(名师整理)最新中考数学专题复习《垂径定理》精品教案

中考数学人教版专题复习：垂径定理

一、考点突破

1. 掌握垂径定理及推论的内容及证明。

2. 应用垂径定理解决问题。

二、重难点提示

重点：理解垂径定理与推论的关系。

难点：应用知识解决实际问题。

考点精讲垂径定理及其推论

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

劣弧中点、优弧中点、弦中点、直径、垂直这五个元素，知二推三。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

1

2

如果AB ∥CD ，则=AC BD ⋂

⋂

。

【要点诠释】如果直径平分的弦是直径，则会出现如图所示的情况，直径不一定垂直弦。

典例精析

例题1 已知⊙O 的直径CD ＝10cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ＝8cm ，且AB ⊥CD ，垂足为M ，则AC 的长为（ ）

A. 25cm

B. 45cm

C. 25cm 或45cm

D. 23cm 或43cm

思路分析：先根据题意画出图形，由于点C 的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论。 答案：解：连接AC ，AO ，

∵⊙O 的直径CD ＝10cm ，AB ⊥CD ，AB ＝8cm ，

∴AM ＝12AB ＝1

2

×8＝4cm ，OD ＝OC ＝5cm ，

当C 点位置如图1所示时， ∵OA ＝5cm ，AM ＝4cm ，CD ⊥AB ， ∴OM ＝22OA AM -＝2254-＝3cm ， ∴CM ＝OC ＋OM ＝5＋3＝8cm ，

∴AC 22AM CM +2248+5；

3

当C 点位置如图2所示时，同理可得OM ＝3cm ， ∵OC ＝5cm ， ∴MC ＝5－3＝2cm ，

在Rt △AMC 中，AC

＝22AM MC +＝2242+＝25cm ， 故选C 。

技巧点拨：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键。

例题2 如图，MN 是半径为1的⊙O 的直径，点A 在⊙O 上，∠AMN ＝30°，点B 为劣弧AN 的中点，P 是直径MN 上一动点，则P A ＋PB 的最小值为（ ）

A.

2 B. 1 C. 2 D. 22

思路分析：作点B 关于MN 的对称点B′，连接OA 、OB 、OB′、AB′，根据轴对称确定最短路线问题可得AB′与MN 的交点，即为PA ＋PB 的值最小时的点，根据外角知识求出∠AON ＝60°，然后求出∠BON ＝30°，再根据对称性可得∠B′ON ＝∠BON ＝30°，然后求出∠AOB′＝90°，从而判断出△AOB′是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质可得AB′＝2OA ，即为PA ＋PB 的最小值。

答案：解：作点B 关于MN 的对称点B′，连接OA 、OB 、OB′、AB′， 则AB′与MN 的交点即为PA ＋PB 的最小时的点，PA ＋PB 的最小值＝AB′， ∵∠AMN ＝30°，∠AMN ＝∠A ，

∴∠AON＝2∠AMN＝2×30°＝60°，∵点B为劣弧AN的中点，

∴∠BON＝1

2

∠AON

＝

1

2

×60°＝30°，

由对称性，∠B′ON＝∠BON＝30°，

∴∠AOB′＝∠AON＋∠B′ON＝60°＋30°＝90°，

∴△AOB′是等腰直角三角形，

∴AB′

＝2OA＝2×1＝2，

即PA＋PB的最小值＝2。

故选A。

技巧点拨：本题考查了轴对称确定最短路线问题，在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍的性质，作辅助线并得到△AOB′是等腰直角三角形是解题的关键。

提分宝典

1. 与垂径定理有关的计算中，连接半径构建直角三角形，利用勾股定理求解是常用的方法。

例题如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，若AB＝8，CD＝2，求半径的长。

答案：解：连接OA，

4

∵OC⊥AB，AB＝8，

∴AD＝4，

∵DC＝2，

∴OD＝OC－2，

∵OA＝OC，

222

∵，

OA AD OD

=+

()2

22

=+-，

OA OA

42

解得OA＝5。

2. 在条件中如果出现了弦的中点或弧的中点等条件时，连接圆心与这些中点，是常用的辅助线的作法。

【针对训练】

如图，半径为6cm的⊙O中，C、D为直径AB的三等分点，点E、F分别在AB两侧的

，则图中两个阴影部分的面积为__________cm2。

半圆上，∠BCE＝∠BDF＝60°，连接AE、BF

思路分析：作三角形DBF的轴对称图形，得到三角形AGE，三角形AGE的面积就是阴影部分的面积。

答案：解：如图，作△DBF的轴对称图形△HAG，作AM⊥CG，ON⊥CE，

∵△DBF的轴对称图形△HAG，

由于C、D为直径AB的三等分点，则H与点C重合

5

6

∴△ACG ≌△BDF ， ∴∠ACG ＝∠BDF ＝60°， ∵∠ECB ＝60°， ∴G 、C 、E 三点共线， ∵AM ⊥CG ，ON ⊥CE ， ∴AM ∥ON ， ∴

2

1

AM AC ON OC ==， 在Rt △ONC 中，∠

OCN ＝60°， ∴ON ＝sin ∠OCN•OC ＝

3

•OC ， ∵OC ＝1

3

OA ＝2，∴ON ＝3，

∴AM ＝23， ∵ON ⊥GE ，

∴NE ＝GN ＝1

2

GE ，

连接OE ，

在Rt △ONE 中，NE ＝22OE ON -＝226(3)-＝33， ∴GE ＝2NE ＝233，

∴S △AGE ＝12GE•AM ＝1

2

×233×23＝611，

∴图中两个阴影部分的面积为611，故答案为611。