中职数学-等比数列的前n项和公式

注:以上 m, n, p, q 均为自然数
某建筑队,由于资金短缺,向某砖厂赊借红砖盖房, 可砖厂厂长很风趣,提出了这样一个条件:在一个月（30 天）内,砖厂每天向建筑队提供10000块砖,为了还本付 息,建筑队第一天要向厂方返还1块砖,第二天返还2块 砖,第三天返还4块砖,即每天返还的砖数是前一天的2 倍,请问,假如你是建筑队队长,你会接受这个条件吗 ？
同学们,根据以上条件,你能提取到什 么信息?
建立出数学模型:
建筑队在这30 天内向砖厂赊 借与返还的砖 数分别记为 、
赊借：令常数列{an},其中a1 10000,
S
' 30
10000 30

3.0 105;
S
' 30
S30
返还：令等比数列{bn},其中b1 1, q 2,
S30 1 2 22 228 229.
①
两边同时乘以2，
2S30 2 22 23 229 230 ②
由①-②得,
S30 1 230 即 S30 230 1 1.0 1010.
而S30' 3.0 105 ,显然S30比S30'大得多,
因此，建筑队队长最好不要同意这样的条 件,否则会亏大的.
探究
等差数列 {an}的前n项和
Sn

n(a1 2
an )

a1n

n(n 1) 2
d
它能用首项和末项表示,那么对于 S30 是否也能用
首项和末项表示？
如果可以用首项和
末项表示，那我们
该怎么办呢？
S30
1 2 22 228 ~~~~~~~~~~~

229
消去中间项
求等差数列 {an} 的前n项和用了 倒序相加法
对于一般的等比数列我们又将怎样求得它的前n项和呢?
设{an}为等比数列, a为1 首项, 为q 公比,它的前n项和
Sn a1 a1q a1q2
两边同时乘以 q为
a1qn2 a1qn1
③
错 位
qSn a1q a1q2 a1q3
a1qn1 a1qn
Sn na1.
例：写出等比数列1，−3，9，−27，…的前 n项和公式, 并求出数列的8项的和．
刚才学习 了等比数列求 和公式哦
Sn

a1
1 qn 1 q
求等比数列 1 , 1 , 1 ,
248
的前8项的和．
练习
等比数列的公比q=﹣
1 3
,前4项的和为
求这个等比数列的首项?
5 9
,
一个等比数列的首项为
9 4
,末项为
4 9
,
各数项列的是和有为几项2316组1 ,求成数? 列的公比并判断
课堂小结
(1)等比数列的前n项和公式


Sn

a1
1 qn 1 q
a1 anq 1 q
,q 1

Sn

na1 q
再见
4
相 减
由③- 4 得
(1 q)Sn a1 1 qn
(1 q)Sn a1 1 qn
？
Sn

a1
1 qn 1 q
分类讨论
等比数列的
通项公式
当 q 1时,
an a1qn1
Sn

a1
1 qn 1 q
a1 anq ; 1 q
当 q 1时, 即{an}是一个常数列

1
Hale Waihona Puke Baidu
(2) 公式推导过程中用到的“错位相减” 方法;
(3) 公式的运用.
a1, q, n, Sn
作业布置
(1)复习今天所学内容； 必做题: 课本 p的58 1,2题;
(2)思考题：能否用其他方法推导等比数列 前n项和公式;
(3)趣味题: 远望巍巍塔七层, 红光点点倍自增, 共灯三百八十一, 请问尖头几盏灯?
即
Sn a1 a2 an
两式相加
Sn an an1 a1
而得 Sn
对于下式是否也能用倒序相加法呢？？
S30 1 2 22 228 229
能否找到一 个式子与原 式相减能消 去中间项？
2 22 23
229 230
S30 1 2 22 228 229
等比数列的前n项和
复习:等比数列 {an}
(1) 等比数列: aann+1=q (定值) (2) 通项公式: an=a1• q n-1 (a1 0, q 0).
(3)a, G, b 成等比数列
G 2 ab, (ab 0)
(4) 重要性质:
an= am• qn-m m+n=p+q an •am = ap •aq