3-1 n维向量及其运算
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第三章 N维向量与线性方程组
第一节 n维向量及其运算
v n维向量的概念 v n维向量的运算
一、n 维向量的概念
定义1 n 个数 a1 , a2 ,L, an 组成的有序数组称为 n 维向量，数 ai (i = 1, 2,L, n)称为该向量的第i 个分 量(或坐标), 分量为实数的向量称为实向量，分量为
2
4. 零向量: 分量皆为零的向量称为零向量.
5. 负向量 称向量 (-a1, -a2 ,L, -an )T 为向量 α = (a1, a2 ,L, an )T 的负向量，记为 -α.
注: (1) 行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；
(2)当没有明确说明是行向量还是列向量时，都 当作列向量.
6. 向量组 若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)
矩
阵
A的
列
向
量
组
.
类似地,矩阵A = (aij )m´n 有m个n维行向量
a a a æ
ç 11
L
12
ö 1n ÷
βT 1
aç 21
ç A=ç
M
a 22
M
a L
L
2n ÷
M
÷ ÷
βT 2
a a a ç
ç i1
L
i2
÷ in ÷
βT i
çM M L M÷
a a a ç
è m1
L
m2
÷ mn ø
βT m
向量组
β
T 1
,
β
T 2
,L
β
T m
称为矩阵A的行向量组．
1
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成 一个矩阵.
m个n维列向量所组成的向量组α1, α2 ,L, αm A = (α1 , α2 ,L , αm ) 构成一个n ´ m矩阵
m个n维行向量所组成的向量组β1T
,
βT 2
,L
βT m
,
B
=
æ ç ç ç
β1T βT
2
M
ö ÷ ÷ ÷
ççè
βT m
÷÷ø
构成一个m ´ n矩阵
二、n 维向量的运算
设α = (a1, a2 ,L, an )T , β = (b1, b2 ,L, bn )T 1. 向量加法 α + β = (a1 + b1, a2 + b2 ,L, an + bn )T 2.数与向量的乘法 kα = (ka1, ka2 ,L, kan )T 以上两种运算统称为向量的线性运算.
复数的向量称为复向量 .
n 维向量的表示方法
1. 列向量 将n 维向量写成一列, 称为 列向量,记为 α, β, γ 等，即
α
=
æ ç ç ç
a1 a2 M
ö ÷ ÷ ÷
ç÷
è an ø
2. 行向量 将n 维向量写成一行, 称为行向量，记为 αT , βT , γT 等，即 αT = (a1 , a2 ,L, an ) 3. 向量相等 两个n 维向量 α = (a1 , a2 ,L, an )T , β = (b1, b2 ,L, bn )T ,若ai = bi (i = 1, 2,L, n), 则称此 两个向量相等.
所组成的集合叫做向量组．
例如 矩阵A = (aij )m´n 有n个m维列向量
a1 a2
aj
an
a a a a æ
L
L
ö
ç 11
12
1j
1n ÷
a a a a ç
A=ç
21
L
22
L
2j
2
n
÷ ÷
çM
M M M M M÷
a a a a ç
è m1
L
m2
L
mj
÷ mn ø
向量组
α 1,α源自2,L,α
n
称
为
向量线性运算满足的运算法则：
(1) α + β = β + α
(2) (α + β) + γ = α + ( β + γ)
(3) α + 0 = α
(4) α + (-α) = 0
(5) 1α = α
(6) k(lα) = l(kα) = (kl)α
(7) k(α + β) = kα + kβ (8)(k + l)α = kα + lα
第一节 n维向量及其运算
v n维向量的概念 v n维向量的运算
一、n 维向量的概念
定义1 n 个数 a1 , a2 ,L, an 组成的有序数组称为 n 维向量，数 ai (i = 1, 2,L, n)称为该向量的第i 个分 量(或坐标), 分量为实数的向量称为实向量，分量为
2
4. 零向量: 分量皆为零的向量称为零向量.
5. 负向量 称向量 (-a1, -a2 ,L, -an )T 为向量 α = (a1, a2 ,L, an )T 的负向量，记为 -α.
注: (1) 行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；
(2)当没有明确说明是行向量还是列向量时，都 当作列向量.
6. 向量组 若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)
矩
阵
A的
列
向
量
组
.
类似地,矩阵A = (aij )m´n 有m个n维行向量
a a a æ
ç 11
L
12
ö 1n ÷
βT 1
aç 21
ç A=ç
M
a 22
M
a L
L
2n ÷
M
÷ ÷
βT 2
a a a ç
ç i1
L
i2
÷ in ÷
βT i
çM M L M÷
a a a ç
è m1
L
m2
÷ mn ø
βT m
向量组
β
T 1
,
β
T 2
,L
β
T m
称为矩阵A的行向量组．
1
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成 一个矩阵.
m个n维列向量所组成的向量组α1, α2 ,L, αm A = (α1 , α2 ,L , αm ) 构成一个n ´ m矩阵
m个n维行向量所组成的向量组β1T
,
βT 2
,L
βT m
,
B
=
æ ç ç ç
β1T βT
2
M
ö ÷ ÷ ÷
ççè
βT m
÷÷ø
构成一个m ´ n矩阵
二、n 维向量的运算
设α = (a1, a2 ,L, an )T , β = (b1, b2 ,L, bn )T 1. 向量加法 α + β = (a1 + b1, a2 + b2 ,L, an + bn )T 2.数与向量的乘法 kα = (ka1, ka2 ,L, kan )T 以上两种运算统称为向量的线性运算.
复数的向量称为复向量 .
n 维向量的表示方法
1. 列向量 将n 维向量写成一列, 称为 列向量,记为 α, β, γ 等，即
α
=
æ ç ç ç
a1 a2 M
ö ÷ ÷ ÷
ç÷
è an ø
2. 行向量 将n 维向量写成一行, 称为行向量，记为 αT , βT , γT 等，即 αT = (a1 , a2 ,L, an ) 3. 向量相等 两个n 维向量 α = (a1 , a2 ,L, an )T , β = (b1, b2 ,L, bn )T ,若ai = bi (i = 1, 2,L, n), 则称此 两个向量相等.
所组成的集合叫做向量组．
例如 矩阵A = (aij )m´n 有n个m维列向量
a1 a2
aj
an
a a a a æ
L
L
ö
ç 11
12
1j
1n ÷
a a a a ç
A=ç
21
L
22
L
2j
2
n
÷ ÷
çM
M M M M M÷
a a a a ç
è m1
L
m2
L
mj
÷ mn ø
向量组
α 1,α源自2,L,α
n
称
为
向量线性运算满足的运算法则：
(1) α + β = β + α
(2) (α + β) + γ = α + ( β + γ)
(3) α + 0 = α
(4) α + (-α) = 0
(5) 1α = α
(6) k(lα) = l(kα) = (kl)α
(7) k(α + β) = kα + kβ (8)(k + l)α = kα + lα