中职数学-等比数列的前n项和公式
超详细中职数常用公式及常用结论大全(精华版)
中职数学常用公式及常用结论大全1. 常见数集： N---自然数集2，充要条件：N * ---正整数集Z---整数集 Q---有理数集 R---实数集（ 1）充分条件：如pq ，就 p 是 q 充分条件 .（ 2）必要条件：如 q p ，就 p 是 q 必要条件 .（ 3）充要条件：如 pq ，且 q p ，就 p 是 q 充要条件 .注：假如甲是乙的充分条件，就乙是甲的必要条件；反之亦然.3，一元二次方程 ax 2 bx c 0(a0)（ 1）求根公式： xbb24ac 2a（ 2）根与系数的关系：4，不等式的基本性质：x 1 x 2b c ， x 1 x 2aa（ 1）如 ab ，就 ac b c ；（ 2）如 a b ，且 c （ 3）如 a b ，且 c 5，一元一次不等式（ 1）（ 2） 0 ，就 ac bc 0 ，就 ac bcb ab a（ 3）留意在解一元一次不等式组时，最终肯定要求两个不等式解集的交集才是整个一元一次不等式组的解集；6，一元二次不等式（ 1） ax2bx c 0(a 0) 的解集： x x x 1或x x 2 x 1 ， x 2 是对应方程的两个根且 x 1 < x 2（ 2） ax 2 bx c 0( a 0) 的解集：x xx x x ， x 是对应方程的两个根且x < x12 12127，含肯定值的不等式（ 1） xa(a 0) a, a（ 2） xa(a 0) , a a,（ 3） axb c(c 0) ax bc 或ax b c（ 4） axb c(c 0)c ax b c8，定义域口诀：函数定义域好求，分母不能等于零；偶次方根非负，零和负数无对数； 零的零次方无意义，正切函数角不直；其余函数实数集，多种情形求交集；9，二次函数的图像与性质ax b 0( a 0)ax b x ax b0(a 0)ax bx0) .（ 1）解析式： 一般式： y ax 2 bx c顶点式： y a xb 2a24ac 4ab 2交点式： y a x x 1 x x 2（ 2）图像与性质 10 ，分数指数幂 (1) m an 1n am （ a 0, m , n N ，且 n 1 ）. (2) amn 1m an （ a 0, m, n N ，且 n 1 ）. 11．有理指数幂的运算性质 (1) a r as a r s ( a0, r , s Q ) .(2)(a r )s a rs (a0, r , s Q ) .(3)(ab )ra rb r (a 0, b 0, r Q ) .12，常用指数值 : a 0 1 a 0 ;a11 a 0 a 13，指数式与对数式的互化式 log a NbabN (a 0, a 1, N14．对数的四就运算法就如 a ＞0， a ≠ 1， M ＞ 0， N ＞ 0，就 (1) log a ( M N ) log a Mlog a N ;(2) logM log Mlog N ;aaaN(3) log a Mn l og a M (n R ) .15，常用对数值 ： log a 1 0 ； log a a 116，指数函数与对数函数的图像与性质y a x(a 0且a 1)y log a x( a 0且a 1)定义域, 0,值域0,,单调性增函数减函数增函数减函数17， 等差数列（ 1）等差数列定义： a na n 1 常数 d （ 2）等差数列的通项公式a n a 1 (n 1)d ；（ 3）如 a, b, c 成等差数列b 是 a,c 的等差中项2b a c（ 4）其前 n 项和公式为 s n18，等比数列n(a 1 2a n )na 1n(n 1)d . 2（ 1）等比数列定义：a n 常数 qa n 1（ 2）等比数列的通项公式aa qn 1a 1 q n (n N *) ；n1q（ 3）如 a, b, c 成等比数列 b 是 a, c 的等比中项b2ac（ 4）其前 n 项的和公式为 s na 1 (11q n) , q 1q na 1 , q 1n2219，三角函数定义 已知角终边上一点P（ x,y) ，设OP rx 2 y 2就： siny,cos x, tan y ；rrx20，三角函数值在各象限的符号口诀： 一全正；二正弦正；三正切正；四余弦正； 21，诱导公式：口诀 ：奇变偶不变，符号看象限； 22，同角三角函数的基本关系式sin2cos21 ； tan =sin ；cos23，和角与差角公式sin( ) sin cos cos sin；cos() cos cossin sin ；tan()tantan 1 tan tan；（子同母异）24，二倍角公式sin 2sin cos ；cos 2cos2sin22cos21 1 2sin2；tan 22 tan .1 tan 225， yAsin( x) B 的周期与最值 (A, ω , 为常数，且 A>0)2(1) 周期： T(2) 最值：1 sin x 1 A Asinx AA B AsinxB A B(3)(3)y a sin x b cos x a2b 2sin( x)26，正弦定理 a b c 2 R .27，余弦定理sin A sin Bsin C（ 1） a 2b 2c 22bc cos A ； b 2c2a22ca cos B ； c2a2b 22ab cosC . （ 2）推论： cos Ab2c22bca；cos B a 2c22acb；cos C a2b2c22ab28，三角形面积定理（1）S 1ah1bh1ch （h ，h ，h 分别表示a，b，c 边上的高）.a b c2 2 2 a b c（2）S 1ab sin C1bc sin A1casin B .2 2 229，三角形内角和定理在△ ABC中，有 A B C C ( A B)C A B2C2 2 230，向量的加减运算2 2( A B) ；（1）AB BC AC (首尾相连)（2）AB AC CB (同一起点)31，实数与向量的积的运算律设λ ，μ 为实数，那么(1) 结合律：λ( μa)=( λμ) a;(2) 第一安排律：( λ+μ) a=λa+μa;(3) 其次安排律：λ( a+b)= λa+λb.32，向量的数量积的运算律：(1) a ·b= b ·a （交换律）;(2) （a）·b= （a·b）= a·b= a ·（b）;(3) （a+b）·c= a ·c +b ·c.33，a 与b 的数量积( 或内积)a·b=| a|| b|cos θ．a bcosa b34. 平面对量的坐标运算(1) 设a= ( x1, y1 ) , b= ( x2, y2) ，就a+b= ( x1x2, y1y2 ) .(2) 设a= ( x1, y1 ) , b= ( x2, y2) ，就a-b= ( x1x2 , y1y2 ) .(3) 设A (x1, y1 ) ，B( x2, y2 ) , 就AB OB OA ( x2x1, y2y1) .(4) 设a= ( x, y), R ，就a= ( x, y) .(5) 设a= ( x1, y1) , b= ( x2, y2) ，就a·b= ( x1x2y1y2 ) .35，两向量的夹角公式cosx1x2y1y2( a= ( x , y ) , b= ( x , y ) ).x2 y2 x2 y2 1 1 2 21 12 236，平面两点间的距离公式中中0 0d= | AB| AB AB ( xx )2 ( yy )2(A( x , y ) ， B (x , y ) ).A, B37，向量的平行与垂直21211122设 a= (x 1, y 1) , b= ( x 2 , y 2 ) ，且 b 0，就a|| bb =λ ax 1 y 2 x 2 y 1 0 .a b(a 0)a · b=0 x 1x 2y 1 y 2 0 .38，线段 AB 的中点，长度公式如A ( x 1, y 1 ), B ( x 2 , y 2 )，中点 M （x 中，y 中）就 x x 1 x 2， y y 1 y 2 2239，斜率公式k tany 2 y 1（ P (x , y ) ， P (x , y ) ）.x 2 x 111122240，直线的三种方程（ 1）点斜式y y 1k( x x 1)( 直线 l 过点P 1 (x 1, y 1 ) ，且斜率为 k ) ．（ 2）斜截式 y kx b (b 为直线 l 在 y 轴上的截距 ).（ 3）一般式 Ax By C0 ( 其中 A ，B 不同时为 0).41，两条直线的平行和垂直(1) 如 l 1 : yk 1x b 1 ， l 2 : y k 2x b 2① l 1 || l 2k 1 k 2, b 1 b 2 ;② l 1l 2k 1k 21 .(2) 如 l 1 : A 1x B 1 y C 10 , l 2 : A 2 x B 2 y C 2 0 , 且 A 1，A 2，B 1，B 2 都不为零 ,① l || l A 1 B 1 C 1 A B A B 0且A C -A C =0 ； 121 22 21 2 2 1A 2B 2C 2② l 1l 2 A 1 A 2 B 1B 2 0 ；42. 点到直线的距离d | Ax 0 By 0 C | ( 点P(x , y ) , 直线 l ： Ax By C 0 ). 留意直线肯定要是一般式； A 2 B243. 圆的两种方程（ 1）圆的标准方程( x a)2( y b)2r 2.圆心坐标：（ a,b ）半径： r（ 2）圆的一般方程x2y2Dx Ey F 0 ( D 2E24F ＞ 0).圆心坐标：D,E2 2半径：rD 2E 2 4 F244，直线与圆的位置关系设直线l ：ax by c 0 ，圆C ：x 2y 2Dx Ey F 0 ，圆的半径为r ，圆心( D,2E) 到直2线的距离为 d ，就判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当d r 时，直线l 与圆C 相离；（2）当d r 时，直线l 与圆C 相切；（3）当d r 时，直线l 与圆C 相交；45，二次曲线（椭圆双曲线抛物线）椭圆看大小 a 最大，双曲线看正负c最大；45，抛物线的标准方程n *P m46，直线与圆锥曲线相交弦长公式AB ( x x )2( yy )2= (1 k 2)2xx4 x x1212121 2（弦端点 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) ，由方程y kx b 消去 y 得到 ax 2bx c 0 ，0 , 为直线AB 的倾斜角， k 为直线的斜率）.47，分类计数原理（ 加法原理）N m 1 F( x, y) m 2 0m n .48，分步计数原理（ 乘法原理 ）49，排列数公式N m 1 m 2m n .Pm =n( n 1)(n m 1) .( n ，m ∈ N ，且 m n ) ．注 : 规定 0. 1.50，组合数公式P mn( n 1)(n m 1)Cm=n=m1 2( n ∈ N ， mN ，且 m n ).m51，组合数的两个性质(1) C m =C n m ； (2) C m + C m 1 = C m ； 注: 规定 C 01 .n n n n n 1 n52，排列组合应用重复（ 3信4邮） 在于不在用优先分类有序( 排列) 相邻问题用捆绑分步 不重复无序( 组合)相隔问题用插空* n。
等比数列求和教案
课题：等比数列的前n项和（一课时）教材：浙江省职业学校文化课教材《数学》下册（人民教育出版社）一、教材分析●教学内容《等比数列的前n项和》是中职数学人教版（基础模块）（下）第六章《数列》第四节的内容。
是数列这一章中的一个重要内容, 就知识的应用价值上看，它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等,另外公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养．就内容的人文价值来看，等比数列的前n项和公式的探究与推导需要学生观察、归纳、猜想、证明，这有助于培养学生的创新思维和探索精神,同时也是培养学生应用意识和数学能力的良好载体．二、学情分析●知识基础：前几节课学生已学习了等差数列求和，等比数列的定义及通项公式等内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用.●认知水平与能力：高二学生具有自主探究的能力，能在教师的引导下独立、合作地解决一些问题，但从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导．不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有所不同，这对学生q 这一特殊情况，学生也往往容易忽略，尤的思维是一个突破，另外，对于1其是在后面使用的过程中容易出错．三、目标分析依据教学大纲的教学要求，渗透新课标理念，并结合以上学情分析，我制定了如下教学目标：1.教学目标●知识与技能目标理解用错位相减法推导等比数列前n项和公式的过程，掌握公式的特点，并在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题．●过程与方法目标通过对公式的研究过程，提高学生的建模意识及探究问题、培养学生观察、分析的能力和协作、竞争意识。
●情感、态度与价值目标通过学生自主对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，培养学生主动探索的求知精神和团结协作精神,感受数学的美。
中职教育-数学(基础模块)下册 第六章 数列.ppt
可表示为 Sn a1 (a1 d ) (a①1 2d ) [a1 (n 1)d ]，
Sn an (an d ) (②an 2d ) [an (n 1)d ]．
…
…
将①②两式相加可得
…
2Sn (a1 an ) (a1 an ) (a1 an ) n个
．
于是
a2
a1q
16 3
3 2
8．
➢例题解析
例2 求等比数列11,3.3,0.99，…的第4项和第5 项．
… …
观察
所以，数列的一般形式可以写成
a1 ，a2 ，a3 ， ，an ，
简记为{an}．其中，反映各项在数列中位置的数字0,1,2,3，…，n
分别称为对应各项的项数．
项数有限的数列称为有穷数列；项数无限的数列称为无穷数列．上 面的例子中，数列②④为有穷数列，数列①③为无穷数列．
➢6.1.2 数列的通项公
59 3n 1， n 20．
因此，该数列的第20项为59．
➢例题解析
例3 在等差数列{an}中，公差d=5， a9=38，求首项a1。
解：
因d=5，故设等差数列的通项公式为
an a1 5(n 1) ．
因a9=38，故
38 a1 5 (9 1) ． a1 2 ．
➢例题解析
例4 某市出租车的计价标准为1.2元 /km，起步价为10元，即最初的4 km （不含4 km）计价10元．如果某人在该 市坐出租车去14 km处的地方，需要支 付 解多：少车费？
观察上面的数列，可以发现，从第2项开始，数列中每 一项与其前一项的比都等于2．
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与其前一项 的比都等于同一常数，那么，这个数列称为等比数列，这 个常数称为等比数列的公比，用字母q 表示．
高职高考中职数学对口升学总复习基础模块(下册)全册重点知识点小结归纳
时， a 0 ，方向任意。
C O U N T E R PA R T ENTRANCE EXAM
中职数学基础模块(下册)知识点
出品人：好老师
高职高考中职数学对口升学总复习知识点总结归纳 基础模块（下册）
CONTENTS
第六章 P03 第七章 P11 第八章 P18 第九章 P26 第十章 P44
知识清单
【知识结构】
——知—识—清—单——————一—.数—列—的—概—念————————————
1.数列的定义
按一定次序排列的一列数叫做数列 项：数列中每个数都叫做数列的项。各项依次叫作这个数列的第1项(首项)、 第2项、...第n项。 项数：各项在数列中所处位置的编号。
2.数列的分类
有穷数列：项数有限的数列
无穷数列：项数无限的数列
3.数列的一般形式
一般形式：a1,a2,a3,...,an,...,其中an是数列的第n项，叫作数列的通项，n叫作an的序号 整个数列记作｛an｝
an1 an
q, an
0, q 0
通常用字母q表示.
【注意】： ① 求公比q一要用相领两项的后项除以前项，而不能用前项除以后项；
② 等比数列中每一项及公比q都不为0；
③ 不为0的常数列既是公差为0的等差数列，又是公比为1的等比数列。
2.等比数列通项公式： (1)an
a1qn1; (2)an
am q n m
知识清单
一.数列的概念
————————————————————————————
4.数列的通项
通项公式：an与n之前的函数关系式an=f(n). 数列的通项an可看成是n的函数（以正整数的子集为定义域）。
【注意】： ①数列的通项公式可以不止一个； ②数列中的数依次出现正负相间的数时，可把符合分离出来，用(-1)n或 (-1)n+1来表示； ③求数列的通项公式关键是寻求各项与项数的关系并归纳其规律。
中职数学常用公式及常用结论大全 (一)
中职数学常用公式及常用结论大全 (一)中职数学常用公式及常用结论大全数学是一门普遍适用的学科，学好数学的关键在于熟练掌握各种公式以及结论。
接下来，本文将为大家整理了常见的中职数学公式和结论，供大家参考。
1. 常见几何公式（1）矩形面积公式：S=a×b，其中a和b分别是矩形的长和宽。
（2）正方形面积公式：S=a²，其中a表示正方形的边长。
（3）三角形面积公式：S=1/2×b×h，其中b表示底边，h表示高。
（4）圆面积公式：S=π×r²，其中r表示圆的半径，π≈3.14。
（5）圆周长公式：C=2×π×r，其中r表示圆的半径，π≈3.14。
2. 常见代数公式（1）两点间距离公式：d=√[(x1-x2)²+(y1-y2)²]，其中（x1，y1）和（x2，y2）表示两个点的坐标。
（2）二次方程解法公式：x=[-b±√(b²-4ac)]/2a，其中a、b、c为方程ax²+bx+c=0的系数。
（3）勾股定理：a²+b²=c²，其中a、b、c为直角三角形的两条直角边和斜边。
（4）配方法：a²+2ab+b²=(a+b)²。
（5）差积公式：a²-b²=(a+b)(a-b)。
3. 常见概率公式（1）事件发生的概率公式：P(A)=n(A)/n(S)，其中n(A)表示事件A中包含的元素个数，n(S)表示样本空间中元素的总个数。
（2）互斥事件的概率公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)，其中A、B为两个互斥事件。
（3）独立事件的概率公式：P(A∩B)=P(A)×P(B)，其中A、B为两个独立事件。
（4）全概率公式：P(B)=P(A1)×P(B|A1)+P(A2)×P(B|A2)+...+P(An)×P(B|An)，其中B 为事件，A1、A2、...、An为互斥且构成样本空间的事件。
中职数学等比数列定义与其通项公式优秀教学课件 (一)
中职数学等比数列定义与其通项公式优秀教学课件 (一)中职数学的学习对于学生的数学素养的培养至关重要。
其中，等比数列的学习是数学教学中的重要内容之一。
教师需要使用优秀的教学课件来深入浅出地讲解等比数列的定义和通项公式，提高学生的数学能力和应用能力。
一、等比数列的定义等比数列是指一个数列中，任意两个相邻的项的比都相等的数列。
具体而言，如果一个数列中，第一项为$a_{1}$，公比为$q$，那么这个数列可以写成$a_{1}$，$a_{1}q$，$a_{1}q^{2}$，$a_{1}q^{3}$…的形式（其中，q≠0）。
教学过程中，可以结合图片和简单的数列例子来演示等比数列的定义。
引导学生逐个解读数列中的每个元素，了解数列中的规律，优化学生对于定义的理解。
二、等比数列的通项公式等比数列的通项公式是数学教学中的重点内容。
通项公式的式子为：$a_{n}=a_{1}q^{n-1}$。
其中，$a_{n}$表示一个等比数列中的第n项，$a_{1}$表示数列中的首项，$q$为公比。
教师可以先从通项公式的具体含义入手，即学生可以通过公比和首项来计算数列中任意一项的值。
其次，通过具体例子和演算过程上课，以此来帮助学生掌握通项公式。
三、优秀教学课件为了更好地教授等比数列的定义和通项公式，教师需要使用优秀的教学课件。
一份好的教学课件应该拥有以下几个特点：1.清晰明了：教学课件的内容通俗易懂，尽可能避免过于复杂的表示方法，保证学生能够轻松理解。
2.全面系统：教学课件应该将整个学习内容涵盖，从定义到通项公式的解释都要详细全面。
3.图文并茂：通过丰富的图文内容来描绘等比数列中的规律，协助学生更好地理解原理。
4.案例实践：在教学课件中增加丰富的练习题，使学生可以通过实例来理解等比数列的概念，掌握解题技巧。
总之，教师需要针对等比数列的定义和通项公式制作出清晰明了、全面系统、图文并茂、案例实践的优秀教学课件，以此来为学生提供较好的学习资源。
高教版中职数学拓展模块一下册：7.3.2等比数列的前n项和公式课件(共13张PPT)
3.拓展作业：阅读教材扩展延伸内容.
归纳总结
情境导入
布置作业
本节课堂结束
.教师：姜老师
4
10
10
1 (1 − ) 1 × (1 − 2 )
1 (1 − ) 1 × (1 − 2 )
∴ 4 =
=
= 15, 10 =
=
= 1023
1−
1−2
1 − ��
1−2
∴该数列的第5项至第10项的和为10 − 4 = 1023 − 15 = 1008
7.3.2等比数列前n项和
所以该数列前5项的和为242
归纳总结
布置作业
7.3.2等比数列前n项和
情境导入
探索新知
情境导入
典型例题
巩固练习
例6 在等比数列{an}中，a1=2， q=3，an=162，求该数列前n项的和．
解
由等比数列前n项和公式得
1 − 2 − 162 × 3
5 =
=
= 242
1−
1−3
所以该数列前5项的和为242
1,2,4,8,16,32,64,…, 各项的和.
如何求 呢？
布置作业
7.3.2等比数列前n项和
情境导入
情境导入
探索新知
典型例题
巩固练习
设{an}是一个公比为q的等比数列，记{an}的前n项和为
Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an .
(1)
qSn=a1q+a2q+a3q+…+aqn-1+anq，
情境导入
探索新知
等比数列的前n项和公式-教案
课题：等比数列的前n 项和公式课时安排：1课时 课程分析：职业高中数学课程教学是专业建设与专业课程体系改革的一部分，应与专业课教学融为一体，立足于为专业课服务，解决实际生活中常见问题，结合中职学生的实际，强调数学的应用性，以满足学生在今后的工作岗位上的实际应用为主，这也体现了新课标中突出应用性的理念。
等比数列的前n 项和公式在本课程中的地位：《数列》是中职数学中的重要内容之一，等比数列所蕴含的数学思想和方法，在生活中有着较为广泛的应用。
重点是等比数列的前n 项和公式；难点是前n 项和公式的推导。
等比数列前n 项和公式的推导方法叫错位相减法，这种方法很重要，应该让学生理解并学会应用．等比数列的通项公式与前n 项和公式中共涉及五个量：nn S a n q a 、、、、1，只要知道其中的三个量，就可以求出另外的两个量.教材分析：教材使用的是中等职业教育课程改革国家规划教材，依照教学计划，等比数列的前n 项和公式安排在第六章数的最后一部分讲解。
本节内容是在学生熟知数列的概念，通项公式，等差数列的概念、通项公式和前n 项和公式，也学习了等比数列的概念、通项公式的基础上学习等比数列的前n 项和公式。
根据学生实际情况，通过生活中的例子，让问题与学生联系起来，激发学生想去解决问题，这样学生就会去看相关的书，分小组学习和课堂讨论，达到自主探索去解决问题的目的。
学情分析：1、教学对象：中职一年级的学生。
2、知识储备：已经学习过数列的概念，通项公式，等差数列的概念、通项公式和前n 项和公式，也学习了等比数列的概念、通项公式。
3、学生的认知情况：学生基础较差，对数学不感兴趣，通过生活中的例子，让问题与学生联系起来，激发学生想去解决问题，这样学生就会去看相关的书，分小组学习和 教学目标： 知识目标：1、理解等比数列前n项和公式；2、会应用等比数列前n项和公式做些简单的题。
能力目标：1、应用等比数列的前n项公式，解决数列的相关计算，培养学生的计算技能；2、综合应用数列知识，解决生活中等实际问题，培养学生处理数据技能和分析解决问题的能力。
中职数学的等比数列单元复习题
中职数学的等比数列单元复习题一、知识点回顾等比数列是数列的一种特殊形式，也是考试中常考的重要知识点。
它具有确定的通项公式和求和公式，可以解决各种实际问题。
在复习等比数列时，我们需要明确以下几点：1等比数列的定义：一个数列如果每一项（从第二项开始）都是前一项乘以一个常数，则这个数列称为等比数列。
这个常数称为公比。
2等比数列的通项公式：在等比数列中，第n项可以表示为 a_n = a_1 * q^(n-1)，其中a_1是首项，q是公比。
3等比数列的求和公式：对于一个等比数列，其前n项和S_n可以表示为 S_n = a_1 * (1 - q^n) / (1 - q)。
二、典型例题解析例1：求等比数列的公比和首项。
已知一个等比数列的首项为2，公比为-3，且前n项和为S_n = 2 * (1 - (-3)^n) / (1 - (-3))，求该数列的公比和首项。
解析：根据等比数列的定义，该数列的公比为-3，首项为2。
例2：求等比数列的前n项和。
已知一个等比数列的首项为2，公比为-3，求该数列的前10项和S_10。
解析：根据等比数列的求和公式，可得 S_10 = 2 * (1 - (-3)^10) /(1 - (-3))。
三、易错点提醒1、不要忘记公比的符号。
在等比数列的定义中，公比q是一个负数，因此要注意符号问题。
2、使用求和公式时需要注意公比的符号。
在求和公式中，分母中的括号内不能有负号，因此需要注意公比的符号。
3、注意使用正确的公式。
在解决等比数列问题时，需要根据具体的问题选择合适的公式进行求解。
四、练习题1、求等比数列的第n项。
已知一个等比数列的首项为2，公比为-3，求该数列的第5项a_5。
解析：根据等比数列的通项公式，可得 a_5 = 2 * (-3)^4 = 72。
2、求等比数列的前n项和。
已知一个等比数列的首项为2，公比为-3，求该数列的前5项和S_5。
解析：根据等比数列的求和公式，可得 S_5 = 2 * (1 - (-3)^5) / (1 - (-3)) = -94。
等比数列的前n项和的公式
等比数列的前n项和的公式
等比数列是数学中的一种重要数列，它的每一项与它的前一项的比值都相等。
这个比值被称为公比，首项为a1，公比为q的等比数列可以表示为：
a1，a1q，a1q^2，a1q^3，...。
等比数列的前n项和公式是：
Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)
这个公式的推导过程如下：
假设我们有这样一个等比数列：a1，a1q，a1q^2，...，a1q^(n-1)。
我们将这些项相加，得到：
a1 + a1q + a1q^2 + ...+ a1q^(n-1)
我们可以将这个和表示为：
a1 * (1 + q + q^2 + ...+ q^(n-1))
这是一个等比数列求和的问题，它的和为：
1 - q^n / (1 - q)
因此，等比数列前n项和的公式为：
Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)
这个公式可以用于计算等比数列的前n项和，例如，如果我们知道等比数列的首项a1和公比q，我们可以使用这个公式来计算前n项和。
在日常生活中，等比数列的前n项和公式也有许多应用。
例如，投资理财中，如果你的投资收益是等比数列的形式，你可以使用这个公式来计算你的总收益。
又如在贷款问题上，如果你的还款方式是等比数列，你可以使用这个公
式来计算你的还款总额。
总之，等比数列的前n项和公式是一个实用性很强的公式，它能帮助我们解决许多实际问题。
等比数列的前n项和的公式
等比数列的前n项和的公式等比数列是指一个数列中任意两项的比相等的数列。
设等比数列的首项为a，公比为r，第n项为an。
求等比数列的前n项和，可以使用以下两种方法。
方法一：求和公式Sn=a*(1-r^n)/(1-r)其中，Sn表示前n项和，a表示首项，r表示公比。
证明：首先，排除r=1的特殊情况，当公比为1时，等比数列就变成公差为0的等差数列，求和公式为Sn=n*a。
当r不等于1时，我们可以通过以下方法推导求和公式：1. 首先，将等比数列的前n项表示为：a，ar，ar^2，...，ar^(n-1)。
2. 求和公式为Sn = a + ar + ar^2 + ... + ar^(n-1)。
3. 将公式的各项乘以公比r得到：ar，ar^2，ar^3，...，ar^n。
4. 两个公式相减得到：Sn - rSn = a - ar^n。
5.整理得到：Sn*(1-r)=a*(1-r^n)。
6.由此，得到求和公式：Sn=a*(1-r^n)/(1-r)。
这就是等比数列的前n项和公式。
方法二：逐项相加除了使用求和公式，我们还可以通过逐项相加求等比数列的前n项和。
逐项相加的过程如下：S1=aS2 = a + ar = a(1+r)S3 = a + ar + ar^2 = a(1+r+r^2)...Sn = a + ar + ar^2 + ... + ar^(n-1) = a(1+r+r^2+...+r^(n-1))综上所述，等比数列的前n项和公式为：Sn=a*(1-r^n)/(1-r)(r不等于1)Sn=n*a(r等于1)以上是两种方法求解等比数列前n项和的公式，可以根据具体情况选择适用的方法进行计算。
【人教版】中职数学(基础模块)下册：6.3《等比数列》教案(Word版).pdf
【课题】 6．3 等比数列
【教学目标】
知识目标：
理解等比数列前n 项和公式． 能力目标：
通过学习等比数列前n 项和公式,培养学生处理数据的能力．
【教学重点】
等比数列的前n 项和的公式．
【教学难点】
等比数列前n 项和公式的推导．
【教学设计】
本节的主要内容是等比数列的前n 项和公式,等比数列应用举例.重点是等比数列的前
n 项和公式；难点是前n 项和公式的推导、求等比数列的项数n 的问题及知识的简单实际
应用．
等比数列前n 项和公式的推导方法叫错位相减法，这种方法很重要，应该让学生理解并学会应用．等比数列的通项公式与前n 项和公式中共涉及五个量：n n S a n q a 、、、、1，只要知道其中的三个量，就可以求出另外的两个量.
教材中例6是已知n n S a a 、、1求n q 、的例子．将等号两边化成同底数幂的形式,利用指数相等来求解n 的方法是研究等比数列问题的常用方法.
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
3课时．(135分钟)
【教学过程】
式的两边分别减去(2)式的两边，得
【教师教学后记】
−。
中职数学等比数列前n项和课件
定义
混合数列是指由两种或两种以上不同 类型数列组合而成的数列。
方法
例子
例如，一个由1，2，3，4，5，6和7，8，9 ，10构成的数列，可以拆分成两个等差数列 （1，2，3，4，5和6）和一个等比数列（7 ，8，9，10），然后分别求和再相加。
对于混合数列，我们可以尝试将其拆 分成几个不同类型的数列，然后分别 求和再相加。
求解与等比数列相关的其他问题
总结词
等比数列前n项和的应用广泛，可以解决多方面的问题。
详细描述
除了求等比数列前n项和，还可以利用等比数列的性质解决其 他相关问题，如求等比数列的某一项、判断一个数列是否为 等比数列等。
04
等比数列前n项和公式的扩展
非等比数列求和
定义
非等比数列是一种更为复杂的数列，它可能不具备等比数 列的规律性，但仍然可以通过一定的方法求和。
在计算机领域的应用
数据压缩
在计算机科学中，等比数列前n项和公式可用于数据压缩算法的实 现，帮助计算机更高效地存储和传输数据。
加密与解密
等比数列前n项和公式还可用于加密和解密算法的实现，为信息安 全领域提供更加可靠的保障。
图像处理
在图像处理中，等比数列前n项和公式可用于图像的压缩、变换和 滤波等方面，提高图像处理的效果和质量。
06
课堂练习与答案
课堂练习题一：基础题
详细描述
总结词：熟悉等比数列求和 公式
01
1. 写出等比数列的求和公式
。
02
03
2. 举例说明如何使用公式计 算前n项和。
04
05
3. 针对不同项数n，给出一 些简单的等比数列，让同学
们练习求和。
课堂练习题二：提高题
中职数学 等比数列的前n项和公式
某建筑队,由于资金短缺,向某砖厂赊借红砖盖房, 可砖厂厂长很风趣,提出了这样一个条件:在一个月（30 天）内,砖厂每天向建筑队提供10000块砖,为了还本付 息,建筑队第一天要向厂方返还1块砖,第二天返还2块
砖,第三天返还4块砖,即每天返还的砖数是前一天的2
n项和公式, 并求出数列的8项的和．
刚才学习 了等比数列求 和公式哦
Sn
a1 1 qn 1 q
求等比数列
1 1 1 , , , 2 4 8
的前8项的和．
练习 1 等比数列的公比q=﹣ 3 ,前4项的和为 5 , 9 求这个等比数列的首项?
一个等比数列的首项为 ,末项为 , 各项的和为 211 ,求数列的公比并判断 36 数列是有几项组成?
能否找到一 个式子与原 式相减能消 去中间项？
S30 1 2 22 228 229
2
22
23
2 29
230
S30 1 2 2 2 2
2 28
29
①
30
两边同时乘以2，
2S30 2 2 2 2 2
2 3 29
②
由①-②得,
倍,请问,假如你是建筑队队长,你会接受这个条件吗 ？
同学们,根据以上条件,你能提取到什 么信息?
建立出数学模型:
赊借：令常数列{an }, 其中a1 10000,
S 30 10000 30 3.0 10 ;
' 5
建筑队在这30 天内向砖厂赊 借与返还的砖 数分别记为 、
S '30 S30
S30 1 2
'
30
即
中职教育数学《等比数列》课件
是 q 1
(4) 1，2，4，6，3，4，……；
不是
(5) 5, 0, 5, 0, …….
不是
等比数列中不能
存在为0的项。
练习6.3.1
1.在等比数列{an }中，a3 6，q 2，试写出a4、a6 .
解：a4 a3q 6 2 12
a5 a4 q 12 2 24
2
对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的比都等于__;
1
对于数列② ，从第2项起，每一项与前一项的比都等于__;
2
20
对于数列③ ，从第2项起，每一项与前一项的比都等于__;
共同特点:
从第二项起，每一项与其前一项的比是
同一个常数
一、等比数列的定义：
如果一个数列的首相不为零，且从第
2项开始，每一项与它前一项的比都等
a2
a4
q a4 a3 q a1q 3
a3
……
由此归纳等比数列的通项
公式可得：
an a1q
n1
其中 a1与q均不为零，当
n 1时上面等式也成立
an a1q
n 1
思考：你能写出下列等比数列的通项公式吗？
(1)2，4，8，16，32，64，...
(2)1，3，9，27，81，243，…
• ③计算机病毒传播时，假设每一轮每一台
计算机都感染20台计算机，则这种病毒每一
轮感染的计算机数构成的数列是：
1， 20，202， 203， …
归纳：
①
②
1,2,4,8,16,32,...
1 1 1 1
1， ， ， ， ，
...
2 4 8 16
③
中职数列知识点公式总结
数列
1、数列：按照一定次序排成的一列数
（1） 数列中的每一个数都称为这个数列的项:a 1 , a 2 ,a 3 ,…a n
（2）项数（项的序号）只能用正整数来表示：1,2,3…n
（3）项数有限的数列称为有穷数列，项数无限的数列称为无穷数列
（4）前n 项和：n n a a a a S ++++= 321
2、等差数列：
①、定义：数列{}n a ，从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数， 则这个数列称为等差数列；常数称为该数列的公差,记作:d
即：a n −a n−1 = d 或：a n+1−a n = d
③、等差数列的前n 项和公式
④、等差数列的性质：在等差数列{}n a 中
⑤、等差中项：
若b A a ,,成等差数列，则称A 是a,b 的等差中项。
3、等比数列：
①、定义：数列
{}n a ，从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，则这个数列称为等比数列。
常数称为该数列的公比,记作:q 。
即：1(2,)n n a q n n N a -=≥∈ 或 1(1,)n n
a q n n N a +=≥∈
③、等比数列的前n 项和公式
11n q S na ==时：
1q ≠时：
④、等比数列的性质：在等比数列{}n a 中
⑤、等比中项
若b G a ,,成等比数列，则称G 是a,b 的等比中项。
中职数学课件7.3等比数列
7.3.2 等比数列前n项和公式 情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
可以看出，按照大臣的要求，在棋盘上 六十四个格中所放的麦粒数构成等比数列 1， 2，4，8，16，32，64，…， 263 ．到底棋盘 上需要放多少麦粒呢？要回答这一问题，就 需要计算出等比数列 1，2，4，8，16，32， 64，…， 263各项的和．
7.3.1 等比数列的概念
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
练习
7．已知三个数成等比数列，它们的和为14，它们的积为64，求 这三个数．
8．在等比数列14，12，1，…中，8是第几项？ 9.一辆新能源汽车现价为10万元，年折旧率为10%(不考虑其他因 素) ，问该车第10年后的车价是多少元(保留两位小数)？
一般地，如果一个数列an从第二项起，每一项与它前一项的比 都等于同一个非零常数时，就称这个数列为等比数列，这个常数称为 等比数列的公比，通常用字母q来表示．
如数列 9，81，729，6561，…，43046721为等比数列，其公比
q=9；数列32,16，8，4，…是等比数列，公比q=
1 2
．
7.3.1 等比数列的概念
例1 在等比数列an 中， a1=2，q=4，求an，a5．
解 根据等比数列通项公式an=a1 qn-1可知
an=a1qn-1=2×4n-1=22n-1；
即
an= 22n-1 ．
因此，a5 = 22×5-1 =29=512．
7.3.1 等比数列的概念
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
7.3.1 等比数列的概念
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
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对于一般的等比数列我们又将怎样求得它的前n项和呢?
设{an}为等比数列, a为1 首项, 为q 公比,它的前n项和
Sn a1 a1q a1q2
两边同时乘以 q为
a1qn2 a1qn1
③
错 位
qSn a1q a1q2 a1q3
a1qn1 a1qn
等比数列的前n项和
复习:等比数列 {an}
(1) 等比数列: aann+1=q (定值) (2) 通项公式: an=a1• q n-1 (a1 0, q 0).
(3)a, G, b 成等比数列
G 2 ab, (ab 0)
(4) 重要性质:
an= am• qn-m m+n=p+q an •am = ap •aq
1
(2) 公式推导过程中用到的“错位相减” 方法;
(3) 公式的运用.
a1, q, n, Sn
作业布置
(1)复习今天所学内容； 必做题: 课本 p的58 1,2题;
(2)思考题：能否用其他方法推导等比数列 前n项和公式;
(3)趣味题: 远望巍巍塔七层, 红光点点倍自增, 共灯三百八十一, 请问尖头几盏灯?
即
Sn a1 a2 an
两式相加
Sn an an1 a1
而得 Sn
对于下式是否也能用倒序相加法呢？？
S30 1 2 22 228 229
能否找到一 个式子与原 式相减能消 去中间项？
2 22 23
229 230
S30 1 2 22 228 229
,
一个等比数列的首项为
9 4
,末项为
4 9
,
各数项列的是和有为几项2316组1 ,求成数? 列的公比并判断
课堂小结
(1)等比数列的前n项和公式
Sn
a1
1 qn 1 q
a1 anq 1 q
,q 1
Sn
na1 q
Sn na1.
例：写出等比数列1，−3，9，−27，…的前 n项和公式, 并求出数列的8项的和．
刚才学习 了等比数列求 和公式哦
Sn
a1
1 qn 1 q
求等比数列 1 , 1 , 1 ,
248
的前8项的和．
练习
等比数列的公比q=﹣
1 3
,前4项的和为
求这个等比数列的首项?
5 9
注:以上 m, n, p, q 均为自然数
某建筑队,由于资金短缺,向某砖厂赊借红砖盖房, 可砖厂厂长很风趣,提出了这样一个条件:在一个月（30 天）内,砖厂每天向建筑队提供10000块砖,为了还本付 息,建筑队第一天要向厂方返还1块砖,第二天返还2块 砖,第三天返还4块砖,即每天返还的砖数是前一天的2 倍,请问,假如你是建筑队队长,你会接受这个条件吗 ？
4
相 减
由③- 4 得
(1 q)Sn a1 1 qn
(1 q)Sn a1 1 qn
？
Sn
a1
1 qn 1 q
分类讨论
等比数列的
通项公式
当 q 1时,
an a1qn1
Sn
a1
1 qn 1 q
a1 anq ; 1 q
当 q 1时, 即{an}是一个常数列
同学们,根据以上条件,你能提取到什 么信息?
建立出数学模型:
建筑队在这30 天内向砖厂赊 借与返还的砖 数分别记为 、
赊借：令常数列{an},其中a1 10000,
S
' 30
10000 30
3.0 105;
S
' 30
S30
返还：令等比数列{bn},其中b1 1, q 2,
S30 1 2 22 228 229.
探究
等差数列 {an}的前n项和
Snn(a1 2a )a1n
n(n 1) 2
d
它能用首项和末项表示,那么对于 S30 是否也能用
首项和末项表示？
如果可以用首项和
末项表示，那我们
该怎么办呢？
S30
1 2 22 228 ~~~~~~~~~~~
229
消去中间项
求等差数列 {an} 的前n项和用了 倒序相加法
再见
①
两边同时乘以2，
2S30 2 22 23 229 230 ②
由①-②得,
S30 1 230 即 S30 230 1 1.0 1010.
而S30' 3.0 105 ,显然S30比S30'大得多,
因此，建筑队队长最好不要同意这样的条 件,否则会亏大的.