多个样本均数比较的方差分析
方差分析
二期矽肺 100.67 93.47 74.97 88.06 113.52 101.14 95.10 118.98
三期矽肺 97.58 83.58 103.81 107.10 108.42 82.58 89.01 77.11
方差分析的基本思想
总变异：从例中看出，32个观察值大小参差不 齐，这种个体值与总均数之间的差异称为总变 异。
多个样本均数间的多重比较
多个样本均数间的多重比较：也称为两两 比较，主要用于探索与证实多组均数中， 哪两个总体均数间有差别，哪两个均数间 没有差别。 如果多组均数的比较采用两样本均数比较 的t检验，会加大I型错误。
多个样本均数间的多重比较
LSD-t检验：最小显著差法
容易获得P<0.05，但是假阳性率较高；
完全随机设计资料的方差分析
方差分析结果表 变异来源 总 组间 组内 SS 86.740 45.091 41.649 ν 39 3 36 MS F P <0.05
15.030 12.990 1.157
3.确定P值和作出推断结论：以ν组间=3，ν组内=36， 查F界值表得P<0.05， 按α=0.05水准拒绝H0 ，接受 H1，故可以认为给予不同剂量的三菱莪术液，小鼠瘤 重间差别有统计学意义。
方差分析
主要内容
方差分析的基本思想 完全随机设计、随机区组设计、拉丁方设 计、交叉设计和析因设计资料方差分析的 基本过程
多个样本均数的比较
两个样本均数的比较：
1次t-test，α=0.05；
三个样本均数的比较：
3次t-test，α=1-（1-0.05）3=0.14；
四个样本均数的比较：
6次t-test，α=1-（1-0.05）6=0.26；
第四章 多个样本均数比较的方差分析(研究生)1
MS
10.72
F
24.93
P
<0.01
组间（处理组间） 32.16
组内（误差）
总变异
49.94
82.10
116
119
0.430
18
3）确定P值并作出推断结论
以分子的自由度ν 分母的自由度ν
组间
=3为ν 1，
组内
=116为ν 2， ，P ＜0.01。
查方差分析用F界值表，F0.0计的方差分析基本相同， 主要区别在于：F值计算的方差分析表 （ANOVA table）不同。变异来源从组内 变异中分解出单位组变异与误差变异。
25
例4-4 某研究者采用随机区组设计进行实验， 比较三种抗癌药物对小白鼠肉瘤的抑瘤效果， 先将15只染有肉瘤小白鼠按体重大小配成5 个区组，每个区组内3只小白鼠随机接受三 种抗癌药物（具体分配方法见例4-3），以 肉瘤的重量为指标，实验结果见表4-9。问 三种不同药物的抑瘤效果有无差别？
编号 1 2 随机数 22 17 秩次 5 4 分配组 A A A组 B组 C组 D组 1 7 3 5 2 9 4 6 3 68 15 C 11 13 12 8 4 65 14 C 15 16 14 10 5 81 16 D 17 19 18 20
21
6 7 95 23 20 6 D B
8 9 92 35 19 8 D B
i 1 j 1 g ni
7
三种“变异”之间的关系
SS总 = SS组间 + SS组内 ，
ν总 =ν组间 +ν组内
组内变异 SS 组内：随机误差 组间变异 SS 组间：随机误差+处理因素
均方(mean square，MS)
统计学习题及答案(完整) 2
第一部分计量资料的统计描述一、最佳选择题1、描述一组偏态分布资料的变异度，以（）指标较好。
A、全距B、标准差C、变异系数D、四分位数间距E、方差2．用均数和标准差可以全面描述（）资料的特征。
A．正偏态分布B．负偏态分布C．正态分布D．对称分布E．对数正态分布3．各观察值均加（或减）同一数后（）。
A．均数不变，标准差改变B．均数改变，标准差不变C．两者均不变D．两者均改变E．以上都不对4．比较身高和体重两组数据变异度大小宜采用（）。
A．变异系数B．方差C．极差D．标准差E．四分位数间距5．偏态分布宜用（）描述其分布的集中趋势。
A．算术均数B．标准差C．中位数D．四分位数间距E．方差6．各观察值同乘以一个不等于0的常数后，（）不变。
A．算术均数B．标准差C．几何均数D．中位数E．变异系数7．（）分布的资料，均数等于中位数。
A．对数正态B．正偏态C．负偏态D．偏态E．正态8．对数正态分布是一种（）分布。
（说明：设X变量经Y=lgX变换后服从正态分布，问X变量属何种分布？）A．正态B．近似正态C．左偏态D．右偏态E．对称9．最小组段无下限或最大组段无上限的频数分布资料，可用（）描述其集中趋势。
A．均数B．标准差C．中位数D．四分位数间距E．几何均数10．血清学滴度资料最常用来表示其平均水平的指标是（）。
A．算术平均数B．中位数C．几何均数D．变异系数E．标准差二、简答题1、对于一组近似正态分布的资料，除样本含量n 外，还可计算，S 和，问各说明什么？2、试述正态分布、标准正态分布及对数正态分布的某单位1999年正常成年女子血清联系和区别。
甘油三酯(mmol/L)测量结果3、说明频数分布表的用途。
4、变异系数的用途是什么？组段频数5、试述正态分布的面积分布规律。
0.6~ 10.7~ 3三、计算分析题0.8~ 91、根据1999年某地某单位的体检资料，116名正常0.9~ 13成年女子的血清甘油三酯（mmol/L）测量结果如右表， 1.0~ 19请据此资料： 1.1~ 25（1）描述集中趋势应选择何指标？并计算之。
统计学习题及答案(完整) 2
第一部分计量资料的统计描述一、最佳选择题1、描述一组偏态分布资料的变异度，以（）指标较好。
A、全距B、标准差C、变异系数D、四分位数间距E、方差2．用均数和标准差可以全面描述（）资料的特征。
A．正偏态分布B．负偏态分布C．正态分布D．对称分布E．对数正态分布3．各观察值均加（或减）同一数后（）。
A．均数不变，标准差改变B．均数改变，标准差不变C．两者均不变D．两者均改变E．以上都不对4．比较身高和体重两组数据变异度大小宜采用（）。
A．变异系数B．方差C．极差D．标准差E．四分位数间距5．偏态分布宜用（）描述其分布的集中趋势。
A．算术均数B．标准差C．中位数D．四分位数间距E．方差6．各观察值同乘以一个不等于0的常数后，（）不变。
A．算术均数B．标准差C．几何均数D．中位数E．变异系数7．（）分布的资料，均数等于中位数。
A．对数正态B．正偏态C．负偏态D．偏态E．正态8．对数正态分布是一种（）分布。
（说明：设X变量经Y=lgX变换后服从正态分布，问X变量属何种分布？）A．正态B．近似正态C．左偏态D．右偏态E．对称9．最小组段无下限或最大组段无上限的频数分布资料，可用（）描述其集中趋势。
A．均数B．标准差C．中位数D．四分位数间距E．几何均数10．血清学滴度资料最常用来表示其平均水平的指标是（）。
A．算术平均数B．中位数C．几何均数D．变异系数E．标准差二、简答题1、对于一组近似正态分布的资料，除样本含量n外，还可计算，S和，问各说明什么？2、试述正态分布、标准正态分布及对数正态分布的某单位1999年正常成年女子血清联系和区别。
甘油三酯(mmol/L)测量结果3、说明频数分布表的用途。
4、变异系数的用途是什么？组段频数5、试述正态分布的面积分布规律。
0.6~ 1.7~ 3三、计算分析题0.8~ 91、根据1999年某地某单位的体检资料，116名正常0.9~ 13成年女子的血清甘油三酯（mmol/L）测量结果如右表，1.0~ 19请据此资料：1.1~ 25（1）描述集中趋势应选择何指标？并计算之。
方差分析——精选推荐
方差分析一、是非题1.组间变异的程度与离均差有关，与自由度无关。
（ ）2.方差分析法是研究两个或多个总体均数差别有无统计意义的统计方法。
（ ）3.两样本均数的差别作统计检验，若可作方差分析，则也可作t 检验。
（ ）4.方差分析时要求各组的样本方差相差不大。
（ ）5.4个均数作差别的统计检验，可以分别作两两比较的6次t 检验以作详细分析。
（ ）6．对两个总体方差进行齐性检验时，在α=0.05的显著性水平上拒绝了原假设，这表示原假设为真的概率小于0.05。
二、最佳选择题1．多个样本均数比较的方差分析，下列哪项不是应用条件： 。
A.各样本是相互独立的随机样本B.各样本来自正态总体C.各样本的总体方差相等D.各样本含量尽可能相等E.各样本均数相差不大2．完全随机设计资料的方差分析中，错误的是 。
A.SS 总=SS 组间+SS 组内B.ν总=ν组间+ν组内C.MS 总=MS 组间+MS 组内D.MS 组间>MS 组内E.MS 组间<MS 组内3．当组数等于2时，对于完全随机设计和区组设计资料的方差分析与t 检验结果 。
A.完全等价，且F=tB.完全等价，且C.完全等价，且D.t 检验结果优于方差分析E.方差分析结果优于t 检验4．完全随机设计方差分析中，MS 组间表示 。
A.处理因素作用的效应大小B.随机测量误差和随机抽样误差的大小C.处理因素的效应和随机测量误差的大小D.处理因素的效应、随机测量误差和随机抽样误差的大小E.以上均错误5．方差分析中，获得P<0.05时，结论是 。
A. 证明各总体均数都不相等B. 证明各总体均数不全相等C.可认为各总体均数都不相等D.可认为各总体均数不全相等E.以上都不是6．完全随机设计的多个样本均数比较的方差分析是检验假设 是否成立。
A.22212k == =σσσ…B.12== =k μμμ… C. 22212k == =S S S … D. 22212k == =X X X … E. 12== =k πππ…7．若检验统计量F 近似等于1，说明 。
方差分析-4
第四章 多个样本均数比较的
方差分析
analysis of variance, ANOVA
第六节
多个样本均数间的多重比较
（multiple comparison）
当方差分析的结果为拒绝H0，接 受H1时，只说明g个总体均数不全相 等。若想进一步了解哪两个总体均
数不等，需进行多个样本均数间的
SXiX j =
0.43
1 30
1 30
=0.17
2.72 3.43
LSD-t = =
=-4.18
0.17
以 ν=116 查附表 2 的 t 界值表，得 P<0.05。按
0.05 水准，拒绝 H0，接受 H1，差别有统计学意
义。可认为降血脂新药 2.4g 组的低密度脂蛋白含量
检验统计量t的计算公式
LSD t Xi X j , SXiX j
误差
SXiX j
MS误差
1 ni
1 nj
MS误差:完全随机设计方差分析的误差均方
检验界值查p804附表2 tM界S误差 值表MS组内
LSD-t 检验与两样本均数比较的 t 检验区别 在于两样本均数差值的标准误 SXiX j 和自由度 ν 的计算上。
检验统计量的计算公式
Dunnett t X i X 0 S
X i X 0
误差
SXiX0
MS误差
1 ni
1 n0
,
Xi ， ni 为第 i 个实验组的样本均数和样本例数； X 0 ， n0 为对照组的样本均数和样本例数。
统计：完全随机设计资料的方差分析(多个样本均数间的两两比较)(2020年整理).pptx
均数间的两两比较根据研究设计的不同分为两种类型 ：一种常见于探索性 研究，在研究设计阶段并不明确哪些组别之间的对比是更为关注的，也不明确哪 些组别问的关系已有定论、无需再探究，经方差分析结果提示 “ 概括而言各组 均数不相同”后，对每一对样本均数都进行比较，从中寻找有统计学意义的差异： 另一种是在设计阶段根据研究目的或专业知识所决定的某些均数问的比较．常见 于证实性研究中多个处理组与对照组 、施加处理后的不同时间点与处理前比 较。最初的设计方案不同．对应选择的检验方法也不同． 下面分述两种不同设 计均数两两比较的方法选择。
CON Levene Statistic 1.578
df1 2
df2 27
Sig. .225
CON
Between Groups Within Groups Total
Sum of Squares
119.831 112.971 232.803
ANOVA
df 227 29 NhomakorabeaMean Square
59.916 4.184
MS 组内 = SNS-组k内(N 为总例数) = 1123.09-7312= 4.184 ③.求 F 值 F = MMSS组组间内= 549..198146= 14.32
将上述计算结果列成方差分析表，如下： 变异来源 平方和 SS 自由度 v 均方 MS F 值 总 变 异 232.8026 29 组 间 变 异 119.8314 2 59.916 14.32 组 内 变 异 （ 误 差 )
分 3 组，每组 10 只，分别接受不同的处理，试根据下表资料说明大鼠烫伤后不 同时期切痂对其肝脏的 ATP(u/L)含量是否有影响？
大鼠烫伤后不同时期切痂肝脏 ATP 含量(u/L)
6 多样本均数比较_方差分析
(3) 区组间变异：由不同区组作用和随机误差产生的变异， 记为SS区组. (4) 误差变异：完全由随机误差产生变异，记为SS误差。 对总离均差平方和及其自由度的分解，有:
SS总 SS处理 SS区组 SS误差
总 处理 区组 误差
45
表 随机区组设计资料的方差分析表
变异来源 总变异 处理间 区组间 误 自由度
31
常用的多重比较的方法:
LSD DUNNETT (‘a1’) DUNCAN BON SNK REGWQ
LSD –t 检验 (最小显著差法)
Dunnett- t 检验 Duncan检验 (新复极差法) Bonferroni法 SNK法
REGWQ法
32
SAS示例
6.1 某医生为了研究一种降血脂新药的临床疗效，
16
若组间变异明显大于组内变异, 则不能认为组间变 异仅反映随机误差的大小, 处理因素也在起作用。根 据计算出的检验统计量F值, 查界值表得到相应的P 值, 按所取检验水准α作出统计推断结论。 检验统计量F值服从F分布。
F<Fα,(ν组间, ν组内),则P > α, 不拒绝H0, 还不能认 为各样本所来自的总体均数不同;
34
SAS示例
35
SAS示例
36
SAS示例
37
SAS示例
38
SAS示例
39
SAS示例
40
ANOVA过程
过程格式
Proc
anova 选项; Class 变量表; Model 依变量＝效应表/选项; Means 效应表/选项; Run;
41
三 二因素随机区组试验资料的 方差分析
2. 双因素及多因素试验方差分析
多个样本均数比较的方差分析共31页
三、Dunnett-t检验
适用于k-1个实验组与一个对照组均数差 别的多重比较，检验统计量为Dunnett-t 值，
понеде
понеде
第六节 重复测量数据的方差分析 *
对于临床上常见的重复测量数据（ repeated measurement data），也称监 测数据（monitoring data），即每个患 者的临床观察结果是多次重复测量结果 的连线（见图11-2），统计分析的目的 是比较这些连线变化趋势的特征。
понеде
понеде
понеде
谢谢！
понеде
понеде
注意问题
在实际工作中，一般只对试验的研究因 素感兴趣，即注重处理组间差别的假设 检验，必要时也可对区组间的差别进行 假设检验。本例，，，区组间的总体均 数有差别，说明小鼠体重（或各区组的 试验条件）对小鼠体内尾蚴存活率有影 响。
понеде
第四节 多个均数间的两两比较
понеде
понеде
понеде
понеде
понеде
方差分析的结果只能说明多组间是否有 差别，有时我们更关心哪两组间有差别( 如本例更关心两个切痂组的ATP含量是 否有差别)。这时可进行多个均数的两两 比较，详见本章第四节。
п析
随机区组设计（randomized block design）亦
понеде
第二节 完全随机设计资料的方差分析
完全随机设计（completely random design） 只设计一个处理因素（该因素有两个或两个以 上水平），采用完全随机的方法直接将受试对 象分配到各个处理水平组。各处理水平组例数 可以相等亦可以不等。以例11-1为例，先将30 只大鼠按体重大小编号，从附表15中第10行第 6列、第7列向下开始取2位的随机数，即63， 73，65，……。随机数排出序号后，序号1~10 为A组，序号11~20为B组，序号21~30为C组 。
统计学系列讲座第5讲多组样本均数比较的方差分析
３
随机单位组设计资料的方差分析（ｒａｎｄｏｍｉｚｅｄ ｂｌｏｃｋ ｄｅｓ ｉｇｎ）
第６期
安胜利 ． 统计学系列讲座
第５讲
多组样本均数比较的方差分析
９５
又称随机区组设计、 配伍组设计 。 这 种 设 计 相 当 于 配 对 设计的扩大。具体做法是将受试对象按性质（ 如性别、 体质 量、 年龄及病情等对试验结果有影响的非实验因素） 相同或 相 近者组成 ｂ 个单位组 ， 每个单位组中有 ｋ 个 受 试 对 象 ， 分 别随机地分配到 ｋ 个处理组。这种设计使得各处理组内受试 对象数量相同 ， 生物学特点也较为均衡。由于减少了误差 ， 试 验效率提高了。 例 ２ 为研究注射不同剂量雌激素对大白鼠子宫质量的 影响 ， 取 ４ 窝不同种系的大白鼠 （ ｂ＝４ ） ， 每窝 ３ 只 ， 随机地分配 到 ３ 个 组 内 （ ｋ＝３ ） 接 受 不 同 剂 量 的 雌 激 素 的 注 射 ， 然 后 测 定 其子宫质量 ， 见表 ５ ， 问注射不同剂量的雌激素对大白鼠子宫 质量是否不同 ？ 表５
分析： 本例多处数据标准差是均数的 ２ 倍以上， 基本上 可以认为此资料不服从正态分布 ， 而且 各 指 标 内 不 同 组 间 标 准差相差悬殊 ， 也不满足方差齐性条件 ， 所以不宜用 ｔ 检验和 方差分析。这两个条件具体可通过正态性检验和方差齐性检 验证实 （ 此略 ） 。另外 ， 本资料分为 ３ 组 ， 而原作者反复用 ｔ 检 验进行各两组间的比较也是错误的， ｔ 检验不能用于分析多 组资料间的两两比较。此例可考虑用无前提条件要求的非参 数检验（ 将在以后的讲座中介绍） ， 如果有统计学意义， 接着 用非参数检验中相应的两两比较方法。
ＳＳ ＳＳ 处 理 ＳＳ 单 位
ＣＥＡ ＣＡ１９－ ９ （μ ｇ／Ｌ） （１０３Ｕ／Ｌ） 术前 ５８ ３４．０± ７９．０ ２０９．０± ７３９．０ 术后 ３０ ２．０± １．２＊ １１．０± １０．９＊ 转移复发 １９ ８８．０± １０７．０ ２１２．０± ５２９．０ 与术前组比较 ： ＊Ｐ＜０．０５，＊＊Ｐ＜０．０１ ｎ
统计学—多个样本均数比较的方差分析练习题
多个样本均数比较的方差分析练习题一、最佳选择题1. 完全随机设计资料的方差分析中，必然有( )A.SSm 间>SSm内B.MS 组间<MS组内C.MS=MS 组间+MS组内D.SS=SSm 间+SS 内E.V 组间>V组内2. 随机区组设计资料的方差分析中，对其各变异关系表达正确的是( )A.SSg =SS组间+SS组内B.MSg=MS 组间+MS组内C.SSg=SS 处理+SS区组+SS识差D.MS=MS 灶理+MSK组+MS退差E.SS=SS 处理+SS区组+MS误差3. 当组数等于2时，对于同一资料，方差分析结果与t 检验结果 ( )A. 完全等价且F=√iB. 方差分析结果更准确C.t 检验结果更准确D. 完全等价且t=√FE. 理论上不一致4.方差分析结果，F处理>Foos,(cy2》,则统计推论是( )A. 各总体均数不全相等B. 各总体均数都不相等C. 各样本均数都不相等D. 各样本均数间差别都有统计学意义E. 各总体方差不全相等5. 完全随机设计方差分析中的组间均方是( )的统计量A. 表示抽样误差大小B. 表示某处理因素的效应作用大小C. 表示某处理因素的效应和随机误差两者综合影响的结果D. 表示N 个数据的离散程度E. 表示随机因素的效应大小6. 配对设计资料，若满足正态性和方差齐性。
要对两样本均数的差别作比较，可选择( )A. 随机区组设计的方差分析B.u 检验C. 成组t 检验D.x²检验E. 秩和检验第四章多个样本均数比较的方差分析7.k 个组方差齐性检验有统计学意义，可认为()A.o}、σ2、…o²不全相等B.μ₁、μ₂、…μ₄不全相等C.S₁、S₂、…S₄不全相等D.X, 、X₂、…x 不全相等E.o} 、o2 、…σ²全不相等二、简答题1. 方差分析的基本思想和应用条件是什么?2. 完全随机设计方差分析变异分解中“MS=MS 画+MSm内”成立吗?为什么?3. 随机区组设计的方差分析与完全随机设计方差分析在设计和变异分解上有什么不同?4. 如何确定应用于实验的拉丁方?5. 为什么在方差分析的结果为拒绝H₀、接受H, 之后，对多个样本均数的两两比较要用多重比较的方法?三、计算分析题1. 研究动物被随机分成3个组来比较对3种不同刺激的反应时间(秒),问动物在3种不同刺激下的反应时间是否有差别?刺激I 16 14 14 13 13 12 12 17 17 17 19 14 15 20刺激Ⅱ 6 7 7 8 4 8 9 6 8 6 4 9 55刺激Ⅲ8 10 9 10 6 7 10 9 11 11 9 10 9 52. 为研究某药物的抑癌作用，使一批小白鼠致癌后，按完全随机设计的方法随机分为4 组，A、B、C 三个实验组和一个对照组，分别接受不同的处理，A、B、C3 个实验组，分别注射0.5ml、1.0ml和1.5ml30% 的注射液，对照组不用药。
统计学习题及答案（完整）2
统计学习题及答案（完整）2第一部分计量资料的统计描述一、最佳选择题1、描述一组偏态分布资料的变异度，以（）指标较好。
A、全距B、标准差C、变异系数D、四分位数间距E、方差2．用均数和标准差可以全面描述（）资料的特征。
A．正偏态分布B．负偏态分布C．正态分布D．对称分布E．对数正态分布3．各观察值均加（或减）同一数后（）。
A．均数不变，标准差改变B．均数改变，标准差不变C．两者均不变D．两者均改变E．以上都不对4．比较身高和体重两组数据变异度大小宜采用（）。
A．变异系数B．方差C．极差D．标准差E．四分位数间距5．偏态分布宜用（）描述其分布的集中趋势。
A．算术均数B．标准差C．中位数D．四分位数间距E．方差6．各观察值同乘以一个不等于0的常数后，（）不变。
A．算术均数B．标准差C．几何均数D．中位数E．变异系数7．（）分布的资料，均数等于中位数。
A．对数正态B．正偏态C．负偏态D．偏态E．正态8．对数正态分布是一种（）分布。
（说明：设X变量经Y=lgX变换后服从正态分布，问X变量属何种分布？）A．正态B．近似正态C．左偏态D．右偏态E．对称9．最小组段无下限或最大组段无上限的频数分布资料，可用（）描述其集中趋势。
A．均数B．标准差C．中位数D．四分位数间距E．几何均数10．血清学滴度资料最常用来表示其平均水平的指标是（）。
A．算术平均数B．中位数C．几何均数D．变异系数E．标准差二、简答题1、对于一组近似正态分布的资料，除样本含量n 外，还可计算，S 和，问各说明什么？2、试述正态分布、标准正态分布及对数正态分布的某单位1999年正常成年女子血清联系和区别。
甘油三酯(mmol/L)测量结果3、说明频数分布表的用途。
4、变异系数的用途是什么？组段频数5、试述正态分布的面积分布规律。
0.6~ 10.7~ 3三、计算分析题0.8~ 91、根据1999年某地某单位的体检资料，116名正常0.9~ 13成年女子的血清甘油三酯（mmol/L）测量结果如右表， 1.0~ 19 请据此资料： 1.1~ 25（1）描述集中趋势应选择何指标？并计算之。
第四章多个样本均数比较的方差分析
第四章多个样本均数比较的方差分析方差分析的基本思想是通过比较各组或处理的均值差异与各组内的个体间差异来判断是否存在显著差异。
在进行方差分析之前，需要满足一些前提条件，如对总体的抽样是简单随机抽样、各样本之间是独立的等。
这些前提条件的满足保证了方差分析的可靠性。
多个样本的方差分析是通过计算组间离差平方和（SSTr）、组内离差平方和（SSE）和总离差平方和（SST）来比较各组或处理之间的差异。
计算公式为：SSTr = Σni(x̄i - x̄)²SSE = ΣΣ(xij - x̄i)²SST=SSTr+SSE其中，n是每组或处理的样本个数，ni是第i组或处理的样本个数，x̄i是第i组或处理的样本均值，x̄是全部样本的均值，xij是第i组或处理的第j个样本值。
通过计算SSTr和SSE，可以得到均方值（MS）：MStr = SSTr / (r - 1)MSE=SSE/(N-r)其中，r是组或处理的个数，N是总样本个数。
接下来，需要计算F值，用于判断各组或处理均值是否有显著差异：F = MStr / MSE根据F值和自由度，可以查找F表来确定是否存在显著差异。
如果F 计算值大于F临界值，则拒绝原假设，表示均值之间存在显著差异。
方差分析还可以进行多重比较，用于确定具体哪些组或处理之间存在显著差异。
常用的多重比较方法有Tukey的HSD（最大均值差异）和Bonferroni方法。
方差分析的优点是可以同时比较多个样本的均值差异，具有较好的统计效应。
然而，方差分析也存在一些限制，如对正态性和方差齐性的要求较高。
总之，多个样本均数比较的方差分析是一种常用的统计方法，在科学研究和实验设计中得到广泛应用。
它可以帮助研究人员确定不同处理或组之间的差异，为决策提供支持。
多组均数间比较的方差分析
方差分析的适用条件
条件
方差分析要求数据满足正态分布、独立性和方差齐性。如 果数据不满足这些条件，可能需要采用其他统计方法。
正态分布
各组数据应来自正态分布的总体，这是方差分析的前提假 设。
独立性
各组数据应相互独立，即不同组的观测值之间没有关联性 。
方差齐性
各组内部的变异应相似，即各组的方差应无显著差异。
目的和意义
目的
确定多个独立样本的均数是否存在显 著差异，从而判断不同处理或分组对 结果的影响。
意义
为科学研究提供了一种有效的统计分 析方法，有助于揭示不同处理或分组 间的差异，为进一步的研究提供依据 。
02
方差分析的基本概念
方差分析的定义
定义
方差分析（ANOVA）是一种统计分析方法，用于比较两个或多个组均数的差异，同时考虑各组内部的变异。
数据分组
根据实验分组情况，将数据整理成 各个组别的表格或图表，以便后续 分析。
方差分析过程与结果解读
方差分析的前提条
件
满足独立性、正态性和方差齐性 等前提条件，以保证分析结果的 准确性和可靠性。
方差分析过程
使用统计软件进行方差分析，包 括计算自由度、F值、P值等，并 判断各组间是否存在显著差异。
结果解读
方差齐性检验方法
采用Levene检验、Bartlett检验等方法对数据 进行方差齐性检验。
方差齐性检验结果解读
根据检验结果判断数据是否满足方差分析的前提条件。
方差分析的统计方法
方差分析的基本思想
通过比较不同组数据的均值差异，判断各因素对实验结果的影响 程度。
方差分析的常用统计量
包括自由度、离均差的平方和、均方等。
03
多个样本均数比较的方差分析总结
多个样本均数比较的方差分析方差分析的基本思想：目的：推断多个总体均数是否有差别，也可用于两个。
方法：方差分析，即多个样本均数比较的F 检验。
基本思想：根据资料设计的类型及研究目的，可将总变异分解为两个或多个部分，每个部分的变异可由某因素的作用来解释。
通过比较可能由某因素所致的变异与随机误差，即可了解该因素对测定结果有无影响。
应用条件：总体——正态且方差相等，样本——独立、随机完全随机设计资料的方差分析表变异来源 自由度 SS MS F 总变异 N －1 211i n g ij i j X C ==-∑∑组 间 g －1 211()i n ij g j i i X C n ==-∑∑ SS ν组间组间 MS MS 组间组内 组 内 N －g SS SS -总组间 SS ν组内组内Xij ：第i 个处理组第j 个观察结果SS 总，总变异：离均差平方和(sum of squares of deviations from mean ，SS )表示，即各测量值Xij 与总均数差值的平方和。
SS 组间，组间变异：各组均数与总均数的离均差平方和。
SS 组内,组内变异：组内各测量值Xij 与其所在组的均数的差值的平方和表示，表示随机误差的影响。
MS 均方差，均方(mean square ，MS )检验统计量F如果各样本μ全相等，F 值应接近于1；如果不全相等，F 值将明显大于1；用F 界值（单侧界值）确定P 值。
一、完全随机设计统计分析方法选择1. 对于正态分布且方差齐同的资料，常采用完全随机设计的单因素方差分析(one-way ANOV A)或成组资料的 t 检验（g =2）；2. 对于非正态分布或方差不齐的资料，可进行数据变换或采用Wilcoxon 秩和检验。
H 0： H 1：4个试验组总体均数不全相等方差分析的结果：拒绝H 0，接受H 1，不能说明各组总体均数间两两都有差别。
如果要分析哪些两组间有差别，可进行多个均数间的多重比较。
多个样本均数比较的方差分析
多个样本均数比较的方差分析多个样本均数比较的方差分析指的是一种统计方法，用于对多个样本的均数进行比较。
它可以帮助我们确定是否有显著的差异存在于不同样本的均数之间。
在进行方差分析时，我们通常将样本分为不同的组，然后通过比较组均数的差异来确定它们之间是否存在显著差异。
方差分析是基于方差的假设检验方法。
通过方差分析，我们可以计算组内和组间的方差，然后通过比较这些方差之间的差异来判断它们之间是否有显著差异。
如果方差之间的差异足够大，则可以得出结论：不同样本的均数之间存在显著差异。
在进行方差分析时，需要满足以下假设：1.观察数据是独立且来自正态分布的。
2.不同样本的方差相等。
方差分析可以通过计算F统计量来进行。
F统计量是组间均方与组内均方的比值。
组间均方是由组间方差得出的，而组内均方是由组内方差得出的。
F统计量越大，表示组间差异越大，也就意味着不同样本的均数之间存在显著差异的可能性越大。
进行方差分析之前，我们首先需要进行方差齐性检验。
这可以通过Levene检验或Bartlett检验来完成。
方差齐性检验的目的是验证不同样本的方差是否相等。
如果方差齐性假设未被满足，则意味着方差之间的差异不可忽略，我们需要使用更为复杂的方法来处理比较。
一旦我们确认了方差齐性假设，我们就可以进行方差分析了。
在方差分析中，可以使用ANOVA（Analysis of Variance）表，它可以帮助我们计算组间平方和、组内平方和、总平方和和相应的均方值。
随后，我们可以使用F分布表或统计软件来确定F统计量所对应的显著性水平。
如果F统计量非常小，那么我们可以得出结论：不同样本的均数之间不存在显著差异。
而如果F统计量超过了给定的临界值，那么我们可以得出结论：不同样本的均数之间存在显著差异。
需要注意的是，方差分析只能告诉我们是否存在显著差异，却不能告诉我们哪些均数之间具体存在差异。
如果方差分析的结果是显著的，我们需要进一步使用事后多重比较方法（如Tukey's HSD test）来确定具体存在差异的样本均数对。
方差分析
Analysis of variation (ANOVA)
t 检验
单样本 两样本 样本均数与 总体均数 样本均数与 样本均数 n较小 n1、n2均较 小
u 检验 σ已知， σ未知但n足够大
n1、n2均较大
适用于 u 检验的资料都可以使用 t 检验
多个样本均数比较 方差分析（F检验）
方差分析的发明者
三、实例计算
例6.1 随机抽取50~59岁男性正常者、冠心病
人、脂肪肝患者各11人，测定空腹血糖值，试
推断三类人群总体均值是否相同？
3组观察对象空腹血糖测定结果(mmol/L)
组 别
甲组 乙组 丙组 4.75 5.03 6.26 4.61 5.78 5.42 4.75 4.77 4.57 4.21 4.36 5.24 5.12 5.26 6.68 5.44 5.14 6.09
各组样本含量可以相等也可以不等，相 等时检验效率较高。
由于完全随机设计的方差分析只有一个 研究因素, 所以又称为单因素方差分析。
一、数据的基本形式
完全随机设计方差分析的数据结构 … 第1组 第2组 第k组
X11 X12 ┇ X1j
┇ X1n
X21 X22 ┇ X2j
┇ X2n
… … … …
… … … … …
( ) 次 。若每次比 比较的次数为Ck 较的检验水准为α, 则每次比较不犯Ⅰ型错 误的概率为（1-α）。当这些检验独立进 行时, 则m次比较均不犯Ⅰ型错误的概率 为(1-α)m, 此时犯Ⅰ型错误的概率, 即总的 检验水准α变为1-(1-α)m。
2即
k 2
二、方差分析的目的
在无效假设成立的前提下, 通过分析各处 理组均数之间的差别, 以推断其各相应总体 均数间有无差别, 从而说明处理因素的效果 是否不同（或处理因素是否起作用）。
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ν总 =ν组间 +ν组内
均方差，均方( 均方差，均方(mean square，MS)。 ， )
MS组间 = MS组内 =
SS组间
ν组间
SS组内
ν组内
检验统计量：
MS组间 F= , ν1 =ν组间, ν2 =ν组内 MS组内 µ 如果 1 = µ2 = L = µ g ，则 组间, MS组内 都为随 MS 的估计， 值应接近于1 机误差 σ 2 的估计，F值应接近于1。
α
= 0 . 0 5
中 按 S 表 4 - 4 的 公 式 计 算 各 离 均 差 平 方 和 S S 、 自 由 度
ν
、
均
M
和FBiblioteka 值。H1：4个试验组总体均数不全相等 个试验组总体均数 个试验组总体均数不全相等
α = 0.05
2 . 计算检验统计量 :
∑∑ Xij =102.91+ 81.46 + 80.94 + 58.99 = 324.30 2 Xij = 367.85 + 233.00 + 225.54 +132.13 = 958.52 ∑∑
测量值
4.59 4.34 2.66 3.59 3.13 4.04 3.53 3.56 3.85 4.07 3.93 2.33 2.98 4.00 3.55 2.64 2.56 3.50 3.25 3.52 3.93 4.19 2.96 2.96 4.3 4.16 2.59 30 3.43 102.91 367.85 统计量
编序号： 3. 编序号 ： 将全部随机数字从小到大 ( 数据相同则按 先后顺序）编序号，见表4 先后顺序）编序号，见表4-2第3行。 事先规定：序号1 30为甲组 序号31 60为乙组 为甲组， 31- 为乙组， 4. 事先规定：序号1-30为甲组，序号31-60为乙组，序 号61-90为丙组，序号91-120为丁组，见表4-2第四行。 61-90为丙组，序号91-120为丁组，见表4 第四行。 为丙组 91 为丁组
µ 如果 1 , µ2 ,L , µ g
不全相等， 值将明显大于1 不全相等，F值将明显大于1。 界值（单侧界值）确定P 用F界值（单侧界值）确定P值。
第二节
完全随机设计资料的方差分析
一、完全随机设计
(completely random design)是采用完全随 机化的分组方法，将全部试验对象分配到g个处理 组（水平组），各组分别接受不同的处理，试验结 束后比较各组均数之间的差别有无统计学意义，推 论处理因素的效应。
表4 - 3
分 组 3.53 安慰剂组 3.30 1.37 降血脂新药 2.42 2.4g 组 1.98 2.36 2.86 4.8g 组 2.66 3.48 0.89 7.2g 组 1.98 1.31
4个处理组低密度脂蛋白测量值(mmol/L) 4个处理组低密度脂蛋白测量值(mmol/L) 个处理组低密度脂蛋白测量值
应用条件： 应用条件： 总体——正态且方差相等 总体 正态且方差相等 样本——独立、随机 独立、 样本 独立 设计类型： 设计类型： 完全随机设计资料的方差分析 随机区组设计资料的方差分析 拉丁方设计资料的方差分析 两阶段交叉设计资料的方差分析
N 1 ( µ 1 , σ 2 ), N 2 ( µ 2 , σ 2 ), L , N g ( µ g , σ 2 )
二、变异分解
表 4-4 完全随机设计资料的方差分析表
变异来源 总变异 自由度 N－1
g ni
SS
MS
2
F
∑∑ Xij −C
i =1 j =1
ni
组 间
g－1
∑
i =1
g
(∑ Xij )
j =1
2
SS组间
−C
ni
ν组间
SS组内
MS组间 MS组内
组 内
N－g
SS总 − SS组间
ν组内
例4-2 某医生为了研究一种降血脂新药的临
名高血脂患者， 床疗效， 按统一纳入标准选择120名高血脂患者 ， 床疗效 ， 按统一纳入标准选择 名高血脂患者 采用完全随机设计方法将患者等分为 组 采用完全随机设计方法将患者等分为4组（具体分 等分 组方法见例4-1）， 进行双盲试验 。 6周后测得低 ） 进行双盲试验。 周后测得 周后测得低 组方法见例 密度脂蛋白作为试验结果， 见表4-3。问 4个处理 密度脂蛋白 作为试验结果，见表 作为试验结果 。 个处理 组患者的低密度脂蛋白含量总体均数有无差别? 组患者的低密度脂蛋白含量总体均数有无差别
SS总 = ∑∑( Xij − X ) = ∑∑ Xij − C
g ni 2 g ni 2 i =1 j =1 i =1 j =1
ν总 = N −1
其中： 其中：
C= (∑∑ Xij )
i=1 j=1 g ni 2
N
=
(∑ Xij )
i, j
2
N
2．组间变异： 各处理组由于接受处理的水平 ．组间变异：
1.总变异 1.总变异:全部测量值大小不同，这种变异
称为总变异。 总变异的大小可以用离均差平方和(sum of squares of deviations from mean，SS)表示， 即各测量值Xij与总均数差值的平方和，记为 SS总。 总变异SS总反映了所有测量值之间总的变异程 度。
计算公式为
例 4-1 某医生为了研究一种降血脂新
药的临床疗效， 药的临床疗效 ， 按统一纳入标准选择 120名患者 ， 采用完全随机设计方法将 名患者， 名患者 患者等分为4组进行双盲试验 。 患者等分为 组进行双盲试验。 问如何 组进行双盲试验 进行分组？ 进行分组？
（1）完全随机分组方法：
1. 编号 ： 120名高血脂患者从 开始到 编号： 名高血脂患者从1开始到 名高血脂患者从 开始到120， ， 见表4-2第 行 见表 第1行（P72）； ） 2. 取随机数字：从附表 中的任一行任一列 取随机数字：从附表15中的任一行任一列 开始， 行第7列 开始， 依次读取三位 开始 ， 如 第 5行第 列 开始 ， 依次读取 三位 行第 作为一个随机数录于编号下，见表4-2第 数作为一个随机数录于编号下，见表 第2 行；
分组结果 甲 丁 乙 甲 甲 丁 甲 丁 丁 丁 … 甲 丙
（2）统计分析方法选择：
1. 对于正态分布且方差齐同的资料，常采用完全随 对于正态分布且方差齐同的资料， 机设计的单因素方差分析 机设计的单因素方差分析(one-way ANOVA)或成 单因素方差分析 或成 检验（ 组资料的 t 检验（g=2）； ） 2. 对于非正态分布或方差不齐的资料，可进行数据 对于非正态分布或方差不齐的资料， 可进行数据 变换或采用 秩和检验。 变换或采用Wilcoxon秩和检验。 或采用 秩和检验
SS组内 = 82.10 − 32.16 = 49.94 ， ν组内 =120 − 4 =116 32.16 49.94 MS组间 = =10.72 ，MS组内 = = 0.43 ， 3 116 10.72 F= = 24.93 0.43
列方差分析表 表4-5 完全随机设计方差分析表
变 来 异 源 总 异 变 组 间 组 内 自 度 由 119 3 116 SS 82.10 32.16 49.94 M S 10.72 0.43 F 24.93 P <0.01
表 4-2 完全随机设计分组结果 编 号 随机数 序 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 … 119 120
260 873 373 204 056 930 160 905 886 958 … 220 634 24 106 39 15 3 114 13 109 108 117 … 16 75
233.00
225.54
132.13
三、分析步骤
1. 建立检验假设，确定检验水准 建立检验假设，确定检验水准:
H H
0
： ：
µ
1
=
µ
2
=
µ
3
=
µ
4
，
即
4
个
试
验
组
的
总
体
均
数
相
等
1
4
个
试
验
组
的
总
体
均
数
不
全
相
等
方
H0： 1 = µ2 = µ3 = µ4 即4个试验组总体均数相等 个试验组总体均数 个试验组总体均数相等 µ
完全随机设计资料的方差分析的基本思想
表4-1 g 个 理 的 验 果 处 组 试 结
处 分 理 组 平 1水 平 2水 X11 X21 X12 X22 测 值 量 … … X1j X2j … …
X1n1 X2n2
统 量 计 n1 X1 n2 X2 S1
…
…
…
…
…
…
…
…
…
S2
…
g水 平
Xg1
Xg2
…
Xgj
…
Xgng
ng Xg
Sg
合计
X ij
N
X S
X ij :第i个处理组第 个观察结果 第 个处理组第 个处理组第j个观察结果
记总均数为 X = ∑ ∑ X ij / N，各处理组均
i =1 j =1
g
ni
数为 X i = ∑ X ij / ni ，总例数为N＝
j =1
ni
nl+n2+…+ng，g为处理组数。 g
n
Xi
∑X
∑X 2
3.36 4.32 2.34 2.68 2.95 2.63 2.86 2.93 2.17 2.72 2.56 2.52 2.27 2.98 3.72 2.28 2.39 2.28 2.48 2.28 2.32 2.61 3.64 2.58 3.65 2.42 2.41 2.66 3.29 2.70 1.06 1.08 1.27 1.63 1.89 1.74 2.16 3.37 2.97 1.69 2.51 1.88 1.41 3.19 1.92