斜率为eq \f(3,2 eq \f(2－x,2＋x，所以P A1的斜率取值范围为[eq \f(3,8，eq \f(3,4]．答案：B6．已知椭圆C：eq \f(x2,2＋y2＝1的右焦点为F，直线l：x＝2，点A∈l，线段AF交C于点B，若eq \o(F A,\s\up6(→))＝3eq \o(FB,\s\up6(→))，则|eq \o(AF,\s\up6(→))|＝()A. 2B. 2C. 3D. 3解析：设点A(2，n)，B(x0，y0)．由椭圆C：eq \f(x2,2＋y2＝1知a2＝2，b2＝1，∴c2＝1，即c＝1.∴右焦点F(1,0)．∴由eq \o(F A,\s\up6(→))＝3eq \o(FB,\s\up6(→))得(1，n)＝3(x0－1，y0)．∴1＝3(x0－1)且n＝3y0.∴x0＝eq \f(4,3，y0＝eq \f(1,3n.将x0，y0代入eq \f(x2,2＋y2＝1，得eq \f(1,2×(eq \f(4,3)2＋(eq \f(1,3n)2＝1.解得n2＝1，∴|eq \o(AF,\s\up6(→))|＝(2－1)2＋n2＝1＋1＝2.所以选A.答案：A二、填空题(每小题5分，共15分)7．已知点P(m，n)在椭圆eq \f(x2,8＋eq \f(y2,4＝1上，则2m－1的取值范围是________．解析：∵点P(m，n)在椭圆eq \f(x2,8＋eq \f(y2,4＝1上，∴－22 ≤m≤22，∴－42－1≤2m－1≤42－1.答案：[－42－1,42－1]8．F1、F2是椭圆C：eq \f(x2,8＋eq \f(y2,4＝1的焦点，在C上满足PF1⊥PF2的点P的个数为________．解析：设P(x，y)，则eq \o(F1P,\s\up6(→))＝(x＋2，y)，eq \o(F2P,\s\up6(→))＝(x－2，y)．∵PF1⊥PF2，∴(x＋2，y)·(x－2，y)＝x2－4＋y2＝0，即x2－4＋4(1－eq \f(x2,8)＝0⇒x＝0.这时P点坐标为短轴的两顶点(0,2)，(0，－2)．答案：2个9．椭圆Г：eq \f(x2,a2＋eq \f(y2,b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝3(x＋c)与椭圆Г的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．解析：本题考查椭圆的离心率的计算．因为tan∠MF1F2＝3，所以∠MF1F2＝60°，∠MF2F1＝30°，F1M⊥F2M，且|MF1|＝c，|MF2|＝3c，3c＋c＝2a，eq \f(c,a＝e＝3－1.答案：3－1三、解答题(每小题10分，共30分)10．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e＝eq \f(1,3，又知椭圆上一点M，它的横坐标等于焦点的横坐标，纵坐标是4，求此椭圆的方程．解：∵椭圆的焦点在x轴上，∴设它的标准方程为eq \f(x2,a2＋eq \f(y2,b2＝1(a>b>0)，∵e＝eq \f(c,a＝eq \f(1,3，∴a＝3c.∵b2＝a2－c2，∴b2＝9c2－c2＝8c2.又∵M(c,4)在椭圆上，∴eq \f(c2,9c2＋eq \f(16,8c2＝1，解之得c2＝eq \f(9,4, ∴a2＝eq \f(81,4，b2＝18，∴所求椭圆的方程为eq \f(x2,eq \f(81,4＋eq \f(y2,18＝1.11．设A，B分别为椭圆eq \f(x2,a2＋eq \f(y2,b2＝1(a>b>0)的左、右顶点，(1，eq \f(3,2)为椭圆上一点，椭圆长半轴长等于焦距．(1)求椭圆的方程；(2)设P(4，x)(x≠0)，若直线AP，BP分别与椭圆相交于异于A，B的点M，N，求证：∠MBN为钝角．解：(1)依题意，得a＝2c，b2＝a2－c2＝3c2，设椭圆方程为eq \f(x2,4c2＋eq \f(y2,3c2＝1，将(1，eq \f(3,2)代入，得c2＝1，故椭圆方程为eq \f(x2,4＋eq \f(y2,3＝1.(2)证明：由(1)，知A(－2,0)，B(2,0)，设M(x0，y0)，则－2<x0<2，y20＝eq \f(3,4(4－x20)，由P，A，M三点共线，得x＝eq \f(6y0,x0＋2，eq \o(BM,\s\up6(→))＝(x0－2，y0)，eq \o(BP,\s\up6(→))＝(2，eq \f(6y0,x0＋2)，eq \o(BM,\s\up6(→))·eq \o(BP,\s\up6(→))＝2x0－4＋eq \f(6y20,x0＋2＝eq \f(5,2(2－x0)>0，即∠MBP为锐角，则∠MBN为钝角．12. 设F1，F2分别是椭圆C：eq \f(x2,a2＋eq \f(y2,b2＝1(a>b>0)的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直．直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为eq \f(3,4，求C的离心率；(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.解：(1)根据c＝a2－b2及题设知M(c，eq \f(b2,a)，2b2＝3ac.将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，解得eq \f(c,a＝eq \f(1,2，eq \f(c,a＝－2(舍去)．故C的离心率为eq \f(1,2.(2)由题意，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点，故eq \f(b2,a＝4，即b2＝4a.①由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|.设N(x1，y1)，由题意知y1<0，则eq \b\lc\{\rc\ (eq \a\vs4\ac\hs10\co1(2(－c－x1)＝c，,－2y1＝2，))即eq \b\lc\{\rc\ (eq \a\vs4\ac\hs10\co1(x1＝－eq \f(3,2c，,y1＝－1.))代入C的方程，得eq \f(9c2,4a2＋eq \f(1,b2＝1.②将①及c＝a2－b2代入②得eq \f(9(a2－4a),4a2＋eq \f(1,4a＝1.解得a＝7，b2＝4a＝28，故a＝7，b＝27.。
椭圆的简单几何性质(第3课时)高中数学获奖教案
3.1.2椭圆的几何性质（第三课时）
(人教A版普通高中教科书数学选择性必修第一册第三章)
深圳中学罗承成
一、教学目标
1.学会椭圆与直线交点个数，交点坐标的解法
2.体会数形结合思想
二、教学重难点
1.椭圆与直线交点的代数含义
2.方程组的求解
三、教学过程
1.椭圆与直线关系的求解
1.1提出问题
平面上，一个椭圆与一条直线可以有哪些关系？
【预设的答案】相交、相切、相离
并给出图形
问题2：若已知椭圆和直线的方程，如何判断是哪种情况？
【活动预设】相切、相交、相离的本质是什么？
【答案预设】交点的个数分别为1，2，0
【设计意图】将题目转化为求交点个数的问题
【活动预设】交点的本质是什么？
【答案预设】交点是同时满足两个曲线方程的点
【设计意图】将交点个数问题转化为方程组解的个数的问题(几何代数)
1.2：如何求解方程组的解和解的个数
【活动预设】如何求方程组的解
【预设答案】将直线方程代入曲线方程
【活动预设】代入后会变成什么方程？
【预设答案】一元二次方程
【活动预设】如何判断解的个数
【预设答案】看Δ＞0，＜0或者＝0
2.实战解题
【预设的答案】
【预设答案】
【设计意图】
（1）意识到不一定要求出解
（2）不同的参数导致不同的结果，动态地看问题3.进一步的思考
这种方法能否用于判断其它曲线的关系？
【设计意图】
（1）了解方法的普适性
（2）拓展数形结合的思想
4.小结
(1)学会了椭圆与直线关系
(2)领会了数形结合的思想：用代数解决几何问题
四、课外作业。
高中数学精品导学案20 2.2.2椭圆的简单几何性质(2)
导学案20 2.2.2椭圆的简单几何性质(2)一、课前导学(1)复习:1.椭圆的定义2.椭圆的标准方程3.椭圆的简单几何性质(2)练习:1.已知一个动圆与圆22:(4)100C x y ++=相内切，且过点(4,0)A ，求这个动圆圆心M 的轨迹方程 _______2.6对应的图形是（ ）A.直线B. 线段C. 椭圆D. 圆3.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点1P 、2(P ，求椭圆的方程_______4.过椭圆22941x y +=的一个焦点1F 的直线与椭圆相交于,A B 两点，则,A B 两点与椭圆的另一个焦点2F 构成的2ABF ∆的周长等于 _______ ；二、课堂导学(一)椭圆的方程例1.设圆22(1)25x y ++=的圆心为C ，(1,0)A 是圆内一定点，Q 为圆周上任意一点，线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则点M 的轨迹方程为 ；练习:在ABC ∆中，,,A B C 所对的三边分别为,,a b c ，且(1,0),(1,0)B C -，求满足b a c >>且,,b a c 成等差数列时顶点A 的轨迹；例2.已知x 轴上一定点(1,0)A ，Q 为椭圆2214x y +=上任一点，求AQ 的中点M 的轨迹方程；练习:.设动直线l 垂直于x 轴，且与椭圆2224x y +=交于,A B 两点，点P 是直线l 上满足1PA PB =的点，求点P 的轨迹方程；(二)离心率的有关问题例1（1）设椭圆的两个焦点分别为F1.F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若三角形F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为。
（2）椭圆（a ＞b ＞0）的左、右顶点分别是A,B, 左、右焦点分别是F1，F2。
若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为_______________.例2.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（） A. B. C. D. 练习:1、椭圆32x ＋22y =1与椭圆22x ＋32y =λ(λ>0)有（ ）(A)相等的焦距 (B)相同的离心率 (C)相同的准线 (D)以上都不对 2、椭圆192522=+y x 与125922=-+-λλy x （0<k<9）的关系为（ ）(A)相等焦距 (B)相同的焦点(C)相同离心率 (D)有相等的长轴、短轴 3、椭圆22221x y ab +=(0)a b >>的左焦点为1(,0)Fc -，(,0)A a -，(0,)B b 是两个顶点，如果1F 到直线AB，则椭圆的离心率e = _______4、若P 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点，1F 、2F 为其两个焦点，且12PF F α∠=，212PF F α∠=，则椭圆的离心率为_______三、思考（1）椭圆22221x y a b +=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F1、F2,若P 为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,求椭圆离心率的取值范围。
人教A版数学高中选择性必修一《3.1.1椭圆及其标准方程》教学设计
课题：椭圆及其标准方程【教学内容分析】本节课是人教版选择性必修一第三章的第一课时，属于新授概念课。
本课作为圆锥曲线的第一课时，也是利用坐标法研究轨迹问题的起始课。
从圆锥曲线的发展史入手，让学生了解什么是圆锥曲线，再通过大量的圆锥曲线在科技、生产生活中的应用，解释学习圆锥曲线的必要性。
椭圆是圆锥曲线，通过类比学习圆的经历过程，继而对椭圆定义的探究和标准方程的推导，无不体现代数特征与几何特征互化的思想,而这种思想也是圆锥曲线整章内容的核心思想，为后续学习抛物线、双曲线提供了基本模式和理论基础。
通过本节内容的学习，可以为培养学生的动手操作、自主探究、归纳推理能力提供良好的素材。
学生已经在生活中掌握了一些椭圆图形，只是停留在感性没有上升到理性层面。
如何从数学的角度给椭圆以“定量”的描述正是本节课要解决的问题。
【学生情况分析】从基础能力看：物化生组合的学生基础相对较好，通过对圆的知识学习，已初步了解曲线轨迹的思想。
从认知的现状看：学生对双根式的处理比较陌生，如何化简问题通过教师的引导值得期待。
【教学目标分析】椭圆的定义及标准方程的推导。
“直观感知、操作确认”的过程，从而让学生亲身经历知识的形成，由感性认知升华到理性认知。
4.通过学生的自主探究、课堂的讨论、归纳总结、品味寻找表象世界背后规律的乐趣，特别是标准方程的推导，让学生感受数学中的对称美。
【教学重点、难点】教学重点：（1）椭圆的定义（2）椭圆标准方程（3）会根据条件求椭圆的标准方程。
教学难点：椭圆标准方程的推导【教学方法分析】用生活中学生感兴趣的实例引入，遵循：“直观感知—操作确认“的认识过程，用问题引领学生自主探究，形成感性认识与理性认知。
【教具准备】图钉、画板、纸张、多媒体课件【教学过程】（一）创设情境，导入新课情景一：介绍圆锥曲线发展史情景二：展示生活中的有关圆锥曲线应用的图片设计意图：通过对圆锥曲线史介绍，可以让学生了解圆锥曲线由来，再通过科技、生产、建筑等有关圆锥曲线的应用图片加以介绍，让学生理解研究圆锥曲线的必要性，为引入本节课课题做好铺垫。
椭圆的简单几何性质导学案
椭圆的简单几何性质导学案
一、学习目标
1、掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率这几个几何性质；
2 、掌握a,b,c,e 的几何意义及其相互关系，并会利用他们的关系求椭圆方程；
3 、会用代数的方法研究椭圆的几何性质。
二、复习旧知
（1）椭圆的定义: . 焦点在x 轴上时： .
焦点在y 轴上时： .
（3）椭圆中a,b,c 的关系是: .
三、学习过程
探究一：观察椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的形状，完成下列问题。
问题1：指出A1 、A2 、B1、B2 的坐标？
问题2：指出椭圆上点的横坐标的范围？
问题3：指出椭圆上点的纵坐标的范围？
巩固演练1：作出下列椭圆的简图。
11625)1(2
2=+y x 1425)2(22=+y x
探究二：观察不同的椭圆，我们发现，椭圆的扁平程度不同.
我们用什么量可以来刻画椭圆的扁平程度呢？
巩固演练2：对于椭圆369:2
21=+y x C 与椭圆21216:2
22=+y x C 更接 近于圆的是 .
四、典例剖析
例 已知椭圆方程为22525922=+y x ，则它的长轴长是： 。
短轴长是： 。
焦距是： 。
离心率是: 。
焦点坐标是： 。
顶点坐标是：_____________。
拓展延伸：椭圆的中心在原点，一个顶点是（0，2），离心率 23=
e ，求椭圆的标准方程。
人教A版高中数学选修1-1《椭圆的简单几何性质》教案
课题：椭圆的简单几何性质（第一课时）一、教学目标：1、知识与技能（1）探究椭圆的简单几何性质，初步学习利用方程研究曲线性质的方法；（2）掌握椭圆的简单几何性质，理解椭圆方程与椭圆曲线间互逆推导的逻辑关系及利用数形结合思想方法解决实际问题。
2、过程与方法（1）通过椭圆的方程研究椭圆的简单几何性质，使学生经历知识产生与形成的过程，培养学生观察、分析、逻辑推理，理性思维的能力。
（2）通过掌握椭圆的简单几何性质及应用过程，培养学生对研究方法的思想渗透及运用数形结合思想解决问题的能力。
3、情感、态度与价值观通过数与形的辩证统一，对学生进行辩证唯物主义教育，通过对椭圆对称美的感受，激发学生对美好事物的追求。
二、教学重难点：1、教学重点：椭圆的简单几何性质及其探究过程2、教学难点：利用曲线方程研究曲线几何性质的基本方法和离心率定义的给出过程。
三、教学方法：本节课以启发式教学为主，综合运用演示法、讲授法、讨论法、有指导的发现法及练习法等教学方法。
先通过多媒体动画演示，创设问题情境；在椭圆简单几何性质的教学过程中，通过多媒体演示，有指导的发现问题，然后进行讨论、探究、总结、运用，最后通过练习加以巩固提高。
四、教学过程：（一）创设情景,揭示课题多媒体展示：模拟“嫦娥一号”升空,进入轨道运行的动画.解说：2007年10月24日，随着中国自主研制的第一个月球探测器——嫦娥一号卫星飞向太空，自强不息的中国航天人，又将把中华民族的崭新高度镌刻在太空中。
绕月探测，中国航天的第三个里程碑。
它标志着，在实现人造地球卫星飞行和载人航天之后，中国航天又向深空探测迈出了第一步。
“嫦娥一号”卫星发射后首先将被送入一个椭圆形地球同步轨道，这一轨道离地面最近距离为200公里，最远为5.1万公里，,而我们地球的半径R=6371km.根据这些条件,我们能否求出其轨迹方程呢?要想解决这个问题,我们就一起来学习“椭圆的简单几何性质”。
（教师结合多媒体动画展示，生动解说，提出问题。
2023版高中数学新同步精讲精炼(选择性必修第一册) 3
3.1.2 椭圆的简单几何性质(精讲)考点一离心率【例1】(1)(2021·四川高二期末(文))椭圆()222210x ya ba b+=>>的左右焦点分别是1F，2F，以2F为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P，若直线1PF恰好与圆2F相切于点P，则椭圆的离心率为( )．A B C1D(2)(2021·黄冈天有高级中学高二月考)已知12,F F是椭圆的两个焦点，过1F且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于,A B两点，若2ABF是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是( )A B．2C1D【答案】(1)C(2)C【解析】(1)由题意2PF c=，12PF PF⊥，所以1PF===，所以122PF PF c a++=，所以离心率为1cea=．故选：C．(2)不妨设椭圆方程为()222210x ya ba b+=>>，焦点()()12,0,,0F c F c-，离心率为e，将x c =代入22221c y a b +=可得2b y a =±，所以22bAB a =,又2ABF 是等腰直角三角形，所以212224bAB F F c a===，所以22b c a =即2220c a ac -+=，所以2210e e +-=，解得1e =(负值舍去).故选：C. 【一隅三反】1．(2021·河北石家庄二中高一期末)若焦点在x 轴上的椭圆 22116x y m +=+m = A ．31 B ．28 C ．25 D ．23【答案】D【解析】焦点在x 轴上，所以221,6a m b =+= 所以2165c m m =+-=-离心率e =，所以2225314c m e a m -===+解方程得m=23 所以选D2．(2021·江苏高二期末)设1F ，2F 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的两个焦点，点P 在C 上，且1122,,PF F F PF 成等比数列，则C 的离心率的最大值为( ) A ．12 B ．23C ．34D ．1【答案】A【解析】设()2120F F c c =>，122PF PF a +=， 因为1122,,PF F F PF 成等比数列， 所以2212124F F PF PF c =⨯=，由12PF PF +≥2a ≥ 即12c e a =≤，当且仅当12PF PF =等号成立， 所以椭圆C 的离心率最大值为12. 故选：A.3．(2021·全国高二课时练习)在Rt ABC 中，1AB AC ==，如果一个椭圆通过A ､B 两点，它的一个焦点为点C ，另一个焦点在AB 上，则这个椭圆的离心率e =( )A B 1C 1D -【答案】D【解析】设另一个焦点为F ，如图所示，∵||||1AB AC ==，||BC42AB AC BC a ++==a =，设FA x =，则12x a +=，12x a -=，∴x =2214c +=，c =c e a ==故选:D.考点二 点与椭圆的位置关系【例2】(1)(2021·广西平果二中(理))点(1,1)与椭圆22132x y +=的位置关系为( )A ．在椭圆上B ．在椭圆内C ．在椭圆外D ．不能确定(2)(【新教材精创】3.1.2 椭圆的简单几何性质(2) 导学案-人教A 版高中数学选择性必修第一册)若点(),1P a 在椭圆22123x y +=的外部，则a 的取值范围为( )A ．⎛ ⎝⎭B ．,⎫⎛+∞⋃-∞⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭C ．4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．4,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【答案】(1)B(2)B【解析】(1)1151326+=<，可知点(1,1)在椭圆内．故选：B.(2)因为点(),1P a 在椭圆22123x y +=的外部，所以221123a +>，即243a >，解得a >a <.故选：B. 【一隅三反】1．(2021·安徽定远二中)点()1,0.7P 与椭圆2212x y +=的位置关系为( )A ．在椭圆内B ．在椭圆上C ．在椭圆外D ．不能确定【答案】A【解析】2210.70.9912+=<，所以，点P 在椭圆2212x y +=内.故选：A.2．(2021·甘肃省民乐县第一中学高三二模(理))若直线9mx ny +=和圆229x y +=没有交点，则过点(,)m n 的直线与椭圆221916x y +=的交点个数为( )A ．1个B ．至多一个C ．2个D ．0个【答案】C【解析】因为直线9mx ny +=和圆229x y +=没有交点， 3>，即229m n +<，所以2222191699m n m n +≤+<，即点(,)m n 在椭圆221916x y +=内， 所以过点(,)m n 的直线与椭圆221916x y +=的交点个数为2个. 故选：C考点三 直线与椭圆的位置关系【例3】(2021·安徽省泗县第一中学)已知椭圆的长轴长是(，. (1)求这个椭圆的标准方程；(2)如果直线y x m =+与这个椭圆交于两不同的点，求m 的取值范围.【答案】(1)2213x y +=；(2)22m -<<.【解析】(1)由已知得2a =c = 解得a =2321b ∴=-=，∴椭圆的标准方程为2213x y +=． (2)由2213y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，解方程组并整理得2246330x mx m ++-=， 有两个不同的交点∴222(6)44(33)12(4)0m m m ∆=-⨯⨯-=-->．解不等式得22m -<<． m ∴的取值范围(2,2)-．【一隅三反】1．(2021·上海市长征中学)设直线与椭圆的方程分别为 2y x b =+与2217525x y +=，问b 为何值时，(1)直线与椭圆有一个公共点； (2)直线与椭圆有两个公共点； (3)直线与椭圆无公共点.【答案】(1)b =±(2)b -<(3)b <-b >【解析】设直线与椭圆的方程分别为 2y x b =+与2217525x y +=，问b 为何值时， 由22217525y x b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2213172530x bx b ++=-.(1)当()()22124133075b b =--∆⨯⨯=，即b =±(2)当()()22124133075b b =--∆⨯⨯>，即b -<(3)()()22124133075b b =--∆⨯⨯<即b <-b >时直线与椭圆无公共点.2．(2021·广东高二期末)在平面直角坐标系xOy 中，已知点P到两点(M N 的距离之和等于4，设点P 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程.(2)若直线2y kx =+与曲线C 有公共点，求实数k 的取值范围. 【答案】(1)2214x y +=；(2)|k k k ⎧⎪≤≥⎨⎪⎪⎩⎭.【解析】(1)由己知得4PM PN MN +=>=由椭圆定义可知，轨迹C 是以M ，N为焦点，焦距长2c =24a =的椭圆. 所以222431b a c =-=-=，所以曲线C 的方程是2214x y +=.(2)由22214y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()221416120k x kx +++=. ()()22216412146448k k k ∆=-⨯⨯+=-，因为直线2y kx =+与曲线C 有公共点， 所以0∆≥，即264480k -≥，解得k ≤k ≥故实数k的取值范围是|k k k ⎧⎪≤≥⎨⎪⎪⎩⎭.3．(2021·莆田第十五中学高二期末)直线0x y m --=与椭圆2219xy +=有且仅有一个公共点，求m 的值.【答案】m =【解析】将直线方程0x y m --=代入椭圆方程2219x y +=， 消去x 得到：2210290y my m -++=，令0∆=，即()22441090m m -⨯-=解得m =考点四 弦长【例4-1】(2021·全国高二课时练习)直线x －y ＋1＝0被椭圆23x ＋y 2＝1所截得的弦长|AB |等于( )A．2BC．D．【答案】A【解析】由2210,1,3x y x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得交点为(0,1)，31(,)22--，则|AB |故选：A.【例4-2】(2021·陕西高二期末(理))已知椭圆()2222:10y x E a b a b +=>>的焦距为⎫⎪⎪⎝⎭在椭圆E 上．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)设直线1y kx =+与椭圆E 交于M 、N 两点，O 为坐标原点，求OMN 面积的取值范围． 【答案】(1)2214y x +=；(2)⎛ ⎝⎦. 【解析】(1)因为焦距为2c =c =因为点⎫⎪⎪⎝⎭在椭圆E 上，所以221314a b +=，联立222221314c a b a b c ⎧=⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩，解得24a =，21b =，椭圆E 的标准方程为2214y x +=. (2)设()11,M x y ，()22,N x y ，联立22141y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得()224230k x kx ++-=，0∆>，则12224k x x k +=-+，12234x x k =-+，原点到直线1y kx =+，则MON △的面积12S ==令t =t ≥，22211t S t t t==++，令1y t t =+，则221t y t-'=，函数1yt t =+在)+∞上单调递增，故1t t +≥，201t t <≤+OMN 面积的取值范围为⎛ ⎝⎦. 【一隅三反】1．(2021·安徽省泗县第一中学高二开学考试(理))已知椭圆的长轴长是()，).(1)求这个椭圆的标准方程；(2)如果直线y x m =+与这个椭圆交于A ､B两不同的点，若2AB =，求m 的值. 【答案】(1)2213x y +=；(2)1m =±.【解析】(1)由已知得2a =a =c =2221b a c =-=所以椭圆的标准方程2213x y +=(2)由2213y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消除y 得2246330x mx m ++-= 因为有两个不同的交点，所以()222(6)44(33)1240m m m ∆=-⨯⨯-=-->得m 的取值范围为()2,2- 由韦达定理得：126342m m x x --+== ，212334m x x -=所以2AB ==解得1m =±2．(2021·四川高二期末(文))已知椭圆1C 以直线0x my +=所过的定点为一个焦点，且短轴长为4． (1)求椭圆1C 的标准方程；(2)过点()1,0C 的直线l 与椭圆1C 交于A ，B 两个不同的点，求OAB 面积的最大值． 【答案】(1)22194x y +=；【解析】(1)直线0x my +过定点)，即椭圆的一个焦点为)，依题意：椭圆1C 的半焦距c =2b =，长半轴长a 有2229a b c =+=， 所以椭圆1C 的标准方程为22194x y +=； (2)显然点()1,0C 在椭圆内部，即直线l 与椭圆必有两个不同的交点， 由题意得直线l 不垂直于y 轴，设直线l 的方程为1x ky =+，由2214936x ky x y =+⎧⎨+=⎩消去x 整理得()22498320k y ky ++-=, 设()11,A x y ，()22,B x y ，则122849k y y k -+=+，1223249y y k -=+, 从而有1212111||||222△△△OAB AOC BOC S S S OC y OC y y y =+=⋅⋅+⋅⋅=-421k =++121=，t 1()4f t t t=+在)+∞单调递增， 则t 0k=时，14t t =+≥=于是有129AOB S ≤△0k =时等号成立， 所以OAB 3．(2021·重庆字水中学高二期末)已知椭圆22:1y E x m +=的下焦点为1F 、上焦点为2F ，其离心率e =过焦点2F 且与x 轴不垂直的直线l 交椭圆于A 、B 两点 (1)求实数m 的值；(2)求ABO (O 为原点)面积的最大值． 【答案】(1)2m =；【解析】(1)由题意可得：21b =，2a m =，可得1b =，a =因为c e a ==c = 因为222a b c =+，所以12mm =+，可得2m =，(2)由(1)知：椭圆22:12y E x +=，上焦点()20,1F ，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线:l 1y kx =+， 由22112y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得：()222210k x kx ++-=，所以12222k x x k -+=+，12212-=+x x k ，所以()()()()222222121212222222442248842222k k k k x x x x x x k k k k ++-+⎛⎫-=+-=+== ⎪++⎝⎭++，可得：12x x -=所以12211122ABOSx x OF =⨯-⨯==≤即0k =时等号成立，所以ABO (O 为原点)面积的最大值为2. 考点五 中点弦与点差法【例5】(1)(2021·全国高二专题练习)已知椭圆2219x y +=，过点11,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线与椭圆相交于A 、B 两点，且弦AB 被点P 平分，则直线AB 的方程为( ) A ．950x y +-= B ．940x y --= C ．950x y +-=D ．940x y -+=(2)(2021·南京市中华中学高二期中)已知椭圆C ：22221x y a b +=(0a b >>)的左焦点为F ，过点F的直线0x y -与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ，若P 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，直线OP 的斜率为12-，则椭圆C 的方程为( )A ．22132x y +=B ．2214x y +=C ．22142x y +=D ．22163x y +=【答案】(1)C(2)D【解析】(1)设点()11,A x y 、()22,B x y ，由已知可得121211x x y y +=⎧⎨+=⎩， 因为点A 、B 都在椭圆上，则221122221919x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式作差可得()()()()1212121209x x x x y y y y -++-+=，即()121209x x y y -+-=， 所以，直线AB 的斜率为121219AB y y k x x -==--，因此，直线AB 的方程为111292y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即950x y +-=. 故选：C.(2)直线0x y -过点F ，令0y =则x =()F，即c =设()()1122,,,A x y B x y ，则2222112222221,1x y x y a b a b +=+=，两式相减并化简得2121221212y y y y b a x x x x +--=⋅+-，所以222222111222b b a b a a ⎛⎫-=-⋅⇒=⇒= ⎪⎝⎭，22223,c a b b b a =-====所以椭圆C 的方程为22163x y +=.故选：D 【一隅三反】1．(2021·浙江嘉兴·高二期中)已知点P Q M ，，是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上的三点，坐标原点O 是PQM的重心，若点M ⎫⎪⎪⎝⎭，直线PQ 的斜率恒为12-，则椭圆C 的离心率为( ) ABCD【答案】D【解析】设()()1122,,,P x y Q x y，又,M ⎫⎪⎪⎝⎭由原点O 是PQM的重心，得1212220,033x x y y ++==，即1212,x x y y +=+=， 又P Q ，是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上的点，2222112222221,1x y x y a b a b∴+=+=， 作差可得：()()()()1212121222x x x x y y y y a b -+-+=-，即()()2212122121212b b x x y y x x a y y ⎛⎫⋅ ⎪+-=-=-=-+⎝⎭，即12b a =，∴c e a===， 故选：D2．(2021·河南新乡·高二期末(理))已知椭圆()2222:10x y G a b a b+=>>的右焦点为()F ，过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点．若AB的中点坐标为，则G 的方程为( )A ．2213214+=x yB ．2213820+=x yC ．2214830+=x yD ．2213618x y +=【答案】D【解析】设点()11,A x y 、()22,B x y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两个等式作差得22221212220x x y y a b --+=， 整理可得2221222212y y b x x a-=--， 设线段AB的中点为M，即2121221212AB OMy y y y b k k x x x x a-+⋅=⋅=--+，另一方面12AB MFk k ==，1OM k =-，所以，()2211122b a -=⨯-=-，所以，22222182c a b a b ⎧=-=⎨=⎩，解得223618a b ⎧=⎨=⎩， 因此，椭圆G 的方程为2213618x y +=.故选：D.3．(2021·江苏)已知椭圆C 的方程为2214x y +=，直线AB 与椭圆C 交于A ，B 点，且线段AB 的中点坐标为1(1,)2，则直线AB 的方程为( )A ．3220x y --=B ．4230--=x yC ．2230x y +-=D ．+220x y -=【答案】D【解析】设,A B 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，则有221122221414x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得12121212()()()()04x x x x y y y y -++-+=， ∴121212124()y y x xx x y y -+=--+． 又12122,1x x y y +=+=， ∴121221412y y x x -=-=--⨯，即直线AB 的斜率为12-， ∴直线AB 的方程为11(1)22y x -=--，即+220x y -=． 故选：D.4．(2021·河北辛集中学高二期中)过椭圆216x ＋24y ＝1内一点M (2，1)引一条弦，使弦被M 点平分．(1)求此弦所在的直线方程； (2)求此弦长．【答案】(1)x ＋2y －4＝0；【解析】(1)设所求直线方程为y －1＝k (x －2)．代入椭圆方程并整理，得 (4k 2＋1)x 2－8(2k 2－k )x ＋4(2k －1)2－16＝0，① 又设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1，x 2是方程的两个根，于是x 1＋x 2＝228(2)41k k k -+.又M 为AB 的中点，∴122x x +＝224(2)41k k k -+＝2，解得k ＝－12，直线方程为11(2)2y x -=--，即x ＋2y －4＝0.(2)由(1)将k ＝－12代入①得，x 2－4x ＝0， ∴120,4x x ==， ∴|AB |12|x x -＝考点六 最值【例6】(1)(2021·浙江高二期末)点P 、Q 分别在圆(222x y +=和椭圆2214x y +=上，则P 、Q 两点间的最大距离是( )A ．B ．C ．D ．(2)(2021·江苏高二开学考试)已知椭圆22:194x y C +=的右顶点为2A ，直线:l x m =与椭圆C 相交于A ，B 两点，当2∠AA B 为钝角时，m 的取值范围是( )． A ．150,13⎛⎫⎪⎝⎭B ．15,313⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1515,00,1313⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．15153,,31313⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】(1)C(2)B【解析】(1)圆(222x y +=的圆心为(C ，半径为r =设点(),Q x y ，则2244x y =-且11y -≤≤，CQ ==，当且仅当3y =-时，等号成立，所以，max max PQ CQ r =+=故选：C.(2)易知33m -<<，x m=代入22194x y +=得y =±AB =由对称性知2AA B 是等腰三角形，AB 是底，设AB 与x 轴交点为M ，如图， 2∠AA B 为钝角，则24AA M π∠>，∴2AM MA >，即3m >-，解得15313m <<．故选：B ．【一隅三反】1．(【新东方】高中数学20210429—004【2020】【高二上】)已知P 为椭圆22221x y a b+=上一点，12,F F 是焦点，12F PF ∠取最大值时的余弦值为13，则此椭圆的离心率为_______．【解析】依题意12122,2PF PF a F F c +==，222a b c =+，当12F PF ∠取最大值时，即12cos F PF ∠最小，即12cos F PF ∠的最小值为13.而()222221212121212121224cos 22PF PF PF PF c PF PF F F F PF PF PF PF PF +-⋅-+-∠==⋅⋅222121212424212a PF PF c b PF PF PF PF -⋅-==-⋅⋅， 而()2122124PF PF PF PF a +⋅≤=，当且仅当12PF PF a ==时等号成立，故21222cos 1b F PF a∠≥-，当且仅当12PF PF a ==时等号成立，所以12cos F PF ∠的最小值为222113b a -=，即2223ba =，故c e a ===2．(2021·重庆西南大学附中高二期末)已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左､右焦点为1F ､2F ，离心率为12，过2F 的直线l 交C于A ､B 两点，若1AF B △的周长为8.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若椭圆上存在两点关于直线4y x m =+对称，求m 的取值范围.【答案】(1)22143x y +=；(2)m <<【解析】(1)1AF B △周长为8，即48a =，2a ∴=.又因为12e =，1c ∴=，b =椭圆方程22143x y C +=：，(2)设椭圆上两点11(,)A x y ，22(,)B x y 关于4y x m =+对称，则AB 的方程为14y x t =-+，由2214143y x t x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 有：2213816480x tx t -+-= 由22(8)413(1648)0.t t ∆=--⨯⨯->得213,4t <① 又1212128124,()213413t tx x y y x x t +=+=-++=因为AB 的中点在直线4y x m =+上，所以1212422y y x x m ++=+，即12441313t tm =⨯+ 所以1340m t +=②，由①②得：2413m <，即m <<。
高二数学(人教A版)《2.1.1椭圆的简单几何性质》导学案3
§2.1.1椭圆的简单几何性质(第 3课时)[自学目标]: 掌握直线与椭圆的位置关系，并能利用椭圆的有关性质解决实际问题.[重点]: 直线与椭圆实际问题[难点]: 直线和椭圆的位置关系，相关弦长、中点等问题．[教材助读]:1、若设直线与椭圆的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入椭圆的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式 子，可以大大减少运算量。
我们称这种代点作差的方法为“点差法”。
2、若直线b kx y l +=:与椭圆相交与A 、B 两点，),(),,2211y x B y x A （则弦长221221)()(y y x x AB -+-=221221)()(kx kx x x -+-= 2121x x k -+= 2122124)(1x x x x k -++=[预习自测]1、过椭圆141622=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。
2、已知椭圆方程为1222=+y x 与直线方程21:+=x y l 相交于A 、B 两点，求AB 的弦长.待课堂上与老师和同学探究解决。
[合作探究 展示点评]探究一：点差法例1、已知椭圆1257522=+x y 的一条弦的斜率为3，它与直线21=x 的交点恰为这条弦的中点M ，求点M 的坐标。
探究二：弦长问题例2、斜率为2的直线l 被椭圆22132x y +=截得的弦长为7，求直线l 的方程。
[当堂检测]1．过椭圆x225＋y29＝1的右焦点且倾斜角为45°的弦AB 的长为( ) A ．5 B ．6 C.9017D ．7 2、过椭圆 2224x y += 的左焦点作倾斜角为030的直线，则弦长 |AB|= _______1、求以椭圆x 216＋y 24＝1内的点M (1,1)为中点的弦所在的直线方程。
4、已知斜率为1的直线l 过椭圆2214x y +=的右焦点，交椭圆于A 、B 两点，求弦AB 的长．[拓展提升]★1．已知中心在原点，一焦点为)50,0(F 的椭圆被直线23:-=x y l 截得的弦的中点的横坐标为21，求椭圆的方程。
【新教材教案】3.1.2 椭圆的简单几何性质(1) 教学设计-人教A版高中数学选择性必修第一册
3.1.2椭圆的简单几何性质（1）本节课选自《2019人教A 版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习椭圆的简单几何性质教材的地位和作用地位：本节课是在椭圆的概念和标准方程的基础上，运用代数的方法，研究椭圆的简单几何性质及简单应用 . 本节课内容的掌握程度直接影响学习双曲线和抛物线几何性质。
作用：提高学生的数学素质,培养学生的数形结合思想，及分析问题和解决问题的能力。
因此，内容在解析几何中占有非常重要的地位。
重点：由几何条件求出椭圆的方程 难点：由椭圆的方程研究椭圆的几何性质多媒体思考1. 离心率对椭圆扁圆程度的影响提示:如图所示,在Rt△BF2O中∠BF2O越小,椭圆越扁;e越小答案:√3-1变式 1 若例2改为如下F1F2为底边作等腰直角三角形4.已知椭圆x23+y22=1左、右焦点分别为F1,F2,上、下顶点分别为B1,B2,则四边形B1F1B2F2的面积为.解析:根据题意,设四边形B1F1B2F2的面积为S,椭圆的标准方程为x 23+y22=1,其中a=√3,b=√2,则c=√3-2=1,则F1(-1,0),F2(1,0),B1(0,√2),B2(0,-√2),即|OF1|=|OF2|=1,|OB1|=|OB2|=√2,则S=4×S△B1OF1=4×12×|OB1|×|OF1|=2√2.答案:2√25.万众瞩目的北京冬奥会将于2022年2月4日正式开幕,继2008年北京奥运会之后,国家体育场(又名鸟巢)将再次承办奥运会开幕式.在手工课上,王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型,其俯视图可近似看成是两个大小不同、扁平程度相同的椭圆.已知大椭圆的长轴长为40 cm,短轴长为20 cm,小椭圆的短轴长为10 cm,则小椭圆的长轴长为cm.解析:因为两个椭圆的扁平程度相同,所以椭圆的离心率相同,c 大a 大=c小a小,即√a大2-b大2a大2=√a小2-b小2a小2.所以2a大2b大=2a小2b小,所以4020=2a小10,所以小椭圆的长轴长为20 cm.五、课时练运用代数方法，让学生体会方程与函数的思想在研究椭圆几何性质中的作用，让学生的思路更加清晰，对学习内容的把握更加容易，同时注意及时让学生进行思维拓展，形成知识网，提升教学效果。
高中数学-椭圆的几何性质(-)导学案doc
质？
问题 3 观察不同的椭圆， 椭圆的扁平程度不一样， 怎样刻画椭圆 的扁平程度呢？
结论 我们把椭圆的焦距与长轴长的比 ca称为椭圆的离心率，用 e
表示，即
e＝
c a.
e 越接近于 1，椭圆越扁； e 越接近于 0，椭圆越接近于圆 .
问题 4 (1)ba或 bc的大小能刻画椭圆的扁平程度吗？为什么？
对称性
对称轴：
对称中心：
离心率
e＝ ac∈
2.离心率的作用 . 当椭圆的离心率越
，则椭圆越扁；当椭圆离心率
越
，则椭圆越接近于圆 .
探究点一 椭圆的简单几何性质
问题 1 观察椭圆xa22＋yb22＝ 1 (a>b>0)的形状，你能从图中看出它的范围吗？它具
有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？
问题 2 如何用椭圆的标准方程 (代数方法 )研究你观察到的几何性
离心率 .
6 例 2 椭圆过点 (3,0)，离心率 e＝ 3 ，求椭圆的标准方程 .
强化训练 1.已知椭圆方程为 4x2＋ 9y2＝ 36，求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐 标和离心率
2
2. 求适合下列条件的椭圆的标准方程 . 2
(1)长轴在 x 轴上，长轴的长等于 12，离心率等于 3； (2)长轴长是短轴长的 2 倍，
椭圆的顶点， P 是椭圆上且 PF1⊥x 轴，PF2∥AB，求此椭圆的离
心率 .
4
难点 : 利用椭圆的简单几何性质解决一些简单问题 .
独立学习
新知初探·思维启动
想一想：做一做：
1.椭圆的简单几何性质
焦点的位置
焦点在 y 轴上
焦点在 x 轴上
图形
标准方程
高中数学-椭圆的几何性质(-)导学案doc
椭圆的几何性质（一）（导学案）完成导学案以前先阅读教材页学习导航通过几何图形观察，代数方程验证的学习过程，体会数形结合的数学思想.通过几何性质的代数研究，养成辩证统一的世界观.学习目标1.理解椭圆的简单几何性质.2.利用椭圆的简单几何性质解决一些简单问题.椭圆的几何性质（一）重点: 理解椭圆的简单几何性质.难点:利用椭圆的简单几何性质解决一些简单问题.独立学习新知初探·思维启动想一想：做一做：1.椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在y轴上焦点在x轴上图形标准方程范围顶点轴长短轴长＝，长轴长＝焦点(±a2－b2，0)(0，±a2－b2)焦距|F1F2|＝2a2－b2对称性对称轴：对称中心：离心率e＝ca∈，则椭圆越扁；当椭圆离心率越，则椭圆越接近于圆.探究点一椭圆的简单几何性质问题1观察椭圆x2a2＋y2b2＝1 (a>b>0)的形状，你能从图中看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？问题2如何用椭圆的标准方程(代数方法)研究你观察到的几何性质？问题3观察不同的椭圆，椭圆的扁平程度不一样，怎样刻画椭圆的扁平程度呢？结论我们把椭圆的焦距与长轴长的比ca称为椭圆的离心率，用e表示，即e＝ca.e越接近于1，椭圆越扁；e越接近于0，椭圆越接近于圆.问题4(1)ba或cb的大小能刻画椭圆的扁平程度吗？为什么？(2)你能运用三角函数的知识解释：为什么e＝ca越大，椭圆越扁？e＝ca越小，椭圆越圆吗？问题5比较下列各组中椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁？为什么？(1)4x2＋9y2＝36与x225＋y220＝1； (2)9x2＋4y2＝36与x212＋y216＝1.小组交流.展示提升.例1求椭圆m2x2＋4m2y2＝1 (m>0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率.例2椭圆过点(3,0)，离心率e＝63，求椭圆的标准方程.强化训练1.已知椭圆方程为4x2＋9y2＝36，求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率2.求适合下列条件的椭圆的标准方程.(1)长轴在x轴上，长轴的长等于12，离心率等于23；(2)长轴长是短轴长的2倍，且椭圆过点(－2，－4).反思拓展本节课收获：.本节课不足：.以后努力方向：.堂清训练1.椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是（）A.5、3、0.8B.10、6、0.8C.5、3、0.6D.10、6、0.62.已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且长轴长为12，离心率为13，则椭圆的方程是()A.x2144＋y2128＝1 B.x236＋y220＝1 C.x232＋y236＝1 D.x236＋y232＝13.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是()A.45B.35C.25D.154.若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为________. 拓展题如图，A 、B 、C 分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的顶点与焦点，若∠ABC ＝90°，则该 椭圆的离心率为( ) A.－1＋52B.5－1C.2＋12D.2＋1 附加题如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，A ，B 是椭圆的顶点，P 是椭圆上且PF 1⊥x 轴，PF 2∥AB ，求此椭圆的离心率.。
椭圆及简单几何性质导学案
§2.2.2 椭圆及其简单几何性质（1）学习目标1．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形；2．根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质，画图．学习过程一、课前准备复习1：椭圆2211612x y+=上一点P到左焦点的距离是2，那么它到右焦点的距离是．复习2：方程2215x ym+=表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是．二、新课导学学习探究问题1：椭圆的标准方程22221x ya b+=(0)a b>>，它有哪些几何性质呢？图形：范围：x：y：对称性：椭圆关于轴、轴和都对称；顶点：（），（），（），（）；长轴，其长为；短轴，其长为；离心率：刻画椭圆程度．椭圆的焦距与长轴长的比ca称为离心率，记cea=，且01e<<．试试：椭圆221169y x+=的几何性质呢？图形：范围：x：y：对称性：椭圆关于轴、轴和都对称；顶点：（），（），（），（）；长轴，其长为；短轴，其长为；离心率：cea== ．反思：ba或cb的大小能刻画椭圆的扁平程度吗？典型例题例1 求椭圆221625400x y+=的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．变式：若椭圆是22981x y+=呢？小结：①先化为标准方程，找出,a b，求出c；②注意焦点所在坐标轴．例 2 点(,)M x y与定点(4,0)F的距离和它到直线25:4l x=的距离的比是常数45，求点M的轨迹．小结：到定点的距离与到定直线的距离的比为常数（小于1）的点的轨迹是椭圆．练一练练1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴焦点在x轴上，6a=，13e=；⑵焦点在y轴上，3c=，35e=；⑶经过点(3,0)P-，(0,2)Q-；⑷长轴长等到于20，离心率等于35．三、总结提升学习小结1 ．椭圆的几何性质：图形、范围、对称性、顶点、长轴、短轴、离心率；2 ．理解椭圆的离心率．当堂检测1．若椭圆2215x ym+=的离心率105e=，则m的值是（）．A．3 B．3或253C ．15D ．15或51532．若椭圆经过原点，且焦点分别为1(1,0)F，2(3,0)F，则其离心率为（）．A．34B．23C．12D．143．短轴长为5，离心率23e=的椭圆两焦点为12,F F，过1F作直线交椭圆于,A B两点，则2ABF∆的周长为（）．A．3 B．6 C．12 D．244．已知点P是椭圆22154x y+=上的一点，且以点P及焦点12,F F为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标是．5．某椭圆中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是．6．比较下列每组椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁？⑴22936x y+=与2211612x y+=；⑵22936x y+=与221610x y+=．7．求适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴经过点(22,0)P-，(0,5)Q；⑵长轴长是短轴长的3倍，且经过点(3,0)P；⑶焦距是8，离心率等于0.8．§2.2.2 椭圆及其简单几何性质(2)学习目标1．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质； 2．椭圆与直线的关系． 学习过程 一、课前准备复习1： 椭圆2211612x y +=的焦点坐标是（ ）（ ） ；长轴长 、短轴长 ；离心率 ．复习2：直线与圆的位置关系有哪几种？如何判定？二、新课导学 学习探究问题1：想想生活中哪些地方会有椭圆的应用呢？问题2：椭圆与直线有几种位置关系？又是如何确定？反思：点与椭圆的位置如何判定？典型例题例1 一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．过对称轴的截口BAC 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点1F 上，片门位于另一个焦点2F 上，由椭圆一个焦点1F 发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点2F ，已知12BC F F ⊥，1 2.8F B cm =，12 4.5F F cm =，试建立适当的坐标系，求截口BAC 所在椭圆的方程．变式：若图形的开口向上，则方程是什么？小结：①先化为标准方程，找出,a b ，求出c ；②注意焦点所在坐标轴．例2 已知椭圆221259x y +=，直线l ：45400x y -+=。
椭圆的简单几何性质导学案
椭圆的简单几何性质导学案（复习课）教学目标：1.深入了解椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等简单几何性质。
2.掌握a、b、c几何意义以及a、b、c、e 的相互关系。
3.能利用椭圆的有关知识解释实际问题。
4.贯彻数形结合思想，运用曲线方程研究几何性质。
教学重、难点：重点：椭圆的简单几何性质。
难点：运用椭圆的几何性质解决有关椭圆的综合问题。
椭圆的标准方程及其几何性质：常见题型一:椭圆几何性质的简单应用例1 已知椭圆方程为16x 2+25y 2=400,它的长轴长是： 。
短轴长是：焦距是 。
离心率等于： 。
焦点坐标是： 。
顶点坐标是： 。
例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程(1)与椭圆4x 2+9y 2=36有相同的焦点，且离心率为 55 ；(2)长轴长是短轴长的2倍，且过点A （2，0）；练习：(1) 在x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6，求椭圆的标准方程；(2) 椭圆的一个焦点到长轴两端点的距离之比为1:4，短轴长为8，求椭圆的标准方程。
常见题型二：有关椭圆的离心率例3（1）已知椭圆C: 14222=+y a x 的一个焦点（2,0），求椭圆的离心率。
（2）若椭圆的焦距、短轴长、长轴长构成一个等比数列，求椭圆的离心率.练习：1、若椭圆长轴长、短轴长和焦距成等差数列，求该椭圆的离心率．2. (13四川)从椭圆 22221(0)x y a b a b +=>>上一点Ｐ向ｘ轴作垂线，垂足恰为左焦点，A 是椭圆与ｘ轴正半轴的交点，Ｂ是椭圆与ｙ轴正半轴的交点，且 //AB OP ，Ｏ是坐标原点，则该椭圆离心率是（ ）Ａ．4 Ｂ． 12Ｃ．2 Ｄ.2目标测试：1. 椭圆以坐标轴为对称轴，离心率 e= 32，长轴长为6，则椭圆的方程为（ ）A. 1203622=+y xB.15922=+y xC.15922=+y x 或15922=+x yD.1203622=+x y 或1203622=+y x2.椭圆 12222=+b y a x 和 k b y a x =+2222 （k>0）具有（ ）A.相同的长轴B.相同的焦点C.相同的顶点D.相同的离心率思考： 设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为21F F 、，如果椭圆上存在点P ，使︒=∠90PF F 21，求离心率e 的取值范围。
高中数学椭圆及其性质导学案(教师版)
椭圆（2课时）学习内容个性笔记【学习目标】1、.掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质．2、熟练掌握椭圆标准方程的求法．．3、深刻理解椭圆的定义，并能应用定义及其简单几何性质解决相关问题【学习重点】1、能根据椭圆的定义求其标准方程．2、能应用定义及其简单几何性质解决相关问题【学习难点】1、能应用定义及其简单几何性质解决相关问题【课前案】一、知识梳理1．椭圆的定义2、椭圆的标准方程和几何性质标准方程图形性质范围对称性顶点轴焦距离心率a，b，c 的关系3．直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系有三种：相离、相切、相交．二、做学案【课中案】老师活动1、强调知识点的重要部分及易错部分2、师生共研例题1（3）（4）及例题2（2）学生活动1、同桌互相检查知识点2、小组讨论其余例题并展示典例分析例题1、（1）已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为33，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为43，则椭圆C的方程为(A)A．x23＋y22＝1 B．x23＋y2＝1 C．x212＋y28＝1 D．x212＋y24＝1(2)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9.动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程是(D) A．x264－y248＝1 B．x248＋y264＝1 C．x248－y264＝1 D．x264＋y248＝1（3）如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是(A)A.椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆（4）已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1,1)是一定点，则|PA|＋|PF|的最大值为________，最小值为________．答案6＋26－ 22、已知点P 是椭圆52x ＋42y ＝1上y 轴右侧的一点，且以点P 及焦点F 1，F 2为顶点的三角形的面积等于1，则点P 的坐标为___⎝⎛⎭⎫152，1或⎝⎛⎭⎫152，－1._____．3、若方程m x 2＋122-m y ＝1表示椭圆，则m 满足的条件是_____________⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m >12且m ≠1_______ 4、已知点A(－2,0)，B(0,1)在椭圆C ：22a x ＋22by ＝1(a>b>0)上，则椭圆C的方程为____x 24＋y 2＝1____；若直线y ＝12x 交椭圆C 于M ，N 两点，则|MN|＝_____10___.5、设点P 为椭圆C ：22a x ＋42y ＝1(a>2)上一点，F 1，F 1分别为C 的左、右焦点，且∠F 1PF 2＝60°，则△PF 1F 1的面积为__433______．6、设P 是椭圆162x ＋92y ＝1上一点，F 1，F 1分别是椭圆的左、右焦点，若|PF 1|·|PF 2|＝12，则∠F 1PF 2的大小为___60°_____．7、过点(3，－5)，且与椭圆252y ＋92x ＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为___y 220＋x 24＝1_____．8、如图所示，已知椭圆22a x ＋22by ＝1(a>b>0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B.(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率；。
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§2.1.1椭圆的简单几何性质(第 3课时)
[自学目标]:
掌握直线与椭圆的位置关系，并能利用椭圆的有关性质解决实际问题.
[重点]: 直线与椭圆实际问题
[难点]: 直线和椭圆的位置关系，相关弦长、中点等问题．
[教材助读]:
1、若设直线与椭圆的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入椭圆的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式
子，可以大大减少运算量。
我们称这种代点作差的方法为“点差法”。
2、若直线b kx y l +=:与椭圆相交与A 、B 两点，),(),,2211y x B y x A （则
弦长221221)()(y y x x AB -+-=
221221)()(kx kx x x -+-= 2121x x k -+= 212212
4)(1x x x x k -++=
[预习自测] 1、过椭圆14
162
2=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。
2、已知椭圆方程为1222=+y x 与直线方程2
1:+=x y l 相交于A 、B 两点，求AB 的弦长.
和同学探究解决。
[合作探究 展示点评]
探究一：点差法
例1、已知椭圆1257522=+x y 的一条弦的斜率为3，它与直线2
1=x 的交点恰为这条弦的中点M ，求点M 的坐标。
探究二：弦长问题
例2、斜率为2的直线l 被椭圆22132x y +=l 的方程。
[当堂检测]
1．过椭圆x225＋y29
＝1的右焦点且倾斜角为45°的弦AB 的长为( ) A ．5 B ．6 C.9017
D ．7 2、过椭圆 2224x y += 的左焦点作倾斜角为030的直线，
则弦长 |AB|= _______
1、求以椭圆x 216＋y 24
＝1内的点M (1,1)为中点的弦所在的直线方程。
4、已知斜率为1的直线l 过椭圆2
214
x y +=的右焦点，交椭圆于A 、B 两点，求弦AB 的
[拓展提升]
★1．已知中心在原点，一焦点为)50,0(F 的椭圆被直线23:-=x y l 截得的弦的中点的
横坐标为
2
1，求椭圆的方程。
★★2、如图所示，点A 、B 分别为椭圆22
13620
x y +=的长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴的上方，PA PF ⊥。
（1）求点P 的坐标；
（2）设点M 是椭圆长轴AB 上的一点，点M 到直线AP 的距离等于MB ，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值。